Babeș-Bolyai Tudományegyetem, Kolozsvár Matematika és Informatika Kar ZÁRÓVIZSGA Írásbeli vizsga 6. június 7. Matematika-Informatika szak I.. a Értelmezzük egy csoport részcsoportjának fogalmát. b Igazoljuk, hogy Z 3Z nem részcsoportja a(z, + csoportnak. c Igazoljuk, hogy ha G egy csoport és H,H részcsoportjai G-nek, akkor igaz a következő ekvivalencia: H H részcsoportja G-nek akkor és csakis akkor, ha H H vagy H H.. Legyen f :R 3 R, f(x,y,z=(x+y,y z. a Igazoljuk, hogy az f függvényr-lineáris. b Igazoljuk, hogy v=((,,,(,,,(,, bázis R 3 -ban és w=((,,(, bázis R -ben. c Határozzuk meg az[ f] v,w mátrixot. II.. Határozzuk meg az összes olyan a (, értéket, melyre a. Határozzuk meg az alábbi Riemann-integrálokat: Cn n an sor konvergens. n= a dx +e x ; b xdx +x+e x. III. Az y = px parabolán tekintsük az a,b,c ordinátájú A,B,C pontokat, ahol a,b,c R. Legyen A a B és C pontokban szerkesztett érintők metszéspontja, B az A és C pontokban szerkesztett érintők metszéspontja, C pedig az A és B pontokban szerkesztett érintők metszéspontja. a Határozzuk meg az A,B,C pontok koordinátáit. b Igazoljuk, hogy az ABC háromszög területe kétszerese az A B C háromszög területének. c Ha G és G az ABC- illetve A B C háromszög súlypontja, igazoljuk, hogy a GG egyenes párhuzamos a parabola tengelyével.
IV. Írjunk programot a Python, C++, Java, C# programozási nyelvek egyikében, amely: a egy ArverezettObjektum osztályt vezet be az elnevezes karakterlánc típusú privát attribútummal és a kezdetiar egész típusú privát attribútummal. Továbbá adjunk meg egy konstruktort az elnevezes és a kezdetiar attribútumok inicializálására, valamint egy nyilvános getelnevezes( metódust az elnevezes visszatérítésére, és egy nyilvános getkezdetiar( metódust a kezdetiar visszatérítésére. b Adjunk meg egy ObjektumokTablazata osztályt az elemekszama egész típusú privát attribútummal és az elem privát attribútummal, melynek típusa ArveresObjektum elemekből álló táblázat. Továbbá írjunk egy konstruktort az elemekszama és az elem attribútumok inicializálására, valamint egy nyilvános hozzaad nevű metódust, amely egy árverezett objektumot kap paraméterként és hozzáadja azt az elem táblázathoz. Ezenkívül írjunk egy visszaadelem(int pos nyilvános metódust, amely a pos pozíción levő elemet téríti vissza, és egy rendez( metódust, amely az árverezett objektum kezdeti ára szerinti csökkenő sorrendbe rendezi a táblázatot. c Vezessünk be egy függvényt, amely egy, a b pontban megadott ObjektumokTablazata típusú táblázatot hoz létre, ami a következő elemeket tartalmazza: az ArverezettObjektum egy példányát "Laptop" elnevezéssel és kezdeti árral, az ArverezettObjektum egy példányát "Fulhallgatok" elnevezéssel és kezdeti árral, valamint az ArverezettObjektum egy példányát "Auto" elnevezéssel és 8 kezdeti árral. d A program fő függvényében hozzunk létre egy árverezett objektumokból álló táblázatot a c pontban megadott függvény meghívása által, rendezzük a táblázatot a b pontban megadott ObjektumokTablazata osztály rendez( metódusának meghívásával, majd írjuk ki a rendezett táblázatot. Megjegyzések: Ne használjunk rendezett tárolókat. Ne vezessünk be a feladat szövegében megadottakon kívül más metódust. Ne használjunk előre megadott rendezési műveleteket. Munkaidő: 3 óra. Minden tétel kötelező. Minden tétel külön-külön osztályozva lesz ( és közötti értékkel. Az írásbeli vizsga végső jegyét a következő képlet adja: 3 JegyI+JegyII+JegyIII 3 + JegyIV 3
Soluții geometrie Remarcăm, înainte de toate, că ( ( ( a b c A=A p,a, B=B p,b, C= C p,c. Ecuația tangentei într-un punct(x,y al parabolei se scrie prin dedublare, adică Pentru tangenta în A obținem și, analog, pentru tangentele în B și C, și yy = p(x+x. ay= p (x+ a p by= p (x+ b p cy= p (x+ c. p (a Se obține imediat ( bc A = A p, b+c ( ca, B = B p, c+a ( ab, C = C p, a+b. (b Aria triunghiului ABC este Aria ABC = a a 4p b b c c = 4p (a b(b c(c a. Aria triunghiului A B C este Aria A B C = bc b+c 8p ca c+a ab a+b = 8p (a b(b c(c a, de unde rezultatul. (c Un calcul simplu ne arată că ( a + b + c G=G, a+b+c, ( bc+ca+ab G = G, a+b+c, de unde rezultă imediat rezultatul cerut. 3
Universitatea Babeş-Bolyai Cluj-Napoca Facultatea de Matematică şi Informatică Specializarea Matematică Informatică EXAMEN DE LICENŢĂ Proba scrisă 7 iunie 6 Specializarea Matematică Informatică Barem de corectare Algebră. a Definiția.......................................................................5pt b Se arată că nu este parte stabilă..................................................5pt c Demonstrația..................................................................5pt. a Liniaritatea funcției............................................................5pt b,..................................................5pt ( c [ f] v,w =..........................................................5pt 3 Analiză. Cu notația u n = Cn n an are loc D n = a(n+...................................... pt n+ D=lim n D n = 4a..............................................................pt Dacă a< 4, atunci seria este convergentă..........................................5pt Dacă a> 4, atunci seria este divergentă............................................5pt Dacă a= 4, atunci D n = n+ n+, deci R n = n ( D n = n n+.................... pt R=lim n R n = <, deci seria este divergentă................................... pt. (a Cu schimbarea de variabilă x=e t dx e se obține +e x = dt.............. pt (+tt dx e ( +e x = t dt =(lnt ln(+t e e+ = ln...............pt +t xdx (b +x+e x = +x+e x (+e x +x+e x dx= ( (+x+ex +x+e x dx.......... pt xdx +x+e x =(x ln(+x+ex e+ = ln.............................pt
Geometrie ( ( ( a b c a (i Determinarea coordonatelor punctelor A,B,C: A p,a, B p,b, C p,c.. pt (ii Scrierea ecuațiilor tangentelor în A, B,C: ay = p (x+ a, by = p (x+ b, cy = p p p (x+ c p.................................................................5pt ( bc (iii Determinarea coordonatelor lui A,B,C, ca intersecții ale tangentelor: A p, b+c ( ca B p, c+a ( ab, C p, a+b............................................... pt b (i Calculul ariei lui ABC: Aria ABC = (a b(b c(c a...................... pt 4p (ii Calculul ariei lui A B C : Aria A B C = (a b(b c(c a................... pt 8p (iii Demonstrarea relației dintre arii............................................... pt ( a + b + c c (i Determinarea coordonatelor lui G: G, a+b+c..................5pt ( bc+ca+ab (ii Determinarea coordonatelor lui G : G, a+b+c,................5pt (iii Demonstrarea faptului că GG Ox............................................5pt Informatică a Definirea clasei ObiectLicitat (pt din care: atribute................................................................5=.5pt constructor......................................................................5pt metoda denumire(..............................................................5pt metoda pretdepornire(..........................................................5pt b Definirea clasei TablouDeObiecte (3.5pt din care: atribute................................................................5=.5pt constructor......................................................................5pt metoda sortare(................................................................. pt metoda adauga(................................................................5pt metoda elementat(..............................................................5pt metoda getnrelemente(.........................................................5pt c Funcția de creare a tabloului (pt din care: Signatură corectă, declarare tablou si returnare rezultat..............................5pt
Creare obiecte de tipul ObiectLicitat................................... 3.5=.75pt Adăugare obiecte in tablou............................................ 3.5=.75pt d Program principal (.5pt din care: apel funcție construire tablou......................................................5pt apel funcție sortare..............................................................5pt afișare elemente.................................................................5pt 3