21. DIFFERENCIÁLÓ ÉS INTEGRÁLÓ ÁRAMKÖRÖK VIZSGÁLATA

21. DIFFERENCIÁLÓ ÉS INTEGRÁLÓ ÁRAMKÖRÖK VIZSGÁLATA Célkiűzés: A legegyszerűbb elekronikai asszív áramkörök uladonságainak megérése. I. Elmélei áekinés Az 1. ábrán láhaó áramköröke differenciáló (D), illeve inegráló (I) áramkörnek nevezik. Szokásos még a felüláeresző vagy alulvágó, illeve az aluláeresző vagy felülvágó szűrő elnevezés is. A ké áramkör közöi különbsége a kimene eleni. A kimenő feszülség a differenciáló áramkörnél az ellenálláson ( ki,d = R ), az inegráló áramkörnél a kondenzáoron ( ki,i = C ) eső feszülség. be ( ) C R R ki ( ) be ( ) C ki ( ) differenciáló kör Mindké áramkörnél érvényes, hogy 1. ábra inegráló kör I R Q () be() = R() + C() = () +. C (1) A kimenő feszülségek: ki,d () = I() R, illeve Q () ki,i () =. C (2a,b) Ha be () úlnyomó része a kondenzáoron esik, (ami a bemenő feszülség lassú válozása eseén elesül), akkor be () Q()/C, ehá dq () d I C be () () =. d d (3) Ezzel a differenciáló kör kimenő feszülsége: d R I RC be() ki,d() = () =. d (4) 163

Ez indokola a differenciáló áramkör elnevezés. Ha a feszülség megoszlása fordío, azaz R» C, (ami álalában csak rövid ideig elesül), akkor be () I()R és ezér ki,i Q () ( 0) 1 C QC C I Q( 0) 1 () = = + ( ) d = + C CR be ( ) d, (5) 0 0 ehá a kimenő feszülség a bemenő feszülség inegrálával arányos, ezér nevezik ez az áramkör inegráló áramkörnek. A bemenő és a kimenő feszülség kacsolaá álalában az (1) deriválásával kahaó d be () di = () R + 1 I d d () (6) C egyenleből célszerű meghaározni. Példakén vizsgáluk meg a feszülségugrás haásá. Legyen 0, ha < 0; be () = 0, ha 0. (7) A (7) egyenleből kövekezik, hogy a kondenzáor ölése a = 0 időillanaban zérus. Ekkor a (6) egyenlenek az I(0) = 0 /R kezdei feléelhez arozó megoldásá keressük. Könnyen beláhaó, hogy ahol τ = RC. Ennek megfelelően I () = I( 0e ) τ, (8) () = I() R= 0 e τ, (9) ki,d és τ ( ) () = () = () I() R= 0 1 e ki,i C be. (10) A feni ké függvény a 2. ábrán láhaó. Az ábrából lászik, hogy a differenciáló kör kimeneén a feszülségugrás megegyezik a bemenő feszülség érékével, mad a feszülség lassan nullára csökken. A (4) összefüggés csak» τ arományban elesül. Az inegráló kör kimeneén a feszülség kezdeben ( «τ) közelíőleg lineárisan növekszik, ekkor még elesül az (5) összefüggés, mad a feszülség lassan megközelíi bemenő feszülsége. A differenciáló kör kimenő feszülsége = τ idő ala a kezdei érék 37 %-ára csökken, az inegráló kör kimenő feszülsége edig 63 %-ára növekszik. 164

0 be 0 be 0,37 0 ki differenciáló kör 0,63 0 ki inegráló kör 0 0 τ 0 0 τ 2. ábra Oszcilloszkóos vizsgálaoknál egyszeri feszülségugrás helye álalában eriodikus négyszögele kacsolunk az áramkör bemeneére. Ekkor a kimenő feszülség is eriodikus lesz és oszcilloszkóon könnyen vizsgálhaó. A láo ké aól függ, hogy a négyszögel T eriódusidee hogyan viszonyul az áramkör τ = RC időállandóához. A 3. ábrán a T = 20τ, T = 5τ, T = τ és T = 0,2τ eseeknek megfelelő oszcilloszkóos kéeke láuk a D és az I körnél. Megegyezzük, hogy az áramkörök kimenő feszülsége eriodikus elek eseén kissé elér a (9), illeve a (10) összefüggésekől. Ha a eriodikus négyszögel 0 és 0 feszülségek közö válozik, és időben szimmerikus, azaz mindké feszülség eriódusonkén T/2 ideig ar, akkor (i nem részleeze megfonolások szerin) differenciáló áramkörnél: ki,d ki,d 0 τ ()= e, (11) 1 + α 0 τ ( ) = e, (12) 1 + α illeve inegráló áramkörnél: ki,i τ ( 1 α ) ()= 0 + e, (13) 1 + α ki,i 0 τ ( ) = e, (14) 1 + α ahol α = ex( T/2τ), és a idő a feszülség oziív, a ' idő a feszülség negaív irányú ugrásáól mérük. A (11) - (14) összefüggések felírásánál feleük az, hogy a eriodikus ele a mérés elő legalább 10τ idővel előbb bekacsoluk ( sacionárius megoldás ). A differenciáló áramkör kimeneén amin a 3.a ábrán láhaó T» τ eseén egy gyorsan lecsengő feszülségugrás ( üske ) elenik meg. Az ilyen ele imulzusechnikai áramkörökben indíóelkén használák. Ha az időállandó sokkal nagyobb a el eriódusideénél (τ» T), akkor a bemenő és a kimenő elek alaka gyakorlailag ól megegyezik (l. 3.d 165

D T = 20τ I T = 20τ a e D T = 5τ I T = 5τ b f D T = τ I T = τ c g D T = 0,2τ I T = 0,2τ d h 3. ábra ábra). Megegyezzük, hogy ez nemcsak négyszög-, hanem bármilyen el eseén igaz. Ez hasznosíák l. az oszcilloszkóoknál, ahol a bemenei kacsoló AC állásánál a el egy nagy időállandóú differenciáló körön á u a bemenei erősíőre. Ebben a beállíásban egy nagy egyenfeszülségre szueronál kis amliúdóú időben válozó el is könnyen megvizsgálhaó. A differenciáló körön kereszül csak a válófeszülség u á a bemenei erősíőre, így az érzékenység kellően nagyra válaszhaó. Minden erősíő valamilyen τ időállandóú inegráló körnek ekinheő. Ha τ sokkal kisebb, min a vizsgál el időarama, akkor az erősíe el és a kimenő el alaka gyakorlailag megegyezik. A 3.e ábrán láhaó, hogy τ «T eseén az inegráló kör kimeneén láhaó el alaka ól megközelíi a négyszögele. Ha az időállandó növelük, akkor a kimeneen egyre inkább a bemenő feszülség álaga elenik meg és a bemenő el alaka egyre kevésbé 166

veheő ki (l. 3.h ábra). Ez a ény l. a áegységek éíésénél ahol sima egyenfeszülség előállíása a cél is hasznosíák. Szinuszos bemenő feszülség eseén a kimenő feszülsége a komlex imedanciák módszerével lehe legkönnyebben meghaározni. A bemenei feszülség haására a D, illeve az I áramkörben be ( ) I( ) = R + 1 C (15) áram folyik. Ez felhasználva a kimenő feszülsége könnyű felírni. Vezessük be az 1 1 = = RC τ (16) elölés. Az mennyisége ólusfrekvenciának nevezzük. Használaa elenősen egyszerűsíi a frekvenciafüggő hálózaok leírásá. Ekkor (15)-ből egyszerű áalakíások uán C I( ) = be ( ). (17) 1+ Az I() áram segíségével könnyű a kimenő feszülsége megadni: illeve ki,d ( ) = I( ) R= be ( ), (18) 1+ ki,i 1 1 ( ) = I( ) = be ( ). (19) C 1+ A kimenő és bemenő feszülségek kacsolaá célszerű a szűrő a() ávieli függvényével ellemezni: ki ( ) a( ) =. (20) ( ) be 167

Ezzel a D ( ) =, (21) 1+ illeve. a I ( ) 1 =. (22) 1+ ki () és be () kacsolaá komlex szám íra le. Ez az feezi ki, hogy a ké feszülség közö ϕ fáziselérés van. Az elméle szerin: [ a ] [ a ] gϕ = Im ( ). (23) Re ( ) Poziív ϕ eseén ki () sie, negaívnál késik az be () feszülséghez viszonyíva. A differenciáló áramkörnél az «arományban a D () /, ehá ki ()««be (), más szóval a differenciáló kör a kisfrekvenciás eleke erősen csillaía (csökkeni), ezér alulvágó vagy felüláeresző szűrőnek is nevezik; kisfrekvencián ( «), ϕ +π/2; az áramkörre ellemző = körfrekvenciánál a D ( ) = /(1 + ), ehá a D ( ) =1/ 2 és ϕ = π/4; nagy (» ) frekvencián a D () 1, a fáziskésés elhanyagolhaó. Az inegráló körnél kis ( «) frekvencián a I () 1; az frekvenciánál I( ) = 1/(1 + ), ehá a I ( ) = 1/ 2 és a fázisszög π/4; nagy (» ) frekvencián a I () /, azaz a frekvencia növelésével csökken a kimenő feszülség, a fáziskésés edig ar π/2-höz. Ezér nevezik az inegráló áramkör felülvágó vagy aluláeresző szűrőkörnek. Az amliúdó- és fázisviszonyok legegyszerűbben a Bode-diagramon ekinheők á. Ez egy egyszerűsíe, örvonalas ábrázolás. A függőleges engelyen az ávieli függvény abszolú éréké db-ben ábrázoluk, a vízszines engelyen edig a frekvenciá logarimikus léékben vesszük fel. Min ismerees, a db éréke ké feszülség eseén a 2 20lg 1 (24) 168

mennyiség ada. Mos 2 = ki, 1 = be, ehá a záróelben éen a() szereel. Az I. áblázaban áékozódásul néhány a érékhez arozó db érék láhaó. A Bode-féle ábrázolásnál a frekvencia 10-szeres megnövelése az abszcisszán a logarimikus skála mia éen 1-gyel való obbraléés elen. A 10-szeres frekvenciaviszony dekádnak nevezzük. Ezér a diagramon ábrázol egyenesek meredekségé db/dekád-ban szokás kifeezni. Vizsgáluk meg a differenciáló kör Bode-diagramá az ««arományban. Ekkor közelíőleg ebből a D ( ) =, (25) 20lg a D () = 20lg 20lg. (26) Lineáris skálán db skálán 10 20 100 40 1000 60 0,1 20 0,01 40 0,001 60 2 6 1/2 6 1 2 3 I. ábláza a( ) [ db] 20 1 2 3 lg 5 6 7 lg a( ) [ db] 20 1 2 3 lg 5 6 7 lg 40 60 D 40 60 Ι ϕ 90 ϕ 0 1 2 3 lg 5 6 7 lg 45 45 0 1 2 3 lg 5 6 lg 90 4. ábra Mivel az abszcissza engelyen a lg- ábrázoluk (l. 4. ábra), ezér a (26) összefüggés egy olyan egyenes egyenlee, amelynek a meredeksége 20 db/dekád, és az = onban meszi az abszcisszá. Az > arományban a() 1, ami 0 db-nek felel meg. Az inegráló körnél az < arományban a() 1, míg az > arományban 169

20lg ( ) = 20lg+ 20lg. (27) a I Ez egy olyan egyenes egyenlee, amely az = onól indul és a meredeksége 20 db/dekád. A ké áramkör Bode-diagrama és a fázisszög frekvenciafüggése a 4. ábrán láhaó. Ez a függés a legöbb ilyen ellegű áramkörnél elesül. Ha a közelíő egyenes meredeksége 0, akkor a fázisszög is 0. Ha a meredekség oziív, akkor ϕ is oziív, ehá a fázis sie, ha a meredekség negaív, ϕ is az, ehá a fázis késik. (Bonyolulabb áramköröknél a közelíő egyenesek meredeksége 20 k, ahol k egész szám. Ebben az eseben a örésonokól ávol a fázisszög ϕ = kπ /2). A differenciáló kör Bode-diagramán a kisfrekvenciás arományban az egyenes 20 db/dekád meredekségű és ϕ = 90 o. A örésonban ϕ = 45 o, nagyfrekvencián ϕ = 0. Az inegráló körnél kisfrekvencián ( < ) az egyenes meredeksége 0, ϕ = 0. A örésonban ϕ = 45 o. Nagyfrekvencián a meredekség 20 db/dekád, és ϕ = 90 o. Az ábrákon szaggao vonallal razoluk be a() onos éréké. Láhaó, hogy elérés csak öréson közelében van. A örésonban a onos görbe 3 db-lel a közelíő egyenes ala van. II. A mérés menee A differenciáló és az inegráló áramkörök uladonságainak vizsgálaá az 1. ábrán láhaó kacsolásban végezzük. Az egyes áramkörök kacsolóáblán összeállíva alálhaók. A bemenere egy szinuszgeneráor elé csaoluk. Az be és ki méréséhez olyan műszer kell válaszani, ami nagy frekvencián is ól mér. Az ávieli függvénnyel egyideűleg célszerű a fázisszöge is mérni A kaódsugár- oszcilloszkó, mérések oszcilloszkóal című gyakorlanál leír fázisszög-meghaározási módszerek egyikével, vagy fázisszög mérővel. Négyszögellel az áramkörök időállandóa megbecsülheő. Ha T» τ (legalább 5τ = T), akkor a 2. ábra alaán a csillaodásból vagy az emelkedésből τ kiszámíhaó. Ennél a mérésnél az áramkör bemeneére kacsoluk a négyszögele és a kimenő ele oszcilloszkóon vizsgáluk. A függőleges és a vízszines eléríés úgy állísuk be, hogy a ké ól érékelheő legyen. Feladaok: Az alábbi feladaok az inegráló és a differenciáló áramkörrel is végrehahaók. 1. Mérőhíddal mére meg a kiado (D vagy I) áramkör ellenállásának és kondenzáorának éréké! 170

2. Számísa ki éréké, és ebből azoka a frekvenciáka (f = /2π), amelyeknél az ávieli függvény mérésé foga végezni! Legyen a mér frekvenciaaromány (0,1-10)f, és a frekvenciáka úgy válassza meg, hogy a lg f (illeve lg) ábrázolásnál a mérési onok egyenlő ávolságra essenek. Nagyságrendenkén 10 onban méren. (A ólusfrekvencia környékén célszerű sűrűbben mérni.) Számísa ki az f frekvenciákhoz arozó -ka is! 3. Állísa össze a mérőkör és szinuszos bemenő elnél végezze el az a(f), illeve a ϕ = = ϕ(f) mennyiségek számíásához szükséges méréseke! Számísa ki az a() éréké db-ben, valamin ϕ()-e! A mérési eredményeke és az azokból számío érékeke áblázaban rögzíse. Ábrázola a db-ben számío ávieli függvény, valamin a fáziselérés éréké lg függvényében. Az a() grafikonra razola be a Bode-diagramo is! 4. Haározza meg a 3 db-nek megfelelő frekvenciá és hasonlísa össze az R és C mérése alaán kiszámío érékkel! 5. Kacsolon négyszögele az áramkör bemeneére és kimenei el oszcilloszkóos vizsgálaával haározza meg τ éréké mad ebből -! 6. Állísa elő és vizsgála meg, valamin razola le a 3. ábrának megfelelő elalakoka! Néhány mondaban indokola meg a láoaka! Kérdések: 1. Mi a db-ben kifeeze erősíés definícióa? Mi az előnye a db alkalmazásának? 2. Mi a Bode-diagram? 3. Mi a ólusfrekvencia? Mi ennek a fizikai elenése? 4. Hogyan kauk meg a felüláeresző és az aluláeresző szűrő Bode-diagramá? 5. Hogyan kauk meg számíással, illeve méréssel a differenciáló, valamin az inegráló áramkör ólusfrekvenciáá? 6. Miben különbözik az aluláeresző és a felüláeresző szűrő amliúdó- és fáziskarakeriszikáa? 7. Mi a orzíásmenes eláviel feléele? 8. Hogyan különbözeheük meg oszcilloszkóos vizsgálaal a oziív fáziselolódás a negaívól? 9. Differenciáló és inegráló kör eseén milyen frekvenciaarományban igaz az, hogy a kimenő el a bemenő el differenciálhányadosa, illeve inegrála? 171

Aánlo irodalom: 1. Török M.: Elekronika, JATEPress, Szeged, 2000. 2. Fodor Gy.: Elmélei elekroechnika II., Tankönyvkiadó, Budaes, 1987. 3. Simonyi K.: Elmélei villamosságan, Tankönyvkiadó, Budaes, 1967. 172