Térgeometria III. 1. Szabályos háromoldalú gúla alapéle 1 cm, oldaléle 1 cm. Milyen magas a gúla? Tekintsük a következő ábrát: Az alaplap szabályos ABC, így a D csúcs merőleges vetülete a háromszög S súlypontja. Szabályos háromszög esetén a magasság és a súlyvonal egybeesik, vagyis egyenlő hosszúak. A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű BTA - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az alaplap segítségével: AT + 6,5 = 1 AT 11,6 cm. A súlypont a súlyvonal csúcstól távolabbi harmadolópontja: AS = 11,6 7,51 cm. A derékszögű ASD - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a gúla magasságát: DS + 7,51 = 1 DS 19,61 cm 1
. Négyzetes gúla alapéle cm, az oldallapok az alaplappal 6, 6 - os szöget zárnak be. Mekkora a gúla magassága és oldaléle? Tekintsük a következő ábrát: Az FT szakasz az alaplap középvonalának fele: FT = 11 cm. A derékszögű ETF - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a gúla magasságát: tg 6,6 = ET 11 ET,16 cm Számítsuk ki Pitagorasz tétellel az alaplap átlóját: + = AC AC 1,11 cm Számítsuk ki az AT szakasz hosszát: AT = 1,11 = 15,555 cm. A derékszögű ATE - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki a gúla oldalélét: 15,555 +,16 = AE AE 7,07 cm
. Mekkora a felszíne a szabályos hatszög alapú egyenes gúlának, ha az alaplap éle 1, 6 cm, az oldaléle, 7 cm? Tekintsük a következő ábrát: Az egyenlőszárú BCT szárszöge: γ = 60 6 = 60. A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű BF BC T - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a magasságát: tg 0 = 6, TF BC TF BC 10,91 cm Számítsuk ki a BCT területét: T 1 = 1,6 10,91 = 68,7 cm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 6 T 1 = 6 68,7 = 41,98 cm. A derékszögű BF BC G - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az oldallap magasságát: 6,4 + GF BC =,7 GF BC,07 cm Számítsuk ki a BCG területét: T = 1,6,07 0,041 cm. Számítsuk ki a palást területét: T p = 6 T = 6 0,041 = 1 1,46 cm. Ezek alapján a gúla felszíne: A = T a + T p = 41,98 + 1 1,46 = 1 64,644 cm.
4. Mekkora a térfogata annak a szabályos nyolcszög alapú gúlának, amelynek alapéle 4, 6 cm és magassága 5, 7 cm? Tekintsük a következő ábrát: Az egyenlőszárú BCT szárszöge: γ = 60 8 = 45. A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű BF BC T - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a magasságát: tg,5 = 17, TF BC TF BC 41,77 cm Számítsuk ki a BCT területét: T 1 = 4,6 41,77 = 7,61 cm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 8 T 1 = 8 7,61 = 5 780,968 cm. Ezek alapján a gúla térfogata: V = 5 780,968 5,7 101 55,4 cm 0,10 m. 4
5. Egy gúla alaplapja derékszögű háromszög, amelynek befogói 1 cm és 18 cm. A gúla csúcspontjának az alapsíkra eső merőleges vetülete a derékszög csúcsában van. A gúla magassága cm. Számítsd ki a gúla felszínét és térfogatát! Tekintsük a következő ábrát: Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 1 18 = 108 cm. A derékszögű háromszögekből Pitagorasz tétellel számítsuk ki a következőket: 1 + 18 = AB AB 1,6 cm 1 + = AD AD 4,18 cm 18 + = BD BD 6,7 cm Számítsuk ki az oldallapok területét: T 1 = 1 = 19 cm T = 18 = 88 cm T = 46,65 4,65 1,085 9,545 64 cm Számítsuk ki a palást területét: T p = 19 + 88 + 64 = 844 cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a gúla felszínét és térfogatát: A = 108 + 844 = 95 cm V = 108 = 456 cm 5
6. Mekkora a négyoldalú szabályos gúla térfogata, ha palástját kiterítve egy 8 cm oldalú szabályos nyolccszög felét kapjuk? Tekintsük a következő ábrát: Az egyenlőszárú BCE szárszöge: γ = 60 8 = 45. A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű BFE - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a magasságát: tg,5 = 4 EF EF 9,66 cm Az FT szakasz az alaplap középvonalának fele: FT = 8 = 4 cm. A derékszögű ETF - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki a gúla magasságát: 4 + ET = 9,66 ET 8,79 cm Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 8 = 64 cm. Ezek alapján a test térfogata: V = 64 8,79 = 187,5 cm. 6
7. Mekkora a szabályos hatszög alapú gúla térfogata, ha felszíne 7 cm és alapéle 5, 5 cm? Tekintsük a következő ábrát: Az egyenlőszárú BCT szárszöge: γ = 60 6 = 60. A háromszög magassága merőlegesen felezi az alapot és a szárszöget. A derékszögű BF BC T - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a magasságát: tg 0 =,75 TF BC TF BC 4,76 cm Számítsuk ki az ABT területét: T 1 = 5,5 4,76 = 1,09 cm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 6 T 1 = 6 1,09 = 78,54 cm. A felszín segítségével számítsuk ki egy oldallap területét: T = Az oldallap területének segítségével számítsuk ki a magasságát: 7 78,54 6,4 cm.,4 = 5,5 GF BC GF BC 11,7 cm A derékszögű GTF BC - ben Pitagorasz - tétellel számítsuk ki a gúla magasságát: 4,76 + GT = 11,7 GT 10,71 cm Ezek alapján a test térfogata: V = 78,54 10,71 80,9 cm. 7
8. Szabályos négyoldalú gúla térfogata 864 cm, alapélének és magasságának aránya :. Mekkora a felszíne? Az arányoknak megfelelően felírhatjuk a következőket: a = x és M = x. A térfogat segítségével számítsuk ki az x értékét: 864 = (x) x x = 6 cm Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a gúla alapélét és magasságát: a = 1 cm és M = 18 cm. Tekintsük a következő ábrát: Az FT szakasz az alaplap középvonalának fele: FT = 1 = 6 cm. A derékszögű ETF - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az oldallap magasságát: 6 + 18 = EF EF 18,97 cm Számítsuk ki egy oldallap területét: T = 1 18,97 = 11,8 cm. Számítsuk ki a palást területét: T p = 4 T = 4 11,8 = 455,8 cm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 1 = 144 cm. Ezek alapján a gúla felsízne: A = 144 + 455,8 = 599,8 cm. 8
9. Szabályos négyoldalú gúla térfogata 4, 86 m. Oldaléle az alaplappal 46 0 szöget zár be. Mekkora az alapél? Tekintsük a következő ábrát: A számítások váltsuk át a szögpercet fokká: 46 0 46,. Az AT szakasz az alaplap átlójának fele: AT = a. A derékszögű ATE - ben megfelelő szögfüggvénnyel fejezzük ki a magasságot az alapéllel: tg 46, = M a M = a tg 46, 0,74 a A térfogat segítségével számítsuk ki a gúla alapélét: 4,86 = a 0,74 a a,7 m 9
10. Rombusz alapú gúla magasságának talppontja a rombusz középpontjában van, magassága 9 cm, térfogata 6, 5 cm. Az egyik átlóra illeszkedő tengelymetszetének területe 6, 7 cm. Számítsd ki az alapélt és az alaplap szögeit! Tekintsük a következő ábrát A tengelymetszet (háromszög) segítségével számítsuk ki az alaplap átlóját: 6,7 = 9 AC AC 8,16 cm A térfogat segítségével számítsuk ki az alaplap területét: 6,5 = T a 9 T a = 0,84 cm Az alaplap területének segítségével számítsuk ki a másik átló hosszát: 0,84 = 8,16 BD BD 5,11 cm A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást. A derékszögű ABT - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az alaplap élét: 4,08 +,555 = AB AB 4,81 cm A derékszögű ABT - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki az α 1 = TAB szöget: tg α 1 = 4,08,555 α 1 57,94 Ezek alapján kiszámíthatjuk a rombusz szögeinek nagyságát: α = α 1 = 57,94 = 115,88 β = 180 115,88 = 64,1 10
11. Egy 6 cm és 8 cm hosszú oldalakkal rendelkező téglalap alapú egyenes gúla oldalélei 1 cm hosszúak. Az alapsíktól milyen távol kell a gúlát az alappal párhuzamos síkkal metszenünk, hogy két egyenlő térfogatú részre osszuk? Tekintsük a következő ábrát: Számítsuk ki Pitagorasz tétellel az alaplap átlóját: 6 + 8 = BD BD = 10 cm A derékszögű ETB - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a gúla magasságát: 5 + M = 1 M = 1 cm A K középpontú hasonlóság miatt, a síkkal való elmetszés után keletkező kisebb gúla hasonló az eredeti gúlához. Az eredeti gúla térfogata kétszerese a keletkező gúla térfogatának. A térfogatok segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: λ = V V = 1 λ = 1 A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a kisebb gúla magasságát: m 1 = 1 m 9,5 cm Ezek alapján az alapsík és a síkmetszet távolsága: h = 1 9,5 =,48 cm. 11
1. Egy 45 cm magas gúlát az alappal párhuzamos síkokkal három egyenlő térfogatú részekre osztunk. Számítsd ki az egyes részek magasságát! A síkkal való elmetszés után keletkező kisebb gúlák hasonlóak az eredeti gúlához. Az eredeti gúla térfogata - szorosa a legkisebb gúla térfogatának. A térfogatok segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: λ = V 1 V = 1 λ = 1 A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a legkisebb gúla magasságát: m 1 = 1 m 45 1 1, cm Az eredeti gúla térfogata - szerese a középső gúla térfogatának. A térfogatok segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: λ = V V = λ = A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a középső gúla magasságát: m = 45 m 9,1 cm Ezek alapján megkapjuk az egyes részek magasságát: 45 9,1 = 5,69 cm 9,1 1, = 8,11 cm 1, cm 1
1. Egy gúla magassága 14 cm, az alaplaptól 4, cm távolságban levő, az alaplappal párhuzamos síkmetszet területe 60 cm. Számítsd ki a gúla térfogatát! Számítsuk ki a keletkező kisebb gúla magasságát: m = 14 4, = 9,8 cm. A síkkal való elmetszés után keletkező kisebb gúla hasonló az eredeti gúlához. A magasságok segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: λ = m M = 9,8 14 = 0,7. A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a gúla alapterületét: 60 T a = 0,7 T a 1,45 cm Ezek alapján a gúla térfogata: V = 1,45 14 571,4 cm. 14. Öntött vasból készült szabályos négyoldalú gúla tömege 1 01, kg, alapéle 45 cm. Mekkora a magassága, ha a vas sűrűsége 7, 5 A tömeg segítségével számítsuk ki a gúla térfogatát: kg dm? 1 01, = V 7,5 V = 14,96 dm = 14 960 cm A térfogat segítségével számítsuk ki a test magasságát: 14 960 = 45 M M 199,94 cm 0 dm 1
15. Mekkora a forgáskúp nyílásszöge, ha alkotója 16, 4 cm, az alapkör sugara 7, 8 cm? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: A derékszögű ATC - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a kúp fél nyílásszögét: sin φ 1 = 7,8 16,4 φ 1 8,4 Ezek alapján a kúp nyílás szöge: φ = φ 1 = 8,4 = 56,8. 16. Mekkora a forgáskúp kiterített palástjának középponti szöge, ha alkotója 1, 56 cm, magassága 9, 8 cm? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: A derékszögű ATC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki az alapkör sugarát: CT + 9,8 = 1,56 CT 8,46 cm A palást területképleteinek segítségével számítsuk ki a középponti szögét: 8,46 π 1,56 = 1,56 π α 60 α 4,48 14
17. Ferde körkúp leghosszabb alkotója 5 cm, legrövidebb alkotója 9 cm, az alapkör középpontját a csúccsal összekötő szakasz 4, 4 cm. Mekkora az alaplap sugara? Tekintsük a következő ábrát: Legyen a KT szakasz hossza x. Írjuk fel az AT és BT szakaszok hosszát a sugár segítségével: AT = r + x és BT = r x. A derékszögű háromszögekben írjuk fel a Pitagorasz tételt: (r + x) + M = 5 r + r x + x + M = 704 x + M = 4,4 x + M = 1 797,76 (r x) + M = 9 r r x + x + M = 1 51 Az első és harmadik egyenletből vonjuk ki a másdik egyenletet: r + r x = 906,4 r r x = 76,76 Adjuk össze a két egyenletet, s számítsuk ki az alapkör sugarát: r = 69,48 r 17,74 cm 15
18. Mekkora az egyenes körkúp felszíne, ha magassága 11, 5 mm, nyílásszöge 5? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: A kúp fél nyílásszöge: φ 1 = 6. A derékszögű ATC - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a sugarat és az alkotót: cos 6 = 11,5 AC tg 6 = CT 11,5 AC 15,17 mm CT 54,87 mm Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 54,87 π 9 458,45 mm. Számítsuk ki a palást területét: T p = 54,87 π 15,17 1576,7 mm. Ezek alapján a kúp felszíne: A = T a + T p = 9 458,45 + 1576,7 = 1 05,15 mm. 19. Egyenes körkúp kiterített palástja 10 cm sugarú félkör. Mekkora a kúp magassága, alapkörének sugara és nyílásszöge? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: A kúp alkotója: a = 10 cm. 16
A palást területképleteinek segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: r π 10 = 10 π 180 60 r = 5 cm A derékszögű ATC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 5 + AT = 10 AT 8,66 cm A derékszögű ATC - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a kúp fél nyílásszögét: sin φ 1 = 5 10 φ 1 = 0 Ezek alapján a kúp nyílásszöge: φ = 0 = 60. 0. Egy 16, 5 cm magas kúp nyílásszöge 47, 6. Mekkora a kiterített palást középponti szöge és területe? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: A kúp félnyílás szöge: φ 1 =,8. A derékszögű ATC - ben megfelelő szögfüggvénnyel számítsuk ki a sugarat és az alkotót: cos,8 = 16,5 AC tg,8 = CT 16,5 AC 18,0 cm CT 7,8 cm A palást területképleteinek segítségével számítsuk ki a kúp középponti szögét: 7,8 π 18,0 = 18,0 π α 60 α 145,6 17
1. Egy sátorlap területe 8 m. Az egyenes körkúp alakú sátor alapkörének átmérője, m. Milyen magas a sátor? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: A kúp sugara: r = 1,1 m. A palást területének segítségével számítsuk ki az alkotót: 8 = 1,1 π a a,1 m A derékszögű ATC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a sátor magasságát: 1,1 + AT =,1 AT,0 m. Mekkora egy egyenes körkúp felszíne és térfogata, ha alaplapjának sugara, 1 dm és alkotója 4, 8 dm? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: A derékszögű ATC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kúp magasságát:,1 + AT = 4,8 AT,66 dm Számítsuk ki az alaplap területét: T a =,1 π 0,19 dm. Számítsuk ki a palást területét: T p =,1 π 4,8 46,75 dm. 18
Ezek alapján kiszámíthatjuk a kúp felszínét és térfogatát: A = 0,19 + 46,75 = 76,94 dm V = 0,19,66 6,8 dm. Mekkora az egyenes körkúp felszíne és térfogata, ha alkotója 7 cm, magasággának és az alaplap sugarának különbsége pedig cm? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: Fejezzük ki a sugár segítségével a kúp magasságát: M = + r. A derékszögű ATC - ben Pitagorasz tétellel írjuk fel a következőt: r + ( + r) = 7. Az egyenletet rendezve a következő másodfokú egyenlet adódik: r + 66r 4 095 = 0. A megoldó képlet segítségével kapjuk, hogy a megoldások r 1 1,66 és r 64,66. Az r nem felel meg a feladat szövegének. A visszahelyettesítés után megkapjuk a kúp magasságát: M = 64,66 cm. Számítsuk ki a kúp alapjának területét: T a = 1,66 π 148,99 cm. Számítsuk ki a kúp palástjának területét: T p = 1,66 π 7 7 161, cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a kúp felszínét és térfogatát: A = 148,99 + 7 161, = 10 10,1 cm V = 148,99 64,66 67 871, cm 19
4. Mekkora az egyenlő oldalú kúp alkotója, ha a felszíne 1 m? (Egy kúp egyenlő oldalú, ha egyenes körkúp és tengelymetszete szabályos háromszög.) Az egyenlő oldalú kúp alkotója kétszerese az alapkör sugarának: a = r. A felszín segítségével számítsuk ki a kúp sugarát: 1 = r π + r π r r 0, m Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a kúp alkotóját: a = 0,66 m. 5. Mekkora az egyenes körkúp felszíne, ha térfogata 47 cm, alkotója pedig háromszor akora, mint az alapkör sugara? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: Fejezzük ki az alapkör sugarának segítségével a kúp alkotóját: a = r. A derékszögű ATC - ben fejezzük ki az alapkör sugarának segítségével a kúp magasságát: r + M = (r) M = r 8 A térfogat segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 47 = r π r 8 r 4,7 cm Ezt visszahelyettesítve kapjuk az alkotót és magasságot: a 1,11 cm és M 1,6 cm. Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 4,7 π 59,99 cm. Számítsuk ki a palást területét: T p = 4,7 π 1,11 179,98 cm. Ezek alapján a kúp felszíne: A = 59,99 + 179,98 = 9,97 cm. 0
6. Egyenes körkúp palástja kiterítve 1 cm sugarú, 40 középponti szögű körcikk. Mekkora a térfogata? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: A kúp alkotója: a = 1 cm. A palást területképleteinek segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: r π 1 = 1 π 40 60 r 8 cm A derékszögű ATC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 8 + AT = 1 AT 8,94 cm Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 8 π 01,06 cm. Ezek alapján a kúp térfogata: V = 01,06 8,94 599,16 cm. 7. Egyenes körkúp alapkörének sugara 6 cm. A palást területe kétszer akkora, mint az alapköré. Mekkora a kúp térfogata? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: Számítsuk ki az alaplap területét: T a = 6 π 11,1 cm. 1
Számítsuk ki a palást területét: T p = 11,1 = 6, cm. A palást területének segítségével számítsuk ki az alkotót: 6, = 6 π a a 1 cm A derékszögű ATC - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 6 + AT = 1 AT 10,9 cm Ezek alapján a kúp térfogata: V = 11,1 10,9 = 91,70 cm. 8. Egyenes körkúp tengelymetszetének területe 400 cm, az alkotók az alaplappal 65 - os szöget zárnak be. Mekkora a kúp felszíne és térfogata? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: A derékszögű BTA - ben fejezzük ki az alapkör sugarának segítségével a kúp magasságát: tg 65 = M r M = r tg 65 Számítsuk ki a tengelymetszet területének segítségével az alapkör sugarát: 400 = r r tg 65 r 1,66 cm Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a kúp magasságát: M = 1,66 tg 65 9,9 cm. A derékszögű BTA - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kúp alkotóját: 1,66 + 9,9 = AB AB, cm
Számítsuk ki a kúp alapjának területét: T a = 1,66 π 586,1 cm. Számítsuk ki a kúp palástjának területét: T p = 1,66 π, 186,99 cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a kúp felszínét és térfogatát: A = 586,1 + 186,99 = 197, cm V = 586,1 9,9 57,6 cm 9. Egyenes körkúp felszíne 0 m, az alkotók az alaplappal 5 - os szöget zárnak be. Mekkora a kúp térfogata? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: A derékszögű BTA - ben fejezzük ki az alapkör sugarának segítségével a kúp alkotóját: cos 5 = r a a = r cos 5 A felszín segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 0 = r π + r π r cos 5 r 1,69 m Ezt visszahelyettesítve megkapjuk az alkotót: a = 1,69,06 m. cos 5 A derékszögű BTA - ben Pitagorasz tétellel számítsuk ki a kúp magasságát: 1,69 + AT =,06 AT 1,18 m Számítsuk ki a kúp alapjának területét: T a = 1,69 π 8,97 m. Ezek alapján a kúp térfogata: V = 8,97 1,18,5 m.
0. A kiöntött homok egyenes körkúp alakú, melynek alkotói az alaplappal 1 - os szöget zárnak be. Milyen magas és széles az a homokkúp, amelyben 15 m homok van? Tekintsük a kúp tengelymetszetét: A derékszögű BTA - ben fejezzük ki az alapkör sugarának segítségével a kúp magasságát: tg 1 = M r M = r tg 1 A térfogat segítségével számítsuk ki az alapkör sugarát: 15 = r π r tg 1 r,88 m Ezt visszahelyettesítve megkapjuk a magasságot: M =,88 tg 1 1,7 m. A kúp szélessége: BC =,88 = 5,76 m. 1. Két egyenes körkúpnak közös az alaplapja. A csúcsok az alapsík ugyanazon oldalán vannak. Az egyiknek az alkotói az alaplappal 78 50, a másikéi 5 40 szöget zárnak be. Az alapkör sugara 5 cm. Mekkora a két palást közt levő térrész felszíne és térfogata? Tekintsük a kúpok tengelymetszetét: 4
A számítások előtt váltsuk át a szögperceket fokokká: 78 50 78,8 és 5 40 5,66. Először számítsuk ki a külső kúp térfogatát és palástjának területét. A derékszögű BTA - ben szögfüggvénnyel számítsuk ki az alkotót és a magasságot: cos 78,8 = 5 AB tg 78,8 = AT 5 AB 5,81 cm AT 5, cm Számítsuk ki a kúp alapjának területét: T a = 5 π 78,54 cm. Számítsuk ki a kúp palástjának területét: T p = 5 π 5,81 405,4 cm. Ezek alapján a kúp térfogata: V k = 78,54 5, 66,88 cm. Most számítsuk ki a belső kúp térfogatát és palástjának területét. A derékszögű ATC - ben szögfüggvénnyel számítsuk ki az alkotót és a magasságot: cos 5,66 = 5 CD tg 5,66 = DT 5 CD 5,55 cm DT,4 cm Számítsuk ki a kúp alapjának területét: T a = 5 π 78,54 cm. Számítsuk ki a kúp palástjának területét: T p = 5 π 5,55 87,18 cm. Ezek alapján a kúp térfogata: V b = 78,54,4 = 6,8 cm. Ezek alapján kiszámíthatjuk a térrész felszínét és térfogatát: A = 405,4 + 87,18 = 49,6 cm V = 66,88 6,8 = 600,048 cm 5
. Egy 10 cm alapsugarú és 18 cm magsságú egyenes körkúpból egy 8 cm alapsugarú, egyenes körkúp alakú részt kivágnak. A két kúpnak közös a tengelye és egyenlő a nyílásszöge. Mekkora a megmaradt rész térfogata? A keletkező kisebb kúp hasonló az eredeti kúphoz. A sugaruk segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: λ = r r = 8 10 = 4 5. A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a keletkező kúp magasságát: M 18 = 4 5 m 14,4 cm Számítsuk ki az eredeti kúp térfogatát: V = 10 π 18 Számítsuk ki a keletkező kúp térfogatát: V = 8 π 14,4 1 884,96 cm. 965,1 cm. Ezek alapján a megmaradt rész térfogata: V = 1 884,96 965,1 = 919,86 cm.. Egy 46 cm magas egyenes körkúpot a csúcstól számítva mekkora távolságban kell az alaplappal párhuzamos síkkal elmetszeni, hagy a palást területét felezzük? A síkkal való metszés után keletkező kisebb kúp hasonló az eredeti gúlához. Az eredeti kúp palástjának területe kétszerese a keletkező kúp palástjának területe. A területek segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: λ = T T = 1 λ = 1 A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a keletkező kúp magasságát: M 46 = 1 M,5cm Ezek alapján a csúcstól,5 cm re kell elmetszeni. 6
4. Egyenes körkúp magassága 4, 6 cm, alaplapjának sugara 1, 7 cm. A csúcstól milyen távolságban kell a kúpot az alaplappal párhuzamos síkkal metszeni, hogy a két rész térfogata egyenlő legyen. Mekkora a síkmetszet sugara? A síkkal való metszés után keletkező kisebb kúp hasonló az eredeti gúlához. Az eredeti kúp térfogata kétszerese a keletkező kúp térfogatának. A térfogatok segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: λ = V V = 1 λ = 1 A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a keletkező kúp sugarát: r 1,7 = 1 r 10,08 cm A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a keletkező kúp magasságát: M 4,6 = 1 M,81 cm Ezek alapján a csúcstól,81 cm re kell elmetszeni. 5. Egy cm magas egyenes körkúpot a csúcstól számítva mekkora távolságban kell az alaplappal párhuzamos két síkkal metszeni, hogy a palást területét három egyenlő részre osszuk? Tekintsük a következő ábrát: A síkokkal való elmetszés után keletkező kisebb kúpok hasonlóak az eredeti kúphoz. 7
Az eredeti kúp palástjának területe - szorosa a legkisebb kúp palástjának területének. A területek segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: λ = T 1 T = 1 λ = 1 A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a legkisebb kúp magasságát: m 1 = 1 m 1 19,05 cm A szöveg alapján az eredeti kúp palástja - szerese a középső kúp palástjának. A területek segítségével számítsuk ki a hasonlóság arányát: λ = T T = λ = A hasonlóság arányának segítségével számítsuk ki a legkisebb kúp magasságát: m = m 6,94 cm Ezek alapján a csúcstól 19,05 cm re és 6,94 cm re kell elmetszeni. 8