Geometria IV. 1. Szerkessz egy adott körhöz egy adott külső ponton átmenő érintőket! Jelöljük az adott kört k val, a kör középpontját O val, az adott külső pontot pedig P vel. A szerkesztéshez azt használjuk fel, hogy az érintő merőleges a sugárra. Ezek alapján a kör középpontja, az érintési pont és a külső pont egy derékszögű háromszöget határoznak meg. 1. lépés: Szerkesszük meg az OP szakasz Thalesz körét. 2. lépés: Az adott kör és a Thalesz kör metszéspontjai lesznek az E 1, E 2 érintési pontok. 3. lépés: A külső ponton és az érintési pontokon át rajzoljuk meg az érintőket. 1
2. Szerkessz két adott körhöz külső érintőket! Jelöljük a két kört k 1, k 2 vel, a körök középpontjait O 1, O 2 vel, a két kör sugarát pedig r, R rel, ahol R > r. 1. lépés: Szerkesszük meg az O 2 középpontú R r sugarú kört. 2. lépés: Szerkesszük meg az O 1 O 2 szakasz Thalesz körét. 3. lépés: A megszerkesztett két kör metszéspontját jelöljük E 1, E 2 - vel. 4. lépés: Rajzoljuk meg az O 2 E 1 és O 2 E 2 félegyeneseket. 5. lépés: A félegyenesek és az adott kör metszéspontjai lesznek az E 1, E 2 érintési pontok. 6. lépés: Rajzoljuk meg az O 1 E 1 és O 1 E 2 szakaszokat. 7. lépés: A szakaszokat toljuk el az E 1, E 2 érintési pontokba, s így megkapjuk az érintőket. 2
3. Szerkessz két adott körhöz belső érintőket! Jelöljük a két kört k 1, k 2 vel, a körök középpontjait O 1, O 2 vel, a két kör sugarát pedig r, R rel, ahol R > r. 1. lépés: Szerkesszük meg az O 2 középpontú R + r sugarú kört. 2. lépés: Szerkesszük meg az O 1 O 2 szakasz Thalesz körét. 3. lépés: A megszerkesztett két kör metszéspontját jelöljük E 1, E 2 - vel. 4. lépés: Rajzoljuk meg az O 2 E 1 és O 2 E 2 félegyeneseket. 5. lépés: A félegyenesek és az adott kör metszéspontjai lesznek az E 1, E 2 érintési pontok. 6. lépés: Rajzoljuk meg az O 1 E 1 és O 1 E 2 szakaszokat. 7. lépés: A szakaszokat toljuk el az E 1, E 2 érintési pontokba, s így megkapjuk az érintőket. 3
4. Szerkeszd meg egy adott háromszög Euler egyenesét! Az Euler egyeneshez meg kell szerkesztenünk a háromszög magasságpontját, súlypontját és köré írt körének középpontját. 4
5. Szerkeszd meg egy adott háromszög Simson egyenesét! A háromszög köré írt körén vegyünk fel egy tetszőleges P pontot. A P ponthoz tartozó Simson egyeneshez meg kell szerkesztenünk a pontból a háromszög oldalaira bocsátott merőlegesek talppontjait. 5
6. Szerkeszd meg egy adott háromszög Feuerbach körét! A Feuerbach körhöz meg kell szerkesztenünk a kör középpontját, amely az OM szakasz felezőpontja, ahol az O pont a háromszög köré írt kör középpontja, az M pont pedig a háromszög magasságpontja. 6
7. Szerkessz szabályos hatszöget! A szabályos hatszöget úgy szerkeszthetjük meg, ha a kör egy tetszőleges pontjából körzünk a sugárral. A körön keletkező metszéspontból ismét körzünk a sugárral. Ezt addig folytatjuk, amíg vissza nem térünk az eredeti pontunkba. 8. Szerkessz szabályos nyolcszöget! 1. lépés: A kör egy tetszőleges pontját kössük össze a kör középpontjával. 2. lépés: Szerkesszünk 360 8 = 45 - os szöget úgy, hogy az egyik szögszára a szakasz legyen. 3. lépés: a másik szögszár és a kör metszéspontja lesz a sokszög egy újabb pontja. 4. lépés: A sokszög két pontjának távolságát vegyük körzőnyílásba és körözzünk tovább. 5. lépés: A körzést addig folytatjuk, amíg a kezdeti pontba nem jutunk vissza. 7
9. Szerkessz szabályos háromszöget, ha adott a beírt kör sugara! 1. lépés: Szerkesszünk kört az adott sugárral. 2. lépés: A kört bontsuk fel 360 3 = 120 - os szögtartományokra. 3. lépés: A szögszárak körrel vett metszéspontjaiból állítsunk merőlegest a sugarakra. 4. lépés: A merőlegesek metszéspontjai lesznek a szabályos háromszög csúcsai. 8
10. Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, ha adott a t szimmetriatengelye, rajta a C csúcs és az A csúcsra illeszkedő a egyenes, illetve a B csúcson átmenő b egyenes! 1. lépés: Tükrözzük az a egyenest a t tengelyre, s legyen a képe a. 2. lépés: Tükrözzük a b egyenest a t tengelyre, s legyen a képe b. 3. lépés: Az a és b egyenesek metszéspontja: A = B. 4. lépés: A b és a egyenesek metszéspontja: B = A. 9
11. Szerkesszünk paralelogrammát, ha adott az A és B csúcsa, illetve a C csúcsára illeszkedő c egyenes és a D csúcsán átmenő d kör! 1. lépés: Toljuk el az c egyenest a BA vektorral, s legyen a képe c. 2. lépés: Toljuk el a k kört az az AB vektorral, s legyen a képe k. 3. lépés: A c és k metszéspontja: C = D. 4. lépés: A k és c metszéspontja: D = C. 10
12. Adott a síkban egy szögtartomány, azon belül egy D pont. Szerkessz négyzetet, amelynek egyik csúcsa a D pont és két szemközti csúcsa egy egy szögszáron van! 1. lépés: Forgassuk el az a szögszárat a D pont körül 90 - kal, s legyen a képe a. 2. lépés: Forgassuk el a c szögszárat a D pont körül 90 - kal, s legyen a képe c. 3. lépés: A a és c metszéspontja: A = C. 4. lépés: A c és a metszéspontja: C = A. 5. lépés: Az A csúcson keresztül húzzunk párhuzamost a CD szakasszal. 6. lépés A C csúcson keresztül húzzunk párhuzamost az AD szakasszal. 7. lépés: A két párhuzamos metszéspontja lesz a négyzet B csúcsa. 11
13. Szerkeszd körvonalat, ha adott 3 pontja! Az adott pontok meghatároznak egy háromszöget. Ezek alapján a keresett kör a háromszög köré írt köre. 14. Szerkeszd meg egy adott kör ismeretlen középpontját! Vegyünk fel a körön két húrt és szerkesszük meg a húrok felezőmerőlegesét. A felező merőlegesek éppen a kör középpontjában metszik egymást. 12
15. Szerkessz háromszöget, ha c = 5 cm, R = 4 cm és α = 60! 1. lépés: Szerkesszük meg a c oldalt, így megkapjuk a háromszög A és B csúcsát. 2. lépés: Szerkesszük meg az A csúcsnál a 60 - os szöget. 3. lépés: Szerkesszünk 4 cm sugarú köröket az A és B középpontokkal. 4. lépés: A két kör metszéspontja lesz a háromszög köré írt kör O középpontja. 5. lépés: Szerkesszük meg a háromszög köré írt körét. 6. lépés: A köré írt kör és a 60 - os szög szárának metszéspontja lesz a háromszög C csúcsa. 13
16. Szerkessz háromszöget, ha adott a beírt kör mindhárom érintési pontja! Az érintési pontokat kössük össze a beírt kör középpontjával, s állítsunk merőlegest a sugarakra. A merőlegesek metszéspontjai lesznek a háromszög csúcsai. 17. Szerkessz háromszöget, ha adott a 3 középvonala! A középvonalak egy háromszöget határoznak meg. Húzzunk párhuzamosokat a középvonalakkal a szemben levő csúcsokon keresztül. A párhuzamosok metszéspontjai lesznek a háromszög csúcspontjai. 14
18. Szerkessz háromszöget, ha c = 7 cm, R = 5 cm és s c = 2 cm! 1. lépés: Szerkesszük meg a c oldalt, így megkapjuk a háromszög A és B csúcsát. 2. lépés: Szerkesszünk kört a c oldal felezőpontjából 2 cm sugárral. 3. lépés: Szerkesszünk 5 cm sugarú köröket az A és B középpontokkal. 4. lépés: A két kör metszéspontja lesz a háromszög köré írt kör O középpontja. 5. lépés: Szerkesszük meg a háromszög köré írt körét. 6. lépés: A köré írt kör és a 2 cm sugarú kör metszéspontja lesz a háromszög C csúcsa. 15
19. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha az átfogó 8 cm, az átfogóhoz tartozó magasság pedig 3 cm hosszú! 1. lépés: Szerkesszük meg a c átfogót, így megkapjuk a háromszög A és B csúcsát. 2. lépés: Szerkesszünk Thalesz - kört az átfogó fölé. 3. lépés: Szerkesszünk az átfogótól 3 cm távolságra párhuzamos egyeneseket. 4. lépés: A párhuzamosok és a Thalesz kör metszéspontja lesz a háromszög C csúcsa. 16
20. Írd fel az α = 12 15 szöget úgy, hogy ne legyen benne szögperc! Mivel 1 fok 60 szögpercből áll, ezért a megoldás: 15 = 15 60 = 0,25, vagyis α = 12,25. 21. Váltsd át radiánba az α = 43, 7 szöget! Fokból radiánba a következő képlettel térhetünk át: α 180 π. Ezek alapján a megoldás: α = 43,7 = 43,7 π 0,76 rad. 180 22. Váltsd át fokba az α = 1, 2 radiánban megadott szöget! Radiánból fokba a következő képlettel térhetünk át: α π 180. Ezek alapján a megoldás: α = 1,2 rad = 1,2 180 68,79 π 23. Az ábra alapján sorolj fel szögpárokat! Egyállású szögek: (1; 5), (2; 10), (3; 15), (4; 8), Váltó szögek: (1; 7), (2; 12), (3; 13), (4; 6), Csúcsszögek: (1; 3), (2; 4), (5; 7), (6; 8), Társszögek: (1; 6), (2; 9), (3; 14), (4; 7), Mellékszögek: (1; 2), (1; 4), (2; 3), (3; 4), 17
24. Mennyi olyan egybevágósági transzformáció van, amely egy szabályos tízszöget önmagába visz át? Soroljuk fel a megfelelő transzformációkat. Tengelyes tükrözés: 10 darab. Középpontos tükrözés: 1 darab. Elforgatás: 36, 72, 108, 144, 180, 216, 252, 288, 314, 360 10 darab. Eltolás: Nincs ilyen transzformáció. Identitás: 1 darab. Az identitás 360 - os, a középpontos tükrözés pedig 180 - os elforgatásnak felel meg. Ezek alapján összesen 20 különböző egybevágósági transzformációval lehet a szabályos tízszöget önmagába vinni. 25. Mennyi szimmetriatengelye és átlója van egy szabályos tizennyolcszögnek? Mennyi különböző hosszúságú átló húzható egy pontjából? A szimmetriatengelyek száma: 18 darab. Az összes átló száma: 18 (18 3) 2 = 135 darab. Egy csúcsból összesen 15 átló húzható. A szimmetria miatt ezekből 7 7 azonos hosszúságú. Ezek alapján 7 + 1 = 8 különböző hosszúságú átló húzható egy pontból. 26. Számítsd ki egy szabályos huszonnégyszög belső, illetve külső szögének nagyságát! A sokszög belső szögének nagysága: (24 2) 180 A sokszög külső szögének nagysága: 360 24 = 15. 24 = 165. 18
27. Számítsd ki az 5 cm sugarú körben, az α = 50 - os középponti szöghöz tartozó körív hosszát, illetve a körcikk területét! A körív hossza: i = 2rπ α 360 A körcikk területe: T körcikk = r 2 π 50 = 2 5 π = 4,36 cm. 360 α = 360 52 π 50 = 10,9 360 cm2. 28. Mekkora az 5 cm sugarú kör azon körcikkének ívhossza, amelynek területe 16 cm 2? Először számítsuk ki a körcikk területéből a középponti szög nagyságát: 16 = 5 2 π α 360 α = 73,37 Ezek alapján a körív hossza: i = 2 5 π 73,37 360 6,4 cm. 19