Huszk@ Jenő 3.. É-matek matek Módszertani segédlet csak diá koknak! Hogyan elemezzük ki a feladatot? Hogyan alkossunk önmagunk számára szemléletes modellt? Hogyan keressük meg a modell és a matematikai ismeretek kapcsolatait? Hogyan haladjunk lépésről lépésre a teljes megoldás felé? RÉSZLET A VEKTOROK TÉMAKÖRBŐL! Ebben a sorozatban ötletek és eljárások sokasága szerepel, amelyek nem biztos, hogy a legjobbak, de hasznosak! Van egyáltalán legjobb ötlet? Akinek nincs egyetlen ötlete sem, annak biztosan segít ez a sorozat az önáll ó ö tlethez vezet ő út megtalálásában! Akinek van, az bővítheti ötlettárát! Minél több ö tletünk van egy-egy probléma megoldására, annál kreatívabbak lehetünk munkánk során! É -matek: Csak azoknak, akik a kudarcfélelem nélküli és sikeres Érettségi vizsgára készülnek! Példa () Adott az alábbi KLMN téglalap, amelynek oldalain megjelölt pontok harmadoló-, illetve negyedelőpontok. Továbbá: KA a a és KR b b továbbiakban bázisvektorok a) Ábrázolja az alábbi vektorokat úgy, hogy kezdő- és végpontjuk is a KLMN téglalap kerületén megjelölt egy -egy pont legyen: 3 ( ) : a b; () : a + b (3) : (a (3a! 3 b) Írja fel (adja meg) a két bázisvektor segítségével az ábrán berajzolt vektorokat! c) Határozza meg a fenti vektorok koordinátáit!
Huszk@ Jenő Fontos tanács, hogy a megadott ábra mindig legyen a szemünk előtt, hiszen a feltételek megadását is onnan tudjuk ellenőrizni, számunkra érthetővé és nyilvánvalóvá tenni. Az emberek közel 8%-a dominánsan vizuális tanulási stílussal rendelkezik, ami természetesen nem hiba, vagy elmarasztalandó. Inkább azt kell tudni, hogy ennél a tanulási stílusnál a látásnak kiemelt szerepe van, ezért minden lehetőséget meg kell ragadni ennek érdekében. Értelmezés, kapcsolatkeresés..,oldalain megjelölt pontok harmadoló-, illetve negyedelőpontok. A téglalap nem szorul magyarázatra, mivel ezt a derékszögű paralelogrammát mindenki ismeri. A harmadolópontok azok a pontok, amelyek az oldalt három egyenlő részre osztják (itt S; R; vagy Q; P). Beszélhetünk pl. a K-hoz közelebbi harmadolópontról (R), vagy az N-hez közelebbihez (S). A negyedelőpontok (három van belőle) az adott oldalt 4 egyenlő részre osztják. Itt is lehet valamelyik végponthoz közelebbi negyedelőpontról beszélni...,bázisvektorok. Egymással nem párhuzamos vektorok. Ezek lineáris kombinációjával (számszorosaik összegével vagy különbségével) kell kifejezni a megadott vektorokat. Itt az előállított vektor kezdőpontjának (kiindulási pont) és végpontjának (ahova mutat) a téglalap kerületén kell hogy legyen. (A vektor fogalmával kapcsolatos ismereteket kell rendszerezni!) Részekre bontás, beazonosítás a) Ábrázolja az alábbi vektorokat úgy, hogy kezdő- és végpontjuk is a KLMN téglalap kerületén megjelölt egy -egy pont legyen. Szedjük részekre a három feladatot. Ahol szükséges és lehet, ott az ábrázolás előtt a megfelelő összevonásokat végezzük el! ( ) : a b; A különbségvektor mindig a kivonandó végpontjából mutat a kisebbítendő vektor végpontjába. Amelyik vektort kivonjuk az a kivonandó vektor!
3 Huszk@ Jenő ( ) : a + b Most a két vektor szám-szorosának az összegét kell ábrázolni. Mivel mind a két szám pozitív, így az eredeti vektorok iránya nem változik. A hosszuk igen! Az egyik hossza felére, a másik kétszeresére! b a 3 ( 3) : (a (3a 3 A vektorok műveleti tulajdonságait felhasználva célszerű a kijelölt műveletek elvégzésével használhatóbb alakra hozni! 3 ( 3) : (a (3a a b a + b 3 Mivel a kapott vektor egy nullvektor (iránya tetszőleges, hossza nulla), ennek bármelyik pont megfelel a téglalap kerületén.
4 Huszk@ Jenő b) Írja fel (adja meg) a két bázisvektor segítségével az ábrán berajzolt vektorokat! A feladat lényegében nem más, mint a kiválasztott vektor felbontása, az adott bázisvektorokkal páthuzamos összetevőkre. Jó gyakorlat arra is, hogy a felbontandó vektor koordinátáit meghatározzuk, az adott bázisvektorokra vonatkozóan. Ha egyenlő vektorokat, vagy egyenlő hosszúságú és párhuzamos vektorokat sikerül találni, akkor egyszerűsödik a feladat megoldása! Nagy segítség, ha a felbontandó vektort és a bázisvektorok szám-szorosait egy háromszögbe tudjuk foglalni. Természetesen kihasználjuk, hogy a téglalap szemközti oldalainak a hossza egyenlő, így a megfelelő részek is egyenlő hosszúak. Felbontások és azok indoklása A B A N A K + KN a 3b 3 + B B 3 a PM KS b PN PM + MN b a MK MN + NK a 3b LR LK + KR a + b SP LR ( a + b) a b c) Határozza meg a fenti vektorok koordinátáit! Az adott bázisvektorokra vonatkoztatott koordináták, a lineáris kombinációban szereplő számok, ha megadjuk a vektorok sorrendjét. Legyen itt: a; b A3 B ( ;3) B3B ( LR( ;) ;) MK ( ; 3) PM (;) SP(; ) PN ( ;)
5 Huszk@ Jenő Példa () Egy kismotoros repülőgép szélcsendben nyugatról keletre halad m/sec sebességgel, de a gépre 3 m/sec sebességű felfelé ható légáramlás és északi 3 m/sec sebességű szél hat. Határozza meg, hogyan, milyen irányban és mekkora sebességgel halad a gép! Az ilyen típusú feladatok megoldásához nagyon körültekintően kell hozzákezdeni! Az első, amit fontos észrevenni, hogy itt, egy térbeli mozgásról van szó. Az égtájakat tekintve még síkban modellezhető a feladat, de a felfelé irányuló mozgás a térbeliséget egyértelműen meghatározza. Kapcsolatkeresés, részekre bontás., nyugatról keletre halad m/sec sebességgel;.3 m/sec sebességű felfelé ható légáramlás, és északi 3 m/sec sebességű szél hat. Ha megfigyeljük a három irányt, akkor megállapítható, hogy ezek egymásra merőlegesek, olyanok, mint egy téglatest egy csúcspontjából kiinduló élek. Mivel a repülőgép sebességvektorát ez a három vektor határozza meg, így ezek eredője lesz a repülőgép sebessége. (A sebesség vektormennyiség!) A j ó szemléltet ő rajz nélkülözhetetlen 3 3 9 9 A repülőgép sebességvektora a téglatest testátlója. Ennek hossza a téglatest átlóiból: v 3 3 + 3 + 578 4,4 4m / sec Ezen belül a 3 és egységnyi oldalú téglalap átlója, az eredő vektor földi merőleges vetülete: 3 + 569 3,85m / sec Ezzel válaszolhatunk a kérdés egyik részére: a repülőgép kb. 4m/sec sebességgel halad.
6 Huszk@ Jenő Értelmezés, új összefüggések keresése.,hogyan, milyen irányban? Az irány kelet-északkelet, valamint felfelé. A hogyan kérdésre csak akkor tudunk válaszolni, ha meghatározzuk az emelkedési szöget, valamint azt a szöget, amelyet az eredeti (keleti) iránnyal az eredő vektor bezár. Mivel az eredővektor térbeli vektor, így a keleti iránnyal bezárt szöge alatt a merőleges vetületének (földi) a keleti iránnyal bezárt szögét értjük. A szögek maghatározásához tovább kell bontanunk a térbeli ábrát. Az eredő vektor merőleges vetülete Emelkedési szög A keleti iránnyal bezárt szög Célszer ű kivenni a két derékszög ű háromszöget! α 3,85 3 4 β 3,85 3 Az ismert szögfüggvények bármelyikének az alkalmazásával a szögek kiszámíthatók: tgα sin β 3 3 4,65,5 α β 33, 7,8 33 7 a keleti iránnyal bezárt szög az emelkedési szög
7 Huszk@ Jenő Példa (3) Bontsa fel az x( 6;) a( ;5) b( ;) vektort a következő vektorokkal párhuzamos összetevőkre: A megoldandó feladat azt kéri, hogy az utóbbi két vektor, mint bázisvektorok felhasználásával fejezzük ki (azok lineáris kombinációjával, a bázisvektorok szám-szorosainak összegével) az x vektort. A feladat lényege: határozzuk meg azokat a valós számokat, amelyekkel a bázisvektorokat megszorozva és ezeket összegezve az előállítandó vektort kapjuk. Ez csak akkor lehetséges, ha a bázisvektorok nem párhuzamosak. Ha két vektor párhuzamos, akkor az egyik vektor a másik szám-szorosa (nem nullvektorok természetesen, mert azok is párhuzamosak). Mivel itt a megfelelő koordináták hányadosa nem egyenlő, ezért a két vektor biztosan nem párhuzamos, lehetnek bázisvektorok. Kapcsolatkeresés, beazonosítás A következőkben felhasználjuk: () ha egy koordinátákkal adott vektort megszorzunk egy valós számmal, akkor mindkét koordinátáját meg kell szorozni; () az összegvektor koordinátái az összetevő vektorok koordinátáinak az összege; (3) ha két vektor egyenlő, akkor a megfelelő koordinátáik is egyenlők. Készítsünk értelmez ő rajzot a vektorok felbonthatósági tételé nek szemléltetésére! a // α a α a β b b // β b x α a + β b x( α ; β ) A fentiek [ (), (), (3)] felhasználásával a konkrét összefüggések: α a(α ;5α ); x( 6;) α a + β b( β ;β ) α a + β b(α β ;5α + β ) β b(α β ;5α + β ) 6 α β ; 5α + β
8 Huszk@ Jenő Új ismeretek, eljárások is szükségesek lehetnek Ezek után az α ; β ; valós számokat kell meghatározni az egyenletrendszer megoldásával. () 6 α β ; 5α + β / 5 () 6 5α + β () + () 54 7α α ; β Ezek az értékek a felbontásban (lineáris kombinációban) szereplő valós számok. Válasz a kérdésre: x a + b
9 Huszk@ Jenő Példa (4) Tudjuk, hogyha egy test elmozdulása s, akkor egy, a testre ható, állandó F erő az elmozdulás során F s munkát végez. Legyen a test elmozdulásának nagysága, méter, a testre ható állandó erő pedig 7 N nagyságú. Mekkora munkát végzett az erő, ha: a) a test kelet felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig nyugati irányban mutatott? b) a test nyugat felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig dél felé mutatott? c)a test délkelet felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig kelet felé mutatott? d) a test észak felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig délnyugat felé mutatott? Kapcsolatkeresés, beazonosítás A fizika tanulmányok során előforduló fogalmak szerepelnek a feladatban. Először ezeket kell felidézni, rendszerezni, majd a vektoroknál tanultakkal kapcsolatba hozni. Az erő (F) és a test által megtett út (elmozdulás) (s) vektormennyiségek (irányuk és hosszuk is jellemzi). Az erő SI egysége a newton, jele N. A munkát (W) állandó nagyságú és irányú erő esetén a következő képlettel lehet kiszámolni: W F s F s cosα ahol a képletben szereplő szög az erő (F) és az elmozdulás (s) iránya által bezárt szög. A matematikai modell Ezek után azt is mondhatjuk, hogy a munka, az erő és az elmozdulás vektorok skaláris szorzata. Mivel két vektor skaláris szorzata mindig egy valós szám, így a munka skalármennyiség. Ezért az értéke lehet pozitív és negatív szám is. SI mértékegysége a joule (azzal a munkával egyenlő, ami egy testet egy N erő által méter távolságra mozdít el). Itt az erő vektor hossza 7 egység, az elmozdulás vektor hossza, méter, a vektorok iránya kérdésenként különböző. Válaszok a kérdésekre, szemléltet ő ábrák a) a test kelet felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig nyugati irányban mutatott. A keleti és a nyugati irány hajlásszöge 8 fok. Két vektor hajlásszöge az irányuk által bezárt szög, amelyik legfeljebb 8 fok. nyugat A két vektor skaláris szorzata alapján: F α 8 s kelet W F s F s cos8 7, ( ), 4 joul
Huszk@ Jenő b) a test nyugat felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig dél felé mutatott. Itt az előzőekben értelmezett két vektor merőleges egymásra (nyugat; dél)! nyugat s F Ha a két vektor merőleges, akkor a skaláris szorzatuk nulla, mert: dél W F s F s cos9 7, () joul c)a test délkelet felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig kelet felé mutatott. A délkelet és a keleti irányok 45 fokos szöget zárnak be, ezért W F s F s cos 45 7, (,77), 99 joul d) a test észak felé mozdult el, és eközben az erő mindvégig délnyugat felé mutatott. Az ábra alapján: észak 35 s dé ln yugat F W F s F s cos35 7, (,77), 99 joul