Mérés: Adat: Adatfajták - mérés skálák: dolgokhoz valamely szabály alapjá számokat redelük. a dolgokhoz valamely szabály alapjá redelt számok. Aráyskála tulajdosága: - egy-egy szám mt adat mdg ugyaazt a teljesítméyt jelet, - sorba állítható, - összeadható (addtív: pot + 5 pot = 7 pot) - egyedekhez redelt számok aráya formácót hordozak (cm 3 = 6 cm) - va abszolút 0 potja pl.: - metrkus adatok (testmagasság, dőtartam, stb.) mérhető adatok - tervallum (metrkus) skála tulajdosága: ragsorolt adat - ragskála tulajdosága: - egy-egy szám mt adat mdg ugyaazt a teljesítméyt jelet, - sorba állítható, - összeadható (addtív: pot + 5 pot = 7 pot) pl.: - potszámok (tudássztmérő, IQ) - sorba redez, - em összeadhatók ( em addtív:. hely + 7. hely 9. hely) pl.: - fotosság sor értékek között, versey sorredje megállapítható adat - omáls skála tulajdosága: - valamely kategórába tartozást fejez k - em jellemz sorredség - em addtív ( két férf egy ő) pl.: - az emberek eme, skola végzettség Statsztka alapkérdések:. általáos tedecáak, a középértékek a mérése. aak megállapítása, hogy az egyes adatok meyre térek el a középértéktől, azaz a szóródás mérése 3. összefüggések vzsgálata, azaz korrelácó vzsgálat Falus Ivá-Ollé Jáos: Statsztka módszerek pedagógusok számára.-bp: Okker, 000.-7.p
Fogalmak: Alapsokaság (populácó): Azo személyek, dolgok összessége, amelyre következtetést kíváuk levo. Mta: A populácó azo része, amelyet téylegese bevouk a vzsgálatba. Reprezetatív mta: Leíró statsztka: A vzsgált mta jellemzőt tárja fel. (pl.: egy osztály, skola, stb.). Matematka statsztka: A reprezetatív mtából a populácóra levoható következtetések valószíűségét adja meg, azaz a mtába tapasztalt külöbségek ll. összefüggések a populácó egészére mlye valószíűséggel érvéyesek. Statsztka számítások: Leíró statsztka Gyakorságok Középértékek Szóródások Korrelácó abszolút számta közép szóródás terjedelem korrelácó számítás (átlag) %-os (relatív) módusz terkvartls félterjedelem kumulatív medá átlagos eltérés kvartlsek varaca szórás relatív szórás Matematka statsztka Jeletős-e a külöbség? (mták száma) tervallum skála ordáls (rag) skála omáls skála egy egymtás t-próba Wllcoxo-próba χ -próba kettő kétmtás t-próba F-próba Ma-Whtey-próba χ -próba Welch-próba több varacaaalízs Kruskall-Walls-próba χ -próba Matematka statsztka Va-e szoros összefüggés? (mták száma) tervallum skála ordáls (rag) skála omáls skála kettő korrelácóaalízs ragkorrelácó χ -próba kettő vagy több regresszóaalízs több parcáls korrelácó faktoraalízs klaszteraalízs Falus Ivá-Ollé Jáos: Statsztka módszerek pedagógusok számára.-bp: Okker, 000.-7.p
Mért adatok (tervallum skála): Gyakorság eloszlások: (A példákhoz a következő 50 darab pl. 50 tauló valamlye teszteredméye - adatot haszáljuk.) sorszám adat sorszám adat sorszám adat sorszám adat sorszám adat. 8. 5. 64 3. 58 4. 5. 3. 49. 34 3. 43 4. 54 3. 68 3. 39 3. 33 33. 37 43. 53 4. 3 4. 4 4. 37 34. 39 44. 4 5. 48 5. 5 5. 4 35. 43 45. 48 6. 5 6. 39 6. 49 36. 56 46. 38 7. 44 7. 9 7. 48 37. 34 47. 4 8. 59 8. 6 8. 46 38. 6 48. 49 9. 57 9. 45 9. 53 39. 54 49. 47 0. 36 0. 47 30. 3 40. 54 50. 53 adatcsoport sorszáma csoporthatárok valód csoporthatárok csoportközép abszolút gyakorság relatív gyakorság kumulatív gyakorság. 5-9 4,5-9,5 7 4%. 30-34 9,5-34,5 3 6 % 8 3. 35-39 34,5-39,5 37 7 4% 5 4. 40-44 39,5-44,5 4 7 4% 5. 45-49 44,5-49,5 47 0 0% 3 6. 50-54 49,5-54,5 5 0 0% 4 7. 55-59 54,5-59,5 57 4 8% 46 8. 60-64 59,5-64,5 6 3 6% 49 Gyakorság eloszlás: a csoportok és a csoporthoz tartozó gyakorságok együttese Értéktartomáy: adat max -adat m Csoportok száma: 0 0 db. (ksmta eseté 8 9 db.) javasolt Csoporttervallum: tervallumhossz = ; ; 3; 5; 0 javasolt Csoporthatárok: - alsó határ legye az tervallumhossz többszöröse - a csoporthatárok em fedhetk egymást (pl. hbás: -0 ; 0 0; jó: -0; 0; ) Valód csoporthatár: a csoporthatárok kterjesztése 0,5-del (hogy a határok értkezzeek ) Csoportközép: az alsó és felső csoporthatár számta közepe Abszolút gyakorság: jele: f a mta adata közül a csoportba tartozók száma Relatív gyakorság: jele: f(%) a csoportba tartozó adatok számáak és az összes adatak az aráya (%-os alakba) Kumulatív gyakorság: azo adatok száma a mtába, amelyek egy adott értéket elértek Kumulatív relatív gyakorság: azo adatok számáak %-os aráya a mtába, amelyek egy adott értéket elértek Falus Ivá-Ollé Jáos: Statsztka módszerek pedagógusok számára.-bp: Okker, 000.-7.p
Gyakorság eloszlások ábrázolása: GYAKORISÁGI POLIGON 0 0 0 8 7 7 6 6 4 4 3 0 GYAKORISÁGI HISZTOGRAM 0 8 6 4 0 6 7 7 0 0 4 3 Falus Ivá-Ollé Jáos: Statsztka módszerek pedagógusok számára.-bp: Okker, 000.-7.p
Kumulatív gyakorság 60 50 46 49 4 40 30 0.+..+.+ 3. 5.+.+3.+ 4..+.+3.+4. +5. 3.+.+3.+4.+5. +6..+.+3.+4.+5.+6.+7..+.+3.+4.+5.+6.+7.+8..+.+3.+4.+5.+6.+7.+ 8.+9. 0 8 A középérték mérőszáma: sorszám adat sorszám adat sorszám adat sorszám adat sorszám adat. 8. 5. 64 3. 58 4. 5. 3. 49. 34 3. 43 4. 54 3. 68 3. 39 3. 33 33. 37 43. 53 4. 3 4. 4 4. 37 34. 39 44. 4 5. 48 5. 5 5. 4 35. 43 45. 48 6. 5 6. 39 6. 49 36. 56 46. 38 7. 44 7. 9 7. 48 37. 34 47. 4 8. 59 8. 6 8. 46 38. 6 48. 49 9. 57 9. 45 9. 53 39. 54 49. 47 0. 36 0. 47 30. 3 40. 54 50. 53 középértékek: jele értéke: számta közép ( x ) 46,04 medá (Me) 47 módusz (Mo) 48 Falus Ivá-Ollé Jáos: Statsztka módszerek pedagógusok számára.-bp: Okker, 000.-7.p
Számta közép: x = x + x +... + x = = x Medá: az az érték, amelykél a mta egyk fele agyobb, a másk fele ksebb (A redezett mta közepe, középső eleme.) Páratla darab elem (adat) eseté a középső. Páros darab elem (adat) eseté a két középső számta közepe. Módusz: a mta eleme között leggyakrabba előforduló érték (vagy a legagyobb gyakorsággal redelkező csoport csoportközépértéke). Szmmetrkus eloszlás: x =Me=Mo Balra ferdült gyakorság eloszlás: x <Me<Mo Az adatok között gyakorbbak a agyobb értékek. Jobbra ferdült gyakorság eloszlás: Mo>Me> x Az adatok között gyakorbbak a ksebb értékek. Pearso-féle mutatószám: x Mo A= (csak egy móduszú esetre alkalmazható) s Ha A poztív (A >), akkor az eloszlás erőse balra aszmmetrkus. Ha A poztív (A < -), akkor az eloszlás erőse jobbra aszmmetrkus. Bmóduszú eloszlás: két mta, amelyek külöbözek. Előfordulhat, hogy több mtába s megegyezhet az átlag, a módusz és még a medá s. Ezért a középértékek mellett a szóródás mutatóra s szükség va. Pl.: gyakorság u u u 3 u 4 u 5 A csoport 0 0 40 0 0 B csoport 0 0 60 0 0 C csoport 0 0 80 0 0 átlag medá módusz A csoport,8 0 0 B csoport,8 0 C csoport,8 0 Falus Ivá-Ollé Jáos: Statsztka módszerek pedagógusok számára.-bp: Okker, 000.-7.p
Szóródás: a mta azo tulajdosága, hogy aak egyes eleme eltérek a mta középértéketől. A szóródás mérőszáma: sorszám adat sorszám adat sorszám adat sorszám adat sorszám adat. 8. 5. 64 3. 58 4. 5. 3. 49. 34 3. 43 4. 54 3. 68 3. 39 3. 33 33. 37 43. 53 4. 3 4. 4 4. 37 34. 39 44. 4 5. 48 5. 5 5. 4 35. 43 45. 48 6. 5 6. 39 6. 49 36. 56 46. 38 7. 44 7. 9 7. 48 37. 34 47. 4 8. 59 8. 6 8. 46 38. 6 48. 49 9. 57 9. 45 9. 53 39. 54 49. 47 0. 36 0. 47 30. 3 40. 54 50. 53 szóródás: jele értéke terjedelem R 40 kvartlsek. Q 39. Q 47 3. Q 3 53 terkvartls félterjedelem Q 7 átlagos eltérés AE 7,9984 varaca S 9,7984 szórás S 9,584857 relatív szórás V 0,0804869 A szóródás terjedelem: R =x max -x m Pl.: R =68 max -8 m =40 Kvartls:. kvartls Q : az az érték, amelyél a redezett mta elemeek egyede ksebb, háromegyede agyobb.. kvartls Q : egyelő a medáal. 3. kvartls Q 3 : az az érték, amelyél a redezett mta elemeek egyede agyobb, Iterkvartls félterjedelem: Q= háromegyede ksebb. Q3 Q A redezett mta elemeek középső 50%-át tartalmazó értéktartomáy fele. Megmutatja, hogy az adatok 50%-a mlye sávba ölel körül a medát. A mta medá körül értékeek szóródása. Falus Ivá-Ollé Jáos: Statsztka módszerek pedagógusok számára.-bp: Okker, 000.-7.p
Átlagos eltérés: az egyes elemek átlagtól való eltéréséek átlaga. AE= = x+ x ( = az elemek, adatok száma) Varaca: szóráségyzet. s = = ( x x ) ( = a mta szabadságfoka, azaz az elemű mtából - függetle egymástól.) Szórás: a mta elemeek szóródását fejez k. A varaca égyzetgyökével egyezk meg. Több mta eseté csak az azoos értéktartomáyú mták szóródásáak összehasolítását tesz lehetővé. s= s értelmezés: Az x±s tervallumba va a mta elemeek 68%-a. Az x± s Az x±3 s tervallumba va a mta elemeek 95%-a. tervallumba va a mta elemeek 99%-a. Varácós együttható (= relatív szórás): Több mta eseté a külöböző értéktartomáyú mták szóródásáak összehasolítását (s) lehetővé tesz. s szórás V= 00% (V= 00%) x átlag Falus Ivá-Ollé Jáos: Statsztka módszerek pedagógusok számára.-bp: Okker, 000.-7.p
Hpotézsvzsgálat statsztka mutatók segítségével t-próbák: két mta tulajdosága között külöbség szgfkacájáak számszerűsítése, megállapítása (pl.: ökotrollos vzsgálat). egymtás t-próba: ugyaazoktól a személyektől származó két külöböző mérés eredméy (két változó) számta középértéke között szgfkás külöbség valószíűségéek meghatározása. (Pl.: Egy osztályba egy új számolás készségfejlesztő módszer alkalmazása előtt, majd a módszer alkalmazása utá s megmérk a taulók számolás készségét. A vzsgálat arra keres a választ, hogy a módszer alkalmazása eredméyez-e léyeges változást a taulók számolás készségébe.) Jele: t t = z s (y x ) = z= ; s= = (z z ) sorszám.mérés. mérés sorszám.mérés.mérés.. 8 8. 5 6. 7 6 3. 3 4 3. 9 9 4. 5 5 4. 8 9 5. 4 5 5. 7 8 6. 6 6 6. 6 5 7. 6 7 7. 6 7 8. 7 8 8. 7 7 9. 6 6 9. 6 6 0. 5 4 0. 4 5 t =,83 Az egymtás t értékéek szgfkaca-vzsgálata: A t próba táblázatába - (=mta elemszáma-) szabadságfokál kell keres a megfelelő értéket: - ha t >t táblázat, akkor az átlagok külöbsége em a véletle hatása, vagys a külöbség szgfkás, - ha t <t táblázat, akkor az átlagok külöbsége a véletle hatása, vagys a külöbség em szgfkás. Falus Ivá-Ollé Jáos: Statsztka módszerek pedagógusok számára.-bp: Okker, 000.-7.p
Kétmtás t-próba: külöböző személyektől (két külöböző csoportból) származó két mérés eredméy (két változó) számta középértéke között külöbség meghatározása (pl.: kotrollcsoportos vzsgálat). (Pl.: két párhuzamos osztályba ugyaazt a taayagot más-más módszerrel taítják, majd a taítás folyamat végé ugyaazo teszte mérk a két osztályt. A vzsgálat arra keres a választ, hogy a két módszer eredméyessége között va-e léyeges külöbség.) Jele: t Csak akkor végezhető el, ha a két mérés eredméyéek varacája (szóráségyzete) között cs jeletős (szgfkás) eltérés. Ezt az F-próba adja meg. S F= S F értékéek szgfkaca-vzsgálata: Az F próba táblázatába két szabadságfok (=mta elemszáma-) va:. az. mta elemszáma-. a. mta elemszáma- - ha F>F táblázat, akkor a varacák külöbsége em a véletle hatása, vagys a külöbség szgfkás, tehát a kétmtás t-próba em végezhető el!! Ekkor a t-próba helyett pl. a Welch-próbát szokták alkalmaz. - ha F<F táblázat, akkor az átlagok külöbsége a véletle hatása, t" = vagys a külöbség em szgfkás, tehát a kétmtás t-próba elvégezhető!! x y m (x x ) + = = + m (y y A kétmtás t értékéek szgfkaca-vzsgálata: ) + m m A t próba táblázatába +m- (=a két mta elemszámáak összege-) szabadságfokál kell keres a megfelelő értéket: - ha t >t táblázat, akkor az átlagok külöbsége em a véletle hatása, vagys a külöbség szgfkás, - ha t <t táblázat, akkor az átlagok külöbsége a véletle hatása, vagys a külöbség em szgfkás. Falus Ivá-Ollé Jáos: Statsztka módszerek pedagógusok számára.-bp: Okker, 000.-7.p
Varaca aalízs: az a statsztka eljárás, melyek segítségével több egydmezós mta ugyaazo változója között külöbség szgfkasztjét határozza meg. (Pl.: három párhuzamos osztályba ugyaazt a taayagot más-más módszerrel taítják, majd a taítás folyamat végé ugyaazo teszte mérk a három osztályt. A vzsgálat arra keres a választ, hogy a három módszer eredméyessége között va-e léyeges külöbség.) A varaca-aalízs a következő eljárások sorozatát jelet: - belső varaca vzsgálat (egy-egy mtá /pl. osztály/ belül varaca vzsgálat). Jele: S belső - külső varaca vzsgálat (mták /pl. osztályok/ között varaca vzsgálat) Jele: S külső - hpotézsvzsgálat F-próbával: S F= S k b F értékéek szgfkaca-vzsgálata: Az F próba táblázatába két szabadságfok (=mta elemszáma-) va: az. mta elemszáma- a. mta elemszáma- - ha F>F táblázat, akkor a varacák külöbsége em a véletle hatása, vagys a külöbség szgfkás. Másképpe: az egyes módszerek léyeges teljesítméyváltozást eredméyezek. - ha F<F táblázat, akkor külöbségek a véletle hatásáak tulajdoíthatóak, vagys a külöbségek em szgfkásak. Másképpe: az egyes módszerek em eredméyezek léyeges teljesítméyváltozást. Falus Ivá-Ollé Jáos: Statsztka módszerek pedagógusok számára.-bp: Okker, 000.-7.p
Korrelácószámítás: - Többdmezós mtáról beszélük akkor, ha a mta egyes elemeről egyszerre legalább két adat áll redelkezésükre. (Pl. : smerjük a taulók szüleek skola végzettségét és egy teszte az egyes taulók által elért eredméyt, vagy ugyaazo taulók kéma és matematka teszteredméyét, stb.) - A korrelácó-számítás az egyes adatcsoportok eloszlása között összefüggést tárja fel. - A változók között összefüggés esete: - két változó poztív korrelácója (r>0): ha az egyk változó magas értékehez a másk változó magas értéke, ll. az egyk változó alacsoy értékehez a másk változó alacsoy értéke tartozak. (Pl.: A jó kéma tesztet írók jó matematka tesztet, míg a gyege kéma tesztet írók gyege matematka tesztet írak.) - két változó egatív korrelácója (r<0): ha az egyk változó magas értékehez a másk változó alacsoy értéke, ll. az egyk változó alacsoy értékehez a másk változó magas értéke tartozak. (Pl.: A jó kéma tesztet írók gyege yelvta tesztet, míg a gyege kéma tesztet írók jó yelvta tesztet írak.) - két változó korrelálatla: ha az egyk változó magas értékehez egyes esetekbe a másk változó magas, egyes esetekbe alacsoy értéke tartozak. Ez sem jelet feltétleül a két adatsor függetleségét, esetekét csak arról va szó, hogy a kapcsolat em leárs. - A mta két változója szmmetrkus: egykek scs ktütetett szerepe a máskkal szembe. Vagys a korrelácó-aalízs em tárja fel azt, hogy a két adat közül melyk va hatássál a máskra. - Korrelácós együttható: Jele: r xy r xy = = (x x (x x ) = = ) (y y ) r xy (y y ) A korrelácós együttható szgfkaca-vzsgálata: A korrelácós együttható táblázatába - (=a mta elemszáma-) szabadságfokál kell keres a megfelelő értéket: - ha r xy >r táblázat, akkor a mta két változója között összefüggés em a véletle hatása, vagys az összefüggés általáosítható. - ha r xy <r táblázat, akkor a mta két változója között összefüggés a véletle hatása, vagys az összefüggés em általáosítható. Falus Ivá-Ollé Jáos: Statsztka módszerek pedagógusok számára.-bp: Okker, 000.-7.p