Matematika 6. PROGRAM

Dr. Andrási Tiborné vezetôtanár Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Zankó Istvánné tanár Matematika 6. PROGRAM általános iskola 6. osztály nyolcosztályos gimnázium 2. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KÖNYVKIADÓ, BUDAPEST

Alkotó szerkesztô: DR. HAJDU SÁNDOR fôiskolai docens Az 1. kiadást bírálta: ELÔD ISTVÁNNÉ ny. felelôs szerkesztô DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanár DR. SÜMEGI LÁSZLÓ egyetemi adjunktus Dr. Andrási Tiborné, Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné, Dr. Hajdu Sándor, Novák Lászlóné, Zankó Istvánné, 1993, 2001 Mûszaki Könyvkiadó, 2001 OM-engedélyszám: XXVIII/1443-S/2000 ISBN 963 16 2820 5 Azonosító szám: CAE 040 Kiadja a Mûszaki Könyvkiadó Felelôs kiadó: Bérczi Sándor ügyvezetô igazgató Felelôs szerkesztô: Bosznai Gábor Mûszaki vezetô: Abonyi Ferenc Borítóterv: Bogdán Hajnal Mûszaki szerkesztô: Ihász Viktória Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Köves Gabriella Terjedelem: 7,87 (A/5) ív 3. kiadás Nyomta és kötötte az Oláh Nyomdaipari Kft. Felelôs vezetô: Oláh Miklós

Tartalom Bevezet s... 4 A taneszk z kr l........ 5 Atananyag s a k vetelm nyek rtelmez s r l......... 7 Atananyag feldolgoz sa............ 12 raterv... 15 1. Sz mok s m veletek.... 16 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai....... 18 Kapcsol d si lehet s gek.... 19 Tanmenetjavaslat.... 21 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 25 2. A geometriai alakzatok vizsg lata... 42 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai....... 44 Kapcsol d si lehet s gek.... 44 Tanmenetjavaslat.... 45 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 47 3. F ggv nyek, egyenes s ford tott ar nyoss g, sz zal ksz m t s.... 54 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai....... 54 Kapcsol d si lehet s gek.... 55 Tanmenetjavaslat.... 56 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 57 4. A tengelyes t kr z s..... 62 A geometriai transzform ci kr l.... 62 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai....... 64 Kapcsol d si lehet s gek.... 65 Tanmenetjavaslat.... 66 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 69 5. Nyitott mondatok.... 77 A tananyag-feldolgoz s csom pontjai....... 78 Kapcsol d si lehet s gek.... 78 Tanmenetjavaslat.... 79 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 80 6. sszefoglal... 87 A tananyag-feldolgoz s ttekint se.... 87 3

BEVEZET S A program aj nl sokat tartalmaz a NAT, akerettanterv s a helyi tanterv rtelmez s hez, konkretiz l s hoz, ltal ban anevel -oktat tev kenys g feladatainak megold s hoz, de nem v llalkozhat arra, hogy minden oszt ly sz m ra egyar nt rv nyes s mindenkinek egyar nt elfogadhat recepteket fogalmazzon meg. Seg ts get ny jthat az adott tananyag feldolgoz s ban, a megfelel m dszerek kiv laszt s ban, atanul k rt kel s ben. Ugyanakkor atananyag tartalm nak v gleges meghat roz sa, az egyes gyerekekkel szemben t masztott k vetelm nyek megfogalmaz sa, az oszt ly sz nvonal nak megfelel t rgyal sm d kidolgoz sa a tan r joga s k teless ge. A tananyag s a k vetelm nyek rtelmez s r l c m r szben tantervi t m k szerint elemezz k a tananyagot, taglaljuk kapcsol d s t a kor bbi vek k vetelm nyeihez, ismertetj k a nevel sben bet lt tt funkci j t. A tananyag feldolgoz sa c m fejezetben a tank nyv hat fejezet t k vetve fejtj k ki a tananyagot. A tank nyv fel p t s t t telesen ttekintve m dszertani s szakmai aj nl sokat fogalmazunk meg a konkr t tananyag tan t s hoz s a feladatok megold s hoz. ttekintj k, hogy a k l nb z sszet tel oszt lyokban mire p thet nk, hov kell eljutnunk, hogyan dierenci lhatunk, milyen lehet s geink vannak a koncentr ci ra. Minden t mak rn l r szletes, de f lk sz" tanmenetjavaslat tal lhat. Ez a tanmenetjavaslat az aktu lis tananyagon t lmen en tartalmazza a koncentr ci s a folyamatos ism tl s lehet s geit, n h ny esetben utal az alkalmazhat eszk z kre s az esetleges kieg sz t anyagr szekre. A tanmenetjavaslatot adapt lnunk kell saj t elk pzel seinkhez s oszt lyunk sz nvonal hoz { betartva a Kerettanterv s a helyi tanterv el r sait. Ha a tanul k az als tagozatban nem ebb l a tank nyvcsal db l tanult k a matematik t, akkor a fels tagozatba val tmenet koncepci v lt s nak negat v hat s t m g 6. oszt lyban is rz kelhetj k. T bb id t s energi t kell ford tanunk a sz mfogalom alapoz s ra, a m rt kegys gek megtan t s ra, a sz mol si rutin, a sz veg rtelmez k pess g s a geometriai l t sm d fejleszt s re. AKerettanterv minim lisan heti 3 matematika r t r el gy, hogy k zben nem cs kkenti l nyegesen (mert nem is lehet cs kkenteni) a k vetelm nyeket. Ebben az rakeretben nem dolgozhat fel s nem gyakorolhat be kell sz nvonalon a tananyag. Ez rt az iskol k d nt t bbs ge a szabadon tervezhet rakeretb l heti plusz egy r t biztos t a matematikatan t s sz m ra. Ezt a taneszk z k kidolgoz s n l gyelembe kellett venn nk. 4

A taneszk z kr l Matematika 1{8. Mintatanterv AKerettanterv k vetelm nyrendszer t gyelembe v ve 1. oszt lyt l 8. oszt lyig egys ges koncepci szerint fel p tett s vekre bontott tantervi minta. A szerz k gyelembe vett k matematikatan t sunk hagyom nyait, t rekv seit, a k l nb z k r lm nyek k z tt dolgoz iskol k lehet s geit s ig nyeit, a hatoszt lyos gimn ziumok felv teli k vetelm nyeit, a t rstant rgyak tanterveit, valamint t bb eur pai orsz g tanterveit s tank nyveit. AKerettanterv csup n a tananyag k z s magj t, mintegy 80%- t tartalmazza, amelyet mindenki sz m ra tan tanunk kell. Az oszt ly k pess g nek s a matematikai tartalom egym sra p l s nek gyelembev tel vel, a helyi tanterv alapj n a szaktan r d ntheti el, hogy melyik tanul csoportnak hogyan eg sz ti ki s teszi teljess a tananyagot. A Kerettanterv ltal el rt tananyag nem alkot didaktikailag s logikailag h zagmentes rendszert, a hi nyoss gokat (m g minimumszinten is) p tolnunk kell. A mintatanterv k nyv form j ban, illetve lemezen egyar nt t r t smentesen kaphat a M szaki K nyvkiad ban. Matematika 6. A tank nyv (alapszint) Csak a kerettantervi minimumot, a heti 3 matematika r ban dolgoz oszt lyok sz m ra javasolt reduk lt tananyagot tartalmazza. Ennek a v ltozatnak a seg ts g vel nem k sz thetj k fel tanul inkat a sikeres k z piskolai tanulm nyokra. Matematika 6. B tank nyv (b v tett v ltozat) A tank nyv tartalmilag s m lys g ben is sz les s vban" dolgozza fel a tananyagot. A szerz k felk sz ltek a k l nb z helyi tantervek ig nyeinek kiel g t s re, bele rtve a h tr nyos k r lm nyek k z tt tanul k felz rk ztat s t, illetve a tagozatos vagy a nyolcoszt lyos gimn ziumi oszt lyokba j r tanul k emelt szint k pz s t is. Ez rt a tank nyv egyes fejezetei b vebben, m lyebben s magasabb szinten t rgyalj k a tananyagot, mint ahogyan azt f lt tlen l kellene. Az el z kb l k vetkezik, hogy a tank nyv t bbet tartalmaz, mint amit egy tlagos ltal nos iskolai oszt lyban meg lehet tan tani. A fentiek miatt a program a k vetkez lehet s gek megfontol s t javasolja: B r a tank nyv tartalmazza az anyagr szt, de az oszt ly k pess geinek gyelembev tel vel az eg szet vagy egyes r szeit hagyjuk el, illetve csak a tehets ges tanul kkal dolgoztassuk fel. A dierenci l sra, szelekt l sra aprogramban a tananyag feldolgoz s n l, illetve a tanmenetben javaslatot tesz nk (p ld ul a sz melm let, az egyenletek vagy a h rtrap z t rgyal s n l). A r szleteket kev sb m lyen, el gaz an t rgyaljuk, mint a k nyv. A programban felh vjuk a gyelmet arra, hogy egyes r szeket (p ld ul a sz melm leti vagy geometriai bizony t sokat) csak j k pess g oszt lyban c lszer feldolgozni. 5

Az egy ni munk t a tanul k k pess gei szerinti dierenci l ssal szervezz k meg. A tehets ges, gyorsan dolgoz tanul ink kapj k a neh z, munkaig nyes feladatokat, p ld ul a Matematika 5{6. Feladatgy jtem ny feladatait. A matematik val nehezebben boldogul di kjainknak ink bb egyszer bb, gyakorl jelleg feladatokat adjunk, p ld ul a Matematika 6. Gyakorl b l. Vigy zzunk arra, hogy csak olyan anyagr szeket hagyjunk el, amelyeket teljes eg sz ben tartalmaz a 7. oszt lyos tank nyv. Matematika 6. Gyakorl A sz mol si rutin s a biztos eszk ztud s kialak t s hoz, atanultak feleleven t s hez, begyakorl s hoz, a hi nyok p tl s hoz tartalmaz feladatsorokat, amelyekkel biztos that a k vetelm nyek teljes t se. Az els nyolc fejezete l nyeg ben megegyezik a kor bbi kiad sokkal. 9. fejezete olyan vegyes feladatokat tartalmaz, amelyek egyr szt kapcsol dnak a Kerettantervben, illetve a tank nyvben hangs lyosabb v lt t mak r kh z (p ld ul ar ny, statisztika, val sz n s g), m sr szt el mozd thatj k a leszakad k felz rk ztat s t. Az utols fejezete olyan t maz r feladatsorokat s hozz juk kapcsol d jav t si s pontoz si tmutat kat tartalmaz, amelyekkel a gyermek n ll an is k pes rt kelni a tud s t. A t maz r feladatsorok a teljes hatodikos k vetelm nyrendszert fel lelik. Matematika 5{6. Feladatgy jtem ny Ez a feladatgy jtem ny nagy seg ts get ny jthat a hatoszt lyos k z piskol ba k sz l k sz m ra, illetve tehets ges tanul ink k pess geinek fejleszt s ben. Matematika 6. tank nyv feladatainak megold sa A feladatok megold s t tartalmazza, esetenk nt a gyermek sz m ra is rthet tmutat sokkal egy tt. Els sorban a tanul k munk j nak nellen rz s t seg theti. T maz r felm r feladatsorok, matematika 6. oszt ly A mintatantervben, illetve a programban megfogalmazott k vetelm nyeket ezekkelafeladatsorokkal konkretiz lj k, operacionaliz lj k s hierarchiz lj k aszerz k. A felm r feladatsorokkal azt is szeretn nk el rni, hogy a sokf le helyi tanterv ellen re viszonylag egys ges k vetelm nyrendszer alakuljon ki az iskol kban. A tanul i p ld nyok A s B v ltozatban tartalmazz k a feladatsorokat. Olcs bb kivitelben, k l n-k l n f zetben jelent meg a C s a D v ltozat. A szerz k mindegyik v ltozatban k l n feladatokat dolgoztak ki az emelt szint sz m ra. A C s a D v ltozatot csak az iskol k rendelhetik meg. A tan ri p ld nyokban megtal lhat k a jav t si tmutat k s az rt kel si norm k is. 6

A TANANYAG S A K VETELM NYEK RTELMEZ S R L Aj nl s a helyi tanterv k vetelm nyrendszer nek kidolgoz s hoz A halmazok, a logika s a kombinatorika, valamint a statisztika t mak r kh z nem kapcsol dik n ll tank nyvi fejezet. Ezeket az anyagr szeket m s anyagr szekkel sszesz ve" dolgozzuk fel. Az ezzel kapcsolatos oktat si-nevel si feladatokat gy kell megoldanunk, hogy k zben az aktu lis tananyag tan t s ra helyezz k a hangs lyt. Ez rt nagyon fontos, hogy eg sz vre el re megtervezz k ezeknek az anyagr szeknek a tan t s t. A hatodik oszt lyos v eleji k vetelm nyek l nyeg ben azonosak az t dik oszt lyos v v gi k vetelm nyekkel. Term szetesen ezeket a k vetelm lnyeket az v eleji ism tl s sor n, az adott pedag giai helyzetnek megfelel en t kell rt keln nk. P ld ul: gyelembe kell venn nk a sz nid miatti felejt st reduk lnunk kell a k vetelm nyeket, ha valamilyen okn l fogva nem tudtunk kell en begyakoroltatni egyes t dik oszt lyos anyagr szeket nagyobb s lyt kell fektetn nk azokra az anyagr szekre, amelyek n lk l a hatodik oszt lyos tananyag feldolgoz s t nem oldhatjuk meg eredm nyesen. Az egyes tantervi t mak r kh z tartoz ( v v gi) k vetelm nyeket a Mintatanterv tartalmazza. Be p tett k akor bbi vfolyamok azon k vetelm nyeit is, amelyek megalapozz k a hatodikos k vetelm nyrendszert, illetve amelyek hatodik oszt lyban is rv nyesek. Term szetesen gyelembe vett k az jonnan tanultakat s azt, hogy a tanul k k pess gei fejlettebbek, tud suk b vebb, mint negyedik, t dik oszt lyban volt. A k vetelm nyek konkretiz l s hoz tudnunk kell, hogy milyen feladatok megold s t v rhatjuk el a gyermekt l alapszinten (vagyis az ltal nos iskol ban), illetve emelt szinten (p ld ul a nyolcoszt lyos gimn ziumi tagozat szintj n). C lszer megk l nb ztetn nk a tov bbhalad shoz n lk l zhetetlen minimumk vetelm nyeket. Term szetesen gyelembe kell venn nk akonkr t oszt ly fejletts gi szintj t s a helyi tanterv el r sait. Ha heti 3 r nk van a matematika tananyag feldolgoz s ra, s nincs lehet s g nk folyamatos korrepet l sra, illetve tehets ggondoz sra, akkorakor bban megszokott k vetelm nyszinthez k pest lejjebb kell sz llnunk. Azt is l tnunk kell, hogy ebben az esetben tanul ink tud sa rem nytelen l el fog maradni azoknak a gyerekeknek a tud s t l, akik heti 4 r ban tanulj k a matematik t. 7

Halmazok, logika, kombinatorika A halmaz, logika t mak r ugyan 6. oszt lyban sem jelenik meg n ll fejezetk nt a tank nyvben s a javasolt tanmenetben, de eszk zk nt, szeml letk nt beh l zza a teljes matematikatan t st. Ide tartozik b rmely t mak rben konkr t dolgok, sz mok, soksz gek stb. adott szempont szerinti rendszerez se, rendez se a legegyszer bb logikai kapcsolatok, m veletek rtelmez se s ttekint se atanultakhoz kapcsol d egyszer ll t sok, k vetkeztet sek megfogalmaz sa atanultakhoz kapcsol d egyszer ll t sok igazs g nak eld nt se anyelv logikai elemeinek helyes haszn lata matematikai s nem matematikai tartalm ll t sok rtelmez s ben, megfogalmaz s ban, a mennyis gek viszony t s ban, halmazok megad sa s sszehasonl t sa sor n. A helyi tanterv szerkeszt sekor d nthet nk gy is, hogy jobb csoportban tudatos tjuk a halmazokr l tanultakat. Erre 2-3 r t kell sz nnunk p ld ul az v eleji ism tl s sor n vagy az v v gi ism tl s els r iban. Fontos az el z vfolyamokban tanult halmazalgebrai s logikai fogalmak eszk zszer alkalmaz sa az ismeretek felt r s ra, rendszerez s re. Ez rt azt javasoljuk, hogy 6. oszt lyban is tekints k rv nyesnek az 5. oszt lyos program erre vonatkoz k vetelm nyeit. A tank nyv legt bb fejezet ben tal lhat k olyan feladatok, amelyek a tanul si folyamat minden szakasz ban ig nylik, er s tik, fejlesztik az e t mak rben eddig tanultakat. Gondot okozhat, ha a halmaz fogalm t a halmaz br val azonos tja a tanul. Ez rt jelen ts nk meg halmazokat (p ld ul r szhalmazok k zti sszef gg seket) sz megyenesen, t bl zatban stb. is. A kor bbi k vetelm nyeken k v l a 6. oszt lyos tanul kt l az ltal nos iskol ban is elv rhatjuk, hogy a ha, akkor " s ezzel logikailag ekvivalens kifejez sekkel ll t sokat tudjanak megfogalmazni (v ges s egyszer bb v gtelen halmaz eset n), tudj k az ilyen ll t sok igazs g t eld nteni. Esetleg emelt szinten, konkr t feladatokon vizsg lhatjuk a ha, akkor " t pus ll t sok megford that s g t. Haszn lhatjuk a pontosan akkor, ha " kifejez st is, de azt javasoljuk, hogy ez m g emelt szinten se legyen k vetelm ny. A kombinatorika t mak rb l sincs n ll fejezet a tank nyvben. Sem tananyagban, sem k vetelm nyben nem l p nk t l az 5. oszt lyos elv r sokon. Ennek egyik oka az, hogy a sz mtan, algebra s a geometria, m r sek t mak r igen sok lehet s get biztos t a kombinatorikus szeml let fejleszt s re is. Az egyes fejezetek ismeret ben konkr tan is megfogalmazzuk a kapcsol d si lehet s geket, gy a k vetelm nyek rtelmez se nem okoz neh zs get. Fontos, hogy a tanul k tudj k az adatokat rendszeresen v ltoztatni, a lehet s geket megtal lni, a lehets ges eseteket sorozatba, t bl zatba rendezni, diagrammal, gr al szeml ltetni. Tudj k a kombinatorikai elj r sokat a hatodik oszt lyos tananyag egy b t mak reiben alkalmazni. 8

Sz mtan, algebra Annak ellen re, hogy m r 5. oszt lyban is tal lkoznak a gyerekek a racion lis sz m kifejez ssel, a fogalom biztos rt se m g 6. oszt lyban sem v rhat el. Hiszen akkor tiszt zni kellene a szakaszos tizedest rt kifejez s t t rtalakban, tov bb az irracion lis sz m s a val s sz m fogalm t is. Ez rt megel gsz nk azzal, hogy a racion lis sz m passz v sz kincsk nt" szerepel, rtelmez s hez fokozatos sz mk rb v t ssel jutunk el. B v tj k a racion lis sz mk rt egymilli n l nagyobb s egymilliomodn l kisebb helyi rt kekre. Elk pzel s nk szerint a hatv ny fogalma 7. oszt lyban v lik k vetelm nny, de javasoljuk, hogy a helyi rt kek fel r sa sor n, illetve a sz mok t rzst nyez kre bont sakor haszn ljuk a term szetes sz m kitev j hatv nyt. gy a tanul k fokozatosan hozz szoknak a jel l shez s az elnevez sekhez. A racion lis sz mk r n bel l foglalkozunk a n gy alapm velettel, most m r azokkal is, amelyek j rtelmez st ig nyelnek (negat v sz mmal, t rtsz mmal val szorz s, oszt s). A matematika tanul s nak alapja most is a sz mtan, algebra t mak r. Az az eddigi tapasztalat, hogy akit 6. oszt lyban nem siker l ezen a ter leten eljuttatni a begyakorlotts g szintj re, az 7. s 8. oszt lyban behozhatatlanul lemarad t rsait l. Aracion lis sz mk r n bel l a n gy alapm velet megtan t s ra 22{26 r t javasolunk, de az eredm nyess g rt valamennyi fejezetben alkalmat lehet s kell biztos tani ahhoz, hogy ez a tananyag be p lj n a tanul k eddigi tud s ba, szeml let be, m velts g be. A be p l sre, sszesz v sre minden fejezet t rgyal sa elej n adunk tletet, tan csot. Ne az legyen az egyetlen c lunk, hogy hossz s f rads gos ton kialak tsuk a racion lis sz mokkal v gzett m veleti algoritmusokat. Arra p ld ul nincs sz ks g, hogy az r sbeli szorz st, oszt st t-hatjegy sz mokkal gyakoroltassuk, de arra igen, hogy p ld ul egy sz m 32,456-szeres r l tudja a tanul, hogy az a sz m 32 456-szoros nak az ezredr sze. A zsebsz mol g pek fokozatos alkalmaz sa felment a sokjegy sz mokkal v gzett m veletek gyakorl sa al l, de a matematika s a sz m t stechnika tov bbra is ig nyli a pontoss gra, kitart sra, gyelem sszpontos t sra szoktat st. Az elmondottak miatt nem cs kken, hanem ink bb n a fejsz mol s jelent s ge. Nemcsak az ra eleji folyamatos gyakorl skor ker l r sor, de szinte minden feladat eredm ny nek becsl se (hozz vet leges kisz m t sa) sz ks gess teszi. A sz zal ksz m t st a tank nyv (a 3. fejezetben) a Kerettantervvel sszhangban teljes eg sz ben feldolgozza, ugyanakkor a tan t sban nem f lt tlen l kell teljess gre t rekedn nk, hiszen erre a t mak rre a k vetkez vekben ism telten vissza kell t rn nk. Ha az oszt ly egy b, alapvet anyagr szekkel nehezebben boldogul, akkor a helyi tanterv kidolgoz sakor, a t rstant rgyak ig nyeit is gyelembe v ve, reduk lhatjuk a k vetelm nyeinket. Egy tlagos vagy az tlagosn l gyeng bb ltal nos iskolai oszt lyban a sz melm letet sem tudjuk olyan ig nyesen feldolgozni, mint ahogyan azt a tank nyv teszi. A egyenletek, egyenl tlens gek t mak rt az 5. fejezet tartalmazza. Egyszer egyenletek megold sa akerettanterv el r sa szerint minimumk vetelm ny. Oszt lyunk k pess geinek ismeret ben eg sz vben k sz ts k el ennek a t mak rnek a feldolgoz s t. Minden anyagr szhez kapcsol dva gyakoroltassuk a kor bban tanultakat: nyitott 9

mondat, egyenlet, egyenl tlens g fogalma, nyitott mondat igazs ghalmaz nak megkeres se tervszer pr b lgat ssal, egyszer egyenletek megold sa k vetkeztet ssel a m veletek komponenseinek sszef gg se alapj n. Ebben a t mak rben a feladatok megv logat s val dierenci lhatunk. A k vetelm nyek taglal sa sor n visszany lunk a kor bbi vek bizonyos k vetelm nyeihez, amelyek m g most sem vesztett k el aktualit sukat. P ld ul a sz veg rtelmez s k pess g nek a fejleszt se c lj b l 6. oszt lyban is gyakoroltatnunk kell s meg kell k veteln nk az egyszer sz veges feladatok megold s t is. Rel ci k, f ggv nyek A t mak r gerince az egyenes s a ford tott ar nyoss g. Aprogram ltal aj nlott k vetelm nyek l nyeg ben csak ezekre a kapcsolatokra szor tkoznak. Ugyanakkor a rel ci kra, agrakonokra, a f ggv nyekre s a sorozatokra vonatkoz 5. oszt lyos k vetelm nyek nyilv n 6. oszt lyban is rv nyesek. (Ezekkel r szletesen az t dik oszt lyos program foglalkozik.) A tank nyv minden egy b t mak r feldolgoz sa sor n eszk zjelleggel alkalmazza ezeket az ismereteket (l sd az egyes fejezetek t rgyal s n l a koncentr ci lehet s geinek elemz s t). A f ggv nyfogalom el k sz t se sor n ne csak sz m-sz m f ggv nnyel tal lkozzanak a gyerekek. Ez rt fontos p ld ul a soksz gek vizsg lata ilyen szempontok szerint is. Egy fogalom kialak t s hoz az ellenp ld k megismer se is sz ks ges. Ez rt javasoljuk, hogy nem egy rtelm megfeleltet sekkel is foglalkozzunk (p ld ul a term szetes sz mok oszt i). Hatodik oszt lyban az egyenes s a ford tott ar nyoss g r szletes kimunk l sa, hangs lyoz sa sz ks ges mind a matematika t bbi t mak re, mind az egy b tant rgyak (f ldrajz, technika, zika stb.) ig nyei miatt. Javasoljuk, hogy a f ggv nyfogalom letkornak megfelel szint rtelmez s re csak hetedik oszt lyban ker lj n sor. Hatodikban a f ggv nnyel kapcsolatos fogalomrendszert el k sz thetj k, de nem tudatos tjuk, az elnevez seket nem vezetj k be. Most egyegy feladat megold s nak r szletes megbesz l sekor hangs lyozzuk a hozz rendel s egy rtelm s g t, a k t v ltoz megk l nb ztetett szerep t, a k t v ltoz rv nyess gi k r t (de az rtelmez si tartom ny", rt kk szlet" kifejez st m g ne haszn ljuk). Az egyenes s a ford tott ar nyoss ggal a tank nyv 3. fejezete foglalkozik, ez rt a konkr t m dszertani aj nl sokat ott fogalmazzuk meg. Geometria A k t geometria fejezet t rgyal sa sokf le tev kenys get ig nyel, m g akkor is, ha als tagozatban s 5. oszt lyban m r v geztek ilyeneket. A gyerekek t rszeml lete, geometria-szeml lete ebben a korban sokat fejl dik, de gyerekenk nt igen elt r en. Nem biztos, hogy az el z vekben mindenkiben kialakult a t r- s a s kbeli alakzatok el ll t sakor az a meggyel k pess g s tapasztalat, amelyre a 6. oszt lyos ismeretet lehet p teni. Testek br zol sa, p t se, s kidomok el ll t sa sor n form kat, helyzeteket, m reteket tanulnak egyeztetni. j tulajdons gokat ismernek meg, sezekkel az j tulajdons - 10

gokkal deni lni fogj k a l trehozott alakzatokat, felhaszn lj k ezeket szerkeszt sekben, bizony t sokban. A tengelyesen szimmetrikus alakzatokkal foglalkozva (jobb csoportban) c lszer tiszt zni a h rtrap z fogalm t, de r szletes t rgyal s t csak emelt szinten javasoljuk. (Hetedik oszt lyban a paralelogramm r l tanultakat s a k z ppontos szimmetri t alkalmazva hat rozzuk meg a trap z ter let t, fogalmazzuk meg az ltal nos sszef gg st.) A fogalomrendszer kiz r lagosan dedukt v fel p t se nem felel meg ennek a koroszt lynak. Ennek ellen re ebben a t mak rben m r c lszer egyes sszef gg seket nemcsak felismertetni, hanem a gyermek szintj n bizony ttatni is. A tank nyvben t bb olyan mintap ld t tal lunk, amelyet feldolgozva kialak thatjuk jobb k pess g tanul inkban a bizony t si ig nyt, illetve fejleszthetj k a logikus gondolkod st, aprobl mamegl t s -megold k pess get. Az oszt ly sz nvonal hoz igazodva gondoljuk meg, hogy mennyit s milyen m lys gben dolgozunk fel ezekb l a r szekb l. Egy tlagos k pess g oszt lyban t lzs foltt tenn a tananyagot, s t lzottan megterheln nk tanul inkat, ha a teljess gre t rekedn nk. Ugyanakkor didaktikai hib nak tekinthetj k, ha a gyermek a 6. oszt lyban egy ltal n nem tal lkozik bizony t sokkal. Val sz n s g, statisztika Val sz n s gi k s rletek v gz sekor szerezzenek tapasztalatot a tanul k azzal kapcsolatosan, hogy mikor biztos, mikor lehets ges s mikor lehetetlen egy-egy esem ny bek vetkez se. Tudj k rtelmezni t rtalakban, tizedest rt alakban, sz zal kban egy-egy esem ny relat v gyakoris g t. A val sz n s gsz m t ssal a 3. fejezet egyik alfejezete foglalkozik. A statisztik val nem foglalkozunk k l n fejezetben, hanem a sz mtan, algebra, illetve a f ggv nyek tananyaghoz kapcsol d an adunk fel statisztikai vizsg latokat ig nyl feladatokat. T rekedj nk arra, hogy a tanul k a gy jt tt vagy t bl zatban adott adatokat tudj k elemezni, s tudjanak vel k grakont, diagramot k sz teni. Tudjanak grakonr l, k rdiagramr l adatokat leolvasni, az sszef gg seket elemezni. Tudj k meghat rozni t bb sz m sz mtani k zep t, tudj k ezt felhaszn lni k vetkeztet sek levon s ra. 11

A TANANYAG FELDOLGOZ SA Az t dik oszt lyos programhoz hasonl an ebben a r szben a tank nyv fejezeteit k vetve foglalkozunk a tananyaggal kapcsolatos szakmai s m dszertani k rd sekkel. Minden fejezetet el sz r glob lisan ttekint nk. A k l nb z el k pzetts g s k pess g oszt lyokban nem egyforma sz nvonalon dolgozhattuk fel az t dik oszt lyos tananyagot. Ez rt (a helyi tantervvel sszhangban) el kell d nten nk a k vetkez ket: milyen alaposs ggal ism telj k t a kor bban tanultakat, honnan ind tsuk" a hatodik oszt lyos tananyag feldolgoz s t, milyen m lys gben s terjedelemben foglalkozzunk az j anyagr szekkel, melyek azok az anyagr szek, amelyeket (a gyerekek adotts gai vagy a helyi tanterv aj nl sai miatt) csak hetedik oszt lyban akarunk megtan tani, vagy tudunk begyakoroltatni. A tank nyv nemcsak az ltal nos iskolai t rzsanyagot tartalmazza, hanem az emelt szinten feldolgozhat anyagr szeket, feladatokat is. Vagyis a halmozottan h tr nyos k rnyezetben l gyermekek s p ld ul a nyolcoszt lyos gimn ziumi tagozat tanul i egyar nt tanulhatnak ebb l a k nyvb l. A k l nb z sz nvonal oszt lyokhoz a tank nyv gy pr b l igazodni, hogy sz lesebb s vban" s m lyebben t rgyalja a tananyagot, mint ahogy azt egy-egy oszt lyban fel lehet dolgozni. A Matematika 6. Gyakorl feladatsorai, b r a 6. oszt lyos tank nyvh z kapcsol dnak, n ll didaktikai rendszer szerint p lnek fel. Ez a megold s els sorban a folyamatos ism tl s s gyakorl s megszervez sekor lehet hasznos, igen hat konyan t mogathatja a korrepet l st, de seg ts get ny jthat a tananyag egy ni elk pzel s szerinti fel p t s hez is. E feladatsorok ltal ban a t rzsanyag legfontosabb r szeit fedik le". A tananyag kiv laszt s nak (vari l s nak s szelekt l s nak) szempontjaival az egyes fejezetek bevezet r sz ben foglalkozunk. Ezekben a bevezet r szekben elemezz k a koncentr ci lehet s geit, a javasolt m dszereket s eszk z ket. A fejezetenk nti f lk sz" tanmenetjavaslatot adapt lnunk kell: Gondoljuk v gig, hogy az elm lt vben mennyire siker lt megalapoznunk a tan tand anyagr szt, milyen m lys gben s h ny r n kereszt l foglalkozzunk a kor bban tanultakkal. D nts k el, hogy megfelel-e elk pzel seinknek a tank nyv ltal javasolt sorrend. Van-e olyan anyagr sz, amelyet m s t mak rh z kapcsolva k v nunk tan tani, mint ahogyan a tank nyv javasolja? Sz ks gesnek tartjuk-e egyes anyagr szek kib v t s t, illetve egyszer s t s t? Mik ppen haszn lhatjuk ki a koncentr ci lehet s geit? Foglalkozhatunk-e kieg sz t anyagr szekkel? 12

Tervezz k meg a tananyag-feldolgoz s eszk zsz ks glet t (tanul i eszk z k, tan ri demonstr ci, transzparensek, t bl zatok, vide k, sz m t g pes programok, szakk ri f zetek stb.). Gondoljuk v gig, hogy mennyi id kellene s mennyi id jut az egyes r szek tan t s hoz. A sz ks gletnek megfelel en tervezz k meg a folyamatos ism tl st, a felz rk ztat st s a tehets ggondoz st. V lasszuk ki a feladatokat ehhez ltal nosan rv nyes receptet nem lehet adni. Ez rt a tanmenetjavaslat els sorban a koncentr ci jelz s re tartalmazza a feladatok sorsz m t. A tank nyv egy lehets ges, a gyakorlatban bev lt didaktikai elk pzel s szerint rendszerezi a feladatokat. A lapsz len jel li, hogy a feladatok mennyire nehezek (l sd a tank nyv bevezet j t). Megjel lt k a feldolgoz s szempontj b l legfontosabbnak tartott feladatokat is. Ezek a jelek s a tank nyv tagolts ga kell seg ts get ny jtanak az oszt ly sz nvonal nak s elk pzel seinknek megfelel feladatok kiv laszt s hoz. A folyamatos ism tl shez tekints k t az el z fejezetek gyakorl feladatait s a Matematika 6. Gyakorl, atehets ggondoz shoz a T rd a fejed! fejezetek, a Versenymatek gyerekeknek s a Matematika 5{6. Feladatgy jtem ny feladatait is. A tanmenetjavaslat ut n t telesen ttekintj k az adott fejezethez kapcsol d ismeretrendszert, a tananyag t rgyal sa sor n v rhat neh zs geket, a tipikus tanul si hib kat, ismertetj k a gyakorlatban bev lt m dszertani fog sokat" stb. A matematikatan t s egyik alapelve: den ci seg ts g vel senkinek sem k zvet thet nk az ltala ismertekn l magasabb rend fogalmakat, hanem csakis oly m don, hogy megfelel p ld k sokas g t ny jtjuk". (Skemp: A matematikatanul s pszichol gi ja. Gondolat, 1975.) A legt bb hatodik oszt lyos gyerekn l m g nem alakultak ki a magasabb rend " fogalmak, ez rt m g nem k pesek dedukt v ton elsaj t tani az j ismereteket, esetleg k s rletekb l, meggyel sekb l kiindulva, a feladatok sokas g t megoldva felfedezik", megsejtik azokat. ltal ban nem den ci t tan tunk, hanem a fogalmakat fokozatosan pontos tjuk, egzaktabb tessz k. Ellenkez esetben a matematikatanul s rtelmetlen verbalizmus szintj re s llyedhet. Ugyanakkor ha meg rtek a felt telek, akkor fokozatosan k vetelj k meg, hogy a felismert sszef gg seket pontosan fogalmazza meg a tanul. Sok olyan gyerek van, aki meg rti m sok gondolatmenet t, meg rti egy-egy feladatban az sszef gg seket, de a saj t tapasztalat t, gondolatait nem tudja elmondani. Ennek egyik oka a t lzott r sbelis g, a besz dgyakorlatok" hi nya. Ez a fajta n mas g fokozatosan a tanul s g tj v v lhat. Tudatosan t rekedj nk arra, hogy atanul knak legyen alkalmuk megfogalmazni a mondanival jukat min l rthet bben, pontosabban, t m rebben. (A t ved s szabads g val biztos tott vita tanul p rokban, kiscsoportokban foly munka besz mol k az egy ni munka eredm ny r l stb.) A h zi feladat megold s t mondja el egy-egy tanul. K vetelj k meg a tanult rtelmez sek s gondolatmenetek szabatos kifejt s t. Ha elv rjuk, hogy az esetleges hib kat a t bbiek jav ts k, akkor egy-egy tanul sz beli szerepl s b l az eg sz oszt ly tanulhat. 13

Miel tt az j anyag feldolgoz s t elkezden nk, ssze kell gy jten nk a sz ks ges { kor bban tanult { ismereteket. Ebben seg t az egyes fejezetekben tal lhat Eml keztet. Az itt le rtakat is feladhatjuk egy ni, otthoni megtanul sra. Matematikai sz vegek meg- rt s re is nevelj k a gyerekeket, ezen eml keztet k n ll feldolgoz sa ezt a c lt is szolg lja. Term szetesen ha az ismeretek nem megalapozottak, vagy a tanul ink t bbs ge m g nem k pes ezek n ll feleleven t s re, akkor az ra elej n k z s munk val is meger s thetj k a tov bbl p shez sz ks ges fogalmakat, elj r sokat, sszef gg seket. A tank nyv az j fogalomrendszer ki p t s t felfedeztet feladatsorokkal k sz ti el, s kidolgozott mintap ld kkal k veti nyomon. Az alternat v m dszertani megold sok lehet s geit a tananyag-feldolgoz s t rgyal sa sor n elemezz k. A mintap ld k feldolgoz sa, a megold sok elemz se { ltal ban a k zepes vagy a k zepesn l valamivel gyeng bb k pess g tanul sz m ra is rthet form ban { r gz ti a felfedez seket", a felismert sszef gg seket, a megtanuland elj r sokat, gondolatmeneteket. A p ld khoz f z tt magyar zatok rtelmezik a fogalmakat. Agyakorlatban az v lt be, hogy a mintap ld kat a tan r k zvetlen ir ny t s val oldj k meg s vitatj k meg a gyerekek. Ebben az esetben olyan h zi feladatot adjunk, amelynek megold s t el seg theti a mintap lda megold s nak, a hozz f z tt magyar zatnak az tn z se. N h ny esetben (els sorban emelt szinten) a kidolgozott mintap ld k tanulm nyoz s t feladhatjuk h zi feladatk nt is. Javasolhatjuk azt is, hogy hasonl feladatok megold sa sor n k vess k a mintap ld k megold s ban le rtakat. Ez a m dszer szint n a matematikai sz vegek meg rt s re nevel st szolg lhatja. A h zi feladat neh zs ge s mennyis ge igazodjon az egyes gyerekek egy ni k pess geihez, jelentsen megterhel st, de m g n ll an boldoguljon vele a gyerek, s megold sa 15{20 percn l t bbet ne vegyen ig nybe. Itt is felh vjuk a gyelmet arra, hogy a tank nyvben tal lhat Tud spr ba nem a min s t rt kel st szolg lja, ez rt nem alkalmas arra, hogy feladataib l dolgozatot rassunk. E feladatokat dierenci ltan tervezett egy ni munk ban dolgoztassuk fel. Az eredm nyeket p ld ul r svet t vel ellen rizve hozz vet leges k pet nyerhet nk a pillanatnyi helyzetr l. Ennek alapj n megtervezhetj k az anyagr sz sszefoglal s t, ahi nyoss gok p tl s t, a gyakorl st, a korrepet l st, az egy nre szabott" otthoni munk t stb. Ugyanakkor a tud spr b kra ny jtott teljes tm ny elemz s vel s (fejleszt jelleg ) rt kel s vel tudatos thatjuk a k vetelm nyeket, felk sz thetj k tanul inkat a dolgozatra. A Matematika 6. Gyakorl 10. fejezete is olyan t maz r feladatsorokat tartalmaz, amelyeket szint n fejleszt rt kel sre haszn lhatunk fel. A hozz juk kapcsol d jav t si s pontoz si tmutat k seg ts g vel a tanul n ll an is ellen rizheti, rt kelheti tud s t. A min s t rt kel st a Felm r feladatok k l nb z f zeteinek feladatsoraival v gezhetj k el. 14

raterv Az oktat si t rv nybevezet s vel tan venk nt minim lisan 185 t nyleges tan t si napot kell biztos tani (az eur pai norma 200 nap). Akerettanterv minim lisan heti 3, vi 111 matematika r t r el. Ez az rasz m a kerettantervben el rt minim lis k vetelm nyek el r s re, a reduk lt tananyagot tartalmaz alapszint tank nyv (A v ltozat) tananyag nak alapos feldolgoz s ra sem elegend. Ez rt, ha a helyi tanterv heti 3 r t biztos t, akkor f lt tlen l szervezz nk korrepet l sokat a lemarad k felz rk ztat s ra. Felm r seink szerint az iskol k t bbs g ben a helyi tanterv 6. oszt lyban egy szabadon tervezhet r t, sszesen heti 4 r t biztos t a matematikai nevel s sz m ra, gy egy tan vben 148 r val sz molhatunk. Ez az rasz m f lt tlen l sz ks ges a hatodikos tananyag tfog t rgyal s hoz, megnyugtat begyakorl s hoz. L sd a b v tett" tank nyv (B v ltozat). Az vi 111 r t, illetve 148 r t a k vetkez k ppen c lszer felosztani: 1. Sz mok s m veletek. A sz mtan, algebra tananyag ism tl se, b v t se. A m veletek fogalm nak s a m veleti elj r soknak a kiterjeszt se a racion lis sz mk rre. Oszthat s g, legnagyobb k z s oszt, legkisebb k z s t bbsz r s. A helyi tanterv c lkit z seit gyelembe v ve, gyeng bb csoportban reduk lhatjuk a b v tett tank nyv ltal t rgyalt anyagot. Az gy felszabadul id t a m veletek gyakorl s ra ford thatjuk. 2. Geometriai alakzatok vizsg lata. Az aj nlott rakereten bel l val s tsuk meg a dierenci l st. 3. F ggv nyek, egyenes s ford tott ar nyoss g, sz zal ksz m t s. K rdiagramok. Val sz n s gi k s rletek. Ha van r lehet s g nk, akkor b v ts k a fenti rakeretet. Gyeng bb csoportokban elegend k vetkeztet ssel megoldatnunk a feladatokat. 4. Geometriai transzform ci k. Tengelyes t kr z s. A b v tett tank nyv a legjobb k pess g oszt lyoknak is teret k v n biztos tani a megfelel tem halad sra. Gyeng bb csoportban cs kkenten nk lehet a tananyagot. 5. Nyitott mondatok. Egyenletek, egyenl tlens gek megold sa. Ismerked s a m rlegelvvel. Biztos tsunk elegend id t a t mak r t rgyal s ra. A B 38 52 ra 16 21 ra 20 24 ra 14 24 ra 13 17 ra 6. v v gi sszefoglal s. Felz rk ztat s. 10 10 ra sszesen a k telez rakeretb l: 111 148 ra A fenti id keret az ellen rz sre sz nt 12-12 r t is tartalmazza. 15

1. Sz mok s m veletek Ez a fejezet tartalmazza a sz mtan, algebra tananyag mintegy 80%- t. Ha ezt a fejezetet a tan v els h napjaiban eg sz ben feldolgozzuk, akkor a k vetkez fejezetek t rgyal sa sor n, folyamatos ism tl s keret ben p tolhatjuk a nehezebben halad tanul k hi nyoss gait, begyakoroltathatjuk a legfontosabb sz mol si elj r sokat. A fejezet minden nagyobb egys g ben el sz r tism telj k, rendszerezz k, gyakoroljuk, magasabb absztrakci s szintre emelj k, majd l nyegesen kib v tj k az el z t vben tanult sz mtan, algebra tananyagot. A feladatsorokat gy ll tottuk ssze, hogy alkalmasak legyenek a kor bban tanult ismeretek sszesz v s re, a 6. oszt lyban tan tand anyagr szek meg rt s nek, rtelmez s nek s elsaj t t s nak az el k sz t s re. C lunk volt az v eleji k vetelm nyszint feladatokkal val lefed se" is. A fejezet feladatanyag t amennyis gi b s g s a tartalmi sokoldal s g jellemzi. Hogy ebb l mit s mennyit dolgozzunk fel, azt a gyerekek matematikai ismereteihez s k pess g hez kell igaz tanunk. A j k pess g gyerekekkel k ros lehet az alapvet ismeretek sulykoltat sa, m g a kev sb tehets ges gyerekek az rdekes matematikai probl m k feldolgoz s b l (az alapvet ismeretek hi nya miatt) esetleg semmit sem rtenek meg. Ha a tananyagot nem igaz tjuk a gyerekek k pess geihez, elidegen thetj k ket a matematik t l, ez rt ebben a r szben a tan r k mintegy fel ben javasoljuk a dierenci l st. Mindenk ppen t rekedj nk arra, hogy kell en megszil rd tsuk a kor bban tanultakat, p toljuk az t dik oszt lyos tantervi k vetelm nyek teljes t se ter n mutatkoz hi nyoss gokat. Fontosnak tartjuk, hogy addig ne l pj nk tov bb, m g minden tanul biztosan nem tudja a 6. oszt lyos minimumot. Ez rt a fejezet feldolgoz s nak id ig nye az egyes oszt lyokban nagyon elt rhet. A sz melm let elemeinek tan t sa sor n sszetett nevel si, k pz si s oktat si feladatokat oldhatunk meg. A gyermek sz m ra rthet, de szellemi er fesz t st felt telez feladatok fejlesztik a gyermek probl mamegl t s probl mamegold k pess g t. Az sszef gg sek felt r s ra, a fogalmak rtelmez s re j l alkalmazhatjuk a halmazelm leti, a logikai, a kombinatorikai ismereteket s elj r sokat. Az jonnan tanultakat azonnal alkalmazhatjuk a t rtek egyszer s t se, sszead sa, kivon sa sor n. Ezzel a tanultak tfog bb rendszerr llnak ssze, ugyanakkor megszil rd thatunk s kib v thet nk fontos, kor bban elsaj t tott ismereteket. A gyermek ltal nos tja akonkr t sz mokkal felfedezett" sszef gg seket { indukci. Megtanulja a felismert fogalmak s sszef gg sek szabatos megfogalmaz s t, s megteszi a kezd l p seket, hogy ltal nos szinten bizony tsa a megfogalmazott t teleket ( sszeg oszthat s ga, oszthat s gi szab lyok, a legnagyobb k z s oszt kisz m t s nak a m dja stb.). Ugyanakkor l tnunk kell, a 11-12 ves gyermek m g nincs azon a szinten, hogy ltal nosan megfogalmazott den ci kat s t teleket tanuljon meg, meg rtse s elsaj t tsa azok egzakt bizony t s t. Ezeknek az ismereteknek valamivel magasabb absztrakci s szint feldolgoz s ra 7. s 8. oszt lyban visszat r nk, de a dedukt v t rgyal sra akkor is csak a gimn ziumi tagozatban ker lhet sor. 16

Tanul ink egy r sz nek m g ebben az letkorban is gyenge az elemi sz beli sz mol si k pess ge. Az oszt p rok keres se, a sz mok pr mt nyez kre bont sa, a t rtekkel v gzett sz m t sok stb. lehet s get adnak arra, hogy felt rjuk ezeketahi nyoss gokat, s hat rozottan megk vetelj k az elemi sz beli sszead s, kivon s, szorz s s oszt s gyakorl s t. Vigy zzunk arra, hogy az elemi sz mol s ne v lj k nc l v. Csak rdekes probl m khoz kapcsol d, t bb r ra tervezett, de az egyes r kon nem kimer t gyakorl s vezethet c lra. A helyi tanterv kidolgoz sakor, illetve a tan t s megtervez sekor vegy k gyelembe, hogy kor bban meddig jutottak el tanul ink, mit riztek meg a tanultakb l, tov bb, hogy 7. s 8. oszt lyban milyen szinten k v nunk visszat rni a t m ra. Afejezet anyag nak hi nytalan feldolgoz s t tlagos vagy gyeng bb oszt lyban csak akkor javasoljuk, ha elegend id t tudunk r biztos tani. Ezekben az oszt lyokban a jobb k pes g tanul k fejleszt s t n vre sz l feladatsorokkal, illetve az otthoni tanul s dierenci lt megszervez s vel oldhatjuk meg. Id zz k fel a racion lis sz m rtelmez s t. Eddig els sorban gy tal lkoztak a tanul k aracion lis sz m fogalm val, hogy felsoroltuk, melyek ezek a sz mok (a 0, a pozit v s negat v eg sz sz mok s a t rtek). Ezek k z s tulajdons ga, hogy fel rhat k k t eg sz sz m h nyadosak nt (m g a nem racion lis sz mok nem rhat k fel ilyen alakban). A den ci ut n p ld kat mutatunk, amely p ld k a kor bbi ismeretekhez kapcsol dnak. 6. oszt lyban eljutunk addig, hogy b rmely t rt fel rhat v ges tizedest rt vagy v gtelen szakaszos tizedest rt alakban. A racion lis sz mok halmaz t gy is megadhatjuk: az eg sz sz mok (pozit v, negat v, 0), a v ges tizedest rtek s a v gtelen szakaszos tizedest rtek. A v ges tizedest rteket a hatodikos tanul is k pes t rtalakban fel rni. Azt, hogy a v gtelen szakaszos tizedest rt talak that k t eg sz sz m h nyados v (esetleg szakk r n), n h ny p ld val mutathatjuk meg j k pess g tanul inknak, de k vetelm nyk nt ne szerepeljen az ltal nos iskol ban. A racion lis sz mok fogalm t is jobban meg rtik a tanul k, ha t bb olyan v gtelen tizedest rtet is l tnak, amelyek nem szakaszosak, azaz nem racion lisak a sz mok. Erre tal lhat p lda a tank nyv 51. oldal n. Akkor tekinthetj k optim lisnak a sz mtan, algebra tananyag feldolgoz s t, ha a tanul k pess v lik a k l nb z alfejezetekben (sz melm let, eg sz sz mok, t rtek, tizedest rtek), tanultak integr l s ra. P ld ul k pesek kiterjeszteni a negat v eg szekr l, illetve a pozit v t rtekr l tanultakat a racion lis sz mk rre. B r hatodik oszt lyban { z m ben { a kor bban elsaj t tott fogalmak k pezik az alapj t az jabb fogalmaknak (teh t m r magasabb rend fogalmakat alak tunk ki), m gsem mondhatunk le a szeml leti megalapoz sr l. A sz nesr dk szlet, a ter letmodellek, a lyukast bla stb. nagyon sokszor itt is hasznosak a fogalomalkot s kezdeti szakaszaiban. A dierenci l st els sorban a feladatok kiv laszt s val oldhatjuk meg. A tank nyv, illetve a Matematika 6. Gyakorl feladatainak sz ma olyan nagy, hogy m g nagyon j oszt llyal sem lehet megoldatni valamennyit. A szerz k c lja az volt, hogy megfelel lehet s get biztos tsanak a felmer l pedag giai probl m k megold s ra. Ez rt az oszt ly felk sz lts g t l f gg en v logassunk a feladatok k z l. 17

A tananyag-feldolgoz s csom pontjai 1. A hatv nyoz s fogalma, a 10 term szetes sz m kitev j hatv nyai. 2. Sz mok r sa, olvas sa, helyes r sa a t zes sz mrendszerben, br zol suk sz megyenesen. Akor bban tanultakat kib v tj k a 10 6 -n l nagyobb s 10 {6 -n l kisebb sz mok k r re. Az oszt lyok t bbs g ben j tananyagnak tekinthet a hatv nyoz s rtelmez se s a helyi rt kek fel r sa 10 hatv nyainak seg ts g vel. Szorz s s oszt s 10-zel, 100-zal, 1000-rel,. Az r sbeli m veletek (a szorz s az oszt term szetes sz m) begyakorl sa, a hi nyoss gok p tl sa. Akor bban tanult m veleti tulajdons gok meger s t se. A helyes m veleti sorrend gyakorl sa. Ezeknek az ismereteknek az alkalmaz sa a m rt kegys gek tv lt s ban. 3. A sz vegelemz, sz veg rtelmez k pess g fejleszt se c lj b l, a m veletek gyakorl s val p rhuzamosan, oldassunk meg sok sz veges feladatot. Fontos az ar nyoss gi k vetkeztet sek gyakorl sa. 4. K zel t rt k. A kerek t s s a sz mtani k z p kisz m t s nak feleleven t se. Elemi statisztikai vizsg latok. 5. Feleleven tj k az oszt ", oszthat ", t bbsz r s" stb. fogalmakat. A legnagyobb k z s oszt s a legkisebb k z s t bbsz r s fogalma s kisz m t sa kis sz mok eset n. 6. A 2-vel, 5-tel, 10-zel 4-gyel, 25-tel, 100-zal j csoportban 3-mal, 9-cel val oszthat s g szab lya. Az oszthat s gi szab lyokat konkr t sz mokkal v gzett vizsg latokra t maszkodva bizony tjuk. J csoportban a marad kokkal val sz mol ssal el k sz tj k az oszthat s gi szab lyokat. A halmazokr l tanultak felhaszn l s val t bb oszthat s gi szab lyt egy ttesen alkalmazunk: oszthat s g 6-tal, 15-tel stb. 7. J csoportban: A t rzssz m, sszetett sz m fogalma. Sz mok p t se" t rzssz mokb l, szorz s seg ts g vel. A term szetes sz mok t rzst nyez kre bont sa. A sz melm let alapt tel t ltal nosan is megfogalmazzuk, de csak konkr t sz mokhoz kapcsol dva fedeztetj k fel a bizony t s n h ny elem t. Sz mok oszt inak, t bbsz r seinek vizsg lata a t rzst nyez kre bont s seg ts g vel. A legnagyobb k z s oszt s a legkisebb k z s t bbsz r s kisz m t sa a sz mok t rzst nyez s alakj b l, a tanultak alkalmaz sa t rtek egyszer s t s ben, sszead s ban, kivon s ban. 8. Az eg sz sz mok sszead s nak s kivon s nak gyakorl sa, az rtelmez s tudatosabb szintre emel se, ltal nos t sa. Atanult m veleteket kiterjesztj k a negat v t rtekre is. P ld ul kor bban a kivon st csup n kis abszol t rt k eg sz sz mok k r ben v rtuk el. Most fokozatosan k vetelj k meg, hogy a tanul k el bb tetsz leges eg sz sz mokkal, majd tetsz leges racion lis sz mokkal is k pesek legyenek v grehajtani az sszead st s a kivon st. j tananyag aszorz s s az oszt s rtelmez s nek kiterjeszt se negat v eg sz szorz ra, illetve oszt ra. 9. A t rtekr l, tizedest rtekr l tanultak feleleven t se, a hi nyoss gok p tl sa. 18 A fogalmak egym sra p tetts g t gy biztos thatjuk, hogy mindazon ismereteket, amelyeket t dik oszt lyban vagy hatodik oszt lyban kor bban tanultak, ism t

felsz nre hozzuk, sezekre p tj k a magasabb rend fogalmakat. P ld ul: a k l nb z el jel t rtekkel v gzett m veletek tanul sa sor n automatikusan felhaszn ljuk az eg szekn l tanultakat. Ehhez meg kell gy z dn nk arr l, hogy rendelkeznek-e tan tv nyaink a sz ks ges alapokkal, azaz lehet-e a kor bbi ismeretekre p ten nk. A r gebbi ismeretek feleleven t s t, valamint a hi nyok p tl s t szolg lja minden fejezet elej n az a n h ny k nnyebb feladat, amelynek megoldat s t { ppen az el bbiek miatt { mindenk ppen javasoljuk. 10. Szorz s t rttel s tizedest rttel. A t rtr sz kisz m t sa. A t rtek s a tizedest rtek szorz s t mint egyazon fogalom k t k l nb z megjelen si form j t t rgyaljuk, megmutatva mind az eg szekkel, mind a t rtekkel val hasonlatoss got, illetve k l nb z s get. 11. A reciprok fogalma. Oszt s t rttel s tizedest rttel. Az egys g kisz m t sa a t rtr szb l, t rttel val oszt ssal. 12. A racion lis sz mokkal v gzett m veletekr l, az ar nyr l, a sz zal kr l tanultak alkalmaz sa a matematika k l nb z t mak reiben (egyszer egyenletek, f ggv nyek, sorozatok, m r s, geometria). 13. A sz vegelemz s sz veg rtelmez k pess g fejleszt se, a m veletfogalommal kapcsolatos sz veges feladatok megold sa. Kapcsolat a mindennapi lettel, illetve a t rstant rgyakkal. Kapcsol d si lehet s gek Halmazok, logika, kombinatorika A tagad s, a logikai s", a logikai vagy", a ha, akkor ", legal bb", pontosan" kifejez sek rtelmez se halmazok egyes t se, k z s r sze, k l nbs ge. Az anyagr sz t rgyal s t teljesen tsz hetj k a halmazelm leti s logikai ismeretek eszk zszer alkalmaz s val. A sz melm leti ismeretrendszer fel p t s vel p rhuzamosan megtervezhetj k a halmazelm leti s logikai ismeretek rendszerez s t s kib v t s t is. P ld ul: A 2-vel oszthat sz mok s a 4-gyel oszthat sz mok halmaz nak vizsg lat hoz kapcsol d an rtelmezhetj k a r szhalmaz fogalm t. Vizsg lhatjuk a k vetkez t pus kijelent sek igazs g t: Minden 4-gyel oszthat sz m oszthat 2-vel." Minden 2-vel oszthat sz m oszthat 4-gyel." Van olyan 2-vel oszthat sz m, amelyik nem oszthat 4-gyel." Ha egy sz m oszthat 2-vel, akkor oszthat 4-gyel." Ha egy sz m oszthat 4- gyel, akkor oszthat 2-vel." (Ellenp lda keres se.) Ez ut bbi k t kijelent shez hasonl kijelent sekkel vizsg lhatjuk egy t tel s megford that s g nak a viszony t (ezt azonban csak 7., 8. oszt lyban tudatos tjuk). P ld ul a 6-tal val oszthat s g vizsg lat n l vagy a k z s oszt k, k z s t bbsz r s k fogalm nak kialak t s hoz felhaszn ljuk a halmazok k z s r sz r l tanultakat. 19

Kapcsol dunk az s" s a pontosan akkor, ha" logikai m veletekhez: Egy sz m pontosan akkor oszthat 6-tal, ha oszthat 3-mal s 2-vel." Egyes feladatok diszkusszi ja elvezet a logikai vagy" alkalmaz s hoz s a halmazok egyes t s nek fogalm hoz. A marad koszt lyok fogalm t csak a legjobb oszt lyokban c lszer tudatos tanunk. Ennek ellen re a konkr t marad koszt lyok vizsg lata el k sz ti az oszt lyoz s fogalm nak kialak t s t: a) egyik r szhalmaz sem res b) mindegyik elem beletartozik valamelyik r szhalmazba c) a r szhalmazoknak nincs k z s elem k. Aracion lis sz mok r szhalmazainak ttekint sekor, valamint az egyenletek, egyenl tlens gek igazs ghalmaz nak vizsg lat ban is alkalmazzuk a halmazokr l tanultakat. A kombinatorika eszk zjelleg alkalmaz s val sz nesebb tehetj k az esetenk nt k nnyen egyhang v v l gyakorl r kat. Oszthat s gi feladatok sszes megold s nak keres sekor s a sz mok t rzst nyez kre bont sa sor n eszk zjelleggel alkalmazzuk a kombinatorikai elj r sokat. A sz mtan, algebra egy b t mak rei A fejezet egyik alapvet c lja az eddig tanult aritmetikai, sz melm leti s algebrai ismeretek sszegz se, sszesz v se, begyakorl sa s tov bbfejleszt se. Ez rt minden kor bban tanult ismerettel kapcsolatba hozzuk az jonnan tanultakat. Sorozatok, f ggv nyek A helyi rt k fogalm nak kialak t s hoz, haszn ljuk a sorozatokat, f ggv nyeket. a m veletek gyakorl s hoz eszk zjelleggel Vizsg lhatjuk egyes konkr t rel ci k tulajdons gait (a fogalmakat nem deni ljuk). V ges halmazokon br zolhatjuk ezeket a rel ci kat ny ldiagrammal. P ld ul: a) Az 5-tel osztva ugyanazt adja marad kul" rel ci tulajdons gai (konkr t sz mokkal vizsg ljuk): Minden elem rel ci ban van saj t mag val, azaz minden sz mt l ny l mutat saj t mag hoz. Ha egy a sz m rel ci ban van b-vel, akkor b is rel ci ban van a-val. Anyilakat oda-vissza meg kell h znunk az elemek k z tt. Ha a rel ci ban van b-vel, s b rel ci ban van c-vel, akkor az a rel ci ban van c-vel is. Az egy oszt lyba tartoz elemek k z tt meg kell h znunk az sszes lehets ges nyilat. b) Az oszt ja" rel ci tulajdons gai (konkr t sz mokkal vizsg ljuk): Minden sz m oszt ja saj t mag nak. Ha egy a sz m oszt ja egy b sz mnak (a 6= b), akkor a b nem oszt ja az a-nak. Ha a oszt ja b-nek, s b oszt ja c-nek, akkor az a oszt ja c-nek is. 20

Der ksz g koordin ta-rendszerben br zoltathatjuk, hogy a term szetes sz mok rendre mit adnak marad kul p ld ul 5-tel osztva. A f ggv ny tulajdons gainak vizsg lat val m lyebben megismerhetik a marad kos oszt s ( s a marad koszt lyok) tulajdons gait. A m veletekr l tanultakat folyamatosan probl mahelyzetben gyakoroltathatjuk: sorozatok folytat sa, szab lyok megfogalmaz sa, f ggv nyt bl zat hi nyz elemeinek megkeres se adott vagy felismert szab ly alapj n, egyenes ar nyoss gi k vetkeztet sek. M r sek, geometria A m rt kegys gek ism tl s t, tov bb a t glalap ker let-, ter letsz m t s t s a t glatest felsz n- s t rfogatsz m t s t be p tett k a sz mtan, algebra tananyag ism tl s be. Ezzel a tartalom b v t se mellett gyakoroltathatjuk a m veleteket. Az id m r sre jellemz ciklikuss g alkalmas a marad kokkal val sz mol s el k sz t s re (1.54. feladat). Amarad koszt lyok s a forg sszimmetria k zti kapcsolatot is felhaszn lhatjuk a marad kokkal val sz mol s szeml ltet s re. Ugyanakkor el k sz thetj k a szab lyos soksz gek fogalm t is. Ezek a felfedeztet feladatok komplex m don fejleszthetik a sz melm leti, algebrai s geometriai ismereteket. Am rt kegys gekkel szeml ltetj k a tizedest rtekkel val sz mol st. A t rttel val szorz s rtelmez s t a t glalap ter let nek kisz m t s ra vezethetj k vissza. Val sz n s g, statisztika Ak zel t sz m t sokhoz kapcsol d an feleleven tj k az tlag fogalm t, illetve el k sz tj k a sz r s fogalm t. A B1.54. feladat a val sz n s gsz m t s ismeretrendszer nek feleleven t s t szolg lja. Tanmenetjavaslat Norm l vastags g sz mjegyek jelentik a heti 3 r s reduk lt k pz snek megfelel rasz mokat. Az optim lis (heti 4 r s) k pz sben r sztvev k rasz mait f lk v r sz mjegyekkel rtuk. ra Aktu lis tananyag Feladatok 1{2. Folyamatos ism tl s, koncentr ci Feladatok akombinatorika, a sorozatok, f ggv nyek s a halmazok, logika t mak r kb l. R szhalmaz. A hatv nyoz s el k sz t se. Tk. B1.32{B1.37. Gy. 1.01{1.09. 9.09{9.10. Fgy. 1.1.14{48. 1{2. 3{4. Hatv nyoz s. A pozit v eg sz kitev j hatv ny rtelmez se a 0kitev j hatv ny. (M veletek hatv nyokkal.) A helyi rt kek fel r sa 10 hatv nyainak a seg ts g vel. Kombinatorika (ism tl ses vari ci ). Tk. 1.01{1.05. B1.38{B1.39. Gy. 1.32{1.39. Fgy. 1.2.50{53. 21