BEVEZETÉS A STATIKA HELYE A TUDOMÁNYBAN A statika a fizikának, mint a legszélesebb körű természettudománynak a része. A klasszikus értelemben vett fizika azokkal a természeti törvényekkel, illetve az anyagoknak azokkal az állapotváltozásaival foglalkozik, melyek érvényesülése során maga az anyag nem változik. A fizika egyik területe a mechanika. A mechanika a testek mozgásával, a mozgásokat előidéző okokkal, illetve az ezt okozó erőkkel foglalkozik. A mechanika különböző tárgykörök szerint csoportosítható. Ezek közül az egyik a műszaki mechanika. A műszaki mechanikának azt az ágát, amelyik csak a mozgásokat vizsgálja, kinematikának nevezik, azt az ágát, amelyik az erőkkel foglalkozik, dinamikának nevezik. A dinamika tovább osztható két részre, a kinetikára és a statikára. A kinetika az erők hatására mozgásban levő testekkel foglalkozik. A statika az erők hatására nyugalomban levő testekkel, illetve az ezekre a testekre ható erők közötti összefüggések vizsgálatával foglalkozik. A statika tovább bontható két területre attól függően, hogy milyen testeket vizsgál. Az egyik terület a merev testek statikája, röviden a statika. Ebben a vizsgálódásban a testek alakjukat, méretüket semmiféle erőhatásra nem változtatják meg. A valóságban merev test nem létezik, tehát e fogalom bevezetése absztrakció, elvonatkoztatás. Alkalmazását az indokolja, hogy a statikai törvényszerűségeket lényegesen könnyebb és egyszerűbb ezeken a modelleken tárgyalni, mint a szilárd testeken. A statika másik területe a szilárd testek statikája, melynek a neve röviden szilárdságtan. A szilárdságtan szilárd, törhető és nem alaktartó testekkel foglalkozik. Ez a téma majd a következő évek műszaki tantárgyai között fog szerepelni. A fent leírtakat szemlélteti az 1. ábra. FIZIKA MECHANIKA MŰSZAKI MECHANIKA 1. ábra K I N E M A T I K A DINAMIKA K I N E T I K A STATIKA SZILÁRD TESTEK STATIKÁJA MEREV TESTEK STATIKÁJA
A STATIKA HELYE A KÖZÉPISKOLAI TANTÁRGYI RENDSZERBEN Az építőipari középiskolai szakmai tantárgyi rendszerben a STATIKA és a SZILÁRDSÁGTAN tantárgyak célja, hogy fejlesszék a tanulók statikai érzékét és készítsék fel a tanulókat a technikusi munkakörben elvárható statikusi ismeretanyag elsajátítására. Nagyon leegyszerűsítve foglaljuk össze, hogy mi a statikus szerepe egy épület tervezése során. A tervezés első fázisában az építész tervező az épület funkcióját alapul véve meghatározza a különböző helyiségek alaprajzi elrendezését, szintjeinek számát, a homlokzati megjelenés formáját. Ahhoz, hogy az így elképzelt épület majdan ne dőljön össze, a teherhordó szerkezetei a rájuk ható terheket biztonsággal viseljék, a statikus tervező munkájára van szükség. A statikus tervező az építészeti tervek alapján először az erőtani számítást készíti el. Ebben a tartószerkezeteket statikai modellekkel helyettesíti. A statikai modellekre ráteszi az általa meghatározott terheket, mint külső erőket és ezekből meghatározza a szerkezetek anyagának az igénybevételeit. Az így rendelkezésére álló igénybevételi adatokra építi a speciális méretezési eljárásokat, melynek eredményeképpen megszületnek például a szükséges anyagminőségek vagy méretek, acélbetétek darabszáma, átmérői, stb. Az erőtani számítást követi a statikus tervrajzok elkészítése. A STATIKA tantárgyban nem szerepel méretezés. Tehát a tananyag csak a méretezés alapadatainak számító igénybevételek meghatározásáig tart, így például a legnagyobb húzónyomó erő, a legnagyobb nyíró erő, a legnagyobb hajlítónyomaték meghatározásáig. A statikusi munka tanulásának a folytatása a következő tanévekben a SZILÁRDSÁGTAN tantárgyban folytatódik. NÉHÁNY TANÁCS A STATIKA TANULÁSÁHOZ Az egyes fejezetek elején a fejezetben feldolgozott téma tömör elméleti megvilágítása található. Törekedni kell arra, hogy az ott leírtakat ne a magolás módszerével memorizáljuk, hanem az értelmét jegyezzük meg. Lehet, hogy ezeket a szabályokat, törvényeket az ismeret szintjén akár egy felelet alkalmával fel tudjuk mondani, de ez az ismeret, tudássá csak akkor válik, ha egy feladat megoldása során tudjuk alkalmazni. Minden fejezet végén kidolgozott példák találhatók. A kidolgozás menetében vegyük észre, hogy a konkrét feladatban hogyan jelennek meg az elméleti részben általános érvénnyel megfogalmazott tételek. A példák helyes megoldásához szükséges egy kellő feladatmegoldó rutin, gyakorlat. Viszont, nem lenne szerencsés, ha a számos gyakorlás után csak azért lenne jó a megoldás, mert sikerül az egy kaptafára húzás. Sokkal inkább annak kell tudatosulnia, hogy egy feladattípus értelmesen megtanult elve alapján ugyanabba a feladattípusba tartozó bármely példa az elv alkalmazásával megoldható. Ha ez sikerül, akkor nem fog zavart okozni, ha a dolgozatban a példa rajza, formája, az erők állása másképpen néz ki, mint a gyakorlás során készített példában. A statikában többféle előjelszabályra van szükség. Nagyon fontos, hogy ne keverjük össze a külső erők és belső erők előjelszabályait! Például nagy hibát vétenénk, ha egy eredményként kapott erő esetében az előjelek rossz értelmezése miatt, nem a helyes irányba mutató nyíl lenne az eredmény nyila. E hiba súlyosságát könnyen belátjuk, ha arra gondolunk, hogy a valóságban a tartó szakadását okozhatja, ha a mi hibás megoldásunkban az erő nyomóra adódik és a méretezés során a húzott rudat nyomottként kezelnénk. Minden eredményként kijött erő nagysága és mértékegysége mellett a nyilát is meg kell adni!
STATIKAI ALAPFOGALMAK AZ ERŐ A bevezetőben azt olvashattuk, hogy a statika az erők hatására nyugalomban levő testekkel, illetve az ezekre a testekre ható erők közötti összefüggések vizsgálatával foglalkozik. Tehát a tanulmányaink során az ERŐ a főszereplő, ezért alaposan meg kell vele ismerkedni. AZ ERŐ FOGALMA Képzeljünk el egy olyan gumilabdát, amelyikben a levegő nyomása nem túlságosan nagy, de ettől még megtartja a tökéletes gömb alakját. Helyezzük ezt a labdát egy vízszintes, sík felületre, ahol a labda mozdulatlanul nyugszik. Elvileg a gömb a síkkal egyetlen pontban érintkezik, de mivel a mi labdánk nem túlságosan kemény, azt fogjuk tapasztalni, hogy a síkkal nem egy pontban érintkezik, hanem egy kis kör alakú vízszintes felületen fekszik fel rá, tehát behorpadt. A világűrben, a súlytalanság állapotában ez a horpadás nem következett volna be. A Földön viszont, ahol működik a Föld vonzóereje a gravitáció, behorpad a labda. Tehát ez az alakváltozás, illetve méretváltozás igazolja a súlyerő létét. Ha belerúgunk a labdába, a labda elszáll. Tehát a nyugalmi állapotából mozgó állapotba kerül, mozgásállapota megváltozott. Ennek oka nyilvánvalóan a lábunkkal a labdára kifejtett izomerőnk. Ennek az egyszerű labdás kísérletnek a tapasztalatai alapján megállapíthatjuk, hogy egy testnek (kísérletünkben a Földnek vagy a lábunknak) egy másik test (kísérletünkben a labda) mozgásállapotára vagy alakjára kifejtett hatását egy olyan fogalomnak tekintjük, amit ERŐnek nevezünk. Egyszerűbben fogalmazva tehát az ERŐ olyan hatás, ami a testek alakját vagy mozgásállapotát megváltoztatja. Az erő a valóságban nem létező, képzelet alkotta fogalom. Az objektív tény maga a hatás. Az erő fogalmának a kitalálása csak azt a célt szolgálta, hogy ennek segítségével a hatás pontosabban, kényelmesebben leírható, számításba vehető és esetleg már előre megállapítható legyen. AZ ERŐ JELLEMZŐI NAGYSÁG A feladatokban az erők nagyságát egy számjegy és egy mértékegység (dimenzió) jellemzi. A mértékegység az idő múlása során többször változott. A mérnöki mechanikában (statikában) a használatos erők döntő többsége súlyerő. Ezért ma talán hihetetlennek tűnik, de igaz, hogy volt olyan időszak, amikor a ma közismerten a tömeg mértékenységének tudott kilogrammot használták az erő mértékegységeként.
Az 1979. előtt készült szakirodalomban, szabványokban alkalmazták a kilopond (kp), Megapond (Mp) mértékegységeket. 1 kilopond volt az a nehézségi erő, amelyik 1 liter térfogatú, 4 0 C hőmérsékletű desztillált vízre működött a Föld 45 0 szélességi körén a tengerszint magasságában. Mivel ebben a meghatározásban szerepelt a nehézségi erő változó értéke és a változó magassági viszonyok, az így meghatározott erő nem lehetett teljes érvényű a Föld bármely pontján. Ezt a problémát oldotta meg az új nemzetközi mértékrendszer a Systéme International d Unités, melyet röviden SI-nek neveznek. Volt egy rövidebb időszak az SI-re történő átállás előtt (mintegy áthidaló megoldásként), amikor a dekanewton (dan) volt az erő mértékegysége. Ennek az volt az előnye, hogy bevezetését követően maradhattak a korábbi számértékek a méretezési szabványokban, táblázatokban, mivel a dekanewton (dan: magyarul tíz Newton) egyenlő volt a kiloponddal (kp). Ma a fizika tantárgyban már korábban tanult Newton II. törvénye alapján értelmezzük az erő mértékegységét. (Az angol NEWTON (1643 1727) a mechanika egyik legnagyobb tudósa volt. Felfedezései közül talán a legjelentősebb az általános tömegvonzás (gravitáció) törvényének felismerése.) Newton II. törvénye kimondja, hogy az ERŐ egyenlő a TÖMEG és a GYORSULÁS szorzatával. F = m a ahol az m a test tömege (kg), és a a test gyorsulása (m/s 2 ) Az SI mértékrendszerben az erő levezetett mértékegység, alapja az 1 N (newton = kgm/s 2 ). 1 N az az erő, amely 1 kg tömegű testet 1 m/s 2 re gyorsít fel. Az 1 kg tömeg a Nemzetközi Súly- és Mértékügyi Hivatalban Sévres-ben őrzött platinairidium henger tömege. A gyakorlatban az erőegység hivatalos többszöröseit is használjuk, ezek a kilonewton (kn) és meganewton (MN). Mivel a kilo előtag (prefixum) ezret jelent, 1 kn = 1000 N, a mega előtag milliót jelent, 1 MN = 1 000 000 N. A kilopond (kp) ma már nem hivatalos mértékegysége az erőnek, de a gyakorlatban még találkozhatunk vele. 1 kp az az erő, amely 1 kg tömeget g -vel gyorsít fel. A g a nehézségi (gravitációs) gyorsulás. A Föld körüli gravitációs mező gyengül, ha távolodunk a Földtől, ezért a g értéke függ a magasságtól. Például 10 km magasságban 9,779 m/s 2, 100 km magasságban 9,500 m/s 2. A Holdon a g = 1,66 m/s 2. Tekintve, hogy a Föld nem tökéletes gömb alakú, a g értékét az is befolyásolja, hogy a Föld felszínének melyik pontján mérjük. Az Egyenlítőn 9,78049 m/s 2, a sarkokon 9,83221 m/s 2, a 45 0 szélességi körön 9,80665 m/s 2. Magyarországon a nehézségi gyorsulás két tizedesre kerekített értéke g = 9,81 m/s 2.
Tehát 1 kp egyenlő 1 kg nyugalomban levő tömeg súlyával (G). Ez a két rendszer közötti átszámításban a következő módon írható fel: G = m g = 1 kg 9,81 m/s 2 = 9,81 kgm/s 2 = 9,81 N = 1 kp A nehézségi gyorsulás értékét 10 m/s 2 -nek véve, közelítően 1 kp = 10 N. Magyarország területén az átszámítás a régi és az új mértékegységek között: 1 kp = 9,81 N 10 N 1 N = 0,102 kp 0,1 kp 1 kn = 102 kp 100 kp Az erő nagyságát méréssel lehet meghatározni. A dinamométer működési elve az erő alakváltoztató hatásán alapul. Képzeljünk el egy csavarrugót, melyet az egyik végén rögzítünk. A rugó mellett szintén rögzítsünk egy lapot, melyen bejelöljük a terheletlen rugó végének a helyét. Ha a rugó végére működtetünk egy olyan egységnyinek tekinthető erőt, amely a rugó tengelyében működik és iránya a rögzített végponttól elfelé mutat, akkor a rugó megnyúlik. A megnyúlt rugóvég helyzetét bejelölve a lapon, megadtuk az egységnyi erőnek megfelelő hosszúságot. Ezt a hosszúságot egymás után felmérve a lapra, elvégeztük a mérőeszköz kalibrálását. (Kalibráció: mérőműszerek hitelesítése.) A dinamometer kalibrálását szemlélteti a 2. ábra. ERŐ NAGYSÁGA ERŐ NAGYSÁGA A rugóra felfüggesztünk egy üres edényt. A nyugalmi állapot beálltakor a számlapon megjelöljük a mutató helyét. Itt lesz a 0 N. 2. ábra _ 0 N _ 1 N _ 2 N 0,1 l 4 0 C os desztillált víz _ 0 N _ 1 N _ 2 N Az edényt feltöltjük 0,1 l 4 0 C-os desztilláltvízzel, majd a nyugalom beálltakor a számlapon megjelöljük a mutató helyét. Itt lesz az 1 N. A 0 N és 1 N közötti távolságot a számlapra többször rámérve, elvégeztük a kalibrációt.
A hétköznapi életben a súly és a tömeg fogalma gyakran összekeveredik, a két szót szinonímaként használják. De a fizikában ügyelnünk kell a két fogalom megkülönböztetésére. Egy test tömege mindenhol ugyanakkora, de a súlya függ a földrajzi helytől, a tengerszint fölötti magasságtól, a testre ható erőktől és a test gyorsulásától. Amikor ráállunk egy mérlegre, a testünkre hat a nehézségi erő és a mérleg által kifejtett tartóerő. A tartóerő és a nehézségi erő egyenlő nagyságú, de ellentétes irányú. A mérlegen álló testünk erőt fejt ki a mérlegre. Azt az erőt, melyet a test az alátámasztásra (más esetben a felfüggesztésre) fejt ki, súlyerőnek, röviden súlynak nevezzük. Jele: G, mértékegysége: N (newton). HATÁSVONAL Azt az egyenest, amely mentén az egyik test a másik tesre a hatását kifejti (amelyben az erő működik), az erő hatásvonalának nevezzük. Ennek az egyenesnek a helyzetét az erő állásának is nevezik. Így egy hatásvonal lehet vízszintes, függőleges vagy ferde. A hatásvonalat egy koordináta rendszerben egyértelműen megadhatjuk egy pontjának a koordinátáival és a hajlásszögével, vagy két pontjának a koordinátáival. TÁMADÁSPONT A támadáspont a hatásvonal egyik pontja. Az erő ebben a pontban fejti ki a hatását a testre. Merev testek esetében a tesre ható erő a hatásvonalán bárhová eltolható, de szilárd testeknél ez már nem igaz, mert egy új helyzetben lehetséges, hogy teljesen más igénybevételt fog okozni, mint az eltolás előtti helyzetében. Például húzás helyett nyomást. IRÁNY Egy hatásvonalon két ellentétes értelemben, irányban lehetséges a haladás. Így az erő működése is vagy az egyik vagy a másik irányban történhet. A működés (hatás) irányát a hatásvonalra rajzolt nyíllal adjuk meg. Mivel az erőt nem csupán a mértékszámával és a mértékegységével kell jellemezni, hanem irányával is, az erő vektormennyiség. AZ ERŐ FAJTÁI Képzeljünk el egy földfelszín alá süllyesztett víztározó medencét, melynek egyik függőleges oldala mellől valamilyen ok miatt, utólag ki kell szedni a földet. Amennyiben ez a földtömeg részt vett a medencében levő víz oldalfalakra gyakorolt nyomásának a felvételében, az eltávolításával egy időben, dúcolással gondoskodni kell a medence oldalfalának a megtámasztásáról. A dúcolás sematikus ábrája látható a 3. ábrán.
A dúcolás sematikus ábrája DÚC GERENDA HEVEDER GERENDA MEDENCE FAL ALÁTÉT PALLÓK 3. ábra A medencében levő víz minden elemi részecskéjére hat a Föld vonzóereje a nehézségi erő. Mivel ezek a részecskék térben helyezkednek el, ezért ezeket az erőket térben megoszló erőknek nevezzük. Ezek a térben megoszló erők a hatásukat egyrészt a medence fenekének a felületére, másrészt a medence falának a felületére fejtik ki. Az ilyen erőket felületen megoszló erőknek nevezzük. A medence fenekére ható víznyomást a talajban ébredő ellenerő egyensúlyozza. A medence falának a megtámasztását viszont a dúcolás biztosítja. A dúcolásnak két fő eleme van, a függőleges heveder gerenda és a vízszintes dúc gerenda. A kifelé dőlni szándékozó fal a függőleges hevedereknek nyomódik, tehát az erő a hevederekre azok hossza mentén egyegy vonalban hat. Az ilyen erőt vonal mentén megoszló erőnek nevezzük. A továbbiakban a vonal menti erőt a számításainkban latin kisbetűkkel (q, p, g, stb.) jelöljük. Mértékegysége: N/m, kn/m, MN/m. A függőleges hevederekről az erőt a vízszintes dúc gerendák veszik át. Az erő ezek tengelyében jut el a földbe ágyazott alátét pallókig, melyekre a gerendák a keresztmetszetükkel támaszkodnak. Mivel ezek a keresztmetszetek a dúcok hosszaihoz képest igen kicsik, úgy tekintjük, mintha az erők pontban működnének. Az ilyen erőt összpontosított vagy koncentrált erőnek nevezzük. Számításainkban a koncentrált erőt legtöbbször F betűvel (az angol Force=erő alapján) jelöljük, de jelölhetjük bármely más latin nagybetűvel is (A, B, G, P, Q, N, V, stb.). Mértékegysége: N, kn, MN. ERŐRENDSZEREK A valóságban a testekre legtöbbször nem egy, hanem több erő hat. Két vagy több erőből álló erőcsoportot erőrendszernek nevezünk. Ha egy erőrendszer a testre egy közös síkban hat, síkbeli erőrendszerről beszélünk, ha az erők hatásvonalai nem fekszenek egy síkban, akkor térbeli erőrendszerről beszélünk.
Középiskolai tanulmányaink során csak a síkbeli erőrendszerekkel fogunk foglalkozni. Ha egy eredetileg nyugalomban levő merev testre működtetünk egy olyan erőrendszert, amelynek a hatását követően a test továbbra is nyugalomban marad, akkor erről az erőrendszerről azt mondjuk, hogy egyensúlyban van. Az erőrendszert az erők betű jeleinek zárójelbe tételével jelöljük, és ha két erőrendszerről elmondható, hogy azok egyenértékűek, akkor ezt három darab egymás fölé rajzolt vízszintes vonalkával jelöljük. Az egyensúly állapotát a következő egyenértékűségi kijelentéssel tudjuk megadni: (F 1, F 2, F 3,... F n ) 0 Ezt a következőképpen mondjuk: Az F 1, F 2, F 3,... F n erőkből álló erőrendszer egyenértékű nullával. Ha egy eredetileg nyugalomban levő merev testre működtetünk egy olyan erőrendszert, amelynek a hatását követően a test nem marad nyugalomban, akkor azt mondjuk, hogy az erőrendszernek eredő ereje, röviden, eredője van. Az eredő az erőrendszert minden hatásában helyettesíti, azzal egyenértékű. Ezt a következő egyenértékűségi kijelentéssel tudjuk megadni: (F 1, F 2, F 3,... F n ) R Ezt a következőképpen mondjuk: Az F 1, F 2, F 3,... F n erőkből álló erőrendszer egyenértékű az eredőjével. (Az R betű a latin resultáns = eredő szóból származik.) A különböző erőrendszerek mértékegységei: TÉRBEN MEGOSZLÓ ERŐRENDSZER..( mértékegység: N/m 3, kn/m 3, MN/m 3 ) FELÜLETEN MEGOSZLÓ ERŐRENDSZER ( mértékegység: N/m 2, kn/m 2, MN/m 2 ) VONAL MENTÉN MEGOSZLÓ ERŐRENDSZER..( mértékegység: N/m, kn/m, MN/m ) KONCENTRÁL ERŐKBŐL ÁLLÓ ERŐRENDSZER.( mértékegység: N, kn. MN ) AZ ERŐ ÁBRÁZOLÁSA Tanulmányaink során csak a vonalmentén megoszló erőrendszerekkel és a koncentrált erőkből álló erőrendszerekkel, illetve ezek közös erőrendszerben való működésével fogunk foglalkozni. Ezért a továbbiakban a koncentrált erő és a vonal mentén megoszló erők ábrázolását tekintjük át. KONCENTRÁLT ERŐ Korábban már volt arról szó, hogy a statikus a munkáját az építészeti tervrajzok alapján tudja elkezdeni. Az építészeti terveken a különböző szerkezetek az építészeti műszaki rajz szabályai szerint jelennek meg. A statikus ezekből a rajzokból statikai modellt készít, melyen az egymásra épített szerkezetek közötti hatást, a terhelő erőt az erő statikai jelével ábrázolja.
A koncentrált erő rajzi jele egy nyíl, melyet valamelyik nagy betűvel megnevezünk. Az angol Force = erő szó után általában az F betűt használják. A név után meg kell adni a nagyságot számjeggyel és mértékegységgel. Például így: F = 50 kn. Ha egy feladatban több erő szerepel és mindet F betűvel neveztünk el, akkor alsó indexbe írt sorszámokkal teszünk különbséget. Például három erő esetében így: F 1 = 25 kn, F 2 = 35 kn, F 3 = 40 kn. A feladatokban egyértelműen meg kell adni az erő helyét, ami a hatásvonal egy pontjának a helye, és ezen kívül a hatásvonal állásának hajlásszögét. A Tartók című fejezetben majd láthatók lesznek azok a statikai modellek, melyek formáját és a rájuk ható terhek (erők) helyét a statikus az építészeti tervekről veszi át. Az ezt megelőző tanulmányaink során is végzünk különböző műveleteket erőkkel, erőrendszerekkel, így felbontjuk őket vízszintes és függőleges összetevőikre, meghatározzuk az eredőt, egyensúlyozzuk az erőrendszert. Ezeknek a feladatoknak a megoldása egy méretekkel rendelkező derékszögű koordinátarendszerben történik. Az ilyen ábrát NÉZETRAJZ nak hívjuk és a 4. ábrán láthatjuk. A NÉZETRAJZ hosszléptékben készül, a méretarányt fel kell tüntetni. Például az M = 1 : 100 méretarány azt jelenti, hogy a rajzi méret a valóságnak a 100-ad része. A koordináta-rendszer vízszintes és függőleges tengelyeinek a neve, illetve az ezeken felvett pozitív (+) irány elvileg szabadon megválasztható. Az a lényeg, hogy egy feladatban csak egy koordináta-rendszerrel szabad dolgozni! Ha például egy erőrendszer eredőjének a hatásvonala vízszintes és az iránya balra mutat, akkor bármilyen nevű és bármelyik értelemben felvett pozitív irányú tengelyek esetében is a feladat megoldásának az eredménye egy vízszintes hatásvonalú, balra mutató irányú erő lesz. A magyar műszaki oktatásban mind felsőfokon, mind középfokon elég változatos az x, y, z nevű tengelyek alkalmazása. A vízszintes tengely szinte mindenhol x nevű és jobbra pozitív (+), balra negatív (-), de a függőleges tengely esetenként y vagy z nevű, és egyszer lefelé, máskor felfelé pozitív (+). Mi a továbbiakban a jobbra pozitív (+) x tengelyt és a lefelé pozitív (+) y tengelyt fogjuk alkalmazni a feladatainkban. A tengelyeken a pozitív (+) haladási értelmet nem nyilakkal jelöljük, hogy véletlenül se keveredjen össze egy erővel, hanem a tengely nevét jelölő betű (x, y) elhelyezésével. NÉZETRAJZ M = 1 : 100 0 3 m x 4. ábra 2 m y F = 50 kn α = 30 0
A matematika az olyan fizikai mennyiségek jellemzésére vezette be a vektor fogalmát, amelyeknek nagyságukon kívül irányuk és értelmük is van. Ezek szerint az erő vektormennyiség. Az erő vektorát a vektorábrában ábrázoljuk egy olyan szakasszal, melynek a hossza arányos az erő nagyságával. Ezt mutatja a 4. ábra. VEKTORÁBRA 1 cm (=) 10 kn (Mivel a hosszúság nem lehet egyenlő az erővel, ilyenkor azt mondjuk, hogy 1 cm-nek megfelel 10 kn.) A vektor párhuzamos a nézetrajzi hatásvonallal és 5 cm hosszú. 5. ábra A vektor végpontja. F A vektor kezdőpontja. A betű fölé húzott vonalka jelzi, hogy ez nem erő, hanem vektor. VONAL MENTÉN MEGOSZLÓ ERŐ EGYENLETESEN MEGOSZLÓ ERŐ Ahogy a rajzon látható, a megoszló erő jele az erő nagyságával arányos magasságú téglalap. A szaggatott hatásvonalú nyilak a megoszló erőket helyettesítő képzeletbeli erők. q 2 = 60 kn/m NÉZETRAJZ M = 1 : 100 q 1 = 30 kn/m TARTÓ 6. ábra Q 1 Q 2 l 1 = 7 m l 2 = 5 m A vonal mentén megoszló erő betűjele általában q de lehet bármelyik kisbetű is (g, p). Nagysága a vonal (tartó) 1 m-es hosszára jutó fajlagos erő (pl. kn/m).
A feladatokban a megoszló erőket át kell alakítani képzeletbeli, helyettesítő koncentrált erővé (Q). Ennek a nagyságát úgy számítjuk ki, hogy annak a tartószakasznak a hosszát, amin a megoszló erő hat, megszorozzuk a megoszló erő nagyságával (Q = q l). Mivel a nézetrajzi téglalap magassága megfelel az erő nagyságának (azzal arányos), ez a szorzat a téglalap területe. A helyettesítő erő a téglalap súlypontjában működik, ezt jelölik ki az átlók metszéspontjai. A fenti példa esetében ez így alakul: Q 1 = q 1 l 1 = 30 7 = 210 kn Q 2 = q 2 l 2 = 60 5 = 300 kn LINEÁRISAN VÁLTOZÓ MEGOSZLÓ ERŐ Ahogy a rajzon látható, a megoszló erő rajzi jele az erő nagyságával arányos magasságú háromszög, illetve tarpéz. A szaggatott hatásvonalú nyilak a megoszló erőket helyettesítő képzeletbeli erők. q 02 = 120 kn/m NÉZETRAJZ M= 1: 100 q 01 = 30 kn/m 7. ábra TARTÓ Q 1 Q 2 Q 3 3,0 m 1,5 m 4,0 m 2,0 m 2,25 m 2,25 m l 1 = 6,0 m l 2 = 4,5 m Első lépésben az összetett síkidomot felbontjuk ismert súlypontú részidomokra. Így kapunk egy 6,0 m hosszú és q 01 = 30 kn/m magasságú háromszöget, egy 4,5 m hosszú és q 01 = 30 kn/m magasságú téglalapot, és egy 4,5 m hosszú és q 02 q 01 = 120 30 = 90 kn/m magasságú háromszöget. A helyettesítő koncentrált erők nagysága megegyezik a síkidomok (háromszögek és téglalap) területével, hatásvonalaik pedig átmennek a síkidomok súlypontján. Q 1 = l 1 q 01 /2 = 6 30 /2 = 90 kn Q 2 = l 2 q 01 = 4,5 30 = 135 kn Q 3 = l 2 (q 02 q 01 ) / 2 = 4,5 (120 30) / 2 = 202,5 kn
FERDE ERŐ VETÜLETEI A vetületeket szokták még összetevőknek vagy komponenseknek is nevezni. A vetületek meghatározásához a NÉZETRAJZ szolgáltat adatokat. Nézzük a korábban már használt példát a 8. ábrában. NÉZETRAJZ M = 1 : 100 0 3 m x 8. ábra 2 m y F = 50 kn α = 30 0 Korábban már volt szó az erő vektorának a meghatározásáról. Most képzeljük azt, hogy a vektor drótból van, és ezt a drót vektort helyezzük bele a koordináta rendszerbe. Először vetítsük a drótvektort az x tengelyre merőleges fénysugarú lámpával. Ennek eredményeként az x tengelyen megszületik a drótvektor árnyéka, szakszerűen mondva az x irányú vetülete (F x ). Majd vetítsük a drótvektort az y tengelyre merőleges fénysugarú lámpával. Ennek eredményeként az y tengelyen megszületik a drótvektor árnyéka, szakszerűen mondva az y irányú vetülete (F y ). A vetítéssel kapott vetületeket mutatja a 9. ábra. F x 0 x F y α F 9. ábra y
Tehát az F vektor alatti derékszögű háromszögnek a vízszintes befogója egyenlő hosszú az F x vektorral (a vízszintes árnyékkal), a függőleges befogója pedig egyenlő az F y vektorral (a függőleges árnyékkal). Ezért a háromszög oldalai helyére betehetjük a vetületeket (F x et és F y t). Ekkor a 10. ábrán látható derékszögű háromszög keletkezik, melynek a neve vektorháromszög: α F F x F Y Idézzük fel a derékszögű háromszögre vonatkozó trigonometriai összefüggéseket: sinus α = szöggel szemközti befogó / átfogó, tehát sin α = F y / F ebből az F y = sin α F, behelyettesítve az adatokat: F y = sin 30 0 50 = 0,5 50 = 25 kn cosinus α = szög melletti befogó / átfogó, tehát 10. ábra cos α = F x / F ebből az F x = cos α F, behelyettesítve az adatokat: F x = cos 30 0 50 = 0,866 50 = 43,3 kn A vetületek ismeretében a Pythagoras-tétel alapján határozható meg a ferde erő, melynek hajlásszögét a tangens szögfüggvénnyel szoktuk kiszámolni. F x 2 + F y 2 = F 2 ebből F = tg α = F y / F x Praktikus a vetületeket visszarajzolni a nézetrajzba! Ezzel kapcsolatban tudni kell, hogy egy erő bármely pontjában felbontható vetületeire. Természetesen olyan pontjában történik mindig a felbontás, amelyik pontnak méretekkel meg van adva a helye. A végeredményt mutatja a 11. ábra. NÉZETRAJZ M = 1 : 100 0 3 m x 2 m F y F = 50 kn α = 30 0 11. ábra y F x
AZ ERŐ NYOMATÉKA ( FORGATÓNYOMATÉK) Gondolatban végezzük el a következő kísérletet. Vegyünk a kezünkbe egy fél téglát és nyújtsuk ki vízszintes helyzetűre a karunkat. Azt érezzük, hogy a karunk el akar fordulni a vállunk körül. Ha ekkor félig behajlítjuk a karunkat, még érezzük a forgató hatást, de már kisebb mértékben. Tegyük le a fél téglát és vegyünk a kezünkbe most egy egész téglát. Úgy érezzük, hogy a teljesen kinyújtott vízszintes helyzetű karunk nagyobb mértékben van késztetve az elfordulásra, mint amikor a fél téglát tartottuk a kezünkben. Természetesen csökken a forgató hatás, ha az egész téglát is közelebb hozzuk a vállunkhoz. A tapasztalatok alapján tehát kijelenthetjük, hogy a forgató hatás a forgató erő nagyságával és az erő hatásvonalának a forgásponttól mért távolságával egyenes arányban nő. Matematikai formulában ezt a viszonyt a két tényező, az erő és a távolság szorzata fejezi ki. A forgatónyomatékot legtöbbször rövidebben csak nyomatéknak nevezzük. Az erő valamely pontra vonatkozó nyomatékán az M = F k szorzatot értjük, ahol F az erő nagysága, k az erő hatásvonalának a pontból mért távolsága, amit az erő karjának is szoktak nevezni. Ezt szemlélteti a 12. ábra. A nyomaték mértékegysége: erő szorozva hosszúsággal, tehát: Nm, knm, stb. Forgáspont (Az a pont, amire a nyomatékot felírjuk.) 12. ábra k M = F k F Megjegyzés: Egy pontnak egy egyenestől mért távolsága, a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. A fizikában a szorzat értékű kifejezéseket momentum -nak nevezik, e szó első betűje lett a nyomaték betű jele. A nyomaték előjeles mennyiség. Pozitívnak (+) nevezzük, ha a pont körüli forgatási értelme megegyezik az óramutató járásával. Ellenkező esetben negatív (-) az előjele. Érdemes külön hangsúlyozni, hogy egy erőnek a saját hatásvonalán levő bármely pontra a nyomatéka NULLA. Mivel ha az erő közelít a forgásponthoz és ezáltal egyre kisebb lesz attól a távolsága, csökken a nyomatéka és ha a hatásvonal átmegy a ponton, a távolság nullává válik. Márpedig ha egy szorzat valamelyik tagja nulla, akkor az eredmény is nulla.
A nyomaték ábrázolására egy olyan nyitott körívet alkalmazunk, amelyre rárajzoljuk a forgatóértelem nyilát a nyomaték előjelének megfelelően. Tehát a pozitív nyomatékra az óramutató forgásirányával megegyező nyilat rajzolunk, a negatív nyomatékra ellenkező irányba mutatót. Az ív mellé odaírjuk a nyomaték betű jelét és a nagyságát a megfelelő mértékegységgel. Az ív nagysága független a nyomaték nagyságától. Erre mutat példát a 13. ábra. Pozitív (+) nyomaték: M 1 = + 234 knm Negatív nyomaték: M 2 = - 432 knm 13. ábra Nézzünk néhány példát a 14. ábrában. Kiszámítandó az F erő nyomatéka az O pontra! M O =? F = 160 kn F = 210 kn O X O X O x 5 m F = 90 kn 5 m O F = 45 kn X Y k=5 m k = 6 m Y Y Y Az F erő az O pontot megegyező értelemben forgatja az óramutató járásával, tehát a nyomaték előjele POZITÍV. Az F erő az O pontot ellenkező értelemben forgatja az óramutató járásával, tehát a nyomaték előjele NEGATÍV. Az F erő az O pontot megegyező értelemben forgatja az óramutató járásával, tehát a nyomaték előjele POZITÍV. Az F erő az O pontot ellenkező értelemben forgatja az óramutató járásával, tehát a nyomaték előjele NEGATÍV. M O = + k F = = + 5 160 = = + 800 knm M O = - k F = = - 6 210 = = - 1260 knm M O = + k F = = + 5 90 = = + 450 knm M O = - k F = = - 5 45 = = - 225 knm 14. ábra
NYOMATÉKOK ÖSSZEGZÉSE Több erő egy pontra vonatkozó nyomatékösszegét úgy számítjuk ki, hogy a külön-külön forgató egyes erők nyomatékait ELŐJELHELYESEN ÖSSZEADJUK. Ezt a mondatot a matematika jelrendszerében a következő forma (képlet) fejezi ki: M = M i A képlet tagjainak jelentése: M : Az összes erőnek a kiválasztott pontra felírt nyomatéka : Ez a jel a SZUMMA. Azt jelenti, hogy ami utána van az egy összegzett adat. (A hétköznapi nyelvben is szoktuk ezt használni amikor például egy hosszabb beszéd végén tömören összegezni szeretnénk a mondanivalónkat és azt mondjuk, hogy szumma szummárum.) M i : Ez az az összeg, amire a szumma vonatkozik, most az egyes erők előjelhelyes nyomatékösszege a kiválasztott pontra. [A képlet kimondva így hangzik: em egyenlő szumma em i.] Ha a fenti képletet nem általános esetben használjuk, hanem egy konkrét, megnevezett pontra felírt nyomaték kiszámításakor, akkor az M betűk jobb felső sarkához oda szoktuk írni a pont betű jelét is. Ez nem bonyolítja a képletet, csupán több információt nyújt (elárulja, hogy melyik pontra vonatkozik a nyomaték). Tehát ha például a koordinátarendszer kezdőpontjára, az origóra (jele: O) írjuk fel az erők nyomatékait, akkor így jelenik meg az O betű a képletben: M O = M i O (Ezt a képletet szavakkal így mondanánk: em az O pontra egyenlő szumma em i az O pontra. A tartalma pedig azt jelenti, hogy: a nyomatékösszeg az origóra egyenlő az összes erő origóra felírt nyomatékainak előjelhelyes összegével.) A 15. ábrában egy síkban szétszórt erőrendszert látunk. Határozzuk meg az erőrendszer nyomatékát a koordináta-rendszer kezdőpontjára, az origóra! NÉZETRAJZ M=1:100 F 1 = 120 kn 60 0 3,0 m O 6,0 m F 3 = 50 kn x 4,0 m 15. ábra 3,0 m 4,0 m y F 4 = 20 kn F 2 = 100 kn
Bár meg tudnánk határozni a ferde erők hatásvonalainak a távolságait (az erők karjait) az origótól, de mivel a későbbi feladatainkban majd szükségünk lesz a ferde erők vízszintes és függőleges komponenseire is, első lépésben most is bontsuk fel a ferde erőket ezekre a komponenseikre. Az F 1 jelű erő felbontása: Mivel ismert a hatásvonal hajlásszöge, a felbontás a korábban már említett trigonometriai összefüggésekkel történik. Mivel most a vektorháromszög csak a számítás segédábrája, nem szükséges erőléptékben rajzolni, elég ha csak arányos. F 1y F 1 60 0 cos 60 0 = F 1x / F 1 F 1x = cos 60 0 F 1 F 1x = 0,5 120 = 60 kn sin 60 0 = F 1y / F 1 F 1y = sin 60 0 F 1 F 1y = 0,866 120 = 103,92 kn F 1x Az F 2 jelű erő felbontása: A nézetrajzban az F 2 jelű erő hatásvonalán annak a két pontnak helyzete, ahol a hatásvonal a koordináta tengelyeket metszi, méretekkel egyértelműen meg van adva. Ezekből az adatokból meg tudnánk határozni a hatásvonal hajlásszögét és akkor a továbbiakban az F 1 jelű erő esetében alkalmazott eljárással dolgozhatnánk. Most viszont egy olyan módszert alkalmazunk, amely a nézetrajzban kialakult háromszög és a vektorháromszög közötti hasonlóságon alapul. 16. ábra A módszer neve grafoanalitikai módszer. A nézetrajzban megjelenő háromszög: A vektorháromszög: 3,0 m = 5,0 m F 2y F 2 O x 16. ábra y 4,0 m F 2 = 100 kn F 2x Ismert tétel, hogy a hasonló háromszögek megfelelő oldalainak az aránya egyenlő. A megfelelőséget úgy kell érteni, hogy a vízszintesnek a vízszintes, a függőlegesnek a függőleges, a ferdének a ferde oldal a megfelelője. Mivel a sraffozott háromszögek oldalai párhuzamosak, a két háromszög hasonló. Ezért F 2x / F 2 = 4 / 5 = 0,8 ebből F 2x = 0,8 F 2 = 0,8 100 = 80 kn F 2y / F 2 = 3 / 5 = 0,6 ebből F 2y = 0,6 F 2 = 0,6 100 = 60 kn
A 17. ábrában, a nézetrajzban a ferde erőket összetevőikkel helyettesítjük, így az erőrendszerben csak vízszintes és függőleges erők fognak szerepelni. Ezek hatásvonalaitól a forgáspont, az origó (O) távolsága (az erők karjai) egyértelműen meg vannak adva. A nyomatékösszeget szolgáltató matematikai formulában mindegyik erő esetében először az origó körüli forgató értelem előjelét, majd az erő nagyságát és a szorzás jelét és az erő karjának a hosszát írjuk. Az előjelhelyes összegzés eredménye az erőrendszer nyomatéka az origóra. Csak a végeredményhez írunk mértékegységet (knm) és mellé rajzoljuk a nyomaték rajzi jelét a nyíllal ellátott ívet. Korábban már volt arról szó, hogy egy erőnek a hatásvonalán levő bármely pontra a nyomatéka NULLA. A hatásvonal végtelen hosszú egyenes. Tehát a nézetrajzban, ami ebből nyíl formájában megjeleik, az a hatásvonalnak csak egy darabkája. Mivel a példánkban a két ferde erőt a vízszintes x tengellyel alkotott metszéspontjaikban bontottuk fel, a vízszintes összetevőik ( F 1x és F 2x ) átmennek az origón, tehát azt nem forgatják. Ezért nem szerepelnek az összegzésben. NÉZETRAJZ M = 1:100 k 3 = 6 m F 1y = 103,92 kn F 2y = 60 kn F 3 = 50 kn O x F 1x = 60 kn F 2x = 80 kn k 4 = 4 m 17. ábra k 1y = 3 m k 2y = 4 m y F 4 = 20 kn M O = M i O M O = - F 1y k 1y + F 2y k 2y + F 3 k 3 + F 4 k 4 M O = - 103,92 3 + 60 4 + 50 6 + 20 4 M O = + 308,24 knm
A STATIKA ALAPTÉTELEI (AXIÓMÁK) A mechanikát, ezen belül a statikát bizonyos tapasztalati alaptételekből, axiómákból vezetjük le. A merev testek statikája négy alaptételre (axiómára) épül. ELSŐ ALAPTÉTEL Két erő akkor és csakis akkor van egyensúlyban, ha hatásvonaluk közös, irányuk (értelmük) ellentétes és nagyságuk egyenlő. 18. ábra F 1 F 2 F 1 F 2 F 1 = F 2 MÁSODIK ALAPTÉTEL Három erő akkor és csakis akkor van egyensúlyban, ha hatásvonalaik közös pontban metszik egymást és vektoraikból nyílfolytonossággal zárt háromszög szerkeszthető. F 2 F 3 F 1 F 3 F 1 F 2 19. ábra HARMADIK ALAPTÉTEL Egy erőrendszer állapota nem változik, ha ahhoz egyensúlyban levő erőket adunk, vagy egyensúlyban levő erőket veszünk el belőle. Az axióma értelmében a 20. ábra egy merev test három egyenértékű állapotát mutatja. Az első állapotban a merev testre az A pontban működik egy F erő. A második állapotban a III. axióma értelmében az F erő hatása nem fog változni, ha a hatásvonalának egy másik pontjában, B -ben hozzáadunk a hatásvonalában működő, két olyan erőből, F 1 ből és F 2 -ből álló egyensúlyi erőrendszert, amelyeknek a tagjai egyenlő nagyok az F erővel. Tehát F 1 = F 2 = F és (F 1, F 2 ) O.
A harmadik állapotban szintén a III. axióma értelmében kivehettük az eredeti F erőt és a vele ellentétes betett F 2 erőt, mivel ez a két erő is egyensúlyt alkotott (F, F 2 ) 0. Ekkor a megmaradt F 1 erő a B pontban támadja a merev testet. Ennek a B pontban támadó F 1 erőnek a hatása megegyezik az eredeti F erő hatásával, tehát a III. axióma alapján bizonyított, hogy a merev testre ható erő támadáspontja az erő hatásvonalán eltolható. F 20. ábra A F A F 1 B F 1 MEREV TEST MEREV TEST MEREV TEST F 2 B Hangsúlyozni kell, hogy az erő támadáspontjának a hatásvonalán történő eltolás lehetősége csak merev testek esetében lehetséges, ugyanis a szilárd testeknél ez komoly igénybevétel átalakulást eredményezhet. NEGYEDIK ALAPTÉTEL Két merev test által egymásra kifejtett erők mindig páronként fordulnak elő, párjával egy egyenesbe esnek, ellentétes értelműek és egyenlő nagyságúak. Merev testek F 1 F 1 = F 2 21. ábra F 2 A negyedik alaptétel megegyezik a fizikában már korábban tanult Newton féle harmadik törvénnyel, melyet hatás ellenhatás vagy másképpen akció reakció törvénynek is szoktak nevezni.
SÍKBELI ERŐRENDSZER ÖSSZETÉTELE AZ EREDŐ ERŐ MEGHATÁROZÁSA Egy erőrendszer eredő erejének azt az erőt nevezzük, amely egyedül képes az erőrendszert minden hatásában helyettesíteni. Korábban már volt arról szó, hogy az eredő erő jele az R betű. Ez a jel az eredő latin nevének, a Resultans szónak a kezdőbetűjéből származik. AZ EREDŐ MEGHATÁROZÁSA SZERKESZTÉSSEL Mivel az erő vektormennyiség, az egyik ábrázolási módja a vektoriális ábrázolás. Ezt a korábbiakban már megismertük. A szerkesztéssel történő eredő meghatározásának a módszere a vektorok grafikus összegzése. Ez a vektorábrában történik. A szerkesztés szabályai szerint a vektorábrában egy szabadon felvett erőléptékben ábrázoljuk a nézetrajzi hatásvonalakkal párhuzamos vektorokat. Az erőlépték azt mutatja meg, hogy egy egységnyi erő nagyságnak milyen hosszú szakasz felel meg a rajzban. Két vektort úgy adunk össze szerkesztéssel, hogy az egyik (mindegy, hogy melyik) vektor végpontjához illesztjük a másik vektor kezdőpontját, majd az első vektor kezdőpontját összekötjük a második vektor végpontjával. Ez az összekötő szakasz lesz az eredő vektora. Az eredő vektoron a nyíl ellentétes a két összeadott vektor nyílfolyamával. Az eredő vektor hossza a erőléptékkel átszámítva adja az eredő erő nagyságát. A közös hatásvonalú erők eredője is a közös hatásvonalon működik. A közös metszéspontú erők eredője is átmegy a közös metszésponton. A síkban szétszórt hatásvonalú erők eredőjének a helyét kötélsokszög szerkesztéssel határozzuk meg. 3.1.1.1 KÖZÖS HATÁSVONALÚ ERŐK EREDŐJE NÉZETRAJZ M = 1 : 100 R F 1 = 30 kn VEKTORÁBRA 1 cm (=) 10 kn (1 cm-nek MEGFELEL 10 kn) F 1 R o α F 2 = 20 kn x F 2 22. ábra y Az F 1 és F 2 erők vektorai és az R eredő erő vektora természetesen egybe esne, most csak a szemléltetés miatt kerültek egymás mellé!!! Léptékhelyes rajz esetén az R vektor hossza 5 cm lenne. Mivel 1 cm-nek 10 kn felel meg, 5 cmnek 5 10=50. Tehát R = 50 kn
NÉZETRAJZ M = 1 : 100 VEKTORÁBRA 1 cm (=) 100 kn (1 cm-nek MEGFELEL 100 kn) F 2 = 200 kn O F 1 = 600 kn α X R F 1 R F 2 23. ábra Y Léptékhelyes rajz esetén az R vektor hossza 4 cm lenne. Mivel 1 cm-nek 100 kn felel meg, 4 cm-nek 4 100=400. Tehát R = 400 kn KÖZÖS METSZÉSPONTÚ ERŐK EREDŐJE KETTŐ METSZŐDŐ HATÁSVONALÚ ERŐ EREDŐJE NÉZETRAJZ M = 1 : 100 F 1 = 300 kn α R o F 2 = 1160 kn β x (+) VEKTORÁBRA 1 cm (=) 100 kn (1 cm-nek MEGFELEL 100 kn) R X F 1X F 1 F 1Y y (+) R Y R Az F 1 vektor végpontjához illesztjük az F 2 vektort. Összekötjük az F 1 vektor kezdőpontját az F 2 vektor végpontjával. Ez lesz az R vektor, melyre a nyilat az F 1 és F 2 nyílfolyamával ellentétesen tesszük. F 2 F 2X F 2Y A szerkesztéshez a vetületek vektoraira nincs szükség! Itt csak azt szemléltetik, hogy az erők vetületeinek előjeles összegei egyenlők az eredő vetületeivel. 24. ábra Léptékhelyes rajz esetén az R vektor hossza 11,2 cm lenne. Mivel 1 cm-nek 100 kn felel meg, 11,2 cm-nek 11,2 100 = 1120. Tehát R = 1120 kn Ezzel a közvetlen erőösszetételi módszerrel kettőnél több erő esetén is meghatározhatjuk az erőrendszer eredőjét. Ha az első két erő erdőjéhez hozzáadjuk a harmadik erőt, majd ezek eredőjéhez a negyedik erőt és így haladva, az utolsó előtti rész eredőhöz hozzáadva az utolsó erőt, kapjuk az egész erőrendszer eredőjét. Ez a módszer közös metszéspontú erőrendszer esetében mindig megoldható. Szétszórt hatásvonalú erőrendszernél viszont csak akkor, ha a részeredők és az adott erők hatásvonalai a papírunkon metsződnek. Ha nem metsződnek a papírunkon, akkor a kötélsokszög módszerét kell alkalmazni.