KVANTITATÍV MÓDSZEREK

KVANTITATÍV MÓDSZEREK Dr. Kövesi János Tóth Zsuzsanna Eszter 6

Tartalomjegyzék Kvantitatív módszerek. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége.... 3.. eltételes valószínűség... 3.. Teljes valószínűség tétele... 5.3. ayes-tétel... 7.4. Események függetlensége... 9. Leíró statisztika... 3. Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások... 8 3.. inomiális eloszlás... 8 3.. Poisson-eloszlás... 9 3.3. Exponenciális eloszlás... 3.4. Normális eloszlás... 4. Döntéselmélet... 4 5. Első- és másodfajú hiba... 7 6. ecslés... 9 7. Hipotézisvizsgálatok... 34 7.. Nemparaméteres próbák... 34 7.. Hipotézisvizsgálatok, paraméteres próbák... 4

. Valószínűségszámítási tételek. eltételes valószínűség. Események függetlensége... eltételes valószínűség. Ha nagyon sok kétgyermekes család közül véletlenszerűen választunk egyet, és megtudjuk, hogy legalább az egyik gyermek leány, mekkora a valószínűsége annak, hogy van fiú is a családban? Egy kétgyermekes családban négy egyenlő valószínűségű eset fordulhat elő a gyermekek nemét illetően, mivel mind az első, mind a második gyermek egyenlő valószínűséggel lehet leány vagy fiú: Leány-leány Leány-fiú iú-leány iú-fiú A esemény: az egyik gyermek leány esemény: van fiú a családban eladat, hogy az A teljesülése mellett vizsgáljuk a esemény valószínűségét. / A) A ) A) Az (A ) esemény a fenti 4 lehetőségből kétszer áll fenn, így A )/4/,5 Az A esemény, vagyis hogy legalább leány van a családban, a négy esetből háromszor teljesül: A)3/4 A ) / 4 4 P ( / A) A) 3/ 4 3 6 Tehát /3 a valószínűsége annak, hogy van fiú a kétgyermekes családban, ha tudjuk, hogy legalább az egyik gyermek leány.. Ejtőernyős ugrást hajtanak végre 5m -es területre. Sikeres az ugrása annak, aki a terepen kijelölt m oldalú négyzeten belül ér földet. Különdíjat kap az, aki a négyzet közepén megrajzolt m sugarú körben ér le. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy sikeres ugrást végrehajtó ejtőernyős különdíjat is kap, ha a négyzeten belül a leérkezés bármely helyre egyenlő esélyű? 3 3

A az az esemény, hogy különdíjat kap az ejtőernyős, pedig jelentse azt, hogy sikeres ugrást hajtott végre. Az A esemény feltétel melletti valószínűségét kell vizsgálnunk teljesülése esetén a szóban forgó terület nagysága (m oldalú négyzet területe): Tm Az A esemény szempontjából kedvező terület a négyzet közepén lévő kör területe (r π): t4π m (ez a A ), hiszen itt egyszerre teljesül a sikeres ugrás és a különdíjat érdemlő ugrás) A feltételes valószínűség: t 4π P ( A/ ),3 T Tehát kb. 3% a valószínűsége annak, hogy egy sikeres ugrást teljesítő versenyző különdíjat is kap 3. Egy urnában van 4 fehér és 6 fekete golyó. Egymás után kettőt kihúzunk. Mennyi annak a valószínűsége, hogy a második golyó fehér feltéve, hogy az első fekete. A esemény: a második golyó fehér esemény: az első golyó fekete Ki kell számítanunk a A ) és ) eseményeket. A húzás sorrendje ebben az esetben lényeges. Ráadásul nem tesszük vissza az elsőre kihúzott golyót, így 99 különféle húzási eredmény lehetséges. Ebből azok száma, amelynél az első fekete, és a második fehér: 6 44 Így: 4 P ( A ) (kedvező esetek száma/összes eset) 9 A esemény valószínűsége: Itt a kedvező eset azon húzások száma, ahol az első golyó fekete (a második pedig tetszőleges), így a 4-hez hozzá kell még adnunk azoknak a számát, amelyekben az első is és a második is fekete. Ezek száma: 6 53. A esemény kedvező eseteinek száma 4+354. Így: P ( ) 54 9 A keresett feltételes valószínűség tehát: A) 4 4 P ( A/ ),444 ) 54 9 4

.. Teljes valószínűség tétele. Három urnában fehér és fekete golyók vannak elhelyezve. Az elsőben fehér és 3 fekete; a másodikban 3 fehér és 4 fekete; a harmadikban 4 fehér és 5 fekete golyó van. A kísérlet abban áll, hogy véletlenszerűen kiválasztunk egy urnát: legyen: /, /3 és /6 rendre az első, a második és a harmadik urna kiválasztásának a valószínűsége. Ez után a kiválasztott urnából véletlenszerűen kihúzunk egy golyót úgy, hogy mindegyik golyó kihúzásának a valószínűsége egyenlő legyen. Kérdés: mennyi annak a valószínűsége, hogy fehér golyót húzunk? Legyen,, 3 annak a valószínűsége, hogy az első, a második és a harmadik urnát választjuk ki. A legyen az az esemény, hogy fehér golyót húzunk ki. ) / 3 A/ ) /5 A/ A/ ) / 3 ) / 6 3 ) 3/ 7 ) 4 / 9 A) 5 3 4 + +,46 7 3 9 6 Tehát 4,6% a valószínűsége annak, hogy fehér golyót húzunk.. Miohullámú sütők forgótányérjának kísérleti gyártását végzik egy gyárban. Három tétel miohullámú sütő készül el. Az első két tétel a teljes mennyiség egy-egy negyedét, a harmadik tétel pedig a felét adja. A minőség-ellenőrzés során kiderül, hogy az előírt működési óraszámot az első tétel %-a, a másodiknak %-a, a harmadiknak 8%-a éri el. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy találomra kiszemelt miohullámú sütő az előírt ideig működik? A az az esemény, hogy a miohullámú sütő forgótányérja az előírt ideig üzemel., és 3 jelentse azt, hogy a kiválasztott darab az első, a második vagy a harmadik tételből való. A i események valószínűségei rendre: P ( ) ; ) ; 3) 4 4 elírjuk az A eseménynek a i feltételek melletti valószínűségét, vagyis azt, hogy az egyes tételekből választott forgótányérok milyen valószínűséggel működnek a megfelelő ideig: 5

P ( A/ ) /; A/ ) /; A/ 3) 8 / A teljes valószínűség tételét alkalmazva: 3 P ( A) A/ ) i i i ) 4 + 4 + 8 3 + 4 Vagyis,5% a valószínűsége annak, hogy hibátlan darabot választunk. + 4,5,5% 3. Azonos fajta autórádió előlapokból két tételünk van. Az első tétel 6, a második 3 darabból áll. Mindkét tételben egy-egy hibás darab van. Az első tételből egy véletlenszerűen kiválasztott darabot átteszünk a másodikba. Ezután a második tételből választunk egyet találomra, és ezt megvizsgáljuk. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a darab selejtes? Jelentse A esemény azt, hogy a második tételből selejtest húzunk. Jelentse azt, hogy az első tételből jót, pedig azt, hogy hibásat tettünk át a másodikba. Ezeknek a valószínűségei: 5 P ( ) ; ) 6 6 Ha következett be, akkor a második tételben 33 darabból csak egy selejtes van, és az A esemény feltételes valószínűsége: P ( A/ ) ; ha viszont következett be, akkor két 33 selejtes darab van a második tételben, így ebben az esetben a feltételes valószínűség: P ( A/ ). 33 Alkalmazzuk a teljes valószínűség tételét: 5 P ( A) A/ ) ) + A/ ) ) +,34 33 6 33 6 Vagyis 3,4% a valószínűsége annak, hogy a második tételből selejtest húzunk. 6

.3. ayes-tétel. azonos alakú doboz közül az első 9-ben 4-4 golyó van, mégpedig fehér és kék. A tizedik dobozban 5 fehér és kék golyó van. Az egyik találomra kiválasztott dobozból véletlenszerűen kiveszünk egy golyót. Mi a valószínűsége annak, hogy ez a tizedik dobozból való, ha a kivett golyó fehér? Jelöljük A-val azt az eseményt, hogy fehéret húztunk. j -vel jelöljük azt, hogy a j-edik dobozból választottunk. Ezeknek a valószínűsége azonos: j )/. Az A esemény j feltétel melletti feltételes valószínűségére a következő áll fenn: A/ j )/, ha j,,3 9 A/ )5/6 5 A/ ) ) P ( / A) 6 5 A/ ) ( ) (9 + ) j P j 6 j 5 6 9 5 + 6 Tehát 5/3 a valószínűsége annak, hogy egy fehér golyót éppen a. dobozból húzunk. Másik megoldás: A ismét az az esemény, hogy fehéret húzunk. jelentse azt, hogy a kilenc egyforma közül húzunk (bármelyikből), pedig jelentse azt, hogy a.-ből húzunk. Így )9/; )/. A/ )/, A/ )5/6. Innentől a megoldás menete ugyanaz.. Egy forgácsoló üzemben elkészült munkadarabok 96%-a felel meg a súlyszabványnak. A minőség-ellenőrzés során az elkészült munkadarabok egy részét megvizsgálták, a súly szempontjából szabványos darabok 98%-a bizonyult alaa jónak, a nem szabványos súlyú darabokból pedig 5%-ot nyilvánítanak alaa jónak. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy darab, amely a minőségellenőrzésen alaa jónak bizonyult, megfelel a súlyszabványnak? A az az esemény, hogy a munkadarab alaa jónak bizonyul. Legyen az az esemény, hogy a vizsgált darab súlya szabványos, a pedig, hogy a darab súlya nem szabványos. Megjegyzés: 5 3 7

),96 A/ ),98 A/ ),4 ),5 A esemény valószínűségét keressük az A esemény teljesülése esetén. Ezt a feltételes valószínűséget a ayes-tétellel számoljuk ki: A/ ) ),98 96 P ( / A),998 A/ ) ) + A/ ) ),98,96 +,5,4 Tehát kb. 99,8% a valószínűsége annak, hogy a minőségellenőrzésen alaa jónak bizonyult darab súlya megfelel a szabványnak. 3. Egy biológiai kísérlet során egyedet három, 3 ill. 5 egyedből álló- csoportoa osztanak. Az első csoport egyedeit gyenge, a másodikét közepes, a harmadikét erős hatóanyaggal oltják be. A csoportokat ezután külön tárolják. Az oltás hatására az első csoportból 3, a másodikból, a harmadikból pedig 39 megy keresztül valamilyen változáson. Ezután a csoportok elkülönítését megszüntetik. Ha az összes egyedből egyet találomra kiválasztunk és ennek vizsgálata azt mutatja, hogy nem ment keresztül változáson, akkor mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott egyed a második csoportból való? A az az esemény, hogy a kiválasztott egyed nem megy keresztül változáson. A j azt jelenti, hogy a kiválasztott egyed a j-edik csoportból való. ) A/ ) / A) ; 7 ; ) A/ 3 ; ) ; 3 ) A/ A/ ) ) A/ ) ) 3 j j j 3 5 7 3 ) 5 3 3 3 + + 3 5 5 48 5 4,67% Tehát 4,67% annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott egyed a második csoportból való. 8

.4. Események függetlensége. Ketten lőnek céltáblára. A találat valószínűsége az első személy esetében,7; a második esetében,6. A találatok egymástól függetlenek. Ha mindketten egy-egy lövést adnak le, mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább egy találat van a céltáblán. Legyen A az az esemény, hogy az első személy talál, és jelentse azt, hogy a második találatot ér el. Az (A+) esemény azt jelenti, hogy legalább egy találat van a céltáblán. Ennek a valószínűségére vagyunk kíváncsiak és felhasználjuk azt is, hogy az A és események függetlenek: A + ) A) + ) A ) A) + ) A) ),7 +,6,7,6,3,4,88 Tehát,88 a valószínűsége annak, hogy a céltáblán legalább egy találat van.. Két, egymástól függetlenül dolgozó szerszámgépen azonos fajta alkatrészeket gyártanak. Az első gépen,8; a második gépen,7 valószínűséggel kapunk első osztályú alkatrészeket, az ugyanazon a gépen gyártott alkatrészek is függetlenek egymástól. Az első gép gyártmányaiból 3, a második gép gyártmányaiból pedig alkatrészt választunk találomra, és ezeket megvizsgáljuk. Mennyi a valószínűsége annak, hogy mind az 5 első osztályú? Legyen A a szóban forgó esemény. A függetlenség alapján 3 P ( A),8,7,5 Tehát 5,% a valószínűsége annak, hogy a vizsgált alkatrészek mind első osztályúak. 3. Két dobozban golyók vannak, amelyek csak színeikben különböznek. Az első dobozban 5 fehér, fekete és 8 piros, a másodikban fehér, 8 fekete és 6 piros golyó van. Mindkét dobozból találomra kiveszünk egyet. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a két kiválasztott golyó azonos színű? Legyen A az az esemény, hogy a két kiválasztott golyó azonos színű. A két húzás egymástól független. Háromféle, egymást kizáró esemény összegeként adódik az A, mégpedig úgy, hogy vagy mindkét dobozból fehéret, vagy mindkét dobozból feketét, vagy mindkét dobozból pirosat húzunk. Így az A esemény valószínűsége: 5 8 8 6 P ( A) + +,3 4 4 4 4 4 4 Tehát 3% annak a valószínűsége, hogy a két dobozból azonos színű golyót húzunk. 9

. Leíró statisztika. Az alábbi táblázat a udapesti Értéktőzsde hivatalos indexének (UX) száz napi záróértékéből számított hozamadatait tartalmazza. Készítse el az alábbi adatbázis részletes leíró statisztikai elemzését! Napi hozamok,896,63,9 -,74,38,45,85,754, -,3,846,86 -,4 -,76,,476,6 -,5,395 -,78,59,,8 -,567,865 -,836 -,,46,8,79 -,877,845,448,6,88,567,8,33,9,4,,58 -,3,9 -,8 -,43 -,676,6,47 -,365 -,759,3565,769,964 -,967,654,7 -,3,53 -,55 -,55,84,439,58 -,3858,39 -,37 -,45 -,9,6,69,359 -,7 -,4,758,8,438,44,44,79,6,758 -,6, -,43,483,57,43,8 -,7,48,358 -,69,87,83,43,493 -,39 -,54,54 Rangsor (oszloponként) -,567 -,8 -,43 -,4,,54,754,69,896,84 -,3858 -,55 -,39 -,5,48,567,85,33,9,865 -,76 -,6 -,365,6,7,6,8,38,45,964 -,967 -,3 -,3,8,39,6,845,359,47,358 -,877 -,55 -,3,87,43,6,,43,53,395 -,836 -, -,37,4,438,63,,46,758,3565 -,759 -,9 -,7,,44,6,9,493,758,439 -,74 -,78 -,45,,448,654,8,58,769,59 -,69 -,7 -,43,8,476,79,9,57,8,58 -,54 -,676 -,4,86,483,79,44,88,83,846. Osztályok számának meghatározása. (Egy lehetséges módszer.) k > N h Y max Y k min 7 8,846 (,567) h,8, 7

. Gyakorisági táblázat osztályközhosszúság f i g i f i g i -,567 -,365,, -,365 -,63 5,5 7,7 -,63,39 7,7 44,44,39,4 38,38 8,8,4,443 5,5 97,97,443,645, 99,99,645,847, % 3. Kvartilisek meghatározása s/ 4 ( + ) 5,5 4 Q,3 +,5 s 3 3/ 4 Q 3 ( + ) 75,75 4,43 +,75 (,37 (,3) ), 375 (,46,43), 455 4. Medián s/ ( + ) 5,5 Me (,483 +,54),535 Meˆ,483 +,5,54,483, ( ) 535

Medián becslése a gyakorisági táblázat alapján N ' fme Me Y ' N ˆ me, + h f me me f 5. Módusz me ˆ 44 Me,39 +,,79 38 A 4. osztály a modális osztály: Mo ˆ Ymo, da + d + d a f h mo da fmo fmo d f f mo f mo+ 6. Számtani átlag Az egyenkénti adatokból számítva: (,567) + (,3858) +... +,846 +,98497,3453 x,3453 ecslés gyakorisági táblázatból: (,466) + (,64) 6 +... +,544 +,746 X,,7536 Osztályközhossz. osztályközép f i d i Y i -Y átl.becs. d i f i d i -,567 -,365 -,466 -,39,5,34 -,365 -,63 -,64 6 -,9,36,66 -,63,39 -,6 36 -,3,69,6,39,4,4 38,6464,4,596,4,443,34 5,6664,7,665,443,645,544,47,,44,645,847,746,67,45,45,645 A táblázat utolsó három oszlopa majd csak a szórás becslésénél kell. 7. terjedelem R Y Y ˆ 38 7 Mo,39 +,,354 ( 38 7) + ( 38 5),846 (,567) max min,43

interkvartilis terjedelemmutató R,5 Q3 Q,455 (,375),7635 8. Tapasztalati szórások ecslés gyakorisági táblázat alapján: s r i f i ( x x) r i i f i,645,54. Grafikus ábrázolás, hisztogram Gyakorisági hisztogram 4 36 38 Gyakoriság 3 5 6 -,466 -,64 -,6,4,34,544,746 Osztályközepek Kumulált relatív gyakorisági hisztogram Kumulált relatív gyakoriság,,8,6,4,7,, Osztályközepek,97,99,8,44 Osztályközepek 3

. Omniás példa: 4. előadás prezentációjában megoldva 3. Egy üdítőitalokat forgalmazó cég budapesti részlegénél dolgozó 6 értékesítési képviselő 5 január havi teljesítménye (kiszállított mennyiség, ezer rekesz): 5,6 6,8 3,5 8, 3,3, 3,7 5,7 4,7 8,5 9, 6,6 9, 8,7 6,,5 4, 3, 5,9 3, 8,8 33,6 34,7 6,9 4,8,8 Számítsuk ki az átlagos teljesítményt, határozzuk meg a mediánt! Számítsuk ki az ismert szóródási mérőszámokat! Jellemezzük az eloszlás aszimmetriáját a Pearson-féle mutatószám segítségével! Készítsünk gyakorisági sort, és becsüljük meg a móduszt! Rangsor 8, 8,5 3, 3, 3,3 3,5 3,7 4, 4,8 5,6 5,7 5,9 6, 6,6 6,9 8,7 8,8 9, 9,,,5,8 4,7 6,8 33,6 34,7 A, Számítsuk ki az átlagos teljesítményt, határozzuk meg a mediánt! Átlagos teljesítmény, meghatározása számtani átlaggal: x + x +... + xn 8 + 8,5 +... + 33,6 + 34,7 x 8ezer N 6 8 ezer rekesz az átlagos teljesítmény. Medián: 6,+ 6,6 Me 6,35 6,35 ezer rekesznél többet teljesített az értékesítési képviselők fele, a másik fele kevesebbet., Számítsuk ki az ismert szóródási mérőszámokat! Terjedelem R X max X min 34,7 8 6,7 Szórás (8 8) + (8,5 8) +... + (33,6 8) + (34,7 8) s 6,384 6 6,38 ezer rekesszel tér el átlagosan az egyes képviselők teljesítménye az átlagostól. Korrigált tapasztalati szórás s (8 8) + (8,5 8) +... + (33,6 8) 5 + (34,7 8) 6,384 4

Relatív szórás: 6,38 V,3544 8 Az egyes képviselők teljesítményének az átlagostól való átlagos eltérése 34,5%. Interkvartilis terjedelemmutató: s/ 4 (6 + ) 6,75 4 Q 3,5 +,75(3,7 3,5) 3,65 s 3/ 4 Q 3 3 (6 + ),5 4, +,5(,5,),75 R/ Q3 Q,75 3,65 6,65 Az értékesítési képviselők negyedének a teljesítménye 3,65 ezer rekesznél alacsonyabb, háromnegyedüké magasabb (Q ). Az értékesítési képviselők háromnegyedének teljesítménye,75 ezer rekesznél alacsonyabb, egynegyedüké magasabb (Q 3 ). Az interkvartilis terjedelemmutató azt fejezi ki, hogy az értékesítési képviselők felének teljesítménye 6,65 ezer rekesznyi sávban helyezkedik el. C, Jellemezzük az eloszlás aszimmetriáját a Pearson-féle mutatószám segítségével! 3( Y Me) 3(8 6,35) P,79 79,7% s 6, Erősebb baloldali aszimmetria. D, Készítsünk gyakorisági sort, és becsüljük meg a móduszt! k > N, kb. 5 osztályt célszerű készíteni. h 34,7 8 5 5,34 Legyen 5,4 kerekítéssel az osztályköz-hosszúság: Osztályok: Osztályhatár gyakoriság 8,-3,4 5 3,5-8,8 8,9-4,3 5 4,4-9,8 9,9-35,3 Összesen: 6 5

5 M o ˆ 3,5 + 5,3 6,5 ( 5) + ( 5) Az értékesített mennyiségek a 6,5 ezer rekesz körül tömörülnek. (Ez egyébként most egybeesik a nyers módusszal, mert a szomszédos osztályok gyakorisága megegyezik.) 4. Minőségellenőrzés keretében vizsgálták egy adott típushoz tartozó elektromos habverők élettartamát. A megfigyelés eredménye: Élettartam (év) Megfigyelések száma (db) 5,-5,5 8 5,5-6, 8 6,-6,5 5 6,5-7, 4 7,-7,5 Összesen Ábrázoljuk a gyakorisági sort! Számítsuk ki a helyzeti középértékeket, az átlagot, a szórást, az aszimmetria egyik mérőszámát! a) Ábrázoljuk a gyakorisági sort! gyakorisági hisztogram megfigyelések száma 6 5 4 3 5,-5,5 5,5-6, 6,-6,5 6,5-7, 7,-7,5 osztályok b) Számítsuk ki a helyzeti középértékeket, az átlagot, a szórást, az aszimmetria egyik mérőszámát! 6

Élettartam Megfigyelések száma (db) Kumulált gyakoriság (év) (gyakoriságok) 5,-5,5 8 8 5,5-6, 8 36 6,-6,5 5 86 6,5-7, 4 7,-7,5 Összesen 6 36 Me 6 + *,5 6,4 5 Mo 6 + *,5 6,3 + 6 8*5, 5 +... + *7, 5 x 6, 5 8(5, 5 6, 5) +... + *(7, 5 6, 5) s,58 3*(6,5 6,4) P,59,58 Enyhe bal oldali aszimmetria. 7

3. Valószínűségi változó. Elméleti eloszlások 3.. inomiális eloszlás. Valaki találomra kitölt egy totószelvényt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy az első hét mérkőzéshez az,, x lehetőségek közül legalább 5 helyre egyest választ? Legyen A az az esemény, hogy a szelvényt kitöltő egy mérkőzéshez -est ír. A) p / 3 így A) q p / 3 / 3 A ξ valószínűségi változó jelentse az n7 db mérkőzéshez beírt egyesek számát. p k ξ n k) k n k 3 k 3 7k k 7k ( p) ( q) ( k,,...,7) Az az esemény, hogy az első hét mérkőzéshez legalább öt helyre -es kerül három, egymást kizáró esemény összegeként fogható fel: vagy öt, vagy hat, vagy hét helyre ír egyest a fogadó. Ezek a valószínűségek a binomiális eloszlás táblázatának segítségével (n7; p,3 és,35 értékeit átlagolva (vagy egyszerűen a,35-höz tartozó értéket alapul véve); k5,6,7) a következők: p 5 + p6 + p7,358 +,6 +,4,4 Tehát kb. 4,% a valószínűsége annak, hogy legalább öt helyre -es kerül.. Mennyi a valószínűsége annak, hogy ha egy családban gyerek születik, akkor közülük éppen öt fiú lesz? Annak az eseménynek a valószínűsége, hogy fiú születik legyen A esemény. p ( A ) p / A leány születésének valószínűsége: p ( A) p q / A ξ valószínűségi változó jelentse az n gyermek közül a fiúk számát. Annak az eseménynek a valószínűsége, hogy a ξ5: p 5,46 4,6% (binomiális eloszlás táblázata: n, p,5, k5) 8

3.. Poisson-eloszlás. Egy elektronikus műszer alkatrészből áll. Egy alkatrész a többitől függetlenül, valószínűséggel romlik el egy év alatt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy legalább két alkatrész romlik el egy év alatt? Tulajdonképpen binomiális eloszlással kellene számolnunk. Mivel azonban az alkatrészek száma (n) elég nagy (n>3), a p, valószínűség pedig nagyon kicsi, így bevezetjük a λ n p, paramétert, és a binomális eloszlás tagjait a megfelelő Poissoneloszlásból kapott tagokkal közelítjük. A legalább két alkatrész elromlási eseményének ellentettje, hogy kettőnél kevesebb alkatrész romlik el, vagyis hogy vagy vagy alkatrész romlik el. Ezek az esetek egymást kizárják, és összegük valószínűségét ezek valószínűségének összege adja: p + p,367 +,367,734 (Poisson-eloszlás táblázatból, λ, k,) Így a legalább két alkatrész meghibásodásának valószínűsége: ( p + p ),734,66 Tehát kb. 6,6% a valószínűsége annak, hogy a műszer alkatrészei közül legalább kettő elromlik egy év alatt.. Egy telefonközponthoz 6 előfizető tartozik. Tegyük fel, hogy,5 a valószínűsége annak, hogy valamelyik előfizető egy meghatározott órában kapcsolást kér. Mennyi a valószínűsége annak, hogy abban az órában épp 4 előfizető kér vonalat? Itt is binomiális eloszlással kellene számolnunk, de n6 elég nagy és p,5 pedig elég kicsi ahhoz, hogy a binomális eloszlást a Poisson-eloszlással közelítsük. λ n p 6,5 3 p,68 4 (Poisson eloszlás táblázatból: λ3, k4) Tehát 6,8% a valószínűsége annak, hogy az adott órában éppen 4 előfizető kér kapcsolást. 3. Egy orsózógépen munkaóra alatt átlagosan 3 szakadás következik be. Mennyi a valószínűsége annak, hogy egy ilyen időtartam alatt a szakadások száma túllépi az átlagot? A szakadások Poisson-eloszlás szerint következnek be. 9

A vizsgált időtartam alatt bekövetkező szakadások száma legyen a ξ valószínűségi változó értéke. Ez Poisson-eloszlású, paramétere a vizsgált időtartam alatti szakadások átlagos száma, vagyis 3. λ M ( ξ ) 3 Itt is fordítva gondolkodunk. A kérdés az, hogy mi a valószínűsége, hogy 3-nál több szakadás következik be. Ennek ellentettjét könnyebb számolni, vagyis annak a valószínűségét keressük, hogy 3 vagy annál kevesebb szakadás következik be. A Poisson-eloszlás táblázatának segítségével már csak ki kell keresni az értékeket (λ3; k,,,3) p + p + p + p3,49 +,49 +,4 +,4,646 Így annak a valószínűsége, hogy 3-nál több szakadás következik be: p ( ξ 3) p( ξ 3),646,354 Vagyis 35,4% a valószínűsége annak, hogy a szakadások száma óra alatt meghaladja a 3- at. 3.3. Exponenciális eloszlás. izonyos típusú izzólámpák tönemeneteléig eltelt égési időtartam hosszát tekintsük valószínűségi változónak. Megállapították, hogy ez a valószínűségi változó exponenciális eloszlást követ, és szórása óra. Határozzuk meg a valószínűségi változó várható értékét! Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy egy kiválasztott izzólámpa 3 órán belül tönemegy! Mivel a ξ valószínűségi változó várható értéke és szórása megegyezik (mivel exponenciális eloszlást követ), így: D( ξ ) M ( ξ ) óra λ λ óra Az az esemény, hogy egy izzólámpa 3 órán belül nem megy töne, azt jelenti, hogy a ξ 3. Ennek valószínűsége: ξ 3) ξ 3) (3) ( e 3 ) e 3,5 Tehát kb. 5% a valószínűsége annak, hogy egy izzólámpa legalább 3 órán át hibátlanul világít.

3.4. Normális eloszlás. Egy vizsgálat szerint a felnőtt korú férfiak testmagassága N(74 cm; 7 cm) eloszlást követ. Határozza meg annak a valószínűségét, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott férfi testmagassága: a) nagyobb, mint 9 cm, b) 7 és 85 cm közé esik, c) mekkora a testmagasság szórása, ha tudjuk, hogy a férfiak 5%-ának a testmagassága 68 cm alatt van? a) nagyobb, mint 9 cm, 9 74 ξ 9) ξ 9) (9) Φ( ) Φ(,8),988696 7,34,3% b) 7 és 85 cm közé esik, 85 74 7 74 7 ξ 85) (85) (7) Φ( ) Φ( ) Φ(,57) Φ(,57) 7 7 Φ(,57) + Φ(,57),9479 +,7566,6574 65,74% c) mekkora a testmagasság szórása, ha tudjuk, hogy a férfiak 5%-ának a testmagassága 68 cm alatt van? ξ 68),5 (68),5 68 74 Φ( ),5 Φ( u),5 Φ( u),95 u,64 σ 68 74,64 σ 3,66 σ

. Egy termék élettartama N(3év; év) eloszlású. a) Teljesíti-e az élettartam azt az elvárást, hogy a évnél korábban meghibásodó termékek aránya legfeljebb % legyen? b) Ha nem, akkor hogyan kell megváltoztatni a várható értéket, ill. a szórást, hogy teljesítsék az előírást? c) Termékfejlesztés eredményeképpen egy új termék élettartama N(6év;,9év) eloszlással jellemezhető. Mekkora garanciális időt adjon a cég ahhoz, hogy a termékek legfeljebb 5%-a menjen töne a garancia alatt? a) Teljesíti-e az élettartam azt az elvárást, hogy a évnél korábban meghibásodó termékek aránya legfeljebb % legyen? 3 ξ ) () Φ( ) Φ( ) Φ(),9775,75,8% Nem teljesíti az elvárást, hiszen a évnél korábban meghibásodó termékek aránya,8%. b) Ha nem, akkor hogyan kell megváltoztatni a várható értéket, ill. a szórást, hogy teljesítsék az előírást? (A várható értéknek nyilván nagyobbnak, a szórásnak pedig kisebbnek kell majd lennie.) Várható érték változtatása: µ ξ ) (), Φ( ), Φ( u), Φ( u),99 u,34 µ,34 µ 3,34év Szórás változtatása: 3 Φ( ), σ 3,34 σ,85 σ c) Termékfejlesztés eredményeképpen egy új termék élettartama N(6év;,9év) eloszlással jellemezhető. Mekkora garanciális időt adjon a cég ahhoz, hogy a termékek legfeljebb 5%-a menjen töne a garancia alatt? x 6 ξ x) ( x),5 Φ( ),5,9 x 6 Φ( u),5 φ( u),95 u,64,64 x 4,5év,9 4,5 év garanciát kellene adnia a cégnek.

3. Egy elektronikai gyárban tesztekkel igazolták, hogy egy adott TV képcső élettartama N(5,8 év;,3 év) eloszlású. A vállalat év cseregaranciát vállal a képcsövee. a) A képcsövek hány százalékát kell kicserélni a garancia időtartama alatt? b) Mekkorára kell növelni a képcsövek élettartamát (a szórás nem változik), ha a cég legfeljebb %-os garanciális cserét szeretne elérni? c) Legfeljebb mekkora szórása lehet az élettartamnak, ha a várható érték nem változik (5,8 év), ahhoz, hogy a %-os célt elérjék? a) A képcsövek hány százalékát kell kicserélni a garancia időtartama alatt? 5,8 ξ ) () Φ( ) Φ(,65) Φ(,65),9559,49 5%,3 b) Mekkorára kell növelni a képcsövek élettartamát (a szórás nem változik), ha a cég legfeljebb %-os garanciális cserét szeretne elérni? µ ξ ), Φ( ), Φ( u),98 u,6,3 µ,6 µ 6,74év,3 5,8-ról 6,74 évre kell növelni a képcsövek várható élettartamát. c) Legfeljebb mekkora szórása lehet az élettartamnak, ha a várható érték nem változik (5,8 év), ahhoz, hogy a %-os célt elérjék? 5,8 ξ ), Φ( ), u,6 σ 5,8,6 σ,85év σ Ebben az esetben pedig,3 évről,85 évre kell csökkenteni a szórást. 3

4. Döntéselmélet. Adott az alábbi nyereség típusú döntési mátrix: t t t 3 t 4 s 6-4 - s 7 8 6 s 3 4 6 6 s 4-7 Hogyan döntene bizonytalan körülmények között?. Wald-itérium Minden egyes stratégiánál megkeressük a legrosszabb következményt. S -4 S S 3 4 S 4 - E legrosszabb következmények közül a legkevésbé rosszat választjuk, vagyis s 3 -at.. Laplace-itérium Minden egyes tényállapot bekövetkezéséhez ugyanakkora valószínűséget kapcsolunk. t ) t ) t 3 ) t 4 ) ¼,5 Kiszámítjuk minden egyes stratégiához kapcsolódóan a következmények várható értékét. M ( s) + 6 4 5, 4 4 4 4 M ( s ) + 7 + 8 + 6 57,5 4 4 4 4 M ( s3) 4 + 6 + + 6 9, 4 4 4 4 M ( s4 ) + + + 7 5, 4 4 4 4 Ezek közül a legnagyobb várható értékűt választjuk, azaz s 3 -at. 4

3. Savage-itérium Elmaradó haszon mátrixot készítünk, majd a Wald-itériumot alkalmazzuk. t t t 3 t 4 s 4 9 s 8 s 3 6 s 4 5 8 Kiválasztjuk minden egyes stratégiánál a legrosszabb következményeket: S 4 S S 3 6 S 4 8 Majd ezek közül a legkevésbé rosszat választjuk, vagyis s 3 -at.. Egy vállalkozó automatizált gyártóberendezést kíván importálni. A gép megbízható működéséhez többek között egy itikus alkatrész hibátlan működése szükséges. A szállító ajánlata szerint a berendezéssel együtt vásárolt tartalék alkatrészek ára:. /db. Egy-egy alkatrész utólagos beszerzésének a költsége viszont: 35. /db. A szállító adatai szerint az eddig eladott berendezések üzemeltetése során egy adott berendezés esetén legfeljebb 3 meghibásodás fordult elő. a) Hány tartalék alkatrészt vásároljon a vásárló, ha nincs információja a berendezés megbízhatóságáról? b) Hogyan alakul a vállalkozó döntése, ha megkapja az eddig eladott 3 db. berendezésről készült alábbi meghibásodási statisztikát. Meghibásodott alkatrészek száma 3 erendezések száma 35 56 7 3 Döntési mátrix készítése. 4 tényállapotunk van:,,, vagy 3 meghibásodás fordul elő. A stratégiák:,,, vagy 3 tartalék alkatrészt vásárolunk. A következmények pedig az ezzel kapcsolatos költségek. t t t t 3 s 35 7 5 s 45 8 s 55 s 3 3 3 3 3 5

. Wald-itérium Minden egyes stratégiánál megkeressük a legrosszabb következményt. S 5 S 8 S 55 S 3 3 E legrosszabb következmények közül a legkevésbé rosszat választjuk, vagyis s 3 -at.. Laplace-itérium Minden egyes tényállapot bekövetkezéséhez ugyanakkora valószínűséget kapcsolunk. t ) t ) t ) t 3 ) ¼,5 Kiszámítjuk minden egyes stratégiához kapcsolódóan a következmények várható értékét. M ( s ) + 35 + 7 + 5 55 4 4 4 4 M ( s) + + 45 + 8 365 4 4 4 4 M ( s ) + + + 55 5 4 4 4 4 M ( s3) 3 + 3 + 3 + 3 3 4 4 4 4 Ezek közül a legnagyobb várható értékűt választjuk, azaz s -őt. 3. Savage-itérium Elmaradó haszon mátrixot készítünk, majd a Wald-itériumot alkalmazzuk. t t t t 3 s 5 5 75 s 5 5 s 5 s 3 3 Kiválasztjuk minden egyes stratégiánál a legrosszabb következményeket: S 75 S 5 S 5 S 3 3 Majd ezek közül a legkevésbé rosszat választjuk, vagyis s -őt. 6

5. Első- és másodfajú hiba. Egy tömeggyártásban előállított termék szélességi mérete szabályozott folyamatban µ 9 mm és σ mm. Legyen a névleges érték körül szimmetrikusan elhelyezkedő beavatkozási határ: H µ ± σ. a) Számítsa ki az elsőfajú hibát! b) Tételezzük fel, hogy egy veszélyes zavarhatás a beállítási szintet µ 9mm- re változtatja (a szórást nem befolyásolja). Mekkora lesz a szabályozás másodfajú hibája? c) A számításokat végezze el n és n 4 elemű minták átlagára is! a) elsőfajú hiba α 98 9 ξ AH ) ( AH ) (9 ) (98) Φ( ) Φ( ) Φ(),9775,75,8% α 4,56% b) másodfajú hiba 9 9 98 9 β 98 ξ 9) (9) (98) Φ( ) Φ( ) Φ() Φ( 4),5 +,5 5% c) n4-re Változnak a beavatkozási határok! σ σ x,5 AH 9,5 99 H n 4 9 α 99 9 ξ 99) (99) Φ( ) Φ( ) Φ(),9775,75 α 4,56%,5 9 9 99 9 β 99 ξ 9) (9) (99) Φ( ) Φ( ) Φ( ) Φ( 6),5,5 Φ() + Φ(6),9775 +,75,8% 7

. Egy termék tömegének eloszlása N( g; g). Mekkora szimmetrikus beavatkozási határokat használnak 5%-os kockázati szint mellett n4 elemű minták számtani átlagára? Mekkora a másodfajú hiba, ha a folyamat N(,5 g;, g)-ra állítódik el? AH ξ AH ) Φ( ),75 u,44 / 4 H,7 AH,44 AH 99,8 / 4,7,5 99,8,5 β 99,8 ξ,7) (,7) (99,8) Φ( ) Φ( ), / 4, / 4 Φ(,37) Φ(,3) Φ(,37) + Φ(,3),64439 +,9786,63 6,3% 8

6. ecslés. Egy mosóporgyárban az egyik adagolóautomata 5g tömegű mosóport tölt papírdobozokba. A gép által töltött dobozokból vett minta adatai: 483g; 5g; 498g; 496g; 5g; 494g; 49g; 55g; 486g. A gép által töltött tömeg normális eloszlású, 8 g szórással. Határozza meg a gép által töltött dobozok tömegének konfidencia intervallumát 98%-os megbízhatósági szint mellett! Várható érték becslése intervallummal ismert elméleti szórás esetén α % σ 8g 483 + 5 + 498 + 496 + 5 + 494 + 49+ 55 + 486 µ x 495,g 9 σ σ x uα / µ x + uα / ) α n n u u,34 α /, 8 8 495,,34 µ 495, +,34 3 3 488,98 µ 5,46. Hosszú évek tapasztalata alapján Magyarországon a lánycsecsemők születéskori súlya normális eloszlást követ 3, kg átlaggal és,6 kg szórással. Kérdések: a) Mi a valószínűsége annak, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott lánycsecsemő súlya 3, és 3,4 kg között van? b) Mi a valószínűsége annak, hogy egy elemű véletlen minta átlaga 3, és 3,4 kg között van? c) Mi ugyanennek a valószínűsége elemű minta esetén? d) Milyen intervallumba várhatók a elemű minták átlagai 95%-os valószínűséggel? e) Szerkesszünk konfidencia intervallumot a sokasági átlagra, ha egy elemű minta átlaga 3, kg és a szórás továbbra is,6 kg! 3,4 3, 3 3, a) 3 ξ 3,4) Φ( ) Φ( ) Φ(,33) Φ(,33) Φ(,33),63,6,6,6 Tehát 6% annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott lánycsecsemő súlya 3, és 3,4 kg között van. 9

3,4 3, 3 3, b) 3 ξ 3,4) Φ( ) Φ( ) Φ(,54) Φ(,54) Φ(,5),853,76,6,6 Azaz az ekkora elemszámú mintaátlagok 7%-a ebben az intervallumban lesz. 3,4 3, 3 3, c) 3 ξ 3,4) Φ( ) Φ( ) Φ(3,33) Φ( 3,33) Φ(3,33),9996,999,6,6 Azaz elemű minták esetén már csak az átlagok,8%-a nem fér bele ebbe az intervallumba. σ σ d ) x uα / µ x + uα / ) α n n α 5% Φ( u),975 u,96,6,6 3,,96 µ 3, +,96 3,8 µ 3,3 Azaz a keresett intervallum: (3,8; 3,3), a mintaátlagok 95%-a ebbe az intervallumba esik. σ σ e) x uα / µ x + uα / ) α n n α 5% Φ( u),975 u,96,6,6 3,,96 µ 3, +,96,98 µ 3, Azaz a keresett intervallum: (,98; 3,). Ez az intervallum tartalmazza a feltételezett 3,-es sokasági átlagot, azaz ezzel a feltevéssel mintabeli eredményünk összhangban van. 3

3. Egy évben a ME gazdálkodási szakának nappali tagozatára jelentkezők közül 7 fős mintát vettek egyszerű véletlen kiválasztással. A mintában szereplő felvételizők pontszáma a következő volt: 8; 9; ; 3; ; 5; 6; 99; ; 4; 5; 96; 88; ; 3; 9; 94. Határozzuk meg a felvételizők átlagos pontszámának és a pontszámok szórásának 95%-os konfidencia intervallumát! a) A pontszámok várható értékének intervallumbecslése ismeretlen elméleti szórás esetén α 5% σ s ( x 7 4,,68 x) (8 8,4) + (9 8,4) +... + (9 8,4) + (94 8,4) 6 8 + 9 + +... + 3 + 9 + 94 843 µ x 8,4 7 7 s s x tα / µ x + tα / ) α n n t ( D) t (6), α / 7 i,975 i,68,68 8,4, µ 8,4+, 7 7,9 µ 3,9 b) A pontszámok szórásának becslése intervallummal * * ( n ) s ( n ) s P σ α χα / χ α / α 5% χ χ α / α / 8,845 6,68 8,845 6,98 63,7 σ 64,8 7,95 σ 6,5 σ 6,68 6,98 3

4. Egy vállalat szervezetének átvilágításakor 5 szervezeti alkalmazott közül 5 munkatársat véletlenszerűen kiválasztottak, és több kérdés mellett megkérdezték tőlük, hogy mekkora fizetést tartanának kielégítőnek. A válaszok átlaga havi bruttó 5 ezer forint, 3 ezer forint szórással ecsüljük meg 95 és 99%-os megbízhatósággal, mekkora havi bruttó bérkifizetésre kell a cégnek felkészülnie, ha a kielégítőnek vélt szintet szeretné biztosítani! α 5% n 5 σ s 3 µ x 5 s s x tα / µ x + tα / ) α n n t ( D) t (4),96 α /,975 3 3 5,96 µ 5 +,96 5 5 3534,7 µ 64765,3 α % t α / ( D) t,995 (4),576 3 3 5,576 µ 5 +,576 5 5 3594,3 µ 6945,87 3

5. Egy vezeték nélküli, újratölthető csavarhúzókat gyártó vállalatnál felmérve a csavarhúzók működési idejét, azt normális eloszlásúnak találták. 5 csavarhúzó élettartamát megvizsgálva az átlagos működési idő 89 óra, a szórás 5 óra. Adjuk meg a várható érték 95%-os konfidencia intervallumát. A cég új reklámkampányában ki szeretné emelni, hogy a csavarhúzók 99%-a egy adott élettartamnál tovább működik. Maximum mekkora működési időt mondjon, ha nem akarja becsapni a vásárlókat? a, Várható érték becslése ismeretlen elméleti szórás esetén s 5h x 89h n 5 D n 5 4 s s x n t t α / 5 9,h 5 s,45 9, 77 x x x t t µ x + ) α,95 µ x + t t 89 77 µ 89 + 77 863 µ 977 Ez a várható érték 95%-os konfidencia intervalluma. b, t t α / s x,977 9, 384,3 x x t t µ x + ) α,95 µ x + t t 89 384,3 µ 89 + 384,3 855,7 µ 984,3 Maximum 984,3h működési időt mondhat, ha nem akarja becsapni a vásárlókat. 33

7. Hipotézisvizsgálatok 7.. Nemparaméteres próbák. Egy sörgyártó vállalatnál a sör névleges térfogata 5ml kell, hogy legyen, és a térfogat szórása legfeljebb ml lehet. Egy elemű véletlen mintából ellenőrzik a szállítmányt. A minta adatai a következők: Térfogat, ml db -48 5 48-49 49-5 3 5-5 4 5-5 6 5-5 Összesen A mintából számított jellemzők: x 499,ml (ezt most megadtuk, de becsült paraméterek) s,6ml a) 5%-os szignifikancia szinten tesztelje azt a hipotézist, hogy a betöltött sör térfogat szerinti eloszlása normálisnak tekinthető! b) A minta alapján ellenőrizze az átlagos töltősúlyra vonatkozó hipotézis teljesülését! a) Illeszkedésvizsgálat H : a sör névleges térfogata 499, ml várható értékű és,6 ml szórású normális eloszlást követ H : a sör névleges térfogata nem 499, ml várható értékű és,6 ml szórású normális eloszlást követ Térfogat, f i p i i χ szám ml -48 5,643 6,43,38 48-49,75 7,5,474 49-5 3,97 9,, 5-5 4,77 7,7,5 5-5 6,464 4,64,6 5-5,485 4,85,464 Összesen Ahol f a tapasztalati gyakoriság, pedig az elméleti gyakoriság ( i p i *). 34

35 Kvantitatív módszerek 4,85%,48457,95543 (5) 5) ( 5) ( 4,64%,4644,855,95543,855 (,66),855 ),6 499, 5 ( (5) (5) 5) (5 7,7%,775,579,855,579 (,86),579 ),6 499, 5 ( (5) (5) 5) (5 9,%,9,35763,579,35763 (,7),35763 ),6 499, 5 ( (49) (5) 5) (49 7,5%,75,643,35763,643,76437) (,643 (,7),643,7) (,643 ),6 499, 49 (,643 (49) (48) (49) 49) (48 6,43%,643,935745 (,5),5) ( ),6 499, 48 ( (48) 48) ( > Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ P P P P P P P ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ 3 6 7,85,444,464,6,5, 7,5 7,5) ( 6,43 6,43) (5 ) ( H l r D f szám n i i i i szám + + + + + χ χ χ χ b) PARAMÉTERES! egymintás u-próba, mert n>3 /,96,74,96,96 (,975) 5%,74,6 5 499, 5 : 5 : H u u u u u u n s x u H H sz sz ± Φ α α µ µ µ

. Véletlenszerűen kiválasztott db miohullámú sütő élettartam szerinti megoszlását mutatja a következő táblázat: Élettartam, év db -5 8 5-6 8 6-7 44 7-8 5 8-5 Összesen Ismeretes, hogy x 6,36év (becsültük az osztályközös gyakorisági sorból) s,67év a) 5%-os szignifikancia szinten ellenőrizze azt az állítást, hogy miohullámú sütők élettartama normális eloszlást követ! b) Teljesül-e 5%-os szignifikancia szinten az a minőségi előírás, hogy az élettartam átlaga meg kell, hogy haladja a 6 évet! a) Illeszkedésvizsgálat H : a miohullámú sütők élettartama 6,36 év várható értékű és,67 év szórású normális eloszlást követ H : a miohullámú sütők élettartama nem 6,36 év várható értékű és,67 év szórású normális eloszlást követ Élettartam, év f i p i i χ szám -5 8,,64,88 5-6 8,75 3,7,67 6-7 44,5344 64,3 6,3 7-8 5,637 9,64,45 8-5,73,876 7,7 Összesen 47, 36

37 Kvantitatív módszerek,73%,73,99656 (8) 8) ( 8) ( 6,37%,637,88944,99656,88944 (,44),88944 ),67 6,36 8 ( (7) (8) 8) (7 53,44%,5344,945,88944,945 (,95),945 ),67 6,36 7 ( (6) (7) 7) (6 7,5%,75,,754, (,54),,54) (, ),67 6,36 6 (, (6) (5) (6) 6) (5,%,,978 (,3),3) ( ),67 6,36 5 ( (5) 5) ( > Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ P P P P P P ξ ξ ξ ξ ξ ξ 5 5,99 47, 7,7,45 6,3 3,7 3,7) (8,64,64) (8 ) ( H l r D f szám n i i i i szám > + + + + χ χ χ χ b) PARAMÉTERES! egymintás u-próba, mert n>3 /,96,96 (,975) 5% 5,9,67 6 6,36 6 : 6 : H u u u u n s x u H H sz sz > + ± Φ > α α µ µ µ

3. Egy adott évben 98 vegyipari vállalatot megvizsgálva a 8 napon túl gyógyuló sérülteket eredményező balesetek száma az alábbi táblázatban foglaltaknak megfelelően alakult. alesetek száma Vállalatok száma 3 4 5 6 7 4 8 7 5 4 6 a) Leírható-e a balesetek száma Poisson-eloszlással (α%)? b) Mennyi a számtani átlag, a módusz és a medián értéke? a) Illeszkedésvizsgálat λ becslése (a számtani átlag segítségével) a H hipotézis megfogalmazásához: 4 + 8 + + 3 7 + 4 5 + 5 + 6 4 + 7 6 89 λ 3, 96 96 H : a balesetek száma leírható λ3, paraméterű Poisson-eloszlással H : a balesetek száma nem λ3, paraméterű Poisson-eloszlású Osztályok f k p k k χ i 4,49 4,74,5 8,49 4,34,955,4,54,4 3 5,4,54,967 4 5,68 6,8,789 5, 9,6,67 6 4,5 4,8,33 7 6,,6 7,87 Σ 96, 96,37 (Megjegyzés. A p k értékeket a Poisson-eloszlás táblázatából keressük ki, az k elméleti gyakorisági értékeket pedig a következőképpen kapjuk: k p k *96) n ( fi i ) (4 4,74) χ szám i i 4,74 +,67 +,33 + 7,87,37 χ 6,8 D r l 8 6 χ szám χ H (8 4,34) + 4,34 +,4 +,967 +,789 + 38

b) számtani átlag, módusz, medián értéke Számtani átlag értékét már az a) pontban kiszámoltuk a paraméter becsléséhez, értéke 3,. A módusz a legnagyobb gyakoriságú érték: vagyis a vállalatok legnagyobb részénél az adott évben olyan baleset volt, amelynél a balesetet szenvedők 8 napon túl gyógyuló sérülést szereztek, így a módusz értéke: A medián helyzeti középérték:,,, 3, 4, 5, 6, 7 így a medián: 3,5. 39

7.. Hipotézisvizsgálatok, paraméteres és nemparaméteres próbák. Egy halogénizzókat gyártó vállalatnál megvizsgálták egy új típusú izzó élettartamát. A korábbi típusú izzók élettartama 53 óra volt. Véletlen mintavétellel kiválasztva 35 új típusú izzót, az átlagos élettartamuk 53 óra volt, 6 óra szórással. Vizsgáljuk meg %-os szignifikancia szinten, hogy valóban megnőtt-e az izzók élettartama? Egymintás u-próba, mivel n>3 H : az átlagos élettartam 53 óra (µ53h) H : az átlagos élettartam nagyobb, mint 53 óra (µ>53h) u u u sz sz x µ x µ 53 53 8 6,76 σ / n s / n 6/ 35,98 : α % Φ( u),9 u,85 > u H A nullhipotézist elutasítjuk, az új típusú izzók élettartama valóban nagyobb.. Egy automata gépsor által töltött dobozokból elemű mintát veszünk. A mintába került doboz grammban kifejezett töltősúlya a következő: 55g, 4g, 45g, 53g, 49g, 5g, 5g, 55g, 45g, 46g. Ellenőrizzük, hogy a gépsor teljesíti-e a 5g várható értékű specifikációt %-os szignifikancia szinten! egymintás t-próba, n3 H : µ5 H : µ 5 55 + 4 +... + 45 + 46 49 x 49, s t t sz (55 49,) + (4 49,) x µ 49, 5,43 s / n 4,5/ t t ± 3,5 α /,995 mivel 3,5,43 3,5 H +... + (46 49,) 8,9 9 4,5 4

3. Két iskolában (A és ) a tanulók intelligencia szintjét hasonlítják össze. Mindkét iskolából 5-5 fős véletlen mintát vettek. A két minta adataiból a számítások eredményei: x s x s A A 7 8 3,4 Vizsgáljuk meg %-os szignifikancia szinten, hogy van-e eltérés a két iskola tanulóinak intelligencia szintje között!. -próba. kétmintás t-próba H H sz sz : σ σ A : σ > σ A s s A,66 8 3,4 H,84 H H t t t sz sz : µ µ : µ > µ t t α A A x A s n A A x s + n,43 H 7 8 3,4 + 5 5 5,96 + 7,8,6 4

4. Egy konzervgyárban két automata tölt lekvárt,5 literes üvegekbe. A gyártásközi ellenőrzés során véletlen mintát vettek mindkét gépről. A mintáa vonatkozó eredmények: Gép Mintaelemszám Átlagos töltési mennyiség, ml Töltési tömeg szórása, ml I. 3 53 8, II. 37 495 7,6 Döntse el 5%-os szignifikancia szinten, hogy tekinthető-e azonosnak a két gépen a töltési tömeg szórása és átlaga! a) szórások egyezőségének vizsgálata: -próba H H sz sz : σ σ A : σ > σ A s s A,74 8, 7,6 H,64 b) átlagok egyezőségének vizsgálata: kétmintás u-próba, mivel n A, n >3 H H u : µ µ : µ > µ A : µ µ : µ µ 4,88 >,96 H α 5% Φ( u),95 u u Másik _ megoldás : H H u 53 495 8, 3 α 5% α /,5 Φ( u),975 u u sz sz sz sz A A > u A x σ n A A A x σ + n H 7,6 + 37,64 8 4,88, +,56 ±,96 4

elhasznált irodalmak: Denkinger G.: Valószínűségszámítási gyakorlatok, Tankönyvkiadó, udapest, 977 Szabó Gábor Csaba Szűts I.: Matematikai statisztika példatár I-II., Tankönyvkiadó, udapest, 987. Solt György: Valószínűségszámítás. Műszaki Könyvkiadó, udapest, 973 Ay János Kupcsik József: Általános statisztika példatár. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, udapest, 96 Juhász Györgyné Sándorné Kriszt Éva: Statisztika II. távoktatással (főiskolai jegyzet). Távoktatási Universitas Alapítvány, Hunyadi László Vita László: Statisztika közgazdászoknak. Központi Statisztikai Hivatal, udapest, Kerékgyártó Györgyné Mundruczó György Sugár András: Statisztikai módszerek és alkalmazásuk a gazdasági, üzleti elemzésekben. Aula kiadó, udapest, 43