1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3

Tartalomjegyzék 1. Műveletek valós számokkal... 1 1.1. Gyökök és hatványozás... 1 1.1.1. Hatványozás... 1 1.1.2. Gyökök... 1 1.2. Azonosságok... 2 1.3. Egyenlőtlenségek... 3 2. Függvények... 4 2.1. A függvény fogalma... 4 2.2. Injektív, szürjektív függvények... 5 2.3. Függvények összetétele... 6 2.4. Inverz függvény... 6 3. Elsőfokú egyenletek és egyenlőtlenségek... 7 3.1. Elsőfokú egyenletek... 7 3.2. Valós szám abszolút értéke... 9 4. Másodfokú függvény... 9 5. Komplex számok... 11 5.1. Algebrai alak...12 5.2. Az i hatványai...12 5.3. A z konjugáltja...12 5.4. Komplex szám abszolút értéke...13 5.5. Trigonometriai alak...14 5.6. Moivre-képlet...15 5.7. Exponenciális alak...16 5.8. Binom egyenlet...16 6. Haladványok... 16 6.1. Számtani sorozatok...16 6.2. Mértani sorozatok...17 6.2.1. Egy alkalmazás...18 7. Logaritmusok... 19 7.1. Alap logaritmikus és exponenciális egyenletek...21 7.2. Alap logaritmikus és exponenciális egyenlőtlenségek...21

8. Mértan... 22 8.1. Vektorok...22 8.1.1. Nevezetes helyzetvektorokkal kapcsolatos tételek...27 8.2. Analitikus mértan térben, síkban...30 8.2.1. Egy pont és két nem párhuzamos irány által meghatározott sík egyenlete...31 8.2.2. Három nem kollineáris pont által meghatározott sík egyenlete...32 8.2.3. A sík tengelymetszetes egyenlete...34 8.2.4. A sík általános egyenlete...34 8.2.5. A koordináta-rendszerhez viszonyítva sajátos helyzetű síkok egyenletei...35 8.3. Egyenesek egyenletei... 36 8.3.1. Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete...37 8.3.2. Az egyenes általános egyenlete...37 8.3.3. Síkbeli egyenesek egyenletei...37 8.3.4. Két különböző pont által meghatározott egyenes egyenlete...38 8.3.5. Két térbeli egyenes szöge...39 8.4. Pont távolsága egyenestől (síkban)...39 8.4.1. Szögfelezők egyenletei (síkban)...40 8.5. Pont távolsága egyenestől (térben)...40 8.6. A kör...41 8.7. Az ellipszis...42 9. A hiperbola... 42 9.1. Parabola...43 9.2. Skaláris szorzat további alkalmazásai...44 10. A matematikai indukció módszere... 45 10.1. A Peano-féle axiómák...45 10.2. A matematikai indukció módszere...46 10.3. A matematikai indukció módszerének egy változata...46 11. Kombinatorika... 47 11.1. Permutációk...47 11.2. Variációk...47 11.3. Kombinációk...47 11.4. Newton binomiális képlete...48 11.5. Azonos hatványösszegek...49 12. Polinomok... 49 12.1. Egy polinom algebrai alakja...49 12.2. Polinomok oszthatósága...50

12.3. Irreducibilis polinomok...51 12.4. Polinomok gyökei...51 12.5. Algebrai egyenletek...52 12.6. Polinomok melyek együtthatói R, Q, Z-ből vannak...52 13. Permutációk, mátrixok és determinánsok... 53 13.1. Permutációk...53 13.2. Mátrixok...54 13.3. Műveletek mátrixokkal...55 13.4. Determinánsok...56 13.5. Mátrix inverse...58 13.5.1. A mátrix nyoma, Tr(A)...58 13.6. További képletek...59 14. Lineáris rendszerek... 60 14.1. Jelölések...60 14.2. Összeférhetőség...61 15. Trigonometria... 61 15.1. Trigonometriai képletek...61 15.2. Trigonometria alkalmazása a mértanban...63 16. Matematikai analízis... 66 16.1. Rekurziók...66 16.1.1. Elsőrendű rekurziók...66 16.1.2. Másodrendű rekurziók...66 16.2. Sorozatok határértéke...66 16.2.1. Általános határértékek, konvergencia kritériumok...68 16.3. Függvényhatárértékek...71 16.3.1. Műveletek függvényhatárértékekkel...71 16.4. Alaphatárértékek...72 16.5. Függvények folytonossága...73 16.5.1. Folytonosságra vonatkozó tételek...74 16.6. Deriválható függvények...76 16.6.1. Derivált értelmezése egy pontban...76 16.6.2. Deriválási szabályok...77 16.6.3. Néhány függvény deriváltja...77 16.6.4. Összetett függvény deriváltja...78 16.6.5. Magasabbrendű deriváltak...79 16.6.6. Deriválható függvények tulajdonságai...80 16.7. Integrálok...80 16.7.1. Határozatlan integrálok...80

17. Primitiválhatósága... 81 17.1. Racionális függvények primitívje...81 17.2. Integrálok amelyek tartalmazzák az r = (x 2 + a 2 ) 1/2...82 17.3. Integrálok amelyek tartalmazzák az s = (x 2 a 2 ) 1/2...83 17.4. Integrálok amelyek tartalmazzák a t = (a 2 x 2 ) 1/2...84 17.5. Integrálok amelyek tartalmazzák az R = (ax 2 + bx + c) 1/2...84 17.6. Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a sin-t tartalmazzák...85 17.7. Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a cos-t tartalmazzák...85 17.8. Trigonometrikus integrálok, amelyek csak a tan-t tartalmazzák...86 17.9. Trigonometrikus integrálok, amelyek tartalmazzák a sin-t és cos-t...86 17.10. Logaritmikus integrálok...87 17.10.1. A határozott integrál tulajdonságai...87 17.10.2. Integrálok additivitása intervallumokon...88 17.10.3. Fundamentális tétel (Alaptétel)...88 17.10.4. Egyenlőtlenségek...89 17.11. Más tételek...91 17.11.1. Primitiválható függvények...92 17.11.2. Integrálható függvények...92 18. Algebrai struktúrák... 93 18.1. Csoportok...93 18.1.1. Tulajdonságok és nevezetes tételek...93 18.2. Monoidok...95 18.3. Gyűrűk...96 18.4. Testek...98 18.5. Vektorterek...99

1 Műveletek valós számokkal 1.1 Gyökök és hatványozás 1.1.1 Hatványozás 1. a m n = a m a n 2. a m b m = (a b) m 3. a m : a n = a m n 4. a m : b m = (a : b) m 5. a m = 1 a m 6. (a m ) n = a mn. A valós számok hatványai kiterjeszthetőek racionális, irracionális, illetve valós hatványokkál is sorok segítségével. Ezek a hatványok is rendelkeznek azokkal a tulajdonságokkal amivel a természetes kitevöjű hayványok. 1.1.2 Gyökök Az alábbi képletekben értelemszerűen az n, m 2, valamint az a, b, c számok olyan valós számok, amelyekre az adott kifejezéseknek van értelme: n 1. a = a 1 n, a > 0; n 1 2. a = n 1 a = a 1 n ; 3. ( n a) n = a; n 4. a n b = n ab; ( ) n n 1 5. a = 1 a ; n 6. a n b n c = n abc; n 7. a : n b = n a b ; m 8. a n a = nm a n+m ; m 9. a : n a = nm a n m ; 10. n a nm = a m ; m 11. a n = a n m ; mn 12. a mp = n a p ; m 13. a p n b q = nm a pn b qm ; 1

14. m n a = nm a; 15. a 2 = a ; 2n+1 16. a = 2n+1 a; 17. a ± a+c b = 2 ± a c 2 ahol a c 2 = a 2 b egynlőségből határozzuk meg a c értékét. Tekintsük a következő példát a 17 képletre. Hozzuk egyszerűbb alakra 3 + 8 kifejezést. Ebben az esetben nehéz dolgunk van és nem igazán tudunk vele mit kezdeni, ezért folyamodunk a fenti képlethez: c 2 = 3 2 8 = 1, tehát 1.2 Azonosságok 3 + 3 + 1 3 1 8 = + = 2 + 1. 2 2 Bármely x, y, z, t, a, b, c, d R és n N esetén: 1. a 2 b 2 = (a b)(a + b) 2. (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) = (ax by) 2 + (ay + bx) 2 3. a b b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) 4. a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) 5. a 3 + b 3 + c 3 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab bc ca) 6. a b + b 3 + c 3 = (a + b + c) 3 3(a + b)(b + c)(c + a) 7. a 4 b 4 = (a b)(a + b)(a 2 + b 2 ) 8. a 4 + b 4 = (a 2 + b 2 ab 2)(a 2 + b 2 + ab 2) 9. a 5 b 5 = (a + b)(a 4 + a 3 b + a 2 b 2 + ab 3 + b 4 ) 10. a 6 + b 6 = (a 3 2ab 2 ) 2 + (b 3 2a 2 b) 2 11. a n b n = (a b)(a n 1 + a n 2 b +... + ab n 2 + b n 1 ) 12. a 2n+1 + b 2n+1 = (a + b)(a 2 n a 2n 1 b +... ab 2n 1 + b 2n ) 13. (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac 2 n n n 14. a j x j = a 2 j j=1 x 2 j j=1 j=1 1 i<j n (a i x j a j x i ) 2 2

11 Kombinatorika 11.1 Permutációk Értelmezés 11.1. Ehu halmazt egy rendezési relációval ellátva egy rendezett halmaznak nevezünk. és (a 1, a 2,..., a n ) jelölést használjuk. Értelmezés 11.2. Egy n elemű A halmaz permutációin az összes rendezett halmazt értjük melyet az A-nak az n db, eleméből lehet képezni. Egy elemű n,(n N ) halmaz permutációinak a száma P n = 1 2... n = n!; 0! = 1(definíció szerint). Tulajdonságok (faktoriálisok): n! = (n 1)! n és n! = (n+1)! n+1. 11.2 Variációk Értelmezés 11.3. Egy n elemű A halmaz m-ed rendű variációján az A elemeiből képezhető összes m elemű rendezett részhalmazt értjük Jelölés Vn m. Tétel 11.1. Az n elemű halmaz m-ed rendű variációinak a száma V m n = n(n 1)...(n m + 1) = n! (n m)!, n m. Tulajdonságok: A n n = P n, A n n = n! 0! vagy An n = n!; A n 1 n = A n n; A 0 n = 1. 11.3 Kombinációk Értelmezés 11.4. Egy n elemű A halmaz m-ed rendü kombinációján az összes A-beli elemekből képezhető m elemű részhalmazt értjük. Jelölés: C m n. Tétel 11.2. Tulajdonságok: 1. C 1 n = n; C n n = C 0 n = C 0 0 = 1; 2. C m n = C n m n ; 47

3. C m n = C m n 1 + C m 1 n 1 ; 4. Egy n elemű halmaz összes részhalmazainak a száma 2 n, azaz C 0 n +... + C n n = 2 n 5. C m n = C m 1 n 1 + Cm 1 n 2 +.. + Cm 1 m+1 + Cm 1 m + Cm 1 m 1 ; 6. = C p1 n ahol p 1 +... + p m < n. n! p 1! p 2!... p m! C p2 n p 1... C n (p1+p2+...+p pm m 1, 11.4 Newton binomiális képlete Érvényes az alábbi kifejtés: (x+a) n = C 0 nx n +C 1 nx n 1 a+...+c k nx n k a k +... + C n na n, (x a) n = C 0 nx n C 1 nx n 1 a +... + ( 1) k C k nx n k a k +... + ( 1) n C n na n. Tétel 11.3. Tulajdonságok: 1. A k + 1-ed rendű elem T k+1 = ( 1) k C k nx n k a k 2. Cn k+1 = n k k+1 Ck n; 3. Cn+1 k+1 = n k k+1 Ck n; 4. T k+2 = n k a k+1 x T k+1 vagy T k+2 = n k a k+1 x T k+1; 5. Az (x ± a) n kibontásának n + 1 tagja van; 6. A két végétől egyenlő távolságra elhelyezkedő tagok együtthatói egyenlőek. Tétel 11.4. Érvényesek: 1. C 0 n + C 1 n +... + C n n = 2 n ; C 0 n C 1 n +... + ( 1 n )C n n = 0; 48

2. Cn 0 + Cn 2 + Cn 4 +... = 2 n 1 ; Cn 1 + Cn 3 + Cn 5 +... = 2 n 1 ; 3. C2n n = (Cn) 0 2 + (Cn) 1 2 +... + (Cn) n 2. A Newton-Binomiális kifejtés néhány sajátos esete: 1) (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 ; 2) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2(ab + bc + ac); 3) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ; 4) (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 ; 5) (a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3(a 2 b + a 2 c + b 2 a + b 2 c + c 2 a + c 2 b) + 6abc; 6) (a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4. 11.5 Azonos hatványösszegek Ha S p = 1 p + 2 p +... + n p, p N, akkor: 1. S 1 = n(n+1) 2 ; 2. S 2 = n(n+1)(2n+1) 6 ; 3. S 3 = ( n(n+1) 2 ) 2 ; 4. S 4 = n(n+1)(6n3 +9n 2 +n 1) 30 ; 5. S 5 = n2 (n+1) 2 (2n 2 +2n 1) 12. 6. Az S p kiszámolására szolgáló egyik képlet, az S p 1, S p 2,..., S 1 segítségével az ún. Pascal formula: (n + 1) p+1 = 1 + C 1 p+1s p +.. + C p p+1 S 1 + n. 12 Polinomok 12.1 Egy polinom algebrai alakja Az f C[x] polinom a következő alakba írható f = a 0 X n + a 1 X n 1 +... + a 1 X + a 0, ahol n a polinom fokszáma, a 0 szabad tag és a n a főe- 49

13 Permutációk, mátrixok és determinánsok 13.1 Permutációk Értelmezés 13.1. Legyen A = {1, 2,..., n}, σ egy n-d rendű permutációnak nevezzük ha σ : A A egy bijektív függvény. ( σ = ) 1 2 n σ(a) σ(2) σ(n) Legyen S n az n-d rendű permutációk halmaza; S n = n!, 1 A = e, legyen az identikus permutáció ( 1 2 n e = 1 2 n ) ; Permutációk összetétele: Legyen σ, τ S n akkor ( σ τ = 1 2 n σ(τ(1)) σ(τ(2)) σ(τ(n)) ) S n. Értelmezés 13.2. Legyen i, j A, i j, τ ij S n, τ ij transzpoziciónak nevezzük ha: j, ha k = i; τ ij (k) = i, ha k = j; k, különben, Tétel 13.1. Észrevételek: 1.) (τ ij ) 1 = τ ij ; 2.) Az n-d rendű transzpoziciók száma Cn. 2 53

Értelmezés 13.3. Legyen (i, j) A A,i < j, (i, j) számpárról azt mondjuk hogy egy inverziója a σ-nak ha σ(j) < σ(i). Az m(σ) az inverziók száma esetén σ : 0 m(σ) C 2 n = n(n 1). 2 Ekkor az ɛ(σ) = ( 1) m(σ) nevezzük σ előjelének. Tétel 13.2. Megjegyzések: 1. A σ permutációt párosnak mondjuk ha ɛ(σ) = 1, illetve páratlannak ha ɛ(σ) = 1; 2. Minden transzpozició páratlan; 3. ɛ(σ) = σ(i) σ(j) ; i j 1 i<j n 4. ɛ(σ τ) = ɛ(σ) ɛ(τ). 13.2 Mátrixok Értelmezés 13.4. Legyen M = {1, 2,..., m} és N = {1, 2,..., n}. Egy A : M N C, leképezés eseteén amelyre A(i, j) = a ij (m, n) mátrixnak nevezzük, amelynek m sora és n oszlopa van: a 11 a 1n a 21 a 2n..... a m1 a mn és a komplex elemű mátrixok halmazát a következőképpen jelöljük: M m,n (C) amelyek (m, n) típusuak. Értelmezés 13.5. Ha m = n akkor n-d rendű négyzetes mátrixnak nevezzük, és ezek halmazát a következőképpen jelöljük M n (C). Értelmezés 13.6. Két 54 A, B M m,n (C)

akkor és csak akkor egyenlő ha a ij = b ij, (i, j) M N 13.3 Műveletek mátrixokkal: 1. (Összeadás:) Legyen A, B M m,n (C) akkor C = A + B M m,n (C), ahol c ij = a ij + b ij, (i, j) MxN, mátrixot az A és B mátrixok összegének nevezzük. Az összeadás tulajdonságai: A, B, C M m,n (C) esetén: (a) A + B = B + A (b) (A + B) + C = A + (B + C) (c) A + O = O + A = A(a semleges elem ahol O = O m,n a null mátrix) (d) A + ( A) = ( A) + A = O (az A elentetje A). 2. (Skalárral való szorzás:) Legyen A M m,n (C) és λ C akkor B = λa M m,n (C), ahol b ij = λa ij, (i, j) M N a B mátrixot az A mátrix a λ skalárral való szórzásának nevezzük. Tulajdonságok: A, B M m,n (C) és λ, µ C esetén: (a) 1 A = A; (b) λ A = A λ; (c) (λ + µ)a = λa + µa; (d) λ(a + B) = λa + λb; (e) λ(µa) = (λµ)a = µ(λa). 3. (Mátrix transzponáltja:) Legyen A M m,n (C) akkor A t M m,n (C) ahol a t ij = a ji, (i, j) M N. 4. (Mátrixok szorzása:) Legyen A M m,n (C) és B M n,p (C) akkor 55

C = A B M m,p (C), mátrixot a következő képpen kapjuk meg: c ij = (i, j) M N. n a ik b kj, k=1 A mátrixok szorzásának a következő fontos tulajdonságai vannak: (a) (AB)C = A(BC); (b) AI n = I n (a semleges elem az egységmátrix) I n = M m,n (C); (d) (A + B)C = AC + BC; (e) A(B + C) = AB + AC. 1 0 0 0 1 0........ 0 0 1 13.4 Determinánsok Legyen M n (C) az n-d rendű négyzetes mátrixok halmaza, amelyet a következő alakban is írhatunk: A = a 11 a 1n a 21 a 2n..... a n1 a nn Értelmezés 13.7. Az A mátrix determinánsán a következő számot értjük det A = σ S n ɛ(σ)a 1σ(a) a 2σ(2)...a nσ(n) 56

A következőképpen jelöljük: det A = Érvényes: a 11 a 1n a 21 a 2n....... a n1 a nn det A = a i1 A i1 + a i2 A i2 +... + a in A in, ahol A ij a ij elem algebrai komplementuma, amely A ij = ( 1) ( i + j)d ij, ahol d ij az a ij elemhez tartozó aldetermináns. Tétel 13.3. Ha C = A B, akkor det C = det A det B ahol A, B, C M n (C)). Tétel 13.4. Négyzetes másodrendű mátrix determinánsa: a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11 a 22 a 12 a 21 Tétel 13.5. Harmadrendű mátrix determinánsa: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 21 a 32 a 13 + a 12 a 23 a 31 a 31 a 22 a 13 a 11 a 32 a 23 a 21 a 12 a 33. 57

Tétel 18.23. Ha A egy integritási tartomány, akkor A[x] is integrtási tartomány és grad(f g) = gradf + gradg, f, g A[x]. 18.4 Testek Legyen (K, +, ) struktúra és K K K, (x, y) x + y, K K K, (x, y) x y, K nem üres; Értelmezés 18.6. (K, +, ) egy test, ha (K, +, ) gyűrű, 0 1 és x K, x 0 x x 1 K : x x 1 = x 1 x = 1. Ha x y = y x, x, y K akkor a test kommutatív. Példák: 1. (Q, +, ) racionális számok teste; 2. (R, +, ) valós számok teste; 3. (C, +, ) komplex számok teste; 4. (Q( (d), +, )), (d Z négyzetmentes); 5. (Z p, +, ) maradékosztályok test modulo p N, p > 1, p prím. Értelmezés 18.7. Legyenek (A,, ) és (A,, ) testek: f : A A egy test izomorfizmus, ha f bijectív és f(x y) = f(x) f(y) f(x y) = f(x) f(y), x, y A. Tétel 18.24 (Maradékos osztás tétele). K kommuatív test, g K[x], g 0 ekkor f K[x] esetén léteznek q, r K[x] egyértelműen meghatározott polinomok úgy, hogy f = q g + r, deg r < deg g. 98

Tulajdonságok: 1.) Ha K test karakterisztikája nem nulla, akkor bíztosan egy prímszám. 2.) Bármely, testek között ható morfizmus injektív. 3.) Wedderburn tétel:minden véges test kommutatív. 4.) Kaplanski tétel: Legyen K egy test. Ha a K, n(a) N úgy, hogy a n(a) Z(K) következik, hogy K komutatív. 18.5 Vektorterek Egy V halmaz (a vektorok halmaza), együtt egy (K, +, ) testel(a skalárok teste),egy + a V -n értelmezett belső művelettel(a vektorok összeadása) és egy művelettel (vektorok skalárral való szorzása) egy vektorteret képez, ha teljesülnek az alábbiak: 1.) (V, +) kommutatív csoport 2.) (K, +, ) kommutatív test 3.) A skaláral való szorzásnak az alábbi tulajdonságai kell teljesüljenek: a.) a, b K és x V esetén: (a b) x = a (b x) (asszociativitás) b.) x V esetén 1 x = x, ahol 1 a K semleges elem a szorzásra nézve. c.) a K és x, y V teljesül, hogy a (x + y) = a x + a y (I. distributivitás) d.) a, b K és x V esetén (a + b) x = a x + b x (II. distributivitás) Azt mondjuk, hogy V egy K fölötti vektortér és K V -el jelöljük. Ha(egy vektortéren bevezetünk egy "mértéket" a vektorok hosszának a mérésére (melyet "normának" nevezünk), akkor egy normált teret kapunk. A norma egy távolság fogalmat is maga után von, így minden normált tér egyben metrikus tér is 99

és következésképpen topológikus tér is. Tulajdonságok: 1.) Legyen K V vektortér, a K és x V. Ekkor: ax = 0 V a = 0 K és ( a)x = a( x) = ax 2.) a) Két vektortér morfizmus összetétele is vektortér morfizmus. b) Egy vektortér izomorfizmus inverze is egy vektortér izomorfizmus. 100