Vlószíűségszámítás összefoglló I. Feezet ombtor ermutácó Ismétlés élül ülöböző elem lehetséges sorrede! b Ismétléses em feltétleül ülöböző elem összes ülöböző sorrede!... hol z zoos eleme gyorság!!...! ombácó Ismétlés élül ülöböző elemből sorred (! ( (...( (!! ülöböző elem válsztás hol em számít C! b Ismétléses ülöböző elemből elem válsztás (egy elemet többször s válszthtu hol em számít sorred ( és lehet gyobb s - él (! ( (... C! (!! Vrácó Ismétlés élül ülöböző elemből ülöböző elem válsztás tetettel válsztott eleme sorredére (! V ( (...( (! b Ismétléses ülöböző elemből elem válsztás (egyet többször s válszthtu tetettel válsztott eleme sorredére ( és lehet gyobb s -él V
xómá:! 0 0 0 0 Bomáls-tétel: ( b b b b b b 0... olomáls-tétel: (...!!...!!... hol felbotás elég cs esetre elvégez.... - szert felbotást - mde szert ombácóár meg ell éz. bomáls együtthtó tuldoság b c v v 0 0 d ( ( > 0 0 0 3 0 0 h h v v v Bomáls együtthtó Cuchy-féle tuldoság v v m m m m m v 0 0 0 hol Z m Strlg-formul: e π!
II. Feezet Eseméylgebr Teles eseméyredszer B B 0 U B I H eseméytér mely számú elem eseméyt trtlmz: Lehetséges eseméye szám: s 0 v 0 v Összetett eseméye szám: s' 3 0 Művelete eseméyeel B eseméy mg utá vo B eseméyt B és B B B és B C C b eseméy elletette B B or és cs or h és B s ugyhhoz z eseméytérhez trtoz I 0 és 0 I c B B B B ommuttív ( ( B C (( B C sszoctív d B ( B és B eseméy s beövetez B B ommuttív ( BC ( BC sszoctív e B eseméy beövetez de B em b B ( és B eseméye özül leglább z egy beövetez Borel-féle hlmzlgebr (σ -lgebr 3 tuldoság: Bármely elemée omlemeterét s trtlmzz beleértve I 0 s. Bármely és B elemée z uóát s trtlmzz. 3 Eleme bármely végtele soroztá egyesítését s trtlmzz (összegét és szorztát áltláos: I U z és feltétel meghtározz z áltláos hlmzlgebr foglmát. 3
Összefüggése B 0 és B zárá egymást b Mde oly eseméy mely em lehetetle és em elem eseméy egyértelműe felírhtó meghtározott elem eseméye összegeét. c bztos eseméy egyelő z elem eseméye összegével: I d szorzás z összedásr ézve dsztrbutív és fordítv: ( B C B C ( BC ( B( C e szorzás és z összedás demotes művelet: f 0 0 0 g I I I h I 0 De Morg-zoosságo B B áltláos l: B B ( B ( B U I Tetszőleges és B eseméyere gz z összeddór botás: ( B ( B h ( B ( B 0 l H B ( teles eseméyredszer és tetszőleges eseméy or: B B B ( ( ( I U és ( ( 0 B B ( ( 4
III. Feezet Vlószíűség olmogorov-féle xómá: I. 0 ( II. ( I de ( > I h 0 ( ( III. ( ( ( ( vlószíűség lsszus élete ( hol edvező esete szám z összes eset szám. Geometr vlószíűség élet m ( M hol M ísérlettel csoltb szób övő teles geometr lzt mértée m z eseméye megfelelő részlzt mértée. Tétele ( ( ( 0 b 0 de ( 0 0 > 0 c ( ( ( h teles eseméyredszert lot d ( B ( (B e H B or B B ( ( ( ( B ( f ( B ( ( B ( B g ocré-tétel S S S S S S S ( ( ( ( ( 3 ( S ( ( ( ( ( ( ( 3 ( ( ( < < < M M M hol 5
h Jord-tétel vlószíűsége hogy eseméyből övetez be: S S S ( S hol S S S M ( ( ( ( ( ( < ( 3 ( < < ( ( M S tetszőleges eseméye és 0 eseté S 0 M és I lm ( ( és U lm ( ( Mtvétel Vssztevés élül mtvétel Függetleül ttól hogy egyszerre vgy egyeét emeltü z elemeet. s N s ( ( N b Vssztevéses mtvétel s N s ( ( ( N hol: N terméhlmz elemee szám s seletes termée szám mt elemszám mtáb lévő seletes eleme szám s seletráy N z z eseméy mor z elemű mtáb számú seletes v Feltételes vlószíűség. eseméy beövetezésée vlószíűsége feltéve hogy B eseméy beövetezett 6. eseméy B -re votozttott feltételes vlószíűsége: ( ( B B hol ( B 0 ( B 3. feltételes vlószíűségere votozó olmogorov-xómá:
0 ( B b ( ( B B ( B c ( B ( B ( B (( B ( B mvel h B B I B I hol egymást ároét záró eseméye 4. feltételes vlószíűségere gz mde áltláos vlószíűségszámítás tétel. ( B ( B l.: B B B B ( ( ( ( 5. Vlószíűsége szorzás szbály: B B ( ( ( I Teles vlószíűség tétele ( ( ( ( 3 ( ( B ( B ( B ( B ( B ( B ( B ( B hol Byes-tétel ( B B B B teles eseméyredszert lot és ( B 0 (. ( B ( B ( B ( B ( B B B hol teles eseméyredszert lot ( B 0 ( ( 0 tetszőleges eseméy Eseméye függetlesége. ét eseméy függetle h ( B ( ( B b ( B ( c ( B ( B. bztos eseméy és lehetetle eseméy mde más eseméytől függetle. 3. H és B eseméye függetlee egymástól or függetlee és B b és B c és B 7
eseméye s. 4. z eseméye ároét függetlee h mde -re feáll: ( ( ( ( 5. z eseméye telese függetlee h özülü bárhogy ( válsztv számú eseméyeet ezere feáll: ( ( ( ( 6. teles függetleséghez szüséges övetelméye szám: 7. H eseméye (telese függetlee or függetlee zo z eseméye s melyeet ezeből úgy yerü hogy özülü éháyt (ár mdet omlemeterüel cserélü. 8. H eseméye (telese függetlee or vlószíűsége hogy özülü leglább z egy beövetez: ( ( ( ( vlószíűséggel öveteze be: 9. H fet eseméye ugyzzl ( ( ( 0. H eseméye (telese függetlee or vlószíűsége hogy özülü otos számú övetez be: ( (. Függetle ísérlet: ( ( ( ( 3. Beroull-tétel számú függetle ísérlet eseté h mde ísérletél z érdeel hogy ( vlószíűségű eseméy megvlósul-e vgy sem or vlószíűsége hogy eseméy otos -szor övetez be: ( ( 8
IV. Feezet Bevezetés vlószíűség változó elméletébe Eloszlásfüggvéy. F ( x ( ξ < x ( < x < hol x tetszőleges vlós szám. Tuldoság: Mooto övevő zz x < x F( x < F( x b Blról folytoos zz tetszőleges helye F( lm F(x c F( lm F( x 0 és F( lm F( x x x x 0 3. Mde fet ellemzőel bíró függvéy tethető egy vlószíűség változó eloszlásfüggvéyée 4. Dszrét vlószíűség változó eloszlásfüggvéye lécsős függvéy. ( 4. H F x ξ vlószíűség változó eloszlás függvéye és < b or ( ξ < b F( b F( 5. H z F( x eloszlásfüggvéy z ξ 6. H ξ folytoos vlószíűség változó or ξ b < ξ b < ξ < b ξ < b x helye folytoos or ( 0 ( ( ( ( Sűrűségfüggvéy. f ( x F' ( x. Tuldoság: f ( x 0 mdeütt hol értelmezve v. b F( x c f ( x x f ( t dx dt d ( < b f ( ξ x dx b 3. Mde oly emegtív f ( x vlós függvéy mely ( tervllumo tegrálhtó és eleget tesz f ( vlószíűség változó sűrűségfüggvéyée tethető. x dx egyelősége egy Várhtó érté. Dszrét vlószíűség változó várhtó értée: ξ lehetséges értée x x és z ehhez trtozó vlószíűsége redre és or ξ várhtó értée: ( M ξ x 9
h ez végtele sor bszolút overges zz x. Folytoos vlószíűség változó várhtó értée: ξ sűrűségfüggvéye f x or ξ várhtó értée: ( ( xf ( x M ξ dx h ez z tegrál bszolút overges zz f ( x overges x dx overges 3. H z bszolút overgecár tett rtérumo em telesüle or ξ -e cs várhtó értée 4. H ξ tetszőleges vlószíűség változó or η ξ bξ c várhtó értée: feltéve hogy ( ( η ξ bξ c M ( ξ bm ( ξ c M M η létez. Szórás. D( ξ M ( ξ M ( ξ h ξ -e és ( ξ M ( ξ. Szóráségyzet: D ( ξ M ( ξ M ( ξ ( ( ξ M ( ξ ( M ( ξ M ( ξ M ( ξ D 3. H η ξ b hol és b tetszőleges vlós számo or: ( η D( ξ b D( ξ D -e v várhtó értée 4. H ξ lehetséges értée és eze mdegyét egyelő vlószíűséggel vesz fel or: M ( ξ D ( ξ Várhtó eltérés d( ξ M ( ξ M ( ξ h M ( ξ létez b d( ξ D( ξ c H ξ b η or d ( ξ b d( ξ 0
V. Feezet Nevezetes vlószíűségeloszláso Dszrét vlószíűség változó eloszlás rtersztus eloszlás: Lehetséges értée: 0 és Vlószíűségeloszlás: (ξ (ξ 0 Várhtó értée: M ( ξ Szóráségyzete: D ( ξ q ( b Hergeometr eloszlás:. Lehetséges értée: 0 3 s N s. Vlószíűségeloszlás: (ξ ( N N N( vgy (ξ N hol: N vzsgált dolgo drbszám s bzoyos tuldosággl bíró eleme szám mt elemszám mtáb lévő bzoyos tuldosággl bíró eleme szám 3. Várhtó értée: M ( ξ 4. Szóráségyzete: ( c Bomáls eloszlás:. Lehetséges értée: 0 3. Vlószíűségeloszlás: 3. Várhtó értée: M ( ξ 4. Szóráségyzete: D ( ξ q d Geometr eloszlás. Vlószíűségeloszlás: ξ x q N D ξ q hol q és N (ξ ( ( hol q ( ( (. Várhtó értée: M ( ξ 3. Szórás: D( ξ e osso-eloszlás q q s N
. Lehetséges értée: emegtív egésze λ λ. Vlószíűségeloszlás: ( ξ e ( és λ >! 3. Várhtó értée: M ( ξ λ 4. Szóráségyzete: ( ξ λ f Dszrét egyeletes eloszlás D. Vlószíűségeloszlás: ( ξ x (. Várhtó értée: M ( ξ 3. Szóráségyzete: ( D ξ x x x Folytoos vlószíűség változó eloszlás Egyeletes eloszlás 0 h x x. Eloszlásfüggvéye: F( x h < x b b h b < x h < x < b. Sűrűségfüggvéye: f ( x b 0 ülöbe x x b b 3. Várhtó értée: M ( ξ b 4. Szórás: D( ξ 3 b Normáls eloszlás. Eloszlásfüggvéye: F( x. Sűrűségfüggvéye: f ( x x m F x Φ σ 3. ( x ( tm σ σ π e ( xm σ dt e σ π m tetszőleges vlós szám 4. Várhtó értée: M ( ξ m 5. Szórás: D ( ξ σ f x m x ϕ σ σ 6. ( ( ( < x < hol σ > 0 és
x m 7. F ( x Φ σ c Stdrd ormáls eloszlás x t x e. Eloszlásfüggvéye: Φ( π. Sűrűségfüggvéye: ( x e ( < x < t ϕ hol σ és m 0 π 3. Φ( x Φ(x 4. ϕ( x ϕ(x 5. ( x < ξ x Φ( x Φ( x Φ( x ( Φ( x Φ( x 6. ( M ( x < ξ M ( x Φ( d Exoecáls eloszlás λx e h x 0. Eloszlásfüggvéye: F( x 0 h x < 0 λx λe h x > 0. Sűrűségfüggvéye: f ( x hol λ oztív vlós szám 0 h x < 0 3. Várhtó értée: M ( ξ λ 4. Szórás: D ( ξ λ 3
VI. Feezet étdmezós vlószíűség (vetorváltozó étdmezós dszrét vlószíűség vetoro vlószíűségeloszlás ( ξ x η y ( ξ η y y x x M M M ermeloszláso H ( ξ x η y ( ( ξ η - ξ -hez trtozó eremeloszlás: ( ξ x ( ξ x η y ( η ξ - η -hez trtozó eremeloszlás: q η y ξ x η y ξ η y y x x ( ( ξ eremeloszlás M M M O M η eremeloszlás Vlószíűség vetorváltozó eloszlásfüggvéye. ( ξ η vlószíűség vetor eloszlásfüggvéye: F ( x y ( ξ < x η < y ( < x < < y <. H ( ξ η dszrét és ( x y -vl ee lehetséges megvlósulást elölü ( ; or ( ξη eloszlásfüggvéye: 4 F ( x y ( y < yx < x ξ x η y
3. étdmezós ( ξ η eloszlásfüggvéyée főbb tuldoság: z F ( x y eloszlásfüggvéy 0 -hoz trt h bármely változó (ár md ettő -be trt. F F F ( x lm F( x y y ( y lm F( x y x ( lm ( x y ( 0 0 F ( x y 0 b z F ( x y eloszlásfüggvéy mdét változóáb leglább blról folytoos. c z F ( x y eloszlásfüggvéy htárértée h mdét változó -be trt. F ( lm ( x y ( F ( x y ( ( ( ( ( ( 4. H F x y ( ξ η eloszlásfüggvéye or: ξ < b η < b F b F b F b F b Vlószíűség vetorváltozó sűrűségfüggvéye. H F ( x y ( ξ η eloszlásfüggvéye és létez oly f ( x y függvéy mely z egész [ x y sío tegrálhtó és mellyel mde x -re és y -r ] x ( x y f ( u v y F dvdu feáll or ( ξ η folytoos és sűrűségfüggvéye: F' ' xy ( x y F'' yx ( x y f ( x y. étdmezós ( ξ η sűrűségfüggvéyée főbb tuldoság: z f ( x y sűrűségfüggvéy sehol sem egtív zz z értelmezés trtomáyá mde otá f ( x y > 0. b z f ( x y sűrűségfüggvéyre ézve mdg telesül hogy: f b 3. ( ξ < b η < b b ( x y f dxdy ( x y dxdy erem-eloszlásfüggvéy és erem-sűrűségfüggvéy. H ( ξ η vlószíűség vetor eloszlásfüggvéye F ( x y ξ eloszlásfüggvéye F ( x z η eloszlásfüggvéye F ( y or: F x F x lm F x y ( ( ( y F ( y F( y lm F( x y x F ( x és F ( y ( η Eor ξ erem-eloszlásfüggvéye függetleül ttól hogy ξ és η dszrét vgy folytoos vlószíűség változó. 5
. H ( ξ η vlószíűség vetor sűrűségfüggvéye ( x y sűrűségfüggvéye f ( x z η sűrűségfüggvéye ( y f f ( x f ( x y ( y f ( x y dy dx f ( f ( ( f f ξ or: Eor x és y ξ η erem-sűrűségfüggvéye h ξ és η folytoos vlószíűség változó. Vlószíűség változó függetlesége. ξ és η vlószíűség változó (egymástól függetlee h mde x és y értére feáll hogy: ( ξ < x η < y ( ξ < x ( η < y. F( x y F ( x F (y 3. H ξ és η vlószíűség változó (egymástól függetlee or bárhogy s válsztu z ( b és ( c d tervllumot z ξ < b és c η < d eseméye szorztá vlószíűsége egyelő eze eseméye vlószíűségée szorztávl: ( ξ < b c η < d ( ξ < b ( c η < d 4. Szüséges és elégséges feltétel függetleséghez: Dszrét eset ξ és η függetleségée szüséges és elégséges feltétele hogy ξ x η y ξ x η y q ( ( ( hol x és y véggfut ξ és η összes lehetséges értéé. b Folytoos eset ξ és η függetleségée szüséges és elégséges feltétele hogy f ( x y f( x f ( y egyelőség mde x -re és y -r telesülö. Vlószíűség változó függvéyee eloszlás H ξ és ξ függetlee és bomáls eloszlású és lletőleg és rmétereel or ξ ξ s bomáls eloszlású melye rmétere: és. b H ξ és ξ függetlee és osso-eloszlású λ és λ rmétereel or ξ ξ s osso-eloszlású melye rmétere λ λ. c H ξ és ξ függetlee és geometr eloszlású és lletőleg és rmétereel or ξ ξ s bomáls eloszlású melye rmétere: és. étdmezós vlószíűség változó várhtó értée és szórás. H ( ξ ξ dszrét vlószíűség vetor és y r ( x x tetszőleges függvéy or z η r ( ξ ξ várhtó értée: 6
( ( ( x M ( ( ( ( ξ x ξ x ( ( ( η r x x x számáro ( z ξ ξ lehetséges értéet elet.. H ( ξ ξ folytoos vlószíűség vetor melye sűrűségfüggvéye f ( x x továbbá y r( x x folytoos dfferecálhtó függvéy or z η r ( ξ ξ várhtó értée: dxdx ( r( x x f ( x x M η 3. M ( ξ η M ( ξ M ( η 4. M ( ξ b M ( ξ b 5. M ( ξ bη M ( ξ bm ( η 6. D ( ξ b D ( ξ D( ξ b D( ξ 7. H ξ és η vlószíűség változó függetlee or M ( ξη M ( ξ M ( η hol függetleség em szüséges de elégséges feltétele élet telesülésée. 8. H ξ ξ ξ vlószíűség változó függetlee or D ξ ξ ξ D ξ D ξ D ξ D ( ( ( ( ( ξ ξ ξ D ( ξ D ( ξ D ( ξ sztochsztus csolt mérése. ovrc ξ és η ovrcá: cov ( ξ η M (( ξ M ( ξ ( η M ( η b cov ( ξ η cov( η ξ c H ξ és η vlószíűség változó ovrcá létez or így s számíthtó: cov ξ η M ξη M ξ M η ( ( ( ( d cov ( ξ η D( ξ D( η e H 0 és η ξ b or cov ( ξ η D( ξ D( η f cov ( ξ η b cov( ξ η g cov( ξ bη bcov( ξ η. orrelácós együtthtó ξ és η vlószíűség változó orrelácós együtthtó: cov ( ( ξ η M ( ξη M ( ξ M ( η corr ξ η D( ξ D( η D( ξ D( η b ξ és η vlószíűség változó orrelácós együtthtó mdg és özé es: corr ( ξ η z corr ( ξη or és cs or egyelő -gyel vgy -gyel h ξ és η özött leárs csolt áll fe zz h létez oly 0 és b 7
szám hogy z η ξ b egyelőség vlószíűséggel telesül. Ez esetbe corr ( ξ η h > 0 és corr ( ξ η h < 0. c H ξ és η függetlee or: corr ( ξ η 0 d H corr ( ξ η 0 or ξ és η orreláltlo de em feltétleül függetlee. e H ξ és η orreláltlo or: M ( ξη M ( ξ M ( η f H ξ és η orreláltlo or: D ( ξ η D ( ξ D (η g corr( ξ bη b corr( ξ η h H ξ és η orreláltlo és együttes eloszlásu ormáls eloszlás or ξ és η függetlee s. 8