Ellipszisekr½ol részletesen

Ellipszisekr½ol részletesen dr. Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, szalkai@almos.uni-pannon.hu 019.01.07. Kivonat A mindennapi életben a kör alakú tárgyakat (is), például közlekedési táblákat, legtöbbször oldalról nézzük, aminek következményeként ellipszisekként látjuk ½oket. Mivel a szakirodalomban az egyenes és ferde ellipszisek egyenletei vagy csak nagyon speciális vagy csak nagyon általános esetekben találhatók meg, s½ot magyar nyelven még kevesebbet, ezért nagyon sok képletet magunknak kellett levezetnünk, amiket most közreadunk. Kutatásunk a GINOP-..1-15-017-00058 projekt támogatásával készült. Haladvany-Kiadvany, 019.01.07. http://math.bme.hu/~hujter/190107.pdf 1

TARTALOM A) Egyenes állású ellipszisek....................................... 3.o. I. Egyenes állású ellipszisek egyenlete.................................... 3.o. II. Egyenes állású ellipszisek érint½oi..................................... 4.o. III. Egyenes állású ellipszis megadása pontjaival......................... 5.o. III.o) Három pontra illeszked½o kör egyenlete.......................... 5.o. III.a) Három pontra illeszked½o ellipszis egyenlete...................... 6.o. III.b) Négy pontra illeszked½o ellipszis egyenlete........................ 7.o. III.c) A végeredmény................................................. 9.o. III.d) Összefoglalva.................................................. 10.o. III.e) Példa.......................................................... 11.o. IV. Egyenes állású ellipszisek görbülete................................. 16.o. IV.a) Pontbeli görbület.............................................. 16.o. IV.b) A görbület függése a távolságtól............................... 17.o. B) Ferde állású ellipszisek......................................... 18.o. V. A koordinátarendszer elforgatása.................................... 18.o. VI. Ferde ellipszisek egyenlete.......................................... 19.o. VII. Ferde ellipszisek érint½oi............................................ 1.o. VIII. Ferde ellipszisek megadása pontjaival............................. 4.o. VIII.a) Másodfokú görbék........................................... 4.o. VIII.b) Általános ellipszisek......................................... 6.o. VIII.c) Az ellipszisek adatai.......................................... 9.o. IX. Ferde ellipszisek görbülete.......................................... 30.o. X. Lineáris transzformációk............................................ 3.o. Hivatkozások........................................................... 34.o. Függelék............................................................... 34.o.

A) Egyenes állású ellipszisek Legegyszer½ubb eset az, amikor az ellipszis tengelyei párhuzamosak a koordiátatengelyekkel (vagyis a kép éleivel), ekkor egyenes állású ellipszisr½ol beszélünk, és az (1) egyenletet kanonikus egyenletnek nevezzük. I. Egyenes állású ellipszisek egyenlete Közismert, hogy az (u; v) középpontú, a és b féltengely½u ellipszis egyenlete paraméteresen: kör esetén (x u) a + x = a cos (t) + u y = b sin (t) + v (y v) b = 1, (1) (0 t ), () a = b = r és (x u) + (y v) = r. (3) Az ellipszis és tengelyeinek metszéspontjai nyilván az A 1; (u a; v) és B 1; (u; v b) (4) pontok, amelyeket mi "csúcspontok" -nak fogunk hívni. Hasznosak lesznek még az alábbi q hányados és az e excentricitás jelölések is (a b esetén): a q = és e = p 1 q. (5) b 3

II. Egyenes állású ellipszisek érint½oi A görbe egy adott P 0 (x 0 ; y 0 ) pontjában (vagyis ha az (x 0 ; y 0 ) pontra (1) teljesül) húzott érint½o egyenes egyenlete ([HGy], [HM1]): vagyis y = y 0 (x 0 u) a (x u) + (y 0 v) b (y v) = 1 (6) b vagy a szokásos alakban: aminek meredeksége v 1 a (u x) (x 0 u) + v (y 0 v) + b b y = b (x 0 u) a (y 0 v) x + b (x 0 u) a (y 0 v) u + b y 0 v + v, (8) (7) m = b (u x 0 ) a (v y 0 ) ha y 0 6= v, (9) és persze y 0 = v esetén az érint½o függ½oleges, pontosabban (1) miatt x 0 = u a, ami a függ½oleges érint½o egyenlete. Másképpen: (6) -ból az érint½o normálvektora és irányvektora:! x0 u y 0 v ne = ;,! y0 v u x 0 ve = ; a b b a (10) Megjegyzés: kör esetén! n e k! P 0 O. 4

III. Egyenes állású ellipszis megadása pontjaival III.o) Három pontra illeszked½o kör egyenlete Három adott P i (x i ; y i ) (i = 1; ; 3) pontra illeszked½o kör egyenlete ([Sz1]) ahol vagyis u H = (x u H ) + (y v H ) = r H (11) u H = A1; y det 1 y A 1;3 y 1 y 3 (1) x1 x 4 det y 1 y x 1 x 3 y 1 y 3 A 1; (y 1 y 3 ) A 1;3 (y 1 y ) [(x 1 x ) (y 1 y 3 ) (x 1 x 3 ) (y 1 y )], (13) vagyis és v H = v H = x1 x det A 1; x 1 x 3 A 1;3 (14) x1 x 4 det y 1 y x 1 x 3 y 1 y 3 A 1;3 (x 1 x ) A 1; (x 1 x 3 ) [(x 1 x ) (y 1 y 3 ) (x 1 x 3 ) (y 1 y )] r H = (15) q (x 1 u) + (y 1 v) (16) ahol A 1; = x 1 x + y 1 y, A1;3 = x 1 x 3 + y 1 y 3. (17) 5

Megjegyzés: (13) és (15) nevez½oje pontosan akkor 0, ha a det sorai párhuzamosak,!! vagyis P 1 P k P 1 P 3 vagyis a három pont egy egyenesen van (kollineárisak). III.a) Három pontra illeszked½o ellipszis egyenlete Három adott P i (x i ; y i ) (i = 1; ; 3) pontra illeszked½o ellipszis egyenletét keressük. [WE] képlete (nincs [WM]-ban): (x x 1 )(x x ) + q(y y 1 )(y y ) (y y 1 )(x x ) (x x 1 )(y y ) = (x 3 x 1 )(x 3 x ) + q(y 3 y 1 )(y 3 y ) (y 3 y 1 )(x 3 x ) (x 3 x 1 )(y 3 y ), determinánsokkal: (ld. [WE]) (18) (! z! z1 ) q (! z det ((! z! z1 ); (! z! z )! z )) = (! z! 3 z1 ) q (! z! 3 z ) det ((! z! 3 z1 ); (! z! 3 z )) (19) ahol! z i = (x i ; y i ) és! u q! v := u1 v 1 + qu v (0) a módosított skaláris szorzat (q = 1 esetén a szokásos skaláris szorzat). Nyilván körnél q = 1. Figyelem: A (18) bal oldali tört nevez½ojében is van x és y, vagyis (18) egy többszörösen implicit függvény! (18) -at nyilván át kell rendeznünk, hogy (1) alakú legyen, ezt a fejezet végén (33)-(39) között adjuk meg. A jobboldali tört nevez½oje pontosan akkor 0, ha a det sorai párhuzamosak, vagyis!!!! P 3 P 1 k P 3 P illetve P P 1 k P P, vagyis a három pont kollineáris. Ha ismerjük q értékét, akkor három pont (18) -ban megadja az ellipszis egyenletét. Ha q értéke nem ismert, akkor négy pontra van szükségünk, és a következ½o alfejezetben leírt számításokat kell alkalmaznunk. 6

III.b) Négy pontra illeszked½o ellipszis egyenlete Ha nem ismerjük q értékét, akkor négy pont szükséges az ellipszis megadásához: a P 4 pont rajta van a P 1 ; P ; P 3 pontok által meghatározott ellipszisen, vagyis (18) -ba behelyettesítve kapjuk: (x 4 x 1 )(x 4 x ) + q (y 4 y 1 )(y 4 y ) (y 4 y 1 )(x 4 x ) (x 4 x 1 )(y 4 y ) vagy rövidebben: = (x 3 x 1 )(x 3 x ) + q (y 3 y 1 )(y 3 y ) (y 3 y 1 )(x 3 x ) (x 3 x 1 )(y 3 y ) (1), ahol B x 414 + q B y 414 C 414 = Bx 313 + q B y 313 C 313 () B x 414 = (x 4 x 1 ) (x 4 x ), B y 414 = (y 4 y 1 ) (y 4 y ), (3) B x 313 = (x 3 x 1 ) (x 3 x ), B y 313 = (y 3 y 1 ) (y 3 y ), (4) y4 y C 414 = (y 4 y 1 ) (x 4 x ) (x 4 x 1 ) (y 4 y ) = det 1 x 4 x 1 y 4 y x 4 x, (5) y3 y C 313 = (y 3 y 1 ) (x 3 x ) (x 3 x 1 ) (y 3 y ) = det 1 x 3 x 1 y 3 y x 3 x. (6) A () -ben szerepl½o mennyiséget (37)-t½ol kezdve E -vel fogjuk jelölni. A () egyenlet megoldása: 7

B x q = 414 B313 x B y 313 B y 414 = C 414 C 313 C 313 C 414 (7) vagy másképpen: vagy q = ( 1) Bx 313C 414 B x 414C 313 B y 313C 414 B y 414C 313 (8) q = illetve, a négy pont koordinátáival közvetlenül felírva: B x det 313 C 313 B414 x C 414 B y, (9) 313 C det 313 B y 414 C 414 q = (x 3 x 1 ) (x 3 x ) (y 4 y 1 ) (x 4 x ) + (x 4 x 1 ) (x 4 x ) (y 3 y 1 ) (x 3 x ) (y 3 y 1 ) (y 3 y ) (y 4 y 1 ) (x 4 x ) (y 4 y 1 ) (y 4 y ) (y 3 y 1 ) (x 3 x ) (30) feltéve, ha a nevez½o nem nulla, azaz, B y 313C 414 6= B y 414C 313, (31) vagy részletesen: (y 3 y 1 ) (y 3 y ) (y 4 y 1 ) (x 4 x ) 6= (y 4 y 1 ) (y 4 y ) (y 3 y 1 ) (x 3 x ). (3) Vigyázzunk: q > 0, azaz q csak pozitív lehet! Továbbá q = a b csak a és b hányadosát adja meg, konkrét értékét nem! A következ½o fejezet (33) - (39) összefüggéseib½ol kapjuk meg a és b pontos értékeit! Nyilvánvalóan q = 1 pontosan akkor, ha a négy pont egy körön van. 8

III.c) A végeredmény A (18) egyenletet átalakíthatjuk (1) alakúra, felhasználjuk a (18) és () összefüggéseket és a (3) - (6) rövidítéseket 1). A végeredmény a következ½o: (x U) + q (y V ) = F (33) azaz ahol (x U) + F (y V ) F=q U = E (y y 1 ) + x + x 1 = 1 (34) (35) V = E (x 1 x ) + q (y + y 1 ) q = E (x 1 x ) q + y + y 1 (36) és tehát E = Bx 313 + q B y 313 C 313, F = U + qv W (37) W = x 1 x + qy 1 y + E (x 1 y x y 1 ) (38) u = U, v = V, a = F és b = F q, (39) q értékét pedig vagy ismerjük de facto vagy (8) adja meg. Most (18) -ból levezetjük a fenti (33) - (39) végeredményt. Felhasználjuk a (18) és () összefüggéseket és a (3) - (6) és a (35) - (39) rövidítéseket. (x x 1 )(x x ) + q(y y 1 )(y y ) (y y 1 )(x x ) (x x 1 )(y y ) = Bx 313 + q B y 313 C 313 = E (40) 1 ) A levezetést (40)-(43) -ban alább adjuk meg. 9

(x x 1 )(x x ) + q(y y 1 )(y y ) = E ((y y 1 )(x x ) (x x 1 )(y y )) (41) qy xx xx 1 + x 1 x + x qyy 1 qyy + xey 1 yex 1 xey + yex + qy 1 y + Ex 1 y Ex y 1 = 0 x + (Ey 1 x x 1 Ey ) x + qy + (Ex qy Ex 1 qy 1 ) y+ + (x 1 x + qy 1 y + Ex 1 y Ex y 1 ) = 0 x U x + qy qv y + W = 0 (4) vagyis (x U) + q (y V ) = U + qv W (43) ahol E; U; V; W értékét (36) - (38) -ban de niáltuk, q értékét vagy ismerjük vagy (8) -ban kapjuk meg. III.d) Összefoglalva Ha ismerjük q értékét, akkor három adott pont elég: P i (x i ; y i ), i = 1; ; 3, ekkor csak a (4), (6) és (36) - (38) képleteket kell használnunk. Ha q értékét nem ismerjük, akkor négy adott pontra, P i (x i ; y i ), i = 1; ; 3; 4 van szükségünk. Ekkor ((3) - (6) kiszámítása után (8) megadja q értékét. Ezután az (36) - (38) kifejezéseket kell kiszámítanunk, és végül (39) és (1) megadja az ellipszis egyenletét. 10

III.e) Példa vagyis A fenti képletek használatát a következ½o ellipszis közelítésével mutatjuk be: (x 1) + a =, b = 3, q = Az ellipszist az 1.a) ábrán láthatjuk. Legyenek a P i pontok a következ½ok: (y ) 3 = 1, (44) t 0:44_4. (45) 3 P 1 (1:5 ; 4:9), P ( ; 4:6), P 3 ( 0:8 ; 0:69), P 4 ( 0:5 ; 4). (46) A fenti pontok nem elemei a (44) ellipszisnek, hiszen kett½o tizedesjegyre kerekítettünk, de nagyon közel vannak a görbéhez. A (48) - (71) számolás végén (7) - (73) -ban ellen½orizzük a hibát (amely 3% -nak adódott). HÁROM PONT Egyel½ore csak a P 1 (1:5; 4:9), P (; 4:6), P 3 ( 0:8; 0:69) pontokat tekintjük, q = 3 ismert. Most használhatjuk a (18) képletet: (x 1:5)(x ) + 3 (y 4:9)(y 4:6) = (47) (y 4:9)(x ) (x 1:5)(y 4:6) = ( 0:8 1:5)( 0:8 ) + 3 (0:69 4:9)(0:69 4:6), (0:69 4:9)( 0:8 ) ( 0:8 1:5)(0:69 4:6) amely (implicit) görbét az 1.b) ábrán láthatjuk. Saját számolásaink (4) - (6) szerint a következ½ok: 11

B x 313 = (x 3 x 1 ) (x 3 x ) = ( 0:8 1:5) ( 0:8 ) = 6:44 (48) B y 313 = (y 3 y 1 ) (y 3 y ) = (0:69 4:9) (0:69 4:6) = 16:4611 (49) C 313 = (y 3 y 1 ) (x 3 x ) (x 3 x 1 )(y 3 y ) = = (0:69 4:9) ( 0:8 ) ( 0:8 1:5) (0:69 4:6) = :795 (50) 16:4611 E = Bx 313 + q B y 313 = 6:44+(=3) t 4:91 661 697 (51) :795 C 313 u = U = E (y y 1 ) + x 1 + x 4:91 661 697(4:6 4:9)+1:5+ t t 1:011 750 745 (5) v = V = E (x 1 x ) + y 1 + y 4:91 661 697(1:5 ) t + 4:9+4:6 q (=3) t 1:981 565 95 (53) W = x 1 x + q y 1 y + E (x 1 y x y 1 ) t 1:5 + 3 4:9 4:6 + 4:91 661 697 (1:5 4:6 4:9) (54) t 1:55 041 144 a = F = U + qv W t t 1:011 750 745 + 3 1:981 565 95 + 1:55 041 144 (55) t 4:03 836 7 a t p 4:03 836 7 t :005 950 39 (56) 1

b = F q t 4:03 836 7 (=3) t 9:053 63 65 (57) b t p 9:053 63 65 t 3:008 95 493. (58) NÉGY PONT Legyenek a P i pontok (46) szerint a következ½ok: P 1 (1:5 ; 4:9), P ( ; 4:6), P 3 ( 0:8 ; 0:69), P 4 ( 0:5 ; 4). Ekkor a (48) - (50) számolások után, (3) - (8) szerint a következ½oket kell kiszámolnunk: B x 414 = (x 4 x 1 ) (x 4 x ) = ( 0:5 1:5) ( 0:5 ) = 5:0 (59) B y 414 = (y 4 y 1 ) (y 4 y ) = (4 4:9) (4 4:6) = 0:54 (60) C 414 = (y 4 y 1 ) (x 4 x ) (x 4 x 1 )(y 4 y ) = (4 4:9) ( 0:5 ) ( 0:5 1:5) (4 4:6) = 1:05 (61) q = ( 1) Bx 313C 414 B x 414C 313 B y 313C 414 B y 414C 313 t ( 1) 6:441:05 5:0:795 16:46111:05 0:54:795 továbbá (36) - (38) szerint: t 0:457 46 675, (6) E = Bx 313 + q B y 313 C 313 t 6:44+0:457 46 67516:4611 :795 t 4:997 060 195 (63) u = U = E (y y 1 ) + x 1 + x 4:997 060 195(4:6 4:9)+1:5+ t t 1:000 440 971 (64) v = V = E (x 1 x ) q t + y 1 + y 4:997 060 195(1:5 ) 0:457 46 675 + 4:9+4:6 t :017 853 18 (65) 13

W = x 1 x + qy 1 y + E (x 1 y x y 1 ) t 1:5 + 0:457 46 675 4:9 4:6 + 4:997 060 195 (1:5 4:6 4:9) (66) t 1:185 134 506 a = F = U + qv W t 1:000 440 971 + 0:457 46 675 :017 853 18 + 1:185 134 506 (67) t 4:047 80 317 a t p 4:047 80 317 t :011 915 087 (68) b = F q t 4:047 80 317 0:457 46 675 t 8:85 557 135 (69) b t p 8:85 557 135 t :975 34 711, (70) tehát az ellipszis egyenlete a fentiek és (34) alapján : (x 1:000 440 971) 4:047 80 317 ezt a görbét az 1.c) ábrán láthatjuk. + (y :017 853 18) 8:85 557 135 = 1, (71) q értékének (6) -beli közelítésének abszolút és relatív hibája: = q t 0:457 46 675 0:444 444 4444 3 t 0:01 80 308, (7) = (=3) 0:01 80 308 t 0:444 444 4444 t 0:08 805 0193 < 3%. (73) 14

y 4 y 4 y 4 4 x 4 x 4 x 1. ábra: A vizsgált ellipszisek és a (46) pontok a) (44) -, b) (47) -, c) (71) - szerint 15

IV. Egyenes állású ellipszisek görbülete IV.a) Pontbeli görbület Általában egy görbe g görbülete y = f (x) esetén g (x) = y" 1 + (y 0 ) 3= (74) = (x (t) ; y (t)) esetén g (t) = Tehát (a számításokat lásd [Sz]-ben) a () ellipszis görbülete g (t) = _xy _yx ( _x) + ( _y). (75) 3= ab q a sin (t) + b cos (t) 3. (76) Az (1) ellipszis görbülete ([Sz]) g (x; y) = q a 4 b 4 a 4 (y v) + b 4 (x u) 3 (77) ahol (x; y) az ellipszis bármelyik pontja (vagyis kielégíti az (1) vagy () egyenletet). [WE] -ben csak az origó középpontú (azaz (u; v) = (0; 0)) ellipszis görbülete található: ami megegyezik (77) -tel. g (x; y) = 1 r, (78) 3 a b x + y a 4 b 4 A görbület az x 0 = u illetve y 0 = v "csúcs"-pontokban minimális illetve maximális. Tehát (1) és (77) alapján: x 0 = u esetén y u = v b, ekkor g (u; y u ) = a 4 b 4 q(a 4 b + 0) 3 = b a, (79) 16

y 0 = v esetén x v = u a, ekkor g (x v ; v) = a 4 b 4 q(0 + a b 4 ) 3 = a b. (80) IV.b) A görbület függése a távolságtól Szemléletesen is látjuk, hogy az elllipszis középpontjától távolodva az ellipszis görbülete n½o (a simulókör sugara csökken). Most ezt az összefüggést számítjuk ki részletesen. A () összefüggés alapján az ellipszis P pontjának az (u; v) középponttól való d = d (t) távolsága q d (t) = a cos (t) + b sin (t). (81) A (76) képlet nevez½ojét ennek megfelel½oen alakítjuk át: a sin (t) + b cos (t) = a 1 cos (t) + b 1 sin (t) = a + b d, (8) tehát g (d) = ab q( (83) a + b d ) 3 17

B) Ferde állású ellipszisek Cél: olyan ellipszisek vizsgálata, amelyek tengelyei ' szöget zárnak be az x és y koordinátatengelyekkel, vagyis a kép éleivel. V. A koordinátarendszer elforgatása Ismert, hogy egy tetsz½oleges P (x; y) = [x; y] T pontot az origó körül ' szöggel cos ' sin ' elforgatva az P 0 = MP pontot kapjuk, ahol M ' = a forgatás sin ' cos ' mátrixa. A visszaforgatás mátrixa nyilván cos ' sin ' M ' = = M' 1 (84) sin ' cos ' hiszen cos ( ') = cos ' és sin ( ') = sin '. Bevezetjük a rövidítéseket, ekkor P 0 = (x 0 ; y 0 ) = [x 0 ; y 0 ] T esetén és c ' := cos ' és s ' := sin ' (85) x 0 = x c ' y s ', y 0 = x s ' + y c ' (86) x = x 0 c ' + y 0 s ', y = x 0 s ' + y 0 c ', (87) majd utána egy! w = (u; v) vektorú eltolást alkalmazva és x 0 = x c ' y s ' + u, y 0 = x s ' + y c ' + v (88) x = (x 0 u) c ' + (y 0 v) s ', y = (x 0 u) s ' + (y 0 v) c '. (89) 18

Görbék általános elforgatása Ha az F (x; y) = 0 (implicit) egyenlet½u görbét elforgatjuk az origó körül ' szöggel és utána eltoljuk egy! w = (u; v) vektorral, akkor a kapott P 0 = (x 0 ; y 0 ) pontok által alkotott 0 görbe pontjaira (89) alapján az F 0 (x 0 ; y 0 ) = F (x; y) = (90) = F ((x 0 u) c ' + (y 0 v) s ' ; (x 0 u) s ' + (y 0 v) c ' ) = 0 (implicit) egyenlet teljesül. Ha pedig a görbe pontjait az x = f (t) y = g (t) (t 1 t t ) (91) paraméteres alakban adtuk meg, akkor az elforgatott és eltolt 0 görbe pontjait az x 0 = f (t) c ' g (t) s ' + u y 0 = f (t) s ' + g (t) c ' + v paraméteres egyenletrendszer adja meg. (t 1 t t ) (9) VI. Ferde ellipszisek egyenlete (1), (), (90) és (9) alapján az (u; v) középpontú és ' tengelyállású ellipszis egyenlete: illetve [(x 0 u) c ' + (y 0 v) s ' ] a + [ (x0 u) s ' + (y 0 v) c ' ] b = 1 (93) x 0 = a cos (t) c ' b sin (t) s ' + u y 0 = a cos (t) s ' + b sin (t) c ' + v (0 t ). (94) Természetesen az egyenletek felírásakor egyszer½uen csak x és y -t írunk x 0 és y 0 helyett. Az ellipszis és tengelyeinek metszéspontjait az "eredeti" A 1; (a; 0) és B 1; (0; b) "csúcspontok" elforgatásával és eltolásával kapjuk meg, vagyis (88) alapján A ' 1; = (a c ' + u ; a s ' + v) (95) 19

és B ' 1; = (b s ' + u ; b c ' + v). (96) Például: a = 1:5, b = 3, ' = 0 o = 9 (93) szerint: és! w = (u; v) = ( 0:5; 1) esetén, (x 0 + 0:5) cos 9 + (y 0 + 1) sin (x 0 + 0:5) sin 9 9 + (y 0 + 1) cos 9 + = 1 1:5 3 (97) illetve ugyanez az ellipszis paraméteres formában: 1:5 cos (t) cos 3 sin (t) sin 9 0:5 9 1:5 cos (t) sin 9 + 3 sin (t) cos (98) 1 9 A fenti ellipszisek "csúcspontjai" (95) és (96) alapján: A 0o 1 = 1:5 cos 0:5 ; 1:5 sin 9 9 A 0o = t (0:909 538 931; 0:486 969 785) 1:5 cos 9 0:5 ; 1:5 sin 9 t ( 1:909 538 931; 1:513 030 15) 1 1 (99) (100) B ' 1; = B ' 1; = 3 sin 9 0:5 ; 3 cos 9 t ( 1:56 060 430; 1:819 077 86) 3 sin 9 0:5 ; 3 cos 9 t (0:56 060 430; 3:819 077 86). Az eredeti és az elforgatott ellipsziseket láthatjuk a. ábrán. 1 1 (101) (10) 0

y 3 y 1 y 1 1 3 1 1 3 1 3 x 3 1 1 3 1 3 4 x 3 1 1 3 1 3 4 x. ábra: a) az eredeti és elforgatott ellipszis, b) a (97) implicit egyenlet c) a (98) paraméteres egyenletrendszer VII. Ferde ellipszisek érint½oi A (6) és (88) - (90) eredmények alapján a (93) egyenlet½u ellipszis P 0 (x 0 0; y0) 0 pontjához (azaz ha P 0 (x 0 0; y0) 0 kielégíti a (93) egyenletet) húzott érint½ojének implicit egyenlete [(x 0 0 u) c ' + (y 0 0 v) s ' ] a [(x 0 u) c ' + (y 0 v) s ' ] + [ (x0 0 u) s ' + (y 0 0 v) c ' ] b [ (x 0 u) s ' + (y 0 v) c ' ] (103) = 1, y 0 -re megoldva (ha a nevez½o nem nulla): y 0 = b (vs '+c '(u x 0 ))(c '(u x 0 0)+s '(v y 0 0))+ a c '(c '(v y 0 0) s '(u x 0 0))+b s '(c '(u x 0 0)+s '(v y 0 0)) + a + (vc ' s '(u x 0 ))(c '(v y0) 0 s '(u x 0 0)) 1 a c '(c '(v y0) 0 s '(u x 0 0))+b s '(c '(u x 0 0)+s '(v y0)) 0 (104) azaz szokásos alakban felírva 1

y 0 = a s '[c '(v y 0 0) s '(u x 0 0)] b c '[c '(u x 0 0)+s '(v y 0 0)] a c '[c '(v y 0 0) s '(u x 0 0)]+b s '[c '(u x 0 0)+s '(v y 0 0)] x0 + (105) + (vc' us')(c'(v y0 0) s '(u x 0 0))a +(uc '+vs ')(c '(u x 0 0)+s '(v y 0 0))b 1 a c '[c '(v y 0 0) s '(u x 0 0)]+b s '[c '(u x 0 0)+s '(v y 0 0)] amelynek meredeksége láthatóan m = a s ' [c ' (v y 0 0) s ' (u x 0 0)] b c ' [c ' (u x 0 0) + s ' (v y 0 0)] a c ' [c ' (v y 0 0) s ' (u x 0 0)] + b s ' [c ' (u x 0 0) + s ' (v y 0 0)]. (106) Ha felhasználjuk a azonosságot, akkor (9) alapján tan ( + ) = tan () + tan () 1 tan () tan () (107) m = tan (') + b [(x 0 0 u)c'+(y0 v)s'] 0 a [ (x 0 0 u)s'+(y0 v)c'] 0 b 1 tan (') [(x 0 0 u)c'+(y0 v)s'] = 0 a [ (x 0 0 u)s'+(y0 v)c'] 0 (108) = a s ' [ (x 0 0 u) s ' + (y 0 0 v) c ' ] b c ' [(x 0 0 u) c ' + (y 0 0 v) s ' ] a c ' [ (x 0 0 u) s ' + (y 0 0 v) c ' ] + b s ' [(x 0 0 u) c ' + (y 0 0 v) s ' ] ami megegyezik (106) -tal. Természetesen a fenti törtek nevez½oje pontossan akkor 0, ha az érint½o függ½oleges. Ez pontosan akkor teljesül, ha a c ' [ (x 0 0 u) s ' + (y 0 0 v) c ' ] + b s ' [(x 0 0 u) c ' + (y 0 0 v) s ' ] = 0 (109) azaz vagyis ahol (y 0 0 v) a c ' + b s ' = (x 0 0 u) c ' s ' a b (110) y0 0 v x 0 0 u = (a b ) s ' c ' a c ' + b s ' = (q 1) s ' c ' q c ' + s ' y0 0 v x 0 0 u a! P0 K vektor iránytangense és K (u; v) az ellipszis középpontja, (111)

q = a b. Mivel a P 0 (x 0 0; y 0 0) pont rajta van a (93) -al ekvivalens (94) egyenlet½u ellipszisen, ezért (111) így írható: as ' cos (t) + bc ' sin (t) ac ' cos (t) bs ' sin (t) = (a b ) s ' c ' a c ' + b s ' (11) azaz (as ' cos (t) + bc ' sin (t)) a c ' + b s ' = a b s ' c ' (ac' cos (t) bs ' sin (t)) (113) ab (bs ' cos t + ac ' sin t) c ' + s ' = 0 (114) tehát vagyis a! P 0 K sin t cos t = bs ' cos t + ac ' sin t = 0 (115) bs ' azaz tan (t) = b tan ('), (116) ac ' a vektor iránytangensét a fenti (116) képlet adja meg. A következ½o tétel segítségével a görbe kis darabjáról eldönthetjük, hogy milyen kúpszelet (ellipszis, parabola, hiperbola vagy egyenes) részlete: 7.1. Tétel [HGy] Ha a közönséges másodrend½u görbe AB húrjának felez½opontja H, az A; B pontokban vont érint½ok metszéspontja a közönséges E pont és az EH szakasz a görbét C pontban metszi, akkor a görbe pontosan akkor elliptikus, ha C az E; H pontok közül E -t½ol van messzebb. 3

VIII. Ferde ellipszisek megadása pontjaival Már a III. fejezet bevezetésében említettük, hogy az egyenes állású ellipszisek (1) -beli kanonikus egyenletét sem sikerült egyenletrendszerrel közvetlenül meghatároznunk (lásd az [Sz1] kéziratot), ezért reménytelen a (93) egyenletben szerepl½o paramétereket egyenletrendszerrel meghatározni az adott P i (x i ; y i ) pontokból. Meglep½o módon a másodfokú görbék általános elmélete alapján kapjuk meg a P i (x i ; y i ) pontokra illeszked½o ellipszis egyenletét, amit el½oször röviden ismertetünk a következ½o alfejezetben, els½osorban [HGy] alapján. VIII.a) Másodfokú görbék A másodfokú görbék általános egyenlete vagy a mátrix alakhoz megfelel½oen Ax + Bxy + Cy + Dx + Ey + F = 0, (117) a 11 x + a 1 xy + a y + a 13 x + a 3 y + a 33 = 0, (118) vagyis a mátrix alak: a 11 a 1 3 a 13 [x; y; 1] A [x; y; 1] T = 0 ahol A = 4a 1 a a 3 5 (119) a 31 a 3 a 33 a következ½o feltétellel: a 1 = a 1 ; a 13 = a 31 ; a 3 = a 3. (10) Többször fogunk hivatkozni az a 33 -hoz tartozó A 33 részmátrix aldeterminánsára: a11 a A 33 := det 1 = a a 1 a 11 a (a 1 ) = AC B 4, (11) (10) alapján. 4

8.1. Észrevétel: Ha néhány P i (x i ; y i ), (i n) ponttal akarunk meghatározni egy másodfokú görbét, akkor a következ½o egyenletrendszernek teljesülnie kell (n = 6 esetén): 8 Ax 1 + Bx 1 y 1 + Cy1 + Dx 1 + Ey 1 + F = 0 Ax >< + Bx y + Cy + Dx + Ey + F = 0 Ax 3 + Bx 3 y 3 + Cy3 + Dx 3 + Ey 3 + F = 0 Ax 4 + Bx 4 y 4 + Cy, (1) 4 + Dx 4 + Ey 4 + F = 0 Ax >: 5 + Bx 5 y 5 + Cy5 + Dx 5 + Ey 5 + F = 0 Ax 6 + Bx 6 y 6 + Cy6 + Dx 6 + Ey 6 + F = 0 és mivel ez az egyenletrendszer homogén lineáris az A; B; :::; F ismeretlenekre, ezért a rendszer determinánsa szükségszer½uen 0 : 3 x 1 x 1 y 1 y1 x 1 y 1 1 x x y y x y 1 det x 3 x 3 y 3 y3 x 3 y 3 1 6x 4 x 4 y 4 y4 x 4 y 4 1 = 0. (13) 7 4x 5 x 5 y 5 y5 x 5 y 5 15 x 6 x 6 y 6 y6 x 6 y 6 1 Azonban ellipszisek meghatározásához kihasználhatjuk az ellipszisek és a kúpszeletek speciális tulajdonságait. 8.. Tétel: ([HGy]) Ha öt pont között nincs három egy egyenesen, akkor egyetlenegy olyan kúpszelet van, amely ezt az öt pontot tartalmazza. Könnyen látható, hogy három pont Z 1 (x 1 ; y 1 ), Z (x ; y ), Z 3 (x 3 ; y 3 ) pontosan!! akkor van egy egyenesen, ha Z 1 Z k Z 1 Z 3 azaz x x det 1 x 3 x 1 = (x y y 1 y 3 y x 1 ) (y 3 y 1 ) (x 3 x 1 ) (y y 1 ) = 0 (14) 1 azaz (x x 1 ) (y 3 y 1 ) = (x 3 x 1 ) (y y 1 ). (15) (13) -ból azonnal következik: 5

8.3. Tétel: A P i (x i ; y i ), (i 5) pontok által meghatározott kúpszelet egyenlete (x és y az utolsó sorban van): 3 x 1 x 1 y 1 y1 x 1 y 1 1 x x y y x y 1 det x 3 x 3 y 3 y3 x 3 y 3 1 6x 4 x 4 y 4 y4 x 4 y 4 1 = 0. 7 4x 5 x 5 y 5 y5 x 5 y 5 15 x xy y x y 1 (16) Ne feledjük, hogy a 8.3. Tétel kúpszeletr½ol szól, tehát akár (1) akár (16) megoldása el½ott ellen½oriznünk kell, hogy az öt pont valóban ellipszist ad-e meg. Ezzel a kérdéssel a következ½o alfejezetben foglalkozunk. (16) tehát azt jelenti, hogy a (1) 6 -ismeretlenes egyenletrendszer megoldása helyett választhatjuk (16) -t, ami azonnal megadja a görbe (117) egyenletét. Azonban a gyakorlatban 6 6 méret½u determinánsok számolása már id½oigényes, ezért célszer½ubb az A; B; :::; F együtthatók értékeit el½ore (egyszer) kiszámolnunk a rajzolás el½ott. A végeredményt a Függelékben adjuk meg. VIII.b) Általános ellipszisek 8.4. Tétel: ([HGy]) A (118) görbe pontosan akkor ellipszis, ha A 33 = a 11 a (a 1 ) = AC B 4 > 0. (17) Következ½o feladatunk a (117) alakban megtalált görbe egyenletéb½ol a; b; u; v; ' megtalálása, amiket a (117) és (93) egyenletek összehasonlítása alapján tudunk kiszámolni. 6

tehát A (93) egyenletet 0 -ra rendezzük és kifejtjük: 1 a c ' + 1 b s ' x + a c 1 's ' b c 's ' xy + b c ' + 1 a s ' y + b vc 's ' b us ' a vc 's ' a uc ' x + b uc 's ' a vs ' a uc 's ' b vc ' y (18) 1 + a u c ' + 1 b v c ' + 1 a v s ' + 1 b u s ' + a uvc 's ' b uvc 's ' 1 = 0 A = c ' a + s ' (19) b 1 1 B = c ' s ' (130) a b C = c ' b + s ' D = b vc 's ' b us ' E = b uc 's ' a vs ' (131) a a vc 's ' a uc ' (13) a uc 's ' b vc ' (133) F = 1 a u c ' + 1 b v c ' + 1 a v s ' + 1 b u s ' + a uvc 's ' b uvc 's ' 1 (134) Ez NEM egy reménytelen, bár nemlineáris egyenletrendszer, mert (19) - (131) - ben csak a; b és ' szerepel, (13) - (134) -ben pedig u és v csak els½o hatványon szerepelnek. A (19) - (134) egyenletrendszer megoldása: A C = c ' a + s ' b = c ' s ' B = sin (') c ' b s ' 1 a 1 b 1 1 a b (135) (136) a 1 1 = cos (') a b 7

tehát cos (') 6= 0 azaz ' 6= 4 (137) esetén vagyis ' = 1 B arctan A C B A C = tan (') (138) vagy ' = 1 arctan B A + C. (139) Ezután A és C, azaz (19) és (131) alapján 8 >< A = c ' a + s ' b ahonnan ahol >: 1 a = és 1 b = A s = det ' C c ' C = s ' a + c ' b (140) vagyis a = c, = det ' s ' A C és ne feledjük, hogy 6= 0 ekvivalens a (137) feltétellel. Ezután (13), (133), (134) így írható: s ' D = b + c ' 1 1 u + c a ' s ' b a E = c ' s ' 1 b 1 a s ' u a + c ' b r s és b = c, = det ' s ' s ' c ' (141), (14) v = A u Bv (143) v = Bu Cv (144) ahonnan u = és v = (145) ahol D = det E B, = det C A D B E 8, = det A B B C, (146)

és lényeges: a 8.4. Tétel (17) szerint elllipszisek esetében AC B > 0, vagyis 4 A B = det = 4AC B 6= 0. (147) B C A (134) egyenletet már csak ellen½orzésre tudjuk / kell felhasználni. VIII.c) Az ellipszisek adatai A fentieken túl, [WP] -ben a következ½oket olvashatjuk (felhasználjuk az (1), (117)-(11) és a (153)-(157) jelöléseket). A (118) görbe akkor ellipszis, ha a 11 = a esetén kör. A 33 > 0, det (A) 6= 0 és det (A) A 33 < 0, (148) Az ellipszis (u; v) = (x 0 ; y 0 ) középpontjának koordinátái: továbbá a féltengelyek ahol u = det (J x) det (A 33 ) = a 1a 3 a 13 a a 11 a (a 1 ), (149) v = det (J y) det (A 33 ) = a 11a 3 a 1 a 13 a 11 a (a 1 ), (150) s a = det (A 33 ) [I ], (151) s b = det (A 33 ) [I + ], (15) a1 a J x = det 13 = a a a 1 a 3 3 a 13 a, (153) a11 a J y = det 13 = a a 1 a 11 a 3 3 a 1 a 13, (154) 9

és = a 11 (a 3 ) + a (a 13 ) + a 33 (a 1 ) a 1 a 13 a 3 a 11 a a 33, (155) q q = (a c) + 4b = (a 11 a ) + 4a 1, (156) IX. Ferde ellipszisek görbülete I = a 11 + a. (157) A IV.a) alfejezet paraméteres (76) képletében t helyett egyszer½uen csak (t + ') -t kell írnunk. A derékszög½u koordinátáktól függés sokkal bonyolultabb: (77) és (89) alapján a (93) egyenlet½u ellipszis P 0 0 (x 0 0; y 0 0) pontjában a görbület: g (x 0 0; y 0 0) = a4 b 4 pg 3 (158) ahol G = a 4 [ (x 0 0 u) s ' + (y 0 0 v) c ' v] + b 4 [(x 0 0 u) c ' + (y 0 0 v) s ' u], (159) és g (x 0 0; y 0 0) az A ' 1; és B ' 1; "csúcspontokban" (lásd (95), (96)) veszi fel széls½oértékeit: P0 0 = A ' 1; esetén G = a 4 [ ((u a) c ' v s ' ) s ' + ((u a) s ' + v c ' ) c ' v] + +b 4 [((u a) c ' v s ' ) c ' + ((u a) s ' + v c ' ) s ' u] = = a 4 (v v) + b 4 ((u a) u) = 0 + b 4 a tehát g A ' a 4 b 4 1; = p 3 = a b4 a b, (160) P 0 0 = B ' 1; esetén pedig 30

G = a 4 [ (u c ' (v b) s ' ) s ' + (u s ' + (v b) c ' ) c ' v] + b 4 [ (u c ' (v b) s ' ) c ' + (u s ' + (v b) c ' ) s ' u] = = a 4 (v b v) + b 4 (u u) = a 4 b + 0 tehát g B ' a 4 b 4 1; = p 3 = b a4 b a. (161) A távolság és görbület IV.b) alfejezetben ismertetett (83) összefüggése változatlan marad, hiszen csak elforgatás történt: a távolság és a görbület "együtt fordulnek el ' szöggel". 31

X. Lineáris transzformációk Végül megvizsgáljuk azt a kérdést, hogy egy A : R! R lineáris transzformáció mikor eredményez ellipszist. Legyen tehát az A leképezés mátrixa a1;1 a A = 1; e f =, (16) a ;1 a ; c d ekkor az egyenlet½u ellipszis képe azaz (x (t) ; y (t)) = (x 0 ; y 0 ) + ( cos (t) ; sin (t)), 0 t (163) [x 0 (t) ; y 0 (t)] = A [x 0 ; y 0 ] T + A [ cos (t) ; sin (t)] T (164) x 0 (t) = x 0 0 + e cos (t) + f sin (t) y 0 (t) = y 0 0 + c cos (t) + d sin (t), 0 t. (165) Mivel a ' szöggel elforgatott, általános helyzet½u ellipszis egyenlete (94) szerint x 0 = a cos (t) cos (') b sin (t) sin (') + u y 0, (166) = a cos (t) sin (') + b sin (t) cos (') + v ezért a (16) ellipszis képe akkor és csak akkor ellipszis, ha 8 a 1;1 = e = a cos (') >< a 1; = f = b sin ('), (167) a ;1 = c = a sin (') >: a ; = d = b cos (') vagyis azaz a 1;1 a 1; = ab sin (') cos (') = a ;1 a ; (168) (a 1;1 a 1; + a ;1 a ; ) = 0 (169) Megjegyzés: Könnyen látható, hogy a fenti (169) -ben szerepl½o a 1;1 a 1; +a ;1 a ; kifejezés az A mátrisz oszlopainak skaláris szorzata, vagyis (169) pontosan akkor teljesül, ha az Ae 1? Ae 1, vagyis az A mátrix (leképezés) ortogonális vagyis szögtartó. 3

Tehát, annak ellenére, hogy sok esetben (mint a következ½o példában) a transzformált görbét ellipszisnek látjuk, az valójában nem ellipszis. Pontosabban: nem egymásra derékszög½u, hanem ferdeszög½u tengelyekkel rendelkez½o ellipszis. A ferdeszög½u tengelyekkel rendelkez½o ellipszisek tárgyalása már nem fér bele jelen cikkünkbe. 3 Példa: A = vagyis (x 7 4 0 ; y 0 ) = (x + 3y; 7x + 4y), tehát (169) NEM teljesül, de az origó közep½u egységkör képe: y 8 6 4 3 1 1 3 x 4 6 8 3. ábra: A x 0 (t) = cos (t) + 3 sin (t) y 0 (t) = 7 cos (t) + 4 sin (t) egyenlet½u görbe 33

Hivatkozások [HGy] Hajós György: Bevezetés a geometriába, https://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop45/011_0001_519_0418/adatok.html [HM1] Hujter Mihály: Ellipszisek és hiperbolák érint½oi, Haladvány Kiadvány, 01.0.8. http://math.bme.hu/~hujter/108.pdf [Sz1] Szalkai István: Négy pont ellipszise, kézirat, 019. [Sz] Szalkai István: Ellipszisek görbülete, kézirat, 019. [WE] Wikipedia: Ellipse (angolul), https://en.wikipedia.org/wiki/ellipse [WM] Wikipedia: Ellipszis_(görbe), https://hu.wikipedia.org/wiki/ellipszis_(görbe) [WP] Wikipedia: (perzsa nyelven), https://fa.wikipedia.org/wiki/%d8%a8%db%8c%d8%b6%db%8c Függelék A (1) egyenletrendszer megoldása (117) és a (16) determináns összehasonlítása alapján: A = x 1 x y 1 y 3y 4 x 1 x y 1 y 3 y 4+x 1 x 3 y 1 y y 4 x 1 x 3 y 1 y y 4 x 1 y 1 x 4 y y 3+x 1 y 1 x 4 y y 3 + x 1 x y 1 y 3 y 5 x 1 x y 1 y 3y 5 + x 1 x y y 3 y 4 x 1 x y y 3y 4 x 1 x 3 y 1 y y 5 + x 1 x 3 y 1 y y 5 + x 1 y 1 y x 5 y 3 x 1 y 1 y x 5 y 3 x x 3 y 1 y y 4 + x x 3 y 1y y 4 + x y 1 x 4 y y 3 x y 1x 4 y y 3 x 1 x y 1 y 4 y 5 + x 1 x y 1 y 4y 5 x 1 x y y 3 y 5 + x 1 x y y 3y 5 x 1 x 3 y y 3 y 4 + x 1 x 3 y y 3 y 4 + x 1 y 1 x 4 y y 5 x 1 y 1 x 4 y y 5 x 1 y 1 y x 5 y 4 + x 1 y 1 y x 5 y 4 + x x 3 y 1 y y 5 + x x 3 y 1 y 3 y 4 x x 3 y 1y y 5 x x 3 y 1y 3 y 4 x y 1 y x 5 y 3 + x y 1y x 5 y 3 x 3 y 1 x 4 y y 3 + x 3 y 1x 4 y y 3 + x 1 x y y 4 y 5 x 1 x y y 4y 5 + x 1 x 3 y 1 y 4 y 5 x 1 x 3 y 1 y 4y 5 + x 1 x 3 y y 3 y 5 x 1 x 3 y y 3 y 5 x 1 y 1 x 4 y 3 y 5 + x 1 y 1 x 4 y 3y 5 + x 1 y 1 x 5 y 3 y 4 x 1 y 1 x 5 y 3y 4 + x 1 x 4 y y 3y 4 x 1 x 4 y y 3 y 4 x x 3 y 1 y 3 y 5 + x x 3 y 1y 3 y 5 x y 1 x 4 y y 5 x y 1 x 4 y 3y 4 + x y 1 y x 5 y 4 + x y 1x 4 y y 5 + x y 1x 4 y 3 y 4 x y 1y x 5 y 4 + x 3 y 1 x 4 y y 4 + x 3 y 1 y x 5 y 3 x 3 y 1x 4 y y 4 x 3 y 1y x 5 y 3 x 1 x 3 y 3 y 4 y 5 + x 1 x 3 y 3 y 4y 5 x 1 x 4 y y 4 y 5 + x 1 x 4 y y 4 y 5 x 1 y x 5 y 3y 5 + x 1 y x 5 y 3 y 5 x x 3 y y 4 y 5 + x x 3 y y 4y 5 + x y 1 x 4 y 4 y 5 + x y 1 x 5 y 3y 5 + x x 4 y y 3 y 5 x x 4 y y 3y 5 x y x 5 y 3 y 4 + x y x 5 y 3y 4 x y 1x 4 y 4 y 5 x y 1x 5 y 3 y 5 + x 3 y 1 x 4 y 3 y 5 x 3 y 1 x 5 y 3 y 4 34

x 3 y 1 y x 5 y 5 x 3 y 1x 4 y 3 y 5 + x 3 y 1y x 5 y 5 + x 3 y 1x 5 y 3 y 4 y 1 x 4 y x 5 y 4 + y 1x 4 y x 5 y 4 + x 1 x 4 y 3 y 4 y 5 x 1 x 4 y 3y 4 y 5 + x 1 y x 5 y 4y 5 x 1 y x 5 y 4 y 5 + x x 3 y 3 y 4 y 5 x x 3 y 3 y 4y 5 x y 1 x 5 y 4y 5 + x y 1x 5 y 4 y 5 x 3 y 1 x 4 y 4 y 5 x 3 x 4 y y 3 y 5 + x 3 x 4 y y 3 y 5 + x 3 y x 5 y 3 y 4 + x 3 y 1x 4 y 4 y 5 x 3 y x 5 y 3 y 4 + y 1 x 4 x 5 y 3y 4 + y 1 x 4 y x 5 y 5 y 1x 4 y x 5 y 5 y 1x 4 x 5 y 3 y 4 x 1 x 5 y 3 y 4y 5 + x 1 x 5 y 3y 4 y 5 x x 4 y 3 y 4 y 5 + x x 4 y 3y 4 y 5 + x 3 y 1 x 5 y 4y 5 + x 3 x 4 y y 4 y 5 x 3 x 4 y y 4 y 5 x 3 y 1x 5 y 4 y 5 y 1 x 4 x 5 y 3y 5 x 4 y x 5 y 3y 4 + x 4 y x 5 y 3 y 4 + y 1x 4 x 5 y 3 y 5 + x x 5 y 3 y 4y 5 x x 5 y 3y 4 y 5 x 3 y x 5 y 4y 5 + x 3 y x 5 y 4 y 5 + x 4 y x 5 y 3y 5 x 4 y x 5 y 3 y 5, B = x 1x y3y 5 x 1x y3y 4 +x 1x y 3 y4 x 1x y 3 y5 x 1x y4y 5 +x 1x y 4 y5 +x 1x 3 yy 4 x 1x 3 yy 5 x 1x 3 y y4+x 1x 3 y y5+x 1x 3 y4y 5 x 1x 3 y 4 y5 x 1x 4 yy 3 +x 1x 4 yy 5 +x 1x 4 y y3 x 1x 4 y y5 x 1x 4 y3y 5 +x 1x 4 y 3 y5+x 1yx 5 y 3 x 1yx 5 y 4 x 1y x 5 y3+x 1y x 5 y4+x 1x 5 y3y 4 x 1x 5 y 3 y4+x 1 x y3y 4 x 1 x y3y 5 x 1 x y 3 y4+x 1 x y 3 y5+x 1 x y4y 5 x 1 x y 4 y5 x 1 x 3yy 4 + x 1 x 3yy 5 +x 1 x 3y y4 x 1 x 3y y5 x 1 x 3y4y 5 +x 1 x 3y 4 y5+x 1 x 4yy 3 x 1 x 4yy 5 x 1 x 4y y3+ x 1 x 4y y5+x 1 x 4y3y 5 x 1 x 4y 3 y5 x 1 yx 5y 3 +x 1 yx 5y 4 +x 1 y x 5y3 x 1 y x 5y4 x 1 x 5y3y 4 + x 1 x 5y 3 y4 x x 3 y1y 4 +x x 3 y1y 5 +x x 3 y 1 y4 x x 3 y 1 x x 3 y4y 5 +x x 3 y 4 y5+x y1x 4 y 3 x y1x 4 y 5 x y1x 5 y 3 +x y1x 5 y 4 x y 1 x 4 y3+x y 1 x 4 y5+x y 1 x 5 y3 x y 1 x 5 y4+x x 4 y3y 5 x x 4 y 3 y5 x x 5 y3y 4 +x x 5 y 3 y4+x x 3y1y 4 x x 3y1y 5 x x 3y 1 y4+x x 3y 1 y5+x x 3y4y 5 x x 3y 4 y5 x y1x 4y 3 +x y1x 4y 5 +x y1x 5y 3 x y1x 5y 4 +x y 1 x 4y3 x y 1 x 4y5 x y 1 x 5y3+ x y 1 x 5y4 x x 4y3y 5 +x x 4y 3 y5+x x 5y3y 4 x x 5y 3 y4 x 3y1x 4 y +x 3y1x 4 y 5 +x 3y1y x 5 x 3y1x 5 y 4 +x 3y 1 x 4 y x 3y 1 x 4 y5 x 3y 1 yx 5 +x 3y 1 x 5 y4 x 3x 4 yy 5 +x 3x 4 y y5+x 3yx 5 y 4 x 3y x 5 y4+x 3 y1x 4y x 3 y1x 4y 5 x 3 y1y x 5+x 3 y1x 5y 4 x 3 y 1 x 4y+x 3 y 1 x 4y5+x 3 y 1 yx 5 x 3 y 1 x 5y4+x 3 x 4yy 5 x 3 x 4y y5 x 3 yx 5y 4 +x 3 y x 5y4 y1x 4y x 5 +y1x 4x 5 y 3 +y1x 4 y x 5 y1x 4 x 5y 3 +y 1 x 4yx 5 y 1 x 4x 5 y3 y 1 x 4 yx 5+y 1 x 4 x 5y3 x 4yx 5 y 3 +x 4y x 5 y3+x 4 yx 5y 3 x 4 y x 5y3, C = x 1 x y 1 x 4y 3 x 1 x x 3y 1 y 4 x 1 x 3 y 1 x 4y +x 1 x x 3 y 1 y 4 x 1 x y 1 x 4 y 3 +x 1 x 3y 1 x 4 y x 1 x y 1 x 5y 3 + x 1 x x 3y 1 y 5 + x 1 x x 3y y 4 x 1 x x 4y y 3 + x 1 x 3 y 1 y x 5 x 1 x x 3 y 1 y 5 + x 1 x y 1 x 5 y 3 x 1 x 3y 1 y x 5 + x x 3 y 1 x 4y x x 3y 1 x 4 y x 1x x 3 y y 4 + x 1x x 4 y y 3 x 1 x y 1 x 4y 5 + x 1 x y 1 x 5y 4 + x 1 x y x 5y 3 x 1 x x 3y y 5 + x 1 x 3 x 4y y 3 x 1 y 1 x 4 y x 5 + x 1 y 1 x 4y x 5 x 1 x x 3 y 3 y 4 + x 1 x y 1 x 4 y 5 x 1 x y 1 x 5 y 4 x x 3 y 1 y x 5 x x 3 y 1 x 4y 3 + x x 3y 1 y x 5 + x 1x x 3 y y 5 + x 1x x 3 y 3 y 4 x 1x y x 5 y 3 x 1x 3 x 4 y y 3 + x x 3 y 1 x 4 y 3 x 1 x y x 5y 4 + x 1 x x 4y y 5 + x 1 x 3 y 1 x 4y 5 x 1 x 3 y 1 x 5y 4 x 1 x 3 y x 5y 3 + x 1 y 1 x 4 x 5y 3 x 1 y 1 x 4x 5 y 3 + x 1 x x 3 y 3 y 5 + x 1 x x 4 y 3 y 4 x 1 x 3y 1 x 4 y 5 + x 1 x 3y 1 x 5 y 4 x 1 x 3x 4 y y 4 + x x 3 y 1 x 5y 3 + x y 1 x 4 y x 5 x y 1 x 4y x 5 + x x 3y 1 x 4 y 4 x 1x x 3 y 3 y 5 x 1x x 4 y y 5 x 1x x 4 y 3 y 4 + x 1x y x 5 y 4 + x 1x 3 x 4 y y 4 + x 1x 3 y x 5 y 3 x x 3 y 1 x 4 y 4 x x 3 y 1 x 5 y 3 x 1 x 3 x 4y 3 y 5 + x 1 x 3 x 5y 3 y 4 + x 1 x 4 y x 5y 4 x 1 x x 4 y 4 y 5 x 1 x x 5 y 3 y 5 + x 1 x 3y x 5 y 5 + x x 3 y x 5y 4 x x 3 x 4y y 5 x y 1 x 4 x 5y 4 x x 4 y x 5y 3 x x 3y 1 x 5 y 5 + x x 3x 4 y y 5 x x 3y x 5 y 4 + x x 4y x 5 y 3 x 3 y 1 x 4 x 5y 3 + x 3 y 1 x 4x 5 y 3 + x 1x x 4 y 4 y 5 + x 1x x 5 y 3 y 5 + x 1x 3 x 4 y 3 y 5 x 1x 3 y x 5 y 5 x 1x 3 x 5 y 3 y 4 x 1x 4 y x 5 y 4 + x x 3 y 1 x 5 y 5 + x y 1 x 4 x 5 y 4 35

x 1 x 4 x 5y 3 y 4 + x 1 x x 5 y 4 y 5 + x 1 x 3x 4 y 4 y 5 x 1 x 4y x 5 y 5 + x x 3 x 4y 3 y 5 x x 3 x 5y 3 y 4 + x y 1 x 4x 5 y 5 + x 3 y 1 x 4 x 5y 4 + x 3 x 4 y x 5y 3 x 3 x 4y x 5 y 3 x 1x x 5 y 4 y 5 x 1x 3 x 4 y 4 y 5 + x 1x 4 y x 5 y 5 + x 1x 4 x 5 y 3 y 4 x x 3 x 4 y 3 y 5 + x x 3 x 5 y 3 y 4 x y 1 x 4 x 5 y 5 x 3y 1 x 4 x 5 y 4 x 1 x 3x 5 y 4 y 5 + x 1 x 4x 5 y 3 y 5 + x x 4 x 5y 3 y 4 x x 3x 4 y 4 y 5 x 3 y 1 x 4x 5 y 5 x 3 x 4 y x 5y 4 + x 1x 3 x 5 y 4 y 5 x 1x 4 x 5 y 3 y 5 + x x 3 x 4 y 4 y 5 x x 4 x 5 y 3 y 4 + x 3y 1 x 4 x 5 y 5 + x 3x 4 y x 5 y 4 + x x 3x 5 y 4 y 5 x x 4x 5 y 3 y 5 + x 3 x 4y x 5 y 5 x x 3 x 5 y 4 y 5 + x x 4 x 5 y 3 y 5 x 3x 4 y x 5 y 5, D = x 1x y y3y 4 x 1x y y3y 5 x 1x y y 3 y4+x 1x y y 3 y5+x 1x y y4y 5 x 1x y y 4 y5 x 1x 3 yy 3 y 4 + x 1x 3 yy 3 y 5 + x 1x 3 y y 3 y4 x 1x 3 y y 3 y5 x 1x 3 y 3 y4y 5 + x 1x 3 y 3 y 4 y5 + x 1x 4 yy 3 y 4 x 1x 4 yy 4 y 5 x 1x 4 y y3y 4 + x 1x 4 y y 4 y5 + x 1x 4 y3y 4 y 5 x 1x 4 y 3 y 4 y5 x 1yx 5 y 3 y 5 + x 1yx 5 y 4 y 5 + x 1y x 5 y3y 5 x 1y x 5 y4y 5 x 1x 5 y3y 4 y 5 + x 1x 5 y 3 y4y 5 x 1 x y 1 y3y 4 + x 1 x y 1 y3y 5 + x 1 x y 1 y 3 y4 x 1 x y 1 y 3 y5 x 1 x y 1 y4y 5 + x 1 x y 1 y 4 y5 + x 1 x 3y 1 yy 4 x 1 x 3y 1 yy 5 x 1 x 3y 1 y y4 + x 1 x 3y 1 y y5 + x 1 x 3y 1 y4y 5 x 1 x 3y 1 y 4 y5 x 1 y 1 x 4yy 3 + x 1 y 1 x 4yy 5 + x 1 y 1 x 4y y3 x 1 y 1 x 4y y5 x 1 y 1 x 4y3y 5 + x 1 y 1 x 4y 3 y5 + x 1 y 1 yx 5y 3 x 1 y 1 yx 5y 4 x 1 y 1 y x 5y3 + x 1 y 1 y x 5y4 + x 1 y 1 x 5y3y 4 x 1 y 1 x 5y 3 y4 + x x 3 y1y 3 y 4 x x 3 y1y 3 y 5 x x 3 y 1 y 3 y4 + x x 3 y 1 y 3 y5 + x x 3 y 3 y4y 5 x x 3 y 3 y 4 y5 x y1x 4 y 3 y 4 + x y1x 4 y 4 y 5 + x y1x 5 y 3 y 5 x y1x 5 y 4 y 5 + x y 1 x 4 y3y 4 x y 1 x 4 y 4 y5 x y 1 x 5 y3y 5 + x y 1 x 5 y4y 5 x x 4 y3y 4 y 5 + x x 4 y 3 y 4 y5 + x x 5 y3y 4 y 5 x x 5 y 3 y4y 5 x x 3y1y y 4 + x x 3y1y y 5 + x x 3y 1 y y4 x x 3y 1 y y5 x x 3y y4y 5 + x x 3y y 4 y5 + x y1x 4y y 3 x y1x 4y y 5 x y1y x 5y 3 + x y1y x 5y 4 x y 1 x 4y y3 + x y 1 x 4y y5 + x y 1 y x 5y3 x y 1 y x 5y4 + x x 4y y3y 5 x x 4y y 3 y5 x y x 5y3y 4 + x y x 5y 3 y4 + x 3y1x 4 y y 4 x 3y1x 4 y 4 y 5 x 3y1y x 5 y 5 + x 3y1x 5 y 4 y 5 x 3y 1 x 4 yy 4 + x 3y 1 x 4 y 4 y5 + x 3y 1 yx 5 y 5 x 3y 1 x 5 y4y 5 + x 3x 4 yy 4 y 5 x 3x 4 y y 4 y5 x 3yx 5 y 4 y 5 + x 3y x 5 y4y 5 x 3 y1x 4y y 3 + x 3 y1x 4y 3 y 5 + x 3 y1y x 5y 3 x 3 y1x 5y 3 y 4 + x 3 y 1 x 4yy 3 x 3 y 1 x 4y 3 y5 x 3 y 1 yx 5y 3 + x 3 y 1 x 5y 3 y4 x 3 x 4yy 3 y 5 + x 3 x 4y y 3 y5 + x 3 yx 5y 3 y 4 x 3 y x 5y 3 y4 + y1x 4y x 5 y 5 y1x 4x 5 y 3 y 5 y1x 4 y x 5y 4 + y1x 4 x 5y 3 y 4 y 1 x 4yx 5 y 5 + y 1 x 4x 5 y3y 5 + y 1 x 4 yx 5y 4 y 1 x 4 x 5y3y 4 + x 4yx 5 y 3 y 5 x 4y x 5 y3y 5 x 4 yx 5y 3 y 4 + x 4 y x 5y3y 4, E = x 1x x 3 y y4 x 1x x 3 y y5 x 1x x 3 y 3 y4+x 1x x 3 y 3 y5 x 1x x 4 y y3+x 1x x 4 y y5+ x 1x x 4 y3y 4 x 1x x 4 y 4 y5 + x 1x y x 5 y3 x 1x y x 5 y4 x 1x x 5 y3y 5 + x 1x x 5 y4y 5 + x 1x 3 x 4 yy 3 x 1x 3 x 4 yy 4 x 1x 3 x 4 y 3 y5 + x 1x 3 x 4 y 4 y5 x 1x 3 yx 5 y 3 + x 1x 3 yx 5 y 5 + x 1x 3 x 5 y 3 y4 x 1x 3 x 5 y4y 5 + x 1x 4 yx 5 y 4 x 1x 4 yx 5 y 5 x 1x 4 x 5 y3y 4 + x 1x 4 x 5 y3y 5 x 1 x x 3 y 1 y4 + x 1 x x 3 y 1 y5 + x 1 x x 3 y 3 y4 x 1 x x 3 y 3 y5 + x 1 x y 1 x 4 y3 x 1 x y 1 x 4 y5 x 1 x y 1 x 5 y3 + x 1 x y 1 x 5 y4 x 1 x x 4 y3y 4 + x 1 x x 4 y 4 y5 + x 1 x x 5 y3y 5 x 1 x x 5 y4y 5 + x 1 x x 3y 1 y4 x 1 x x 3y 1 y5 x 1 x x 3y y4 + x 1 x x 3y y5 x 1 x y 1 x 4y3 + x 1 x y 1 x 4y5 + x 1 x y 1 x 5y3 x 1 x y 1 x 5y4 + x 1 x x 4y y3 x 1 x x 4y y5 x 1 x y x 5y3 + x 1 x y x 5y4 x 1 x 3y 1 x 4 y + x 1 x 3y 1 x 4 y5 + x 1 x 3y 1 yx 5 x 1 x 3y 1 x 5 y4 + x 1 x 3x 4 yy 4 x 1 x 3x 4 y 4 y5 x 1 x 3yx 5 y 5 + x 1 x 3x 5 y4y 5 + x 1 x 3 y 1 x 4y x 1 x 3 y 1 x 4y5 x 1 x 3 y 1 yx 5 + x 1 x 3 y 1 x 5y4 x 1 x 3 x 4yy 3 + x 1 x 3 x 4y 3 y5 + x 1 x 3 yx 5y 3 x 1 x 3 x 5y 3 y4 x 1 y 1 x 4yx 5 + x 1 y 1 x 4x 5 y3 + 36

x 1 y 1 x 4 yx 5 x 1 y 1 x 4 x 5y3 + x 1 x 4yx 5 y 5 x 1 x 4x 5 y3y 5 x 1 x 4 yx 5y 4 + x 1 x 4 x 5y3y 4 x x 3 y1x 4 y 3 + x x 3 y1x 4 y 4 + x x 3 y1x 5 y 3 x x 3 y1x 5 y 5 + x x 3 x 4 y 3 y5 x x 3 x 4 y 4 y5 x x 3 x 5 y 3 y4 + x x 3 x 5 y4y 5 x y1x 4 x 5 y 4 + x y1x 4 x 5 y 5 + x x 4 x 5 y3y 4 x x 4 x 5 y3y 5 + x x 3y1x 4 y x x 3y1x 4 y 4 x x 3y1y x 5 + x x 3y1x 5 y 5 x x 3x 4 y y5 + x x 3x 4 y 4 y5 + x x 3y x 5 y4 x x 3x 5 y4y 5 x x 3 y1x 4y + x x 3 y1x 4y 3 + x x 3 y1y x 5 x x 3 y1x 5y 3 + x x 3 x 4y y5 x x 3 x 4y 3 y5 x x 3 y x 5y4 + x x 3 x 5y 3 y4 + x y1x 4y x 5 x y1x 4x 5 y 5 x y1x 4 y x 5 + x y1x 4 x 5y 4 x x 4y x 5 y3 + x x 4x 5 y3y 5 + x x 4 y x 5y3 x x 4 x 5y3y 4 + x 3y1x 4 x 5 y 4 x 3y1x 4 x 5 y 5 x 3x 4 yx 5 y 4 + x 3x 4 yx 5 y 5 x 3 y1x 4x 5 y 3 + x 3 y1x 4x 5 y 5 + x 3 y1x 4 x 5y 3 x 3 y1x 4 x 5y 4 + x 3 x 4yx 5 y 3 x 3 x 4yx 5 y 5 x 3 x 4 yx 5y 3 + x 3 x 4 yx 5y 4, F = x 1x x 3 y y 4 y5 x 1x x 3 y y4y 5 +x 1x x 3 y 3 y4y 5 x 1x x 3 y 3 y 4 y5 +x 1x x 4 y y3y 5 x 1x x 4 y y 3 y5 x 1x x 4 y3y 4 y 5 +x 1x x 4 y 3 y 4 y5 x 1x y x 5 y3y 4 +x 1x y x 5 y 3 y4+x 1x x 5 y3y 4 y 5 x 1x x 5 y 3 y4y 5 x 1x 3 x 4 yy 3 y 5 +x 1x 3 x 4 yy 4 y 5 +x 1x 3 x 4 y y 3 y5 x 1x 3 x 4 y y 4 y5+x 1x 3 yx 5 y 3 y 4 x 1x 3 yx 5 y 4 y 5 x 1x 3 y x 5 y 3 y4+x 1x 3 y x 5 y4y 5 x 1x 4 yx 5 y 3 y 4 +x 1x 4 yx 5 y 3 y 5 +x 1x 4 y x 5 y3y 4 x 1x 4 y x 5 y3y 5 +x 1 x x 3 y 1 y4y 5 x 1 x x 3 y 1 y 4 y5 x 1 x x 3 y 3 y4y 5 +x 1 x x 3 y 3 y 4 y5 x 1 x y 1 x 4 y3y 5 + x 1 x y 1 x 4 y 3 y5+x 1 x y 1 x 5 y3y 4 x 1 x y 1 x 5 y 3 y4+x 1 x x 4 y3y 4 y 5 x 1 x x 4 y 3 y 4 x 1 x x 5 y3y 4 y 5 + x 1 x x 5 y 3 y4y 5 x 1 x x 3y 1 y4y 5 +x 1 x x 3y 1 y 4 y5+x 1 x x 3y y4y 5 x 1 x x 3y y 4 y5+x 1 x y 1 x 4y3y 5 x 1 x y 1 x 4y 3 y5 x 1 x y 1 x 5y3y 4 +x 1 x y 1 x 5y 3 y4 x 1 x x 4y y3y 5 +x 1 x x 4y y 3 y5+x 1 x y x 5y3y 4 x 1 x y x 5y 3 y4+x 1 x 3y 1 x 4 yy 5 x 1 x 3y 1 x 4 y y5 x 1 x 3y 1 yx 5 y 4 +x 1 x 3y 1 y x 5 y4 x 1 x 3x 4 yy 4 y 5 + x 1 x 3x 4 y y 4 y5+x 1 x 3yx 5 y 4 y 5 x 1 x 3y x 5 y4y 5 x 1 x 3 y 1 x 4yy 5 +x 1 x 3 y 1 x 4y y5+x 1 x 3 y 1 yx 5y 4 x 1 x 3 y 1 y x 5y4+x 1 x 3 x 4yy 3 y 5 x 1 x 3 x 4y y 3 y5 x 1 x 3 yx 5y 3 y 4 +x 1 x 3 y x 5y 3 y4+x 1 y 1 x 4yx 5 y 3 x 1 y 1 x 4y x 5 y3 x 1 y 1 x 4 yx 5y 3 +x 1 y 1 x 4 y x 5y3 x 1 x 4yx 5 y 3 y 5 +x 1 x 4y x 5 y3y 5 +x 1 x 4 yx 5y 3 y 4 x 1 x 4 y x 5y3y 4 +x x 3 y1x 4 y 3 y 5 x x 3 y1x 4 y 4 y 5 x x 3 y1x 5 y 3 y 4 +x x 3 y1x 5 y 4 y 5 x x 3 y 1 x 4 y 3 y5+ x x 3 y 1 x 4 y 4 y5+x x 3 y 1 x 5 y 3 y4 x x 3 y 1 x 5 y4y 5 +x y1x 4 x 5 y 3 y 4 x y1x 4 x 5 y 3 y 5 x y 1 x 4 x 5 y3y 4 + x y 1 x 4 x 5 y3y 5 x x 3y1x 4 y y 5 +x x 3y1x 4 y 4 y 5 +x x 3y1y x 5 y 4 x x 3y1x 5 y 4 y 5 +x x 3y 1 x 4 y y5 x x 3y 1 x 4 y 4 y5 x x 3y 1 y x 5 y4+x x 3y 1 x 5 y4y 5 +x x 3 y1x 4y y 5 x x 3 y1x 4y 3 y 5 x x 3 y1y x 5y 4 + x x 3 y1x 5y 3 y 4 x x 3 y 1 x 4y y5+x x 3 y 1 x 4y 3 y5+x x 3 y 1 y x 5y4 x x 3 y 1 x 5y 3 y4 x y1x 4y x 5 y 3 + x y1x 4x 5 y 3 y 5 +x y1x 4 y x 5y 3 x y1x 4 x 5y 3 y 4 +x y 1 x 4y x 5 y3 x y 1 x 4x 5 y3y 5 x y 1 x 4 y x 5y3+ x y 1 x 4 x 5y3y 4 x 3y1x 4 y x 5 y 4 +x 3y1x 4 y x 5 y 5 +x 3y 1 x 4 yx 5 y 4 x 3y 1 x 4 yx 5 y 5 +x 3 y1x 4y x 5 y 3 x 3 y1x 4y x 5 y 5 x 3 y1x 4 y x 5y 3 +x 3 y1x 4 y x 5y 4 x 3 y 1 x 4yx 5 y 3 +x 3 y 1 x 4yx 5 y 5 +x 3 y 1 x 4 yx 5y 3 x 3 y 1 x 4 yx 5y 4. 37