MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Függvények Analízis A szürkített hátterű feladatrészek nem tartoznak az érintett témakörhöz, azonban szolgálhatnak fontos információval az érintett feladatrészek megoldásához! 1) Legyen f és g a valós számok halmazán értelmezett függvény: 1 ha 1 f 1 ha 1 0 és g 1 ha 0 a) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben mindkét függvényt! f g egyenlet valós megoldásait! (6 pont) Adja meg az b) Számítsa ki a két függvény grafikonja által közrefogott zárt síkidom területét! (8 pont) a) A függvények ábrázolása ( pont) 1 egyenlet megoldása 1 feltétel esetén 1 1 1;0 intervallumon egyenletnek nincs megoldása a egyenlet megoldása az 0 feltétel esetén 1 Az f g egyenletnek két megoldása van: 1 1 és
b) Tekintsük az f és g grafikonját ahol A 1; 1, B 0;1, C ;1, D 0; A vizsgálandó síkidomot az AB, a BC szakaszok és az ADC parabolaív határolja Vágjuk ketté a síkidomot az y tengellyel. TABCD TABD TDBC ABD 0 0 T f g d d 1 1 0 5 DBC 1 T f g d d 0 0 0 A keresett terület nagysága: 5 5,1 Összesen: 14 pont
) Legyen adott az f :,5;,5, f függvény. a) Határozza meg az f függvény zérushelyeit! (4 pont) b) Vizsgálja meg az f függvényt monotonitás szempontjából! (6 pont) c) Adja meg az f függvény legnagyobb és legkisebb értékét! (4 pont), ezért f zérushelyei lehetnek 1 -, a) Mivel 0 és. ( pont) Az egyenlet mindhárom gyöke eleme az f értelmezési tartományának. ezért mindegyik zérushely jó megoldást ad b) Az f a teljes értelmezési tartományának belső pontjaiban differenciálható függvény, ezért a monotonitás megállapítása és a szélsőértékek megkeresése az első derivált előjelvizsgálatával történhet f Az első derivált értéke 0, ha 1 és 1 Ezek az értékek az értelmezési tartomány elemei. Készítsünk táblázatot az f előjelviszonyai alapján az f menetének meghatározása: -,5-1 1-1 1 1 1,5 f pozitív 0 negatív 0 pozitív f 1 növekvő f növekvő 1 f csökkenő Monotonitás megállapítása a táblázat helyes kitöltése alapján. ( pont) c) Az f helyi maimumot vesz fel az 1 helyen, a helyi maimum értéke f 1 ) Az f helyi minimumot vesz fel az 1 helyen, a helyi minimum értéke f 1 Mivel f,5 8,15, a legkisebb függvényérték -8,15 Mivel f,5 8,15, ezért a legnagyobb függvényérték 8,15 Összesen: 14 pont a) Ábrázolja függvény-transzformációk segítségével a ;4 intervallumon az hozzárendelési szabállyal megadott függvényt! (6 pont) b) Legyen az f, a g és a h függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza, hozzárendelési szabályuk: f ; g, h. Képezzünk egyszeresen összetett függvényeket a szokásos módon. g f g f 6 Például: Készítse el a fenti példának megfelelően- az f, g és h függvényekből pontosan két különböző felhasználásával képezhető egyszeresen összetett függvényeket! Sorolja fel valamennyit! (6 pont)
c) Keressen példát olyan p és t, a valós számok halmazán értelmezett függvényre, amelyre p t t p! Adja meg a p és t függvény hozzárendelési szabályát! (4 pont) a), ha 0, ha 0 1 4, ha 0 1 4, ha 0 A grafikon két összetevőjének ábrázolása transzformációval ( pont) A függvény képe a megadott intervallumon ( pont) b) Összetett függvényhez a függvény közül -t kell kiválasztani a sorrendre való tekintettel, ezt 6-féleképpen tehetjük meg. g f g f - - 6 (megadva) - -- - - - - A függvények: c) Egy egyszerű példa: p c f g f g 8 1 h f h f f h f h g h g h h g h g és t c (ahol c nullától különböző konstans) p t c c t p c c Tehát p t t p
4) Egy arborétumban 1969 óta figyelik a fák természetes növekedését. Úgy tapasztalták, hogy a mandzsu fűzfa magasságát közelítően jól írja le 10 az mt 1 képlet; a hegyi mamutfenyő magasságát közelítően t 1 jól írja le a következő formula: h t 5 0,4t 1 0,4. Mindkét formulában t az 1969 óta eltelt időt jelöli években t 1, és a magasságot méterben számolják. a) Szemléltesse a mandzsu fűzfa és a hegyi mamutfenyő magasságának változását, olyan közös oszlopdiagram, amely a magasság értékét az 1970 és 000 közötti időszakban 10 évenként mutatja! A diagramon tüntesse fel a számított magasságértékeket! (6 pont) b) A mamutfenyő melyik évben érte el 10,5 méteres magasságot? (4 pont) c) Indokolja, hogy nem lehet olyan fa az arborétumban, amely magasságát a g t t 16,5t 7t 60 képlet írja le. (A magasságot centiméterben számolják, t az 1985 óta eltelt időt jelöli években, és t 1.) (6 pont) a) Táblázatba foglaljuk a képletek által kiszámított magasságokat az eltelt évek függvényében: ( pont) Helyes ábrázolások: 1970 1980 1990 000 t 1 11 1 1 m(t) 7 11, 11,5 11,7 h(t) 6, 1,0 15,7 18,7 (4 pont) b) Megoldandó a 10,5 5 0,4t 1 0,4 egyenlet Rendezés után kapjuk, hogy t 7,7 ( pont) A kívánt magasságot a mamutfenyő a 8. évben, vagyis 1969 8 1977
c) A megadott függvény menetét előjel-vizsgálattal állapítjuk meg. A derivált: gt t t 7 ( pont) 5) A derivált értéke 0, ha t vagy t 8 A derivált mindkét nullhelyénél előjelet vált, a két nullhely közötti t értékekre a derivált negatív, ezért a g t függvény ezen a tartományon t 8 szigorú monoton csökkenő A fa magassága nem csökkenhet az arborétumban, ezért a gt függvény egyetlen fa növekedését sem írhatja le a) Határozza meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a 6 9 kifejezés értelmezhető! ( pont) b) Ábrázolja a 5;8 intervallumon értelmezett f : 6 9 függvény! (5 pont) c) Melyik állítás igaz és melyik hamis a fenti függvényre vonatkozóan? Válaszát írja a sor végén lévő téglalapba! (Az indoklást nem kell leírnia.) A: Az f értékkészlete: 0;5 B: Az f függvény minimumát az helyen veszi fel. C: Az f függvény szigorúan monoton nő a 4;8 intervallumon. ( pont) A B C d) Határozza meg az 6 9 a) 6 9 d értékét! (6 pont) Mivel ez minden valós értékre nem negatív, ezért a legbővebb részhalmaz az. b) ( pont) ( pont)
c) A: Hamis B: Hamis C: Igaz d) 6 9 d 9 ( pont) 9 7 7 9 7 7 ( pont) 7 6) Adott az f függvény: f : 1;6 ; f 4 19 a) Határozza meg f zérushelyeit és elemezze az f függvényt monotonitás szempontjából! (7 pont) Jelölje c az f értelmezési tartományának egy pozitív elemét 0;c szakasza, az b) Határozza meg c értékét úgy, hogy az tengely c 0 egyenletű egyenes és az f grafikonja által közbezárt síkidom területe 704 területegységnyi legyen! (9 pont) 4 48 0 egyenlet 1;6 intervallumba eső egyetlen megoldása a 0. a) A ( pont) f deriváltjának hozzárendelési szabálya: f 1 19 A deriváltfüggvény 1;6 intervallumba eső egyetlen zérushelye 4. Itt a derivált előjelet vált, mégpedig pozitívból negatívba Az f függvény tehát monoton növekszik a 1;4 intervallumon és monoton csökken a 4;6 intervallumon. ( pont) b) A 0;c intervallumon f 0 c ezért 4 19 d 704 egyenletet kell megoldani a 0 0;6 intervallumon ( pont) c 4 c 4 19 d 96 ( pont) 0 0 4 c 4 96 c 96c 0 4 c 96c 704 4 c 96c 704 0 Megoldóképlettel: c 8 vagy c 88 Az értelmezési tartományban az egyetlen pozitív megoldás: c 8
7) a) Értelmezzük a valós számok halmazán az f függvényt az f k 9 képlettel! (A k paraméter valós számot jelöl). Számítsa ki, hogy k mely értéke esetén lesz 1 a függvénynek lokális szélsőértékhelye a függvénynek! Állapítsa meg, hogy az így kapott k esetén 1 a függvények lokális maimumhelye vagy lokális minimumhelye! Igazolja, hogy a k ezen értéke esetén a függvénynek van másik lokális szélsőértékhelye is! (11 pont) b) Határozza meg a valós számok halmazán a g 9 képlettel értelmezett g függvény infleiós pontját! (5 pont) a) A differenciálható f függvénynek az 1 akkor lehet szélsőértékhelye, ha itt az első deriváltja nulla Mivel f k 9 Ezért f 1 k 9 0 Innen k 6 Erre a k értékre f 1 9 ( pont) A másodfokú polinom szorzatalakja: f 1 Az 1 helyen a derivált pozitívból negatívba vált ezért itt az f függvénynek lokális maimuma van A derivált helyen negatívból pozitívba vált ezért itt az f függvénynek lokális minimuma van g 18 b) Mivel Ebből g 6 18 A második derivált zérushelye Itt a második derivált előjelet vált A g függvény egyetlen infleiós pontja az 8) Adott a K t t 6t 5 P ; y pontjainak halmazát, amelyekre K K y 0 polinom. Jelölje H a koordinátasík azon. a) A H halmaz pontjai közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet. C ; Mennyi annak a valószínűsége, hogy a kiválasztott pont az ponttól egységnél nem nagyobb távolságra van? Az f függvényt a következőképpen definiáljuk: f :, f 6 5 (9 pont) b) Számítsa ki az f függvény grafikonja és az tengely által közbezárt síkidom területét! (7 pont)
K K y 6 5 y 6y 5 0 a) A bal oldali kifejezés teljes négyzetté kiegészítéssel a következő alakra hozható: y 8 a H halmaz a ; középpontú 8 sugarú zárt körlap A kérdéses valószínűség a geometriai modell alapján a két koncentrikus körlap területének arányaként számolható ( pont) C ; középpontú, egység sugarú zárt körlap, A kedvező tartomány a ennek területe 4 A teljes tartomány a H halmaz, ennek területe 8 4 1 Így a keresett valószínűség P 8 b) Az f függvény zérushelyei 5 és 1 Mivel f főegyütthatója pozitív, a másodfokú függvény a két zérushelye között negatív értékeket vesz fel kérdéses terület a függvény két zérushely közötti integráljának 1-szerese 1 T 6 5d 5 5 5 ( pont) behelyettesítés után, a keresett terület nagysága. 1 9) Egy egyenlő szárú háromszög szárainak metszéspontja C 0;7 pont, a szárak hossza 5 egység. A háromszög másik két csúcsa (A, B) 1 illeszkedik az y 1 egyenletű parabolára. 4 a) Számítsa ki az A és a B pont koordinátáit! (6 pont) b) Írja fel az ABC háromszög egyik száregyenesének egyenletét! Ennek az egyenesnek és a parabolának további közös pontja D. Határozza meg a D pont koordinátáit! (4 pont) c) Mekkora területű részekre bontja az ABC háromszöget a parabola íve? (6 pont) a) A keresett két csúcs rajta van a C középpontú 5 egység sugarú körön. A kör egyenlete: y 7 5 A keresett pontokat a következő egyenletrendszer megoldása adja: 1 y 1 4 y 7 5
Az első egyenlet átalakításával: 4y 4. Az kifejezést behelyettesítve a második egyenletbe kapjuk, hogy: y 18y 0 Innen y1 0 és y 18. Ezek közül csak az y1 0 ad megoldást Behelyettesítve az első egyenletbe: A keresett két pont: A ;0 és B ;0 4. Innen 1 és b) A BC egyenes egyenlete: 7 y 14 1 A D pont koordinátáit a 7 y 14 és a y 1 görbék B-től különböző 4 metszéspontjai adják. 1 7 1 gyökei 1 és 1 D 1; 5 c) (A másik száregyenes egyenlete: AC : 7 y 14, közös pont pedig D 1; 5.) AB m 4 7 Az ABC háromszög területe: c 14 A parabola két részre osztja a háromszöget. A kisebbik rész területének fele a szimmetria miatt: 1 4 1d 4 ( pont) 0 A háromszögnek parabolaív alá eső területe: 8 (területegység) A háromszögnek a parabolaív felé eső területe: 8 14 4 (te)
10) Adott f és g függvény. f : D f \ k ; k tg ctg sin a) Igazolja, hogy az így definiált f függvény konstans! ( pont) g : D 7;7 6 g b) Számítsa ki g függvény zérushelyeit! ( pont) c) Adja meg g függvény értékkészletét! (6 pont) a) Az értelmezési tartományon minden esetén sin cos f tg ctg sin sin cos sin sin cos sin cos sin cos 6 6 b) g 7 0, ha 6 6 7 0 ezért a g függvénynek három zérushelye van: -6;0;6 g kifejezést átalakíthatjuk: c) A ( pont) 6 9 0 7 g, ha ( pont) 6 9 7 0 innen következik, hogy g g 9 a legkisebb függvényérték a legnagyobb függvényérték g7 g7 7 A g (folytonos) függvény értékkészlete: Rg 9;7 ( pont) 11) Legyen Összesen: 1 pont 4 f a, ahol a pozitív valós szám és. a a a a) Igazolja, hogy a f d a a! (6 pont) 0 b) Mely pozitív a számokra teljesül, hogy f c) Az mely pozitív valós értéke lesz a lokális (helyi) minimuma? a d 0? (4 pont) 0 g függvények (6 pont)
a) Az f függvény integrálható. a 4 a 4 a d a a a a a a a 0 0 (4 pont) 4 a a a a a a a a a b) Megoldandó (az a feltétel mellett) a a a 0 egyenlőtlenség a 1 a 1 0 0 Mivel a 0, így az első két tényező pozitív, ezért 1a 0 Az a lehetséges értékeinek figyelembe vételével: 0a 1 g függvény differenciálható. c) A nyílt intervallumon értelmezett g 1 A lehetséges szélsőértékhely keresése: 1 0 1 A lehetséges szélsőértékhely: (benne van az értelmezési tartományban) g 6 1 6 g 0 Tehát az 1 lokális minimumhely.
1) Az y egyenletű parabola az y 8 egyenletű körlapot két részre vágja. Mekkora a konve rész területe? Számolása során ne használja a közelítő értékét! (16 pont) Az y 8 egyenletű kör középpontja és a parabola tengelypontja is az origó (O) ( pont) A metszéspontok meghatározása: y y 8 y y 8 0 ( pont) y1 y 4 amelyek közül az y a feladatnak megfelelő A CD húr a körlapból egy olyan körszeletet vág le, amelynek a középponti szöge 90, mert az OD és OC is egy-egy négyzet átlója 1 Tkörszelet r sin így a területe: ( pont) 1 8 sin 4 A parabolából a CD húr által levágott parabolaszelet területe: Tparabolaszelet TABCD d 4 1 (5 pont) 4 4 16 8 8 6 A konve rész területe: 16 T T körszelet T parabolaszelet 4 4
1) Egy kozmetikumokat gyártó vállalkozás nagy tételben gyárt egyfajta krémet. A termelés havi mennyisége ( mennyisége) 100 és 700 kg közé esik, amelyet egy megállapodás alapján a gyártás hónapjában el is adnak egy nagykereskedőnek. A megállapodás azt is tartalmazza, hogy egy kilogramm krém eladási ára: 6 0, 0 euró. a) Számítsa ki, hogy hány kilogramm krém eladása esetén lesz az eladásból származó havi bevétel a legnagyobb! Mekkora a legnagyobb havi bevétel? (6 pont) b) Adja meg a krémgyártással elérhető legnagyobb havi nyereséget! Hány kilogramm krém értékesítése esetén valósul ez meg? ( nyereség bevétel kiadás ) (10 pont) a) Az eladásból származó havi bevétel: 6 0,0 Az 0,0 6 euró, maimummal rendelkező másodfokú függvény A függvény zérushelyei 0 és 100 ezért a függvény maimumhelye 600 Ez az érték a feltételek szerinti intervallumba tartozik A legnagyobb bevételt tehát 600 kg termék értékesítése esetén érik el, a legnagyobb bevétel 10 800 euró b) A havi nyereség a havi bevétel és a havi kiadás különbségével egyenlő. A havi 0,0 6 0,0001 0,1 1000 100 700 nyereséget az függvény adja meg A nyereséget leíró függvény: 0,0001 0,0 66,1 1000 100 700 Ez a függvény deriválható, és deriváltja az 0,000 0,06 66,1 100 700 függvény A egy negatív 1 580 és egy pozitív 80 valós gyöke van A deriváltfüggvény a 100;80 intervallumon pozitív az 80;700 intervallumon negatív tehát a nyereségfüggvény 80-ig szigorúan nő, majd szigorúan csökken A vizsgált függvénynek tehát egy abszolút maimumhelye van és az a 80 0,000 0,06 66,1 0 egyenletnek 00 0400 0 A legnagyobb függvényérték 06,4 A legnagyobb havi nyereség tehát 80 kg termék eladása esetén keletkezik, értéke 06,4 euró
14) A nyomda egy plakátot 14 400 példányban állít elő. A költségeket csak a nyomtatáshoz felhasznált nyomólemezek (klisék) darabszámának változtatásával tudják befolyásolni. Egy nyomólemez 500 Ft-ba kerül, és a nyomólemezek mindegyikével óránként 100 plakát készül. A nyomólemezek árán felül, a lemezek számától függetlenül, minden nyomtatásra fordított munkaóra további 40000 Ft költséget jelent a nyomdának. A ráfordított idő és az erre az időre jutó költség egyenesen arányos. a) Mennyi a nyomólemezek árának és a nyomtatásra fordított munkaórák miatt fellépő költségek összege, ha a 14 400 plakát kinyomtatásához 16 nyomólemezt használnak? (4 pont) b) A 14 400 plakát kinyomtatását a nyomda a legkisebb költséggel akarja megoldani. Hány nyomólemezt kell ekkor használnia? Mennyi ebben az esetben a nyomólemezekre és a ráfordított munkaidőre jutó költségek összege? a) 16 nyomólemez óránként 1600 plakát elkészítését tesz lehetővé ezért a teljes mennyiséghez 14400 9 óra szükséges 1600 A nyomólemezek előállítási költsége és a munkaidő további költségének összege: 16 500 9 40000 400000 Ft ( pont) b) Ha a nyomda darab nyomólemezt használ, akkor ennek a költsége 500 Az darab lemezzel óránként 100 darab plakát készül el, ezért a 14400 14400 144 darab kinyomtatásához órát vesz igénybe 100 6 5,76 10 és ez további forint, 6 5,76 10 A két költség összege K 500, ahol pozitív egész Tekintsük a pozitív valós számok halmazán a K utasítása szerint értelmezett függvényt Az így megadott K függvény minimumár keressük. A K függvény deriválható 6 5,76 10 és minden 0 esetén K 500. A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy K 0 6 5,76 10 500 0, innen 04 48, mert 0 Annak igazolása, hogy az 48 (abszolút) minimumhely: 7 1,15 10 K Azaz 48 nyomólemez alkalmazása esetén lesz minimális a költség
15) 48 darab nyomólemez alkalmazása esetén a nyomólemezekre és a ráfordított K 48 40000 Ft munkaidőre jutó költségek összege: a) Két szabályos dobókockát egyszerre feldobunk. Számítsa ki a következő két esemény valószínűségét: A: a dobott számok összege prím B: a dobott számok összege osztható -mal (6 pont) b) Az 1,,,4,5,6 számjegyekből véletlenszerűen kiválasztunk három különbözőt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott számjegyek mindegyikének egyszeri felhasználásával 4-gyel osztható háromjegyű számot tudunk képezni? (5 pont) c) Az ABCD négyzet csúcsai: A 0;0, B ;0, C ;, D 0;. Véletlenszerűen kiválasztjuk a négyzet egy belső pontját. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a kiválasztott pont a koordinátatengelyek és az f : 0;, f cos függvény grafikonja által határolt tartomány egyik pontja? (5 pont) a) A dobott számok összege a következő esetekben lesz prím: 11, 1, 1 4,, 1 6, 5, 4, 5 6. Az 11 eset kivételével mindegyik összeg kétféleképpen valósulhat meg, így az A eseményt 15 elemi esemény valósítja meg 15 Az összes elemi esemény 66 6, ezért P A 6 A dobott számok összege a következő esetekben lesz -mal osztható: 1, 1 5, 4,, 6, 4 5, 6 6. A és a 6 6 esetek egyféleképpen, a többi kétféleképpen valósulhat meg, így P B 1 6 b) A hat számjegyből hármat 6 0 különböző módon tudunk kiválasztani A 4-gyel oszthatóság szabálya alapján kedvező esetet kapunk, ha a kiválasztott három számjegy között van kettő, amelyekből 4-gyel osztható kétjegyű szám képezhető Ezek között négy olyan hármas van, amely nem tartalmaz két megfelelő számjegyet: (1,, 5); (1,, 4); (1, 4, 5); (, 4, 5). ( pont) 0 4 16 Így a keresett valószínűség P 0 0 4 5
c) A négyzet és az f függvény grafikonjának felvétele közelítő pontossággal A négyzet területe 4 A koordinátatengelyek és az f függvény grafikonja által határolt tartomány területe: cos d 0 sin 0 sin sin 0 1 A valószínűség kiszámításának geometriai modelljét alkalmazva, a keresett 1 4 valószínűség: P 0,405 4 16) Legyen p valós paraméter. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett f függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya f p p 6. a) Számítsa ki a f d határozott integrált, ha p (4 pont) 0 b) Határozza meg p értékét úgy, hogy az 1 zérushelye legyen az f függvénynek! ( pont) c) Határozza meg p értékét úgy, hogy az f függvény deriváltja az 1 helyen pozitív legyen! (7 pont) a) Ha p, akkor f 9 6 4 9 6 d 0,75 4,5 6 ( pont) 0 0 6 p p 6 0 b) Rendezve: p p1 0 Ennek a megoldásából adódik, hogy p vagy p 4 esetén lesz a megadott függvénynek zérushelye az 1.
c) Deriváltfüggvény: 9 ( pont) f p p 1-hez tartozó helyettesítési érték: p p p p 15 p15 0 egyenlőtlenség megoldható p15 0 egyenlet megoldásai és -5 mivel p p15 0 bal oldalának főegyütthatója pozitív ezért az egyenlőtlenség teljesül, ha p 5 vagy p Összesen: 14 pont 17) a) Ábrázolja derékszögű koordinátarendszerben az f : 0; 7, f 6 5 függvényt! (4 pont) b) Adja meg az f függvény értékkészletét! ( pont) c) A p valós paraméter értékétől függően hány megoldása van az 6 5 p 0;7 intervallumon? (8 pont) egyenletnek a a) f 6 5 4 b) f értékkészlete: ( pont) 0;1 ( pont) c) A lehetséges megoldások a grafikonról leolvashatók Ha p 0, akkor nincs megoldás Ha p 0, akkor megoldás van Ha 0 p 4, akkor 4 megoldás van Ha p 4, akkor megoldás van Ha 4 p 5, akkor megoldás van Ha 5 p 1, akkor 1 megoldás van Ha 1 p, akkor nincs megoldás Összesen: 14 pont
18) Egy üzemben olyan forgáshenger alakú konzervdoboz gyártását szeretnék elkezdeni, amelynek térfogata 1000 cm. A doboz aljának és tetejének anyagköltsége 0, cm Ft, míg oldalának anyagköltsége 0,1 cm Ft. a) Mekkorák legyenek a konzervdoboz méretei (az alapkör sugara és a doboz magassága), ha a doboz anyagköltségét minimalizálni akarják? Válaszát cm-ben, egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! Számítsa ki a minimális anyagköltséget is egész forintra kerekítve! (1 pont) A megtöltött konzervdobozokat tizenkettesével csomagolták kartondobozokba. Egy ellenőrzés alkalmával 10 ilyen kartondoboz tartalmát megvizsgálták. Minden kartondoboz esetén feljegyezték, hogy a benne található 1 konzerv között hány olyat találtak, amelyben a töltősúly nem érte el az előírt minimális értéket. Az ellenőrök a 10 kartondobozban rendre 0, 1, 0, 0,, 0, 0, 1,, 0 ilyen konzervet találtak, s ezeket a konzerveket selejtesnek minősítették. b) Határozza meg a kartondobozonkénti selejtes konzervek számának átlagát, és az átlagtól mért átlagos abszolút eltérését! ( pont) a) Ha r a doboz alapkörének sugara m pedig a doboz magassága cm-ben mérve, V 1000 akkor V r m ahonnan m r r Az alap- és a fedőlap együttes anyagköltsége r függvényében V 00 A palást anyagköltsége 0,1 r r r A teljes anyagköltség r 0 esetében 00 0,4r f r 0, r ( pont) r Az f függvénynek a pozitív számok halmazán ott lehet minimuma, ahol deriváltja 0. ' 00 f r 0,8r ( pont) r ' f r r 00 f '' r 0 ha 4, 0,8 400 0,8 0 ezért itt valóban minimális f értéke r Minimális anyagköltséghez tartozó magasság 1000 m 17, cm r Tehát a minimális anyagköltség forintra kerekítve 70 Ft ( pont)
b) Az adatok átlaga 0,7 A minta átlagtól mért átlagos abszolút eltérése 6 0,7 0, 1,, 10 0,84 ( pont) 19) Egy teherszállító taikat üzemeltető társaság egyik, elsősorban városi forgalomban alkalmazott kocsijának teljes működtetési költsége két részből tevődik össze: az üzemeltetési költség km átlagsebesség esetén 400 0,8 Ft h kilométerenként; a gépkocsivezető alkalmazása 00 Ft óránként. a) Mekkora átlagsebesség esetén minimális a kocsi kilométerenkénti működtetési költsége? Válaszát km -ban, egészre kerekítve adja h meg! (8 pont) b) A társaság emblémájának alaprajzát az f és f függvények grafikonjai által közrezárt síkidommal modellezhetjük, ahol f : 0; 6 ha 0; 4, f 1 6 ha 4; 6 Számítsa ki az embléma modelljének területét! (8 pont) a) A tehertai működtetésének kilométerenkénti teljes költsége az üzemeltetésből származó 400 0,8 (Ft) költségből, és a vezető 00 (Ft) km munkadíjából tevődik össze átlagsebesség esetén. h A teljes költséget 1 kilométerre forintban az f : 00, f 400 0,8 függvény adja meg. Az f-nek csak ott lehet szélsőértéke, ahol az első deriváltja 0. 00 f 0,8 f pontosan akkor teljesül, ha 0,8 00. 0 Ebből 750 5,44. 4400 Mivel f" 0 0, tehát a függvény második deriváltja mindenhol, így 5,44-ben is pozitív, ezért f-nek itt valóban minimuma van. Tehát (egészre kerekítve) 5 km/h átlagsebességgel esetén minimális a kocsi kilométerenkénti működtetési költsége.
b) Jó ábra. A kérdéses terület: 4 6 1 6 T d d 0 4 ( pont) A zárójelben szereplő első tag primitív függvénye:, a második tagé pedig: 18 6 Alkalmazva a Newton-Leibniz tételt: 4 6 T 18 0 6 4 16 104 16 4 40 0 6, tehát az embléma modelljének területe 40 területegység. ( pont) 0) Az ABCDEF szabályos hatszögben a rövidebb átló hossza 5. a) Számolja ki a hatszög területének pontos értékét! (6 pont) b) Az ABCDEF hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét jelölje t 1, a t 1 területű hatszög oldalfelező pontjai által meghatározott szabályos hatszög területét t, és így tovább, képezve ezzel a n t sorozatot. Számítsa ki a t t t határértékét! (Pontos értékkel számoljon!) lim 1... n n (10 pont) a) Ha a hatszög oldalának hossza a, a rövidebb átló az a oldalú szabályos háromszög magasságának kétszerese, így a 5, 5 5 6 ahonnan a. A szabályos hatszög területe 6 darab a oldalú szabályos háromszög területének összege, a így T 6 5 4 ( pont)
b) A t 1 területű szabályos hatszög oldala az ABC háromszög AC oldalához (mely az eredeti hatszög rövidebb átlója) tartozó középvonala, 5 hossza a1, a1 75 t1 6 4 4 A következő szabályos hatszög t területét megkaphatjuk például úgy, hogy a t 1 területű hatszög szomszédos oldalfelező pontjait összekötő szakaszok által a hatszögből levágott háromszögek területének összegét levonjuk t 1 -ből. 1) t 1 a1 sin10 t 75 5 6. 16 16 ( pont) t sorozat mértani sorozat, A n t amelynek hányadosa q. t1 4 A kérdéses határérték annak a mértani sornak az összege, amelynek első 75 tagja t 1, hányadosa pedig q. 4 4 t1 Így lim t1 t... tn n 1 q 75. a) Deriváltfüggvényének segítségével elemezze az f : ; ; f 1,5 6 függvényt a következő szempontok szerint: növekedés és fogyás, lokális szélsőértékek helye és értéke! (10 pont) g : ; függvényt, amelyre igaz, hogy g f b) Adja meg azt a (tehát az f függvény a g deriváltfüggvénye) és ezen kívül teljesül! g 0 is (4 pont)
a) Az f deriváltfüggvénye: f : ; ) f 6. ( f zérushelyei: -1 és. Az f másodfokú függvény főegyütthatója pozitív, ezért f értékei 1 esetén pozitívak, 1 esetén negatívak, esetén pozitívak. Az f függvény menete ezek alapján: a ; 1 intervallumon (szigorúan monoton) növekvő; az 1 helyen (lokális) maimuma van, amelynek értéke,5; a 1 ; intervallumon (szigorúan monoton) csökkenő; az helyen (lokális) minimuma van, amelynek értéke 10 ; a ; intervallumon (szigorúan monoton) növekvő. 1 1 1 f f 0 f 0 f 0 f 0 f 0 f maimum f 1,5 minimum f 10 b) Mivel g az f-nek egyik primitív függvénye: 4 g c c. 4 Mivel g 4 4 1 c 0, ezért c 1, 4 és így g 1 4 Összesen: 14 pont
) Kovács úr a tetőterébe egy téglatest alakú beépített szekrényt készíttet. Két vázlatot rajzolt a terveiről az asztalosnak, és ezeken feltüntette a tetőtér megfelelő adatait is. Az első vázlat térhatású, a második pedig elölnézetben ábrázolja a szekrényt. A tetőtér adottságai miatt a szekrény mélységének pontosan 60 cm-nek kell lennie. a) Mekkora legyen a szekrény vízszintes és függőleges mérete (azaz a szélessége és a magassága), ha a lehető legnagyobb térfogatú szekrényt szeretné elkészíttetni? (A magasság, a szélesség és a mélység a szekrény külső méretei, Kovács úr ezekkel számítja ki a térfogatot.) (8 pont) A szekrény elkészült. Az akasztós részébe Kovács úr vasárnap este 7 inget tesz be, a hét minden napjára egyet-egyet. Az ingek között van fehér, világoskék és sárga. Reggelente nagyon siet, ezért Kovács úr csak benyúl a szekrénybe, és anélkül, hogy odanézne, véletlenszerűen kivesz egy inget. b) Mennyi a valószínűsége annak, hogy a hét első három napján vagy három különböző színű vagy három egyforma színű inget választ? (Ha valamelyik nap viselt egy inget, azt utána már nem teszi vissza a szekrénybe.) (8 pont) a) Ha a szekrény magassága méter, akkor szélessége az ábrán látható egyenlő szárú háromszögek miatt 4. ( pont) A térfogata pedig: 0,6 4 V, amennyiben 0. Az 0,6 4 másodfokú függvénynek két zérushelye van, a 0 és a. Így a negatív főegyüttható miatt ennek a függvénynek a maimuma a két zérushelye számtani közepénél, az helyen lesz. ( pont) Mivel a eleme a feladat értelmezési tartományának, ezért a legnagyobb térfogatú szekrény magassága körülbelül 1,41 méter, szélessége pedig körülbelül,8 méter lesz. ( pont)
b) Az azonos színű ingeket megkülönböztetve az első három napon 7 65 10 különböző lehetőség van a három ing kiválasztására. Kedvező esemény az, ha valamilyen sorrendben mindegyik színből pontosan egyet vagy három sárga inget választott Kovács úr. Egy adott színsorrendben 1 különböző módon lehet három inget kiválasztani. Három adott szín sorrendje!-féle lehet, tehát három különböző színű inget! 7 különböző módon választhat ki Kovács úr. ( pont) A három sárga inget! különböző sorrendben választhatja ki. A kedvező esetek száma:!! 78. A kérdezett valószínűség tehát: 78 1 10 5 0,71. ) Adott síkbeli derékszögű koordináta-rendszerben az y egyenletű görbe. 0;, akkor y 0. (4 pont) a) Igazolja, hogy ha b) Írja fel a görbe abszcisszájú pontjában húzható érintőjének egyenletét! (abszcissza: első koordináta) (5 pont) c) Számítsa ki annak a síkidomnak a területét, amelyet a görbe első síknegyedbe eső íve és az tengely fog közre! (5 pont) a) Az tényező pozitív, mert 0. A tényező is pozitív, mert, 0;. Így a két tényező szorzata is pozitív, ha b) (A megadott görbe az f, függvény grafikonja.) Ekkor f 6, f 9, f 0. Az érintő meredeksége tehát 9 (és átmegy a ;0 ponton). Az érintő egyenlete: y 9 7.
c) Az y egyenletű görbének az 0 helyen van közös pontja az tengellyel. (Tudjuk, hogy ha 0; 0, akkor y 0, ezért) a kérdezett terület T f d. 4 d 4 ( pont) 0 0 81 7 0 0 4 6,75. Összesen: 14 pont 4) Egy üzemben egyforma, nagyméretű fémdobozok gyártását tervezik. A téglatest alakú doboz hálózatát egy méter 1 méteres téglalapból vágják ki az ábrán látható módon. A kivágott idom felhajtott lapjait az élek mentén összeforrasztják. (A forrasztási eljárás nem jár anyagveszteséggel.) a) Hogyan válasszák meg a doboz méreteit, hogy a térfogata maimális legyen? Válaszát centiméterben, egészre kerekítve adja meg!(11 pont) A dobozokat egy öt karakterből álló kóddal jelölik meg. Minden kódban két számjegy és három nagybetű szerepel úgy, hogy a két számjegy nincs egymás mellett. Mindkét számjegy eleme a 0; 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9 halmaznak, a betűket pedig a 6 betűs (angol) ábécéből választják ki (például 7WAA egy lehetséges kód). b) Hány különböző kód lehetséges? (5 pont)
a) (Az ábra jelöléseit használva) a téglatest méretei méterben:, 1, 1, a téglatest térfogata m -ben: 1 1 (ahol 0 0,5 ). Keressük a V : 0; 0,5 1 1 V függvény maimumát. V 6 6 1. (A szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy) V 0. A másodfokú egyenlet (valós) megoldásai: 0,11 és 6 0,789. ( pont) 6 Ez utóbbi nem eleme a V értelmezési tartományának, ezért ez nem jöhet szóba. A V függvény a 0,11 helyen előjelet vált (pozitívból negatívba 6 megy át), ezért ez a V függvénynek az egyetlen szélsőértékhelye, mégpedig a maimumhelye. A maimális térfogatú doboz méretei (a kért kerekítéssel): 1,79 és 58 (cm). ( pont) 5 4 6 különböző módon lehet két számjegy helyét kijelölni. ( pont) b) Az ötkarakteres kódban A két helyre 10 10 100 különböző módon lehet két számjegyet választani úgy, hogy a sorrendjük is számít, a másik három helyre pedig 6 17576 különböző módon három nagybetűt. A különböző kódok száma tehát 6 100 17 576 10 545 600.
5) Adott az f és g függvény: f : ; f 1; g : ; g. a) Számítsa ki a f g függvény zérushelyeit! ( pont) b) Számítsa ki az f és g függvények grafikonja által közbezárt területet! c) Számítással igazolja, hogy a h : ; 0,5 ; h szigorúan monoton növekedő! a) (7 pont) g f függvény f g 1 4 4 0 A f g függvény zérushelyei és 4. 1 0 b) A kérdéses területet integrálással számítjuk ki. Az f g egyenlet megoldásai adják az integrálás határait. (6 pont) A 1 egyenlet megoldásai 1, illetve. Mivel a 1; zárt intervallumon f g (a metszéspontok első koordinátái által meghatározott intervallumon a g grafikonja egy felfelé nyíló parabolaív, amely felett van az f grafikonja), ezért a kérdéses terület 1 f g d. 1 f g d d d 1 1 1 c) A 5 9 10,67. ( pont) 1 h függvény a megadott intervallumon differenciálható. h 0,5,5 1 g 1 f 1 1 ( pont) A tört számlálója és nevezője is pozitív (a h értelmezési tartományán), így a tört értéke is pozitív. Tehát a függvény valóban szigorúan monoton növekvő.
6) Egy pénzintézet a tőle felvett H forint összegű hitel visszafizetésekor havi % p 0, ezért az adós havi p -os kamattal számol n q q 1 törlesztőrészletét a tn H képlettel számítja ki (minden n q 1 p hónapban ekkora összeget kell visszafizetni). A képletben q 1, az 100 n pedig azt jelenti, hogy összesen hány hónapig fizetjük a törlesztőrészletet (ez a hitel futamideje). a) Fogyasztási cikkek vásárlására 1,6 millió forint hitelt vettünk fel a pénzintézettől; a havi kamat %. Összesen hány forintot fizetünk vissza, ha 7 hónap alatt törlesztjük a felvett hitelt? Válaszát ezer forintra kerekítve adja meg! (4 pont) b) Legkevesebb hány hónapos futamidőre vehetünk fel egy millió forintos hitelt, ha legfeljebb 60 ezer forintot tudunk havonta törleszteni, és a havi kamat %-os? (8 pont) c) Számítsa ki a limt n határértékét, ha q 1, 0 és H 000000! n a) A havi törlesztés összege (Ft-ban): 7 6 1,0 0,0 7 7 (4 pont) t 1,6 10 41. ( pont) 1,0 1 A 7 hónap alatt összesen 7 t7 0856 forintot fizetünk vissza, ami ezer forintra kerekítve 0 000 Ft. b) Azt a legkisebb n pozitív egész számot keressük, amelyre n 6 1,0 0,0 10 60000. ( pont) n 1,0 1 Mivel 1,0 1 0 n n n, ezért 0,0 1,0 0,0 1,0 1. 1,0 n Az 1,0 alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekedő. ezért n log1,0. lg A logaritmus azonosságát használva: n 55,48 lg1,0 Tehát a törlesztőrészletek száma legalább 56 azaz legalább 56 hónapos futamidőt kell választanunk. n n 1,0 tn H q 1 q 40000 n n q 1 1,0 1 c) A megadott számokkal Egyszerűsítés után: 1 tn 40000 1 1 1,0 n
n 1 1 Mivel lim lim 0 n n 1,0 n 1,0, 1 ezért limtn 40000 40 000. n 1 0 7) Két sportiskola legjobb teniszezői egyéni teniszbajnokság keretében mérték össze tudásukat. A verseny emblémáját parabolaszelet alakúra tervezték (lásd az ábrát). A koordináta-rendszerben készült tervrajzon a teniszlabda röppályáját jelképező y 4 egyenletű parabola, valamint az tengely határolja a parabolaszeletet. Az emblémán látható még a teniszlabdát jelképező kör is, ennek egyenlete y,6y 0. a) Hány százaléka a kör területe a parabolaszelet területének? A választ egészre kerekítve adja meg! (8 pont) A Zöld Iskolából 8, a Piros Iskolából 10 tanuló versenyzett a bajnokságon. Mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszott, az ugyanabba az iskolába járó tanulók is játszottak egymással. A verseny végén kiderült, hogy a Piros Iskola tanulói összesen kétszer annyi mérőzést nyertek meg, mint a Zöld Iskola tanulói. (Teniszben döntetlen nincs.) b) A Zöld Iskola versenyzői összesen hány olyan mérkőzést nyertek meg, amelyet a Piros Iskola valamelyik teniszezőjével játszottak? (7 pont) a) Az y 4 egyenletű parabola a ( ; 0), illetve a (; 0) pontban metszi az abszcisszatengelyt (és az emblémát határoló parabolaív az tengely fölött van). A parabolaszelet területe: 4 4 d 8 8 8 8. A kör egyenletét átalakítva: y 1, 1,, ebből a kör sugara 1,, területe pedig 1,69 5,1 A kör és a parabolaszelet területének aránya: 1,69 : 0,4977 A kör területe (a kért kerekítéssel) a parabolaszelet területének 50%-a.
b) A lejátszott mérkőzések: 18 15. A Zöld Iskola 8 tanulójának egymás közötti mérkőzései mindig a 8 tanuló valamelyikének győzelmével végződtek. 8 ez 8 győzelmet jelent. Ha a Zöld Iskola tanulói mérkőzést nyertek a Piros Iskola tanulói ellen, akkor megnyert mérkőzéseik száma összesen + 8, a Piros Iskola tanulói által nyert mérkőzések száma pedig A szöveg szerint 15 8 15 8 15., amiből A Zöld Iskola tanulói mérkőzést nyertek a Piros Iskola tanulói ellen. 8) Adott az 4 f : ; f 8 70 75 függvény. Összesen: 15 pont a) Igazolja, hogy 15 ben abszolút minimuma, 0 -ban lokális maimuma, 9 -ben lokális minimuma van a függvénynek! (9 pont) b) Igazolja, hogy f konkáv a 9;5 intervallumon! (4 pont) c) A Newton-Leibniz-tétel segítségével határozza meg a f határozott integrál értékét! 5 0 d ( pont) a) (Az f egy nyílt intervallumon deriválható függvény, ezért) az f függvénynek ott lehet szélsőérték-helye, ahol az első deriváltfüggvényének zérushelye van. f ' 4 4 540 Mivel kiemelhető, ezért az egyik zérushelye a 0, további két zérushelyét a 4 4 540 0 egyenlet gyökei adják: 9 és 15. (1pont) A (harmadfokú) deriváltfüggvény 15-ben és 9-ben negatívból pozitívba megy át, ezért ezek lokális minimumhelyei, 0-ban pedig pozitívból negatívba megy át, ezért ez lokális maimumhelye a függvénynek. ( pont) Mivel f f 15 6850 9 90, továbbá a ; 15 intervallumon szigorúan monoton csökkenő, a 9; intervallumon pedig szigorúan monoton növekedő az f függvény, ezért a 15 valóban abszolút minimumhelye f-nek. ( pont)
b) f '' 1 48 540 Az f '' 0 egyenletnek két gyöke van: 9 és 5. Az f grafikonja egy felfelé nyíló parabola, ezért a két zérushely között az f '' negatív. Mivel az f '' függvény a 9;5 intervallumon negatív, ezért az f függvény itt konkáv. c) 0 0 5 5 5 4 f d 90 75 5 65 150 1150 175 0-8000 9) a) Egy számtani sorozat differenciája 1,6. A sorozat első, harmadik és hetedik tagját (az adott sorrendben) tekinthetjük egy mértani sorozat első három tagjának is. Határozza meg ezt a három számot! (6 pont) Tekintsük a következő állítást: Ha az {an} számsorozat konvergens, akkor az {an} sorozat értékkészlete véges számhalmaz. (Véges halmaz: elemeinek száma megadható egy természetes számmal.) b) Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! ( pont) c) Fogalmazza meg az állítás megfordítását, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! (4 pont) a) Ha a számtani sorozat első tagja a, akkor a. tagja a +,. A 7. tag a + 9,6. A mértani sorozat tulajdonsága miatt a, a a 9,6. a 6,4a 10,4 a 9,6a,a 10,4 a, A három szám:,; 6,4; 1,8. Ellenőrzés b) Az állítás hamis. Például az 1 számsorozat n (1pont) konvergens, az értékkészlete azonban végtelen szám-halmaz. c) Megfordítás: Ha az {an} számsorozat értékkészlete véges számhalmaz, akkor az {an} sorozat konvergens. A megfordított állítás hamis. Például a {( 1) n } sorozat értékkészlete véges 1;1, de a sorozat nem konvergens. Összesen 1 pont
0) Adott az f, a g és a h függvény: f :, f 1; g :, g ; h :, h 1. a) Legyen a k összetett függvény belső függvénye az f és külső k h f minden valós szám esetén). függvénye a h (vagyis Igazolja, hogy 1 k 11 4. ( pont) b) Oldja meg az f g < f halmazán! c) Mekkora a h és az 4 (korlátos) terület? a) g egyenlőtlenséget a valós számok (7 pont) függvények görbéi által közbezárt (6 pont) k 1 1 1 1 1 4 1 1 k 1 A zárójel felbontása után b) Megoldandó a 4 1 1 11 4 adódik, tehát igaz az állítás. 1 1 egyenlőtlenség a valós számok halmazán. ( pont) 4 0 Mivel minden valós szám esetén 0, ezért az egyenlőtlenség ekvivalens a egyenlőtlenséggel. A 4-es alapú eponenciális/logaritmus függvény szigorúan monoton nő, ezért 4 4 log 0, 75 1 log 0,075 c) A két görbe közös pontjainak első koordinátáját a megoldásai adják: 1 4 egyenlet -4 és 4 (Mivel a [ 4; 4] intervallumon a h függvény grafikonja az 4 függvény grafikonja fölött helyezkedik el, ezért) a kérdezett terület: 4 4 16 d (1pont)
4 16 4 64 64 18 18 64 64 56. Összesen 16 pont 1) A repülőgépek üzemanyag-fogyasztását számos tényező befolyásolja. Egy leegyszerűsített matematikai modell szerint (a vizsgálatba bevont repülőgépek esetében) az egy óra repülés alatt felhasznált üzemanyag 1 tömegét az f 1800 950000 összefüggés adja meg. Ebben 0 0, f az összefüggésben a repülési átlagsebesség km/h-ban pedig a felhasznált üzemanyag tömege kg-ban. a) A modell alapján hány km/h átlagsebesség esetén lesz minimális az egy óra repülés alatt felhasznált üzemanyag tömege? Mekkora ez a tömeg? (5 pont) Egy repülőgép Londonból New Yorkba repül. A repülési távolság 5580 km. b) Igazolja, hogy v km/h átlagsebesség esetén a repülőgép üzemanyagfelhasználása ezen a távolságon (a modell szerint) 79v 5000 65050000 kg lesz!v 0 ( pont) v A vizsgálatba bevont, Londontól New Yorkig közlekedő repülőgépek v átlagsebességé-re teljesül, hogy 800 km/h v 1100 km/h. c) A megadott tartományban melyik átlagsebesség esetén a legnagyobb, és melyik esetén a legkisebb az egy útra jutó üzemanyagfelhasználás? (5 pont) a) f 1 900 810000 950000 ( pont) 0 1 900 7000 0 (Mivel 900 0, és egyenlőség pontosan akkor van, ha 900, ezért) az óránkénti üzemanyag-fogyasztás 900 km/h átlagsebesség esetén minimális,
és ez a minimum 7000 kg óránként. b) A repülési idő órában: 5580 t v Az út során elfogyasztott üzemanyag kg-ban: 5580 1 t f v v 1800v 950000 v 0 65050000 79v 5000. v c) A pozitív valós számok halmazán értelmezett 65050000 g v 79v 5000 függvénynek ott lehet szélsőértéke, ahol v a deriváltja 0. 65050000 g' v 79 v g' v 0, ha v 100 95 974, 68 mert v 0 A deriváltfüggvény értékei v 100 95 esetén negatívak, v 100 95 esetén pedig pozitívak. Ezért a 100 95 a g függvénynek abszolút minimumhelye. (1pont) (A deriváltfüggvény előjele alapján tehát) a g függvény a 800;100 95 zárt intervallumon szigorúan csökkenő, a 100 95;1100 zárt intervallumon pedig szigorúan növekvő, ezért a g függvény [800; 1100] intervallumra való leszűkítése a maimumát vagy 800-nál vagy 1100-nál veszi fel. g 800 5 1,5 g 1100 45 654,5 Tehát a modell szerint 800 km/h átlagsebesség esetén a legnagyobb, (1pont) és 100 95 975 km/h átlagsebesség esetén a legkisebb az egy útra jutó üzemanyag-felhasználás.