2017
számtáblázatok" : számok rendezett halmaza, melyben a számok helye két paraméterrel van meghatározva. Például lineáris egyenletrendszer együtthatómátrixa 2 x 1 + 4 x 2 = 8 1 x 1 + 3 x 2 = 1 ( 2 4 1 3 ) a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n.... a m1 a m2... a mn fenti ( ) a11 a 12 a 21 a 22 azaz a 11 = 2, a 12 = 4, a 21 = 1, a 22 = 3
Az m sorból és n oszlopból álló mátrixok halmazát R m n -vel jelöljük. Az A R m n mátrix i-dik sorában és j-dik oszlopában lévő számot {A} ij -vel jelöljük. Műveletek: 1 összeadás: a 11... a 1n b 11... b 1n.. +.. a m1... a mn b m1... b mn 2 számmal való szorzás: a 11... a 1n λ.. a m1... a mn = = a 11 + b 11... a 1n + b 1n.. a m1 + b m1 λa 11... λa 1n.. λa m1... λa mn... a mn + b mn
Tehát {A + B} ij = {A} ij + {B} ij és {λa} ij = λ{a} ij Az A R m n mátrix transzponáltja az az A T R n m mátrix, amelyre {A T } ij = {A} ji. a 11 a 12... a 1n...... a m1 a m2... a mn T a 11... a m1 a 12... a m2 =.. a 1n... a nm
mátrixszorzás Az A R k m és B R m n mátrixok szorzatmátrixa az az A B R k n -beli mátrix, amelyre m m {A B} ij = a ik b kj = {A} ik {B} kj Példa: ( 1 2 3 A = 4 5 6 2 0 1 5 3 1 k=1 ), B = 2 0 1 5 3 1 k=1, B A = 2 4 6 21 27 33 1 1 3 1 2 3 4 5 6 2 1 + 0 4 2 2 + 0 5 2 3 + 0 6 1 1 + 5 4 1 2 + 5 5 1 3 + 5 6 3 1 + ( 1) 4 3 2 + ( 1) 5 3 3 + ( 1) 6
Feladat: Hogyan hat az alábbi mátrixokkal való szorzás? 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 3 1 0 0 0 1 0 λ 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Tehát pl 0 1 0 a 11 a 12 a 13 1 0 0 a 21 a 22 a 23 =? 0 0 1 a 31 a 32 a 33
Az olyan R m n -beli mátrixot, amelynek minden eleme 0 nullmátrixnak nevezzük. Megjegyzés 0... 0..... 0... 0 Természetesen a nullmátrix bármely azonos méretű A mátrixxal összeadva az A mátrixot adja. Továbbá megfelelő méretű mátrixxal szorozva az eredmény nullmátrix lesz.
Tetszőleges n N szám mellett az R n n halmaz elemeit négyzetes mátrixoknak nevezzük. Azt az E n R n n négyzetes mátrixot, amelyre minden A R n n esetén E n A = A egységmátrixnak nevezzük. Ekkor A E n = A E 2 := ( ) 1 0 0 1 1 0 0 E 3 := 0 1 0 E n := 0 0 1 1 0... 0 0 1..... 0 0... 0 1
inverzmátrix Az olyan A 1 R n n mátrixot, amelyre A 1 A = E n az A mátrix inverzmátrixának nevezzük. Ekkor A A 1 = E n. Megjegyzés Tehát az inverz formailag a reciproknak felel meg a számok világában, ahol a nullán kívül minden számnak van reciproka. A mátrixok világában ez nem teljesül, azaz vannak olyan nemnulla mátrixok, amelyeknek nincs inverzük. Megjegyzés Ez előbbi tény szorosan összefügg azzal, hogy két mátrix szorzata lehet nullmátrix úgy is, hogy a mátrixok nem nullmátrixok. Példa: ( 1 2 2 4 ) ( 2 4 1 2 Ezen mátrixoknak nincsen inverzük. ) = ( 0 0 0 0 )
inverzmátrix Inverzmátrix kiszámítása Gauss-Jordan eliminációval: minden elemi átalakítás kifejezhető egy bizonyos S i mátrixxal való szorzással Átalakítjuk a mátrixot egységmátrixá A E n és ugyanezeket az átalakításokat elvégezzük az E n -n is, ekkor E n A 1. Mert, ha S 1 S2... Sk A = En, akkor S 1 S2... Sk = A 1
R n R m leképezések, mint R n R m leképezések Tekinthetők az R n elemei n 1 -es mátrixoknak, így értelmes például az a b ( ) A x = c d x1 x e f 2 kifejezés és elvégezve a műveletet egy R 3 -beli A x = ax 1 + bx 2 cx 1 + dx 2 ex 1 + fx 2 vektort kapunk. Tehát A : R 2 R 3. ( ) λ 0 Például R 2 -ben: λ-szorosra való nyújtás: ; elforgatás balra 90 0 λ ( ) ( ) 0 1 cos α sin α fokkal: ; elforgatás α szöggel 1 0 sin α cos α
determináns det ( ) a b = c d a b c d = a d c b a 11 a 12... a 1n a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n a 21 a 22... a 2n a 22... a 2n = = a...... 11.. a n1 a n2... a nn a n1 a n2... a nn a n2... a nn a 12 a 21... a 2n.. =... a n1... a nn
determináns Tétel Egy A négyzetes mátrix determinánsa pontosan akkor nem nulla, amikor a mátrixnak létezik inverze. Tétel Egy Ax = b alakú lineáris egyenletrendszernek pontosan akkor van egyetlen megoldása, amikor det(a) 0. Tétel Cramer-szabály az Ax = b vektoralakú lineáris egyenletrendszerre a 11... a 1,i 1 b 1i a 1,i+1... a 1n a 21... a 2,i 1 b 2i a 2,i+1... a 2n..... a n1... a n,i 1 b ni a n,i+1... a nn x i = A
sajátérték, sajátvektor Azt mondjuk, hogy az A mátrix sajátértéke a λ valós szám, ha létezik olyan x vektor, amellyel A x = λx. Az ilyen x vektort a mátrix λ-hoz tartozó sajátvektorának nevezzük. sajátértékek meghatározása det(a λe) = 0 alapján. Egy n n-es mátrix esetén det(a λe) egy n-ed fokú polinomja λ-nak, amit az A mátrix karakterisztikus polinomjának nevezünk. sajátvektorok meghatározása (A λe) x = 0 alapján történik, amely minden esetben egy túlhatározott egyenletrendszer, azaz végtelen sok megoldása van, a sajátvektorok paraméteresen megadhatók.