A ALAPFOGALMAK ÉS ALAPTÖVÉNYEK Elektromos töltés, elektromos tér A kémiai módszerekkel tová nem ontható anyag atomokól épül fel. Az atom atommagól és az atommagot körülvevő elektronhéjakól áll. Az atommagot protonok és neutronok, az elektronhéjat pedig a mag körül keringő elektronok alkotják. A külső héjon levő elektronok a valencia vagy vegyérték elektronok, amelyeknek fontos szerepük van az atomok egymáshoz való kapcsolódásáan. Az elektron és a proton elektromos töltéssel rendelkező részecske. Az elektromos töltésű részecskék erőhatást gyakorolnak egymásra. Ez a protonnál és az elektronnál a tömegük különözősége ellenére egyenlő nagyságú, míg neutronnál nincs ilyen erőhatás. Elektromos töltések egymásra ható ereje lehet vonzó vagy taszító. Ennek megfelelően két különnemű töltést különöztetünk meg: pozitív és negatív töltést. Azonos nemű töltések taszítják, különneműek vonzzák egymást. Megállapodás szerint a protonok töltése pozitív, az elektronoké negatív. Az elektromos töltést rendszerint Q etűvel jelöljük. A töltés egysége [ Q] =coulom=c=as (amper szekundum). A protonnak és az elektronnak, mint legkise töltésnek az aszolút értéke Q=,6. 0-9 C. Az atom semleges állapotan annyi elektront tartalmaz, ahány protont. Ha az elektronok száma tö vagy kevese a protonokénál, az atomot ionnak hívjuk. Az ion elektromosan nem semleges: elektronhiány esetén pozitív, elektrontölet esetén negatív töltésű. Az elektromos töltés tehát az elemi részecskék egyik jellemzője. Az anyagmegmaradás elve az elektromos töltés megmaradását is jelenti. Az elektromos töltések egymásra gyakorolt erőhatásán keresztül a töltés mérhető. Az elektromos jelenségekre vonatkozó legrégeen ismert összefüggés a Coulom-törvény mérések sorozatának általánosítása. E törvény szerint homogén izotróp közegen elhelyezkedő, nyugaloman levő két pontszerű Q, Q töltés által egymásra gyakorolt erő arányos mind a két töltéssel, fordítottan arányos a r távolságuk négyzetével és függ a teret kitöltő közegtől: Q Q F = 4 π ε r. Az erő iránya a két töltést összekötő egyenese esik. Az ε anyagjellemző neve permittivitás vagy (aszolút) dielektromos állandó. Az ε értékét valamely anyagra úgy adjuk meg, mint a vákuum ε 0 permittivitásának és az illető anyagnak a vákuumhoz viszonyított ε r relatív permittivitásának szorzatát: ε=ε 0. ε r, ahol ε 0 =0-9 /(4. π. 9) As/Vm, ε r pedig dimenzió nélküli szám. Az ismert anyagoknál ε r >, levegőnél ε r. Két pontszerű töltés egymásra gyakorolt erőhatását úgy is értelmezzük, hogy az egyik töltés maga körül E elektromos teret hoz létre és een a téren a másik töltésre erő hat. Ez az erő arányos a téren levő Q töltés nagyságával: F=Q. E Az E arányossági tényező jellemzi az elektromos teret, neve: elektromos térerősség. Az E vektoriális mennyiség. Ha a Q töltés pozitív, akkor a töltésre ható erő iránya megegyezik az E irányával. Az elektromos térerősség egysége [ E ] = N V =. As m
A Az elektromos áram Az elektromos töltések mozgása az elektromos áram. A kiszemelt A felületen áthaladó töltések i árama dq i =. dt Ha az A felület i árama idően állandó, akkor egyenáramnak nevezik és -vel jelölik. Ekkor Q =. t Vezetők, szigetelők és félvezetők Az elektromos téren való viselkedés szempontjáól az anyagok három csoporta oszthatók: vezetőkre, szigetelőkre és félvezetőkre. Vezető anyagok a fémek. Ezeken az atommaghoz szorosan kötődő törzselektronok és lazán kapcsolódó vegyérték- (valencia-) elektronok találhatók. A vegyértékelektronok az atomról termikus energiájuk hatására is leszakadhatnak. Így a vezetőken sok ún. szaad töltéshordozó van (cm 3 -enként ~0 ), amelyek elektromos tér hatására mozgása jönnek. deális vezetően a töltések mozgatása munkavégzést nem követel. Az anyagok másik csoportja a szigetelők, más néven dielektrikumok. Ezeken gyakorlatilag nincs szaad töltéshordozó. deális szigetelőken a töltések az elektromos tér hatására nem mozdulnak el. deális vezető és ideális szigetelő nincs. A valóságos fémeken a töltések mozgatása munkavégzést igényel és a valóságos szigetelőken a térerősség hatására a töltések elmozdulnak. Sok anyag azonan számos jelenségnél az ideális vezetőt, ill. szigetelőt jól közelíti. Félvezetőken közepes nagyságú a vezetésen résztvevő szaad töltések száma (~0 7 /cm 3 ). Félvezetőkől kialakított eszközöken az elektromos tér hatására különöző vezetési mechanizmusok alakulnak ki, amelyek sokszor kívülről adott energiával vezérelhetők (megindíthatók, ill. megszüntethetők). A vezetőket, félvezetőket és szigetelőket a fajlagos ellenállásuk alapján is megkülönöztethetjük. Így vezetőknél ρ=0-8 0-7 Ωm, félvezetőknél ρ=0-5 0 Ωm, szigetelőknél ρ=0 3 0 6 Ωm. Elektromos feszültség Elektromos teret létesíthet olyan erendezés, ún. generátor, amelyen valamilyen energia hatására (mechanikai, hő-, vegyi, fény ) a pozitív és a negatív töltések szétválnak és a generátor egyik sarkán, (kivezetésén, pólusán) pozitív, a másikon negatív töltésű részecskék vannak töségen. Ezek a töltések a pólusok között elektromos teret létesítenek. Fémes kötésű atomokól álló anyagan vezetően a valencia elektronok elektromos téren a térerősség irányával ellentétes irányan elmozdulnak. A generátor pólusait ilyen vezető két pontjával összekötve az tapasztalható, hogy a vezetően áram folyik. A generátor negatív töltésű pólusáól elektronok lépnek a vezetőe, a vezetőől pedig a pozitív töltésű póluson keresztül a generátora. A vezetően kialakuló i áram a generátoron át záródik, mert a generátor töltésszétválasztása folyamatos lesz. A töltések mozgatása munkavégzéssel jár. A Q töltésnek a vezető két pontja közötti mozgatásánál végzett munka arányos a töltéssel: W=Q. u,
A3 W ahol u a vezető két pontja közötti feszültség. Eől az u = az egységnyi töltés Q J u = = volt= V. As i mozgatásakor végzett munka. Egysége: [ ] + generátor, termelő i u i vezető, fogyasztó, terhelő ellenállás, terhelés i - A feszültségnek és az áramnak irányt is tulajdonítunk. A feszültség valóságos iránya megállapodás szerint a generátor pozitív töltésű pólusától a negatív töltésű felé, (a magasa potenciálú helyről az alacsonya potenciálú hely felé) mutat. Ez azt jelenti, hogy a generátoran a feszültség és az áram iránya ellentétes, a vezetően pedig azonos, mint ez az árán látszik. Az áram valóságos iránya megállapodás szerint a pozitív töltések mozgásirányával egyezik. (Vezetőken az elektronok mozgásával ellentétes.) A hálózatszámítás során mint látni fogjuk a feszültségek, áramok iránya az esetek egy részéen nem ismeretes, vagy az idő függvényéen változik. Ezért ezeket az összefüggések felírásánál gyakran nem a tényleges iránnyal, hanem a két pont közötti nyíllal jelölve önkényesen választott vonatkozási iránnyal (a referencia vagy mérő iránnyal) vesszük figyeleme, a tényleges irány pedig a számításól derül ki. Ha ugyanis a számítás eredménye egyes áramokra, feszültségekre pozitív, akkor ezek tényleges, vagyis elői megállapodásaink szerinti iránya a felvett vonatkozási iránnyal megegyezik, azon áramok, feszültségek iránya, amelyekre a számítás negatív értéket ad, a választott vonatkozási iránnyal ellentétes. Az Ohm- és a Joule-törvény Adott vezető i árama tapasztalat szerint sok eseten jó közelítéssel arányos a vezető két pontja közötti u feszültséggel. Ezt fogalmazza meg az u=. i Ohm törvény, ahol a vezető két pontja, két kivezetése közötti ellenállás (rezisztencia). Az ellenállás egysége [ ] = ohm= Ω= V/A. Minthogy 0, az ellenálláson a feszültség és az áram iránya minden pillanatan megegyező. Az Ohm-törvény azt fejezi ki, hogy a vezető anyaga az elektronok áramlásával szemen ellenállást fejt ki. Az ellenállás úgy magyarázható, hogy az elektromos tér hatására felgyorsult elektronok a vezető atomjaia ütköznek és energiájuk egy részét átadják az atomoknak. az anyag elektronáramlással szemen fellépő ellenállását fejezi ki. gyanakkora feszültség mellett annál kise az áram, minél nagyo értéke. Az =0 ellenállást rövidzárnak, az = -t szakadásnak mondjuk. Az ellenállás jelét az ára mutatja. =0 =
A4 Homogén anyagú, állandó keresztmetszetű egyenes vezetően az ellenállás értéke függ a vezető anyagától (ρ), arányos az l hosszával és az erre merőleges A keresztmetszetének reciprokával: l l = ρ =, A σ Α ahol ρ a vezető fajlagos ellenállása, σ=/ρ a fajlagos vezetése. Az egységek: [ ρ] = Ωm, [ σ] = Ω - m -. A vezető ellenállása helyett szokás ennek reciprokával, a G vezetéssel (konduktanciával) számolni: i G = = [ G ] = siemens = S= Ω -. u A vezetően mozgó, töltéssel író részecskék (pl. elektronok) energiájuk egy részét ütközések során a vezető atomjainak átadják és ez hőenergiává alakul, vagyis az áram a vezetőt felmelegíti. Egyenáram esetén a t idő alatt az átadott energia: W W=Q. =.. t, a hőteljesítmény pedig: P = =. Egysége: t [ P ]= W= watt. Az =. -t ehelyettesítve kapjuk, hogy P = = = 0. Ez a Jouletörvény. Az ellenállásnak két kivezetése, pólusa van. A továiakan más két pólussal író elrendezést is kétpólusnak nevezünk. Generátorok, források Az olyan eszközt, amely nem villamos energiát villamos energiává alakít át generátornak nevezzük. A generátorok gyakran kétpólusok. A generátor egyik pólusán pozitív, a másikon negatív töltések jelennek meg. Generátorok pl. az akkumulátorok, a száraz elemek, amelyek kémiai, a villamos forgógépek, amelyek mechanikai, a fényelemek, amelyek fényenergia villamos energiává alakítására alkalmasak. A generátorok két fajtája az ideális feszültséggenerátor vagy feszültségforrás, ill. az ideális áramgenerátor vagy az áramforrás. Az ideális feszültséggenerátor áll egy u g feszültségforrásól, amelynek feszültsége állandó, független a forráson átfolyó áramtól. Az u g vonatkozási irányát az egyik pólustól a másik felé mutató nyíllal jelöljük, a nyíl mellett pedig feltüntetjük az időfüggvényét, vagy jelölését. Az ideális áramgenerátor áll egy i g áramforrásól, amelynek árama állandó, független a feszültségétől. Az i g vonatkozási irányát egy üres háromszög nyíllal szokás jelölni. + + u g ideális feszültséggenerátor, i g vagy feszültségforrás ideális áramgenerátor, vagy áramforrás A gyakorlatan előforduló generátorok nem tekinthetők ideális forrásoknak. Viselkedésüket azonan jól megadja, jól modellezi ilyen források ellenállások vagy más kétpólusok összekapcsolásával nyert kétpólus. A valóságos generátort feszültségének és áramának kapcsolatával jellemezzük.
A5 Kondenzátor A kondenzátor olyan kétpólus, amely két, egymástól szigetelt vezetőől, elektródáól áll. Jele az árán látható. A kondenzátort állandó feszültségre kapcsolva az egyik + C - elektródán +Q, a másikon Q töltés halmozódik fel. A tapasztalat azt mutatja, hogy a kondenzátoron a Q töltés és az elektródák közötti feszültség arányos egymással. Q=C.. A C arányossági tényező a kondenzátor kapacitása. Egysége: [ C] = As/V= farad=f. A gyakorlatan a kondenzátorok nagy része olyan, hogy a C kapacitás kizárólag a kondenzátor elektródáinak és szigetelő anyagának geometriai elrendezésétől, valamint a A szigetelőanyag ε r relatív permittivitásától függ. Síkkondenzátornál: C = ε r ε0, d ahol: A az elektródák felülete, d az elektródák közötti távolság. Ha a kondenzátorra kapcsolt u(t) feszültség az idően változik, akkor Q(t)=C. u(t), vagyis az elektródák töltése is idően változó. Az idően változó töltés áramot dq du eredményez: i(t) = = C, vagyis a kondenzátorhoz csatlakozó vezetőken áram dt dt folyik. A kondenzátor elektródáira töltést juttatva a kondenzátorral energiát közlünk. Ez az energia: Q W = = C = Q. C A kondenzátor elektromos energia tárolására alkalmas kétpólus. Mágneses tér Ha két vezetően áram folyik, akkor a tapasztalat szerint ezekre erő hat. Ezt a jelenséget úgy írjuk le, hogy az egyik vezetően folyó áram mágneses teret, B mágneses indukciót hoz létre. Az een a téren elhelyezkedő vezetően mozgó töltésre, (a másik vezetően folyó áramra, közvetve pedig a vezetékre) erő hat. Egyenáramtól átjárt, hosszú, egyenes vezető környezetéen a B indukció koncentrikus körvonalak mentén állandó, iránya az irányához a jocsavar-szaály szerint igazodik. A hosszú, egyenes vezető árama és mágneses tere között a B = µ kapcsolat r π van, ahol: µ=µ r. µ 0, µ r a relatív permeailitás, maximális értéke ferromágneses anyagoknál 300 30000 µ 0 a vákuumeli permeailitás, µ 0 =4. π. 0-7 Vs Am, r a vezetőtől számított távolság. (A para- és diamágneses anyagoknál gyakorlatilag µ r.) A B indukcióval jellemzett mágneses téren az árammal átjárt, l hosszúságú másik vezetőre, (az l áramvezetőre) ható erő, ha a B az l -re F=B. l Ezt Laplace erőtörvénynek nevezzük. Eől adódik a B mértékegysége: N Vs [ B] = = = tesla = T. Am m Két, párhuzamos, igen hosszú, és áramú vezetőpár l hosszúságú darajára ható erőt úgy is kifejezhetjük, hogy pl. az -es áramú vezető által létesített B mágneses
A6 l téren az re ható erőt fejezzük ki. Ekkor F = B l = µ. Ezt a képletet r π Ampère erőtörvényének nevezzük. A mágneses téren kijelölt egymenetű vezető által körülvett A felület és a rajta áthaladó B indukció szorzata a φ mágneses fluxus. A legegyszerű eseten: φ=b. A. Mértékegysége:[ φ ] = Vs = weer= W. Sokszor a mágneses teret az A felület fluxusával jellemezzük. Sora kapcsolt N menetű vezető esetén (pl. egy szolenoid) tekercs fluxusról eszélünk, amit ψ-vel jelölünk. ψ=n. B. A. Ha B-t a vezető saját árama hozza létre, a ψ (egyes esetektől eltekintve) arányos a vezető áramával: ψ=l., ahol L a vezető keret öninduktivitása (önindukciós tényezője). Vs Egysége: [ L] = = Henry = H. Szokásos jelölése az árán látható. L A Az l hosszúságú tekercs (szolenoid) önindukciós tényezője, ha l», mint a D átmérő: µ N A L =, ahol N a tekercs menetszáma. l Két (vagy tö) vezetőkeret egymás közötti induktivitását kölcsönös induktivitásnak hívjuk. Jelölése: L =L. A nyugalmi indukció jelensége Zárt vezetőkeretet (induktivitást) idően változó áram mágneses terée helyezve tapasztalható, hogy a kereten feszültség indukálódik. Ez a feszültség a felület ψ-t dψ fluxusáól számítható: u i =. Ez az összefüggés a Faraday-féle indukció törvény. dt A vezetően akkor is feszültség indukálódik, ha a vezető által körülvett felület idően változó mágneses fluxusát ennek a vezetőnek az árama hozza létre. Erre az esetre di ψ(t)=l. i(t) alakan írható. Ezzel: u i = L. Ez az összefüggés u i és i egymással dt ellentétes vonatkozási iránya esetén érvényes. lyen vonatkozási irány elsősoran generátoroknál szokásos. A következőken tárgyalásra kerülő hálózatszámítások során a ellenálláshoz és a kondenzátorhoz hasonlóan az induktivitás áramának és feszültségének a vonatkozási irányát egymással egyezőnek szokás felvenni. Az egyik vonatkozási irány megváltoztatása az egyenleten az illető mennyiség -gyel való szorzásának felel meg, vagyis ekkor di u L = L. Megkülönöztetésül u L -t induktív feszültségnek nevezzük. dt ψ Az áramú induktivitásan tárolt mágneses energia: W = L = ψ =. L A mozgási indukció jelensége A B homogén mágneses téren v seességgel mozgó vezetően levő töltött részecskékre erő hat. Ez az erő szétválasztja a töltéseket. A vezető egyik végén negatív töltések (elektronok) a másik végén pozitív töltések (elektron hiány) halmozódnak fel, a vezető két vége között feszültség keletkezik. Az l hatásos hosszúságú vezetően keletkező indukált feszültség, ha a B, l és v merőlegesek egymásra: u i =B. l. v. A Lenz-törvény szerint az indukált feszültség mindkét fajta indukciónál, (amelyek csak szemléleten különöznek) olyan irányú, hogy az általa létrehozott hatás (az általa
A7 létrehozott áram és a mágneses tér kölcsönhatása) az indukciót létrehozó változás ellen hat. Az áram hatásai Foglaljuk össze az áram hatásait: ) Hőhatás, fényhatás. Ezt a hatást fejezi ki Joule-törvény. Alkalmazási példák: rezsó, vasaló, izzó, ívhegesztés, villamos fűtésű kemencék, indukciós hevítés. ) Mágneses teret okozó hatás, ezáltal erőt (ill. nyomatékot) létrehozó hatás. Ezt fejezi ki a Laplace erőtörvény. Alkalmazás pl. villamos műszereken, és gépeken. 3) Vegyi hatás. Ezt fejezik ki az elektrolízisre vonaztozó Faraday törvények. Példák: elektrolízis alumínium gyártás, galvanizálás, szárazelemek, akkumulátorok. 4) Élettani hatás. Példák: hasznos gyógyászati alkalmazás (fizikoterápia, EKG, pacemaker), káros áramütés. Megelőzésével az áramütés elleni védelem foglalkozik. A felsoroltakól látszik, hogy legtöször az áramot ill. a hatásait hasznosítjuk. Nem véletlen tehát, hogy az elektrotechnikai számításoknál mindenekelőtt az áramok számítjuk ki. A villamos hálózat fogalma Egy villamos hálózat: aktív kétpólusokól, generátorokól és passzív kétpólusokól, ellenállásól, kondenzátoról, induktivitásól áll. lyen kétpólusokat sora, párhuzamosan vagy vegyesen kapcsolva kapunk egy hálózatot. Az alái tálázat összefoglalja, hogy a kétpólusok árama és feszültsége milyen fizikai kapcsolatan van. Jelölés A feszültség és áram kapcsolata Megnevezés u g i u g független az i-től feszültségforrás i g u i g független az u-tól áramforrás u, i u=. i ellenállás du i = C u, i kondenzátor C dt u, i L di u = L induktivitás dt
A8 Egyenáramú hálózatok Az egyenáramú hálózatok valamennyi árama és feszültsége idően állandó, így a tárgyalt hálózati elemek közül az induktivitás feszültsége és a kondenzátor árama nulla (lásd a tálázat), vagyis ez eseten az induktivitás rövidzárral, a kondenzátor szakadással helyettesíthető. Így az egyenáramú hálózat modelljéen csak az ellenállás jelenik meg, mint passzív elem. Az aktív elemeknek, a generátoroknak kétféle modellje van. A valóságos feszültséggenerátor (röviden csak feszültséggenerátor, a későieken Thevenin generátor) egy feszültségforrásól és vele sorosan kapcsolt első ellenállásól áll. A (valóságos) áramgenerátor (a későieken Norton generátor) pedig egy áramforrásól és vele párhuzamosan kapcsolt első ellenállásól. A két modell a generátorok kapcsaira nézve egyenértékű, ill. egymása átszámítható. Hálózatszámítási fogalmak Az ág a hálózatnak az a része, amelyiken ugyanaz az áram folyik. Pl. sora kapcsolt kétpólusok egy ágat alkotnak. A csomópont, ahol 3 vagy tö ág találkozik. A hurok. A hálózat egy pontjáól kiindulva az ágakon és a csomópontokon egyszer áthaladva, visszaérve a kiindulási ponthoz, az érintett ágak a hálózat egy hurokját alkotják. A hurkot egy körüljárási iránnyal jelöljük meg. eferencia, (vonatkozási, mérő) irányok. Az egyenletek felírásához előre fel kell venni az áramok és feszültségek vonatkozási irányát. Ha a számítás eredménye pozitív, akkor eltaláltuk a valóságos irányt. Ez azonan csak egyszerű hálózatoknál sikerül. Ha nem találtuk el a valóságos irányt, (ez nem aj,) akkor a negatív eredmény a helyes. Általáan a tálázata látható referencia irányokat célszerű felvenni, azaz passzív kétpólusoknál a feszültség és áram irányát egyezőre, aktív kétpólusoknál ellentétesre. Ha ismerjük a valóságos irányt, akkor persze ezt vesszük fel vonatkozási iránynak. Hálózatszámítási módszerek a Kirchhoff egyenleteken alapulnak. A csomóponti egyenlet: = 0. Egy csomóponta (a referencia irány szerint) efolyó és kifolyó áramok összege zérus. A csomóponti egyenlet a töltésmegmaradás (ezen keresztül az anyagmegmaradás) elvét fejezi ki. A hurok egyenlet: = 0. Egy zárt hurokan a körüljárási iránnyal megegyező és ellentétes (referencia) irányú feszültségek összege zérus. A hurok egyenlet az energiamegmaradás elvét fejezi ki. A Kirchhoff egyenletekkel mindenekelőtt onyolult hálózatok egyes ágaian folyó ismeretlen áramokat lehet meghatározni, ha ismerjük a hálózat kétpólusainak, (az ellenállásoknak és a generátoroknak) a paramétereit. A hálózat megoldása azt jelenti, hogy az ismeretlen áramú ágak számával megegyező számú, lineárisan független egyenletet kell felírni. Jelöljük az ismeretlen ágáramok számát -vel. Ennyi lineárisan független egyenletet kell tehát felírni a Kirchhoff egyenletekkel. Jelöljük a hálózat csomópontjainak számát n-nel. A lineárisan független csomóponti egyenletek száma (n-). A felírandó hurokegyenletek száma: m=-(n-).
A9 A hurokegyenletek akkor lesznek függetlenek, ha minden ág legalá egyszer egy hurokegyenleten szerepel, de hurok nem záródik g -t tartalmazó ágon, mert az g -s ág (soros) ellenállása, így az idegen áramokra szakadást jelent. A következő árán egy egyszerű áramkör látható. Az áramkör g ismert feszültségforrást és egyetlen hurkot tartalmaz. A hurokegyenlet: + ( + ) 0, -t g. =. = g = g g kifejezve = =, amiől látszik, hogy + e e = + +, azaz sora kapcsolt ellenállások eredője az összetevők összegével egyezik. Az =.-e -t ehelyettesítve és rendezve az ellenállás feszültségét kapjuk = g. Értelemszerűen = g + +. Ezek a feszültségosztó képletei. Egy másik egyszerű áramkör. g Ez az áramkör g ismert áramforrást,, ismeretlen áramot és csomópontot tartalmaz. Egy lineárisan független csomóponti egyenletet lehet felírni. (A másik egyenlet ennek --szerese, tehát nem független.) - g + + =0 A második egyenlet egy hurokegyenletet, (de a hurok nem záródhat az g -n). -. +. =0 Az Ohm-törvényt használva =. =. A harmadik egyenletől = =, de az első egyenlet szerint g + = g = + =, amiől = = + +... azaz e e párhuzamosan kapcsolt ellenállások eredőjének reciproka az összetevők reciprokának összege, amin az g áram folyik. Két ellenállás esetén = +. endezve e =, = e. g. e + Ezt felhasználva = g = =. Eől megkapjuk az + áramosztó képleteit = g és = g + + Az előző két áramkört kissé átalakítva és az indexeket megváltoztatva az ellenállással terhelt (valóságos) feszültséggenerátor és (valóságos) áramgenerátor modelljét kapjuk.
A0 Feszültséggenerátoros modell Áramgenerátoros modell g k k g Áramgenerátoros működés g k Feszültséggenerátoros működés g A erajzolt kis hurokól tt k =. k =. A nagy hurokól Áramosztóval g =.+. = g +.+. = g.. k -t helyettesítve és rendezve k t helyettesítve és rendezve k = g -. k =. g -. A két utolsó egyenlet és így a két modell egyenértékű, ha az azonos és az g =. g. Ez egyen a két modell átalakítási lehetőségét is megadja. Külső kapcsokon végzett mérések adataiól akár a feszültséggenerátoros, akár az áramgenerátoros modell előállítható. Mégis a gyakorlatan feszültséggenerátorról, ill. áramgenerátorról eszélünk. Feszültséggenerátorról (feszültséggenerátoros működésről) akkor eszélünk, ha k az g -hez képest a működés közen csak kicsit ( 0%-kal) csökken az. feszültségesés miatt. A felírt egyenletekől látszik, hogy ez akkor következik e, ha az «. Az =0 esetén ármilyen -nél k = g =áll. Ha =0 üresjárásról eszélünk. Természetesen ilyenkor is k = g, ezért az g -t üresjárási feszültségnek is nevezik és 0 -lal is jelölik. g övidzáráskor, a kapcsokat összekötjük, =0. Ekkor a rövidzárási áram z = = g, mint ez az előzőekől is következik. Az energetikai erendezéseknél, generátoroknál, akkumulátoroknál, telepeknél inká a feszültséggenerátoros helyettesítést használjuk. Ezeknél az. feszültségesés mértéke adott -nél megszaja az maximális értékét, és az «iztosítja a jó hatásfokot. Áramgenerátorról (áramgenerátoros működésről) akkor eszélünk, ha az g -hez képest a működés közen csak kicsit ( 0%-kal) csökken az felé elfolyó áram miatt. A felírt egyenletekől látszik, hogy ez akkor következik e, ha az». Az = esetén ármilyen k -nál = g =áll. Ez azt is jelenti, hogy az ideális áramgenerátoron csak az g folyhat, idegen áramok számára szakadást jelent. Ha k =0, rövidzárásról eszélünk. Természetesen ilyenkor is = g, ezért az g t rövidzárási áramnak is nevezik, és z -vel is jelölik. Üresjáráskor a kapcsok nyitottak, =. Ekkor az üresjárási feszültség 0 =. g = g, mint ez az előzőekől is következik. Az áramgenerátoros
A helyettesítés inká az elektronikáan használatos. Ezek zömmel kis teljesítményűek és a pontos információátvitel fontosa a hatásfoknál. Az egyenáramú teljesítmény Egy ellenálláson hővé váló teljesítményt P=. =. = >0 alakan számítjuk. Az. >0 megfelel annak az állapotnak, hogy az ellenállásokon az és az referencia irányai egyeznek. A teljesítményt egy generátor szolgáltatja. Az energiamegmaradás elve szerint egy zárt rendszeren az összes felvett és leadott teljesítménynek meg kell egyezni. Ezért szükséges, hogy a P g <0 legyen, ill. P+P g =0. A feszültséggenerátoros helyettesítő kapcsolásan látszik, hogy a generátoron az g és az referencia irányai ellentétesek. Ezt a generátorok teljesítmény kifejezéséen negatív előjellel vesszük figyeleme, vagyis P g =- g.<0. Általánosítva az elmondottakat ármely kétpólus esetén a teljesítményt P=. alakan számítjuk, ha az és az referencia irányai a kétpóluson egyeznek, és P=-. alakan számítjuk, ha az és az referencia irányai a kétpóluson ellentétesek. Ezt figyeleme véve ármelyik képletől a felvett (fogyasztott) teljesítmény >0-nak, a leadott (termelt) teljesítmény <0-nak adódik. Példa. Számítsuk ki az áramokat és az feszültséget, ha g =6 V g =5 A = Ω - + =0 Ω =0 Ω! Határozzuk meg az g.. ellenállások és generátorok teljesítményét! Az ismeretlen áramú ágak száma =3 + - A csomópontok száma n=, n = csomóponti egyenlet írható fel, és m= hurokegyenlet. Az egyenletek: Csomóponti ++ g =0 Hurok.. g =0.. =0 A megoldás: = 5 V =5,5 A = 0,5 A = 0,5 A P =60,5 W P =,5 W P =,5 W P = 88 W P =5 W P = 63W P g = 63W A P >0 azt jelenti, hogy az áramgenerátor most fogyasztó, hiszen a kivezetésein az feszültség valóságos iránya és az áramának iránya egyezik, (mint az ellenállásnál). Ennek ellenére továra is áramgenerátornak mondjuk. A szuperpozíció elve: Tö generátoról táplált hálózat ármely ágának árama (feszültsége) egyenlő azoknak az áramoknak (feszültségeknek) az összegével, amelyet egy-egy generátor hozna létre, ha a vizsgálat időtartama alatt a töi feszültségforrás helyét rövidrezárnánk, az áramforrás ágait pedig megszakítanánk. Számítsuk ki az elői példa áramait és az feszültséget a szuperpozíció elvének alkalmazásával.
A Az g működik. (A számított mennyiségeket -vel jelöljük.) ' Az kiszámításához az eredő ellenállást ' használjuk ' ' ' + = g =,333 ' A, + + ' ' majd az áramosztót alkalmazzuk. Pl. = + =-0,666 A =-0,666 A végül =. =-3,333 V g Az g működik. (A számított mennyiségeket -vel jelöljük.) Az -t az ellenállások eredője és az g szorzata adja. e =,666 Ω =8,333 V '' + Ezzel a részáramok =4, 66 A '' g =0,466 A =0,466 A '' és pl. az = + =-5 V - '' Thevenin és Norton tétele Tö generátoról és ellenállásól álló lineáris hálózat mindig helyettesíthető egyetlen Th feszültségű, és vele sora kapcsolt első ellenállású kétpólussal, az un. Thevenin generátorral, vagy egyetlen N áramú és vele párhuzamosan kapcsolt első ellenállású kétpólussal, az un. Norton generátorral. Ha a onyolult hálózat egyetlen ágának villamos állapotára vagyunk csak kíváncsiak, akkor a következő módon járunk el. Az adott ágat a hálózatól eltávolítjuk, és az így keletkezett két pontjára nézve a maradék (egyszerű) hálózatot helyettesítjük Thevenin vagy Norton generátorral. Ezeknek a paramétereit meghatározva az eltávolított ágat ide kapcsoljuk. Eől az egyszerű áramköről a kívánt áram vagy feszültség könnyen meghatározható. Eredeti hálózat, amelyen az 8 áramot kell meghatározni. A V Ω Ω a 8 Ω 8 Maradék hálózat az a, pontok közötti 0 üresjárási feszültséggel. A V Ω 0 a Ω Thevenin generátoros helyettesítő kép, amelynek 0 feszültsége meg kell, hogy egyezzen a maradék hálózat 0 feszültségével. Azaz mindkét hálózat a, (üresjárási) pontja között ugyanazt a feszültséget kell mérni! Th 0 a
A3 A Thevenin kép alapján pedig az Th = 0.Vagyis az Th feszültség a maradék hálózat üresjárási feszültségével egyezik. Az -nek a dezaktivizált hálózat eredő ellenállásával kell megegyezni. Azaz mindkét hálózatnál ugyanazt az ellenállást kell mérni az a, pontok között! Az eredeti hálózat Ω Ω a és a Thevenin generátor dezaktivizálva. a A Norton helyettesítő képhez a maradék hálózat a, pontjai közötti Z rövidzárási áramot kell meghatározni. A V Ω Z a Ω Norton generátoros helyettesítő kép, melynek, Z rövidzárási árama meg kell, hogy egyezzen a maradék hálózatéval. Azaz mindkét hálózat a, pontja között ugyanazt a rövidzárási áramot kell mérni. A Norton helyettesítő kép alapján pedig N = Z. Vagyis az N áram a maradék hálózat rövidzárási áramával egyezik. N Z a Az ellenállás meghatározása ugyanúgy történik, mint a Thevenin helyettesítésnél. Vagyis a Norton és a Thevenin generátor ellenállása megegyezik. Az 8 áram pl. a 8 Ω-os ellenállással kiegészített Norton helyettesítő kapcsolásól áramosztóval számítható. N a 8 Ω 8 A kétféle helyettesítő modell közül a kevese számítási munkát igénylőt célszerű meghatározni, mert aól a másik a feszültséggenerátoros ill. az áramgenerátoros modellnél mondottak alapján is meghatározható. A hurokáramok módszere Tö generátoról és ellenállásól álló hálózat minden áramának meghatározására a Kirchhoff csomóponti és hurokegyenletekől álló egyenletrendszer szolgál, amelyek száma az ismeretlen (kiszámítandó) áramok számával egyezik.
A4 Az ismeretlenek ill. az egyenletek számának csökkentésére töféle módszer ismert. Ezek közül a hurokáramok módszerét és a csomóponti potenciálok módszerét ismertetjük. A hurokáramok módszerénél az ismeretlenek száma, és így a felírandó egyenletek száma a Kirchhoff szerinti hurokegyenletek számával (m) egyezik. A feladat előkészítése is a Kirchhoff egyenletek felírásával egyezik, azaz fel kell venni az ágáramok (referencia) irányait, és kijelölni a hurkokat. Ezek körüljárási iránya lehetőleg azonos legyen. A továiakan egy példán követjük végig a módszert. Az egyenletek felírására előkészített hálózat 5 ismeretlen áramú ág =5 egyenlet kellene. n=3 csomópont, n-= csomóponti egyenlet m=-(n-)=3 hurok, a,,c 3 hurok egyenlet g a 3 3 g 4 c 5 5 4 Felírjuk a Kirchhoff szerinti (a). + 3. 3 + g +. - g =0 hurokegyenleteket () -. - 4. 4 - g =0 (c) 4. 4-3. 3-5. 5 =0 Minden huroknak saját (fiktív) áramot tulajdonítunk. Ezeket a hurokáramokat ( a,, c ) az ágáramoktól való megkülönöztetésül kis etűkkel indexeljük. Kifejezzük az ágáramokat a hurokáramokkal, = a, = a -, 3 = a - c, amelyek a hurokáramok előjeles összege lesz. 4 =- + c, 5 =- c A hurokegyenleteke az ágáramok (a). a + 3. ( a - c) +. ( a - )= g - g helyére ehelyettesítjük a hurokáramokkal () -.( a - )- 4.(- + c )= g kifejezett értéküket. (c) - 3.( a - c )+ 4.(- + c )- 5.(- c )=0 endezés után megkapjuk a (a) ( + + 3 ). a -. - 3. c = g - g hurokáramok egyenletrendszerét. () -. a +( + 4 ). - 4. c = g Ezt megoldva az ágáramokat is (c) - 3. a - 4. +( 3 + 4 + 5 ). c )=0 kiszámítjuk. A hurokáramok ( + + 3 ) - - 3 a g - g egyenletrendszerét - ( + 4 ) - 4 = g mátrix alakan is - 3-4 ( 3 + 4 + 5 ) c 0 felírjuk. Azt látjuk, hogy a mátrix egyenlet első sora a hurokáramos egyenletrendszer (a) egyenletének együtthatóit (ellenállásait) tartalmazza. Mégpedig az első tag az (a) hurokan lévő ellenállások összegét. A második tag az (a) és () hurok közös ágának ellenállását negatív előjellel, mert a két hurok irányítása a közös ágon ( -n) ellentétes irányítású. A harmadik tag az (a) és (c) hurok közös ágának ellenállása negatív előjellel, mert itt is ellentétes a két hurok irányítása a közös ágon ( 3 -on). Ha a közös ágon a
A5 hurkok irányítása azonos lenne, a közös ág ellenállását pozitív előjellel kellene a mátrixa eírni. A jooldalon lévő feszültségek előjele a hurokegyenletől követhető. Ha a hurokan lévő feszültség iránya a hurok körüljárási irányával egyezik, a hurokegyenleten az előjele pozitív. endezés után az egyenlet másik oldalán az előjel ellentétesre változik. A mátrix egyenletet kis rutin megszerzése után az előtte lévő levezetés nélkül is felírhatjuk, etartva az elő elmondott szaályokat. Ennek megoldása után a hurokáramokól az ágáramokat számíthatjuk. A hurokáramok módszere a feszültséggenerátorokat tartalmazó hálózatok esetén egyszerű. (A hurokegyenleten feszültségek vannak!) Amennyien a hálózatan Norton generátor fellelhető, ezt elő Thevenin generátorrá alakítjuk, és így végezzük a számítást. Ekkor azonan figyelni kell arra, hogy az átalakított rész árama egy csomóponti egyenleten keresztül kapcsolódik az átalakítás előtti rész áramaihoz. (Az átalakítás csak a külső kapcsokra nézve ekvivalens.) Ennek illusztrálására vizsgáljuk a mellékelt hálózatot. Az eredeti hálózatan az g áramforrás és az ellenállás Norton generátort képez, amit Thevenin generátorrá alakítunk. Ezután a fent írtak szerint járunk el. g a g a 3 3 3 3 4 4 4 Az átalakított hálózat mátrix egyenlete az a, hurokáram rendszerrel, figyeleme véve, hogy g =. g. g g 4 ( + + 3 ) ( + 3 ) ( + ) ( + + ) 3 3 4 a = g g g Az eredeti áram a hurokáramokól kiszámított 3 árammal és az g -vel számítható: =- g - 3. A továi számításokat (pl. a teljesítmények számítását) már az átalakítás előtti hálózaton kell végezni. Ha a hálózat áramforrást is tartalmaz, feladatot a következőképpen is megoldhatjuk. Felveszünk egy olyan továi hurkot, ( c -t) amelyik az g -n záródik. Természetesen c = g. Erre a hurokra nem írhatunk fel egyenletet, (mert az 3 3 g -s ág az idegen áramokra szakadást jelent), a de az een a hurokan lévő ellenálláson, (most az -n) az g által okozott feszültséget figyeleme kell venni a töi -ezt az ágat érintő- g g hurokan ( a, -en). c Az a,, c -vel felírt hurokáramos egyenletek: 4 4
A6 ( + + 3 ) a ( + 3 ) + g g = 0 ( + ) + ( + + ) 0, 3 a 3 4 g = amit összehasonlítva a mátrix egyenlettel az azonosság látható. Természetesen az c s hurkot más úton is felvehetjük. A csomóponti potenciálok módszere A csomóponti potenciálok módszerénél az ismeretlenek száma, és így a felírandó egyenletek száma a Kirchhoff szerinti csomópontok számával (n-) egyezik. tt is fel kell venni az ágáramok (referencia) irányát. Az n csomópontól egyet nulladiknak (0) választunk, és felvesszük a töi (),(),(3), csomópont felől a (0) csomópont felé mutató csomóponti feszültség irányait p,p,p 3,. A továiakat egy példán követjük. ( ) 3 3 ( ) n=3 csomópont, n-= csomóponti egyenlet g a p p c g d 4 4 Felírjuk a Kirchhoff szerinti () g + + 3 =0 csomóponti egyenleteket () - - 3 + 4 =0 Felveszünk olyan hurkokat, (szaggatottan (a) p = 0 vannak rajzolva) amelyeken csak egy () 3 3 + p p = 0 ismeretlen ágáram feszültsége szerepel, (c) + p 0 ( 0) g = a töi feszültségforrás és csomóponti potenciál. (d) 4 4 p = 0 p Ezekől kifejezzük az ágáramokat és = = p p p ehelyettesítjük a csomóponti egyenleteke. () + = g g p 3 3 3 p p = p 4 = p g p p p () + + = 0 endezés után megkapjuk a csomóponti () ( + ) p p = g potenciálok egyenletrendszerét. () ( = Ezt megoldva a csomóponti potenciálokkal az ágáramokat is kiszámíthatjuk. A csomóponti potenciálok egyenletrendszerét mátrix alakan is felírjuk ( 3 + 3 ) 3 3 g p + ( + + ) p 3 3 4 3 ( + + ) 3 4 3 3 p p = 4 4 3 g g
A7 Azt látjuk, hogy a mátrix egyenlet első sora a csomóponti potenciálos egyenletrendszer () sorának együtthatóit ( = G, vezetéseit) tartalmazza. Mégpedig az első tag az ()-es csomóponthoz csatlakozó vezetések összegét, a második tag az () és ()-es csomópontot összekötő ág vezetését (mindig) negatív előjellel. A jooldalon lévő áramok előjele a csomóponti egyenletől követhető. A csomóponta efutó áram negatív. endezés után az egyenlet másik oldalán az előjel ellentétesre változik. A mátrix egyenletet kis rutin megszerzése után az előtte lévő levezetés nélkül is felírhatjuk, etartva az elő elmondott szaályokat. Ennek megoldása után a csomóponti potenciálokól az ágáramokat számíthatjuk. A csomóponti potenciálok módszere, áramgenerátorokat tartalmazó hálózatok esetén egyszerű. (A csomóponti egyenleteken áramok vannak!) Amennyien a hálózatan Thevenin generátor fellelhető, ezt elő Norton generátorrá alakítjuk és így végezzük a számítást. A módszer így könnyeen mechanizálható. Ekkor azonan figyelni kell arra, hogy az átalakított rész feszültsége egy hurokegyenleten keresztül kapcsolódik az átalakítás előtti rész feszültségeihez. A mátrixos egyenleteket a számítógépes megoldásoknál használhatjuk előnyösen. Amennyien a mátrix egyenletet Cramer szaállyal oldjuk meg, és csak egyetlen áramot akarunk kiszámítani, a kevese számítási munka érdekéen célszerű úgy felvenni a hurokáramokat, vagy a csomóponti potenciálokat, hogy csak egyetlen hurokáramot (amelyik éppen a keresett árammal egyenlő), vagy egyetlen csomóponti potenciált, (amelyől a kívánt áramot egyszerűen) kelljen kiszámítani. Ha a hálózat feszültségforrást is tartalmaz, mint amellékelt árán látható, a (0)-dik csomópontot úgy célszerű ( ) 3 3 g3 3 ( 0) felvenni, hogy az a feszültségforrás negatív végénél (nyilánál) legyen. Ekkor p ez egy ismert csomóponti potenciál g p = g3. Ezzel csökken az ismeretlen csomóponti potenciálok, és a felírandó p csomóponti egyenletek száma. Csomóponti egyenletet csak azokra a g csomópontokra írhatunk fel, amelyeket nem érint feszültségforrás. () - g - + - 4 =0 ( ) Az een lévő áramokat az ismert módon kifejezve és ehelyettesítve a csomóponti egyenlete a csomóponti potenciálokat (most p -t) kiszámíthatjuk. g3 g () ( + + ) p = g +, mert p = g3. A emutatott példáan a 4 4 feszültségforrás miatt csomóponti potenciálos (mátrix) egyenlet egyváltozóssá vált. g3 Felhasználva még, hogy 3 = az 3 () g + + 3-3 =0 csomóponti egyenletől az 3 számítható, ezzel pl. az g3 teljesítménye. 4 4
A8 A hurokáramok a csomóponti potenciálok módszerét, a feszültségforrásokkal és az áramforrásokkal kapcsolatos megfontolásokat célszerű használni, mert a numerikus számítás egyszerűsödik. A szinuszos váltakozó áramú hálózatok Egy idően szinuszosan váltakozó áram kifejezése: i= max.sin(ωt-ψ i ), ahol max az amplitúdó, vagy csúcsérték, ω=. π. f a körfrekvencia, f = a frekvencia, T a T periódusidő, ψ i az áram kezdő fázisszöge. Sokszor a koszinusz függvényt használjuk, de akkor is szinuszos hálózatról eszélünk. T max Az áram effektív értéke (négyzetes középértéke): = i dt = T, ezzel i = sin( ωt ψi ). A váltakozó áram hatása legtöször az effektív értékével kifejezhető, ezért általáan elég ezt meghatározni. A váltakozó áramú hálózatokan valamennyi feszültségforrás, áramforrás és ezzel együtt minden egyes passzív elem árama és feszültsége ugyanazon körfrekvenciával az idően szinuszosan változik. dően változó így szinuszosan változó áramok esetén a hálózat passzív elemei közül az ellenállások mellett az ön és kölcsönös induktivitások, valamint a kondenzátorok hatását is figyeleme kell venni. Ennek megfelelően a szinuszos hálózat állandósult állapotának áramait és feszültségeit leíró Kirchhoffegyenleteket, és az eől származtatott egyszerű egyenleteket komplex számítási módszerrel, a komplex algera eszközeivel oldhatjuk meg. A komplex írásmód, komplex impedancia A továiakan a komplex mennyiségek etűjelét felülhúzással különöztetjük meg a valósétól. A komplex mennyiség aszolút értékét (effektív értékét) ugyanazon etűvel jelöljük, mint a komplex mennyiséget, de felülhúzás nélkül. Megjegyezzük, hogy a képzetes egységet a matematikáan i-vel,az elektrotechnikáan azonan j-vel szokás jelölni. 0 j 90 0 0 j = = e = cos(90 ) + j sin(90 ) és j e j 90 0 0 = = cos(90 ) j sin(90 ) Minden szinuszos i-nek (u-nak) megfeleltetünk egy komplex számot, fazort (régeen vektornak hívták). jψi Az i = sin( ωt ψi ) időfüggvényől = e komplex effektív értékű fazor lesz és fordítva. jψi Az = e a fazor exponenciális alakja. A komplex szám szorzásakor és osztásakor ezt az alakot célszerű használni. A komplex szám összeadása és kivonása a vektoroknál szokásos módon történik. Ehhez az algerai alak a célszerű. Az algerai alakhoz pedig a trigonometrikus alakon keresztül jutunk. 0 0
A9 m j Képzetes vagy imaginárius tengely k =-. sinψ i ψ i v =. cosψ i e -ψ i Valós vagy reális tengely j i Az = e ψ komplex szám exponenciális alakjáól az Euler-reláció felhasználásával a trigonometrikus alakhoz jutunk, eől az algerai alakhoz = (cosψ j sin ψ ) = + j. i Az utolsó alak az komplex szám algerai alakja, ahol az v =. cosψ i a valós rész, az k =-. sinψ i a képzetes rész. Az ára a komplex szám különöző alakjait és a köztük levő kapcsolatot mutatja. A komplex szám aszolutértéke = + a (valós) effektív érték. v k = Az a komplex konjugált érték, ami az valós tengelyre vett tükörképe. k A ψ i a komplex szám arkusza ψ i = arctg. Az algerai alakól az időfüggvényre v való visszatérés az exponenciális alakon keresztül történik. A fazorral történő szemléltetés igen előnyös, ha egy hálózat tö áramát és feszültségét kívánjuk egyetlen árán feltüntetni. Ezt a hálózat fazorárájának nevezzük. A fazor elnevezés is a fázis szóól ered. A fazorárán az egyes fazorok egymáshoz képesti fázishelyzete is követhető. Ez sokszor egyszerűsíti a számítást, mert komplex számok helyett geometriai számításokkal is eredményre jutunk. A korái tálázatól látszik, hogy időfüggő u és i esetén a hálózatan megjelenik a kondenzátor és az induktivitás árama és feszültsége is. Szinuszos áramok és feszültségek esetén a passzív elemek komplex értékei között az alái kapcsolatot kapjuk: ellenállásnál induktivitásnál kondenzátornál = L = j ω L C = j ω C Látszik, hogy a komplex feszültségek és áramok arányosak egymással. Az arányossági tényező neve (komplex) impedancia, jele: Z. Egysége: [ Z ] = Ω. Az ellenállás, az induktivitás és a kondenzátor impedanciája eszerint: Z =, aszolutértékük = ellenállás ZL = j ω L, jele és X L =ω. L induktív reaktancia ZC = j ω C elnevezése X C = kapacitív reaktancia. ω C Ennek alapján a komplex Ohm-törvény általános alakja: = Z. + j ψ Z Az eredő impedancia általáan komplex mennyiség: Z = + j X = Z e. A Kirchhoff-egyenletek, és az egyé módszerek (áramosztó, szuperpozíció-elv,) a fazorokkal, (komplex effektív értékekkel) végzett számításokra is igazak. Az egyenleteket most is a vonatkozási irányok figyelemevételével kell felírni, ár a pillanatértékek iránya egyik félperiódusan megegyező, a másik félperiódusan ellentétes a vonatkozási iránnyal. Az impedancia reciproka az admittancia. Jele: Y, egysége: [ Y]= = S= Siemens. Ω i v k
A0 A passzív elemek fazorárái Válasszuk az áram fazorját valósnak, azaz =, a passzív kétpólusokon az áram és a feszültség fázisviszonyait (fazoráráját) a fenti egyenletek alapján az árák mutaják. az ellenálláson az induktivitáson a kondenzátoron: m m m L e e e C Az ellenálláson a feszültség és áram fázisan van, az induktivitáson az áram 90 0 -ot késik a feszültséghez képest, a kondenzátoron pedig az áram 90 0 -ot siet a feszültséghez képest. Természetesen ezek a fázisviszonyok akkor is megmaradnak a kétpólusokon, ha az áram fazorja másmilyen komplex érték. Célszerűen az áram fázishelyzetét érdemes megjegyezni a késői felhasználás érdekéen. Példa C L L Határozzuk meg a szinuszos hálózat áramait, és az feszültséget! ajzoljon az olvasó fazorárát! Az adatok: =6 Ω, L=0,055 H, =,5 Ω, =3 Ω, L =0,07 H, C =398. 0-6 F, =00 V, f=50hz, Számított értékek: ω=. π. f=00. π rad/s, ω. L=8 Ω, ω. L =4 Ω = 8 Ω ω C Az -es ág impedanciája Z = + j ( ω L ) = 3 j 4 ω C Ω, Z Az -es és -es ág eredője Z = = 3,05 j, 44 Ω, Z + Az egész kapcsolás eredője Ze = + j ω L + Z = 9,05 + j 5, 57 Ω, Az ohm-törvényől az eredő áram = = 8,0 j 4, 93 A, = = 9, 4 A Ze Áramosztóval pl. az áram = = 7,0 j, 6 A, =7,38 A + Z Csomóponti egyenletől az = = 0,99 j, 77 A =, 94 A, Az feszültség = =,4 j 34, 63 V =36,78 V. Egyéként az áramok kiszámításához 3 lineárisan független, komplex Kirchhoffegyenletet kell(ene) felírni és megoldani. Azonan egyszerű hálózatoknál, (mint a fenti) az egyszerű módszerek is célra vezetnek.
A Teljesítményviszonyok Szinuszos áramú hálózatan az áram és a feszültség az idően változik. Így a pillanatnyi teljesítmény is változik. Legyen az u pillanatértéke u= sinωt, a feszültség kezdő fázisszöge nulla. Az i pillanatértéke i=.sin(ωt-ϕ), áram kezdő fázisszöge ϕ, ez egyen a feszültség és az áram (fazorjai) közötti fázisszög is. Így a pillanatnyi teljesítmény p= sin ωt sin( ωt ϕ) Az egy periódus alatt átalakuló teljesítmény lineáris középértéke, amit hatásos teljesítménynek nevezünk és P-vel jelölünk: π = P ω = ϕ π pd( t) cos [ W], ha a vizsgált kétpóluson a feszültség és áram 0 referenciairányai egyeznek, és P=-.. cos[ W], ha a referenciairányok ellentétesek. A hálózat kapcsain jelen levő, összes, látszólagos teljesítmény S=. [VA] (=voltamper). P A teljesítménytényező cos ϕ = éppen annak mértéke, hogy a látszólagos teljesítmény S hányad része alakul át másfajta (hő-, mechanikai,) teljesítménnyé. A cosφ késő kifejezés azt jelenti, hogy az áram φ szöggel késik a feszültséghez képest. Az át nem alakuló, (a hálózaton lengő) meddő teljesítmény Q=.. sinϕ [VAr] (=volt amper reaktív). Komplex írásmóddal =, komplex látszólagos teljesítmény = e j ϕ S =, az áram konjugáltja = e j ϕ = (cosϕ + j sin ϕ) = P + j Q., ezzel a Passzív P>0 csak -en keletkezik elemeken Q>0 csak X L -en ill. L-en az un. reaktív Q<0 csak X C -n ill. C-n elemeken keletkezik. Egyenáramnál ϕ=0, cosϕ=, így P=, Q=0. A szinuszos áramú hálózatokra is érvényes az energia megmaradás elve, azaz összes termelt és fogyasztott hatásos és meddő teljesítményekre igaz, hogy P = 0 és Q = 0. Az előző példáan S = = 00 (8,0 + j 4,93) = 80 + j 493 S = P + j Q = 80+j. 493 [ VA]. + + + j ω L + ( ω L ω C ) = [ VA ]. Másként
A A háromfázisú villamos energiaellátó rendszer C C Cv C CA A A BC Av C B A AB A B B Bv N N N B Generátor Feltransz- Letransz- Fogyasztó oldali energiaellátó formálás formálás hálózat feszültségei és áramai Nagyfeszültségű hálózat A háromszög, vagy kapcsolású fogyasztó. C A B Cv CA Av BC AB Bv Z CA CA BC CA BC AB Z AB AB Z BC Láthatóan a fázis feszültségek és a vonali feszültségek azonosak f = v. Az fázis mennyiségeket (áramokat, impedanciákat és feszültségeket) kettős indexszel jelöljük. AB, BC, CA Z AB, Z BC, Z CA AB, BC, CA. Az impedanciáknak mindig csak fázisértékük van! A csillag, vagy Y kapcsolású fogyasztó. C A Cv CA C Z C Av A Z A C BC A Z B B AB Láthatóan a fázis és a vonali áramok megegyeznek f = v. A fázismennyiségeket (feszültségeket, impedanciákat, áramokat) egyes indexszel jelöljük A, B, C Z A, Z B, Z C A, B, C. B Bv B N N Nulla vezető, (a csillagponthoz) nincs minden eseten ekötve