Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition Borbély Gábor 7. április... Tétel (teljes SVD. Legyen A C m n mátrix (valósra is jó, ekkor léteznek U C m m és V C n n unitér mátrixok (valósban ortogonális és Σ R m n valós, nem-negatív elemű diagonális mátrix, hogy (valós mátrix esetén V van adjungált helyett UΣV H.. Tétel (szinguláris felbontás. Legyen A C m n mátrix melynek rangja k min(m, n, ekkor léteznek u i C m és v i C n vektorok és σ i nem-negatív valós számok i... k-ig úgy, hogy k σ i u i v H i i Ahol u i vektorok, az A mátrix bal-szinguláris vektorai, ortonormált rendszert alkotnak, v i a jobb-szinguláris vektorok és ezek is ortonormált rendszert alkotnak és σ i a szinguláris értékek. Valamint u i v H i diád (diadikus szorzat.... Megjegyzés. A fenti felbontás nem egyértelmű! Több U és V mátrix-pár is létezhet úgy, hogy UΣV H, de a szinguláris értékek (Σ sorrendtől eltekintve egyértelműek!... Megjegyzés. A felbontásra két számolási eljárás: B A A. B mátrixnak kiszámoljuk a sajátértékeit és sajátvektorait. Sajátvektorok, mint oszlopvektorok, lesznek a V mátrixban, a szinguláris értékek pedig a B sajátértékeinek gyökei.. U AV. U-t úgy kapjuk, hogy U oszlopait normáljuk, V -t pedig úgy, hogy V oszlopait normáljuk (leosztjuk a hosszukkal. B AA. B mátrixnak kiszámoljuk a sajátértékeit és sajátvektorait. Sajátvektorok, mint oszlopvektorok, lesznek az U mátrixban, a szinguláris értékek pedig a B sajátértékeinek gyökei.. V A U. U-t úgy kapjuk, hogy U oszlopait normáljuk, V -t pedig úgy, hogy V oszlopait normáljuk (leosztjuk a hosszukkal.... Feladat. Számítsuk ki az mátrix SVD felbontását! ( Megoldás. Számítsuk ki B AA sajátértékeit és sajátvektorait! ( B https://www.youtube.com/watch?vr9uofyqjca8 http://math.bme.hu/~borbely (
( λ ( λ λ λ + λ Ebből a sajátértékek: λ, λ. Vagyis a szinguláris értékek és. λ -hez sajátvektor (első jobb-szinguláris vektor: [ ennek egy nem-nulla megoldása a (, vektor. A sajátértékhez tartozó sajátvektor: [ Vagyis a második jobb-szinguláris vektor az (,. U ( ( 4 V A U 4 U és V úgy kapható meg, hogy U és V oszlopaikat normalizáljuk: ( U, V 6 6 (, Σ Megoldás. Számítsuk ki B A A sajátértékeit és sajátvektorait! ( B 4 4 λ λ 4 ( λ(( λ( λ 6 4( λ 4 λ λ ( λ + λ Ebből a sajátértékek: λ, λ, λ. Vagyis a szinguláris értékek, és. A nullához nem is keresünk sajátvektort, mert a végeredményben úgyis nulla szorzóval szerepelne. λ -hez sajátvektor (első jobb-szinguláris vektor: 4 4 8 ennek egy nem-nulla megoldása a (,, vektor. A sajátértékhez tartozó sajátvektor: 4 4 4 4 8 [ [ 4
Vagyis a második jobb-szinguláris vektor a (,,. V Ezt a mátrixot kiegészíthetnénk egy harmadik, ez előző kettőre ortogonális vektorral és bevehetnénk a sajátértéket. Ekkor kapnánk teljes SVD-t, de ezt most nem tesszük meg. ( ( U AV 6 6 U és V úgy kapható meg, hogy U és V oszlopaikat normalizáljuk: ( U, V 6 6 (, Σ Ugyan az jött ki, mint az első megoldásban, bár ez nem szükségszerű, mivel a felbontás nem egyértelmű. Szinguláris felbontás alakban: ( ( + ( ( 6 } {{ } diád szorzat 6 } {{ } diád szorzat... Feladat. Számoljunk az alábbi mátrixra SVD-t! Először B A λ λ (( λ ( λ ( 4λ + λ ( λ ( λ( λ( λ λ Vagyis a sajátértékek: és a kétszeres. A szinguláris értékek:,,. A jobb sajátvektorok közül először a λ -hez tartozót: Ennek egy nem-nulla megoldása: (,,. Most a λ -hoz: Ennek magtere (nulltere két dimenziós. Ügyeljünk arra, hogy az összes független sajátvektort megtaláljuk! Sőt, szimmetrikus mátrix (amilyen B is sajátvektorai merőlegesek is egymásra! Két lehetséges vektor: (,, és (,,, így: V
Végezetül teljes SVD alakban: U 6 6 6 U AV, Σ, V... Feladat. Számítsuk ki az mátrix SVD felbontását! ( Megoldás. Számítsuk ki B A A sajátértékeit és sajátvektorait! ( ( ( B ( λ λ λ, ± Vegyük észre, hogy ez két pozitív szám. A szinguláris értékek ezek gyökei: sajátértékhez tartozó sajátvektor: [ [ + ± ±. Az első (gyök nélküli ennek egy nem-nulla megoldása az (, + vektor. A másik sajátértékhez tartozó sajátvektort nem számítjuk ki, mert erre merőleges kell legyen, mert B mátrix ortogonálisan diagonalizálható. Így a másik sajátvektor: ( +,. Ezzel megvannak a jobb-szinguláris vektorok, oszloponként mátrixba rendezve: ( V + + Ez után a bal-szinguláris vektorok: U AV U ( + + + U és V ezen mátrixokból úgy kapható meg, hogy oszlopaikat normalizáljuk, valamint Σ +..4. Feladat. Számítsunk SVD-t: B-hez sajátérték, sajátvektor: B A H i i i ( i i ( i 9 i i i i 6 i ( 9 λ i (9 λ(6 λ 4 i 6 λ 4
λ λ + (λ (λ A saját értékek: és. Figyelmjük meg, hogy az erei mátrix és B is komplex, de B önadjungált és sajátértékei nem-negatív (valós számok. A szinguláris értékek ezek gyökei: és. Az -höz tartozó sajátvektor: [ 4 i i Az első jobb-szinguláris vektor: ( i,. A -hez tartozó sajátvektor: [ i i 4 A második jobb-szinguláris vektor: (i,, így: Normálás után: U 4 i i 4i V ( i i 4 U AV i i 4i (, Σ, V ( i i.