Szá molá si feládáttí pusok á Ko zgázdásá gtán I. (BMEGT30A003) tá rgy zá rthelyi dolgozátá hoz 1. feladattípus a megadott adatok alapján lineáris keresleti, vagy kínálati függvény meghatározása 1.1. feladat példa keresleti függvény meghatározására Egy termékről a következő információk állnak rendelkezésünkre: Amennyiben a termék ára 120, a vevők 80 egységet vásárolnak belőle. 240 forintos egységár mellett a kereslet csak 40 egység. a.) Írjuk fel a termék keresleti függvényét, feltételezve, hogy az lineáris! Megoldási útmutató: Jelöljük a két pontot A-val és B-vel. A két pont koordinátái. Két ponton átmenő egyenes egyenletének felhasználásával a keresleti függvény meghatározható. Tegyük fel, hogy a két pont koordinátái általánosan felírva,. A két ponton átmenő egyenes egyenlete ( ). A feladatban a két változó a P (ár) és a Q (mennyiség). Behelyettesítve a feladat szövegében megadott értékeket a következő összefüggést kapjuk: Levezetve b.) Ábrázoljuk a függvényt, és jelöljük be a megadott pontokat! Megoldási útmutató: A függvény ábrázolásához meg kell határoznunk a keresleti függvény inverz alakját, azaz P-re át kell rendeznünk a fenti összefüggést.
Az ábra: c.) Határozzuk meg a rezervációs árat! Megoldási útmutató: A rezervációs ár az a legmagasabb ár, amelyet a fogyasztók képesek és hajlandóak kifizetni az adott jószágért. A rezervációs ár leolvasható az inverz keresleti függvényből, annak konstans tagja. A rezervációs ár leolvasható az ábráról is, a függőleges tengelymetszet. Esetünkben ez 360. Amennyiben a feladat egy kínálati függvény meghatározása a megadott adatok alapján, az eljárás ugyanaz, mint a fenti feladat esetében.
2. feladattípus egyéni keresleti/kínálati függvényekből piaci keresleti/kínálati függvény meghatározása, a piaci állapot elemzése 2.1. feladat példa egyéni keresleti függvényekből piaci keresleti függvény levezetésére Egy termék piacán 3 fogyasztó van jelen, jelöljük őket a következőképpen: A, B, C. Az egyéni keresleti függvényük a jószág iránt a következő összefüggésekkel írható le: a.) Ábrázoljuk az egyéni keresleti görbéket! Megoldási útmutató: Az egyéni keresleti görbék ábrázolásához először meg kell határoznunk a keresleti függvények inverz alakját, hiszen modellünkben olyan koordinátarendszerben dolgozunk, amelynek vízszintes tengelye a mennyiséget (Q), függőleges tengelye az árat (P) reprezentálja. A fogyasztó esetében a függőleges tengelymetszet 240, meredeksége -2, vízszintes tengelymetszet 120. B fogyasztó esetében a függőleges tengelymetszet 60, meredeksége -3, vízszintes tengelymetszet 20. C fogyasztó esetében a függőleges tengelymetszet 50, meredeksége -1, a vízszintes tengelymetszet 50. A vázlatos ábra:
b.) Határozzuk meg a piaci keresleti görbét! A megoldás során készítsünk ábrát, jelöljük a főbb pontokat! Megoldási útmutató: A piaci keresleti görbét horizontális összegzéssel tudjuk meghatározni. Azaz ártartományokra fogjuk elvégezni az összegzést. Párhuzamosan haladva a piaci keresleti függvény felírásával és az ábra elkészítésével, első lépésben vetítsük át a függőleges tengelymetszeteket az egyéni keresleti görbéket ábrázoló koordináta-rendszerekből a piaci keresleti görbét ábrázoló koordináta-rendszerbe. Vagy az ábráról, vagy pedig a keresleti görbék egyenletéből leolvashatóak az ártartományok, amelyek ki fogják adni a piaci keresleti függvény szakaszait. Ebben a feladatban a rezervációs árak 240, 60, illetve 50. Amennyiben a piaci ár 240 felett van, egyik fogyasztó sem támaszt keresletet az adott jószág iránt, azaz ekkor a piaci kereslet 0. Amennyiben az ár 60 és 240 között van, A fogyasztó keresleti függvényének e két érték közötti szakasza képezi a piaci keresleti függvényt, hiszen csupán ez a fogyasztó képes és hajlandó ekkora összeget fizetni a jószágért. Így a piaci keresleti függvény ezen szakaszon. 60 és 50 ár között már A és B fogyasztó is keresletet támaszt a vizsgált jószág iránt. Ekkor a piaci keresleti függvény ezen szakasza A és B fogyasztók keresleti függvényeinek összege:. 50 ár alatt mindhárom fogyasztó belép a piacra, ekkor a piaci keresleti függvény ezen szakasza A, B, C fogyasztók keresleti függvényeinek összege lesz, azaz Tehát a piaci keresleti függvény Fontos! A piaci keresleti függvény változója P, azaz az ár. NEM az inverz alakot szükséges meghatározni! A piaci keresleti függvény vázlatos ábrája: { P 190 Q
c.) Melyik az az ártartomány, ahol nem lehet eladni a piacon? Megoldási útmutató: Abban az ártartományban nem lehet eladni a piacon, amely magasabb, mint a legmagasabb rezervációs ár, amely az egyéni fogyasztóknál megfigyelhető. Esetünkben ha. d.) Mekkora az az ártartomány, ahol a legmagasabb a keresett mennyiség mértéke a vizsgált jószágból? Megoldási útmutató: A piaci kereslet abban az ártartományban a legmagasabb, ahol mindhárom fogyasztó keresletet támaszt a jószág iránt a piacon. Esetünkben ez e.) Mekkora a kereslet ár mellett? Megoldási útmutató: ár mellett a keresleti függvény szakaszát kell figyelembe vennünk. Ekkor 2.2. feladat egyéni keresleti függvényekből piaci keresleti függvény levezetése Egy jószág piacán 1000 fogyasztó van jelen. A fogyasztók keresleti függvényeire vonatkozó összefüggés megegyezik mindenkinél, azaz egy reprezentatív fogyasztó keresleti függvénye a.) Ábrázoljuk a reprezentatív fogyasztó keresleti görbéjét a megszokott koordinátarendszerben! Megoldási útmutató: Meg kell határoznunk a keresleti függvény inverz alakját, azaz lesz az ábrázolható alak a szokásos koordinátarendszerben, ahol vízszintes tengelyen ábrázoljuk a mennyiséget, azaz Q-t és függőleges tengelyen P-t, azaz az árat.
b.) Határozzuk meg a piaci keresleti függvényt, majd ábrázoljuk is azt! Megoldási útmutató: A piaci keresleti függvény meghatározásánál, tekintve, hogy minden fogyasztó keresleti összefüggése megegyezik, viszonylag egyszerű dolgunk van. Csupán kettő ártartomány vizsgálata szükséges, hiszen minden fogyasztó rezervációs ára ugyanannyi, 100. A piaci keresleti függvény a következő: { Ábrázoljuk a piaci keresleti függvényt! Ehhez az inverz alakot szükséges először meghatároznunk.. A piaci keresleti görbe vázlatos képe: Amennyiben a feladat egy piaci kínálati függvény meghatározása a megadott adatok alapján, az eljárás ugyanaz, mint a fenti feladat esetében.
2.3. feladat egyéni kínálati függvényekből piaci kínálati függvény levezetése Egy piacon két termelő van jelen, akiknek inverz kínálati függvényei a következőek: Határozzuk meg és ábrázoljuk a piaci kínálati függvényt! Megoldási útmutató: Az egyéni kínálatokra vonatkozó összefüggések olyan alakban vannak megadva, amely ábrázolásra alkalmas a szokásos koordináta-rendszerben (vízszintes tengelyen ábrázoljuk a mennyiséget, függőleges tengelyen az árat). P P I. II. P Piaci kínálati görbe 100 100 20 20 Q Q Q Tekintettel arra, hogy az egyéni kínálati függvények inverz alakban voltak megadva, meg kell határoznunk a kínálati függvényeket ahhoz, hogy el tudjuk végezni az összegzést. I. II. Amikor a piaci ár 20 alatt van, egyik termelő sincs jelen a piacon, ekkor a piaci kínálat 0. A 20 ár alatti tartományban egyik termelőnek sem éri meg piacra vinni termékét. A 20 és 100 ár között csupán a II-es termelő jelenik meg a piacon, így a piaci kínálati függvény ezen szakasza a II-es termelő ezen szakaszra vetített kínálati függvényével egyezik meg. Amennyiben az ár 100 felett van, mindkét termelő belép a piacra. Ekkor a piaci kínálati függvény a két egyéni kínálati függvény összege lesz. Tehát {
3. feladattípus Piaci állapot modellezése 3.1. feladat megadott keresleti és kínálati függvényekből piaci egyensúlyi állapot meghatározása, fogyasztói többlet, illetve termelői többlet számítása, mennyiségi adó hatásának vizsgálata, holtteher-veszteség számítás az adó bevezetésének következtében Egy piacon a kínálati viszonyokat reprezentáló összefüggés a következő: keresleti függvény pedig., a a.) Határozzuk meg a piacon kialakuló egyensúlyi árat és egyensúlyi mennyiséget! Megoldási útmutató: Ott alakul ki a piacon az egyensúly, ahol a keresleti és a kínálati függvények metszik egymást, azaz Ezt az árat visszahelyettesítve vagy a keresleti, vagy a kínálati függvénybe, megkapjuk az egyensúlyi mennyiséget a piacon: b.) Mekkora termelői többletet realizálnak a termelők és mekkora fogyasztói többletet a fogyasztók? Megoldási útmutató: Először célszerű ábrát készíteni. Ahhoz, hogy a szokásos koordináta-rendszerben (azaz vízszintes tengelyen a mennyiséget, függőleges tengelyen az árat jelölve) ábrázolni lehessen a fenti függvényeket, szükséges azok inverzét meghatározni, azaz átrendezni azokat a következőképpen: Az ábra vázlatos képe:
A fogyasztói többlet a fogyasztói rezervációs ár és a piaci ár különbségeként keletkező többlet (nem várt megtakarítás) a fogyasztónál. Képletesen a rezerváció ár, az egyensúlyi ár és a keresleti és kínálati görbe metszéspontja által körülhatárolt síkidom területe. Az ábrán kékkel jelölt háromszög. A háromszög területszámítási képletét alkalmazva A termelői többlet a termelői minimum ár és a piaci ár különbségeként keletkező többlet (nem várt plusz bevétel a termelőnél). Képletesen a fenti ábrán sárgával jelölt síkidom területe. A háromszög területszámítási képletét alkalmazva c.) Tegyük fel, hogy az állam 20 egységnyi mennyiségi adót vet ki a piacra, amit a termelőknek szükséges fizetniük. Határozzuk meg az adó bevezetésének következtében kialakult árat és mennyiséget a piacon! Megoldási útmutató: A termelők fizetik a mennyiségi adót, így a kínálati összefüggés módosul: a kínálati görbe el fog tolódni az adó mértékével balra/felfelé, azaz Ez annak a következménye, hogy a bruttó ár nem más, mint a nettó ár és a mennyiségi adó összege, azaz. Ekkor a piacon kialakuló ár, valamint az ár. d.) Mennyivel változott a fogyasztói többlet és a termelői többlet mértéke? Mekkora az adóbevétel és mekkora holtteher-veszteség keletkezett? Megoldási útmutató: Az adóbevezetés után megmaradt fogyasztói többlet az ábrán narancssárgával jelölt terület, a termelői többlet pedig bordó színnel van prezentálva. Ábra: S 45 65 30 35
Az adóbevétel az adómennyiség és a piacon gazdát cserélt termékek számának szorzata, azaz a bruttó ár és a nettó ár különbségének és a piaci mennyiség szorzata. Az ábrán ez egy zöld színű téglalappal prezentált terület, amelynek (ebben a feladatban) hosszabb oldala 35 egység hosszú (ennyi termék cserél gazdát a piacon az adó bevezetése után), a rövidebb oldal 65-45=20 hosszú (ez éppen az adó mértéke). Az adóbevétel tehát A holtteher-veszteség az az össz-társadalmi veszteség, amely abból adódik, hogy adóbevezetés formájában az állam beavatkozott a piacra, ennek következtében kevesebb termék cserélt gazdát. Az ábrán citromsárga színnel prezentált háromszög területe a holtteher-veszteség. Ha le szeretnénk ellenőrizni számításainkat, célszerű az eredeti fogyasztói többlet és az eredeti termelői többlet értékét összeadni (ez most 1012,5+1012,5=2025). Ha ez megegyezik az adóbevezetés utáni fogyasztói többlet, termelői többlet, adóbevétel és holtteher-veszteség összegével (esetünkben ez 612,5+612,5+700+100=2025), akkor feltételezhetően a számításaink helyesek. e.) Hogyan módosul a piaci ár és a piacon eladott mennyiség abban az esetben, ha az adót a fogyasztóknak szükséges fizetni? Megoldási útmutató: Ebben az esetben a nettó áron cserélnek gazdát a termékek a piacon és a fogyasztók fogják a termékek után befizetni az adót. Képletesen ez azt jelenti, hogy most a keresleti görbe tolódik el az ábrán az adó mértékével (ennek algebrai levezetését részletesen megtettük a foglalkozáson). Tehát az inverz keresleti görbe áttranszformálása lesz az áttranszformált inverz keresleti görbe egyenlete. Ekkor a piaci ár és mennyiség Látható, hogy a piacon gazdát cserélt termékmennyiség megegyezik azzal az esettel, amikor a termelők fizették az adót. A piaci ár most az adó nélküli ár, a gazdát cserélt
termékek után a fogyasztók utólag fizetik most be az adót. Tekintsük meg ezt az állapotot a következő ábrán! 65 45 D 35 3.2. feladat ármaximálás hatása a piaci egyensúlyra Egy termék piacán a keresleti viszonyok a inverz keresleti, a kínálati viszonyok a inverz kínálati görbékkel jellemezhetőek. a.) Határozzuk meg a piacon kialakuló egyensúlyi árat és mennyiséget! Megoldási útmutató: Ekkor a két görbe metszéspontjában alakul ki az egyensúlyi mennyiség és egyensúlyi ár, azaz b.) Tegyük fel, hogy az állam a fenti adatokkal jellemzett piacon maximum árat szab meg, P=20. Határozzuk meg ebben az esetben kialakuló piaci mennyiséget! Megoldási útmutató: P=20 ár mellett a kínálat a kereslet. Ebben az esetben a piacon gazdát cserélt mennyiség Q=10. c.) Határozzuk meg, hogy az ármaximálás következtében mennyivel módosult a fogyasztói többlet, illetve a termelői többlet értéke, valamint számítsuk ki a holtteherveszteséget is! Megoldási útmutató: Először számítsuk ki az állami intézkedés előtti fogyasztói többletet és termelői többletet! Segítségképpen készítsünk ábrát! FT TT
Most tekintsük az ármaximálás utáni állapotot! Az ármaximálás utáni állapot látható az ábrán. A gazdát cserélt termékek száma 10. Hiába 30 a keresett mennyiség a termékből 20-as ár mellett a piacon, a termelők csak 10 mennyiségi egységet hajlandóak piacra vinni. Ekkor a fogyasztói többlet az ábrán narancssárgával jelölt síkidom területe. A feladatban a kérdés a fogyasztói többlet értékének módosulása, így a válasz= 400- ról 500-ra nőtt, azaz 100-zal nőtt a fogyasztói többlet az ármaximálás hatására. A termelői többlet a kékkel jelölt síkidom területe. Az eredeti termelői többlet 400, így 400-100=300-zal csökkent a termelői többlet az intézkedés hatására A holtteher-veszteség a zöld háromszög területe.