Gyakorlati útmutató a Tartók statikája I. tárgyhoz Fekete Ferenc 4. gyakorlat Széchenyi István Egyetem, 0..3.
. Feladat Határozza meg a képen látható tartó A támaszra vonatkozó reakcióerő hatásábráját, valamint a K keresztmetszertre vonatkozó nyíróerő és nyomatéki hatásábrákat. A hatásábra leterhelésével állapítsa meg a mértékadó pozitív és negatív A ponti támaszreakciót, valamint a K keresztmetszet mértékadó pozitív és negatív nyíró és nyomatéki igénybevételét. (A terheléseknél a koncentrált erők KN-ban vannak, távolságuk m-ben. g a tartót terhelő önsúly teher, p esetleges teher.) K A B m 3, m, m 3 m 0, 0, g=, kn/m q=,4 kn/m. Feladat megoldása Felrajzoltuk a tartó tartó A támaszra vonatkozó reakcióerő hatásábráját, és elhelyezzük a terheket a hatásábra alapján mértékadó helyzetekben. A koncentrált erőkből álló tehercsoport a legnagyobb pozitív reakciót okozó helyzetben folytonos, a legnagyobb negatív reakciót okozó helyzetben szaggatott vonallal van berajzolva. Az esetleges teher hasonló jelöléssel szerepel az ábrán. Az önsúly a teljes tartón működik akár a legnagyobb pozitív, akár a legnagyobb negatív reakcióerőt keressük. K A B m 3, m, m 3 m } 3 = 0,6 η (A) 7 = +,4 6, = +,4,4 = +,0,4 = 0,, = 0,44
A megoszló terhekkel történő leterheléshez szükségünk lesz a hatásábra egyes szakaszain az ábra alatti területre. Az ábra két háromszögből áll. Jelölje F a baloldali, F a jobboldali háromszög területét, iletve F a teljes területet: F = +4,9 F = 0,9 F = F + F = +4,0 Ezekkel a hatásábra mértékadó leterhelése: A + max = 4, + 4,9,4 + (,4 +,4 +,0) = 4 kn A max = 4, 0,9,4 (0,6 + 0,44 + 0,) = 0 kn A K keresztmetszet nyíróerő-hatásábrája és a mértékadó teherállásban a szükséges ordinátái: K A B m 3, m, m 3 m } 3 = 0,6 η (TK ) = +0,4 {, = +0,4 0,4 = +0,0,9 = 0,3,7 = 0,4 3, = 0,7 Itt a megoszló terhekkel történő leterheléshez négy háromszög területét kell meghatározni. Jelölje az ábrán ballról jobbra egymást követő háromszögek területét rendre F, F, F 3 és F 4, a teljes területet pedig F: F + F 3 = 0,4 + 0,3, = +0,6 0,7 3, F + F 4 = + 0,6 3 =, F = F + F + F 3 + F 4 =,
Ezekkel a keresztmetszet nyíróigénybevétele: T + max =,, + 0,6,4 + (0,4 + 0,4 + 0,0) =,4 kn T max =,,,,4 (0,3 + 0,4 + 0,7) = 0,4 kn A K keresztmetszer nyomatéki-hatásábrája és a mértékadó teherállásban a szükséges ordináták: K A B m 3, m, m 3 m,0 3, = 0,6 { η (MK ),7 = 0,,0 3, 3, =,0 0,7 = 0,49,0,,,4 = 0,9,0,, =,4,0,,0, 3 =, Az előzőekhez hasonlóan itt is F, F, F 3, és F jelöli a részterületeket sorban: F + F 3 = 0,6 } {{ } 0,6 +, 3 = 3,7 } {{ } 3, F =,0 =,6 F = F + F + F 3 = 0, Ezekkel a keresztmetszet nyíróigénybevétele: M + max =,, +,6,4 + (0, +,0 + 0,49) = 9,6 kn M max =,, 3,7,4 (0,9 +,4 +,) = 9,9 kn 3
. Feladat Határzza meg a következő tartó igénybevételi ábráit. p =kn/m p =4kN/m,EI knm,ei 0kN EI,EI 6m 4m,EI 6m m 6m. Feladat megoldása A feladat megoldását a szerkezet rúdelemekre bontásával és a szabadsági fokok meghatározásával kezdjük: 3 4 Θ Θ olalán. Ugyanez a példa megtalálható Kurutzné Kovács Márta: Tartók Statikája c. egyetemi jegyzet 303. 4
A terhelési tényezők meghatározásához felhasználjuk a mindkét végén befogott és a vegyes támasztású rúdelem ismert megoldásait: p p l l pl pl pl 3 pl pl pl pl F F l l F F 6 F 6 F Fl Fl 3 6 Fl Ezekkel a,,megmerevített tartó nyomatéki ábrája (csak a csomópontok egyensúlya szempontjából lényeges értékeket írtuk fel): p l 3 = = 0,667 p l = 6 = 6 0,667 p l = 4 4 = 3 6 Fl 4 = 3 0 4 = 7, 6 Ezek a megoldások egyebek mellett megtalálhatók Kurutzné Kovács Márta: Tartók Statikája c. egyetemi jegyzet 3. olalán.
( 3 4 Θ ) Θ elfordítás beiktatásakor a tartó nyomatéki ábrája: 4, 6 Θ = Θ 4, Θ = 0,9Θ,EI l 3 Θ =, Θ = 0,4Θ 4, 6 Θ =,Θ 3 4 ( Θ ) Θ elfordítás beiktatásakor a tartó nyomatéki ábrája: 0,4Θ 4, Θ = 0,9Θ 3 EI l Θ = 3 6 Θ = Θ 3,EI l 4 Θ = 3, 4 Θ = 0,9Θ Az egyes csomópont egyensúlyát kifelyező egyenlet: Θ + 0,9 Θ +, Θ + 0,4 θ + 6 0,667 = 0 A kettes csomópont egyensúlyát kifejező egyenlet: 0,4 Θ + 0,9 Θ + Θ + 0,9 Θ + 0,667 + 7, = 0 A két egyenletből álló lineáris egyenletrendszer mátrix alakja: [ ] [ ] [ ] + 0,9 +, 0,4 Θ 6,667 = 0,4 0,9 + + 0,9 Θ 0,667 vagyis: [ 3, 0,4 0,4, ] [ Θ ] [ = Θ 6,667 0,667 ] Eliminációval megoldva (a második egyenletből kivonjuk az első 0,4 3, -szeresét): 3, 0,4 0, 0,4 0,4 [ ] Θ 6,667 = 3, Θ 0,667 6,667 0,4 3, 6
Visszahelyettesítés: A második egyenletből: Θ = Az elsőből: Θ = Ezzel a végleges nyomatéki ábra: 0,667 6,667 0,4 3,, 0,4 0,4 3, 6,667 + 0,4 0,94 3, = 0,94 =,4 6 + 0,,4 = 3,43 ( 6,4) =,4 0,667 + 0,9,4 0,4 0,94 = 6,3 0,667 0,4,4 + 0,9 0,94 =,97 0,94 =,94,,4 = 6,67 7, 0,9 0,94 = 6,649 6, 0, 0,9 0,94 = 6,676 0,6,4 = 3,30 7