Atomfizika A hidrogén lámpa színképei - Elektronok H atom emisszió Fényképlemez V + H 2 gáz Az atom és kvantumfizika fejlődésének fontos szakasza volt a hidrogén lámpa színképeinek leírása, és a vonalas spektrum okainak megértése. A hidrogén lámpa esetében (a többi katódsugár csöves berendezéshez hasonlóan) a kísérleti elrendezés egy hidrogén gázzal töltött vákuum csőből áll, amelyre feszültséget kapcsolunk. A feszültség beállításával egy prizma vagy optikai rács segítségével vonalas színképet figyelhetünk meg. A vonalak pozíciójának leírásában először Balmer ért el eredményt, aki a látható tartományba tartozó vonalak pozícióját tudta meghatározni.
A kísérleti eredményeket végül Rydberg összegezte, aki egy olyan képletet alkotott meg, amely az UV-ban és az infravörösben megfigyelhető vonalak pozícióját is megadta : 1 1 1 2 n1 n2 R H 2 ahol RH a Rydberg állandó (a hidrogén atomra) és értéke RH = 1.09737 10 7 m -1. n1 egész szám (1 a Lyman, 2 a Balmer vonalak esetében) n2 pedig n1 + 1, n1 + 2, n1 + 3 Az 1900-as évek elején Bohr arra kereste a választ, hogy mi állhat a megfigyelt vonalas színkép hátterében. Bohr -model A Rutherford-féle naprendszer-szerű atommodell korrekciójára Bohr egy sor posztulátumot vezetett be: 1. A Rutherford-modell helyes 2. A klasszikus elektromágnesség elmélete nem érvényes az atommag körül mozgó elektronra. 3. Az atommag körül mozgó elektronra Newton-törvényei érvényesek 4. Az elektronok stabil pályákon mozognak az atommag körül 5. Az impulzusmomentum (lehet perdületnek is hívni) kvantált: L = m h h mv r = m n, ahol n = 1, 2, 3 2π 2π 6. Ahhoz, hogy az elektron egy magasabb energiájú pályára kerüljön a két energianívó közötti különbségnek megfelelő frekvenciájú gerjesztő fény szükséges, a Planck-
Einstein képletnek megfelelően: E2 E1= h, ahol h a Planck-állandó (h=6.626 10 34 Js), a gerjesztő fény frekvenciája. Ha az elektron körpályán mozog az atommag körül és érvényesek rá a mechanika törvényei, akkor a centripetális erő megegyezik a Coulomb-féle elektrosztatikai erővel, amely a proton és az elektron között fellép. Ezt figyelembe véve: q 1 q 2 1 4πε 0 r 2 = mv2 r Mivel a proton és az elektron töltése egyforma, ezért a fenti egyenlet a következőképpen módosul: e 2 1 v2 = m 4πε 0 r2 r (2) A kvantálási feltételből kiszámítható a sebesség: v = nh m2πr Ezt felhasználva és visszahelyettesítve a (2)-es egyenletbe a sugárra a következő kifejezést kapjuk: r = h2 ε 0 mπe 2 n2
r = a 0 n 2 (3), ahol a0= 0.529 Å, neve pedig Bohr-magneton. Ez alapvetően egy meglepő eredmény: azt feltételezve, hogy az impulzusmomentum kvantált, az következik, hogy az elektron sugara is az lesz. Vagyis az elektron csak meghatározott sugarú pályákon keringhet a mag körül. Ha ki akarjuk számolni a keringő elektron energiáját, akkor ez a kinetikus és a potenciális energia összege lesz. Etotal = Ekin + Epot E = 1 2 mv2 1 e 2 4πε 0 r A kinetikus energia könnyen kifejezhető a 2-es egyenletből, méghozzá úgy, hogy a baloldali tagot beszorozzuk r-rel és elosztjuk kettővel. Az energia ennek megfelelően a következő módon írható fel E = 1 2 r e2 1 4πε 0 r 2 1 e 2 4πε 0 r = 1 e 2 8πε 0 r Behelyettesítve a sugár értékét a (3)-as egyenletből: E = me4 8πε 0 1 a 0 n 2 A konstansokat beszorozva kapjuk az alábbi egyszerű eredményt: E = K 1 n 2 (4), ahol K is értéke 2.18 10-18 J Az energiaátmenetekhez szükséges energia tehát ΔE = E n2 E n1 = K ( 1 n 2 2 1 n 1 2) = K ( 1 n 1 2 1 n 2 2) (5)
Az (5)-ös egyenletet nézve feltűnő a hasonlóság a Rydberg-féle egyenlettel. A Bohr posztulátumokból tehát magyarázatot kapunk a hidrogén lámpa színképeire. A (4)-es egyenletből pedig látszik, hogy az elektron energiája is kvantált! Az (5)-ös egyenletből kiszámítható az az energia (ionizációs energia), amely ahhoz kell, hogy a legalacsonyabb energianívón elhelyezkedő elektront kiszakítsuk az atomból. ΔE = 0 E 1 = K 1 1 2 = K E ion = K = 2.18 10 18 J = 13.6eV Louis Victor de Broglie, 1924 De Broglie, aki egy francia arisztokrata volt, de később fizikából szerzett doktori címet, doktori értekezésében azt a kérdést tette fel, hogy ha a fény egyben részecske, akkor vajon az elektron elképzelhető-e hullámként. De Broglie abból indult ki, hogy az elektron egyfajta állóhullámként van jelen az atommag körül, amelynek a hullámhossza a következő módon számolható: λ = h p = 1 mv (6)
Az állóhullámok esetében megismert kényszerfeltételt alkalmazva (a kör kerülete a hullámhossz egész számú többszöröse kell legyen) 2πr = n λ Behelyettesítve a (6)-os egyenletben szereplő hullámhosszat, a következő eredményre jutunk: 2πr = n h mv Ami nem más mint a Bohr-féle kvantálási feltétel mvr = n h 2π A kísérleti eredmények de Brogliet igazolták: 1927-ben Davisson és Germer elektronokkal bombáztak nikkel kristályokat, és a diffrakciót figyeltek meg, amelyből meg tudták határozni az elektron nyaláb hullámhosszát, amely megegyezett a de Broglie hipotézisből számolt hullámhosszal.