Matematika szintfelmérő dolgozat a 018 nyarán felvettek részére 018. augusztus 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 6 ( ) x 4 13 9 6 4 x 13 6 x + 6 9 x = 0 osztás 9 x -nel ( 6 9 6 4x 6x 13 9x 9 + 6 = 0 ) x x + 6 = 0 új ismeretlen: y = 6y 13y + 6 = 0 ( ) x 3 Ennek gyökei: y 1 = 3, y = 3. Az x-re visszatérve: x 1 = 1, x = 1. (8 pont) Oldjuk meg a következő egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: log 1 (4 x 5 x + 8) < Az egyenlőtlenség értelmezési tartománya: {x R 4 x 5 x + 8 > 0}. ( ) 1 Mivel = log 1 = log 1 4, ezért az egyenlőtlenség: A log 1 log 1 (4 x 5 x + 8) < log 1 4 függvény szigorúan csökkenő, ezért: 4 x 5 x +8 > 4, az ilyen x-ek benne vannak az értelmezési tartományban is. Új ismeretlen: y = x : y 5y + 4 > 0; ennek megoldása: y < 1 vagy y > 4. Ebből számoljuk x-et: x < 0 vagy x >.
3. (9 pont) Egy szabályos játékkocka két oldalára 0-át, két oldalára -est, két oldalára 4-est írunk. A dobókockát ötször egymás után feldobjuk, és a dobások eredményét rendre feljegyezzük. (a) Hányféle számötöst jegyezhetünk fel? (b) Ezek közül hányféle számötös esetében lesz a dobott számok összege 10? a) Mivel a dobások során az öt hely bármelyikére háromféle számot (0; ; 4) dobhatunk, a rendezett számötösök száma 3 5 = 43 (ismétléses variáció) b) Ha a dobott pontok összegét tekintjük csak, és a dobások sorrendjét nem, akkor 10-et összegként háromféleképpen kaphatunk 1. eset: 4 + 4 + + 0 + 0 = 10. eset: 4 + + + + 0 = 10 3. eset: + + + + = 10 Az 1. esetben ezt az öt számot permutáció) A. esetben ezt az öt számot permutáció) 5!! 1!! 5! 1! 3! 1! = 30-féle sorrendben dobhatjuk (ismétléses = 0-féle sorrendben dobhatjuk (ismétléses 5! A 3. esetben ezt az öt számot = 1-féle sorrendben dobhatjuk (ismétléses permutáció, de az egyféle sorrend közvetlenül is látszik). 1 0! 5! 0! pont A 10-es összeget adó számötösök száma tehát 30 + 0 + 1 = 51. 4. (9 pont) Számítsuk ki a következő kifejezések pontos értékét: a) log 5 5 5 5 5 b) 100 1 lg 5 c) 0, 5 3 16 1,5 5 ( ) a) log 5 5 5 5 = log 5 5 1 5 1 5 1 5 = log 5 5 1 1 1 1 5 = 1 1 5 = 7 10 3 pont
b) 100 1 lg 5 = 100 1 100 lg 5 = 100 ( ) = ( 100 10 lg 5 5 = 16 3 pont ) c) 0, 5 3 16 1,5 = ( ) 3 1 3 3 16 = 4 4 3 9 = 4 = 9 = 51 3 pont 4 5. (1) Egy számtani sorozat első 7 tagjának összege 105. E sorozat első, harmadik és hetedik tagja egy mértani sorozat három egymást követő tagja. Számítsuk ki a számtani sorozat első tagját, különbségét és a mértani sorozat hányadosát! A számtani sorozat tagjait a 1, a, a 3,..., különbségét d, az első 7 tag összegét S 7 jelölje. S 7 = 7 (a 1 + (7 1)d) = 105 Átrendezve: a 1 + 3d = 15. 3 pont Mivel a 1, a 3, a 7 mértani sorozat: a 3 = a 1 a 7. Mivel a 3 = a 1 + d, a 7 = a 1 + 6d, behelyettesítve: (a 1 + d) = a 1 (a 1 + 6d) 3 pont Két egyenletet kaptunk két ismeretlennel: a 1 + 3d = 15; (a 1 + d) = a 1 (a 1 + 6d) Ezt az egyenletrendszert megoldhatjuk a helyettesítő módszerrel: a 1 = 15 3d; (15 3d + d) = (15 3d) (15 3d + 6d); stb. Megoldás: a 1 = 15, d = 0 vagy a 1 = 6, d = 3. 3 pont A feladatnak két megoldása van: 1. megoldás (konstans sorozat): a 1 = 15, d = 0, a mértani sorozat hányadosa q = 1.. megoldás: a 1 = 6, d = 3, a mértani sorozat hányadosa q =.
6. (1) Az egymástól 4 km-re levő A és B pontból egyszerre indul egymással szembe két gépkocsi. Találkozásuk után 16 perccel az A pontból indult gépkocsi a B pontba érkezik, a másik gépkocsi pedig a találkozás után 4 perccel érkezik az A pontba. Mekkora a két gépkocsi sebessége? Az utat km-ben, az időt percben, a sebességet km -ben mérjük. perc Az A-ból induló gépkocsi sebességét x, a B-ből indulóét y a találkozásig eltelt időt t jelölje. Az A-ból induló kocsi xt, a B-ből induló kocsi yt utat tesz meg a találkozásig. A két út összege AB = 4: xt + yt = 4 A teljes AB = 4 úton az A-ból induló kocsi t + 16 ideig mozog x sebességgel: x(t + 16) = 4 A teljes AB = 4 úton a B-ból induló kocsi t + 4 ideig mozog y sebességgel: y(t + 4) = 4 Három egyenletet kaptunk három ismeretlennel: xt + yt = 4; x(t + 16) = 4; y(t + 4) = 4 Ezt az egyenletrendszert helyettesítő módszerrel oldjuk meg. A második és a harmadik egyenletből x-et és y-t kifejezzük t-vel, majd az első egyenletbe helyettesítjük: 4 t + 16 t + 4 t + 4 t = 4 Ennek egyetlen pozitív gyöke: t = 8. Ebből x = 1, y =. Tehát az A-ból induló autó sebessége 1 km perc = 60km h, a B-ből indulóé km perc = 10km h.
7. (1) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: (cos x) 1 + tg x = 1,5 + sin (x) Az egyenlet értelmezési tartománya: {x R cos x 0}. Átalakítás: 1 + tg x = 1 + sin x cos x = cos x + sin x cos x = 1 cos x = 1 cos x Beírjuk az egyenletbe: (cos x) 1 cos x = 1,5 + sin (x) A bal oldal értéke 1 ha cos x > 0, 1, ha cos x < 0. cos x > 0 eset: Ekkor az egyenlet: 1 = 1,5 + sin (x), átrendezve sin(x) = 1 Ebből -vel osztunk: x = 7π 6 + k π (k Z) vagy x = 11π 6 + k π (k Z) x = 7π 11π + k π (k Z) vagy x = + k π (k Z) 1 1 Ezekből pontosan azok teljesítik a cos x > 0 feltételt, amelyeknél k páratlan: k = m + 1: x = 7π 11π + (m + 1)π (m Z) vagy x = + (m + 1)π (m Z) 1 1 cos x < 0 eset: Ekkor az egyenlet: 1 = 1,5 + sin (x), átrndezve sin(x) =,5 Mive a sinus-értékek csak 1 és 1 között lehetnek, ezért ez az eset nem ad megoldást. Összefoglalva, az egyenlet megoldása: x 1 = 7π 1 + (m + 1)π (m Z); x = 11π + (m + 1)π (m Z) 1
8. (14 pont) Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán: logx 9 = 1 log 3 x Az egyenlet értelmezési tartományát kijelölő feltételek: Az egyenlőtlenséget átalakítjuk: x > 0, x 1, log x 9 0. log x 9 ; log 9 9 log 9 x ; 1 log 9 x Ha 0 < x < 1, akkor az egyenlőtlenség igaz, mivel bal oldala negatív, jobb oldala pozitív Ha x > 1, akkor mindkét oldal pozitív, vehetünk reciprokot: log 9 x 1, azaz x 9 1 = 3. Az egyenlet értelmezési tartománya tehát: 0 < x < 1 vagy x 3. Következik az egyenlet megoldása: logx 9 = 1 log 3 x Ha x 3, akkor log 3 x > 0, ezért a jobb oldal negatív. Mivel a bal oldal nem negatív, ezért az x 3 számok körében nincs megoldás. Ha 0 < x < 1, akkor mindkét oldal nemnegatív, ezért a négyzetre emelhetünk: log x 9 = 1 (log 3 x) A bal oldalon 3-as alapú logaritmusra térünk: log 3 9 log 3 x = 1 (log 3 x) új ismeretlen: y = log 3 x y = 1 y átalakítva: y y 6 = 0. Ennek gyökei: y 1 = 3, y =. Ezekből számoljuk x-et: y 1 = 3; log 3 x = 3; x = 3 3 = 7 hamis gyök, mivel nem igaz rá, hogy 0 < x < 1 y = ; log 3 x = ; x = 3 = 1, ez gyök, mivel igaz rá, 9 hogy 0 < x < 1 Tehát az egyenletnek egyetlen gyöke van: x = 1 9.