4. példa: 7-4 részfaktorterv+fold-over, centrumponttal A kísérletek célja egy speciális anyag optimális előállítási körülményeinek meghatározása volt. A célfüggvény a kihozatal %, melynek maimális értékét kell elérni. Faktorok : z reakcióidő, min; z hőmérséklet, C; z fordulatszám, /min; z 4 katalizátor koncentrációja, %; z 5 felesleg, %; z 6 nyomás, bar; z 7 szennyezés-koncentráció, %.. 4 z reakcióidő, min; z hőmérséklet, C; z fordulatszám, /min; z 4 katalizátor koncentrációja, %; z 5 felesleg, %; z 6 nyomás, bar; z 7 szennyezés-koncentráció, % Jellemzők z z z z 4 z 5 z 6 z 7 Alapszint, z j 0 75.5 450.5 5.5 0.5 Variációs intervallum, z j 5.5 50 0.5 5 0.5 0.5-70 0 400.0 0 0.00 + 80 5 500.0 0 4
Az. blokk: 7-4 rész-faktorterv, ismétlés a centrumpontban: = ; 5 = ; 6 = ; 4 = 7 i 0 4 5 6 7 y, % blokk + - - - + + + -.04 + + - - - - + + 4.65 + - + - - + - + 56.4 4 + + + - + - - - 66.9 5 + - - + + - - + 7.78 6 + + - + - + - - 48.6 7 + - + + - - + - 5. 8 + + + + + + + + 69.70 9 + 0 0 0 0 0 0 0 49.07 0 + 0 0 0 0 0 0 0 5.4 + 0 0 0 0 0 0 0 49.7 4 Kísérlettervezés 44
Factor Mean/Interc. Curvatr. ()idõ ()hõmérséklet ()ford.szám (4)kat.konc. (5)felesleg (6)nyomás (7)szenny.konc. Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=.9989; Adj:.994 (4fb_eample) **(7-4) design; MS Residual=.666 DV: y Include condition: Blokk= Effect Std.Err. t() p 49.450 0.45 9.84 0.000070.4067.58875 0.8855 0.46996 5.50000 0.8660 8.7508 0.008.500 0.8660 7.987 0.0074-0.06500 0.8660-0.0786 0.944484 -.000 0.8660 -.4880 57 4.000 0.8660 5.090 0.06458-0.9500 0.8660 -.90 0.79496 0.09000 0.8660 0.089 0.940 Factor 4 5 6 7 Confounding of Effects (4fb_eample) **(7-4) design (Factors are denoted by numbers) Include condition: Blokk= Alias Alias Alias *4 *5 6*7 *4 *6 5*7 *5 *6 4*7 * *7 5*6 * *7 4*6 *7 * 4*5 *6 *5 *4 45 A. blokk: fold-over ( centrumponttal) i 0 4 5 6 7 y, % blokk + + + + - - - + 65.9 + - + + + + - - 56.90 4 + + - + + - + - 4.4 5 + - - + - + + +.47 6 + + + - - + + - 7.8 7 + - + - + - + + 50.08 8 + + - - + + - + 47.6 9 + - - - - - - - 9. 0 + 0 0 0 0 0 0 0 49.89 + 0 0 0 0 0 0 0 49.6 + 0 0 0 0 0 0 0 5. 46
Factor Curvatr. ()idõ ()hõmérséklet ()ford.szám (4)kat.konc. (5)felesleg (6)nyomás (7)szenny.konc. by by by 4 by 5 by 6 by 7 by 4 Confounding of Effects (4fb_eample Alias Alias Factor Mean/Interc. Blokk() Curvatr. *7 5*6 ()idõ *7 4*6 ()hõmérséklet *6 5*7 ()ford.szám *6 4*7 (4)kat.konc. *5 *4 (5)felesleg * 4*5 (6)nyomás *5 6*7 (7)szenny.konc. by by by 4 by 5 by 6 by 7 by 4 Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=.9985; Adj:.9978 (4fb_eample) 7 factors at two levels; MS Residual=.9907 DV: y Effect Std.Err. t(5) p 49.78 0.469 0.407 0.000000-0.0909 0.45-0.00 0.84568.5404 0.9789.660 0.57756 5.0775 0.48458.096 0.00000.65 0.48458 47.94 0.000000-0.65 0.48458-0.4669 0.6608-0.6675 0.48458 -.699 0.904 4.5975 0.48458 9.4807 0.000-0.88875 0.48458 -.84 0.608-0.6475 0.48458 -.86 0.490-0.5665 0.48458 -.686 0.95-0.875 0.48458-0.790 0.46465-0.085 0.48458-0.677 0.8740 0.65 0.48458 0.8 79 0.775 0.48458.54 0.9067-0.065 0.48458-0.0748 0.9464 0.465 0.48458 0.8797 0.4985 47 A felesleget ( 5 ill. z 5 ) nem lehet tovább növelni. így azt a fölső szintjén rögzítették ( ). 5 = + Az illesztett lineáris függvény: Yˆ = 49.8+ 7.54 +.6+. 05 = 5.58+ 7.54 +. 6 ( + ) 5. 58 49.8 +.0 = A célfüggvény maimumát (optimum) az és független változók terében keressük tovább. 48
49 Bo és Wilson módszere az optimum megközelítésére L M N R 50 p p f f f f grad δ δ δ + + + = K δ j ahol a j-edik koordinátatengely irányába mutató egységvektor.. ˆ,, ˆ, ˆ p p b Y b Y b Y = = = K b p p +b b +b +b Y + + = 0 ˆ
A gradiens-függvény: gradyˆ = b δ + bδ + K+ b p δ p A gradiens irányában úgy haladhatunk, ha az tengely mentén b, az tengely mentén b nagyságú stb. lépést teszünk. Az j koordinátában az egységnyi lépés a z j eredeti fizikai skálán z j. 5 A gradiens: g A tervpontokra illesztett modell: b Yˆ = b 0+b +b 0 - b - 0 n tervpontok g lépésterv 5
5. példa: a 4. példa folytatása; lépésterv a gradiens mentén A tervpontokra illesztett egyenlet: Y ˆ = 5.58+ 7.54 +. 6 j 0 z j 75.5 z j 5.5 b j 7.54.6 b z 7.70 9.0 j j lépés.5.9 b b.6 = 7.54 =.540 5 sorszám idő, min hőm., C y, % tervcentrum 0 0 75.0.5 0.5 0.77 77.5 4.4.0.54 80.0 6.4.5. 8.5 8. 8.80.0.08 85.0 40. 4.5.85 87.5 4. 94.0.0 4.6 90.0 44. 5.5 5.9 9.5 46.0 97.6 4.0 6.6 95.0 47.9 6 4.5 6.9 97.5 49.8 9.4 54
6 50 48 9.4 5 46 44 97.6 4 4 94.0 hőm. C 40 8 8.80 6 4 0-0 5.58 tervpontok lépésterv 8 65 70 75 80 85 90 95 00 idő, min - 0 4 55 6. példa: az 5. példa folytatása; terv az optimum közelében sorszám idő, min hőm., C y, % 80 40 - - 8.0 00 40 + - 9.69 80 50 - + 9.4 4 00 50 + + 89.98 5 90 45 0 0 9.89 6 90 45 0 0 95.56 7 90 45 0 0 94.84 56
Factor Mean/Interc. Curvatr. ()idõ ()hõmérséklet by Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=.98868; Adj:.96605 (6-7_eample) **(-0) design; MS Residual=.706 DV: y Include condition: Block= Effect Std.Err. t() p 89.77 0.488.7 0.0000 0.97.795 8.57 0.09.665 0.876 4.8 0.048469 4.5 0.876 4.9 0.0906-6.75 0.876-7.6 0.0680 Másodfokú modell illesztésére alkalmas terv szükséges! 57 Másodfokú kísérleti tervek A centrum-ponti kísérletekből csak azt látjuk. hogy valamelyik faktorra nem jó a lineáris függvény. A másodfokú modell paraméterei nem becsülhetők a p és p-r tervek eredményeiből. A p kétszintes tervek kiegészíthetők háromszintesekké: p. Minőségi faktorok kettőnél több szinten csak varianciaanalízissel vizsgálhatók. mert szintjeik nem értelmezhetők intervallum-skálán. 58
terv: i 0 0 + 0 0 4 0 + 5 + + 6 + 7 0 8 + 9 4 6 5 0 7 9 8 - - - - 0 59 másodfokú terv: 60
A p tervben az elvégzendő kísérletek száma a faktorok p számával rohamosan. a becsülhető együtthatók l száma pedig kevésbé nő: p 4 5 6 p 9 7 8 4 79 l 6 0 5 8 6 Kompozíciós tervek magja egy p típusú teljes faktoros kísérleti terv (p 5 esetén részfaktorterv). p csillagpont a centrumtól α távolságra és k c centrumbeli kísérlet. N= p +p+k c Az α értékének megválasztása szerint a terv lehet ortogonális vagy forgatható. Ortogonális terv és k c = esetére: A faktor szám, p 4 5 A terv magja 4 5- α.0.5.44.547 6
Kompozíciós terv három faktorra i * i * i * i i kétszintes terv g centrumpont * csillagpontok α távolságra g * i * i i * i 6 Bo-Behnken terv faktorra a terv centruma 64
7. példa: a terv módosítása kompozíciós tervvé blokk time Temp. y 80 40 8.0 00 40 9.69 80 50 9.4 4 00 50 89.98 5 90 45 9.89 6 90 45 95.56 7 90 45 94.84 8 75.858 45 88.6 9 04.4 45 9.8 0 90 7.99 85.80 90 5.07 9. 90 45 94.87 90 45 95.6 4 90 45 95.8 terv Csillagpontok és centrumpont 65 Factor Mean/Interc. Block() ()idõ (L) idõ (Q) ()hõmérséklet(l) hõmérséklet(q) L by L Effect Estimates; Var.:y; R-sqr=.9888; Adj:.979 (6-7_eample) factors, Blocks, 4 Runs; MS Residual=.69877 DV: y Effect Std.Err. t(7) p 94.950 0. 406.7 0.000000 0.47 0.06 0.8 0.44570.09 0.404 7.64 0.000-4.66 0.4-0.99 0.0000.98 0.404 9.74 0.00005-6.566 0.4-5.60 0.00000-6.75 0.57 -.5 0.00000 A blokk nem szignifikáns 66
Factor Mean/Interc. Block() ()idõ (L) idõ (Q) ()hõmérséklet(l) hõmérséklet(q) L by L Regr. Coefficients; Var.:y; R-sqr=.9888; Adj:.979 (6-7_eample) factors, Blocks, 4 Runs; MS Residual=.69877 DV: y Regressn Std.Err. t(7) p Coeff. -756.48 9.986-9.7 0.000000 0. 0.58 0.8 0.44570.56 0.98 4.87 0.00000-0.0 0.00-0.99 0.0000 44..4949 7.7 0.000000-0. 0.0084-5.60 0.00000-0.06 0.0057 -.5 0.00000 67 Fitted Surface; Variable: y factors, Blocks, Runs; MS Residual=.566698 DV: y 90 80 70 60 68
54 5 50 Fitted Surface; Variable: y factors, Blocks, Runs; MS Residual=.566698 DV: y Maimum: 9.5 min; 45.8 C; 95.6% 48 hőm. 46 44 4 40 8 6 70 75 80 85 90 95 00 05 0 idő 95 90 85 80 75 70 65 60 69 A faktorok megválasztása 8. példa Észter lúgos hidrolízisét végző folyamatos működésű reaktor Könnyen változtatható faktorok: a lúgoldat és az észtert tartalmazó oldat betáplálási térfogatárama. A reaktor működését ténylegesen befolyásoló faktorok: az összes betáplált térfogatáram (az elegy közepes tartózkodási ideje) és a lúg koncentrációja. t = W lúg V + W észter c lúg = W lúg W lúg + W észter 70
t = W lúg V + W észter c lúg = W lúg W lúg + W észter i c lúg h dm /h dm /h 0. 0 8 + 0.4 0 4 6 + 0. 0 4 4 + + 0.4 0 t W lúg W észter 7 SCREENING PROCESS FACTORS IN THE PRESENCE OF INTERACTIONS Mark J. Anderson Patrick J. Whitcomb Stat-Ease, Inc. Stat- Ease, Inc. Minneapolis, MN 554 Minneapolis, MN 554 www.statease.com www.statease.com 7
Miture eperiments korlátozott tér pl. a komponensek koncentrációja %-ban: + + =00 9. példa Lipáz enzimek szol-gél rögzítéséhez használt különböző organoszilánok (TEOS, OTEOS, DMDEOS) arányának finomhangolásával az enzimkészítmények aktivitásának, szelektivitásának és stabilitásának fokozása. Nagy Flóra szakdolgozata 0, témavezető Poppe László, konzulens Weiser Diána 7 lineáris Fitted Surface; Variable: eeac % DV: eeac %; R-sqr=.0896; Adj:0. Model: Linear OTEOS 0.00.00 enantioszelektivitás 0.5 0.5.00 0.00 0.00 0.5.00 TEOS DMDEOS > 00 < 00 < 99 < 98 < 97 74
kvadratikus biokatalizátor-aktivitás Fitted Surface; Variable: U B U/g DV: U B U/g; R-sqr=.8769; Adj:.8 Model: Quadratic OTEOS 0.00.00 0.5 0.5.00 0.00 0.00 0.5.00 TEOS DMDEOS > 70 < 66 < 56 < 46 < 6 < 6 < 6 < 6 75 Modellek: Y ˆ = b + b + b + b + + 0 0 = ( + + ) + b + b + b = b + b + b Y ˆ = b tengelymetszet nélküli modell 0.00.00 0.5 Y ˆ = b + b + b linear model 0.5 b a rendszer válasza a tiszta. komponensre.00 0.00 0.00 0.5.00 76
Y ˆ = b + b + b + b + b + b : 0.00.00 quadratic model 0.5 0.00.00 0.5 0.5.00 0.00 0.00 0.5.00 : : 0.5.00 0.00 0.00 0.5.00 special cubic model Y ˆ = b + b + b + b + b + b + b 77 Full cubic model 0.00.00 0.5 0.5.00 0.00 0.00 0.5.00 y = b + b + b + b + b + b + ( - ) + d ( - ) + d( - ) b + d + 78
Általában nemlineáris modellek szükségesek bonyolult jelenségek széles tartomány komponensek száma linear quadratic special cubic full cubic -- -- 6 7 0 4 4 0 4 0 5 5 5 5 5 6 6 4 56 7 7 8 6 84 8 8 6 9 0 79 4 5 6 7 8 9 0 4 4 5 DMDEOS OTEOS eeac % U B U/g 0 0 96.7.9 0. 0.88 0 99.7 7.8 0. 0 0.88 99.0. 0.4 0.587 0 99.6.4 0.4 0 0.587 99..8 0. 0.9 0.587 99.6. 0.707 0.9 0 98. 6.9 0.707 0 0.9 99. 7.4 0. 0.587 0.9 99.8 6. 0.4 0.9 0.9 99.5 4.4 0.707 0.47 0.47 99. 9. 0.67 0.587 0.47 99.6 6.7 0.67 0.47 0.587 86.9.4 0.4 0.9 0.9 99.4 0. TEOS Y ˆ = b + b + b + b + b + b + b 80
.0 P-Plot, Pseudo-Comps; Var.:eeAc %; R-sqr=.568 Factor miture design; Miture total=., 4 Runs DV: eeac %; MS Residual=8.5649 Epected Half-Normal Values (Half-Normal Plot).5.0.5.0 0.5 ABC AC AB (B)DMDEOS (A)TEOS (C)OTEOS BC 0.0.05-5 0 5 0 5 0 5 0 - Higher-order effects - Linear effects Standardized Effects (t-values) (Absolute Values).99.95.85.65.45.5 Y ˆ = b + b + b + b + b + b + b 8 Fitted Surface; Variable: eeac % DV: eeac %; R-sqr=.0896; Adj:0. Model: Linear OTEOS 0.00.00 0.5 0.5.00 0.00 0.00 0.5.00 TEOS DMDEOS 00 99 98 97 8
Fitted Surface; Variable: U B U/g DV: U B U/g; R-sqr=.8769; Adj:.8 Model: Quadratic OTEOS 0.00.00 0.5 0.5.00 0.00 0.00 0.5.00 TEOS DMDEOS Y ˆ = b + b + b + b + b + b > 70 < 66 < 56 < 46 < 6 < 6 < 6 < 6 8 0. példa Cornell (990), a Statistica példája Azt vizsgálták, hogy PVC-ből készült autó-üléshuzat vastagságára hogyan hat a műanyagba tett lágyítók aránya. Korlátok: 0.409 0.849 0 0.5 0.5 0.74 84
Factor Constrained Miture Factor C 0.00.00 0.5 V 8 C() 4 V 5 C() 9 C() 6 C() V 7 C() V 0.5.00 0.00 0.00 0.5.00 Factor A Factor B 85 Display design fülön: Summary: Display design Factor Constrained Miture (halfasirt.sta) Number of user-defined constraints: 0 Verte (V) Number of initial miture constraints: 6 Centroid (C) A B C 5 C() 7 C() V V 8 C() V 4 V 6 C() 9 C() 0.787500 0.000000 0 0.7000 0.6000 00 0.597000 00 00 0.76000 0.000000 0.74000 0.600000 0.6000 0.74000 0.849000 0.000000 00 0.474000 00 0.74000 0.55500 00 0 0.66500 0.6000 0 0.474+0.5+0.74=.000 86
Prediction & profiling fülön: Surface plot (Show fitted function!) Fitted Surface ; Variable: TH ICKNESS D V: THICKNESS; R-sqr=.95 ; Adj:.987 Model: Quadratic 0-0 -40-60 -80-00 -0 v=+7.490769077*-.497809748*y-8.0958645*z +44.699897087**y+05.98797**z+59.64654059*y*z+0. 87 Factor A B C Critical values; Variable: THICKNESS (Vinyl.sta) Solution: maimum Predicted value at solution: 9.570 Observed Critical Observed Minimum Values Maimum 0.474000 0.6505 0.849000 0.000000 0.5568 00 00 0.0967 0.74000 88
Graphs>D XYZ Graphs>Ternary Plots Ternary Graph of THICKNESS against A and B and C Vinyl.sta 4v*4c THICKNESS = -50.465*-8.98*y-9.6484*z+7.64**y+464.98**z+846.77*y *z C 0.00.00 0.5 0.5.00 0.00 0.00 0.5.00 A B > 0 < -00 < -00 < -500 < -700 < -900 89. példa D. C. Montgomery: Design and analysis of eperiments, rd ed., J. Wiley, 99, p.556, Cornell Polietilén, polisztirol és polipropilén keverékéből gyártanak műszálat, a függő változó a szál megnyúlása adott erő hatására. MontgDOEp556.sta 90
4 5 6 7 8 9 0 4 5 4 elong 0 0.0 0 0.4 0.5 0.5 0 5.0 0.5 0.5 0 4.8 0.5 0.5 0 6. 0 0 8.8 0 0 0.0 0 0.5 0.5 0.0 0 0.5 0.5 9.7 0 0.5 0.5.8 0 0 6.8 0 0 6.0 0.5 0 0.5 7.7 0.5 0 0.5 6.4 0.5 0 0.5 6.6 a háromszög csúcspontjai kétszer, az oldalfelezők háromszor 9 Statistics>Industrial Statistics & Si Sigma> >Eperimental Design (DOE)>Miture designs and triangular surfaces Model fülön: Quadratic Factor (A) (B) (C) AB AC BC Coeffs (recoded comps); Var.: elong; R-sqr=.954; Adj:.94 (MontgDOEp556.sta) Factor miture design; Miture total=., 5 Runs DV: elong; MS Residual=.788889 Coeff. Std.Err. t(9) p -95.% +95.% Cnf.Limt Cnf.Limt.70000 0.6069 9.807 0.000000 0.44.06565 9.40000 0.6069 5.57085 0.000000 8.044 0.76565 6.40000 0.6069 7.666 0.000000 5.044 7.76565 9.00000.60849 7.8458 0.000046.0997 4.9007.40000.60849 4.7075 0.00795 5.4997 7.007-9.60000.60849 -.6806 0.00507-5.500 -.6997 9
Fitted Surface; Variable: elong DV: elong; R-sqr=.954; Adj:.94 Model: Quadratic 0.00.00 0.5 0.5.00 0.00 0.00 0.5.00 > 7 < 6.5 < 5.5 < 4.5 <.5 <.5 <.5 < 0.5 < 9.5 9 Fitted Surface; Variable: elong DV: elong; R-sqr=.954; Adj:.94 Model: Quadratic > 6 < 6 < 4 < < 0 94
. példa Cornell, Eperiments with Mitures, nd ed., Eample 7-4, John Wiley & Sons, Inc, New York, 990. idézi: Mark J. Anderson* and Patrick J. Whitcomb, Stat-Ease, Inc., Designing Eperiments that Combine Miture Components with Process Factors elegy-faktor, folyamat-faktor vinyl.sta 6 elegy a 4 folyamatparaméter-kombinációban, kétszer 95 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 X Plasticizer X Plasticizer X Plasticizer 4 Z Etrusion rate 5 Z Drying temp 6 Thickness (scaled) 0 0 - - 7 0 0 - - 8 0 0 - - 4 0 0 - - 4 0 0 - - 5 0 0 - - 7 0.5 0.5 0 - - 7 0.5 0.5 0 - - 8 0.5 0 0.5 - - 8 0.5 0 0.5 - - 0 0 0.5 0.5 - - 4 0 0.5 0.5 - - 0 0-0 0 0-0 0-8 0 0-8 0 0-0 0-7 összesen 48 kísérlet 96