Fourier-transzformáció

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM INFORMATIKAI KAR Simon Péter Fourier-transzformáció Ez a tanulmány az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával készült (a támogatás száma: TÁMOP 4.2./B-9//KMR-2-3). BUDAPEST, 22

Előszó Az alábbiakban egyfajta válogatást adunk a trigonometrikus Fourier-transzformációval kapcsolatos fogalmakról és eredményekről. Elöljáróban röviden összefoglaljuk a mértékés integrálelméletben (is) alapvető szerepet játszó konvolúcióra vonatkozó alapismereteket. A klasszikus Fourier-transzformáció mellett kitekintést nyújtunk a disztribúció-elmélet keretében történő tárgyalás, ill. az absztrakt harmonikus analízis fogalomköre felé is. Az alkalmazások illusztrációjaként bemutatjuk a prímszámtétel egy lehetséges bizonyítását, ill. az ahhoz vezető út részeként a klasszikus Wiener-, ill. Ingham-tételt. A Heisenberg-féle egyenlőtlenség kapcsán röviden szólunk a határozatlansági relációkról. Érintjük a modern transzformációs módszerek alkalmazásai szempontjából fontos ún. θ-szummáció, ill. az ablakos Fourier-transzformáció (vagy Gábor-transzformáció) alapjait. Az Irodalomjegyzékben azokat a forrásokat soroljuk fel, amelyekre a tanulmány megírásakor támaszkodtunk. A belső hivatkozásokat általában mellőzzük, de minden eredmény, amely említésre kerül, megtalálható a felsorolt művekben. Ez a tanulmány az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával készült (a támogatás száma: TÁMOP 4.2./B-9//KMR-2-3).

2 Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék. Konvolúció.............................. 3 2. Trigonometrikus Fourier-transzformáció............... 5 2.. Borel-mértékek Fourier-transzformációja.............. 5 2.2. L -beli függvények Fourier-transzformáltja............. 6 2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja............. 9 3. Fourier-inverzió........................... 7 3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága.............. 7 3.2. Inverziós formula........................ 24 3.3. Absztrakció........................... 63 4. L p -beli függvények Fourier-transzformáltja.............. 7 5. Differenciálhatóság.......................... 76 5.. A Fourier-transzformált differenciálhatósága............ 76 5.2. Schwartz-osztály........................ 85 5.3. Disztribúciók.......................... 87 5.4. Alkalmazások......................... Wiener-tétel........................ Ingham-tétel........................ 2 Prímszám-tétel....................... 7 5.5. Határozatlansági relációk.................... 6. Gábor-transzformált........................ 9 6.. A Gábor-transzformált értelmezése............... 9 6.2. Gábor-inverzió........................ 24 7. Irodalomjegyzék.......................... 34

. Konvolúció 3. Konvolúció. Legyen (X, T ) egy lokálisan kompakt topologikus Abel-csoport, M(X) az X Borelhalmazainak a B(X) szigma-algebráján értelmezett korlátos Borel-mértékek halmaza. Vezessük be a következő P : X X X leképezést: P ( (x, y) ) ) := x y (x, y X), ahol az X-beli szorzást (mint multiplikatív csoportműveletet) jelöli. Ha X X-en a T által generált szorzat-topológiát tekintjük, akkor a P leképezés nyilván folytonos. Tetszőleges µ, ν M(X) mértékek esetén az X X-beli Borel-halmazok B(X X) σ-algebráján legyen κ := µ ν a µ, ν mértékek által meghatározott szorzatmérték. Vegyük a κ mérték P által létesített P[κ] képét, azaz legyen P[κ](B) := κ(p [B]) (B B(X)). A µ ν := P[κ] mértéket a µ, ν mértékek konvolúciójának nevezzük. A definícióból nyilvánvaló, hogy µ ν M(X). Továbbá a művelet kommutatív és asszociatív, ill. a mértékek öszeadására nézve disztributív, valamint tetszőleges α [, + ), µ, ν M(X) mellett µ (α ν) = (α µ) ν = α (µ ν). A fentiek nyilván elmondhatók M(X) helyett a µ : B(X) R korlátos variációjú előjeles Borel-mértékek V(X) halmazában is. (Emlékeztetünk a most említett fogalmakra, miszerint µ V(X) egy olyan előjeles mérték B(X)-en, amelyre { } sup µ(a) : A F X < +, A A ahol F X -szel az összes olyan véges, páronként diszjunkt, B(X)-beli halmazokból álló A halmazrendszerek halmazát jelöltük, amelyekre X = A A.) Legyen µ, ν M(X), A B(X), ekkor µ ν(a) = χ A d(µ ν) = µ(y A) dν(y) = ν(x A) dµ(x). Gyakran ez utóbbit tekintik a µ ν konvolúció definíciójának.

4 2.. Borel-mértékek Fourier-transzformáltja Ha valamilyen < n N esetén X := R n és T az R n -beli euklideszi norma által indukált topológia, akkor tekintsük B(X)-en a µ Lebesgue-mértéket. Legyen f L, ekkor az f súlyfüggvény által generált µ f mérték µ f (A) := f dµ (A B(X)) nyilván A V(X)-beli és bármely ν V(X) mellett µ f ν(a) = µ f (A x) dν(x) (A B(X)). Ha g(y) := f(y x) dν(x) =: f ν(y) (y X), akkor µ f ν(a) = g χ A dµ = µ g (A). Legyen most a fenti f mellett adott egy h L függvény is és írjunk ν helyébe µ h -t. Ekkor az előbbiekhez hasonló módon kapjuk, hogy µ f µ h (A) = χ A f h dµ = A f h dµ (A B(X)), ahol f h(x) := f(x y) h(y) dµ(y) (x X). A most értelmezett f h függvényt az f, h L függvények konvolúciójának nevezzük. Ekkor L (a szokásos függvényműveletekkel és a. normával) a konvolúcióra nézve egy kommutatív Banach-algebra. Továbbá p, q, r +, /p + /q, /r = /p + /q = /r, ill. f L p, g L q esetén f g L r és f g r (A p A q A r ) n f p g q (Young-féle egyenlőtlenség.) Itt az u, v +, /u + /v = jelölésekkel ( ) u /u /2 A := A :=, A u := ( < u < + ) jelenti az ún. Babenko-Beckner-konstanst. Speciálisan, ha q =, akkor r = p, azaz f L p, g L mellett f g L p és v /v f g p f p g.

2.. Borel-mértékek Fourier-transzformáltja 5 2. Trigonometrikus Fourier-transzformáció. 2.. Borel-mértékek Fourier-transzformáltja. Vezessük be a következő jelöléseket: jelentse, az R n -ben jól ismert skaláris szorzást, azaz x = (x,..., x n ), y = (y,..., y n ) R n esetén legyen x, y := n k= x ky k. Az R n -beli x elemek euklideszi normájára az x := x, x szimbólumot használjuk. Legyen továbbá egy a R n elem mellett e a a következő függvény : e a (x) := e ı x,a (x R n ). Nyilvánvaló, hogy tetszőleges a R n esetén e a folytonos, e a =, ezért bármely µ M(R n ) mellett e a a µ-mértékre nézve integrálható és e a = µ(r n ). Legyen µ M(R n ) egy tetszőleges korlátos Borel-mérték. Ekkor a µ(x) := e x dµ (x R n ) hozzárendeléssel definiált µ : R n C függvényt a µ mérték Fourier-transzformáltjának nevezzük. Ha pl. µ a valamely a R n pontban koncentrált Dirac-mérték, akkor bármely x R n esetén µ(x) = e x dµ = e x (a) = e a (x), azaz µ = e a. Világos, hogy tetszőleges µ M(R n ) mértékre és x R n pontra µ(x) µ(r n ), ill. µ(r n ) = µ(). Egyszerűen adódik továbbá, hogy a µ leképezés egyenletesen folytonos. Valóban, ha ε > tetszőleges, akkor µ(r n \ K N ()) (N ) miatt alkalmas N N mellett µ(r n \ K N ()) < ε. Ekkor bármely x, y R n esetén ˆµ(x) ˆµ(y) K N () K N () e x e y dµ + R n \K N () e x y (t) dµ(t) + 2µ(R n \ K N ()) e x e y dµ 2 sin( t, x y /2) dµ(t) + ε t, x y dµ(t) + 2ε K N () K N () N µ(k N ()) x y + 2ε < 3ε, hacsak x y < δ olyan δ > választással, amellyel N µ(k N ())δ < ε.

6 2.2. L -beli függvények Fourier-transzformáltja Belátható, hogy ˆµ pozitív definit is, azaz tetszőleges m N index és a,..., a m R n vektorok mellett az ( µ(a j a k )) m j,k= Cm m mátrix pozitív szemidefinit. Sőt, igaz az alábbi Bochner-tétel, nevezetesen, ha h : R n C korlátos és folytonos függvény, akkor a következő két kijelentés egymással ekvivalens: o van olyan µ M(R n ) korlátos pozitív Borel-mérték, hogy h = ˆµ; 2 o a h függvény pozitív definit, azaz bármely f L függvény esetén h(x y)f(x)f(y)dx dy. A definícióból rögtön adódik, hogy a : M(R n ) C Rn megfeleltetés additív és pozitív homogén, tehát bármely µ, ν M(R n ) és R α esetén µ + ν = µ + ν, α µ = α µ. Belátható továbbá, hogy µ ν = µ ν, ill. µ ν = µ ν. Legyen (az eddigi n mellett) s is egy pozitív természetes szám és legyenek adottak a µ M(R n ), ν M(R s ) korlátos Borel-mértékek. Ekkor µ ν(x, y) = µ(x) ν(y) ( (x, y) R n R s). (Az előbbi egyenlőség bal oldalán az R n, ill. az R s feletti Borel-mértékekből képzett szorzatmérték Fourier-transzformáltja áll, amely tehát az R n R s téren van értelmezve. Röviden azt mondjuk, hogy a szorzatmérték Fourier-transzformáltja a (tényező-) mértékek Fourier-transzformáltjainak a szorzata.) 2.2. L -beli függvények Fourier-transzformáltja. Ha most (és a továbbiakban is) µ az R n -beli Lebesgue-mértéket jelöli és valamely (a µ mértékre nézve integrálható) f L, f mellett ν(a) := µ f (A) (A B(R n )), akkor ν M(R n ), ill. ν(x) = e x dµ f = fe x dµ (x R n ).

2.2. L -beli függvények Fourier-transzformáltja 7 Ebből a szempontból nyilván lényegtelen, hogy f egy nemnegatív függvény, azaz bármely f L és x R n mellett fe x L. A most mondottakat figyelembe véve vezessük be a következő definíciót: egy f L Lebesgue-integrálható függvény esetén az ˆf(x) := fe x dµ = f(t)e ı t,x dt (x R n ) hozzárendelési utasítással értelmezett ˆf : R n C leképezést az f függvény Fouriertranszformáltjának nevezzük. Ha tehát f is igaz, akkor µ f = ˆf. Részben a mértékekkel kapcsolatos analóg állításokra hivatkozva könnyen adódnak az alábbiak: i) az L f ˆf L operátor lineáris és korlátos: ˆf f (f L ); ii) bármely f L esetén az ˆf függvény egyenletesen folytonos; iii) f h = ˆf ĥ (f, h L ); iv) ha f L és F(x) := f( x) (x R n ), akkor F = ˆf; v) f, g L, f g = ˆf ĝ; vi) (szorzási szabály:) f, g L = ˆfg dµ = ĝf dµ. vii) (Riemann-Lebesgue-lemma:) bármely f L esetén lim x + ˆf(x) =. Ti. az i) állítás triviális, a ii)-t láttuk mértékekre. A iii) igazolásához alkalmazzuk a Fubini-tételt: f h(x) = ( f h(t)e ı t,x dt = ) f(y)h(t y) dy e ı t,x dt = ( f(y) ) h(t y)e ı t,x dt dy = ( f(y) ) h(t)e ı t+y,x dt dy = ( )( f(y)e ı y,x dy ) h(t)e ı t,x dt = ˆf(x)ĥ(x) (x Rn ). A iv) igazolása csupán egyszerű számolást jelent, az v) egyértelműségi állítást később látjuk be (ld. 3.2.. vi) megjegyzés). A vi) bizonyítása is meglehetősen egyszerű: a Fubinitétel miatt ( ˆf(x)g(x) dx = ) f(t)e ı t,x dt g(x) dx =

8 2.2. L -beli függvények Fourier-transzformáltja ( f(t) ) g(x)e ı t,x dx dt = f(t)ĝ(t) dt. A Riemann-Lebesgue-lemma eléggé nyilvánvaló intervallum karakterisztikus függvényére. Az egyszerűség kedvéért csak egydimenziós esetben (n = ) részletezve mindezt legyen g = χ [a,b] az [a, b] R intervallum karakterisztikus függvénye és x R. Ekkor ĝ(x) = b a e ıxt dt = e ıbx e ıax ıx 2 x ( x + ). Világos, hogy ezért ugyanez igaz karakterisztikus függvények véges lineáris kombinációira is (lépcsősfüggvényekre). Ugyanakkor tetszőleges f L függvényhez megadható lépcsősfüggvényeknek egy olyan (g n ) sorozata, amelyre f g n (n ). Mivel ˆf(x) ĝ n (x) f g n (x R), ezért bármely ε > számhoz van olyan n N, amellyel ˆf(x) ĝ n (x) < ε Tehát (x R). ˆf(x) ˆf(x) ĝ n (x) + ĝ n (x) < ε + ĝ n (x) (x R), ahol alkalmas r > esetén ĝ n (x) < ε (x R, x > r). Más szóval ˆf(x) < 2ε, hacsak x R, x > r. Ez éppen a Riemann-Lebesgue-lemma állítása. Megjegyezzük, hogy a Riemann-Lebesgue-lemma megfelelője nem igaz M(R n )-beli mértékekre. Legyen ui. ν M(R n ) a (R n ) -ban koncentrált Dirac-mérték, ekkor ν. A fenti bizonyításból n = esetén a következő átfogalmazást nyerjük: legyen a < b +, f : (a, b) R (Lebesgue-)integrálható. Ekkor β β lim f(t) cos(tx) dt = lim f(t) sin(tx) dt =, x + α x + α mégpedig az (α, β) (a, b) intervallumokra nézve egyenletesen. Más szóval: bármely ε > számhoz van olyan x >, hogy x > x esetén β α f(t) cos(tx) dt < ε, β α f(t) sin(tx) dt < ε

2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja 9 igaz tetszőleges (α, β) (a, b) intervallumra. Mindehhez elég annyit megjegyezni, hogy az f α,β := fχ (α,β) L függvényre f α,β (x) = β α f(t)e ıxt dt = β α β f(t) cos(tx) dt + ı f(t) sin(tx) dt α (x R). Jelöljük az L szimbólummal az összes L -beli függvény Fourier-transzformáltja által alkotott halmazt. A Stone-Weierstrass-tétel alkalmazásával kapjuk, hogy L a. norma értelmében mindenütt sűrű az R n -en értelmezett kompakt tartójú folytonos függvények C (R n ) terében. 2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja. A p > esetben az L p -beli f függvények nem feltétlenül integrálhatók, következésképpen fe x / L (x R n ) bőven előfordulhat, ezért az ilyen L p függvényosztályok elemeire a Fourier-transzformált a fenti definíció alapján nem értelmezhető. A következő egy-két megjegyzésben ezt a kérdéskört vizsgáljuk. Legyen először p = 2. Emlékeztetünk arra, hogy L L 2 egy (a. 2 norma értelmében) sűrű altér L 2 -ben. Ezért minden f L 2 függvényhez megadható olyan f k L L 2 (k N) sorozat, amelyre f f k 2 (k + ). Ilyen pl. az f k := fχ Gk (k N) függvények sorozata, ahol G r := {t R n : t r} (r > ). Az L L 2 altér g elemeire természetesen minden további nélkül értelmezhető a ĝ Fouriertranszformáció. Az előbbi f k := fχ Gk (k N) példánál maradva f k (x) = f(t)e ı x,t dµ(t) G k (x R n, k N), azaz n = esetén f k (x) = k k f(t)e ıxt dµ(t) (x R, k N). Nem triviális viszont az, hogy minden ilyen g esetén ĝ L 2 és ĝ 2 = (2π) n/2 g 2. Ez azt is jelenti egyúttal, hogy a (nyilván lineáris)

2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja L L 2 g ĝ L 2 operátor korlátos, azaz folytonos. Ezt a tényt (és az (L 2,. 2 ) normált tér teljességét) felhasználva ezért az előbbiekben szereplő f k L L 2 függvények f k (k N) Fouriertranszformáltjainak a sorozata. 2 normában konvergál egy L 2 -beli függvényhez. Legyen ebben az értelemben ˆf := lim k fk, tehát ˆf f k 2 (k + ). Ez az értelmezés korrekt (azaz ˆf nem függ az f-et előállító (f k) sorozat konkrét megválasztásától) és az ( ) L 2 f ˆf L 2 leképezés egy korlátos, lineáris operátor, amely injektív és a normája (2π) n/2. Világos, hogy f L L 2 esetén ˆf a mostani értelmezés és a kiindulási definíció szerint ugyanaz. Megmutatható, hogy a ( ) operátor szürjektív is, azaz tetszőleges g L 2 függvényhez létezik egy (és csak egy) olyan f L 2, amelyre g = ˆf. A ( ) operátor tehát az L 2 térnek egy önmagára való bijekciója és ĝ 2 = (2π) n/2 g 2 (g L 2 ) (Plancherel-tétel). Mi lesz az inverze? Ehhez először is azt jegyezzük meg, hogy az f, h := f hdµ (f, h L 2 ) jelöléssel (az L 2 -beli skaláris szorzás) ˆf, ĥ = (2π)n f, h (f, h L 2 ). Jelöljük a ( ) operátor adjungáltját A-val, ekkor amiből tetszőleges h L 2 esetén (2π) n f, h = ˆf, ĥ = f, A(ĥ) (f, h L2 ), h = (2π) n A(ĥ) következik. Legyen h L 2 mellett H(x) := ĥ( x) (x Rn ), ekkor könnyű meggyőződni arról, hogy f, A(h) = ˆf, h = f, H (f L 2 ). Így A(h) = H, azaz a ( ) operátor unitér, az inverze a

2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja leképezés. L 2 h (2π) n H L 2 2.3.. Megjegyzések. i) Valamely ξ R n esetén jelöljük T ξ -vel, ill. M ξ -vel az ξ által meghatározott transzlációs, ill. modulációs operátorokat: T ξ f(t) := f(t + ξ), M ξ f(t) := e ı t,ξ f(t) (f L, t R n ). Ekkor egyszerűen ellenőrizhető, hogy T ξ M η = e ı ξ,η M η T ξ (ξ, η R n ). Speciálisan, T ξ M η = M η T ξ akkor és csak akkor igaz (tehát a ξ-transzláció és az η-moduláció pontosan akkor cserélhető fel), ha valamilyen k Z egész számmal ξ, η = 2kπ. Azt sem nehéz továbbá belátni, hogy a most értelmezett operátorok és a Fourier-transzformáció kapcsolata a következő: T ξ f = M ξ ˆf, Mη f = T η ˆf (ξ, η R n, f L ). Hasonlóan, T ξ M η f = M ξ T η ˆf, Mη T ξ f = T η M ξ ˆf (ξ, η R n, f L ). A Fourier-transzformáció L 2 -re való kiterjesztésére gondolva (a Lebesgue-integrál eltolás-invariánciáját is kihasználva) a fenti formulák igazak maradnak f L 2 esetén is. Világos, hogy T ξ, M η : L 2 L 2 (ξ, η R n ). Ezek az operátorok folytonosak is a következő értelemben: bármely f L 2, ξ, η R n esetén T ξ f T ξ f 2 (ξ ξ ), M η f M η f 2 (η η ). A Lebesgue-integrál most említett eltolás-invariánciája miatt T ξ f T ξ f 2 = T ξ ξ f f 2. Ezért a transzláció folytonossága azzal ekvivalens, hogy lim T ξf f 2 = (f L 2 ), ξ

2 2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja ami jól ismert az integrálelméletből. Innen ˆf L 2 (f L 2 ) alapján a modulációról a következőket mondhatjuk: lim η M ηf f 2 = lim (2π) M n/2 η f ˆf 2 = η lim (2π) T ˆf n/2 η ˆf 2 =. η Mivel M η f M η f 2 = M η η f f 2, ezért a moduláció fent említett folytonossága már adódik. ii) Számítsuk ki a h(x) := e x 2 /2 (x R n ) (nyilván folytonos és L -beli) függvény Fourier-transzformáltját, és mutassuk meg, hogy Legyen ehhez x R n, ekkor ĥ = (2π) n/2 h. ĥ(x) = e n k= y2 k /2 e ı n k= x ky k dy dy n = n e /2 n y2 k e ıx ky k dy dy n = k= k= e y2 k /2 e ıx ky k dy k = n k= e (y k ıx k ) 2 /2 x 2 k /2 dy k = n k= e /2 x2 k e (y k ıx k ) 2 /2 dy k. Az utóbbi integrálok kiszámításához legyen valamilyen a > és R b (pl. b > ) esetén T az a téglalap a komplex síkon, amelynek a csúcspontjai: ±a, ±a ıb, ill. legyen ϕ a a T kerülete (az óramutató járásával megegyező irányban). Ekkor a komplex függvénytanból jól ismert Cauchy-féle alaptétel szerint ϕ a e z 2 /2 dz =. A T téglalap függőleges (ϕ,2 a ) oldalainak a z = ±a+ıt ( b t ) pontjaiban e z2 /2 = e a2 /2 e t2 /2 e b2 /2 e a2 /2 (a + ), így

2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja 3 ϕ,2 a e z2 /2 dz /2 e b eb2 a2 /2 (a + ). A T vízszintes oldalain az integrálok: Következésképpen amiből a e (t ıb)2 /2 dt, ill. a a a e t2 /2 dt. a a = lim e z 2 /2 dz = lim e t2 /2 dt lim e (t ıb)2 /2 dt, a + ϕ a + a a a + a a e (t ıb)2 /2 dt = lim e (t ıb)2 /2 dt = a + a a lim e t2 /2 dt = a + a e t2 /2 dt = 2 e t2 dt = 2π következik. (Ha b <, akkor analóg számolással jutunk ugyanerre az eredményre.) Tehát bármely k =,..., n mellett e (y k ıx k ) 2 /2 dy k = 2π, n ezért ĥ(x) = (2π)n/2 k= e x2 k /2 = (2π) n/2 h(x), amit bizonyítani kellett. (Mivel a, b R esetén e (y ı(a+ıb))2 /2 dy = e (y+b ıa)2 /2 dy = e (y ıa)2 /2 dy = 2π, ezért a fentiekben x R n helyett x C n is írható.) iii) Legyen n = és tegyük fel, hogy az f L függvény páros, azaz f( t) = f(t) (m.m. t R). Ekkor ˆf(x) = f(t)e ıtx dt = f(t)e ıtx dt + + f(t)e ıtx dt =

4 2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja + f( t)e ıtx dt + Ugyanígy kapjuk az + f(t)e ıtx dt = + 2 f(t) cos(tx) dt = + f(t) cos(tx) dt f(t) ( e ıtx + e ıtx) dt = (x R). + ˆf(x) = 2ı f(t) sin(tx) dt = ı f(t) sin(tx) dt (x R) formulát páratlan f esetén, azaz, amikor f( t) = f(t) (m.m. t R). iv) Gondoljuk meg, hogy az integrálható f : R R függvény akkor és csak akkor páros (páratlan), ha az ˆf Fourier-transzformált páros (páratlan). Valóban, ha f páros (páratlan), akkor az előbbi megjegyzés formulái alapján rögtön adódik ugyanez ˆf-ra is. Fordítva, ha pl. ˆf páros, akkor az F(t) := f( t) (t R) függvényre F(x) = f( t)e ıtx dt = f(t)e ıtx dt = ˆf( x) = ˆf(x) (x R). Innen a Fourier-transzformált injektivitása (ld. 3.2.. vi) megjegyzés) alapján F(x) = f( x) = f(x) (m.m. x R). Analóg módon okoskodhatunk akkor is, ha ˆf páratlan. v) Legyen f L, c R és δ c f(x) := f(cx) (x R n ). Világos, hogy δ c f L. Ha c >, akkor δ c f(x) = f(ct)e ı t,x dt = c n f(t)e ı t,x/c dt = c n ˆf(x/c) (x R n ). Ha c =, akkor δ f(x) = f( t)e ı t,x dt = f(t)e ı t, x dt = ˆf( x) (x R n ). Speciálisan, ha n = és f páros (páratlan), akkor δ f = f (δ f = f), azaz ˆf( x) = δ f(x) = ˆf(x) ( ˆf( x) = δ f(x) = ˆf(x)) (x R).

2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja 5 Tehát ˆf páros (páratlan). Végül, ha c <, akkor δ c f = δ (δ c f). Ezért δ c f(x) = δ c f( x) = ( c) n ˆf( x/( c)) = ( c) n ˆf(x/c) (x R n ). Megjegyezzük, hogy a későbbiekben fontos szerepet játszó f c (c > ) (nyilván L -beli) függvényre := c n δ /c f f c (x) = c n azaz f c = δ c ˆf. f(t/c)e ı x,t dt = f(t)e ı cx,t dt = ˆf(cx) (x R n ), vi) Tegyük fel, hogy n =, f L és ˆf páratlan. Legyen < b < +. Ekkor iii) és a Fubini-tétel szerint b ˆf(x) x b ( + ) dx = 2ı f(t) sin(tx) dt dx = x ( + ) b ( sin(tx) + ) bt sin x 2ı f(t) dx dt = 2ı f(t) x t x dx dt. Jól ismert, hogy C := sup α<β β α sin x x dx < +, következésképpen sup b> b ˆf(x) x dx C f. Mivel sup b> b x ln( + x) dx = +,

6 2.3. L 2 -beli függvények Fourier-transzformáltja ezért nincs olyan f L függvény, amelyre ˆf(x) = / ln( + x) =: g(x) ( ) teljesülne. (Dacára annak, hogy g rendelkezik a Fourier-transzformáció jellemző tulajdonságaival: g C és lim x + g(x) =.) vii) Valamely f L függvény és h R esetén legyen h f(t) := f(t + h/2) f(t h/2) (t R), ill. ω(f, δ) := sup h f (δ ) h δ (az f függvény L -folytonossági modulusa). Mutassuk meg, hogy ˆf(x) ω(f, π/ x ) ( x R). 2 Vegyük észre ehhez ui., hogy ˆf(x) = f(t)e ıtx dt = ı f(t)e ıx(t+π/(2x)) dt = ı f ( t π ) e ıtx dt, 2x ill. hasonlóan ˆf(x) = ı f(t)e ıx(t π/(2x)) dt = ı f ( t + π ) e ıtx dt. 2x Innen azt kapjuk, hogy ˆf(x) = ı 2 ( ( f t + π ) ( f t π )) e ıtx dt, 2x 2x következésképpen ˆf(x) 2 π/x f(t) dt ω(f, π/ x ). 2 viii) Nem nehéz belátni, hogy vii)-ben lim δ ω(f, δ) =. Ezért lim ω(f, π/ x ) =, x +

3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága 7 azaz a vii)-beli becslés alapján újból megkaptuk a Riemann-Lebesgue-lemma állítását: lim x + ˆf(x) =. 3. Fourier-inverzió. 3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága. Az eléggé triviális, hogy egy f L függvény ˆf Fourier-transzformáltja nem feltétlenül integrálható. Erről könnyen meggyőződhetünk, ha kiszámítjuk pl. az f := χ [,] függvény esetén (n = ) az ˆf -ot. Ugyanakkor a Fourier-transzformált integrálhatósága több szempontból is lényeges. Számos kritérium ismert egy f L függvényt illetően, hogy ˆf L igaz legyen. A továbbiakban ezzel a kérdéssel foglalkozunk, feltéve, hogy n = és f L L 2. Vegyük észre először is, hogy az R z := {t R : t > z} Cauchy-Bunyakovszkij-egyenlőtlenség alkalmazásával (z > ) jelöléssel a ˆf = ( t ˆf(t) dt = + ( χ[, t ] (x) t ) ( dx + ) t ˆf(t) χ [, t ] (x) dt = dx t ˆf(t) dt = ) ( + ˆf(t) dt dx = ˆf(t) ) dt dx R x t + Tehát ( R x ˆf(t) 2 dt ) R x t dt 2 dx = + 2x ˆf(t) 2 dtdx + R x 2 ˆf 2 + 2 2 π f 2 + 2 + 2x ˆf(t) 2 dtdx = R x 2x ˆf(t) 2 dt dx R x x ˆf(t) 2 dt dx = 3/2 R /x x ˆf(t) 2 dt dx. 3/2 R /x

8 3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága f L L 2, x ˆf(t) 2 dt dx < + = ˆf L. 3/2 R /x Az előbbi következtetésben szereplő feltétel vizsgálatához legyen U h f(x) := h h/2 h/2 f(x + t) dt (f L, h > ) (elsőrendű Sztyleklov-függvény). Egy egyszerű számolással ellenőrizhető, hogy U h f L : U h f(x) dx h ( h/2 h/2 ) f(x + t) dt dx = h h/2 h/2 ( ) f(x + t) dx dt = h/2 f dt = f < +. h h/2 Ha most (másodrendű Sztyleklov-függvény), akkor V h f := U h (U h f) (f L, h > ) V h f(x) = h x+h/2 x h/2 U h f(t) dt = h x+h/2 U h f(t) dt + h x h/2 U h f(t) dt (x R). Ezért az integrálfüggvény differenciálhatóságáról szóló Lebesgue-tétel értelmében V h f D és (V h f) (x) = h (U hf(x + h/2) U h f(x h/2)) = h U h( h f)(x) (m.m. x R), (ahol h f(x) = f(z + h/2) f(z h/2) (z R)). Világos, hogy h f(z) dz =, így bevezetve a szimbólumot 2 hf(t) := h f(t + h/2) h f(t h/2) (t R)

3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága 9 (V h f) (x) = h 2 h/2 h/2 h f(x + t) dt = x+h/2 h 2 h f(t) dt = x h/2 ( x+h/2 ) x h/2 h 2 h f(t) dt h f(t) dt = ( x+h/2 ) + h 2 h f(t) dt + h f(t) dt = x h/2 ( x + ) h 2 h f(t + h/2) dt + h f(t h/2) dt = x ( x x ) h 2 h f(t + h/2) dt h f(t h/2) dt = h x 2 2 hf(t) dt. A fentiekből már nyilvánvaló, hogy lim V hf(x) = x+h/2 x + h lim U h (t) dt =, x + x h/2 lim (V hf) (x) = x + h 2 ( h f(t + h/2) h f(t h/2)) dt = ( h 2 h f(t) dt ) h f(t) dt =. Mutassuk meg, hogy V h f(x) = h h h f(x + t)( t /h) dt, V h f(x) f(x) h h 2 tf(x)( t/h) dt (x R). Az első egyenlőséghez ui. legyen F az f integrálfüggvénye, ekkor U h f(x) = F(x + h/2) F(x h/2), h

2 3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága azaz V h f(x) = h 2 h/2 h/2 (F(x + t + h/2) F(x + t h/2)) dt = ( h ) h 2 F(x + t) dt F(x + t) dt = h h h 2 F(x + t) signtdt. h Innen parciális integrálással oda jutunk, hogy V h f(x) = h 2 ( [F(x + t)( t h)] h h h h f(x + t)( t h) dt ) = ami az első egyenlőség. h f(x + t)( t /h) dt, h h A második igazolásához vegyük észre, hogy amiből (és az első egyenlőségből) h h ( t/h) dt = 2, h h ahogyan állítottuk. V h f(x) f(x) = h h h (f(x + t) + f(x t)( t/h) dt h f(x + t)( t /h) dt f(x) = h h 2 h tf(x)( t/h) dt, 2f(x)( t/h) dt = Számítsuk ki a V h f (h > ) függvény Fourier-transzformáltját. A derivált és a Fourier-transzformált kapcsolatáról szóló formulákat alkalmazva (ld. 3.2.. xix) megjegyzés, ill. 5. pont) parciális integrálással

3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága 2 V h f(x) = ı (V h f) (x) = ı x x (V h f) (t)e ıtx dt = x 2 (V h f) (t)e ıtx dt = x 2 h 2 x 2 h 2 2 h f(x) 2 hf(t)(t)e ıtx dt = ( x R). Az előbbi megjegyzésekre, a. 2 -ra vonatkozó Minkowski-egyenlőtlenségre és a Fourier-transzformálttal kapcsolatos Parseval-formulára (ld. 2.) hivatkozva azt mondhatjuk, hogy R x ˆf(t) 2 dt R x ˆf(t) V /x f(t) 2 dt + ahol az ω 2 (f, δ) := sup u δ 2 uf 2 (δ ) jelöléssel B = 2 /x f(t) R x x 4 t 4 R x 2 dt V /x f(t) 2 dt =: A + B, 2 /x f(t) 2 dt = 2π 2 /x f(t) 2 dt 2πω 2 (f, /x) (f L L 2, x > ). Az A vizsgálatához használjuk fel az alábbi egyenlőséget (ld. fent): V /x f(t) f(t) = /x (x x 2 u) 2 uf(t) du (t R, x > ). Ekkor az előbb már említett Parseval-formulát ismét alkalmazva a Cauchy-Bunyakovszkijegyenlőtlenségből A f(t) 2π V/x f(t) 2 dt = 2π ( ) 2 /x (x x 2 u) 2 u f(t) du dt = /x 2π 2 u f 2 2 (x x2 u) du πω 2 (f, /x).

22 3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága Összefoglalva a fentieket így azt mondhatjuk, hogy alkalmas C > (abszolút) konstanssal R x ˆf(t) 2 dt Cω 2 (f, /x) (f L L 2, x > ). Ezért egy korábbi becslésünket folytatva az adódik, hogy 2 Végül tehát az alábbiakat láttuk be: x ˆf(t) 2 dt dx C 3/2 R /x 2 ˆf 2 π f 2 + C 2 más szóval a szóban forgó f függvényt illetően az ω 2 (f, x) dx. x 3/2 ω 2 (f, x) x 3/2 dx (f L L 2 ), ω 2 (f, x) x 3/2 dx < + feltétel elegendő ahhoz, hogy ˆf L igaz legyen. Legyen α > és Lip (α, 2) := {f L 2 : ω 2 (f, δ) = O(δ α ) (δ +)}. Ekkor f L Lip (α, 2), α > /2 esetén alkalmas C α > konstanssal azaz az előbbiek szerint ˆf L. ω 2 (f, x) dx C x 3/2 α x α 3/2 dx = C α α /2 < +, Az ˆf L kérdés szempontjából (is) különösen fontosak a kompakt tartójú folytonos függvények. Legyen ϕ C[, ], ϕ() = és terjesszük ki a ϕ függvényt R-re a következőképpen: ϕ(x) ( x ) f(x) := (x > ) f( x) (x < ).

t f(x + t/2) 2 dx + t f(x t/2) 2 dx = 2 t f 2 (t ), 3.. A Fourier-transzformált integrálhatósága 23 Nyilvánvaló, hogy f : R R kompakt tartójú (suppf [, ]) páros folytonos függvény, speciálisan f L L 2. Legyen Megmutatjuk, hogy ω(f, δ) := sup{ f(x) f(t) : x, t R, x t δ} (δ ). ω 2 (f, δ) 2 3ω(f, δ) (δ ). Valóban, a. 2 -ra vonatkozó Minkowski-egyenlőtlenség alapján 2 t f 2 = 2 t f(x) 2 dx = t f(x + t/2) t f(x t/2) 2 dx ahol az I := t/2 f(x + t/2) f(t/2 x) 2 dx, I 2 := t/2 t/2 f(x + t/2) f(x t/2) 2 dx, I 3 := jelölésekkel +t/2 t/2 f() f(x t/2) 2 dx ( t/2 2 ω 2 (f, 2x) dx + + t f 2 2 = 2 t f(x) 2 dx = 2(I + I 2 + I 3 ) t/2 t/2 ω 2 (f, t) dx + +t/2 t/2 ω 2 (f, x + t/2) dx )

24 3.2. Inverziós formula +t/2 2 ω 2 (f, t) dx 3ω 2 (f, t). Következésképpen t f 2 3ω(f, t) (t ), amiből az állításunk már következik. Ha tehát (ld. fent) ω(f, δ) = O(δ α ) (δ +) és α > /2, akkor ˆf L. 3.2. Inverziós formula. Belátjuk, hogy ha f, ˆf L, akkor igaz az alábbi inverziós formula: f(x) = (2π) n ˆfe x dµ (m.m.x R n ). (Mivel f L miatt az R n x (2π) n ˆfe x dµ leképezés folytonos, ezért az f függvényt esetleg egy nulla-(lebesgue-)mértékű halmazon megváltoztatva az előbbi egyenlőség tetszőleges x R n esetén igaz lesz.) Tekintsük ui. (ld. 2.3.. ii) megjegyzés) az F N (t) := ˆf(t)e ı x,t h(t/n) (t R n, < N N) függvénysorozatot, ahol x R n rögzített. Ekkor minden R n t-re lim N F N (t) = ˆf(t)e ı x,t, ill. F N ˆf L ( < N N) miatt alkalmazható a Lebesgue-tétel, miszerint ˆf(t)e ı x,t dt = lim N ˆf(t)e ı x,t h(t/n) dt. Lássuk be, hogy ˆf(t)e ı x,t h(t/n) dt = N n f(x + t)h(nt) dt ( < N N). Valóban, ˆf(t)e ı x,t = T x f(t), ill. a H N (t) := h(t/n) (t R n ) jelöléssel Ĥ N (y) = h(t/n)e ı y,t dt = N n h(z)e ı y,nz dz = N n h(z)e ı Ny,z dz = N n ĥ(ny) = N n (2π) n/2 h(ny) (y R n ).

3.2. Inverziós formula 25 Következésképpen ˆf(t)e ı x,t h(t/n) dt = T x f(t)h N (t) dt = T x f(t)ĥn(t) dt = (2π) n/2 N n f(x + t)h(nt) dt. Mivel N n h(nt) dt = h(t) dt = ĥ() = (2π)n/2, ezért N (x) := (2π) n ˆf(t)e ı x,t h(t/n) dt f(x) = N n (2π) n/2 (f(x + t) f(x))h(nt) dt. A Fubini-tételt alkalmazva tehát azt mondhatjuk, hogy N Nn (2π) n/2 ( ) f(x + t) f(x )h(nt) dt dx = N n (2π) n/2 h(nt) T t f f dt = ( Nn + (2π) n/2 G r R n \G r ) (tetszőleges r > mellett, ahol G r := {t R n : t r}). Világos, hogy N n h(nt) T (2π) n/2 t f f dt G r (2π) h sup T n/2 t f f = t 2 r Továbbá sup T t f f (r ). t 2 r N n h(nt) T (2π) Rn\Gr n/2 t f f dt 2 f N n h(nt) dt = (2π) n/2 R n \G r 2 f h(t) dt (2π) n/2 R n \G Nr (N ).

26 3.2. Inverziós formula A fentiekből már nyilván következik, hogy lim N N =, azaz egyúttal egy alkalmas (N k ) indexsorozattal m.m. x R n esetén lim k Nk (x) = is igaz. Ismét a Lebesguetételt alkalmazva ezért azt kapjuk, hogy f(x) = (2π) lim n k ˆf(t)e ı x,t h(t/n k ) dt = (2π) n ˆf(t)e ı x,t lim h(t/n k) dt = k (2π) n ˆf(t)e ı x,t dt. 3.2.. Megjegyzések. i) (Hobson (926), Bochner (932), Titchmarsh (937).) Az előbbi bizonyítás mögött az alábbi általános érvényű meggondolás húzódik meg. Tegyük fel, hogy g L, g(t) dt = és legyen T λ f := f g λ (f L ), ahol λ > és g λ (t) := λ n g(λt) f L függvényre (t R n ) (Fejér-típusú mag.) Ekkor bármely lim λ + T λf f =. Ti. tetszőleges f L, x R n és λ > mellett T λ f(x) f(x) = λ n f(x t)g(λt) dt f(x) = λ n (f(x t) f(x))g(λt) dt, hiszen λ n g(λt) dt = g(t) dt =. Ezért T λ f f λ n ( ) f(x t) f(x) g(λt) dt dx = λ n ( g(λt) ) f(x t) f(x) dx dt λ n G r g(λt) T t f f dt + 2λ n f R n \G r g(λt) dt

3.2. Inverziós formula 27 ahol sup T t f f g + 2 f g(t) dt, t 2 r R n \G λr sup T t f f (r ), ill. t 2 r Innen lim λ + T λ f f = már nyilván következik. R n \G λr g(t) dt (λ + ). ii) Az i) megjegyzésben szereplő g λ (λ > ) függvénysereg egy speciális ún. egységapproximáció. Nevezetesen, legyen e λ L, e λ (t) dt = (λ > ), sup λ> e λ < +, bármely r > esetén R n \G r e λ (t) dt (λ + ). Ekkor tetszőleges f L függvényre f e λ f (λ + ). Sőt, L -et,. -t kicserélhetjük L p -re, ill.. p -re ( p < + ) vagy C := {f C : sup t >r f(t) (r + )}-ra (a végtelenben eltűnő folytonos függvények terére) és. -re. Nyilván (ld. i)) e λ := g λ (λ > ) egységapproximáció. iii) Legyen Φ C, Φ() = és tételezzük fel, hogy a (Lebesgue-)mérhető f : R n R függvényre minden ε > szám mellett létezik az M Φ (f, ε) := f(x)φ(εx) dx integrál (az f Φ-integrálközepe). Világos, hogy tetszőleges f L ilyen. Ha az ε M Φ (f, ε) leképezésnek van (véges) határértéke ε esetén, akkor azt mondjuk, hogy az f függvény Φ-integrálható, a lim ε M Φ (f, ε) határérték az f Φ-integrálja. A Lebesgue-tétel miatt bármely f L esetén lim M Φ(f, ε) = ε f(t) dt

28 3.2. Inverziós formula (azaz a Φ-integrál permanens.) Pl. (ld. 2.3.. ii) megjegyzés) a Φ := h választással minden f L függvényre M Φ (f, ε) = f(x)e ε2 x 2 /2 dx f(x) dx (ε ). Ebben a speciális esetben Gauss- (vagy Gauss-Weierstrass-)integrálról beszélünk. Hasonlóan, a Φ(x) := e x (x R n ) választással Abel-integrálásnak nevezzük a szóban forgó eljárást. Nem nehéz meggondolni, hogy az f(x) := (sin x)/x ( x R, n = ) esetben az f(x) dx integrál nem létezik, de az f függvény Abel-integrálható. Ha Φ(x) := h(x) = e x 2 /2 (x R n ), akkor tetszőleges f L függvényre M Φ (M x ˆf, ε) = ˆf(t)e ı t,x e ε2 t 2 /2 dt (x R n ). Ha még ˆf L, akkor ( ) lim M Φ (M x ˆf, ε) = ε ˆf(t)e ı t,x dt (x R n ). Ugyanakkor (ld. 2.3.. ii) megjegyzés) ĥ = (2π)n/2 h, azaz M Φ (M x ˆf, ε) = (2π) n/2 ˆf(t)e ı t,x ĥ(εt) dt = ( (2π) n/2 ) f(y)e ı y,t dy e ı t,x ĥ(εt) dt (x R n ). A Fubini-tételt alkalmazva innen azt kapjuk, hogy M Φ (M x ˆf, ε) = (2π) n/2 ( f(y) ) ĥ(εt)e ı y x,t dt dy. Továbbá ĥ(εt)e ı y x,t dt = ε n ĥ(t)e ı (y x)/ε,t dt = (2π) n/2 ε n h(t)e ı (y x)/ε,t dt =

3.2. Inverziós formula 29 Így (2π) n/2 ε n ĥ((y x)/ε) = (2π)n ε n h((y x)/ε) (ε >, x, y Rn ). (2π) M Φ (M x ˆf, n/2 ε) = ε n h((y x)/ε)f(y) dy = f(y) h ε (y x) dy (x R n ), ahol h ε (t) := (2π) n/2 ε n h(t/ε) (t R n ). Később megmutatjuk (ld. v)), hogy lim ε f(y) h ε (y x) dy = f(x) h (t) dt = (2π) n f(x) (m.m. x R n ), amiből ( ) alapján az inverziós formula következik. iv) Tegyük most fel, hogy Φ L C és legyen Φ ε (x) := ε n Φ(x/ε) (x R n, ε > ). Ekkor a 2. pont vi) formula és a 2.. i) megjegyzés szerint bármely f L függvényre M Φ (M x ˆf, ε) = ˆf(t)e ı t,x Φ(εt) dt = f(t) Φ ε (t x) dt (x R n ). v) Az előbb mondottakhoz kapcsolódva lássuk be az alábbi állítást. Legyen ehhez ϕ L C és vezessük be a következő jelöléseket: ψ(x) := ϕχ R n \K x (), ϕ ε (x) := ε n ϕ(x/ε) (x R n ), ahol K r () := {t R n : t < r} (r > ), ill. ε >. Tegyük fel, hogy ψ L, p +. Ekkor tetszőleges f L p függvényre az f bármely x Lebesguepontjában igaz, hogy lim T εf(x) = f(x) ε ϕ(t) dt,

3 3.2. Inverziós formula ahol T ε f(z) := f(t)ϕ ε (t z) dt (z R n ). Valóban, ha δ > tetszőleges, akkor válasszuk az η > számot úgy, hogy r n f(x t) f(x) dt < δ K r () ( < r η). (Emlékeztetünk a Lebesgue-pont fogalmára: lim r r n f(x t) f(x) dt =.) K r () Világos, hogy bármely < ε-ra ϕ ε (t) dt = ϕ(t) dt =: α, ezért T ε f(x) αf(x) = (f(x + t) f(x))ϕ ε (t) dt K η () (f(x + t) f(x))ϕ ε (t) dt + R n \K η () (f(x + t) f(x))ϕ ε (t) dt =: I + I 2. Az egyszerűség kedvéért csak az n = p = esetben részletezzük a bizonyítás további részét (az egyéb esetek analóg módon intézhetők el). Az I becsléséhez vegyük észre, hogy a ψ (r) := ψ(x) (x R, r = x ) függvénnyel (ami nyilván monoton fogyó és ψ integrálhatósága miatt integrálható, azaz lim r + ψ (r) = ) rψ (r) {t R: r/2 t r} ψ(x) dx (r vagy r + ). Következésképpen rψ (r), ha r vagy r +. Ezért van olyan C > konstans, amellyel rψ (r) C ( < r < + ). Mindezt előre bocsájtva azt mondhatjuk, hogy I ε η η f(x + t) f(x) ψ(t/ε) dt =

3.2. Inverziós formula 3 ε η ( f(x r) f(x) + f(x + r) f(x) )ψ (r/ε) dr. Legyen G(s) := s ( f(x s) f(x) + f(x + s) f(x) ) ds (s ). Ekkor a δ, ill. az η megválasztásából r r f(x t) f(x) dt = r ( f(x t) f(x) + f(x + t) f(x) ) dt = G(r) rδ ( < r η). Tehát parciális integrálással I ε η G (r)ψ (r/ε) dr = G(η)ψ (η/ε) ε ε η G(r) d(ψ (r/ε)) ηδψ (η/ε) ε ε η/ε η/ε G(rε) d(ψ (r)) Cδ δ r d(ψ (r)) ( + ) ( + ) δ C rψ (r) dr = δ C + ψ (r) dr = ( δ C + 2 ) ψ(x) dx =: Bδ. A most definiált B konstans nyilván csak ψ-től függ. Az I 2 becsléséhez legyen g η := χ R\( η,η), ψ ε (x) := ε ψ(x/ε) (x R). Ekkor I 2 f g η ψ ε + f(x) g η ψ ε. Az előbbi becslés második tagjáról ψ L miatt a következőt mondhatjuk: g η ψ ε = R\( η,η) ψ ε (x) dx = R\( η/ε,η/ε) ψ(x) dx (ε ).

32 3.2. Inverziós formula Ugyanakkor η g η ψ ε = η ε ψ (η/ε) (ε ). Figyelembe véve az előbb az I -ről mondottakat az állításunkat bebizonyítottuk. vi) Az előbbi megjegyzésbeli szereplőkkel a g λ := ϕ /λ (λ > ) függvénysereg ϕ(t) dt = esetén nyilván egységapproximáció (ld. i), ii) megjegyzések), ezért a ii)-ben megfogalmazott állítás szerint bármely f X függvényre T ε f f (ε ), ahol (L p,. p ) ( p < + ) (X,. ) := (C,. ) (p = +.) Speciálisan (ld. iv) megjegyzés), ha Φ, Φ L C és Φ(t) dt =, akkor bármely f L függvényre az ˆf Fourier-transzformált ˆf(t)e ı t,x Φ(εt) dt (x R n ) Φ-integrálközepei ε esetén. -normában konvergálnak f -hez. Ha itt még ˆf L is igaz, akkor (az inverziós formula fentebbi bizonyításában már alkalmazott technikával ) azt kapjuk, hogy a c := Φ() jelöléssel f(x) = c ˆf(t)e ı t,x dt (m.m. x R n ). Így pl. (ld. 2.3.. ii) megjegyzés) a Φ(t) := (2π) n e t 2 /2 (t R n ) választással c = (2π) n, azaz újfent adódik az inverziós formula. Világos, hogy ha ˆf(x) = (m.m. x R n ), akkor ugyanez igaz az f függvényre is. Innen rögtön következik a Fourier-transzformáció injektivitása: ha f, g L és ˆf(x) = ĝ(x) (m.m. x R n ), akkor f(x) = g(x) (m.m. x R n ). vii) Válasszuk pl. vi)-ban (n = esetén) a ϕ(t) := e t2 / π (t R) függvényt. Ekkor nyilván teljesülnek a ϕ-vel kapcsolatban vi)-ban (és v)-ben) megfogalmazott feltételek, ezért bármely f C függvényre lim ε T ε f f =, ahol T ε f(x) = ε π f(t)e (t x)2 /ε 2 dt (x R). Mutassuk meg a fentiek alapján, hogy igaz a Weierstrass-féle approximációs tétel, nevezetesen: ha < a < b < + és g : [a, b] R folytonos, akkor bármely δ > számhoz van olyan P (algebrai) polinom, amellyel

3.2. Inverziós formula 33 max g(x) P(x) < δ. a x b Terjesszük ki ehhez a g függvényt az egész számegyenesre úgy, hogy a kiterjesztett függvényre (jelöljük ezt f-fel) f C és supp f [a, b+] teljesüljön. (Ezt nyilván megtehetjük.) Ekkor lim ε T ε f f = miatt bármely σ > számhoz van olyan ε >, hogy T ε f f < σ. Következésképpen max a x b g(x) ε π b+ a f(t)e (t x)2 /ε 2 dt < σ. Ha x [a, b], t [a, b + ], akkor (t x)/ε [c, d], ahol c := (a b )/ε, d := (b a + )/ε. A [c, d] intervallumon a k= ( )k z 2k /k! Taylor-sor egyenletesen konvergens, így alkalmas N N természetes számmal /ε 2 e (t x)2 N k (t x)2k ( ) ε 2k k! < σ. k= Következésképpen a C := (b a + 2) f konstanssal tetszőleges [a, b] x-re b+ a f(t)e (t x)2 /ε 2 dt b+ a f(t) N k (t x)2k ( ) ε 2k k! k= dt Cσ. Azt kaptuk tehát, hogy Mivel max a x b g(x) ε π N k= ( ) k ε 2k k! b+ a f(t)(t x) 2k dt ( + C ) ε σ. π b+ a f(t)(t x) 2k dt = 2k j= ( (2k ) b+ )( ) j f(t)t 2k j dt x j =: j a 2k j= c kj x j (k =,..., N), ezért a

34 3.2. Inverziós formula P(z) := ε π függvény polinom, amellyel hacsak σ elég kicsi. N k= ( ) k ε 2k k! 2k j= c kj z j (z R) ( max g(x) P(x) + C ) a x b ε σ < δ, π viii) Legyen f L, ekkor az ˆf Fourier-transzformáltnak a vi) megjegyzésben (az ottani szereplőkkel) említett ˆf(t)e ı t,x Φ(εt) dt (x R n ) Φ-integrálközepei ε esetén v) szerint f(x)-hez tartanak az f függvény minden x Lebesguepontjában. Nyilván minden olyan x pont ilyen, amelyben f folytonos, azaz f C{x} esetén lim ε ˆf(t)e ı t,x Φ(εt) dt = f(x). Ha tehát f C{}, akkor lim ε ˆf(t)Φ(εt) dt = f(). Tegyük fel, hogy ˆf és legyen Φ(t) := (2π) n e t 2 /2 (t R n ). Ekkor lim ε ˆf(t)e ε2 t 2 /2 dt = (2π) n f(), azaz a Fatou-lemma miatt ˆf(t) dt = ˆf(t) dt = lim inf ε ˆf(t)e ε2 t 2 /2 dt lim inf ε ˆf(t)e ε2 t 2 /2 dt = lim ε ˆf(t)e ε2 t 2 /2 dt = (2π) n f() < +. Ez azt jelenti, hogy ˆf L. Következésképpen, ha f L, ˆf és f C{}, akkor igaz az inverziós formula:

3.2. Inverziós formula 35 f(x) = (2π) n ˆf(t)e ı t,x dt (m.m. x R n ). Továbbá f() = (2π) n ˆf(t) dt. ix) Legyen n =, g L és Pg(t) := + ún. periodizáltja). Mivel k= g(t+2kπ) (t [ π, π]) (a g függvény π + π k= g(t + 2kπ) dt = + π k= π g(t + 2kπ) dt = + (2k+)π k= (2k )π g(t) dt = g(t) dt < +, ezért a + k= g(t + 2kπ) sor m.m. t R helyen abszolút konvergens és π π Pg(t) dt g < +, azaz Pg L [ π, π] és (a Lebesgue-tétel miatt) π π Pg(t)dt = g(t)dt. Az Pg függvény nyilván periodikus 2π-szerint. Ha f L [ π, π], akkor terjesszük ki f-et R-re 2π-szerint periodikusan (a kiterjesztett függvényt is f-fel jelöljük). Legyen ekkor f g := f (Pg), f g(x) = π + π k= f(x t)g(t + 2kπ)dt (x R). Továbbá π π π π f g(x) dx f(x) dx + k= + k= π π π π ( π π g(t + 2kπ) dt = ) f(x t) dx g(t + 2kπ) dt = π π f(x) dx g(t) dt,

36 3.2. Inverziós formula tehát f g L [ π, π] és f g f g. Ha pl. f(t) := e j (t) := e ıjt (j Z, t [ π, π]), akkor f g(x) = e j g(x) = e ıjx π + π k= e ıjt g(t + 2kπ)dt = e ıjx π + π k= e ıj(t+2kπ) g(t + 2kπ)dt = e ıjx π π P(ge j )(t)dt = e ıjx g(t)e ıjt dt (x R). Legyen most θ L C olyan, hogy ˆθ L és valamely < m N mellett g(t) := θ m (t) := m 2π ˆθ(mt) (t R). Az előbbiek és az inverziós formula (ld. 3.) szerint e j θ m (x) = e ıjx m 2π ˆθ(mt)e ıjt dt = e ıjx 2π ˆθ(t)e ıjt/m dt = e ıjx θ(j/m) (x R). A továbbiakban feltesszük, hogy + k= θ(k/m) < + ( < m N). Definiáljuk ekkor a T θ m, σ θ m ( < m N) operátorokat a következőképpen: T θ mf := f θ m, σ θ mf := + k= θ(k/m)c k (f)e k (f L [ π, π]), ahol c k (f) := (2π) π π f(t)e ıkt dt az f függvény k-adik Fourier-együtthatója. A fentiek alapján bármely f L [ π, π] függvényre

3.2. Inverziós formula 37 T θ m f = f θ m f θ m = m f 2π ˆθ(mt) dt = f 2π ˆθ(t) dt = ˆθ 2π f, így a T θ m : L [ π, π] L [ π, π] ( < m N) (nyilván lineáris) operátorok (egyenletesen) korlátos lineáris operátorok. Hasonlóan, σ θ m f + k= θ(k/m) c k (f) e k f + k= azaz a + k= θ(k/m) < + ( < m N) feltétel miatt a θ(k/m), σ θ m : L [ π, π] L [ π, π] ( < m N) operátorok is korlátos lineáris operátorok. Mivel c k (e j ) = δ kj (k, j Z), ezért σ θ me j = θ(j/m)e j = T θ me j (j Z, < m N), amiből bármely τ trigonometrikus polinomra is σm θ τ = T m θ τ következik. Tudjuk, hogy a trigonometrikus polinomok halmaza. -ban mindenütt sűrű az (L [ π, π],. ) Banach-térben, így egyúttal σ θ mf = T θ mf (f L [ π, π], < m N). Sőt, ha θ() =, akkor σ θ m e j e j = θ(j/m) e j = θ(j/m) (m ).

38 3.2. Inverziós formula Összefoglalva a fentieket (a Banach-Steinhaus-tételre hivatkozva) az alábbi tételt láttuk be: tegyük fel, hogy a θ L C függvényre a következő feltételek teljesülnek: ˆθ L, θ() =, + k= θ(k/m) < + Ekkor bármely f L [ π, π] esetén σ θ m f f ( < m N). (m ). Az itt szereplő (L [ π, π],. ) tér kicserélhető (C[ π, π],. )-re vagy (L p [ π, π],. p )-re ( p < + ), sőt, tetszőleges (X,. ) homogén Banachtérre. (Tehát T X L [ π, π] (a trigonometrikus polinomok halmazát T-vel jelölve),.., T x f X, T x f = f (f X, x R), ill. minden X f-hez megadható trigonometrikus polinomoknak egy olyan (τ m ) sorozata, hogy f τ m (m ).) A σm θ ( < m N) operátorok egy speciális szummációs eljárást határoznak meg. Legyen ui. valamely k= x k számsor esetén t m := θ(k/m)x k k= ( < m N). Ha a θ páros függvényre igaz, hogy + k= θ(k/m) < + ( < m N), akkor nyilván minden korlátos (x k ) sorozatra létezik a (t m ) (szám-)sorozat. Azt mondjuk, hogy a szóban forgó k= x k sor θ-szummábilis, ha a (t m ) sorozatnak van (véges) határértéke. Ez utóbbi esetben lim m t m a sor θ-szummája. Legyen m S :=, S m := k= m x k (k N). Ekkor t m = θ(k/m)(s k S k ) = (θ(j/m) θ((j + )/m))s j =: j= j= a mj S j j= ( < m N). Az ismert Toeplitz-tétel szerint ez a szummáció akkor és csak akkor permanens (azaz lim m t m = lim m S m ), ha

3.2. Inverziós formula 39 sup <m N j= a mj < +, lim m j= a mj =, lim a mj = m (j N). A + k= θ(k/m) < + ( < m N) feltétel miatt lim k θ(k/m) = ( < m N), ezért a mj = θ() j= ( < m N). Tehát θ() = esetén lim m j= a mj =. Ha θ még folytonos is -ban, akkor nyilván lim m a mj = (j N) is igaz. A sup <m N j= a mj < + korlátossági feltétel is teljesül, ha pl. a θ függvény korlátos változású. Ha pl. a θ L függvényről azt tudjuk, hogy ˆθ és θ C{}, akkor (ld. viii)) ˆθ L. Világos, hogy ha θ := χ [,], akkor a θ-szummáció a szóban forgó sorok közönséges értelemben vett (szimmetrikus) összegzését jelenti. Hasonlóan, ha γ > és θ(t) := ( t γ )χ [,] (t) (t R), akkor a klasszikus Riesz-szummációhoz jutunk. Speciálisan a γ = választással kapjuk a (C, )- (vagy Fejérféle) összegzést. (Számos egyéb klasszikus szummációs eljárás írható le még ilyen módon.) ( < m N) operátorokról a következőket mond- x) A fentiekben bevezetett σm θ hatjuk: σ θ m f(x) = k= k= π π ( π ) θ(k/m) e ıkt dt e ıkx = 2π π 2π f(t)θ(k/m)eık(x t) dt, ahol C m := k= θ(k/m) < + ( < m N) miatt f(t)θ(k/m)e ık(x t) = f(t) θ(k/m) C m f(t) k= k= (t [ π, π]). Ezért a Lebesgue-tétel szerint

4 3.2. Inverziós formula σ θ m f(x) = π π f(t) 2π k= θ(k/m)e ık(x t) dt = π π f(t)k θ m (x t) dt = f Kθ m (x) (x [ π, π]) a K θ m := 2π k= θ(k/m)e k ( < m N) magfüggvénnyel. A C m < + feltételből következően a (2π-szerint periodikus) Km θ -t definiáló végtelen sor egyenletesen konvergens, így Kθ m C[ π, π]. Innen az is következik, hogy az C[ π, π] f σm θ f C[ π, π] ( < m N) operátor normája K θ m. Mivel σ θ mf = T θ mf f θ m = 2π ˆθ f (f C[ π, π]), ezért K θ m ˆθ /(2π), azaz sup Km θ <m N 2π ˆθ. Később belátjuk (ld. xii)), hogy a fenti egyenlőtlenségben egyenlőség is írható. xi) Világos, hogy C m < + ( < m N) alapján (ld. Lebesgue-tétel) c l (K θ m ) = 4π 2 k= π θ(k/m) e ıkt e ılt dt = π 2π θ(l/m) (l Z). Ugyanakkor ˆθ L miatt (az inverziós formulát is alkalmazva) c l (Pθ m ) = π Pθ m (t)e ılt dt = π 2π π 2π π j= θ m (t + 2jπ)e ılt dt =

3.2. Inverziós formula 4 m π (2π) 2 π m 2π (2π) 2 j= j= ˆθ(m(t + 2jπ))e ılt dt = ˆθ(m(t + 2jπ))e ıl(t+2jπ) dt = m (2π) 2 ˆθ(mt)e ılt dt = 2π 2π ˆθ(t)e ıtl/m dt = 2π θ(l/m) (l Z). Tehát K θ m(t) = Pθ m (t) (m.m. t [ π, π]), azaz θ(k/m)e ıkt = m ˆθ(m(t + 2jπ)) k= j= ( m.m.t R, < m N). (Ld. még: Poisson-formula (5... vii) megjegyzés).) xii) (Tyeljakovszkij (96), Zsuk-Natanszon (983).) Mutassuk meg, hogy (a ix)-beli feltételek mellett) sup Km θ = <m N 2π ˆθ. Bontsuk fel ehhez a θ m ( < m N) függvényt a következőképpen: θ m = θ m χ [ π,π] + θ m χ R\[ π,π] =: θ () m + θ(2) m. Ekkor tetszőleges (2π-szerint periodikus) f C[ π, π] függvényre f Pθ m f Pθ () m f Pθ (2) m ahol f Pθ () m f Pθ (2) m f Pθ () m f θ (2) m, θ m (2) = θ m (t) dt = m ˆθ(mt) dt = {x R: x >π} 2π {x R: x >π}

42 3.2. Inverziós formula ˆθ(t) dt 2π {x R: x >mπ} (m ). A folytonos magú integrál-operátorok normájával kapcsolatos klasszikus ismeretek alapján θ m () = Pθ m () = sup f Pθ m (), {f C[ π,2π]: f =} ezért alkalmas g k C[ π, π], g k = ( < k N) sorozattal θ () m /m < g m Pθ () m ( < m N). Következésképpen az előbbiekre tekintettel azt mondhatjuk, hogy 2π ˆθ = θ m Pθ m = K θ m g m K θ m = g m Pθ m > θ () m /m θ (2) m ( < m N). Innen lim inf m Kθ m lim inf m θ() m = π lim inf m ˆθ(mt) dt = 2π m π mπ lim inf ˆθ(t) dt = mπ 2π m mπ 2π lim ˆθ(t) dt = m mπ 2π ˆθ, amiből az állításunk már nyilvánvaló. Bármely (2π-szerint peri- xiii) (Szőkefalvi-Nagy (948), (Young-)Hardy (922).) odikus) f C[ π, π] függvény és x [ π, π] esetén σm θ f(x) = 2π f(x t/m)ˆθ(t) dt. A T θ m = σθ m ( < m N) egyenlőségből ui. σ θ mf(x) = f θ m (x) = π π k= f(x t)θ m (t + 2kπ) dt =

3.2. Inverziós formula 43 k= π π π π k= f(x (t + 2kπ))θ m (t + 2kπ) dt = f(x (t + 2kπ))θ m (t + 2kπ) dt = m 2π f(x t)ˆθ(mt) dt = 2π f(x t)θ m (t) dt = f(x t/m)ˆθ(t) dt. + xiv) A továbbiakban azt vizsgáljuk, hogy a θ L C, k= θ(k/m) < + ( < m N) feltételek mellett mikor igaz az alábbi következtetés: ( ) sup Km θ < + = ˆθ L. <m N Becsüljük ehhez K θ m -et a következőképpen: ha < m, M, N N és M mπ, akkor 2π K θ m = M M m π π mn k= mn M M m + k= M θ(k/m)e ıkt dt = M m + k= θ(k/m)e ıkt/m dt mn k= mn mπ mπ m + k= θ(k/m)e ıkt/m dt M M m θ(k/m)e ıkt/m dt 2M m k >mn k >mn θ(k/m)e ıkt/m dt θ(k/m)e ıkt/m dt θ(k/m). Mivel m mn k= mn θ(k/m)eıkt/m ( M t M) nem más, mint a [ N, N] x θ(x)e ıtx függvény (Riemann-) integrál közelítő összege, ezért

44 3.2. Inverziós formula lim m m mn k= mn θ(k/m)e ıkt/m = N N θ(x)e ıtx dx ( M t M). Ugyanakkor tetszőleges < m N, M t M esetén m mn k= mn θ(k/m)e ıkt/m (2N + ) max x N θ(x), ezért a Lebesgue-féle konvergencia-tétel értelmében Továbbá M lim m M m mn k= mn θ(k/m)e ıkt/m dt = M M N N θ(x)e ıtx dx dt. m k >mn θ(k/m) m j N m l= Tegyük fel, hogy alkalmas γ j (j Z) számokkal θ(j + l/m). ( ) Ekkor m θ(j + l/m) γ j (j Z, < m N), m l= + j= γ j < +. m j N m l= θ(j + l/m) j N γ j. Tehát 2π K θ m M M m mn k= mn θ(k/m)e ıkt/m dt 2M j N γ j, azaz

3.2. Inverziós formula 45 M 2π sup Km θ lim <m N m M M M N N Vegyük figyelembe, hogy egyrészt Lebesgue-tétel szerint M lim N M N N M M m mn k= mn θ(k/m)e ıkt/m dt 2M θ(x)e ıtx dx dt 2M γ j. N θ(x)e ıtx dx dt = + j N N θ(x)eıtx dx θ M M lim N M θ(x)e ıtx dx dt = M N N ˆθ(t) j N γ j = ( t M), ezért a θ(x)e ıtx dx dt = dt. Másrészt a j Z γ j < + feltételezés miatt j N γ j (N ), így M sup Km θ lim <m N N M Innen már következik. N N θ(x)e ıtx dx dt 2M lim M ˆθ = lim ˆθ(t) dt 2π sup M M <m N N j N γ j = K θ m < + M M ˆθ(t) dt. xv) A fentiekhez a következő észrevételeket fűzzük. Tegyük fel, hogy f C és legyen ill. f S := + sup j= <m N m m l= f(j + l/m),

46 3.2. Inverziós formula S(C, l ) := {f C : f S < + }. Mivel m m l= f(j + l/m) (f S(C, l ), < m N) az j+ f(t) dt j integrálnak egy közelítő összege, ezért Következésképpen lim m m m l= f(j + l/m) = j+ j f(t) dt. Innen sup <m N m m l= f(j + l/m) j+ j θ(t) dt. f(t) dt = + j+ j= j θ(t) dt + sup j= <m N m m l= f(j + l/m) = f S < + miatt S(C, l ) L C következik. Könnyen látható, hogy S(C, l ) vektortér (R felett) és. S norma. Ui. S = triviális. Ha viszont f S =, akkor tetszőleges j Z, < m N esetén f(j + l/m) = (l =,..., m ). Viszont bármely x R számhoz és ε > küszöbhöz az f folytonossága miatt megadhatók a j Z, < m N, l =,..., m számok úgy, hogy az y := j + l/m jelöléssel f(x) f(y) = f(x) < ε egyenlőtlenség teljesüljön. Ezért f(x) =, azaz f. Továbbá a λf S = λ f S (f S(C, l ), λ R) egyenlőség, ill. az f + g S f S + g S (f, g S(C, l )) egyenlőtlenség szintén meglehetősen nyilvánvaló. Következésképpen (S(C, l ),. S ) normált tér. Legyen adott egy f n S(C, l ) (n N) sorozat és tegyük fel, hogy valamely f S(C, l ) függvénnyel f n f S (n ). Tehát

3.2. Inverziós formula 47 + sup j= <m N m m l= f n (j + l/m) f(j + l/m) (n ). Ha r R racionális szám, akkor alkalmas j Z, < m N, l =,..., m számokkal r = j + l /m. Világos, hogy f n (r) f(r) m l= azaz f(r) = lim(f n (r)). f n (j +l/m ) f(j +l/m ) m f n f S (n N), Mutassuk meg, hogy az (S(C, l ),. S ) tér nem teljes. Legyen ehhez < n N esetén Nyilvánvaló, hogy f n C, ill. sin(π/x) (/n x ) f n (t) := (x R \ (/n, )). f n S = sup <m N m m l= f n (l/m) miatt f n S(C, l ). Továbbá, ha < n, k, m N, k > n, akkor m l= f n (l/m) f k (l/m) = ezért m l=,/k<l/m</n f n (l/m) f k (l/m) = m l=,m/k<l<m/n f k (l/m) m n m k, f n f k S = sup <m N m m l= f n (l/m) f k (l/m)

48 3.2. Inverziós formula n k (n, k ). Ez azt jelenti, hogy az (f n ) sorozat Cauchy-sorozat a. S normára nézve. Ha lenne olyan f S(C, l ) függvény, amellyel f n f S (n ) teljesülne, akkor az előzőek szerint minden r (, ) racionális számra f(r) = lim(f n (r)) = sin(π/r). Ilyen f : R R folytonos függvény viszont nincs. Egy f C[, ] függvény esetén jelöljük s m -mel a következő átlagot: s m (f) := m m l= f(l/m) ( < m N). Legyen továbbá ill. f ml := max{ f(t) : l/m t (l + )/m} (l =,..., m ), és S m (f) := m m l= f ml ( < m N) s(f) := sup s m (f), S(f) := sup S m (f). <m N <m N Világos, hogy s(f) S(f). Tekintsük ugyanakkor valamely < n N esetén azt az f n C[, ] függvényt, amelynek a grafikonja a [, /n] intervallum felett egy -magasságú egyenlő szárú háromszög és f n (t) := (/n t ). Ekkor S (f n ) = miatt S(f n ). Ugyanakkor m =,..., n esetén s m (f n ) =, míg ha m = n +, n + 2,..., akkor s m (f n ) = m [m/n] l= f n (l/m) m [m/n] l= n.

3.2. Inverziós formula 49 Tehát s(f n ) /n ( < n N), azaz nincs olyan q konstans, amellyel S(f) q s(f) teljesülne tetszőleges f C[, ] függvényre. Vezessük be egy f S(C, l ) függvényre az alábbi jelölést: f SW := + sup j= <m N m m l= fχ [j+l/m,j+(l+)/m]. Nyilvánvaló, hogy. SW norma és. S. SW, de a fentiek szerint a két szóban forgó norma nem ekvivalens. Igaz tehát az alábbi következtetetés: tegyük fel, hogy θ S(C, l ). Ekkor sup <m N Km θ < + = ˆθ L. Nyilvánvaló, hogy m m l= θ(j + l/m) sup θ(j + x) x< (j Z). Ezért + sup j= x< θ(j + x) < + esetén a γ j := sup x< θ(j +x) (j Z) választás eleget tesz ( )-nak. Legyen azonban θ C olyan, amelyre θχ (j,j+/j) = /j (j =, 2,...) és θ(t) = (t R\A), ahol A := j= (j, j+/j). Ekkor θ L és bármely < m N, j Z mellett m (j ) θ(j + l/m) m l= m [m/j] l= /j j 2 =: γ j ( < j), tehát ( ) teljesül. Viszont + sup j= x< θ(j + x) = + j= j = +.