Atomfizika feladatok

Atomfizika feladatok Horváth Ákos 2007. október 19. Tartalomjegyzék 1. Az energia kvantumos viselkedésére utaló jelenségek 2 1.1. Fekete test sugárzása........................... 2 1.1.1. Energiaeloszlás, Planck-görbe.................. 2 1.1.2. Wien féle eltolódási törvények.................. 2 1.1.3. Sugárzás intenzitása, energiasűrűsége.............. 3 1.1.4. Reális testek sugárzása...................... 4 2. Részecske hullám kettősség 4 2.1. Az elektromágneses tér hullám és részecsketulajdonságai....... 4 2.1.1. Relativisztikus energiaképlet................... 4 2.1.2. A fotoelektromos effektus.................... 5 2.1.3. Compton effektus......................... 6 2.1.4. Párkeltés, annihiláció....................... 7 2.1.5. Fénynyomás............................ 7 2.1.6. Fotonok perdülete......................... 8 2.2. Részecskék hullámtermészete....................... 8 2.2.1. de Broglie hullámhossz...................... 8 2.2.2. Mikrorészecskék interferencia tulajdonságai........... 8 3. Atomok felépítése 9 3.1. Atommodellek............................... 9 3.1.1. Magsugár............................. 9 3.1.2. Rutherford szórás......................... 9 3.1.3. Bohr féle atommodell....................... 10 3.1.4. Az elektronok saját-perdülete és mágneses momentuma.... 11 3.1.5. Schrödinger kép.......................... 11 3.2. Atomi hullámfüggvények......................... 11 3.2.1. A hidrogén atom (nemrelativisztikus) hullámfüggvényei.... 11 3.2.2. Atomi elektronállapotok finomszerkezete 1., leárnyékolás... 13 3.2.3. Teljes impulzusmomentummal jellemzett hullámfüggvények.. 13 3.2.4. Atomi elektronok mágneses momentuma............ 14 3.2.5. A spin-pálya kölcsönhatás.................... 14 3.2.6. Zeemann effektus, anomális Zeemann effektus......... 15 1

1. Az energia kvantumos viselkedésére utaló jelenségek 1.1. Fekete test sugárzása 1.1.1. Energiaeloszlás, Planck-görbe 1.1.1.1. Feladat. Milyen tapasztalati törvények voltak ismertek a fekete test sugárzására vonatkozólag 1900 előtt? Mi volt az érvényességi körük? 1.1.1.2. Feladat. Milyen feltevéseket tett Planck, amikor a fekete test sugárzásának mért energiaeloszlását elméleti úton is megkapta? 1.1.1.3. Feladat. Mekkora az 5 10 14 és 5.04 10 14 Hz frekvenciatarományba eső fény energiasűrűsége egy 2000 o C hőmérsékletű fekete test belsejében? 1.1.1.4. Feladat. Mekkora intenzitású fényt bocsát ki egy 2000 K hőmérsékletű fekete test 595 nm és 600 nm között? 1.1.1.5. Feladat. Milyen frekvenciáig használható a Rayleigh-Jeans törvény T=100 o C és T=5000 K-en? 1.1.1.6. Feladat. Két test teljes elektromágneses sugárzásának intenzitás-eloszlását megmértük a hullámhossz függvényében adott térszögben. Lehet-e mindkettő fekete test, ha a két görbe alakja azonos de az egyik amplitudója a másik ötszöröse? 1.1.1.7. Feladat. Metszheti-e egymást két különböző hőmérsékletű Planck-görbe? 1.1.1.8. Feladat. Vezessük le a fekete test belsejében uralkodó u energiasűrűség és a kibocsátott I intenzitás I= c u kapcsolatát a következő egyszerű esetben. Van egy 4 kocka alakú fekete test és középtájékon egy A méretű lyuk, és a fotonok izotróp eloszlás szerint benn c sebességgel szaladgálnak, és egy részük rövid t idő alatt kijön a lyukon. (Két kijövő foton viszont nem független részecskék, hanem igazából az E térerősség vektoraik összeadódnak.) 1.1.2. Wien féle eltolódási törvények 1.1.2.1. Feladat (S-4.40). Vezesd le, hogy milyen λ-nál van I λ -nak maximuma egy T hőmérsékletű fekete test sugárzásakor? Avagy, mi van a Wien féle eltolódási törvények konstansaiban elrejtve? (5-x)e x = 5 egyenlet megoldása x = 4.9651. 1.1.2.2. Feladat (6.4). A kozmikus háttérsugárzás egy T = 2.7 K hőmérsékletű fekete test sugárzásával egyenértékű. Milyen λ m, ν m -nél kapunk legtöbb kibocsátott energiát frekvencia ill. hullámhossz egységre vonatkoztatva? Milyen hullámhossz tartozik ν m -hez? 1.1.2.3. Feladat (S-4.42). Becsüljük meg a Nap felszíni hőmérsékletét abból, hogy a Napból jövő sugárzás intenzitásának maximuma 4700 Å-nél van. (Tegyük fel, hogy a Nap ideális fekete test.) 2

1.1.2.4. Feladat (S-4.41). Milyen hullámhossznál van I(λ)-nak maximuma T=2900Knél? általában egy izzószál ilyen hőmérsékleten működik. Becsüld meg, hogy a kibocsátott energia hányad része esik a látható tartományba? 1.1.2.5. Feladat. Ha a Nap felszíne ötször melegebb lenne, akkor nagyobb lenne-e az általa kibocsátott látható fény intenzitása? A látható fény hullámhossza a λ=[380 nm, 780 nm] tartományba esik. 1.1.2.6. Feladat. Milyen frekvenciánál tapasztaljuk a maximális frekvenciaegységre jutó intenzitását egy olyan fekete testnek, ami v = 0.1 c sebességgel centrálisan távolodik tőlünk, és T = 4000 K hőmérsékletűnek érzi magát? 1.1.2.7. Feladat. Mennyivel tolódik el egy 6000 K hőmérsékletű fekete test sugárzásának hullámhossz szerinti eloszlásában a maximum, ha a test v = 0.3 c sebességgel közeledik ill. ha távolodik? 1.1.2.8. Feladat. Miben különbözik egy v = 0.6 c sebességgel távolodó T = 4000 K fekete test sugárzása egy 2000 K hőmérsékletű álló fekete test sugárzásától? 1.1.3. Sugárzás intenzitása, energiasűrűsége 1.1.3.1. Feladat. Hogyan adódik a Stefan-Boltzmann törvény a Planck eloszlásból? 1.1.3.2. Feladat. Egy ideális fekete test egy nap alatt 548 J energiát sugároz ki szobahőmérsékleten. Mennyi energiát emittálna 1000 o C-on 1 nap alatt? 1.1.3.3. Feladat. Mekkora felületen sugároz az előző fekete test? 1.1.3.4. Feladat (6.3). A látható fény hullámhossztartományának közepe 550 nm. Mekkora a hőmérséklete egy ideális fekete testnek amely olyan elektromágneses sugárzást bocsát ki, amelynek maximuma ennél a hullámhossznál van? Hány wattos lenne ez az izzó? 1.1.3.5. Feladat (H-5.11). Számoljuk ki a Nap hőmérsékletét és a belsejében lévő sugárzás energiasűrűségét feltéve, hogy a Nap egy r=7 10 8 m sugarú gömb alakú ideális fekete test. A Napból jövő sugárzás intenzitása a Földön 1.4 10 3 W/m 2, a Föld 1.5 10 11 m-re van a Naptól. Mekkora a hőmérséklet becslés hibája, ha a távolságokat 1% pontosan ismerjük? 1.1.3.6. Feladat (H-5.11). Homogén-e (hely függvényében) a Napban az energiasűrűség feltéve, hogy ideális fekete test? 1.1.3.7. Feladat (6.9). Egy fémben A = 2.0 mm 2 keresztmetszetű lyuk vezet egy nagy üregbe. Mennyi idő alatt sugároz 500 J-t ez a test, ha 100 o C hőmérsékletű? 1.1.3.8. Feladat. Egy vákumban lévő 1 cm 2 területű szilicium detektor 25 o C-on üzemel, és rajta kicsi áram folyik, ami 1 nw (rendezetlen) teljesítményt átad. Kelle hűteni a detektort? (Vákumban csak sugárzással tud energiát veszíteni.) 3

1.1.3.9. Feladat. Egy fekete test 400 J energiát sugároz 1 óra alatt 500 K-en. Mekkora frekvenciánál van az intenzitásának maximuma, ha 25 J-t emittál óránként? 1.1.3.10. Feladat. Egy ideális fekete test 8.72 10 3 W/m 2 -t emittál egy másodperc alatt. Milyen hullámhossznál sugározza a legnagyobb egységnyi hullámhosszra jutó teljesítményt? 1.1.3.11. Feladat. Egy fekete test sugárzásának intenzitásának = 800 nm-nél van maximuma. Mekkora az energiasűrűség az üreg belsejében? 1.1.4. Reális testek sugárzása 1.1.4.1. Feladat. 2 test teljesen egyforma kivéve, hogy az egyik fehér és sima a másik érdes és fekete. a.) Melyik fog hamarabb felmelegedni ill. lehűlni, ha kezdetben a környezetüktől eltérő hőmérsékleten voltak? b.) A hűtési melegítési arányban fennálló különbség vákumban jobban érvényesül. Miért? 1.1.4.2. Feladat. Becsüljük meg mennyi energiát sugároz ki egy ember 1 nap alatt! 2. Részecske hullám kettősség 2.1. Az elektromágneses tér hullám és részecsketulajdonságai 2.1.1. Relativisztikus energiaképlet 2.1.1.1. Feladat. Vezesd le a teljes energia és az impulzus kapcsolatát általános esetben! Egy m 0 nyugalmi tömegű részecske p impulzussal mozog és a teljes energiája E. Transzformáljuk át abba a koordinátarendszerbe ahol áll, közben az impulzus négyesvektor abszolut értékének négyzete nem változik. 2.1.1.2. Feladat. Ellenőrizd az előbbi képlet az m = m 0 1 v2 c 2 (E=mc 2, p=mv) kifejezés alapján. 2.1.1.3. Feladat. Mekkora a teljes energiája egy klasszikusan mozgó részecskének? Fejtsd sorba E-t v/c kicsi esetén. 2.1.1.4. Feladat. Mekkora a β = v c elektronok esetén? 50 kev, 500 kev, 5 MeV mozgási energiájú 2.1.1.5. Feladat. Mi az ultrarelativisztikus közelítés, és mikor lehet alkalmazni? Mondj példákat is! 2.1.1.6. Feladat. Milyen energiáig használhatjuk az E k = p2 2m 0 összefüggést, ha azt akarjuk, hogy az adott p-ből így számolt mozgási energia 5%-kal kevesebbel térjen el az igazitól? 2.1.1.7. Feladat (H-6.4). Mekkora a sebessége annak az elektronnak, amelynek mozgási energiája egyenlő a nyugalmi energiájával? 4

2.1.1.8. Feladat. Mekkora a bomlási impulzus a Λ 0 nyugalomból történő bomlásakor Λ 0 p + π? tömegek : Λ 0 =1115.6, p=938.8, π =139.6 MeV. 2.1.2. A fotoelektromos effektus 2.1.2.1. Feladat (B-2.1). A wolfram fotoelektron emissziójának küszöb hullámhossza 230 nm. Milyen hullámhosszúságú fényt kell használni, hogy a kilépő elektronok közül a maximális energiájú éppen 1.5 ev-os legyen? 2.1.2.2. Feladat. Mekkora ellenfeszültséggel lehet leállítani az elektronok áramát akkor, ha egy bárium lapra 550 nm hullámhosszúságú fotonok esnek? A bárium kilépési munkája 2.5 ev. 2.1.2.3. Feladat (B-2.3). A nátrium kilépési munkája 2.3 ev. Maximum milyen hullámhosszúságú fény tud fotoelektronokat kelteni egy ilyen lapon? Mekkora lesz a fotoelektronok maximális mozgási energiája, ha 200 nm-es fény esik a nátrium felületére? 2.1.2.4. Feladat. Melyik anyag alkalmas fotocellának a következők közül? Wolfram kilépési munkája 4.3 ev, bárium 2.5 ev? 2.1.2.5. Feladat (S-4.4). A foton energiájának frekvenciafüggését megmérő Einsteinféle kísérletben (pl.) a kalcium fotoelektron emisszióját vizsgálták különböző színű fényeket használva a következő lezáró feszültségeket kapták: λ (Å) 2536 3132 3650 4047 V max (V) 1.95 0.98 0.50 0.14 Mekkora a Planck állandó értéke ezekből az adatokból? 2.1.2.6. Feladat. Mikor van fotoelektromos effektus, ha a Danubius rádió fotonjai Cézium lapra esnek a Szabadság hegyen, ill. ha gyenge elemlámpával világítjuk meg egy sötét pincében? 2.1.2.7. Feladat (7.25). A magnézium kilépési munkája 3.68 ev. Monokromatikus fény fotoelektronokat kelt a felületén 2 fotonos reakciókban. A lezáró potenciál ezekre 1.47 V. Mekkora a lézer frekvenciája? Maximum milyen frekvenciájú fotonokkal lehet fotoelektronokat kelteni 2-fotonos mechanizmusban? 2.1.2.8. Feladat. Végbemehet-e fotoeffektus szabad elektronon? 2.1.2.9. Feladat. Melyik héjon legvalószínübb a fotoeffektus? 2.1.2.10. Feladat. Milyen energiájú foton esetén lesz igaz, hogy a héjak közül az L héjon lesz a leginkább valószínű a fotoeffektus? 2.1.2.11. Feladat. Milyen energiára tesz szert a visszalökődő jód atom, ha egy 300 kev energiájú foton fotoeffektust szenved a jód egy elektronján (azon, amelyiken a legvalószínübb ez az effektus)? A jód atom meglökődése közben nem ér el relativisztikus sebességet, és tekintsük azt az esetet, amikor az ionizált atom egyirányban halad az elektronnal az effektus után. 5

2.1.3. Compton effektus 2.1.3.1. Feladat (8.24). Hány százalékot változik egy sárga (550 nm) foton hullámhossza, ha Θ=90 o -ban szóródik egy szabad elektronon? 2.1.3.2. Feladat (H-5.20). Egy 1Å hullámhosszú foton 90 o -ban szóródik egy álló szabad elektronról. Mekkora energiára tesz szert az elektron? Az energiájának hány százalékát veszti el a foton? Milyen szögben repült ki az elektron? 2.1.3.3. Feladat (8.26). Néhány 2 MeV-es foton esik egy fém céltárgyra. Milyen szögben kell elhelyezni a detektort, hogy 0.5 MeV-es fotonokat detektáljunk? 2.1.3.4. Feladat (8.28). Tud-e két Θ/2 szögű Compton szórás ugyanakkora hullámhossz eltolódást okozni, mint egy foton Θ szögben? 2.1.3.5. Feladat. Mekkora az elektron maximális mozgási energiája, ha egy 600 kev energiájú X-foton szóródik rajta? (Ennek az energiának a neve Compton él, mert ennél többet Compton effektussal nem tud átadni egy foton akárhogy is érkezik be, az hogy ez miért éles határ már egy másik kérdés.) 2.1.3.6. Feladat. Egy tetszőleges energiájú foton Compton szóródott egy szabad elektronon ϑ = 90 o -ban. Mekkora az elektron energiája maximum? 2.1.3.7. Feladat (8.22). Mekkora a maximális hullámhossz változása egy fotonnak, ha egy szabad protonon szóródik? m p =1836 m e 2.1.3.8. Feladat. Melyik Compton effektusnak van nagyobb valószínüsége szabad elektronon, egy látható fényének vagy egy röntgen fotonénak? 2.1.3.9. Feladat. Egy kisenergiájú foton szóródik egy szabad elektronon. Milyen eloszlásba megy át a Compton effektus szögeloszlása? 2.1.3.10. Feladat. Milyen frekvenciájú fotonokat tudunk csinálni egy sárga fénynyalábból egy 100 ev energiájú elektronnyaláb segítségével? (Compton effektus szemben mozgó elektronra, másnéven Inverz Compton effektus, mert az elektron nem nyer hanem veszít energiát.) 2.1.3.11. Feladat. Mekkora energiát tud átadni egy 600 kev energiájú X-foton egy álló szabad elektronnak ha szóródik rajta? (Ennek az energiának a neve Compton él, mert ennél többet Compton effektussal nem tud átadni egy foton akárhogy is érkezik be.) Rajzold fel a meglökött elektron energiájának valószínüségének eloszlását (p(e)) a Klein-Nishina formula és egy számítógépes rajzolóprogram segítségével. Legyen az egyszerűség kedvéért hν = 511keV, m 0 c 2 = 511keV. 6

2.1.4. Párkeltés, annihiláció 2.1.4.1. Feladat. Végbemehet-e párkeltés elektromágneses tér (közelben lévő töltött részecske) jelenléte nélkül? 2.1.4.2. Feladat (H-5.4). 2 MeV energiájú gamma foton e e + párt kelt úgy, hogy az elektron és a pozitron energiái azonosak. Milyen sebességgel halad ez a pozitron? 2.1.4.3. Feladat. Becsüljük meg az elektron-pozitron párkeltés küszöbenergiáját elektron ill. proton terében úgy, hogy a részecskék tömegközépponti rendszerben nyugalomban lesznek a párkeltés után. 2.1.4.4. Feladat (B-15.5). 1 MeV mozgási energiájú e és e + közelednek egymáshoz, majd annihilálódnak. Milyen hullámhosszúságú γ keletkezik? 2.1.4.5. Feladat. Egy elektron és egy pozitron relatív sebessége nulla és 1 MeV energiával repülnek. Tegyük fel, hogy annihilálódnak. Ekkor milyen γ fotonok keletkeznek, és milyen szögben repülnek?(*) 2.1.4.6. Feladat. annihiláció valószinüsége arányos r 0 /v-vel. 2.1.5. Fénynyomás 2.1.5.1. Feladat. Mekkora az elektromos térerősség maximális értéke egy I=1W/cm 2 intenzitású fénynyalábban? 2.1.5.2. Feladat. A Napsugárzás teljes intenzitása a Föld felszínén kb. 0.13 W/cm 2. Mekkora a fénynyomás egy teljesen visszaverő sík felületen, ha a fény merőlegesen érkezik? 2.1.5.3. Feladat. A holdfény intenzitása teliholdkor a Föld felszínén 0.82 10 3 W/m 2 Mekkora erővel nyom egy teljesen fekete 100 m 2 felületű rá merőleges síklapot a holdfény? 2.1.5.4. Feladat. Hányszor nagyobb az elektromos térerősség a Napsugárban mint a holdfényben, ill. egy 10 V-ra feltöltött C=100 nf síkkondenzátorban, aminek a felülete 1 cm 2? 2.1.5.5. Feladat. Egy I intenzitású kevert színű fény α beesési merőlegessel esik egy síklapra, ami a fény a-ad részét elnyeli a többit visszaveri. Mekkora a fénynyomás a lapra? 2.1.5.6. Feladat. Meg lehet-e magyarázni a fénynyomást úgy, hogy a fotonoknak csak hullámtermészete van? 7

2.1.6. Fotonok perdülete 2.1.6.1. Feladat. Egy 3.2 nw teljesítményű cirkulárisan poláros fény (620 nm) esik egy vízszintes tökéletesen visszaverő körlapra. Mekkora forgatónyomatékot gyakorol a lapra? 2.1.6.2. Feladat. Cirkulárisan poláros fény, lineárisan poláros fénynek van e perdülete? Optikailag aktív, ill. kettősen törő anyagok. Foton teljes perdülete és terjedési irányra vett vetülete mennyi lehet, mi az a terjedési irány? 2.2. Részecskék hullámtermészete 2.2.1. de Broglie hullámhossz 2.2.1.1. Feladat. Semleges pi-mezon nyugalomban van, és elbomlik két gamma fotonra. Mekkora a hullámhosszuk? 2.2.1.2. Feladat (10.2). Számold ki egy 1/40 ev mozgási energiájú elektron és egy 2 MeV-es proton hullámhosszát! 2.2.1.3. Feladat (10.4). Milyen potenciálkülönbséget kell egy elektronnak befutni nyugalomból indulva ahhoz, hogy 100 pm legyen a hullámhossza? 2.2.1.4. Feladat. Mekkora a tömege annak a fotonnak, aminek a hullámhossza az elektron Compton hullámhosszával egyenlő? λ C = h m 0 c 2.2.1.5. Feladat (B-3.6). Mekkora a termikus neutronok hullámhossza? 2.2.1.6. Feladat (H-6.9). Egy távoli elektron egy proton potenciálvölgyébe zuhan 0 kezdősebességgel. Mekkora lesz a hullámhossza r=1m, és r= 1 2 10 10 m távolságban a protontól? Hasonlítsd össze ezt a proton méretével! 2.2.1.7. Feladat. Egy E π = 200 MeV energiájú semleges pi-mezon szimmetrikusan elbomlik két gamma fotonra. Milyen szöget zárnak be a kirepülő fotonok? 2.2.2. Mikrorészecskék interferencia tulajdonságai 2.2.2.1. Feladat (H-6.7). Melyik elektronnyaláb szenved leginkább észrevehető diffrakciót egy d=2.15å rácsállandójú anyagon? E 1 =1eV, E 2 =10eV, E 3 =1keV, E 4 =100keV. Mekkora lehet az elektron mozgási energiája, hogy az interferenciamaximum α 30 o -nál legyen? 2.2.2.2. Feladat. Milyen energiájú elektron nyaláb eredményez ugyanolyan diffrakciós képet mint egy sárga foton? 2.2.2.3. Feladat. 30 o -os beesési szöggel érkezik egy elektronnyaláb egy d=0.5 Å rácsállandójú kristályra. Az elektronok energiája 0-5.5 kev tartományban van. Egy fém lap úgy van a szóródott elektronok útjába helyezve, hogy csak a 30 o -ban szórt elektronok tudnak átmenni rajta. Mekkora lehet az átjutott elektronok sebessége? (Energia-szűrő) 8

2.2.2.4. Feladat. Egy 0-tól néhány ev-ig terjedő energiájú neutronnyaláb esik egy d=3.03 Årácsállandójú kristályra. Milyen szögben tudunk 0.1 ev energiájú neutronokat detektálni? 2.2.2.5. Feladat. Hullámcsomag síkhullám végtelenségének feloldása. 3. Atomok felépítése 3.1. Atommodellek 3.1.1. Magsugár 3.1.1.1. Feladat. Mekkora lenne az 1 elektronra jutó mozgási energia, ha a 12 C magjában 12 proton és 6 elektron volna? 3.1.2. Rutherford szórás 3.1.2.1. Feladat (11.2). Milyen mozgási energiájú α részecske tömegközéppontja tudja 9 fm-nél jobban megközelíteni egy arany atommag közepét? Az α sugara 1.4 4 1/3 fm. 3.1.2.2. Feladat. Két részecske szóródik egymáson a tömegközépponti rendszerben. Add meg a kisebb tömegű részecske pályájának eltérülési szögét és a minimális távolságukat az ütközési paraméter függvényében! 3.1.2.3. Feladat. Az előző feladat első eredményéből számold ki hogy milyen a tiszta Rutherford szórás valószínüségének eloszlása a ϑ függvényében, ha a teljes ϕ szögben vizsgáljuk, ill. ha [ϕ, ϕ + dϕ kis tartományban nézzük. 3.1.2.4. Feladat. Az összes Θ = 90 o -ban rugalmasan szóródott α részecskék száma 1s alatt 1000 db (ϕ [0, 2π]). Milyen szögben kapunk 5000 beütés/sec-t? térszög 3.1.2.5. Feladat. Milyen energiájú α részecske fogja elérni a 12 C atom magját, ha az α sugara 1.4 4 1/3 fm, a 12 C sugara 1.4 12 1/3 fm. 3.1.2.6. Feladat. 10 MeV energiájú α részecskék szóródása 205 Pb atommagokon nem mutat eltérést a tiszta Rutherford szórástól. Mekkora az 205 Pb magjának sugara maximum (ez az egyik legnagyobb mag)? Hasonlítsd össze ezt az atom méreteivel! 3.1.2.7. Feladat. 20 MeV energiájú α részekkel bombázunk 14 N magokat. Milyen szögeknél fogunk anomáliát tapasztalni a Rutherford szórástól? r 0 = 1.3 fm 3.1.2.8. Feladat. Az előző kísérletet A ill. B magokon is végrehajtjuk, és ϑ A > ϑ B. Mit mondhatunk r A és r B viszonyáról? 3.1.2.9. Feladat. Az 1/ sin 4 ϑ Rutherford szögeloszlás ϑ 0 körüli integrálja nem létezik (divergens). Hogyan lehet feloldani ezt? Hiszen a valószínüség teljes eseményhalmazra vett összege jobb lenne ha 1 lenne. 9

3.1.2.10. Feladat. Azonos részecskék szóródása. Azonos időpillanatban egy síkban elindított részecskék szóródás után azonos pillanatban elfoglalt felülete. (hullámfront) 3.1.3. Bohr féle atommodell 3.1.3.1. Feladat. Milyen frekvenciatartományban vannak a hidrogén színképének egyes sorozatai? (rádió, µ, IR, látható, UV, X, γ) Számold ki a legrövidebb és a leghosszabb hullámhosszat a Lymann sorozatból. 3.1.3.2. Feladat (11.10). A hidrogén atom melyik gerjesztett állapotának 12.09 ev az energiája? 3.1.3.3. Feladat. Mekkora a 2p 1s átmenet hullámhosszának különbsége a deutérium és a hidrogén esetén? 3.1.3.4. Feladat (12.3). Mekkora annak a fotonnak az energiája, frekvenciája, hullámhossza, amely a H-atom 3. gerjesztett állapotának alapállapotba történő legerjesztésekor keletkezik? 3.1.3.5. Feladat (12.5). Számold ki a müon-atom redukált tömegét, alapállapotának energiáját, pályasugarát, és az első gerjesztett állapotból alapállapoba történő átmenetben keletkező foton hullámhosszát. 3.1.3.6. Feladat. Mekkora sugarú pályákon keringenek a részecskék a tömegközéppont körül egy olyan rendszerben, ami egy pozitronból és egy müonból áll? 3.1.3.7. Feladat (B-5.12). A csupasz He 2+ ion befog egy elektront ami kezdetben nyugalomban volt. Milyen hullámhosszúságú fotont emittál a rendszer? 3.1.3.8. Feladat (12.7). Mekkora a Li 2+ első gerjesztett állapotának kötési energiája, gerjesztési energiája? Milyen energiájú, hullámhosszú fotont bocsát ki az első gerjesztett állapot legerjesztődésnél? 3.1.3.9. Feladat. Mutasd meg, hogy a Bohr modellben az elektron mozgási energiája a helyzeti energiájának -1/2-szerese. (Viriál tétel speciális esete.) Mi a helyzet n>1 esetén? 3.1.3.10. Feladat (12.13). Kicsivel Bohr előtt ismert volt a Pickering sorozat: ν = ν 0 ( 1 1 ) és ν 4 (n/2) 2 0 =3.29 10 15 Hz, és a hidrogén atomhoz kapcsolódott. Bohr észrevette, hogy ez nem a hidrogén egy sorozata, hanem egy másik ionizált elemé, aminek szintén csak egy elektronja van. Milyen elem volt ez és melyik volt a végállapota? 3.1.3.11. Feladat (B-5.5). Egy elektronnyaláb bombáz hidrogént. Milyen potenciálkülönbséggel kell gyorsítani az elektronokat ahhoz, hogy a Balmer sorozat első vonala emittálódjon? 10

3.1.3.12. Feladat (H-8.8). A pozitrónium egy kötött elektron-pozitron pár. Mekkora ennek a rendszernek a kötési energiája alapállapotban? A hidrogén atom analógiájára vizsgáljuk a rendszert, amint az e, e + közös tömegközéppont körül keringenek ω szögsebességgel. Mekkora a szögsebesség (Hz), és a perdület h egységekben? 3.1.3.13. Feladat. Milyen színű a pozitrónium atom? 3.1.4. Az elektronok saját-perdülete és mágneses momentuma 3.1.4.1. Feladat. Egy ferromágneses anyagot M=500 J/T mágnesezettségre felmágnesezünk, ezután átlagosan 10 6 sec alatt az áramirányt megváltoztatjuk. Mekkora forgatónyomatékkal lehetett egyensúlyban tartani a hengert? 3.1.4.2. Feladat. Egy klasszikus L pályaperdülettel rendelkező (mondjuk körpályán keringő) elektronnak mekkora a mágneses momentum vektora a keringésből kifolyólag? Mekkora a µ z? 3.1.4.3. Feladat. Határozd meg a szabad elektron, proton és a neutron mágneses momentumát ha azok precíziós szögsebessége 10kOe mágneses térben 1.764 10 11 Hz, 2.685 10 8 Hz és 1.836 10 8 Hz. Milyen egységekben mérjük ezeket a mágneses momentumokat? Mekkorák ezen részecskék giromágneses együtthatói? 3.1.4.4. Feladat. Egy Stern-Gerlach mágnesben a mágneses indukció B(x)=(0,0,αz) alakban változik. α=0.01 T/m. Milyen hosszú mágnest kell alkalmazni, hogy egy 200 MeV energiájú ezüst-atom nyaláb 10 o -kal térüljön el? (döntsd el, hogy milyen energia a 200 MeV) 3.1.4.5. Feladat. Milyen hőmérsékletű atom-nyaláb forrás tud ilyen sebességű ezüstöt szolgáltatni? Vizsgáld meg az elektrosztatikus gyorsítás lehetőségét! 3.1.5. Schrödinger kép 3.2. Atomi hullámfüggvények 3.2.1. A hidrogén atom (nemrelativisztikus) hullámfüggvényei 3.2.1.1. Feladat (13.31). Magyarázd meg miért nem lehet Φ = Ae αx megoldása a Schrödinger egyenletnek minden x-re. 3.2.1.2. Feladat. Ismerve a hidrogén atom 1s állapotának hullámfüggvényét, és a Hamilton operátort (elég a radiális része), állapítsd meg az 1s állapot energiáját, és a hullámfüggvényben szereplő r 0 konstans értékét. 3.2.1.3. Feladat. Milyen állapotok a következők: n=2,l=0; n=3,l=2; n=5,l=1. Hány csomósíkjuk ill. csomógömbjük van ezeknek? 3.2.1.4. Feladat. Milyen fizikai tulajdonságokat jellemeznek a hidrogén hullámfüggvényeinek kvantumszámai? Milyen kvantumszámokban azonosak az elektronok egy pályán, alhéjon, héjon? 11

3.2.1.5. Feladat. Hány elektron fér el a 2s, 2p, 3d alhéjakon? 3.2.1.6. Feladat (17.8). Hol lesz a ΦΦ = 0 a hidrogén atom 2s állapotában? Készíts egy közelítő ábrát ezen állapotban az elektron megtalálási valószínűségeloszlásáról. 3.2.1.7. Feladat. Számold ki egy elektront milyen valószínűséggel találunk r 1 = 2.97 a 0 és r 2 = 3.03 a 0 között a hidrogén 3d állapotában. ( r r 1 közelítés használható.) 3.2.1.8. Feladat (17.14). Használva előző feladat közelítését számold ki mekkora töltés van átlagosan az r 1 =0.99 a 0 és r 2 =1.01 a 0 gömbhéjban a hidrogén 1s állapotában. Hasonlítsd össze az eredményt a Bohr modellel. 3.2.1.9. Feladat (17.16). Írd fel, hogy a hidrogén 1s állapotában az elektron milyen valószínűséggel lesz az r 1 =0, r 2 =a 0 tartományban. értékeld ki a képletet. 3.2.1.10. Feladat (17.21). Mutasd meg, hogy a hidrogén n=1,2,3 állapotainak hullámfüggvényeire igaz, hogy R n,lmax (r)=c (r/a 0 ) lmax e r/a 0 egyenlettel. Mutasd meg, hogy a normálási konstans C=a 3/2 0 ( 2 n ) n+ 1 2 (2n!) 1 2. 3.2.1.11. Feladat. Milyen az r függése azoknak a radiális hullámfüggvényeknek ahol l=n-1? Miért nem függenek az R nl (r) függvények az m-től? 3.2.1.12. Feladat. Rajzolj le 5 olyan 3d hullámfüggvényt amelyek értékkészlete R. Mekkora a mellékkvantumszám ezekben az állapotokban? 3.2.1.13. Feladat. Mutasd meg, hogy a radiális valószínűségsűrűségnek 1 maximuma van az r=n 2 a 0 pontban a hidrogén esetén, ha l=n-1. 3.2.1.14. Feladat (S-6.4). Milyen r esetén lesz a Φ 2 4πr 2 -nek maximuma a hidrogén 1s állapotában? 3.2.1.15. Feladat. Mekkora az r átlagértéke a H-atom 1s állapotában? 3.2.1.16. Feladat (S-6.9). Számold ki az r és az r 2 átlagát a H-atom 2p m=0 állapotára az előző értékek felhasználásával. 3.2.1.17. Feladat. A Ψ 21 1, Ψ 211 hidrogén hullámfüggvények komplex értékűek, ezért a szemléletesség kedvéért bevezethetők a következő valós függvények: p x : s=± 1 2, Φ = A (r/a 0)e r/2a 0 sin Θ cos φ, p z : s=± 1 2, Φ = A (r/a 0)e r/2a 0 cos Θ, p y : s=± 1 2, Φ = A (r/a 0)e r/2a 0 sin Θ sin φ Hogyan adódnak ezek az eredeti hullámfüggvényekből? 3.2.1.18. Feladat (S-6.7). Számold ki A-t az előző feladatban p z hullámfüggvény esetére. 3.2.1.19. Feladat. Készíts szemléletes ábrát az elektron megtalálási valószínüségéről a Ψ 211, Ψ 210, Ψ 21 1, p x, p y, p z állapotokban! 3.2.1.20. Feladat. Spinkvantumszám hogyan jön be? 12

3.2.2. Atomi elektronállapotok finomszerkezete 1., leárnyékolás 3.2.2.1. Feladat. Milyen közelítés, ha a többelektronos atomok elektronjainak hullámfüggvényeit a hidrogén Ψ nlm hullámfüggvényeivel írjuk le? 3.2.2.2. Feladat. Mutasd meg, hogy a 6 db 2p állapotra összeadva a ΦΦ -ot gömbszimmetrikus függvényt kapunk! (telített alhéj) Hogyan függ ekkor r-től az elektron megtalálási valószínüsége ezen a telített alhéjon? 3.2.2.3. Feladat. A Sr alapállapotának második 5s elektronjának leválasztásához 11.027 ev szükséges. Ezzel Sr ++ -t kapunk. Mekkora az (átlagos) effektív rendszám az 5s pályán, ha a hullámfüggvény többi része változatlan (a H-atoméhoz képest)? 3.2.2.4. Feladat (20.29). 1913-ban H.G.J. Moseley kísérletileg meghatározta, hogy (ν Kα ) 1 2 lineárisan függ a rendszámtól. Magyarázd meg miért! Ha ábrázoljuk a νkα Z pontokat, mi lesz az egyenes meredeksége és tengelymetszete? 3.2.2.5. Feladat. Hogyan változik a Na n=3 héján az (átlagos) effektív rendszám az l függvényében? Alapállapotban, amikor az egyetlen 3s vegyértékeletron a saját helyén van E s =-5.13 ev. Az első gerjesztett állapot gerjsztési energiája 2.07 ev. A 3d alhéj energiája a hidrogén 3d energiájánál 0.1 ev-tal kisebb. ábrázoljuk az n=3 héj ezen tapasztalati felhasadását. 3.2.2.6. Feladat. Konstruáld meg az atomtörzs elektronjainak töltéssűrűségét az 1s, 2s, 2p alhéjakon, ha ott az elektronok nem hatnak egymással kölcsön! Milyen potenciált alakítanak ezek ki a maggal közösen? Z=11, Na esetén. Hogyan változik az alább definiált effektív rendszám függvény az r függvényében? U(mag+1s+2s+2p)(r) = Z eff (r)e 4πε 0 r 3.2.2.7. Feladat. Számold ki az r átlagos értékét a 3s, 3p, 3d alhéjakon és nézd meg, hogy ezeknél a távolságoknál mekkora éppen a Z eff. Hasonlítsd ezeket össze a tapasztalati (átlagos) értékekkel. 3.2.2.8. Feladat. Becsüld meg a Kálium vegyértékelektronjának 4f állapotának a gerjesztési energiáját! Ugyanez a Ca + 4f, Sr + l=4 esetére mennyi? 3.2.2.9. Feladat. Milyen elektronok energiáit tudjuk ezzel az effektív rendszámos módszerrel jól jellemezni? 3.2.3. Teljes impulzusmomentummal jellemzett hullámfüggvények 3.2.3.1. Feladat. Legyen egy részecske impulzusmomentuma J= 1 (Ez lehet L, S, J, 2 I, F fajta perdület). Mekkora a perdület (vektor) abszolut értéke, tipusa, mekkorák lehetnek a 3. komponensének értékei, hány fele állhat szemléletesen? Van-e olyan, hogy teljesen z irányban áll a perdület vektor? 3.2.3.2. Feladat. Mekkora lehet az elektron impulzusmomentuma ha a 2s, ill. 2p pályán mozog? Melyik perdületet leíró számra alkalmazható a szemléletes vektormodell (két ilyen összeadásánál)? 13

3.2.3.3. Feladat. Milyen kvantumszámai vannak a következő atomi elektron-állapotoknak? 2 2 P 1, 2 2 P 3, 3 2 D 5, 1 2 S 1. 2 2 2 2 3.2.3.4. Feladat. Milyen összes spin-impulzusmomentuma lehet egy atompályán lévő elektronoknak? (max. két elektron van egy pályán) 3.2.3.5. Feladat. Milyen az 1 1 S 0 állapot? Mekkora lehet az n, ha n 1 D 2,egy atomi elektronpályát jellemez? Mekkora az N sb, a 4 N sb D3 pályán, ha max. 2 elektron van ott? 3.2.3.6. Feladat (19.22). Mondd meg minden kvantumszámát a következő elektronállapotoknak: 4 2 S 1, 2 2 P 3/2, 2 2 P 12, 8 2 G 7/2. 2 3.2.4. Atomi elektronok mágneses momentuma 3.2.4.1. Feladat. Mekkora mágneses momentum tartozik az l=1 pályaperdülethez, és az s= 1 spinhez egy atomi elektron esetében? 2 3.2.4.2. Feladat. Lande faktor, giromágneses faktor, j,l,s-sel. 3.2.5. A spin-pálya kölcsönhatás 3.2.5.1. Feladat. Hány részre hasadnak fel a H atom 2p alhéja a spin-pálya kölcsönhatás miatt? Mi a spin-pálya kcsh. klasszikus értelmezése, és mi a relativisztikus kvantummechanika végeredménye erre vonatkozóan? 3.2.5.2. Feladat. Hány vonalra hasad fel a H-atom n=3 héja? Milyen kvantumszámmal jellemezhetők ezek a vonalak? 3.2.5.3. Feladat. Melyik (gerjesztett) állapot energiája a nagyobb a H atomban, a 2 2 S 1 -é, vagy a 2 2 P 1 -é (a Lamb eltolódás hatása nélkül)? Melyikre kerül a Li 2 2 atom alapállapotának harmadik elektronja? 3.2.5.4. Feladat. A H atom Balmer sorozatának első vonala két közeli vonalból áll, ha nagyon pontosan megnézzük, melyek távolsága 1.4 Å. Mekkora effektív mágneses tér van a 3p pályán? Melyik átmenet a kisebb energiájú? 3.2.5.5. Feladat. Milyen energiájú a 2p, 3d pályák finomfelhasadása a H atomban? Hasonlísuk ezt össze többelektronos atomokesetén az árnyékolással magyarázott felhasadással! 3.2.5.6. Feladat. Magyarázd meg a Na sárga vonalának dublett szerkezetét! 3.2.5.7. Feladat. Mekkora effektív mágneses tér van a H atom 2p, 3p, 3d pályáin, ill. a Na 3p pályáján? Ismerjük ezen pályák felhasadásainak energiáit az előző feladatokból. 3.2.5.8. Feladat. 3 P 1 1 S 0 átmenete a higanynak 2537Å hullámhosszú fotont emittál, E 6s =-10.4 ev a higanyban. E3 P 1 -E3 P 0 =0.2 ev. Mekkora az effektív mágneses tér a 6p pályán, és mekkora a 3 P 2 állapot energiája? 14

3.2.6. Zeemann effektus, anomális Zeemann effektus 3.2.6.1. Feladat (19.7). Mekkora az elektron (fel) és (le) spinállapotainak energiájáinak különbsége 0.6 T mágneses térben? 3.2.6.2. Feladat. Az alapállapotú H atom 21 cm hullámhosszú rádiósugárzást bocsát ki. Mekkora a mágneses tér az atommag helyén? 3.2.6.3. Feladat. A higany 1 P 1 gerjesztett állapotából alapállapotba történő legerjesztődésnél 6.8 ev energiájú foton lép ki. Hogyan módosul ez a színképvonal B=0.02T mágneses térben? (jelölés: 2S+1 pályaimp.mom. j S=teljes spin) µ B = 5.795 10 5 ev/t 3.2.6.4. Feladat. Az olajcseppes Millikan kísérletben a kondenzátor lemezek közötti távolság 1.6 cm, az emelkedés és az esés magassága 0.6 cm. A lemezek közötti potenciálkülönbség 4550 V, az olaj sűrűsége 0.858 kg/dm 3, a levegő viszkozitása 5 kg η = 1.83 10. A közepes esési idő elektromos tér nélkül 21.2 s. Az alábbi ms emelkedési időket mérték a fenti feszültség mellett: 46.1 s, 15.6 s, 28.0 s, 13.0 s, 45.2 s, 20.1 s..határozd meg ezekből az elemi töltés értékét! Precíziós tömegspektrométerrel az alábbi dubletteket mérték: 16 O 2 32 S=0.017756, 11 B5H 1 9 32 S 16 O 2 =0.15506, 11 B2H 1 5 12 C2H 1 3 =0.034257, 12 C2H 1 4 12 C 16 O=0.036386. Az összes ion egy vegyértékű. Határozd meg a 32 S, H, 11 B, 16 O atomok tömegét! 15