1 Egy újabb térmértani feladat Az [ 1 ] könyvben az interneten találtuk az alábbi érdekes feladatot is 1. ábra. Úgy látjuk, érdekes és tanulságos lesz végigvenni.
2 A feladat Egy szabályos n - szög alapú gúla / piramis oldallapjainak lapszöge 2α. Határozzuk meg az alaplap és az oldallapok lapszögét / a palástsíkok hajlását! A megoldás Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! 2. ábra A szabályos gúla oldallapjainak lapszögét egy oldalélre merőleges síkkal való metszéssel kapjuk. A síkmetszet az ACE háromszög, melynek E csúcsánál lévő 2α szög az adott lap - szög. Az alaplap és egy oldallap lapszögét egy alapélre merőleges síkkal való metszéssel kapjuk. A keresett szöget x jelöli. A számítás rendje a következő. ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) most képezve ( 2 ) és ( 3 ) hányadosát: ( 4 ) ámde:
3 ( 5 ) ( 6 ) így ( 4 ), ( 5 ) és ( 6 ) - tal: ( 7 ) majd ( 1 ) és ( 7 ) - tel: ( 8 ) innen: ( 9 ) Megjegyzések: M1. Itt nem teljesen követtük az 1. ábra szerinti megoldást. Az ottani magyarázó ábra pedig eléggé félrevezető lehet. M2. Egy korábbi dolgozatunkban melynek címe: Érdekes geometriai számítások 9.: Szimmetrikus kontytető tetősíkjai lapszögének meghatározásáról hivatkoztunk egy még korábbi dolgozatunkra, melynek címe: Érdekes geometriai számítások 5.: Egy fontos szögösszefüggés gömbháromszögtani igazolása ; ezekben szerepel az alábbi összefüggés: ( 10 ) itt: ~ ϕ: a φ 1 és φ 2 hajlású oldalsíkok lapszöge; ~ ε: az alapsokszög oldalai által közbezárt szög. Eszerint elvégezhetők az alábbi megfeleltetések: ( 11 ) Most ( 10 ) és ( 11 ) szerint: ( 12 )
4 azonos átalakításokkal: ( 13 ) ( 14 ) Majd ( 12 ), ( 13 ), ( 14 ) - gyel: rendezve, tovább alakítva: pozitív négyzetgyököt vonva: ( 15 ) innen: egyezésben ( 8 ) - cal. Ezek szerint a régebbi és az újabb eredmények megfelelnek egymásnak. M3. Javasoljuk, hogy a ( 11 ) megfeleltetések közül az utolsót önállóan gondolja végig az érdeklődő Olvasó! M4. A ( 10 ) korábbi képletet most teszteltük ε 90 esetére. Az ε = 90 - ra történő tesztelés már az M2 - ben először említett korábbi dolgozatunkban megtörtént. M5. Minthogy egy geometriai összefüggés többféle trigonometriai alakban is megjelenhet, ezért fontos ezen alakok egyenértékűségének kimutatása, ezáltal akár egyszerűbb alakokat is nyerve. Eszerint sem hiábavaló ismert vagy annak látszó feladatok újbóli végigszá - mítása. Ez most is beigazolódott. M6. A szabályos sokszög alapú gúla lapszögeivel már más dolgozatainkban is foglalkoz - tunk. Ezek: A gúla - projekthez 1. és 2. rész. Ott más alakú összefüggéseket kaptunk. Négyzet alapú egyenes gúlára, amikor is n = 4, a ( 15 ) képlet szerint:
5 ( 16 ) A gúla - projekthez írt előző dolgozatainkban az α δ, x α cserével előálló képletet található: ( 16 / 1 ) Általában a gúla ~ projektes korábbi dolgozatbeli jelöléseinkkel : tehát: ( 17 ) a betűcserék után egyezésben ( 15 ) - tel. Áttérve az inverz függvényre: ( 18 ) A ( 18 ) képlet egyszerű és szakmai számításokhoz is fontos. Ezzel könnyen és gyorsan meghatározható a szabályos n - szög alapú, α hajlású oldalakkal bíró egyenes gúla 2δ lap - szöge. M7. Egy másik korábbi dolgozatunkban is felbukkannak a ( 17 ) és ( 18 ) képletek, az ott hivatkozott munkában, más betűjelölésekkel, egy szakmai számítás során. Ezen dolgozatunk címe: Fémtetőkhöz is. Ott nehezményeztük a levezetés hiányát. Ezt részben pótoltuk, vagyis az ott levezetés nélkül közölt egyik képletet itt levezettük. Forrás: [ 1 ] I. T. Borodulja: Trigonometricseszkije uravnyenyija i nyeravensztva Moszkva, Proszvescsenyije, 1989. Sződliget, 2019. 02. 04. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár