Csuklós mechanizmus tervezése és analízise

Csuklós mechanizmus tervezése és analízise Burmeister Dániel 1. Feladatkitűzés Megtervezendő egy többláncú csuklós mechanizmus, melynek ABCD láncában található hajtórúd (2-es tag) mozgása során három előírt helyzetben megtalálható legyen. A hajtókar három előírt helyzete a P Q egyenesének három helyzetével adott, azaz a P pontjának P 1, P 2 és P 3 koordinátájával, és a P Q egyenes kiindulási (y tengellyel párhuzamos) irányának α 2 és α 3 szögű elfordulásával. A mechanizmus EGHA lánca az előbbi lánc forgattyúkarjának két szélső helyzete közötti mozgását kell megvalósítania. A mechanizmus E, A és D csuklópontja rögzített. Meghatározandók a szerkezet főbb geomatriai méretei, azaz az egyes karok hosszai. 1. ábra. Megtervezendő mechanizmus Tervezési adatok: A(0; 0) m P 1 (0,2; 1) m α 2 = 45 ω 04 = 10 rad s D(1; 0) m P 2 (0,5; 0,8) m α 3 = 90 E( 0,6; 0) m P 3 (0,8; 0,6) m P Q = 0,5 m A mechanizmus méreteinek meghatározását követően elvégzendő a szerkezet pozíció- sebesség- és gyorsulásanalízise valamint erőjátékának elemzése a 4-es kar egy teljes körbefordulása során. A 4-es tagot állandó ω 04 szögsebességgel forgatjuk, M 04 hajtó nyomatékkal. Legyen az 1- es tag háromszögalapú, a 2-es tag négyszögalapú hasáb, míg a többi tagot rúdszerű alkatrésznek tekintjük. 1

2. A mechanizmus méreteinek számítása 2.1. Az ABCD lánc méreteinek meghatározása A 2. ábra a mechanizmust a három megkívánt helyzetében ábrázolja az xy koordináta-rendszerben. A jelölt szögek előjelesek, értékük akkor pozitívak, ha óramutató járásával ellentétes irányúak (+z irányú forgás). 2. ábra. A mechanizmus kívánt helyzetei A méretek számítása során a négycsuklós mechanizmus mindkét oldali ágára vektorhurkok egyenleteit írhatjuk fel mindhárom kívánt pozícióban. A számításba vett vektorokat a 3. ábra egyes rajzai szemléltetik. A bal oldali ág vektorait az 1-es forgattyú A pontjából (csukló) a B pontjába (csukló) mutató W, a 2-es tag B pontjából a P pontjába mutató Z és az A csuklóból a P pontba mutató R helyvektorok alkotják. Az egyes helyzetekhez tartozó vektorokat az 1, 2, 3 indexekkel láttuk el. A jobb oldali ág vektorai az előző mintájára a 3-es forgattyú D piontjából a C pontjába mutató U, a 2-es tag C pontjából a P pontjába mutató S és az D csuklóból a P pontba mutató R helyvektorok alkotják. A bal oldali ág három helyzetére ennek megfelelően a következőt írhatjuk: W 1 + Z 1 = R 1, W 2 + Z 2 = R 2, W 3 + Z 3 = R 3. (1a) (1b) (1c) Jelöljük w-vel a W vektor hosszát (az 1-es forgattyúkar hossza:a és B közötti távolság) és z-vel a Z vektor hosszát (a 2-es tag B és P pontja közötti távolság). Ezek a mennyiségek időben 2

állandók. A bevezetett jelölésekkel, és az ábrán jelölt szögekkel a W és Z vektorok felírhatók az xy koordináta-rendszerben. Az első helyzetben például: W 1 = w(cos ϑ e x + sin ϑ e y ), Z 1 = z(cos ϕ e x + sin ϕ e y ). (2a) (2b) A másik két helyzetben hasonlóan járunk el, az egyes szögekben tapasztalható eltéréseket is figyelembe véve. Vegyük észre, hogy a Z 2 és Z 3 vektorok elfordulása az eredeti irányhoz képest megegyezik a kívánt α 2 és α 3 elfordulásokkal, mivel a Z vektor a 2-es taghoz kötött. 3. ábra. Vektorhurkok Az R helyvektorok pedig az A pontból P pont tervezett helyeire mutató vektor. A bal 3

oldali ágra ezek rendre az R 1 = 0,2 e x + 1 e y m, R 2 = 0,5 e x + 0,8 e y m, R 3 = 0,8 e x + 0,6 e y m (3a) (3b) (3c) módon írhatók fel. A (2) alatti alakot és a (3) alatti értékeket az (1) egyenletekbe beírva a w (cos ϑ e x + sin ϑ e y ) + z (cos ϕ e x + sin ϕ e y ) = 0,2 e x + 1 e y, w (cos(ϑ + β 2 ) e x + sin(ϑ + β 2 ) e y ) + z (cos(ϕ + α 2 ) e x + sin(ϕ + α 2 ) e y ) = 0,5 e x + 0,8 e y, (4b) w (cos(ϑ + β 3 ) e x + sin(ϑ + β 3 ) e y ) + z (cos(ϕ + α 3 ) e x + sin(ϕ + α 3 ) e y ) = 0,8 e x + 0,6 e y vektoregyenleteket kapjuk. Az egyenletek e x és e y skaláregyenleteit véve végül a (4a) (4c) f 1 = w cos ϑ + z cos ϕ 0,2 = 0, f 2 = w sin ϑ + z sin ϕ 1 = 0, f 3 = w cos(ϑ + β 2 ) + z cos(ϕ + α 2 ) 0,5 = 0, f 4 = w sin(ϑ + β 2 ) + z sin(ϕ + α 2 ) 0,8 = 0, f 5 = w cos(ϑ + β 3 ) + z cos(ϕ + α 3 ) 0,8 = 0, f 6 = w sin(ϑ + β 3 ) + z sin(ϕ + α 3 ) 0,6 = 0 (5a) (5b) (5c) (5d) (5e) (5f) nemlineáris egyenletrendszert kapjuk. Az egyenletrendszer független változói a w, z hosszak és a ϑ, ϕ, β 2, β 3 szögek.az egyenletrendszer tömören az f i (w, z, ϑ, ϕ, β 2, β 3 ), i = 1,..., 6 alakban írható fel, azaz összesen hat egyenlet áll rendelkezésre a hat ismeretlen meghatározására A nemlineáris egyenletrendszert numerikus úton oldjuk meg. A használt algoritmusnak szüksége lehet az egyenletrendszer Jacobi-mátrixára, melyet a következőképp épül fel: [ ] J = f 1 w f 1 z f 2 w.... f 6 w... f 1 ϑ f 1 ϕ f 1 β 2 f 1 β 3 Így az (5) egyenletrendszer Jacobi mátrixa a cos ϑ cos ϕ w sin ϑ z sin ϕ 0 0 sin ϑ sin ϕ w cos ϑ z cos ϕ 0 0 [ ] J = cos(ϑ + β 2 ) cos(ϕ + α 2 ) w sin(ϑ + β 2 ) z sin(ϕ + α 2 ) w sin(ϑ + β 2 ) 0 sin(ϑ + β 2 ) sin(ϕ + α 2 ) w cos(ϑ + β 2 ) z cos(ϕ + α 2 ) w cos(ϑ + β 2 ) 0 cos(ϑ + β 3 ) cos(ϕ + α 3 ) w sin(ϑ + β 3 ) z sin(ϕ + α 3 ) 0 w sin(ϑ + β 3 ) sin(ϑ + β 3 ) sin(ϕ + α 3 ) w cos(ϑ + β 3 ) z cos(ϕ + α 3 ) 0 w cos(ϑ + β 3 ) (7) alakban írható. Matematikai szoftverrel megoldva az egyenletrendszert végül a w = 1,06567 m z = 0,12278 m ϑ = 1,26410 rad ϕ = 3,27181 rad β 2 = 0,26301 rad β 3 = 0,52006 rad eredményeket kapjuk. (6) 4

A lánc jobb oldali ágánál hasonlóan járunk el. Az előírt három helyzetre vonatkozó vektorhurkok a U i + S i = G i, i = 1, 2, 3 (8) egyenletekkel írhatók fel, ahol a P pontba mutató helyvektorok G 1 = 0,8 e x + 1 e y m, G 2 = 0,5 e x + 0,8 e y m, G 3 = 0,2 e x + 0,6 e y m, (9a) (9b) (9c) míg az U és S vektorokat a (2) alatti felíráshoz hasonlóan a 3. ábrán jelölt szögekkela (2) továbbá a vektorok u és s hosszaival. Az egyenleteket kirészletezve írhatjuk, hogy u (cos σ e x + sin σ e y ) + s (cos ψ e x + sin ψ e y ) = 0,8 e x + 1 e y, (10a) u (cos(σ + γ 2 ) e x + sin(σ + γ 2 ) e y ) + s (cos(ψ + α 2 ) e x + sin(ψ + α 2 ) e y ) = 0,5 e x + 0,8 e y, (10b) u (cos(σ + γ 3 ) e x + sin(σ + γ 3 ) e y ) + s (cos(ψ + α 3 ) e x + sin(ψ + α 3 ) e y ) = 0,2 e x + 0,6 e y (10c) Az egyenletek e x és e y skaláregyenleteit véve ugyanúgy egy hatismeretlenes hat egyenletből álló nemlineáris egyenletrendszert kapunk: f 1 = u cos σ + s cos ψ + 0,8 = 0, f 2 = u sin σ + s sin ψ 1 = 0, f 3 = u cos(σ + γ 2 ) + s cos(ψ + α 2 ) + 0,5 = 0, f 4 = u sin(σ + γ 2 ) + s sin(ψ + α 2 ) 0,8 = 0, f 5 = u cos(σ + γ 3 ) + s cos(ψ + α 3 ) + 0,2 = 0, f 6 = u sin(σ + γ 3 ) + s sin(ψ + α 3 ) 0,6 = 0. (11a) (11b) (11c) (11d) (11e) (11f) Az egyenletrendszert numerikus eljárással megoldva végül a u = 0,96022 m s = 0,38777 m σ = 2,04825 rad ψ = 2,75232 rad γ 2 = 0,32876 rad γ 3 = 0,42240 rad eredményeket kapjuk. Az így meghatározott méretekkel az ABCD lánc az előírt helyzeteken keresztülhalad. A BC kar hosszát valamely pozícióban felírt vektorhurokkal számítható, pl. V 1 = R 0 + U 1 W 1 (12) ahol R 0 = AD = 1 ex m, az állványon lévő, A-ból D-be mutató, rögzített vektor. A számított értékekkel V 1 = 0,23702 e x 0,16311 e y v = V 1 = 0,28772 m (13a) (13b) A későbbiek kedvéért kiszámítjuk a B-ből a P és Q pontok felé húzott egyenesek és a BC egyenes által bezárt δ P = CBP és δ Q = CBQ szögeket, valamint hajtókar S 2 súlypontjának helyét és annak a B ponttól mért távolságát, illetve a BC egyenes és a B-ből S 2 -be húzott egyenes által bezárt δ S2 = CBS 2 szöget lásd a 4. ábrát. A számításhoz az 1 indexszel ellátott pozíciókhoz tartozó koordinátákat használjuk. 5

4. ábra. A 2-es hajtókar egyes szögei A keresett szögek skaláris szorzat segítségével meghatározhatók: V δ P = arccos 1 Z 1 V 1 Z 1 = arccos V 1 Z 1 vz V δ Q = arccos 1 B 1 Q 1 V 1 = 1,1998 rad B 1 Q 1 (14b) = 2,4086 rad (14a) A Q pont pozíciójának meghatározásához még célszerű bevezetni a r BQ = B 1 Q 1 jelölést, melynek értéke r BQ = 0,53011 m. A súlypont számításánál a BCQP négyszöget két háromszögre bontjuk, lásd az 5. ábrát melyek súlypontjainak ismeretében a négyszög súlypontja meghatározható. Az egyes háromszögek súlypontjai a 5. ábra. A 2-es hajtókar súlypontja r SI = 1 3 ( r B 1 + r Q1 + r P1 ) = 0,24058 e x + 0,83865 e y m (15) r SII = 1 3 ( r B 1 + r Q1 + r C1 ) = 0,36017 e x + 0,78959 e y m (16) képletekkel számíthatók, míg a négyszög súlypontja r S2 = A I r SI + A II r SII A I + A II = 0,32431 e x + 0,80430 e y m (17) ahol az A I és A II háromszög területek az oldalaikat alkotó vektorok vektoriális szorzatával számítható: A I = 1 B 1 P 1 B 1 Q 1, A II = 1 B 1 Q 1 B 1 C 1. (18) 2 2 A súlypont ismeretében számítható a BS távolság: s 2 = B 1 S 2 = 0,21166 m, és a δ S2 szög: B 1 S 2 δ S2 = arccos Z 1 B 1 S 2 Z 1 = arccos B 1 S 2 Z 1 B = 0,95591 rad (19) 1 S 2 z 6

2.2. Az EGHA lánc méreteinek meghatározása A lánc méreteit szerkesztési eljárással határozzuk meg. A pontos szerkesztés érdekében 2D-s tervező szoftvert alkalmazunk, így a számértékeket a CAD rendszer számítási pontosságának megfelelően kapjuk. Lépések (lásd 6. ábra): 1. Vegyünk fel két egymásra merőleges egyenest, hogy azok az A és E pontokon menjenek át. (Az AE átmérőjű Thalész körrel is szerkeszthető.) A két egymásra merőleges egyenes metszéspontját jelöljük H -vel. 2. Az A ponton áthaladó egyenes két oldalára vegyünk fel két egyenest oly módon, hogy az egyenessel bezárt szögük az 1-es tag által megtett legnagyobb szögelfordulásának fele legyen. Jelen esetben mindkét oldalra β 3 2 = 14,89863 fokot mérünk fel. 3. Az előbb felvett két egyenes és az EH egyenes metszéspontjait jelöljük H 1 és H 3 pontokkal. 4. A H 1 H távolsággal körözzünk az E pont körül. Ahol a kör metszi az EH egyenest, jelöljük G 1 illetve G 3 pontokkal. 6. ábra. Mozgató lánc szerkesztése A szerkesztés során az AH egyenes irányának felvétele szabad választás eredménye, így elviekben végtelen sok megoldás születhet. Egy adott szerkesztés után a méreteket leolvasva kapjuk, hogy: r EG = EG 1 = 0,08255948571 m r GH = G 1 H 1 = 0,5135240981 m r HA = H 1 A = 0,32110600953 m (20a) (20b) (20c) Az 1 és 3 indexek az 1-es illetve 3-as pozícióhoz tartozó pontokat jelöli. A H 1 pont koordinátái: H 1 ( 0,23114881019; 0,22288853022) m. A mechanizmus 1-es tagja ennek megfelelően a HAB háromszöggel jelzett merev test. A δ HAB = HAB szöget az r H1 és r B1 vektorok által bezárt szögeként számítjuk: δ HAB = arccos r H 1 r B1 r HA w = 1,1103 rad (21) 7

Az 1-es tag súlypontjának helye a HAB háromszög súlypontja, melynek helyvektora az 1 indexszel jelölt pozícióban r S1 = 1 3 ( r H 1 + r A + r B1 ) = 0,030197 e x + 0,412944 e y m. (22) Az S 1 pont A ponttól mért s 1 távolsága s 1 = AS 1 = 0,41405 m, míg az s 1 és HA szakaszok által bezárt δ S1 = HAS 1 szög pedig δ S1 = arccos r H 1 r S1 r HA s 1 = 0,87659 rad. (23) A számított hosszméreteket és szögeket a 7. ábra szemlélteti. 7. ábra. Szögek és méretek az 1-es tagban 3. A mechanizmus kinematikai analízise A mechanizmus kinematikai analízisébe a helyzetének, sebesség- és gyorsulásállapotának meghatározása tartozik. Az említett vizsgálatokat elvben minden időpontban végre lehet hajtani. A jelen feladatban a bemeneti szögsebesség időben állandó, ezért elég a hajtott forgattyú egy teljes fordulatára vizsgálni, azaz a t 0 = 0 s-tól a t 1 = 2π = 0,62832 s-ig terjedő időtartamban ω vizsgálódni. Ezt az időintervallumot több időpillanatra osztjuk fel, és ezek mindegyikében elvégezzük a kijelölt vizsgálatokat. A felosztást oly módon végezzük, hogy a hajtott forgattyú minden 2 elfordulására végezzünk számítást, azaz t = t 1 = 0,0034907 másodpercenként. 180 3.1. Helyzetanalízis A szerkezet analízisét az 1 indexhez tartozó pozíciótól kezdjük. Elsődleges koordinátának a hajtott forgattyú x tengellyel bezárt ϕ 04 ismert szögét tekintjük. A keresett mennyiségek a másodlagos koordináták az egyes tagok x tengellyel bezárt szöge, azaz a ϕ 01, ϕ 02, ϕ 03 és ϕ 05 szögek. A szerkezet helyzetét vektorhurkok felírásával szeretnénk meghatározni. A két láncra vonatkozó vektorhurok: EG + GH + HA + AE = 0 (24a) AB + BC + CD + DA = 0. (24b) 8

φ05 φ03 y B φ02 C P 2 1 Q 3 φ04 H δhab 5 φ01 G E 4 A D x 8. ábra. Helyzetmeghatározás A vektorhurkok skalár egyenletei a 8. ábrának megfelelően f 1 = r EG cos ϕ 04 + r GH cos ϕ 05 r HA cos ϕ 01 AE = 0 f 2 = r EG sin ϕ 04 + r GH sin ϕ 05 r HA sin ϕ 01 = 0 f 3 = w cos (ϕ 01 δ HAB ) + v cos ϕ 02 + u cos ϕ 03 AD = 0 f 4 = w sin (ϕ 01 δ HAB ) + v sin ϕ 02 + u sin ϕ 03 = 0 (25a) (25b) (25c) (25d) Az egyenletrendszert megoldva minden időpillanatban megkapjuk a mechanizmus helyzetét meghatározó paramétereket. Így például a 2-es tag szöghelyzetét az idő függvényében a 9. ábra mutatja. ϕ 02 ( ) 60 40 20 0 20 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 t (s) 40 9. ábra. 2-es tag szöghelyzete 9

A szögkoordináták ismeretében a szerkezet bármelyik pontjának megadható a helyzete. Így például a P, Q és S 2 pontok xy koordinátái: P x = w cos(ϕ 01 δ HAB ) + z cos(ϕ 02 δ P ) P y = w sin(ϕ 01 δ HAB ) + z sin(ϕ 02 δ P ) Q x = w sin(ϕ 01 δ HAB ) + r BQ sin(ϕ 02 δ Q ) Q y = w cos(ϕ 01 δ HAB ) + r BQ cos(ϕ 02 δ Q ) S 2x = w cos(ϕ 01 δ HAB ) + s 2 cos(ϕ 02 δ S2 ) S 2y = w sin(ϕ 01 δ HAB ) + s 2 sin(ϕ 02 δ S2 ) (26a) (26b) (26c) (26d) (26e) (26f) A számolt értékekkel megrajzolhatók a pontok pályagörbéi, melyeket a 10. ábra szemléltet. Az ábrán vastag vonallal vannak a P Q szakasz előírt helyzetei feltüntetve. y (m) 1.1 1 0.9 0.8 P, Q és S 2 pályái P Q S 2 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 10. ábra. Pályagörbék x (m) 3.2. Sebességanalízis A mechanizmus sebességállapotának leírásához az egyes tagok szögsebességének ismerete szükséges. A szögsebességek számításához képezzük a (25) skalár egyenletek idő szerinti deriváltjait, melyekből a r EG sin(ϕ 04 ) ϕ 04 r GH sin(ϕ 05 ) ϕ 05 + r HA sin(ϕ 01 ) ϕ 01 = 0 r EG cos(ϕ 04 ) ϕ 04 + r GH cos(ϕ 05 ) ϕ 05 r HA cos(ϕ 01 ) ϕ 01 = 0 w sin (ϕ 01 δ HAB ) ϕ 01 v sin(ϕ 02 ) ϕ 02 u sin(ϕ 03 ) ϕ 03 = 0 w cos (ϕ 01 δ HAB ) ϕ 01 + v cos(ϕ 02 ) ϕ 02 + u cos(ϕ 03 ) ϕ 03 = 0 (27a) (27b) (27c) (27d) 10

lineáris egyenletrendszert kapjuk. Figyelembe véve, hogy a ϕ 01, ϕ 02, ϕ 03, ϕ 04 és ϕ 05 szöghelyzetek deriváltjai rendre a ω 01, ω 02, ω 03, ω 04 és ω 05 szögsebességek, az egyenletrendszert az alábbi formában írhatjuk: r GH sin(ϕ 05 ) r HA sin(ϕ 01 ) 0 0 ω 05 r EG sin(ϕ 04 )ω 04 r GH cos(ϕ 05 ) r HA cos(ϕ 01 ) 0 0 ω 01 0 w sin (ϕ 01 δ HAB ) v sin(ϕ 02 ) u sin(ϕ 03 ) ω 02 = r EG cos(ϕ 04 )ω 04 0 0 w cos (ϕ 01 δ HAB ) v cos(ϕ 02 ) u cos(ϕ 03 ) ω 03 0 }{{} J (28) ahol az egyenletrendszer együttható mátrixa a (25) nemlineáris egyenletrendszer J Jacobi mátrixa. Az egyenletrendszert megoldva megkapjuk a keresett szögsebesség értékeket. Így például az 1-es, 2-es, 3-as és 5-ös tag szögsebességét az idő függvényében a 11. ábra mutatja. ω ( rad s ) ω 01 6 4 ω 02 ω 03 ω 05 2 0 2 4 6 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 t (s) 11. ábra. Szögsebességek A szögsebességek ismeretében bármely pont sebessége számítható. Az 1-es tag S 1 és a 2-es tag S 2 súlypontjának sebessége például v S1 = ω 01 r S1 v S2 = ω 01 r }{{ B + ω } 02 r }{{ BS2 } v B v BS2 (29a) (29b) módon számítható. 3.3. Gyorsulásanalízis A mechanizmus gyorsulásállapotának leírásához az egyes tagok szögsebességének és szöggyorsulásának ismerete szükséges. A szöggyorsulások számításához képezzük a (27) egyenletek idő szerinti deriváltjait, melyekből a r EG cos(ϕ 04 ) ϕ 2 04 r EG sin(ϕ 04 ) ϕ 04 r GH cos(ϕ 05 ) ϕ 2 05 r GH sin(ϕ 05 ) ϕ 05 + + r HA cos(ϕ 01 ) ϕ 2 01 + r HA sin(ϕ 01 ) ϕ 01 = 0 (30a) r EG sin(ϕ 04 ) ϕ 2 04 + r EG cos(ϕ 04 ) ϕ 04 r GH sin(ϕ 05 ) ϕ 2 05 + r GH cos(ϕ 05 ) ϕ 05 + + r HA sin(ϕ 01 ) ϕ 2 01 r HA cos(ϕ 01 ) ϕ 01 = 0 (30b) 11

w cos (ϕ 01 δ HAB ) ϕ 2 01 w sin (ϕ 01 δ HAB ) ϕ 01 v cos(ϕ 02 ) ϕ 2 02 v sin(ϕ 02 ) ϕ 02 u cos(ϕ 03 ) ϕ 2 03 u sin(ϕ 03 ) ϕ 03 = 0 (30c) w sin (ϕ 01 δ HAB ) ϕ 2 01 + w cos (ϕ 01 δ HAB ) ϕ 01 v sin(ϕ 02 ) ϕ 2 02 + v cos(ϕ 02 ) ϕ 02 u sin(ϕ 03 ) ϕ 2 03 + u cos(ϕ 03 ) ϕ 03 = 0 (30d) lineáris egyenletrendszert kapjuk a ϕ 01 = ε 01, ϕ 02 = ε 02, ϕ 03 = ε 03, és ϕ 05 = ε 05 szögsebességek meghatározására. Figyelembe véve, hogy ϕ 04 = ω 01 = ε 04 = 0 az egyenletrendszer tömörebb alakban J ε = b (31) írható, ahol J a 3.2. pontban értelemezett Jacobi mátrix, ε = ε 05 ε 01 ε 02 ε 03 az ismeretlen szöggyorsulásokat tartalmazó vektor, míg b = (32) r EG cos(ϕ 04 )ω 2 04 + r GH cos(ϕ 05 )ω 2 05 r HA cos(ϕ 01 )ω 2 01 r EG sin(ϕ 04 )ω 2 04 + r GH sin(ϕ 05 )ω 2 05 r HA sin(ϕ 01 )ω 2 01 w cos (ϕ 01 δ HAB ) ω 2 01 + v cos(ϕ 02 )ω 2 02 + u cos(ϕ 03 )ω 2 03 w sin (ϕ 01 δ HAB ) ω 2 01 + v sin(ϕ 02 )ω 2 02 + u sin(ϕ 03 )ω 2 03 (33) az egyenletrendszer jobb oldala. Az egyenletrendszert megoldva megkapjuk a szöggyorsulások értékeit, melyeket a 12. ábra szemléltet. ε ( rad s 2 ) 100 50 ε 01 ε 02 ε 03 ε 05 0 50 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 t (s) 100 150 12. ábra. Szöggyorsulások A szöggyorsulások és szögsebességek ismeretében bármely pont gyorsulása kiszámítható. Így például az 1-es és 2-es tagok súlypontjának gyorsulása a S1 = a AS1 = ε 01 r S1 ω 2 01 r S 1 a S2 = a AB + a BS2 = ε 01 r B ω 2 01 r B + ε 02 r BS2 ω 2 01 r BS 2 (34a) (34b) 12

4. A mechanizmus erőjátéka A szerkezet külső és belső erőit a teljes erőjáték módszerével oldjuk meg. Ehhez a mechanizmust szétbontjuk tagjaira, és mindegyikre külön-külön felírjuk a rá vonatkozó egyenleteket. A tagok mozgását leíró egyenletek az impulzus- és perdülettétel síkmozgást végző testekre érvényes alakját használjuk. Célunk, hogy meghatározzuk a szükséges M 04 hajtó nyomatékot. A szerkezet szétbontását a 3-as taggal kezdjük, melyre ható külső- és belső erők és erőpárok, a tehetetlenségi erő és erőpár, valamint az erővektorok x és y irányú komponensei a 13. ábrán vannak feltüntetve. F23x C F23 F23y -m3as3y -m3as3 -J3ε03 S2 -m3as3x 3 F03x D F03 F03y 13. ábra. A 3-as tagra ható erők és erőpárok A többi tag és az azokra ható külső és belső erők és erőpárok a 14. és a 15 ábrákon szerepelnek. F21=-F12 P B -m2as2 F32=-F23 -J3ε03 F12 S2 C -J2ε02 -m1as1 Q 2 F51 H 1 S1 A F01 14. ábra. A 2-es és 1-es tagokra ható erők és erőpárok -J5ε05 -m5as5 H F15=-F51 -J4ε04 M04 -m4as4 E F04 G 5 S5 F54=-F45 G S4 F45 15. ábra. A 2-es és 1-es tagokra ható erők és erőpárok 13

Az egyes tagokra vonatkozó egyenleteket a következők szerint írhatjuk. 3-as test: F 03 + F 23 = m 3 a S3 r S3 C F 23 + r S3 D F 03 J 3 ε 03 (35a) (35b) skaláregyenletei: F 03x + F 23x = m 3 a S3 x F 03y + F 23y = m 3 a S3 y x S3 CF 23y y S3 CF 23x + x S3 DF 03y y S3 DF 03x + = J 3 ε 03 (36a) (36b) (36c) 2-es test: F 12 + F 32 = m 2 a S2 r S2 C F 32 + r S2 B F 12 = J 2 ε 02 (37a) (37b) skaláregyenletei (kihasználva a F 32 = F 23 egyenlőséget): F 12x F 23x = m 2 a S2 x F 12y F 23y = m 2 a S2 y x S2 CF 23y + y S2 CF 23x + x S2 BF 12y y S2 BF 12x = J 2 ε 02 (38a) (38b) (38c) 1-es test: F 01 + F 51 + F 21 = m 1 a S1 r S1 A F 01 + r S1 B F 21 + r S1 H F 51 = J 1 ε 01 (39a) (39b) skaláregyenletei (kihasználva a F 21 = F 12 egyenlőséget): F 01x + F 51x F 12x = m 1 a S1 x F 01y + F 51y F 12y = m 1 a S1 y x S1 AF 01y y S1 AF 01x x S1 BF 12y + y S1 BF 12x + x S1 HF 51y y S1 HF 51x = J 1 ε 01 (40a) (40b) (40c) 5-ös test: F 45 + F 15 = m 5 a S5 r S5 G F 45 + r S5 H F 15 = J 5 ε 05 (41a) (41b) skaláregyenletei (kihasználva a F 15 = F 51 egyenlőséget): F 45x F 51x = m 5 a S5 x F 45y F 51y = m 5 a S5 y x S5 GF 45y y S5 GF 45x x S5 HF 51y y S5 HF 51x = J 5 ε 05 (42a) (42b) (42c) 4-es test: F 04 + F 54 = m 4 a S4 r S4 E F 04 + r S4 G F 54 + M 04 = J 4 ε 04 (43a) (43b) 14

skaláregyenletei (kihasználva a F 54 = F 45 egyenlőséget): F 04x F 45x = m 4 a S4 x F 04y F 45y = m 4 a S4 y x S4 EF 04y y S4 EF 04x x S4 GF 45y + y S4 GF 45x + M 04 = J 4 ε 04 = 0 (44a) (44b) (44c) A skaláregyenletek egy lineáris egyenletrendszert alkotnak, melyet a következőképp írhatunk: ahol A az egyenletrendszer együttható mártixa A f = b (45) 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y S3D x S3D y S3C x S3C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y S2C x S2C y S2B x S2B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 A= 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y S1B x S1B y S1A x S1A y S1H x S1H 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y S5H x S5H y S5G x S5G 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 y S4G x S4G y S4E x S4E 1 (46) míg f az ismeretlen erő és erőpár koordinátákat tartalmazó mátrix és b az egyenletrendszer jobb oldala: F 03x m 3 a S3x F 03y m 3 a S3y F 23x J 3 ε 03 F 23y m 2 a S2x F 12x m 2 a S2y F 12y J 2 ε 02 F 01x m 1 a S1x f = F 01y b = m 1 a S1y (47) F 51x J 1 ε 01 F 51y m 5 a S5x F 45x m 5 a S5y F 45y J 5 ε 05 F 04x m 4 a S4x F 04y m 4 a S4y M 04 0 Az egyenletrendszert megoldva a keresett hajtó nyomatékot a 16. ábra, míg a támasztóerők és belső erők nagyságát a 17. ábra szemlélteti az idő függvényében 15

M 04 (Nm) 150 100 M 04 50 0 50 100 150 F (N) 1 104 0.8 0.6 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 16. ábra. Hajtó nyomaték F 03 F 23 F 12 F 01 F 51 F 45 F 04 t (s) 0.2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 17. ábra. Külső és belső erők t (s) 16