Elektron mozgása kristályrácsban Drude - féle elektrongáz Dr. Berta Miklós bertam@sze.hu 2017. október 13. 1 / 24
Drude - féle elektrongáz Tapasztalat alapján a fémekben vannak szabad töltéshordozók. Szintén a tapasztalatból tudjuk, hogy ezek elektronok. m e = 9 10 31 kg, q e = e = 1, 6 10 19 C A Drude - féle elektrongázt kristályrácsban a következõ két paraméterrel jellemezzük: n e elektronkoncentráció - megadja, hogy hány darab elektron található egységnyi térfogatban τ a kristályrács rácscentrumaival történt, egymásutáni két ütközés között eltelt átlagos idõ. 2 / 24
Vizsgáljuk elõször az egyenáramú esetet! Az elektronra két ütközés között állandó gyorsító erõ hat, melynek nagysága: F = m e a = ee = e U L a = eu m e L 3 / 24
Vizsgáljuk elõször az egyenáramú esetet! Az elektronra két ütközés között állandó gyorsító erõ hat, melynek nagysága: F = m e a = ee = e U L a = eu m e L A termodinamikai hõmérsékletet tekintsük elõször nullának: T = 0 K 4 / 24
Vizsgáljuk elõször az egyenáramú esetet! Az elektronra két ütközés között állandó gyorsító erõ hat, melynek nagysága: F = m e a = ee = e U L a = eu m e L A termodinamikai hõmérsékletet tekintsük elõször nullának: T = 0 K 5 / 24
Az elektron két ütközés között az elektromos tér hatására: v v = aτ = euτ m e L sebességre gyorsul. 6 / 24
Az elektron két ütközés között az elektromos tér hatására: v v = aτ = euτ m e L sebességre gyorsul. A két ütközés közötti átlagsebesség, amit driftsebességnek nevezünk: v d = v v 2 = euτ 2m e L. 7 / 24
Az elektron két ütközés között az elektromos tér hatására: v v = aτ = euτ m e L sebességre gyorsul. A két ütközés közötti átlagsebesség, amit driftsebességnek nevezünk: v d = v v 2 = euτ 2m e L. t >> τ idõ alatt a vezetõ A keresztmetszetén áthaladó töltés: Q = en e V = en e Av d t I = Q t = en e 2 τ A eav d = n U. e 2m e L 8 / 24
Az elektron két ütközés között az elektromos tér hatására: v v = aτ = euτ m e L sebességre gyorsul. A két ütközés közötti átlagsebesség, amit driftsebességnek nevezünk: v d = v v 2 = euτ 2m e L. t >> τ idõ alatt a vezetõ A keresztmetszetén áthaladó töltés: Q = en e V = en e Av d t I = Q t = en e 2 τ A eav d = n U. e 2m e L Tehát az ellenállás:. R = 1 σ 0 L A = U I = 2m e n e e 2 τ L σ 0 = n ee 2 τ A 2m e 9 / 24
Az elektron két ütközés között az elektromos tér hatására: v v = aτ = euτ m e L sebességre gyorsul. A két ütközés közötti átlagsebesség, amit driftsebességnek nevezünk: v d = v v 2 = euτ 2m e L. t >> τ idõ alatt a vezetõ A keresztmetszetén áthaladó töltés: Q = en e V = en e Av d t I = Q t = en e 2 τ A eav d = n U. e 2m e L Tehát az ellenállás:. R = 1 σ 0 L A = U I = 2m e n e e 2 τ L σ 0 = n ee 2 τ A 2m e 10 / 24
Dierenciális alakba írva (dierenciális Ohm-törvény): J = I = σ U 0 = σ 0E. A L 11 / 24
Dierenciális alakba írva (dierenciális Ohm-törvény): J = I = σ U 0 = σ 0E. A L A két ütközés között megtett utat átlagos szabad úthossznak nevezzük: D = v d τ = euτ 2 2m e L. 12 / 24
Dierenciális alakba írva (dierenciális Ohm-törvény): J = I = σ U 0 = σ 0E. A L A két ütközés között megtett utat átlagos szabad úthossznak nevezzük: D = v d τ = euτ 2 2m e L. A Drude - féle modell feltételezi, hogy: L >> D. 13 / 24
Dierenciális alakba írva (dierenciális Ohm-törvény): J = I = σ U 0 = σ 0E. A L A két ütközés között megtett utat átlagos szabad úthossznak nevezzük: D = v d τ = euτ 2 2m e L. A Drude - féle modell feltételezi, hogy: L >> D. A továbbiakban tekintsük, hogy miként viselkedik a Drude - féle modell idõben váltakozó elektromos tér hatása alatt! 14 / 24
Dierenciális alakba írva (dierenciális Ohm-törvény): J = I = σ U 0 = σ 0E. A L A két ütközés között megtett utat átlagos szabad úthossznak nevezzük: D = v d τ = euτ 2 2m e L. A Drude - féle modell feltételezi, hogy: L >> D. A továbbiakban tekintsük, hogy miként viselkedik a Drude - féle modell idõben váltakozó elektromos tér hatása alatt! 15 / 24
A rendszerben állandó ee gyorsító erõ hat az elektronra, míg átlagosan τ idõközönként, egy ütközésben, az elektron elveszíti a gyorsítás során megszerzett impulzusát. Tehát az ütközés felfogható úgy, mint egy p τ átlagos fékezõerõ. Írjuk fel ezen folyamat dinamikai alapegyenletét: m e dv(t) dt = ee(t) m ev(t). τ 16 / 24
A rendszerben állandó ee gyorsító erõ hat az elektronra, míg átlagosan τ idõközönként, egy ütközésben, az elektron elveszíti a gyorsítás során megszerzett impulzusát. Tehát az ütközés felfogható úgy, mint egy p τ átlagos fékezõerõ. Írjuk fel ezen folyamat dinamikai alapegyenletét: m e dv(t) dt = ee(t) m ev(t). τ Fourier-transzformáció után: i ωm e ˆv(ω) + m e τ ˆv(ω) = eê(ω). 17 / 24
A rendszerben állandó ee gyorsító erõ hat az elektronra, míg átlagosan τ idõközönként, egy ütközésben, az elektron elveszíti a gyorsítás során megszerzett impulzusát. Tehát az ütközés felfogható úgy, mint egy p τ átlagos fékezõerõ. Írjuk fel ezen folyamat dinamikai alapegyenletét: m e dv(t) dt = ee(t) m ev(t). τ Fourier-transzformáció után: i ωm e ˆv(ω) + m e τ ˆv(ω) = eê(ω). Innen: ˆv(ω) = eτ Ê(ω). m e (1 + i ωτ ) Vegyük gyelembe, hogy: J = en e 2! 18 / 24
Tehát: Ĵ(ω) = σ 0 Ê(ω) = ˆσ(ω)Ê(ω) 1 + i ωτ Látható, hogy most is teljesül a dierenciális Ohm-törvény! 19 / 24
Tehát: Ĵ(ω) = σ 0 Ê(ω) = ˆσ(ω)Ê(ω) 1 + i ωτ Látható, hogy most is teljesül a dierenciális Ohm-törvény! A komplex fajlagos vezetõképesség: ˆσ = σ 0 1 + i ωτ = σ 0 1 + i ω ω co ahol ω co = 1 τ a levágási (cuto) frekvencia. 20 / 24
21 / 24
Hall - eektus 22 / 24
Az elektromos tér hatására a lapkában található elektronok v d sebességgel driftelnek. Sebességük merõleges a B homogén mágneses térre, így az elektromos térre és a mágneses térre is merõleges Lorentz-erõ hat rájuk. A Lorentz-erõ a töltéseket az áram irányára merõleges oldalak irányába sodorja, így ezen oldalak feltöltõdnek U H Hall-feszültségre. A folyamat mindaddig tart, amíg a Hall-feszültség hatása ki nem kompenzálja a Lorentz-erõ hatását: F Lorentz = F Hall. Vegyük gyelembe, hogy: így ev d B = e U H m. v d = U H = 1 IB en e d I en e md, = R IB H. d Az R H Hall-állandóból meghatározható a lapkában a töltéshordozók koncentrációja, míg az U H polaritásából a töltés elõjele! 23 / 24
Köszönöm a gyelmet! 24 / 24