Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról

Hasonló dokumentumok
t, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész

Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről

Egy kinematikai feladathoz

Egy mozgástani feladat

Ellipszis átszelése. 1. ábra

A kör és ellipszis csavarmozgása során keletkező felületekről

A kötélsúrlódás képletének egy általánosításáról

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

A csavarvonal axonometrikus képéről

A közönséges csavarvonal érintőjének képeiről

A Kepler - problémáról. Megint az interneten találtunk egy szép animációt 1. ábra, amin elgondolkoztunk: Ezt hogyan oldanánk meg? Most erről lesz szó.

A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról

Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra

Henger és kúp metsződő tengelyekkel

Fa rudak forgatása II.

Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész

Egy geometriai szélsőérték - feladat

Két naszád legkisebb távolsága. Az [ 1 ] gyűjteményben találtuk az alábbi feladatot és egy megoldását: 1. ábra.

Az éjszakai rovarok repüléséről

Poncelet egy tételéről

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.

A hordófelület síkmetszeteiről

Ellipszis perspektivikus képe 2. rész

Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? Ezt a kérdést az után tettük fel magunknak, hogy megláttuk az 1. ábrát.

Az R forgató mátrix [ 1 ] - beli képleteinek levezetése: I. rész

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.

Egy általános helyzetű lekerekített sarkú téglalap paraméteres egyenletrendszere. Az egyenletek felírása

A kerekes kútról. A kerekes kút régi víznyerő szerkezet; egy gyakori változata látható az 1. ábrán.

Végein függesztett rúd egyensúlyi helyzete. Az interneten találtuk az [ 1 ] munkát, benne az alábbi érdekes feladatot 1. ábra. Most erről lesz szó.

A Lenz - vektorról. Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra.

Néhány véges trigonometriai összegről. Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 )

Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya

A lengőfűrészelésről

A csavart oszlop előállításáról

Érdekes geometriai számítások 10.

A fatörzs és az ágak alakjának leírásához. Szétnéztünk az interneten. A lábon főleg a szabadon álló fák alakja meglehetősen bonyolult; pl.: 1. ábra.

Ellipszissel kapcsolatos képletekről

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

A gúla ~ projekthez 2. rész

További adalékok a merőleges axonometriához

A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához

Lövés csúzlival. Egy csúzli k merevségű gumival készült. Adjuk meg az ebből kilőtt m tömegű lövedék sebességét, ha a csúzlit L - re húztuk ki!

Egy érdekes nyeregtetőről

Érdekes geometriai számítások Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon

Egy újabb térmértani feladat. Az [ 1 ] könyvben az interneten találtuk az alábbi érdekes feladatot is 1. ábra.

Egy felszínszámítási feladat a tompaélű fagerendák témaköréből

Egy érdekes statikai - geometriai feladat

Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként

A konfokális és a nem - konfokális ellipszis - seregekről és ortogonális trajektóriáikról

Egy érdekes statikai feladat. Az interneten találtuk az [ 1 ] művet, benne az alábbi feladattal.

Keresztezett pálcák II.

Egy kinematikai feladat

Egy szép és jó ábra csodákra képes. Az alábbi 1. ábrát [ 1 ] - ben találtuk; talán már máskor is hivatkoztunk rá.

A főtengelyproblémához

A fák növekedésének egy modelljéről

Ismét a fahengeres keresztmetszetű gerenda témájáról. 1. ábra forrása: [ 1 ]

Vontatás III. A feladat

Fiók ferde betolása. A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

Befordulás sarkon bútorral

Egy nyíllövéses feladat

A Cassini - görbékről

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez

Egy másik érdekes feladat. A feladat

Tömegpontok mozgása egyenes mentén, hajítások

Vonatablakon át. A szabadvezeték alakjának leírása. 1. ábra

Aszimmetrikus nyeregtető ~ feladat 2.

Az elforgatott ellipszisbe írható legnagyobb területű téglalapról

Chasles tételéről. Előkészítés

Csavarokról és rokon témákról

A ferde tartó megoszló terheléseiről

A rektellipszis csavarmozgása során keletkező felületről

Egy variátor - feladat. Az [ 1 ] feladatgyűjteményben találtuk az alábbi feladatot. Most ezt dolgozzuk fel. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

Kerekes kút 2.: A zuhanó vödör mozgásáról

A kardáncsukló kinematikája I. A szögelfordulások közti kapcsolat skaláris levezetése

Profilmetsződésekről, avagy tórusz és körhenger áthatásáról

Az axonometrikus ábrázolás analitikus geometriai egyenleteinek másfajta levezetése. Bevezetés

A magától becsukódó ajtó működéséről

Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)

Tető - feladat. Az interneten találtuk az [ 1 ] művet, benne az alábbi feladatot és végeredményeit ld. 1. ábra.

A kvadratrixról. Ez azt jelenti, hogy itt a görbe egy mozgástani származtatását vesszük elő 1. ábra. 1. ábra

Fénypont a falon Feladat

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

A merőleges axonometria néhány régi - új összefüggéséről

Kocka perspektivikus ábrázolása. Bevezetés

A felcsapódó kavicsról. Az interneten találtuk az alábbi, a hajítás témakörébe tartozó érdekes feladatot 1. ábra.

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

w u R. x 2 x w w u 2 u y y l ; x d y r ; x 2 x d d y r ; l 2 r 2 2 x w 2 x d w 2 u 2 d 2 2 u y ; x w u y l ; l r 2 x w 2 x d R d 2 u y ;

Az egyköpenyű forgáshiperboloid síkmetszeteiről

Egy újabb látószög - feladat

Egy általánosabb súrlódásos alapfeladat

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Kiegészítés a merőleges axonometriához

Egy gyakorlati szélsőérték - feladat. 1. ábra forrása: [ 1 ]

Kerék gördüléséről. A feladat

Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással

Rönk kiemelése a vízből

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Átírás:

1 Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról Erről viszonylag ritkán olvashatunk, ezért most erről lesz szó. Az [ 1 ] munkában találtuk az alábbi részt 1. ábra. 1. ábra Itt a ( c ) feladat és annak megoldása érdekes számunkra: ha a második paraméter pozitív állandó, akkor a vektor - függvény egyfajta elliptikus hengerre írt csavarvonalat ír le. Ennek egyenletrendszere a saját jelöléseinkkel, ahol a és b az ellipszis féltengelyei: ( 1 / 1) ( 1 / 2 ) ( 1 / 3 ) A mozgástani leírása ennek a térgörbének úgy adódik, hogy a mozgó pont xy síkra vett vetületi mozgása ellipszis menti, míg a z tengely menti mozgása egyenletes. Ugyanis egy állandó nagyságú és irányú ω = ω z szögsebesség - vektorral és v = v z sebességvektorral, valamint a ( 2 ) ( 3 ) összefüggésekkel, továbbá ( 1 ), ( 2 ) és ( 3 ) - mal: Most ( 3 ) és ( 4 / 3 ) - mal: ( 4 / 1) ( 4 / 2 ) ( 4 / 3 ) ( 5 ) Ezek szerint adott a, b, v, ω esetén a mozgás t idővel történő leírása így néz ki: ( 6 / 1) ( 6 / 2 )

2 ( 6 / 3 ) Továbbá a mozgás φ elfordulási szöggel történő leírása így fest: ( 7 / 1) ( 7 / 2 ) ( 7 / 3 ) Egy ilyen úton előállított térgörbe axonometrikus képét szemlélhetjük a 2. ábrán. Adatok: a = 4 ( m ), b = 2 ( m ), ω = 1 / 10 rad / s, v = 0,05 m / s. ( A ) Ekkor ( 6 ) és ( A ) szerint a térgörbe idő - paraméteres egyenletrendszere: ( 8 / 1) ( 8 / 2 ) ( 8 / 3 ) 2. ábra forrása: [ 2 ] A csavarmozgást végző pont sebességkomponensei ( 6 ) - ból: ( 9 / 1) ( 9 / 2 ) ( 9 / 3 )

3 Az eredő sebesség időben változó nagysága: azaz: ( 10 ) A csavarvonal α menetemelkedési szögére például: ( 11 ) innen( 10 ) - zel is: ( 12 ) vagyis a menetemelkedési szög sem állandó, hanem az idővel változó mennyiség. Ez azért van, mert ellipszis esetén a b. Ha a = b = R, akkor az ellipszis körré fajul, és ( 10 ) és ( 11 ) így alakul: ( 13 ) ( 14 ) Látjuk, hogy ugyanolyan mozgásparaméterek esetén a közönséges csavarvonal menti mozgás sebessége és menetemelkedési szöge is állandó marad, az egész mozgás során. Másfajta elliptikus hengerre írt csavarvonalról olvashatunk [ 3 ] - ban 3. ábra. 3. ábra forrása: [ 3 ]

4 Itt az elliptikus henger ellipszis keresztmetszetét, valamint a ráírt csavarvonal kifejtett képét / egyenesét láthatjuk. Az ellipszis féltengelyei: a, b; az ellipszis kerülete: K; a csavarvonal menetmagassága: h, menetemelkedési szöge: α. Az ellipszis ismert paraméteres egyenletrendszere: ( 15 ) Az ellipszis ív - differenciálja: ( 16 ) Az ellipszis ívhossza: ( 17 ) ahol a jelölésekkel megkülönböztettük a változót annak felső határától. Az ellipszis kerülete a szimmetria miatt: ( 18 ) Átalakításokkal: tehát: ( 19 ) ahol: ( 20 ) az excentricitás négyzete. Most ( 18 ) és ( 19 ) - cel: ( 21 ) A ( 21 ) integrál zárt alakban nem fejezhető ki képlettel, így vagy közelítő képlettel dolgozunk, vagy numerikus integrálást végzünk, illetve így előállított táblázatot hasz - nálunk. A 3. ábra ahol nincs minden jelölésünk feltüntetve egyenese alapján: ( 22 )

5 ahol z a csavarvonal egy pontjának magassági koordinátája. Az elliptikus hengerre írt csavarvonal paraméteres egyenletrendszere ezzel: ( 23 / 1 ) ( 23 / 2 ) ( 23 / 3 ) A közönséges csavarvonal egyenletrendszere ebből előáll, ha mert ( 23 ) és ( 24 ) - gyel: ( 24 ) ( 25 / 1 ) ( 25 / 2 ) ( 25 / 3 ) Fentiek magyarázzák, miért nem látunk pontos ábrázolást e másfajta elliptikus csavar - vonalról; ehhez ugyanis szükség van az ellipszis s( ψ ) ívhosszára és K = s( ψ = 2π ) kerületére is, melyben a ψ paraméter a ( 17 ) integrál felső határa. Minthogy a szokásos térgörbe - ábrázoló programok zárt alakú képleteket kérnek, így azok most nem használ - hatók. Nyilván lehet programot írni e feladat megoldására is. E másfajta csavarvonalon mozgó pont pálya menti sebességének nagyságára: ( 26 ) most ( 16 ) és ( 26 ) - tal: ( 27 ) Majd a menetemelkedési szögre:

6 egyszerűsítve: ( 28 ) vagy a ( 29 ) azonosság felhasználásával, ( 28 ) és ( 29 ) - cel: ( 30 ) egyezésben ( 22 ) - vel, ahogyan az a 3. ábráról is leolvasható. Látjuk, hogy e másfajta elliptikus hengerre írt csavarvonalon mozgó pont pálya menti sebességének nagysága változó, ámde a menetemelkedési szög nagysága már állandó. Megjegyzések: M1. Ezen feladat kapcsán is beleszaladtunk néhány furcsaságba. Az egyik az ellipszis kerületét leíró, ( 21 ) szerinti képlet: ( 21 / 1 ) az itteni E jelű integrál neve: másodfajú teljes elliptikus integrál [ 4 ]. Arra lettünk figyelmesek, hogy erőltetik a négyzetgyök jele alatt a szinusz - függvényt. Ennek érdekében eltérnek a szokásos a b felvételtől, illetve a szögváltozót nem az x, hanem az y tengelytől mérik. Ez az ellipszis kerületén nem változtat, viszont kényelmet - len kinyomozni a nem igazán természetes felvételek okait. Azért mi megtettük. E - re [ 4 ] - ben is találunk táblázatokat. Egy példa: a = 4 ( m ), b = 2 ( m ). Közelítő képlettel [ 4 ] : segédparaméterrel: ( a ) táblázatból: ( b ) ( c ) ( d ) ( e )

7 4. ábra A 4. ábra szerint az integrálandó függvény görbe alatti területének numerikus meghatáro - zásával: ( f ) A példabeli ellipszis pontosabb kerülete: ( g ) Látjuk, hogy nagyobb pontossági igény esetén érdemes a közelítő táblázati adatok helyett a pontos numerikus integrálási eredményeket alkalmazni. M2. Nagyobb pontosságra lehet szükség, ha az elkészítendő termék alapanyagai drágák, így beszerzésüknél fokozott alapossággal, a szokásosnál is gondosabban kell eljárni. Ha például aranyfonálból készül a második fajta csavarvonal, akkor ennek egy menetének hossza a 3. ábra derékszögű háromszöge alapján: ( 31 ) Az ellipszis K kerületénél elkövetett pontatlanság hatása kiterjed a csavarvonal L = nl hosszára, ezzel együtt pedig a hosszával arányos Á árára is, hiszen: ( 32 )

8 ahol á az aranyfonál magas egységára, n a menetek száma. M3. Az állandó menetemelkedésű csavarvonalak úgy is előállhatnak, hogy az adott keresztmetszetű egyenes hengerre felcsévélnek pl. papírból készült háromszöget, csíkot. Papírhengerek magjaként gyakran alkalmaznak keményebb papírhengert, melynek oldalán jól láthatóan kirajzolódik a közönséges csavarvonal 4. ábra. 4. ábra forrása: [ 5 ] M4. A [ 3 ] műben többet is olvashatunk a szalagozott szerkezetek gyártása során előforduló, különféle vezérgörbéjű egyenes hengerekre írt csavarvonalakról. Források: [ 1 ] http://math.unideb.hu/media/lovas-rezso/feladatsor_pj.pdf [ 2 ] http://www.math.uri.edu/~bkaskosz/flashmo/parcur/ [ 3 ] Szerk. MKM - kollektíva: Kábel - zsebkönyv, 1972, II. kötet [ 4 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963. [ 5 ] http://papircso.hu/wp-content/uploads/dsc_0587.jpg Sződliget, 2018. október 21. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár