ere e kineika, íkozá Hajo kerék ozáa k a kerék öee, a kerék uara nyoaék µ, ozábeli úrlódái ényez µ, nyuábeli úrlódái ényez / zöebeé o y A ázol hooén öeelozláú kerék zöebeéel ördül ízzine, érde alajon. A [ ] idonban nyoaék kezd ködni a kerékre.. Haározzuk e, hoy a kerék ecúzik-e. záíuk ki a yoruláállaoá eadó ennyiéeke, alain a alajról a kerékre áadódó kényzerer abban a illanaban, aikor az nyoaék elkezd ködni a kerékre.. záíuk ki a kerék ozái eneriájá a [ ] 3. A idillanaban eznik az idillanaban. nyoaék, uána a kerék zabadon ozo oább az érde, ízzine íkon. Haározzuk e, hoy fo-e ördülni a kerék. Ha ien, ikor é hol (ekkora áoláo ez e a úlyon a ördüléi). 4. Haározzuk e, hoy hoyan ozo a kerék oább, é ilyen erk hanak rá a ördülé újbóli beálla uán.
eoldá:. ecúzik-e a kerék? Feléelezzük, hoy a kerék ne cúzik e, hane ördül. A zabade ábra: Ha ördül, akkor a konakonban an a P ebeéólu. (P ) A dinaika alaéele a zabade ábráal özhanban: G a () a () G háro eyenle, néy ierelen: a,,, (3) ay ieézí eyenle: ördülé eeén a úlyon yoruláa é a kerék zöyoruláa közöi özefüé: (a ördülé kineaikai feléelébl) (4) a A néy eyenlebl álló eyenlerendzerben néy ierelen an: a,,, Az eyenlerendzerbl kifejezzük a kényzerer ké koonené, é ellenrizzük, hoy eljeül-e a ördülé dinaikai feléele: µ? Ha eljeül, akkor a feni eyenlerendzerbl kizáíhaó a,,, érékek a felada eoldáá adják, é a kerék ozáa ördülé. Példánkban,34 >, µ, ne eljeül a ördülé dinaikai feléele. 3 oár udjuk, hoy hoyan ozo a kerék: ecúzik. ozáa álaláno íkozá, foro é cúzik eyzerre. A kényzerer é a yoruláállao ehaározáához új eyenlerendzer kell felírni. A dinaika alaéelének feni háro kaláreyenlee o i érénye, de a (4)-e jel kieézí eyenle ne. Helyee iel oár udjuk, hoy a kerék cúzik, ayi a alajjal érinkez onjának ne nulla a ebeée, ne nyuábeli, hane ozábeli úrlódá an a konakonban a kerék alajjal érinkez onja é a alaj közö a kényzerernek a ké érinkez A (3)-a eyenleben cak a úlyonon áen enelyre írhaó fel a kineikai nyoaék nyoaéköze, hizen a konakon o ne ebeéólu. Ha ördül a kerék, akkor a konakonban an a ebeéólu, é ezé zerin felírhaó az eyenle akár a úlyoni enelyre, akár a ebeéóluon áen, a ozá íkjára erlee enelyre. Ha ne ördül, akkor cak a úlyoni enelyre felír eyenle haználhaó.
e közö ériníkjába e é arra erlee kooneneire (a úrlódóerre é a norálerre) onakozó kacolao írjuk fel: () () G (3) a (4) a helyee: µ Az eyenlerendzer eoldáa: 9, 6 µ,96 a,98/ 8, 4 / A kerék ozáállaoa a idillanaban: ebeéállao: a nyoaék ráhelyezée el ödül:,, / A ebeé a nyoaék haáára ne álozik e urázeren, ezér:, ( ) ( ) A yoruláállao a dinaika alaéelébl: a,98 8, 4,96 A kerékre haó kényzerer: 9, 6 [ ] e udjuk, ilyen ol a kerék yoruláállaoa el, de ne i érdeke, er a feladaban efoalazo kérdéek zeonjából közöbö. A ozá a nyoaék ráhelyezée uán kezdjük izálni, é a nyoaék ráhelyezée urázeren eálozaja a korábbi yoruláállaoo. 3
. A ozái eneria érékének kizáíáa a idillanaban A ozái eneria kélee a e ey eheelenéi fíkjáal árhuzao íkban örén íkozá eeén: T Alkalazzuk a kerékre a idillanaban: ha a úlyon yoruláa, a é a kerék zöyoruláa, állandó a, ineralluban, akkor a úlyon ebeée é a zöebeé a idillanaban az alábbi ódon záíhaó : ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) ( ),,98,6 ( ) ( ) 8, 4 6,8 Ellenrizni kell, hoy a é állandó-e a, ineralluban. a é akkor állandók, ha a ere haó errendzer ajai állandók. A ere haó errendzer ajai addi állandók, aí a ozá jellee ne álozik e. A kerék -kor cúzik é foro. Elkezd-e ördülni el? Teyük fel, hoy a kerék a,, idonban ördülni kezd. Aikor ördülni kezd, akkor eljeül a ördülé kineaikai feléele: ( ) ( ) : ( ) a ( ) a A feni eyenlee cak a eléíi ki, er, é a. Tehá a kerék ne fo ördülni a idon uán, aí ha rá az nyoaék. A ozái eneria kifejezéében zerel ( ) é ( ) alóban a fen kizáío. Ezzel a ozái eneria: ( ),6, 6, 76 37,3[ ] T 4
3. A kerék ozáának izálaa az nyoaék eznée uán A [ ] idillanaban a kerék ebeéállaoa uyanaz, in a nyoaék eznée el:,6 ( ) ( ) 6,8 Gyoruláállaoa -kor urázeren eálozik, er a rá haó errendzer urázeren eálozik -kor. A dinaika alaéelébl lehe ehaározni a úlyon yoruláá é a kerék zöyoruláá a nyoaék eznée uán: zabade ábra: A dinaika alaéelének kaláreyenleei: () () G (3) a G a A kieézí eyenle: udjuk, hoy ne ördül, er ( 4) µ ejeyzé: ha a kerék cúzik, akkor a zabade ábrában a úrlódóer irányá úy kell felenni, hoy az ellenée érel leyen a kerék alajjal érinkez onjának a ebeééel. r,6 4,4, 6, 76 Az eyenlerendzer eoldáa: µ a,98 9,6 a,98 9, 6 5
A kerék uán ezzel a úlyonyoruláal é zöyoruláal ozo, a úlyer é a alajról áadódó kényzerer haáára. a é állandó a, aí ne kezd ördülni a kerék. A úlyon ebeéének é a kerék zöebeéének a álozáa uán: ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) ( ),6,98 ( ) ( ) ( ) ( ) 9, 6 A kerék ördülni fo, ha an olyan >, aikor eljeül a ördülé kineaikai feléele, ayi a alajjal érinkez onban an a ebeéólu: ( ) ( ) ( ) r P P ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) r P,6,98 ( ), 6, 76 9, 6 ( ),6,98 ( ) 6, 76,96 ( ) 6, 796 A úlyon helyzee a, inerallu één: ( ) ( ) ( ) a ( ),,98 ( ) i,36 i A úlyon helyzee a, inerallu één: ( ) ( ) ( ) a ( ),6 4,796,98 4,796 i 4,3 i ördül cúzik é foro ár ninc, cúzik é foro ördül 6
4. A kerék ozáa a ördülé újbóli beálla uán: A kerék ebeéállaoa a illanaban: ( ) ( ) a ( ) ( ) ( ) ( ),6,98 ( ) 4, 796 ( ) 4, 796 6, 76 9, 6 6,87 ra ( ) ( ) d 68, 66 zabade ábra: A dinaika alaéelének kaláreyenleei: a () a () G (3) P G A kieézí eyenle: udjuk, hoy ördül, er ( 4) a Az eyenlerendzer eoldáa: (3), (4) a, () () Ν Ez az jeleni, hoy a aára hayo, ízzine íkon ördül kerékre cak a úlyer é fülee kényzerer ha. inc úrlódóer. iel a é, ezér é állandók. Vayi a kerék eyenleeen urul a éelenéi a idonban elér ebeéállaoában. Ez a aazalanak ellenondó eredény a ere e odell korláaira ua rá. A kerék é az aláé érinkezée ere e odellel onzer, eia a ebeéóluon áen enelyre nulla a ere haó erk nyoaéka. Eia ninc zöyorulá, ninc yoruláa a úlyonnak é ninc úrlódóer. A alóáo jobban közelí eredény kaunk a ördüléi ellenállá beezeééel. 7
Gördüléi ellenállá Az érinkezéi hely ne onzer, a noráler áadáonja kié elolódik a kerék ozái irányába, ai a óluonon áen enelyre a zöebeéel ellenée érel nyoaéko ad. zabade ábra: A dinaika alaéelének kaláreyenleei: a P G () () G (3) ( f nee: a ördüléi ellenállá karja) a kieézí eyenle: ( ) a f 4 a er ördül f Az eyenlerendzer eoldáa: A kerék e fo állni: (3) ( 4) ( ) () f f a f ( ) a id úla. a f 8