Matematika emelt szit Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA EMELT SZINT% ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI VIZSGA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ EMBERI ERFORRÁSOK MINISZTÉRIUMA ÉRETTSÉGI VIZSGA 0. október.
Fotos tudivalók Formai elírások:. A dolgozatot a vizsgázó által haszált szí&tl eltér szí& tollal kell javítai, a taári gyakorlatak megfelele jelölve a hibákat és a hiáyokat.. A feladatok mellett található szürke téglalapok közül az elsbe a feladatra adható maimális potszám va, a javító által adott potszám a mellette lev téglalapba kerül. 3. Kifogástala megoldás eseté elég a maimális potszám beírása a megfelel téglalapokba. 4. Hiáyos/hibás megoldás eseté kérjük, hogy az egyes részpotszámokat is írja rá a dolgozatra.. Az ábrá kívül ceruzával írt részeket a javító taár em értékelheti. Tartalmi kérések:. Egyes feladatokál több megoldás potozását is megadtuk. Ameyibe azoktól eltér megoldás születik, keresse meg eze megoldásokak az útmutató egyes részleteivel egyeérték& részeit, és eek alapjá potozzo.. A potozási útmutató potjai tovább bothatók, hacsak az útmutató másképp em redelkezik. Az adható potszámok azoba csak egész potok lehetek. 3. Ha a megoldásba számolási hiba, potatlaság va, akkor csak arra a részre em jár pot, ahol a tauló a hibát elkövette. Ha a hibás részeredméyel helyes godolatmeet alapjá tovább dolgozik, és a megoldadó probléma léyegébe em változik meg, akkor a következ részpotszámokat meg kell adi. 4. Elvi hibát követe egy godolati egysége belül (ezeket az útmutatóba ketts voal jelzi) a formálisa helyes matematikai lépésekre sem jár pot. Ha azoba a tauló az elvi hibával kapott rossz eredméyel, mit kiiduló adattal helyese számol tovább a következ godolati egységbe vagy részkérdésbe, akkor erre a részre kapja meg a maimális potot, ha a megoldadó probléma léyegébe em változik meg.. Ha a megoldási útmutatóba zárójelbe szerepel egy megjegyzés vagy mértékegység, akkor eek hiáya eseté is teljes érték& a megoldás.. Egy feladatra adott többféle megoldási próbálkozás közül a vizsgázó által megjelölt változat értékelhet. 7. A megoldásokért jutalompot (az adott feladatra vagy feladatrészre elírt maimális potszámot meghaladó pot) em adható. 8. Az olya részszámításokért, részlépésekért em jár potlevoás, melyek hibásak, de amelyeket a feladat megoldásához a vizsgázó téylegese em haszál fel. 9. A vizsgafeladatsor II. részébe kit&zött feladat közül csak 4 feladat megoldása értékelhet. A vizsgázó az erre a célra szolgáló égyzetbe feltehetleg megjelölte aak a feladatak a sorszámát, amelyek értékelése em fog beszámítai az összpotszámába. Eek megfelele a megjelölt feladatra esetlegese adott megoldást em is kell javítai. Ha mégsem derül ki egyértelm&e, hogy a vizsgázó melyik feladat értékelését em kéri, akkor automatikusa a kit&zött sorred szeriti legutolsó feladat lesz az, amelyet em kell értékeli. írásbeli vizsga / 8 0. október.
9. a) Az () állítás hamis. Egy ötpotú egyszer& gráfba legfeljebb 0 él húzható, éle tehát em lehet. pot A () állítás igaz. (A gráf csúcsai legfeljebb egyedfokúak lehetek.) Ha a gráf mide csúcsa harmadfokú vola, akkor a gráfba a fokszámok összege páratla lee (), pot ami lehetetle. Összese: pot 9. b) Ha úgy szíeztük be élt, hogy kaptuk egy égypotú teljes részgráfot és egy izolált potot, akkor ez a gráf em összefügg, tehát jó. Másképp em kaphattuk em összefügg gráfot, hisze ha egy két- és egy hárompotú (esetleg em összefügg) kompoese lee, akkor legfeljebb + 3 = 4 éle lehete. Az els típushoz ötféleképpe választhatjuk ki az izolált potot, és ez már meghatározza a beszíezhet élt, tehát az ilye gráfok száma. pot pot pot Az ötpotú teljes gráfak 0 éle va, ezek közül 0 (= 0)-féleképpe választhatjuk ki pot a kiszíezed élt. A keresett valószí&ség tehát p = 0 ( 0,04). Összese: 0 pot írásbeli vizsga 8 / 8 0. október. I.. a) 9 A bevétel: 0 00 0 (Ft). A kifizetett yereméy: 4 7 8 8 8 0 0 8 0, 0 0 0 0 8 ) (Ft), ( tehát a külöbözet 400 millió Ft. Összese: 3 pot. b) (Az millió sorsjegy bármelyikét egyel valószí&séggel húzhatjuk.) A kedvez esetek száma 0 844, pot tehát a keresett valószí&ség: p 0844 0, 0. pot Összese: 4 pot Ha egyértelm&e kiderül, hogy a vizsgázó jó számokat adott össze, de számolási hibát vétett, akkor ot kaphat. A 0, is elfogadható válasz. A százalékba megadott helyes válasz is elfogadható.. c) els megoldás A felvehet yereméy várható értéke: 7 8 8 8 4 0 0 8 0, 0 0 0 pot Nem botható. 0 = 0 (Ft). A yereség várható értéke tehát (0 00 =) 80 Ft. Összese: 4 pot. c) második megoldás A sorsjegy kibocsátójáak yeresége a játékosok összes yereségéek elletettje. Egy játékos yereségéek várható értéke tehát pot 400 000 000 000 000 = 80 Ft. Összese: 4 pot írásbeli vizsga 3 / 8 0. október.
. c) harmadik megoldás yereméy yereség valószí&ség 0 000 000 9 999 800 ( 0,0000008 ) 4 0 40 0 000 49 800 ( 0,000008 ) 0 800 0 000 9 800 ( 0,000 ) 0 0 000 000 800 ( 0,03 ) 0 00 300 400 000 ( 0,08 ) 0 0 00 0 ( 0, ) 0 3 449 0 00 ( 0,8983 ) 0 pot Egy hiba eseté jár, egyél több hiba eseté em jár pot. A várható értéket az E ( X ) i p i képlet segítségével is kiszámíthatjuk. A yereség várható értéke 80 Ft. Összese: 4 pot. els megoldás (Jelölje azt a számot, amelyet -tel csökketük, y pedig a másikat.) ( )( y y ) 9 pot Nem botható. y ½ ¾ Az els egyeletbl (például) y-t kifejezve és azt a második egyeletbe helyettesítve: ( )(44 ) (9 ). A m&veleteket elvégezve: 9 0 4. Redezve: 4 8 0 0. (Egyszer&sítve: 43 330 0.) 3 pot Az egyelet megoldásai a és a 7,. pot Ha -et fejezte ki: ( 4 y )( y ) (9 y)y. Bal oldalo a zárójel felbotása, összevoás, jobb oldalo a zárójel felbotása. Ha y-ra írja fel a másodfokú egyeletet, akkor a y 73 y 0 egyelet adódik. 0 írásbeli vizsga 4 / 8 0. október. A skaláris szorzat kétféle kifejezéséek egyelsége miatt: p 4 p. Mivel az egyelet bal oldala pozitív, ezért p! 0. Redezés, égyzetre emelés, majd ullára redukálás utá kapjuk: p 8 p 3 0. Eek az egyeletek a gyökei: p 4 4 3, p 4 4 3. pot pot (Mivel p! 0, ezért) p 4 4 3. Összese: pot Ezt a potot úgy is megkaphatja a vizsgázó, ha a következméy-egyelet két gyöke közül kizárja a egatívat. Ha a vizsgázó közelít értékekkel számol, akkor erre a részre legfeljebb potot kaphat. 8. harmadik megoldás Az AB egyees iráytagese: 4 7, pot Nem botható. így iráyszöge 3 ( 4 ). Az AB egyees, a BC egyees és az tegely által közrefogott háromszög két szöge 4 -os és 0 -os, pot ezért a harmadik szöge 7 -os. Ebbl következik, hogy a BC egyees iráyszöge 7, pot iráytagese (meredeksége) tg 7º. Eek potos értéke (például a megfelel addíciós tétel alkalmazásával) tg 4 tg 30 4 30 3 tg 7 tg tg 4 tg 30 A BC egyees egyelete: y 4 3 7.. pot* pot A C pot koordiátái kielégítik ezt az egyeletet, így 4 3 7 p, ahoa p 4 4 3. * Összese: pot Megjegyzés: Ha a vizsgázó tg 7º közelít értékével számol, ezért p-re sem potos értéket kap, a *-gal jelzett 3 potot elveszíti. (tg 7º 3,73, p 0,98) írásbeli vizsga 7 / 8 0. október. i
8. els megoldás Az ABC háromszög AC oldalára felírva a kosziusztételt: AC AB BC AB BC 0,. pot AB 0 BC ( p 4) p 8 p 3 AC 8 ( p ) p p 8 A kapott értékeket visszahelyettesítve a kosziusztételbe: p p 8 p 8 p 8 0 p 8 p 3. Redezve: 0 ( p 8 p 3) 0 p. pot Mivel a bal oldalo pozitív szám áll, ezért p > 0. Négyzetre emelve és egyszer&sítve: p 8 p 3 p, amibl p 8 p 3 0 adódik. Eek az egyeletek a gyökei: pot p 4 4 3, p 4 4 3. (Mivel p! 0, ezért) p 4 4 3. Összese: pot Ezt a potot úgy is megkaphatja a vizsgázó, ha a következméy-egyelet két gyöke közül kizárja a egatívat. Ha a vizsgázó közelít értékekkel számol, akkor erre a részre legfeljebb potot kaphat. 8. második megoldás A BA és BC vektorok által bezárt szög 0 -os, ezért skaláris szorzatuk BA BC AB BC BA BC cos 0, AB, ahol és 4 p 4 BC. A skaláris szorzat felírható a megfelel koordiáták szorzatáak összegekét is. Mivel BA ; és 4 ; p 4 ezért BA BC 0 p 4 p BC,. pot írásbeli vizsga / 8 0. október. Ha a -tel csökketed szám a, akkor a másik szám a 3. Ha a -tel csökketed szám a 7,, akkor a másik szám az,. Ellerzés a szöveg alapjá: Ha a két szám a és a 3, akkor (az összegük 9,) a szorzatuk 0. A megváltoztatott számok a és az 0, ezek szorzata 00, ami valóba -szöröse a 0-ek. Ha a két szám a 7, és az,, akkor (az összegük 9,) a szorzatuk 4,. A megváltoztatott számok a, és a,, ezek szorzata 0,, ami valóba -szöröse a 4,-ek. Összese: 3 pot Ha a vizsgázó a számolás leírása élkül ayit ír, hogy a szöveg alapjá ellerizte a megoldásokat, és azok megfelelek, akkor ezért ot kaphat.. második megoldás (Ha a -tel öveled szám, akkor a másik 9, c pedig jelölje az eredeti két szám szorzatát.) ( )(4 ( 9 ) c pot Nem botható. ) c ½ ¾ A második egyeletbl kivova az elst: 30 + 0 = 4c. Ebbl -et kifejezve: c = 7. Ezt visszaírva az els egyeletbe: c c c 7. A m&veleteket elvégezve: 4 c 4 c = c. -tel szorozva és redezve: 0 = 4c + 7c 34 0. Az egyelet megoldásai a 0 és a 4,. pot Az els megoldásból = 3, ekkor a másik szám a, Ha c-t fejezte ki: c = 0. (9 ) = 73 0 0 a másodikból =,, ekkor a másik szám a 7,. Ellerzés: lásd az els megoldásál. pot Összese: 3 pot 0 írásbeli vizsga / 8 0. október.
3. a) (A égyzetgyök miatt) t 0, (a logaritmus miatt) > 0. A keresett halmaz: ] 0; f [. Összese: 3 pot Az > 0 válasz is elfogadható. 3. b) (A logaritmus miatt) cos > 0, és (a égyzetgyök miatt) log cos t 0, azaz cos t. (A kosziusz függvéy értékkészlete miatt) cos =. Az értelmezési tartomáy: ^ R k Œ, k Z `. Összese: pot Az = k Œ, k Z válasz is elfogadható. Ha a k Z em szerepel, akkor ez a pot em jár. 3. c) (A logaritmus alapja miatt)! 0 és z. (A logaritmus miatt) cos! 0, tehát cos z 0, azaz Œ z k Œ, ahol k Z. Az értelmezési tartomáy: S ½ R \ {} k Œ ¾, ahol k N. Ez a pot csak akkor jár, ha midkét feltétel szerepel. A k N helyett a k Z is elfogadható. Œ Az > 0, de z k Œ ( k Z ) és z válasz is elfogadható. Összese: pot Megjegyzés: Ha k lehetséges értékei sehol sem szerepelek, akkor legfeljebb 4 pot adható. írásbeli vizsga / 8 0. október. 7. b) második megoldás Ha az edéy magassága m cm, akkor 4000 m, és a zomáccal bevoadó felület területe (cm -be) T 4 m. Az m-et a térfogatra felírt összefüggésbl kifejezve és behelyettesítve T-be: 000 T. 000 8000 8000, ahol > 0. Alkalmazzuk a jobb oldalo álló összeg három tagjára a számtai és a mértai közepük közötti egyeltleséget: 8000 8000 t 3 8000 8000 3 3 3 4 0 00. A zomáccal bevoadó felület területe tehát em lehet kisebb 00 cm -él. pot Egyelség abba az esetbe lehetséges, ha 8000, vagyis ha 3 8000. Ebbl 0, tehát a gyártott edéyek alapéle 0 cm. Összese: 9 pot 7. c) Egy edéyt véletleszer&e kiválasztva az 0,0 valószí&séggel selejtes lesz, tehát 0,98 valószí&séggel jó. A kérdéses valószí&ség a biomiális eloszlás alapjá számolható: 0 48 P selejtes 0,0 0,98 0,8. Összese: 4 pot Ezek a potok akkor is járak, ha ez a godolat csak a megoldásból derül ki. írásbeli vizsga / 8 0. október.
7. a) Az edéy alapéle legye cm hosszú. (Az edéy térfogata 4000 cm 3, ezért) 4000, 4. = A zomáccal bevoadó felület területe: 4,4 ) cm. ( Összese: 3 pot 7. b) els megoldás Ha az edéy magassága m cm, akkor 4000 m, és a zomáccal bevoadó felület területe (cm -be) T 4 m. Az m-et a térfogatra felírt összefüggésbl kifejezve és behelyettesítve T-be: Tekitsük a függvéyt. T : R o R 000 T. ; T ( ) 000 T -ek ott lehet szélsértéke, ahol a deriváltja 0. 000 T c 3 T c 0 œ 8000 œ 0. 3000 Mivel T c 3 pozitív az = 0-ba, ezért a T függvéyek az 0 helye (abszolút) miimuma va. A gyártott edéyek alapéle 0 cm. Összese: 9 pot Ez a pot jár, ha bármilye módo (pl. > 0) helyese utal a függvéy értelmezési tartomáyára. Ez a pot akkor is jár, ha a vizsgázó az els derivált eljelváltásával idokol helyese. írásbeli vizsga 4 / 8 0. október. 4. a) els megoldás A feladat feltételeit feltütet jó ábra. A szigetet az S, a metcsóakot az M, a tegerjáró hajót a H pot jelöli. A hajó útjáak és az SM egyeesek a metszéspotját jelölje A. pot Ha ábra élkül is jó a megoldása, akkor is jár ez a pot. A HSA háromszög derékszög&, egyel szárú, ezért AS = 4 (km), tehát MA 8 (km), valamit az APM háromszög derékszög& és va 4 -os szöge (egyel szárú), ezért MP 4 (,7 ) (km). (Mivel MP km,) ezért a hajó legéysége észlelheti a vészjelzéseket. Összese: 7 pot ez az ábrából ez az ábrából 4. a) második megoldás A feladat feltételeit feltütet jó ábra (lásd az els megoldásál). Az SHM háromszögbe tg SHMÚ =, 4 ebbl SHMÚ 33,7. pot MHPÚ 4 33,7 =,3 MH 4 8,8 (km) MP si,3 q, így MP,7 (km). 8,8 (Mivel MP km,) ezért a hajó legéysége észlelheti a vészjelzéseket. Összese: 7 pot Ha ábra élkül is jó a megoldása, akkor is jár ez a pot. írásbeli vizsga 7 / 8 0. október.
4. a) harmadik megoldás A feladat feltételeit feltütet jó ábra egy koordiáta-redszerbe. A koordiáta-redszer origója legye az S sziget, vízszites tegelye a Ny-K-i, függleges tegelye az D-É-i iráy, egy egység legye km. A hajó útjáak, tehát a HA egyeesek az egyelete: y = 4. A segélykér jelzés egy (; 0) középpotú, egység sugarú körbe észlelhet. E kör egyelete: ( ) + y = 3. A kör egyeletébe behelyettesítve az egyees egyeletébl yert y-t: ( ) + ( 4) = 3, azaz 40 + 398 = 0. Eek a másodfokú egyeletek a diszkrimiása pozitív (+8), ezért a kör és az egyees metszi egymást. Ez azt jeleti, hogy a hajó legéysége észlelheti a vészjelzéseket. pot Ha ábra élkül is jó a megoldása, akkor is jár ez a pot. A pot és egyees távolságáak képlete alapjá a (; 0) pot távolsága az y 4 = 0 egyelet& egyeestl: Összese: 7 pot d 0 4. 4 írásbeli vizsga 8 / 8 0. október.. c) Ha a versey kezdetétl eltelt egész órák száma, akkor eyi id alatt a magyar autó által (akkumulátorcsere élkül) megtett út a mértai sorozat els tagjáak összege: 4 (0,9 ) S. 0,9 Megoldadó (a pozitív egész számok halmazá) a 4 (0,9 ) *! 00 egyeltleség. 0,9 Redezve a 0,9 0, egyeltleséghez jutuk. * Eek ics megoldása (mert mide 0,9! 0 ), N eseté tehát a világrekordot em dötheti meg a magyar autó. * * Összese: pot Megjegyzés: Ha a vizsgázó egyeltleség helyett egyeletet old meg, de em idokolja, hogy az egyelet megoldásából hogya következik az egyeltleség megoldása, akkor legfeljebb 4 potot kaphat. A *-gal jelölt 4 potot a következ godolatmeetért is megkaphatja a vizsgázó: 4 (0,9 ) ½ Az { S } ¾ sorozat szigorúa 0,9 mooto öveked, 4 a határértéke 000 0,04, pot tehát a világrekordot em dötheti meg a magyar autó. írásbeli vizsga 3 / 8 0. október.
. a) Az egy óra alatt megtett úthosszak (km-be mérve) egy olya mértai sorozat egymást követ tagjai, amelyek els tagja 4, háyadosa pedig 0,9. 9 9 a 0 a q 40, 9 ( 9,733) A magyar autó 0. órába megtett útja (egész km-re kerekítve) 30 km. Összese: 4 pot Ezek a potok akkor is járak, ha ez a godolat csak a megoldásból derül ki.. b) Addig em érdemes akkumulátort cseréli, amíg 4 0,9 t 0 teljesül ( N és! ). Mivel a tízes alapú logaritmusfüggvéy szigorúa mooto öveked, ezért: 0 4 ( )lg0,9 t lg. lg 0,9 0 miatt ebbl adódik, hogy 0 lg d 4 8,. lg0,9 (A 8. órába még teljesül, hogy legalább 0 km-t tesz meg az autó, de a 9. órába már em.) Legkorábba a 9. órába érdemes akkumulátort cseréli. Összese: pot Megjegyzések:. Ha a vizsgázó óráról órára (akár ésszer& kerekítésekkel) jól kiszámolja az autó által megtett utat és ez alapjá jó választ ad, akkor jár a 4, illetve a pot.. Ha a vizsgázó a b) feladatba egyeltleség helyett egyeletet old meg, de em idokolja, hogy az egyelet megoldásából hogya következik az egyeltleség megoldása, akkor legfeljebb 4 potot kaphat (egyelet felírása, jó megoldása pot, jó válasz ). írásbeli vizsga / 8 0. október. 4. b) A feladat feltételeit feltütet jó ábra. A repülgép (R), a sziget (S) és a tegerjáró hajó (T) egy S-él derékszög& háromszög három csúcsába helyezkedik el. Ha ábra élkül is jó a megoldása, akkor is jár ez a pot. (Az ST távolságot kosziusztétellel számolhatjuk ki.) ST 4 0 4 0 cos 4q pot ST 7, (km). RS TS, 7, tg RTSÚ = A depresszió szög agysága megegyezik a TRS derékszög& háromszög RTS szögéek agyságával (váltószögek). A depresszió szög agyságú. a vizsgázó em számítja ki az ST távolságot, de a depresszió szögre helyes számolással jó eredméyt kap. Akár az ábra, akár a szöveg alapjá jár ez a pot. Ha a vizsgázó em a feladat szövegéek megfelele kerekít, akkor a válaszért em kap potot. Összese: 7 pot Megjegyzés: Ha a vizsgázó a depresszió szög pótszögét adja meg válaszkét, akkor erre a részre legfeljebb potot kaphat. írásbeli vizsga 9 / 8 0. október.
II.. a) Az e egyeese kijelölt pot bármelyikét az f egyeese kijelölt 4 pot bármelyikével összekötve megfelel egyeest kapuk. Így a megadott feltételek megfelel egyeesek száma 4 0. Az adott feltételek megfelel háromszög két csúcsa az egyik, harmadik csúcsa a másik egyeese va. * Ha az e egyeese a háromszögek két csúcsa va, akkor ez a két csúcs -féleképpe választható ki, * így az ilye háromszögek száma 0 4 40. * Ha az f egyeese va a háromszög két csúcsa, 4 akkor ezek kiválasztására lehetség va, * így ebbe az esetbe 30 háromszög va. * A megfelel háromszögek száma: * 40 + 30 = 70. Az adott feltételek megfelel égyszögek két csúcsa az e, két csúcsa az f egyeese va. Az e egyeese két potot, az f egyeese két 4 potot külöböz módo lehet kiválasztai. (Mivel bármely két e-beli csúcshoz bármely két f-beli csúcs választható), 4 így a megfelel égyszögek száma: 0. Összese: A *-gal jelölt potot a következ godolatmeetért is megkaphatja a vizsgázó: 9 9 potból 3-at -féleképpe lehet kiválasztai. 3 Nics háromszög, ha midhárom pot egy egyeesrl származik. pot Ez a pot akkor is jár, ha a komplemeterre voatkozó godolatmeet csak a megoldásból derül ki. írásbeli vizsga 0 / 8 0. október. 4 Ezeket, illetve -féleképpe lehet 3 3 kiválasztai. 4 Nics háromszög (=4) esetbe. 3 3 9 4 Így a háromszögek száma: 70 3 3 3.. b) els megoldás Az egyele valószí& szíezések száma: Az e egyeese és az f egyeese is kétféleképpe lehet egyforma szí& az összes megjelölt pot,. 9 pot Nem botható. tehát 4 kedvez szíezés va. 0, 0078 9 7. A kérdezett valószí&ség tehát: Összese: pot 4 Ha a csupa kék, illetve csupa piros pot eseteket em tekiti, azaz két kedvez esettel számol, akkor itt csak ot kap.. b) második megoldás Az e egyeese az els pot szíe tetszleges, a másik 4 pot szíéek ezzel megegyezek kell leie, eek valószí&sége mide pot eseté, összese tehát 4. Ugyailye godolatmeet alapjá 3 aak valószí&sége, hogy az f egyeese lev potok azoos szí&ek. (Mivel az e és az f egyees jó szíezése egymástól függetle eseméyek,) a keresett valószí&ség az elz két érték szorzata, tehát ( 0,0078 ) 7. Összese: pot írásbeli vizsga / 8 0. október.