Optika gyakorlat. Geometriai optika: planparalel lemez, prizma, hullámvezető. példa: Fényterjedés planparalel lemezen keresztül A plánparalel lemezen történő fényterjedés hatására a fénysugár újta távolsággal eltolódik az eredetivel párhuzamos irányban. Állapítsunk meg egy összefüggést a,, n t és Θ paraméterek között. (Paraxiális közelítésben is adjuk meg a végeredményt.). ábra. Fénytörés planparelel lemezen Megoldás: Tekintsük a AEC és BF C hasonló háromszögeket, ahol megfelelő oldalak közötti arány: F C EC = t (tan θ tan θ ) = tan θ t tan θ tan θ = = d(bf ) = t ( tan θ tan θ ) Paraxiális közelítésben, kis szögeket feltételevze és a törési törvényt felhasználva ( sin Θ = n sin Θ ): ( = t sin θ ) ( = t n ) = t n sin θ n n. példa: Fénytörés prizmán - paraxiális közelítésben Határozzuk meg, hogy egy törésmutatójú közegben elhelyezett n törésmutatójú α nyílásszögű prizma elhajlásának δ szöge hogyan függ a törésmutatóktól a nyílásszögtől és a beesési szögtől. Megoldás: Használjuk az ábrán feltüntetett jelöléseket, miszerint a prizmába való belépés beesési szöge Θ, törési szöge Θ, és a prizmából történő kilépés beesési szöge Θ 3, törési szögeθ 4. Ezzel a jelölésrendszerrel a prizmába való belépésre a Snellius-Descartes törvény a következőképpen írható: sinθ = n sinθ A prizmából való kilépésre pedig: n sinθ 3 = sinθ 4
. ábra. Fénytörés prizmán A prizmából a fényút által levágott felső háromszög szögeire a következő összefüggés írható fel, a 90 0 -ra kiegészítő szögek segítségével: Az egyenletet átrendezve kapjuk, hogy 80 0 = α + (90 0 Θ ) + (90 0 Θ 3 ) α = Θ + Θ 3 Továbbá a δ szög felírható, mint a beeső fényút egyenese,a megtört fényút és a kilépő fényút egyenese által alkotott háromszög külső szöge. Mivel a háromszög külső szögének nagysága megegyezik a két nem mellette fekvő szög összegével, ezért: Felhasználva, hogy α = Θ + Θ 3 kapjuk: δ = (Θ Θ ) + (Θ 4 ) Θ 3 ) δ = Θ + Θ 4 α Tehát, ahhoz hogy meghatározzuk az elhajlás δ szögét a Θ 4 törési szöget kell meghatároznunk. A továbbiakban alkalmazzunk paraxiális közelítést a számításaink elvégzésére. Tehát tegyük fel, hogy a prizma α nyílásszöge kellően kicsi, az ilyen prizmákat ékeknek nevezzük, illetve, hogy a beesési és törési Θ szögek is kellően kicsik. Ebben az esetben írható: sinθ tgθ Θ Ekkor a belépésre és kilépésre felírható törési törvény a következő formára egyszerűsödik. Θ = n Θ Ezt felhasználva Θ 4 meghatározására: n Θ 3 = Θ 4 Θ 4 = n Θ 3 Θ 4 = n (α Θ )
Θ 4 = n (α n Θ ) A Θ 4 -re kapott kifejezést visszahelyettesítve δ egyenletébe: δ = Θ + Θ 4 α δ = Θ + n (α n Θ ) α δ = n α Tehát paraxiális közelítésben az éken való elhajlás szöge δ = n α. 3. példa: Nyalábtágító prizma Határozzuk meg, hogy egy törésmutatójú közegben elhelyezett n törésmutatójú α nyílásszögű derékszögű prizma milyen mértékben tágítja azt a nyalábot, amely csak belépéskor törik meg. 3. ábra. Nyalábtágító prizma Megoldás: A Snellius-Descartes törvény szerint: sinθ = n sinθ Ugyanakkor a hasonló derékszögű háromszögek megfelelő szögei azonosak, ezért Θ = α, amit visszahelyettesítve sinθ = n sinα sinθ = n sinα A derékszögű háromszögek segítségével két egyenlőség is felírható az x szakasz hosszára. illetve x = x = d cosα Korábban meghatároztuk sinθ értékét, melyből d sin(90 0 Θ ) = d cosθ cosθ = sin Θ = n n sin α 3
Az x szakasz hosszára felírt két kifejezést egyenlővé téve, valamint behelyettesítve cosθ kifejezését kapjuk: Tehát a prizma d = x = d cosα = d cosθ = d n n sin α d cosα = d n n sin α d cosα n n sin α = d n n sinα n tágítja a nyalábot. n sinα-szeresére Alkalmazás: Anamorphic prism beam expander. n n sinα n n sinα > d 4. ábra. Nyalábtágító prizma pár 4. példa: Hullámvezető numerikus apertúrája Határozzuk meg egy törésmutatójú maggal és n < törésmutatójú köpennyel rendelkező egyenes hullámvezető numerikus apertúráját. 5. ábra. Hullámvezető Megoldás: A hullámvezetőbe lapos szögben becsatolt fénysugár terjedése során teljes visszaverődéseket szenved el a határfelületeken, ezáltal közel veszteségek nélkül tud a fény nagy távolságra eljutni (ld. optikai szál a távközlésben). A szál numerikus apertúrája definíció szerint a szál magjába kívülről becsatolt fénysugár optikai tengellyel bezárt szögének maximuma, amely szöggel rendelkező fénysugarat a szál még képes elvezetni, szorozva a közeg (általában levegő) törésmutatójával NA = n 0 sin Θ 0 4
. A szálban a maximális terjedési szöget a teljes visszaverődés határszöge határozza meg: Θ > sin n sin Θ = sin(90 Θ ) = cos Θ = sin Θ < = NA = n 0 sin Θ 0 = sin Θ = ( n ( ) n ) = n n Példa: =.65 és n =.46 esetén a NA = 0.77, ami Θ 0 50 -nak felel meg (nagy!). 5. példa: Meghajlított optikai szál Az ábrán látható levegőben (n 0 = ) elhelyezett optikai szál üvegből készült, törésmutatója n =, 63, átmérője d = 0, 060 mm. Adjuk meg annak az R sugárnak a legkisebb értékét, mellyel a szálat még el lehet hajlítani, úgy, hogy a fonal tengelyével párhuzamosan beeső és a szál egész keresztmetszeti területén eloszló sugarakra még mindig fennálljon a teljes visszaverődés feltétele. 6. ábra. R görbületi sugárral meghajlított optikai szál Megoldás: Először azok a fénysugarak léphetnek ki az optikai szálból, amelyek a belépő felülettől a legtávolabb érik el a szál külső felületét. Az ábráról látható, hogy a legnagyobb szögben az üvegszál tetejéről belépő fénysugár éri el a szál külső felületét, ezért elég azzal foglalkozni. 7. ábra. Az optikai szálból először kilépő fénysugár 5
Az függőleges sugárra a következő egyenlőség írható: R = R sinα + d Az üvegben történő teljes visszaverődés határszöge: Ezt behelyettesítve az egyenlet átalakítható: sinα = n R = R n + d Behelyettesítve a megadott számértékeket: R ( n ) = d R = d n n R = d n = 0, 55 n Tehát a legkisebb görbületi sugár melyre meghajlítható az optikai szál R = 0, 55 mm. 6