1 A Lenz - vektorról Ha jól emlékszem, először [ 1 ] - ben találkoztam a címbeli fogalommal 1. ábra. 1. ábra forrása: [ 1 ] Ez nem régen történt. Meglepett, hogy eddig ez kimaradt. Annál is inkább, mert több kiváló magyar elméleti fizikai / mechanikai tankönyvben sem esik róla szó. Szóval, ez nem a véletlen műve. Úgy tűnik, ideje pótolni e hiányt. Alább erről lesz szó. A leginkább valószínű oka az említett kimaradásnak, hogy a Lenz - vektor alkalmazása egy alternatív levezetést tesz lehetővé a Coulomb - féle erőtérben mozgó részecske mozgásával kapcsolatban, így ugyanazok az eredmények a Lenz - vektor bevezetése nél - kül is előállíthatók. Meglehet, e témakör tananyagba való beemelése már az újabb idők eredménye. ( Ennek némiképpen ellentmondhat [ 1 ] kiadási évszáma; igaz, ez orosz tan - könyv. ) A továbbiakban főleg [ 2 ] - ből dolgozunk. Az impulzus / mozgásmennyiség - vektor kifejezése: itt m a mozgó tömegpont / részecske tömege, v pedig a sebességvektora. A Newton - féle mozgástörvény alakja: ( 1 ) ( 2 )
2 A centrális erőtérbeli erőtörvény: ( 3 ) Itt r az alkalmazott koordináta - rendszer kezdőpontjából a pálya egy tetszőleges P pont - jához húzott helyvektor, míg r ennek a nagysága, valamint k = állandó. Az alkalmazott k. r. kezdőpontja a szokások szerint a kúpszelet alakú pálya ( egyik ) fókuszpontja. Az L impulzusmomentum - vektor kifejezése, ( 1 ) - gyel is: ( 4 ) Felhasználva, hogy ( 5 ) ( 4 ) és ( 5 ) - tel: Most képezzük a ( 6 ) vektorszorzatot! Ehhez először ( 2 ) és ( 3 ) egyenlővé tételével: ( 7 ) Majd ( 6 ) és ( 7 ) - tel is: Ezután felhasználjuk [ 3 ], hogy ( 8 ) ( 9 ) elvégezve az ( 10 ) helyettesítéseket, ( 9 ) és ( 10 ) - zel: ( 11 ) most ( 8 ) és ( 11 ) - gyel: ( 12 ) Ezután egy segédszámítással:
3 tehát: ( 13 ) Most ( 12 ) és ( 13 ) - mal: ( 14 ) Ismét egy segédszámítással:, ( 15 ) tehát ( 14 ) és ( 15 ) - tel: ( 16 ) Ámde ( 3 ) és ( 16 ) - tal: ( 17 ) Továbbá: ( 18 ) ámde centrális erőtér esetén mivel L = konst. : ( 19 ) így ( 18 ) és ( 19 ) szerint: ( 20 ) Most ( 17 ) és ( 20 ) - szal: innen: ( 21 ) Most definiáljuk az A Lenz - vektort: ( 22 )
4 így ( 21 ) és ( 22 ) - vel: ( 23 ) Ezek szerint a Lenz - vektor is megmaradó mennyiség a Kepler - probléma esetében. Ezt szemlélteti a 2. ábra az ellipszis alakú pálya három jellegzetes pontjában.. 2. ábra forrása: [ 2 ] Itt az L vektor az ábra síkjára merőlegesen kifelé mutat; a p vektor érintő irányú, a p x L vektor pedig a pályagörbe normálisával egyirányú. Megjegyzések: M1. A Lenz - vektort [ 2 ] - ben Laplace ~ Runge ~ Lenz - vektornak is nevezik. Érdekes, hogy [ 1 ] - ben nem nevezik meg. M2. Az 1. ábra első képletsorában található képletben a második tag pozitív előjelű, eltérően a ( 21 ) képlettől. Ennek az az oka, hogy az ott szereplő α mennyiség negatív a Newton ~ Coulomb - törvény szerinti vonzóerő esetén [ 1 ]. M3. A ( 19 ) állítás belátásához tekintsük az alábbiakat! Az impulzusmomentum idő szerinti deriváltja:
5 ( 19 ) Itt felhasználtuk, hogy párhuzamos vektorok vektoriális szorzata zérusvektor. Látjuk, hogy ( 19 ) bármilyen erőtörvényű centrális erőtér esetén fennáll; erre utal az f( r ) jelölés is. M4. A 2. ábrán az mk jelölés kissé zavaró lehet; célszerűbb lett volna kiírni a ( 22 ) képlet teljes 2. tagját. M5. A 2. ábra készítésénél a ( 22 ) - ből adódó ( 22 / 1 ) összefüggést használhatták az ábrázoláshoz. M6. A Lenz - vektor nagyságára, illetve annak négyzetére ( 22 ) - ből: ( 24 ) figyelembe véve, hogy ( 25 ) így ( 24 ) és ( 25 ) - tel: tehát: ( 26 ) ahol a rendszer teljes energiája: ( 27 )
6 valamint ( 28 ) ahol ~ γ: a gravitációs állandó, ~ m: a Kepler - mozgást végző pont / bolygó tömege, ~ M: a Nap tömege. M7. A Kepler - pálya egyenletének levezetése így történik [ 1, 2 ] : ( 22 ) és ( 25 ) - tel is egyfelől: ( 29 ) másfelől: ( 30 ) ahol ϑ az A és r vektorok által bezárt szög. Most ( 29 ) és ( 30 ) - cal: innen: tehát: ( 31 ) minthogy a kúpszeletek egyenlete itt [ 3 ] : ( 32 ) alakú, ahol: ( 33 ) a kúpszelet numerikus excentricitása. ( 32 ) és ( 33 ) egybevetésével: ( 34 ) M8. A kúpszeletek polárkoordinátás egyenlete többféle alakban is megtalálható a szakirodalomban; pl.: ( 35 )
7 Ennek tisztázásához tekintsük a 3. ábrát is! y F 1 F 2 O x 3. ábra forrása: [ 4 ] Itt az ellipszis polárkoordinátás egyenlete, ha a polártengely az ellipszis nagytengelye: tehát: ( 36 ) Még azt kell tisztázni, hogy hol van ekkor a pólus. Ehhez helyettesítsünk - t a ( 36 ) egyenletbe! Ekkor:, ( 36 / 1 ) vagyis ekkor a pólus F 1 - ben van. Hasonlóan: ha az egyenlet ( 37 ) alakú, akkor helyettesítésével:, ( 37 / 1 ) vagyis ekkor a pólus F 2 - ben található. Az l szakasz neve: semi - latus rectum, melynek hossza az ellipszis ( 38 )
8 kanonikus egyenletéből x = c, y = l helyettesítésével: innen: ( 39 ) a 3. ábrával egyezésben. Ezt a megjegyzést azért tettük ide, mert [ 2 ] - ben a ( 37 ), [ 5 ] - ben a ( 36 ) alakú kúp - szelet ~ egyenlettel találkozunk. Ehhez ld. a 2. ábrát is! Itt az a helyzet, mintha a 3. ábrát az ellipszis O centrumán átmenő, a rajz síkjára merőleges tengely körül az óra járásával ellentétesen 180 - kal elforgattuk volna. Ekkor ugyanis az A és r vektorok által bezárt ϑ szöget az A vektortól az óra járásával ellentétes értelemben forogva pozitívnak számítva, a 2. ábra jelölésével ( 37 / 1 ) szerint: ( 37 / 2 ) Látjuk, hogy erősen figyelni kell a polárkoordinátás egyenlet - alak használatakor. Minthogy a k. r. - t is átfordítottuk O körül 180 - kal, így most is igaz ha tetszik, hogy a pólus F 2 - ben található. M9. Eddig 3 megmaradó mennyiséget említettünk a Kepler - probléma kapcsán; ezek: ~ az L impulzusmomentum - vektor, ~ az A Lenz - vektor, ~ az E össz - energia. Ahogyan azt a ( 26 ) egyenlet is mutatja, e 3 mennyiség nem független egymástól. M10. A 2. ábra szerint a Lenz - vektor a pálya síkjában fekszik. Ez így látható be. Képezzük az L és A vektorok skaláris szorzatát! Ekkor ( 22 ) - ből, ( 4 ) - gyel is: tehát: vagyis a pálya síkjára merőleges L vektorra merőleges az A vektor, azaz A a pálya síkjában fekszik. ( 40 ) M11. A 2. ábráról az is leolvasható, hogy az A vektor az erőcentrumtól a pálya legköze - lebbi pontja felé mutat. Ez következik abból, hogy r és A egyirányú, ha ϑ = 0, hiszen ϑ a fentiek szerint az A és r vektorok által bezárt szög 4. ábra. Ekkor azonban a pálya ( 32 ) egyenletével:
9 ( 41 ) mert a tört értéke akkor a legkisebb, ha nevezője a lehető legnagyobb, ami itt ϑ = 0 - nál következik be [ 6 ]. Tehát a Lenz - vektor valóban a mondott állású. 4. ábra forrása: [ 6 ] M12. A ( 34 ) képlet szerint a Lenz - vektor nagysága v. ö.: [ 6 ]! a pályagörbe e nu - merikus excentricitásának mk - szorosa. M13. Az 5. ábra is érdekes számunkra. 5. ábra forrása: [ 7 ] Itt is megfigyelhető, amit a ( 36 ) egyenlet kapcsán elmondtunk: ha a pályagörbe képleté - ben az ε numerikus excentricitás előtt negatív előjel van, akkor a bal oldali fókuszban
10 van a k. r. kezdőpontja, vagyis a pólus. Berajzolták az A, p, r vektorokat is. Itt a semi - latus rectumot ξ, a lineáris excentricitást e betűvel jelölték. Az ellipszis egyenletét vektorosan írták fel, ahol e r a rádiusz menti egységvektor. Források: [ 1 ] A. V. Asztahov: Kursz fiziki, Tom I.: Mehanyika. Kinyetyicseszkaja tyeorija matyerii Nauka, Moszkva, 1977., 131 ~ 140. o. [ 2 ] Herbert Goldstein ~ Charles Poole ~ John Safko: Classical Mechanics 3. kiadás, Addison Wesley, New York, 2000., 102 ~ 106. o. [ 3 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 267., 660. o. [ 4 ] https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a4/conic_section_- _standard_forms_of_an_ellipse.png [ 5 ] Budó Ágoston: Mechanika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972., 192. o. [ 6 ] https://de.wikipedia.org/wiki/laplace-runge-lenz-vektor#cite_ref-1 [ 7 ] http://pauli.uni-muenster.de/tp/fileadmin/arbeiten/ammer-ba.pdf Sződliget, 2017. 07. 06. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár