Emlékeztető a komplex változós függvények alkalmazásával kapcsolatban. Bevezetés

1 Emlékeztető a komplex változós függvények alkalmazásával kapcsolatban Bevezetés Előző két dolgozatunkban melyek címe: ~ A kettősbelű fatörzs keresztmetszeti rajzolatáról ( ED 1), ~ Egy elektrosztatikai alapfeladatról ( ED 2 ) kapcsolatba kerültünk a komplex függvénytan néhány alapvető fogalmával és tételével. Most ezekről készítünk egy régebbi hivatali szóhasználattal emlékeztetőt, magunknak és persze az ilyesmik iránt érdeklődőknek. Ha egy fizikai feladat síkproblémaként vizsgálható, akkor az azt jelenti, hogy a vizsgált jelenséget leíró függvények csak két független változó pl. az x, y skaláris változók függ - vényei. Ebben az esetben jó szolgálatot tehetnek a két skalár változót tartalmazó = + ( 1 ) alakú komplex számokkal képzett = =, +, ( 2 ) komplex függvények, ahol = 1 ( 3 ) a képzetes egység. Gyakori alkalmazási területek: Villamosságtan, Folyadékok mechanikája, Hőtan, stb. A fent említett előző dolgozatok elektrosztatikai vonatkozásúak, közvetve ( ED 1 ), illetve közvetlenül ( ED 2 ). Mint kiderült, a komplex változós függvények alkalmazása csak ( ED 1 ) - ben jön szóba, mert ott vélhetőleg párhuzamos vonaltöltések komplex poten - ciáljával kapcsolatban felmerülő függvény felhasználására került sor. Minthogy a mondott elektrosztatikai töltéselrendezés esetében síkproblémáról van szó v.ö.: [ 1 ]!, ezért ott nehéz elkerülni a komplex függvényekkel való, kicsit közelebbről történő megismerkedést. Elég nehéz az erősen matematikai témakör mértéktartó, ám elegendően mély ismertetését jól megoldó forrást találni, magyar nyelven. Talán a legmegfelelőbb lehet erre a célra a [ 2 ] mű. Meg kell említeni, hogy sok jó idegen nyelvű munkát lehet találni az interneten is. Kiemelendő a [ 3 ] és [ 4 ] munka, melynek magyar szerzője messze a mezőny fölé emelke - dik, fejlett pedagógiai vénája okán is. Vagyis nem csak ért a témához, hanem viszonylag könnyen érthetővé is tudja azt tenni. Persze, a matekozást Nála sem lehet megúszni. ( Az interneten megtaláltuk ezeket, ingyen letölthető formában. Érdemes megkeresni.)

2 A komplex potenciál alkalmazásáról A ( 2 ) alakú komplex potenciál függvényét az elektrosztatikában úgy alkalmazzák, hogy annak u(x,y ) valós részét az elektrosztatikus mező skaláris potenciáljának, képzetes részének v(x,y) függvényét pedig az elektrosztatikus mező térerősség - vektora által megha - tározott vonalak az ún. erővonalak leírására használják; v.ö.: [ 1, 2 ]! Az alábbiakban közelebbről is megvizsgáljuk az ED 1 - ben már alkalmazott komplex potenciál függvényét! Ezt a [ 5 ] munkából vettük, de egy ideig nem voltunk biztosak benne, hogy milyen síkproblémához tartozik. Úgy igazoljuk sejtésünket, hogy meghatározzuk az E elektromos térerősség kifejezését A.) közvetlenül, a Coulomb - törvényből; B.) közvetve, a komplex potenciálból. Amennyiben a kétféle úton kapott eredmények megegyeznek, konstatálhatjuk, hogy ( ED 1 ) - ben valóban a gondolt elektrosztatikus tér leírására szolgáló komplex potenciál függvényével volt dolgunk. Jöjjön tehát a vázolt terv kivitelezése! A.) Az egyenes tengelyű, párhuzamos vonaltöltések elektrosztatikus terének leírása, közvetlenül a Coulomb - törvény alkalmazásával Ezt két lépésben végezzük el; először egy vonaltöltés, másodszor két vonaltöltés terét vizsgáljuk. 1. lépés: Egyenes mentén egyenletesen megoszló vonaltöltés erőterének leírása [ 1 ] Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! 1. ábra [ 1 ]

3 Itt azt látjuk, hogy egy L egyenes mentén q lineáris sűrűségű töltés helyezkedik el. Ennek elektrosztatikus tere planparalel, tehát egy az L egyenesre bárhol merőlegesen felvett síkbeli képpel jellemezhető. Legyen ez a sík az ( Oxy ) síkbeli derékszögű koordináta - rendszer síkja. Ennek egy tetszőleges pontját az ( x, y ) koordinátákkal jellemezzük. Az ábrán feltüntették az L egyenes egy M pontjában a qdh nagyságú elemi töltés által létesített elektrosztatikus mező de elemi térerősség - vektorát, melynek nagysága a vektor abszolút értéke az elektrosztatikai Coulomb - törvény szerint: =, ( 4 ) ahol: =, ( 5 ) amelyben ε az anyag permittivitása / dielektromos állandója; továbbá! = " # + # =. ( 6 ) Minthogy az E vektor az S = ( Oxy ) síkban fekszik, ezért annak abszolút értéke egyenlő a de elemi térerősségek S - re való merőleges vetületeinek összegével: = % cos), ( 7 ) ahol a φ szög az S sík és a de vektor közötti szög, az 1. ábra szerinti módon; most ( 4 ) és ( 7 ) - tel:, = % -, cos)h ; ( 8 ) majd figyelembe véve, hogy az 1. ábra szerint h =! tg) h = 123 4 ), ( 9 ) cos # ) =, ( 10 ) így az integrálás határait is az új változónak megfelelően átírva, ( 8 ), ( 9 ) és ( 10 ) - zel: ; = % 5 123 4 cos) - ; 123 4 ) = 6 ; ; 6 % cos)) = 7sin): - ; - ; = # 6, tehát: = # 6. ( 11 )

4 Az E vektor iránya megegyezik az <= >>>>>? vektor irányával, ennek az iránynak az egységvektora pedig <= >>>>>?@ = A, ( 12 ) A így ( 1 ), ( 6 ), ( 11 ) és ( 12 ) - vel: = # 6 A = # 6 A = 2 5 A CD E = 2 5 A A A A tehát a térerősség komplex vektora: = # 6 C C E C E # 6 E +, ( 13 / 1 ) C E = # 6 C C E + # 6 E C E. ( 13 ) Megjegyezzük, hogy ezt a rendes vektoros írásmóddal így írjuk: C F = G C H +G E I = 2 5 C E H+2 5 E C E I, ( 14 ) ahol i és j az x és y tengely menti egységvektorok, E x és E y pedig az E vektor komponensei. A kétféle vektort jelölésével is megkülönböztetjük egymástól. 2. lépés: Egyenes mentén egyenletesen megoszló két vonaltöltés erőterének leírása [ 1 ] Mielőtt ennek nekilátnánk, emlékezzünk vissza a komplex számok összeadási szabályára. Ehhez tekintsük a 2. ábrát is! Erről az alábbiakat olvashatjuk le [ 2 ] : 2. ábra

5 ~ minden z komplex számnak megfelel egy jól meghatározott pont a síkban; ~ a z pontról szólva használhatjuk a z vektor kifejezést is, azt az irányított szakaszt értve rajta, melynek kezdőpontja a koordináta - rendszer kezdőpontja, végpontja pedig a z pont; ~ most adjuk össze a = + és a # = # + # komplex számokat: = + # = + + # + # = + # + + # = + ; ez az eredmény úgy is megfogalmazható, hogy a síkban a z - nek megfelelő vektor a z 1 és a z 2 vektorok paralelogramma - szabály szerint képzett összege; más szavakkal: úgy kapható meg, mint két, egyidejűleg működő erő eredője. Ez azért is fontos, mert ~ az alábbiakban is alkalmazzuk a Statikában megszokott szuperpozíció elvét; ~ a komplex számoknak megfelelő síkbeli vektorok nem igazi vektorok, hiszen például két komplex szám szorzata a vektoralgebra egyik szorzási szabályának sem felel meg v. ö.: [ 6 ]; ~ a következőkben együtt kell élnünk ezzel a kettősséggel, ami néha eléggé zavaró lehet. E kitérő után térjünk vissza a kitűzött feladat megoldásához! Most tekintsük a 3. ábrát! 3. ábra Ez alapján: = J K + L L = J K ; ( 15 ) A ( 15 ) képlet szerint térhetünk át az eredetiről a párhuzamosan eltolt rendszerbeli koordinátákra. Ezt az összefüggést hamarosan alkalmazni fogjuk. Ehhez tekintsük a 4. ábrát is! Itt azt látjuk, hogy az Ox egyenes A és B pontjában rögzítettük a q vonaltöltéseket, melyeket a saját koordináta - rendszerükkel is elláttunk. Most alkalmazzuk ( 13 / 1 ) - et a 4. ábra szerinti esetben!

6 Ekkor ( 15 ) - tel is: = 2 5 A A A M 4. ábra = 2 5 A-A N A M A-A N ( 16 ) A # = 2 5 A-A O A A-A O ( 17 ) Figyelembe véve, hogy a 4. ábra szerinti elrendezés esetén P = Q+ 0, S = +Q+ 0, ( 18 ) a ( 16 ), ( 17 ) és ( 18 ) képletekkel: AT = 2 5 = 2 5 CTD E, ( 19 ) AT CT E # = 2 5 A-T = 2 5 C-TD E. ( 20 ) A-T C-T E Ezután alkalmazzuk a szuperpozíció elvét: = + #. ( 21 ) Most a ( 19 ), ( 20 ) és ( 21 ) képletekkel: CTD E = 2 5 CT E +2 5 C-TD E, vagy ( 5 ) - tel is: C-T E = VW CT C-T E # U CT E+ C-T EX+ W CT E + E C-T E XY. ( 22 )

7 B.) Az egyenes tengelyű, párhuzamos vonaltöltések elektrosztatikus terének leírása a komplex potenciál felhasználásával Az [ 5 ] - ben talált komplex potenciál: Z = # U T^# ln\]a 1_ =, ( 23 ) # U = ln\] A T^# 1_. ( 24 ) Mivel Z = `+ a, ( 23 / 1 ) és = +, ( 24 / 1 ) ezért Z = = + = ] # U^ + W] = `+ a, # U # U # U^ X innen: ` =, ( 25 ) # U a =. ( 26 ) # U Most térjünk rá a komplex térerősség - vektornak a komplex potenciálból történő meghatá - rozására! [ 1 ] szerint is: = b!q` = ] cd cd + cc ce^ = cd cd. ( 27 ) cc ce Szavakkal: a térerősség komplex vektora a W komplex potenciál U valós részének a negatív gradiensével egyenlő. U a skaláris potenciál. Most ( 25 ) és ( 27 ) szerint: = cd cc cd ce = ] # U cc^ ] # U ce^ = # U ] cc + ce^, tehát: = # U ] + cc ce^. ( 28 ) Most állítsuk elő a ( 23 / 1 ) szerinti képlet - alak kifejtett változatát! ( 24 ) és ( 24 / 1 ) - gyel: = ln\] A T^# 1_ = +, innen az Euler - féle összefüggéssel is: ] A T^# 1 = f ed g = f e f D g = f e cos+ sin = f e cos+ f e sin,

8 tehát: ] A T^# 1 = f e cos+ f e sin. ( 29 ) Most ( 29 ) bal oldalát alakítjuk át, ( 1 ) - ből kiindulva, ( 3 ) - mal is: = + # = + # = # +2 + # = # # +2, tehát: # = # # +2 ; ( 30 ) innen: ] A T^# 1 = C -E T majd ( 29 ) és ( 31 ) egybevetésével: C -E 1+ # C E T ; ( 31 ) T 1 = f e cos, ( 32 ) # C E = f e sin. T ( 33 ) Utóbbi két egyenlet négyzetre emelésével és összeadásával: ] C -E 1^# + ] # C E ^# = f # e cos # +sin # = f # e, tehát: T T ] C -E T innen: 1^# + ] # C E T ^# = f # e ; ( 34 ), = -E 1^# # ln\]c T + ] # C E T ^# _ ; ( 35 ) majd ( 25 ) és ( 35 ) szerint: `, = -E 1^# U ln\]c + ] # C E ^# _. ( 36 ) T T Ez a skaláris potenciál függvénye az adott síkproblémára. Most nézzük meg az erőfüggvényt! ( 33 ) és ( 32 ) osztásával: h i j = tg, h ki l m 123g j - = lm 3nog

9 innen: tg = tehát: h i j h ki j - = arctg # C E h i j h ki j - = arctg # C E, C -E -T, = arctg ; ( 37 ) C -E -T majd ( 26 ) és ( 37 ) - tel: a, = # U arctg # C E C -E -T. ( 38 ) Ez az erőfüggvény az adott síkproblémára. Néha U - t és V - t felcserélik v.ö.:[ 1 ]. Most térjünk vissza a ( 28 ) képlethez! Határozzuk meg a benne szereplő parciális deriváltakat! ( 35 ) - tel is: = c -E 1^# cc cc # ln\]c + ] # C E ^# _ = c -E 1^# T T # cc ln\]c + ] # C E ^# _ = T T = # rhki j -s h j # ] h i j ^ i j # r h ki j -s ] h i j ^ = = # C C E -T C -E -T # C E, tehát: h ki kj j r h ki kj j s h j h i j i j # C # EC-E-T = = ] h i C j ^ -E -T # C E = 2 C E -T. ( 39 ) cc C -E -T # C E Teljesen hasonlóan: = c -E 1^# ce ce # ln\]c + ] # C E ^# _ = c -E 1^# T T # ce ln\]c + ] # C E ^# _ = T T = # rhki j -s k i j # ] h i j ^ h j # r h ki j -s ] h i j ^ = = # E C E T C -E -T # C E, tehát: h ki kj j r h ki kj j s k i j h i j h j # E # C-CET = = ] h i C j ^ -E -T # C E = 2 C E T. ( 40 ) ce C -E -T # C E

10 Most ( 28 ), ( 39 ) és ( 40 ) szerint: = U ] C E -T C -E -T # C E + C E T C -E -T # C E ^. ( 41 ) A feladat: az = VW CT C-T E # U CT E+ C-T EX+ W és az = # U ]2 C E -T C -E -T # C E CT E + E C-T E + 2 C E T C -E -T # C E XY ( 22 ) ^ ( 41 ) képletek egyenlőségének belátása. Ez az utóbbi képletek összehasonlításából láthatóan az CT C-T + C-T E =? C 2 E -T ( 42 ) C -E -T # C E CT E és az E CT E + E C-T E =? 2 egyenlőségek teljesülésének igazolását kívánja meg. A ( 42 ) egyenlet bal oldalának átalakítása így megy: C E T C -E -T # C E ( 43 ) u42 = CT C-T CT E+ = CT 7C-T E :C-T 7CT E : = w ; ( 44 / 1 ) C-T E 7CT E : 7C-T E : x y = 7+Q # + # : 7 Q # + # : = = +Q # Q # ++Q # # + # Q # + = = 7+Q Q: # + # 7+Q # + Q # :+ = = # Q # # + # # +2 Q +Q # + # 2 Q +Q # + = = # Q # # + # 2 # +2 Q # + = # Q # # +2 # # +Q # +, tehát: y = # Q # # +2 # # +Q # +. ( 44 / 2 ) Folytatva: z = +Q 7 Q # + # :+ Q 7+Q # + # : = = +Q Q # ++Q # + Q # + Q +Q # =

11 = +Q Q 7 Q++Q:+ # 7+Q+ Q: = 7 Q++Q: 7+Q Q+ # : = 2 # + # Q #, tehát: z = 2 # + # Q #. ( 44 / 3 ) Majd a ( 44 / 1 ), ( 44 / 2 ), ( 44 / 3 ) képletekkel: u42 = # C C E -T C -T # E C T E {. ( 45 ) Most hasonlítsuk össze a ( 42 ) és ( 45 ) képleteket! # C C E -T C -T # E C T E { = 2 C E -T C -E -T # C E ; ( 46 ) itt a számlálók már egyeznek, így már csak a nevezők egyenlőségét kell belátni: # # Q # # +2 # = 7 # Q # # : # +2 # = = # Q # # 2 # # Q # + +2 # = # Q # # 2 # # +2 # Q # +4 # # = = # Q # # +2 # # +2 # Q # = # Q # # +2 # # +Q #, tehát: # # Q # # +2 # = # Q # # +2 # # +Q #, vagyis ( 46 ) nevezői is egyenlők. Ezzel ( 42 ) fennállását beláttuk. Most áttérünk a ( 43 ) egyenlet érvényességének belátására. A ( 43 ) egyenlet bal oldalának átalakítása így megy: u43 = = = tehát E CT E + E C-T E = W CT E + C-T E X = C-T E CT E = C -# T CT C # T CT 7CT E : 7C-T E : # E = 7CT E : 7C-T E : # E #C #T 7CT E : 7C-T E : = 2 u43 = 2 C E T 7CT E : 7C-T E :, C E T 7CT E : 7C-T E : ; ( 47 ) A ( 43 ) és ( 47 ) képletek összehasonlításából látható, hogy ( 43 ) is fennáll.

12 Ezzel beláttuk, hogy a ( 22 ) és a ( 41 ) szerinti térerősségek megegyeznek, vagyis a ( 23 ) szerinti komplex potenciál működik: valós része valóban a vizsgált mező skaláris potenciálja. Most kiszámítjuk a térerősség nagyságát. A ( 28 ) képletből: = # U } + } = ~] +] cc ce # U cc^# ; ( 48 ) ce^# majd ( 39 ), ( 40 ) és ( 48 ) - cal: ] cc^# +] ce^# = W2 = C C E -T E C E T 7C -E -T # C E : ezzel C E -T C -E -T # C E X# +W2 C E T C -E -T # C E X# = = 4 C C E -T E C E T 7C -E -T # C E :, = C E -T E C E T # U ~4 C = "C C E -T E C E T, 7C -E -T # C E : U C -E -T # C E tehát a térerősség nagysága a sík egy tetszőleges P( x, y ) pontjában: = U "C C E -T E C E T C -E -T # C E. ( 49 ) A továbbiakban megnézzük, hogy mit tudunk még mondani függvényeinkről, főleg az U és V függvények egymáshoz való viszonyáról. Ehhez foglalkoznunk kell egy keveset a komplex változós függvények analízisével. Ezt főleg [ 2 ] szerint tesszük. I. A Cauchy ~ Riemann - feltételek felírása 1.) Értelmezés: Az f(z) komplex függvényt, amelynek létezik az L = deriváltja, analitikus függvény - nek nevezik. 2.) A komplex változós függvény deriváltjának meghatározása a.) A = + komplex szám növekménye: = +, ha x és y egyidejűleg változik; =, ha csak x változik; =, ha csak y változik. A

13 b.) Ha létezik az L derivált, ez azt jelenti, hogy z akárhogyan is változzon, f megfelelő megváltozása / változási sebessége ugyanaz a érték marad. c.) Írjuk fel a komplex függvényt a ( 2 ) szerinti alakban: =, +, ( 2 ) Tegyük fel, hogy csak x értéke változik; ekkor =, és ( 2 ) - vel: } 1 = A h C = c = C cc cc A + cg cc ; ( 50 ) Ha viszont csak y értéke változik, akkor =, ezért ( 2 ) - vel: } 2 = i E = c = A D E D ce D ] ce + cg = ce # ce = cg ce ce, ce^ = D D ] ce cg + ce^ = ] cg + ce ce^ = tehát: } 2 = cg. ( 51 ) A ce ce Mivel b.) szerint kell, hogy } 1 = } 2, ( 52 ) A A ezért ( 50 ), ( 51 ) és ( 52 ) miatt: cc + cg = cg. ( 53 ) cc ce ce Mivel két komplex szám egyenlő, ha külön - külön teljesül a valós és a képzetes részek egyenlősége, így ( 53 ) - ból: = cg cc ce é cg cc = ce. ( 54 ) Az ( 54 ) egyenleteket Cauchy ~ Riemann - feltételeknek ( C. ~ R. - f. ) nevezik az irodalomban. Eszerint az analitikus függvényekre mindig fennállnak az ( 54 ) egyenletek, melyek azt mondják ki, hogy a derivált függvény valós és képzetes része meghatározott kapcsolatban áll egymással.

14 d.) Példák Nézzünk meg két komplex függvényt, hogy náluk teljesülnek - e a ( C. ~ R. - f. ) - ek! P1.: = # = + # = # # + 2, = # #, = 2 ; = 2, cg = 2, = cg = 2 ; cc ce cc ce cg = 2, = 2 = 2, cg = cc ce cc = 2. ce Látjuk, hogy erre az f(z) függvényre teljesülnek a ( C. ~ R. - f. ) - ek, tehát ez a függvény analitikus. P2.: = = = + ; =, = ; = 1, cg = 1, cg cc ce cc ; ce cg = 0, cc = 0 cg = ce cc = 0. ce Erre az f(z) függvényre a ( C. ~ R. - f. ) - ek mindegyike nem teljesül, tehát ez a függvény nem analitikus. Vagyis nem gondolhatjuk azt, hogy a komplex függvények mind analitikusak! II. A harmonikus függvényekről Most deriváljuk ( 54 ) első egyenletét x szerint, a másodikat y szerint! Ekkor: = cg c e = c g ; cc ce cc ccce cg cc = ce c g cecc = c e ce ; mivel c g ccce = c g cecc,

15 ezért c e = e cc c, ce innen pedig: c e + c e = 0. ( L1 ) cc ce Majd deriváljuk ( 54 ) első egyenletét y szerint, a másodikat x szerint! Ekkor: = cg c e = c g, cc ce cecc ce cg cc = ce c g cc = c e ccce ; mivel c e = c e, cecc ccce ezért c g = c g, ce cc innen pedig: c g g = 0. ( L2 ) cc +c ce Az ( L1 ), ( L2 ) egyenleteket Lapla - egyenletnek nevezik. Különböző =, +, függvényekből kiindulva a Lapla - egyenletnek különböző megoldásai állnak elő. Az így előállítható függvényeket harmonikus függvényeknek nevezzük. Levonható az a következtetés, hogy az analitikus függvények u valós és v képzetes részei nem lehetnek akármilyenek: ~ ki kell elégíteniük a Cauchy ~ Riemann - feltételeket, ~ harmonikusoknak kell lenniük. Az ilyen ( u, v ) pár neve: konjugált harmonikus függvények. A Lapla - egyenletnek igen nagy jelentősége van a matematikai fizikában. Például esetünkben, az xy síkra merőlegesen elhelyezett két töltött egyenes vezető által keltett elektrosztatikai potenciál a két vezető közötti térben csak x - től és y - tól függ, és kielégíti az ( L1 ) egyenletet.

16 A sík azon ( a, 0 ) és ( +a, 0 ) pontjaiban, ahol a vezetők áthaladnak / döfik az xy síkot, a potenciálfüggvény nem elégíti ki a Lapla - egyenletet. Speciálisan egy olyan pontban, ahol egy végtelenül kicsi átmérőjű vezető döfi a síkot, a potenciálnak szingularitása van ( végtelenné válik). Ezért a fenti kijelentés úgy módosítandó, hogy a potenciál harmonikus függvénnyel írható fel a sík azon részében, ahol nincs töltés. III. U és V geometriai kapcsolata Ezt az alcímet ( 25 ) és ( 26 ) miatt úgy is átfogalmazhatjuk, hogy u és v geometriai kapcso - lata. Most szerkesszük meg az, = @ = ˆ ( a ) görbét! Ekkor = 0 ( b ) miatt: = + = 0, ( c ) cc ce ezért a görbe x tengelyre vonatkozó hajlásszögének tangense: tg = E m } = h. ( d ) C eš6 Œ Ž m i Majd szerkesszük meg a, = @ = ˆ ( e ) görbét! Ekkor = 0 ( f ) miatt: = cg cc +cg ce = 0, ( g ) ezért e görbe x tengelyre vonatkozó hajlásszögének tangense: tg # = E } = h. ( h ) C gš6 Œ Ž i Ámde a ( C. ~ R. - f. ) - ek miatt

17 = cg, cg = cc ce cc ce ( i ) ezért ( d ), ( h ) és ( i ) - vel: tg # = E C } gš6 Œ Ž = h i = m i m h = =, ( j ) - M M így az, = @ = ˆ és a, = @ = ˆ görbékhez a P(x, y ) pontban húzott érintők merőlegesek egymásra. Ugyanis ha # = ±90, akkor az ismert trigonometriai azonosság szerint tg # = tg ±90 = M± @ šm = œ ± M M @ œ M = ± M = M, vagyis ( j ) tényleg az u 0 és v 0 vonalak merőlegességét fejezi ki. A ( 25 ) és ( 26 ) képletek miatt pedig az U 0 és a V 0 vonalak merőlegességét is jelenti. Ha tehát U az elektrosztatikai tér skalár potenciálja, akkor az U( x, y ) = konst görbék olyan vonalak, melyek mentén a potenciál értéke állandó. Ezek az úgynevezett ekvipotenciális vonalak. Ekkor a V( x, y ) = konst görbék az elektrosztatikus tér E térerősség - vektora által meghatározott vonalak, az úgynevezett erővonalak. Az E vektor bármely P( x, y ) pontban az erővonal érintőjébe esik. Bármely pontban az erővonal a ponton áthaladó U( x, y ) = konst görbe normálisának irányában halad 5. ábra. 5. ábra

18 IV. A térerősség másik úton való meghatározása [ 10 ] Az előzőek alapján a térerősség nagyságára nézve írhatjuk, hogy G = G C + G E = "G C # +G E # = ~] cd cc^# +] cd ce^# = # U ~] cc^# +] ce^# ; ( 55 ) majd ( 54 / 2 ) - ből: ce = cg cc, ( 56 ) így ( 55 ) és ( 56 ) - tal: G = # U ~] cc^# +] cg cc^# = # U } cc + cg cc } = # U } A } 1} = # U L, ; azaz: G = # U L. ( 57 ) Alkalmazzuk ( 57 ) - et ( 24 ) - re! = ln\] A T^# 1_. ( 24 ) L = ] ž j^- 2 A T T = # T ž j ] ž j^- ; ( 58 ) most ( 31 ) és ( 58 ) - cal: L = 2 CD E C -E -T D # C E = 2 CD E 7C -E -T -D # C E: 7C -E -T D # C E: 7C -E -T -D # C E: z L = + 7 # # Q # 2 : = = # # Q # 2 # + # # Q # # 2 # = = # # Q # +2 # + # # Q # 2 # = = # # Q # +2 # + # # Q # = = # # Q # +2 # # + # +Q # = = # + # Q # # + # +Q #, = 2 wl xl ; ( 59 ) tehát: z L = # + # Q # # + # +Q #. ( 60 ) folytatva:

19 y L = 7 # # Q # + 2 : 7 # # Q # 2 : = = # # Q # # 2 # = # # Q # # +2 #, tehát: y L = # # Q # # +2 #. ( 61 ) Most ( 59 ), ( 60 ), ( 61 ) - gyel: L = 2 C C E -T -D E C E T C -E -T # C E, ebből: L = 2 "C C E -T E C E T C -E -T # C E. ( 62 ) Majd ( 57 ) és ( 62 ) - vel: G = U "C C E -T E C E T C -E -T # C E. ( 63 ) Ezután örömmel konstatáljuk, hogy ( 49 ) és ( 63 ) megegyeznek, vagyis a térerősség abszolút értékét egy rövidebb úton is meghatározhatjuk, hála az újabb / mélyebb komplex függvénytani ismereteknek, azaz pl. ( 54 / 2 ) - nek is. V. A merőlegesség más úton való kimutatása [ 7 ], [ 8 ] Induljunk ki ( 54 ) - ből! Ekkor: = cg cc ce, cg cc = ce ; ( 54 ) szorozzuk össze ( 54 / 1) és ( 54 / 2 ) megfelelő oldalait! Ekkor: = cg cc cc ce ] ce^, innen: + = 0. ( 64 ) cc cc ce ce Most írjuk fel az u és v skalárterek gradienseit, a rendes vektori alakjukban! Ekkor: b!q = cc H+ I, ( 65 ) ce

20 b!q = cg cc H+cg I ; ( 66 ) ce majd képezzük a két gradiens - vektor skaláris szorzatát! Ekkor: b!q b!q = ] cc H+ I ^ ]cg ce cc H+cg I^ = +. ( 67 ) ce cc cc ce ce Ezután ( 64 ) és ( 67 ) - tel: b!q b!q = 0. ( 68 ) Tudjuk, hogy ha két vektor skaláris szorzata zérus, akkor a két vektor merőleges egymásra: b!q b!q. A b!q vektor az u( x, y ) = konst görbesereg normálisával egyirányú, a b!q vektor pedig a v( x, y ) = konst görbesereg normálisával egyirányú vektor [ 7 ]. Ha azonban az u( x, y ) = konst és v( x, y ) = konst görbeseregek normálisai merőlegesek egymásra, akkor maga a két görbesereg is merőleges egymásra: ezek egymás ortogonális trajektóriái. Természetesen ugyanez a helyzet az U( x, y ) = konst és V( x, y ) = konst gör - beseregek esetében is, hiszen ezek csak egy állandóban különböznek az előbbiektől. Minthogy ( L1 ), ( L2 ) és ( 64 ) - ben u és v teljesen szimmetrikusan fordul elő, ezért mondható, hogy az u és v, illetve az U és V konjugált függvények szerepe felcserélhető. Erre [ 1 ] esete kapcsán korábban már utaltunk is. VI. További kiegészítések K1. A Cauchy ~ Riemann - féle feltételek egy újabb levezetése [ 11 ], [ 12 ] A z és w mennyiségek alakja: = +, ( K1) = =, +, ; ( K2 ) ezek teljes differenciálja: = +, ( K3 ) = + = cg + + ]cg + ^. cc ce cc ce ( K4 ) A differenciálok hányadosa: m = h C m i ED ] h C i E^ A CD E ; ( K5 )

21 ( K5 ) jobb oldalát átalakítva: m h C m i ED ] h C i E^ CD E = ] m h D h^c] m D i i^e CD E = ] m h D h^cm ] m i D i^ DE = CD E ] m h D h^c]m m i M D i^ DE CD E = ] m h D h^c]-d m i i^ DE CD E = ] m h D h^c] i -D m i^ DE, ( K6 ) CD E majd ( K5 ) és ( K6 ) - tal: = ] A m h D h^c] i -D m i^ DE CD E. ( K7 ) A A A A differenciálhányados végtelen sok értékű lehetne, a dx és dy megválasztásától függően. differenciálhányados csak abban az esetben egyértelműen meghatározott, ha ( K7 ) számlálója bármilyen dx és dy értékpár esetében osztható + - nal. Ekkor azonban: = C DE CDE = = ; ( K8 ) A CD E CD E most ( K7 ) és ( K8 ) összehasonlításából: = cg +, = cg cc cc ce = ce cc + cg = cg. ( K9 ) cc ce ce A valós és képzetes részeket külön - külön egyenlővé téve: = cg, = cc ce ce cg, ( K10 ) cc vagyis megkaptuk az ( 54 ) - es ( C. ~ R.- f. ) - t. Ezután ( K8 ) és ( K9 ) szerint: = cg + = cg ; ( K11 ) A cc cc ce ce vagy ( K10) és ( K11 ) - gyel v.ö. [ 13 ]! : = = cg cg +. ( K12 ) A cc ce ce cc K2. További összefüggések a térerősséggel és a komplex potenciállal kapcsolatban [ 5 ] Ehhez kiindulunk ( 23 / 1 ) - ből: Z = `+ a ; ( K13 )

22 majd ( K12 ) és ( K13 ) - mal: = cd cd. ( K14 ) A cc ce a.) Ha a komplex potenciál valós részét tekintjük skalár potenciálnak, akkor ( 27 ) szerint is: = b!q` = ] cd cd + cc ce^ = cd cd, ( K 15 ) cc ce így ( K14 ) és ( K 15 ) - tel: = cd cd = A cc ce ] cd cc + cd ce^ =. ( K16 ) Képezzük ( K 16 ) mindkét oldalának konjugáltját! Ekkor: ] = A^ =, innen: = ] A^. ( K17 ) A ( K17 ) összefüggés szavakban: ha a komplex potenciál valós részét tekintjük skalár potenciálnak, akkor a térerősség a komplex potenciál deriváltjának negatív konjugáltja. A ( K17 ) összefüggés grafikus megjelenítése a 6. / a ábrán látható. 6. ábra A térerősség nagysága a ( K16 ) és ( K17 ) képletekkel: G d = "G # C +G # E = } } = A A^ }] }. ( K18 )

23 A ( K18) eredmény megfelel az ( 57 ) képletnek is. b.) Ha a komplex potenciál képzetes részét tekintjük skalár potenciálnak, akkor ( 27 ) analó - giájára: = b!qa = ] c cc + c ce^. ( K19 ) Most megint ( K12 ) és ( K 13 ) - mal: = c A ce + c. ( K20 ) cc Képezve ( K20 ) mindkét oldalának konjugáltját: ] = A^ c c c = ]c + ce cc cc ce^ = W ]c cc D A^ ] = D D A^ ] = ] A^ =, tehát: c + =, innen: ce^x = ] A^. ( K21 ) A ( K21 ) egyenlet szavakban: ha a komplex potenciál képzetes részét tekintjük skalár potenciálnak, akkor a térerősség a komplex potenciál deriváltja negatív konjugáltjának és a képzetes egységnek a szorzata. Másképpen, a fenti részeredményekkel: = c A ce + c = cc ]c c = ] c cc ce^ cc + c ce^ = ; innen: ž = = D A D = ; képezve mindkét oldal konjugáltját: D A = = ], tehát: A^ = ] A^. ( K22 ) A ( K22 ) egyenlet szavakban: ha a komplex potenciál képzetes részét tekintjük skalár potenciálnak, akkor a térerősséget úgy is megkaphatjuk, hogy képezzük a komplex potenciál deriváltja és a képzetes egység szorzatának a konjugáltját. Most ( K21 ) és ( K22 ) - vel v.ö. [ 1 ], [ 5 ]! : = ] = ] A^. ( K23 ) A^

24 A ( K23 ) összefüggés grafikus megjelenítése a 6. / b ábrán látható. A térerősség nagysága ekkor: G = }] } = } A^ }. ( K24 ) A A 6. ábrán a két kör sugara a térerősség E nagysága. K3. A komplex potenciál harmonikus függvény A komplex potenciál, mint láttuk, ( K13) - hoz hasonlóan Z = Z + = `,+ a, ( K25 ) alakú kifejezés. Azt is láttuk, hogy valós és képzetes része is kielégíti a Lapla - féle potenciálegyenletet; U = ku és V = kv, k = konst miatt: c d + c d = 0, ( L1 ) cc ce c + c = 0. ( L2 ) cc ce Most adjuk hozzá ( L1 ) - hez ( L2 ) i - szeresét! Ekkor: ] c d cc + c d ce ^+ ]c cc + c ce ^ = 0 ; rendezve: ] c d cc + c cc ^+]c d ce + c ce ^ = 0 ; tovább alakítva: c cc c `+ a + `+ a = 0, ce innen ( K25 ) - tel: c + c = 0, ( L3 ) cc ce vagyis a komplex potenciál is kielégíti a Lapla - egyenletet, ahogyan az várható is volt. K4. Az ekvipotenciális vonalak Cassini - oválisok A skalár potenciál

25 `, = -E 1^# U ln\]c + ] # C E ^# _ ( 36 ) T T egyenletéből az ekvipotenciális vonalak egyenlete az ` =,, ( 25 ) # U egyenlettel is: ` =, = = ˆ,ahol =, és # U, = -E 1^# # ln\]c + ] # C E ^# _. T T «( K26) Ezekkel: ` = -E 1^# # ln\]c ln\] C -E T ] C -E T 1^# 1^# T + ] # C E T ^# _ =, innen: + ] # C E T ^# _ = # 6 =, ebből: + ] # C E T ^# = f M = #, innen: # # Q # # + 2 # = # Q. ( K27 ) A korábbiakhoz hasonló módon belátható, hogy # # Q # # + 2 # = 7+Q # + # : 7 Q # + # : ; ( K28 ) ámde a 4. ábra szerint is: +Q # + # =! #, Q # + # =! # #, ( K29 ) így ( K27 ), ( K28 ) és ( K29 ) szerint:! #! # # = # Q, innen:!! # = # Q # =. ( K30 ) A ( K30 ) egyenlet a Cassini - oválisok definíciós egyenlete. Ezek a síkgörbék azon P( x, y ) pontok mértani helyei a síkon, melyeknek két rögzített ponttól mért távolságaik szorzata állandó [ 14 ]. Eszerint az azonos nagyságú és előjelű töltéssel egyenletesen töltött, párhuzamos helyzetű, nyugvó egyenes vezetékpár elektromos terének ekvipotenciális vonalai Cassini - oválisok v.ö. [ 1 ].

26 Megjegyzések: M1. Eléggé sajátos, ahogyan az egyes tankönyvek írói a komplex függvénytani ismeretek tananyagba való beépítéséhez viszonyulnak. Például a nagyon híres Feynman - sorozat 5. kötetében [ 9 ] a Cauchy ~ Riemann - féle egyenletek felírása előtt az alábbiakat olvas - hatjuk: Most egy csodálatos matematikai tételhez érünk, amely annyira élvezetes, hogy a bizonyí - tását átengedjük az Olvasó által tanulmányozott matematikakönyvek szerzőinek. ( Nem szabad előre fölfednünk a matematika valamennyi misztériumát, különben az a tan - tárgy unalmassá válna.) Ezt egyszerűbben úgy is fogalmazhatjuk, hogy nem pazaroljuk rá a helyet, nem növeljük vele e füzetecske terjedelmét. Ez annál is inkább meglepő fordulat, hogy tudjuk, miszerint pl. az 1. füzetben a bolygómozgás egyenleteinek numerikus megoldását meglehetősen részletesen taglalták. Nos, Ő volt a Nobel - díjas professzor, biztos tudta mit csinál Másrészről viszont elmondhatjuk, hogy a komplex függvénytan tanulmányozása, majd al - kalmazása során igen hamar brutális matematikai nehézségekkel nézhetünk szembe. Talán ezért is alkalmazzák többen azt a tankönyvírási elgondolást, hogy a terjedelem egy részét a szükséges matematikai tudnivalók összefoglalására szánják. Ezt látjuk pl. [ 7 ] és [ 10 ] - nél is. M2. Az a körülmény, hogy felsőfokú tanulmányaink során nem találkoztunk a komplex függvénytannal, hanem csak néhány komplex algebrai tudnivalóval gyarapodtunk, jelzi, hogy ez a témakör valószínűleg tényleg inkább a specialisták kenyere lehet. Erre utalhat az a tény is, hogy a matematika - professzorunk, Moór Arthur által is ajánlott [ 6 ] munkában ezt írja a szerző: A matematikai analízis azon részét, mely komplex-változós függvényekkel foglalkozik, komplex-változós függvénytannak nevezzük. Itt csak egészen futólag érinthetjük ezt az elméletet. Majd valamivel később az [ 1 ] munkához irányítja az érdeklődő olvasót. Igen, csakhogy ezt a könyvet az 1950 - es évek elején adták ki, magyarul. M3. A komplex vektorok és a rendes vektorok közti váltogatás eléggé megviselheti az Olvasót, még komolyabb energia - befektetés esetén is vagy éppen azért. Ezzel szembesül - tünk mi is, több esetben. Jó példája ennek az V. alfejezet. Számunkra is meglepetést okozott, hogy a tanulmányozott források szerzői ezt a kettősséget nem nagyon érezték fontosnak feloldani. Vagy lemaradtunk valamiről? Mert vegyük példának okáért a ( 64 ) és ( 67 ) szerinti b!q b!q = ] cc H+ I ^ ]cg ce cc H+cg I^ = + = 0 ce cc cc ce ce

27 egyenletet! Próbáljuk meg elvégezni a két vektor összeszorzását, ha komplex vektornak gondoljuk azokat ahogyan azt menet közben tettük is! Ekkor: b!q b!q = ] cc 1+ ce + cc cc cc ce ^ ]cg cc 1+cg ce ^ = + ce cc +# ce ce = = + ] + cc cc ce ce cc ce ce cc^ ; majd a komplex függvénytani + = 0 cc cc ce ce ( 64 ) egyenlettel is: b!q b!q = 2 + ] + cc cc cc ce ce cc^ ; ezután a Cauchy ~ Riemann - féle = cg cc ce, cg = cc ce ( 54 ) egyenletekkel: b!q b!q = 2 + ]cg cg cc^; cg ce cc ce ce cc ez pedig csak akkor lehetne zérus, ha ~ = 0, Qb; ~ cg = cg = 0, QQ b!q = 0 = ˆ. cc ce Látjuk, a komplex vektorokkal nem jön össze u és v merőlegességének a kimutatása. M4. A ( 23 ) komplex potenciál hovatartozásának igazolását szolgáló itteni eljárás helyett másként is eljárhattunk volna: a térerősség integrálja képzésével. Azonban ez szerintünk lényegesen marásabb lett volna, mint az itteni differenciálások elvégzése. Hisz nem vagyunk matematikusok! M5. Szinte minden szerző kiemeli a komplex potenciál, illetve a komplex függvények alkal - mazásának egy lényeges sajátosságát; nevezetesen, hogy az ilyetén feladatmegoldás egyfajta fordított utat követ. [ 9 ] - ben ezt olvashatjuk erről:

28 Tehát ha kiválasztjuk bármelyik F(z) függvényt, ezzel valamilyen elektrosztatikus térprob - lémát oldhatunk meg illetve két problémát, mert az U és V függvények mindegyike egy - egy megoldás. Annyi megoldást írhatunk fel, amennyit csak akarunk pusztán azzal, hogy függvényeket szerkesztünk, azután már csak meg kell találnunk azt a problémát, amelyik - nek az illető függvény éppen a megoldása. Lehet, hogy ez egy >>hátulról-előre<< módszer, de ezzel megközelíthető a feladat. M6. Azon fizikai problémák a síkproblémák megoldására, melyekhez a komplex függ - vénytani eszköztár is használható, más módszereket is kifejlesztettek. Ezek most nem annyira érdekesek számunkra. Ugyanis e tárgykör a kettősbelű fatest keresztmetszeti rajzolatának le - írására alkalmazható eszközök utáni keresés - kutatás kapcsán hívta fel magára figyelmünket; egyebek mellett azzal, hogy milyen kifinomultan teszi szalonképessé az egyébként nem is ki - csit robusztus, az előző megjegyzésben említett, visszafelé haladónak is mondható módszerét. M7. Végül idézzünk [ 6 ] - ból egy érdekes mondatot: Csak a komplex számok segítségével fedezhetünk fel olyan függvények között fennálló bel - ső kapcsolatokat, amelyek első pillantásra egymással semmi vonatkozásban sincsenek, és csak így magyarázhatunk meg olyan jelenségeket és tényeket, amelyek teljesen érthetetleneknek bizonyultak a valós számok területén. Itt például az Euler - relációra is gondolhatott a szerző. Mi meg arra gondoltunk, hogy a P1. példa függvénye esetében, egy régebbi téma kapcsán, mennyit vacakoltunk a két hiperbolasereg merőlegességének kimutatásával. Itt meg általáno - san igazoltuk persze a szakirodalom alapján, hogy a két göbesereg egymás ortogonális trajektóriái. Ez tényleg ütős! Irodalom: [ 1 ] B. A. Fuksz ~ B. V. Sabat: Komplex változós függvények és alkalmazásuk 4. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1976. [ 2 ] Ja. B. Zeldovics ~ A. D. Miskisz: Az alkalmazott matematika elemei Gondolat, Budapest, 1978. [ 3 ] István Szabó: Höhere Technische Mechanik 2. Auflage, Springer -Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg, 1958.

29 [ 4 ] Dietrich Morgenstern ~ István Szabó: Vorlesungen über Theoretische Mechanik in: DIE GRUNDLEHREN DER MATHEMATISCHEN WISSENSCHAFTEN BAND 112 Springer -Verlag, Berlin/Göttingen/Heidelberg, 1961. [ 5 ] Fodor György ~ Simonyi Károly ~ Vágó István: Elméleti villamosságtan példatár Tankönyvkiadó, Budapest, 1967. [ 6 ] A. F. Bermant: Matematikai analízis I. rész Tankönyvkiadó, Budapest, 1951. [ 7 ] Budó Ágoston: Mechanika 5. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1972. [ 8 ] L. G. Lojcjanszkij: Folyadékok és gázok mechanikája Akadémiai Kiadó, Budapest, 1956. [ 9 ] R. P. Feynman ~ R. B. Leighton ~ M. Sands: Mai fizika 5. 3. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1986. [ 10 ] Simonyi Károly: Elméleti villamosságtan 7. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1976. [ 11 ] Németh Endre: Hidrodinamika Tankönyvkiadó, Budapest, 1963. [ 12 ] Kovács György: A szivárgás hidraulikája Akadémiai Kiadó, Budapest, 1972. [ 13 ] Urbanek János: Bevezetés a műszaki elméleti villamosságtanba 3. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 1958. [ 14 ] I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963. Sződliget, 2014. 08. 10. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár