1. Hőmérsékleti sugárzás Kovács György 2013. április (Javítva: 2014. március) Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 2 2. Az ideális fekete test sugárzási törvénye 2 3. Hőmérsékletmérési módszerek 3 4. Mérőberendezés 4 5. Kalibrálás 6 6. Gyakorló kérdések 8 7. Mérési feladatok 8 1
1. Bevezetés A XIX. század végén úgy hitték, új, nagy horderejű eredmények a fizikában már nem lesznek és csak kevés nyitott probléma van. Az egyik, még lezáratlan kérdés éppen a hőmérsékleti sugárzás volt. A kísérleti adatok interpretálását sokan megkísérelték, de a legismertebb formulák, a Rayleigh-Jeans, vagy a Wien-féle sugárzási törvény, csak korlátozott hullámhossz intervallumon adott jó egyezést a kísérleti adatokkal. Végül 1900-ban a német Max Plancknak sikerült végleges megoldást találni a feketetest-sugárzás problémájára. A hőmérsékleti sugárzással kapcsolatos felfedezéséért Wien 1911-ben kapott Nobel-díjat és Planck 1918-as Nobel-díjának indoklása: szolgálatának elismeréseképpen, amiatt a hatás miatt, amit kvantumelméletével a fizika fejlődésére gyakorolt. 2. Az ideális fekete test sugárzási törvénye Bármilyen, az abszolút nulla foktól különböző hőmérsékletű test elektromágneses sugárzást bocsát ki. A sugárzás oka, hogy az anyag töltései a hőmozgás következtében gyorsulnak, és a gyorsuló töltések az elektrodinamika törvényeinek megfelelően elektromágneses sugárzást bocsátanak ki. A testek nemcsak kibocsátanak, hanem nyelnek is el fényt. A fekete test definíció szerint olyan tárgy, amely minden ráeső sugárzást elnyel, függetlenül annak hullámhosszától. Az ilyen test sugárzása teljesen független az anyagától, a sugárzás sajátosságait a test hőmérséklete szabja meg. Abszolút fekete test nem létezik, de jól közelíthető egy kormozott belső falú, zárt, üres dobozzal, és a test sugárzását az üreg falán vágott kis nyílásba helyezett szondával vizsgálhatjuk. Bármilyen más anyag termikus sugárzása Kirchhoff sugárzási törvénye alapján visszavezethető a fekete test sugárzására, ha ismerjük az adott test spektrális abszorbcióképességét. A számításokat, amelyek sok tankönyvben megtalálhatók, nem részletezzük, csak az eredményt közöljük. Az egységnyi felület által a felületre merőleges irányban, egységnyi térszögben és hullámhossz-intervallumban kisugárzott teljesítmény: 1 I λ dλ = 2hc2 dλ, (1) λ 5 e hc kt λ 1 ahol c a fénysebesség, h a Planck-állandó, k a Boltzmann-állandó, T az abszolút hőmérséklet. Ezt az összefüggést Planck-formulának is nevezik. A Planck-formula integrálásával kapjuk Stefan Boltzmann-törvényt, ami szerint egy T abszolút hőmérsékletű fekete test egységnyi felülete által kisugárzott teljesítmény: P = σt 4, 2
ahol σ = 2π5 k 4 15h 3 c 2 = 5, 67 10 8 W m 2 K 4 (2) A mérési feladat a Stefan Boltzmann-törvény igazolása és a σ állandó megmérése. 3. Hőmérsékletmérési módszerek Az előttünk álló feladatok egyik lényeges része a nagyon pontos hőmérsékletmérés. Hőmérsékletet a hagyományos higanyos, vagy alkoholos folyadékos hőmérőkön kívül, többek között ellenállás-hőmérővel, termoelemmel vagy pirométerrel mérhetünk. Az ellenálláshőmérők anyaga alacsony hőmérséklet detektálására félvezető vagy szén, magasabb hőmérsékletre az egyik legszélesebb körben alkalmazott fémhőmérő a platinahőmérő. A vékony platinaszálat hengeres vagy lapos kerámiatokba helyezik el. Mérésekben leggyakrabban 0 C-on 100Ω-os ellenállás-hőmérőt használunk. Érzékenysége kb. 0, 35 Ω/ C, és hőmérséklet-ellenállás függvénye jól közelíthető másodfokú polinommal. Pontos méréseknél az ellenállás-hőmérőket úgynevezett négy pontos elrendezésben használják, így lehet kiküszöbölni az árambevezető huzalok ellenállását. A két árambevezető kontaktus mellett közvetlenül a hőmérő lábán mérjük az ellenállás-hőmérőn az árammal és az ellenállással arányos feszültségét. Tehát áramgenerátort használva, a hőmérséklet a feszültséggel arányos. Az érzékenységet nem lehet az áram növelésével fokozni, mert a túl nagy áram miatt a hőmérő melegedne. A termopár vagy termoelem két különböző anyagú fémdrót, amelyek végeit összehegesztik és az egyik szálat középen elvágják. Ha a hegesztési pontok hőmérséklete különböző, akkor a vágási pontoknál a hőmérséklettel arányos feszültség keletkezik. A feszültség hőmérséklet-különbség függvény szintén magasabb rendű polinommal írható le. A termopárok kis tömegű anyagok hőmérsékletének mérésére különösen alkalmasak, mivel vékony drótból készíthetők, hőkapacitásuk ezért kicsi. Alkalmazásukat viszonylag kis érzékenységük korlátozza, a legérzékenyebb termopárok 50 µv/ C nagyságrendűek. Hangsúlyozandó, hogy az ellenállás-hőmérő abszolút hőmérsékletet mér, a termopár pedig hőmérséklet különbséget. Ezért az egyik végpontját más módszerrel megmért hőmérsékletű hőtartályba helyezik és a valódi hőmérséklet a referencia hőmérséklet és a termopár különbségi hőmérsékletének összege. A pirométerrel izzó anyagok hőmérsékletét határozhatjuk meg. Működési elve, hogy egy távcsőhöz hasonló optikai eszközt a céltárgyra irányítjuk és egy távcsőben lévő referencia szálat elektromosan úgy izzítunk fel, hogy azonos legyen a két szín. A műszer skáláján a referenciaszál hőmérséklete leolvasható. Tulajdonképp itt a referenciaszál ellenállását olvassa le a műszer. Nyilvánvaló, hogy ez a mérési mód kissé szubjektív, mert a szem nem tökéletes mérőeszköz. 3
4. Mérőberendezés Először a Stefan Bolzmann-törvény azon állítását ellenőrizzük, hogy a kisugárzott teljesítmény az abszolút hőmérséklet negyedik hatványával arányos. Vegyük fel egy wolframszálas izzó feszültség-áram karakterisztikáját. Az izzószál vákuumban van, ezért a felvett elektromos teljesítmény csak hősugárzás formájában adódik le. Van némi hőelvezetés az izzószálhoz vezető drótokon, de ez elhanyagolható. A felvett elektromos teljesítmény P = UI, ahol U az izzó feszültsége, I az izzószál árama. Az izzó hőmérséklete az izzó R = U/I ellenállásából határozható meg. Rendelkezésünkre áll a wolfram fajlagos ellenállás hőmérséklet függvénye, amit text-file formában a mérő számítógépből letölthetünk. Sajnos az izzószál geometriai mérete pontosan nem ismert ezért a következő eljárást alkalmazzuk. Előzetesen a HP multiméter négypontos ellenállásmérés üzemmódjában megmérjük a szobahőmérsékleten közelítőleg 4 Ω ellenállású izzószál pontos ellenállását, R 0 -t és a digitális hőmérővel a környezet hőmérsékletét, t 0 -t. A műszer mérőárama milliamper, ami nem befolyásolja jelentősen a szál hőmérsékletét. Normálja az R 0 -lal az R t = U/I értékeit. Ezáltal van egy P t = f(r t /R 0 ) függvénye, ahol R/R 0 csak a hőmérséklettől függ, mert a geometriai tényezők nem változnak. A mellékelt hőmérséklet fajlagos ellenállás táblázatból válassza ki, vagy interpolációval határozza meg a t 0 -hoz tartozó ρ 0 -t és ezzel ossza a ρ t -t. Így rendelkezésre áll a ρ t/ρ 0 mint a hőmérséklet függvénye. Mivel minden t hőmérsékletnél R t /R 0 = ρ t /ρ 0, ezekkel a lépésekkel megkapja a különböző P értékekhez tartozó hőmérsékleteket. Ha ábrázolja a teljesítmény logaritmusát a kelvinben mért hőmérséklet logaritmusának függvényében, akkor a kapott egyenes meredeksége a T hatványkitevője. σ meghatározása az 1. ábrán látható mérőberendezéssel történhet. Kívülről hőszigetelt elektromos kályhába, kormozott belső falú zárt fémedényt teszünk, amelyen kis nyílás van. A fémedényt T k hőmérsékletre fűtjük fel. A felfűtés után az edény belsejébe egy detektort helyezünk. A detektor kisméretű kormozott vékony fémlap, melyre termoelemet hegesztettünk. A termoelem referencia pontja ismert hőmérsékletű hőtartályban van, ami egy olajjal töltött termosz. A kormozott edényt és detektort fekete testnek tekinthetjük. A T hőmérsékletű detektort az F felületével arányos P = F σ(t k ) 4 teljesítmény melegíti, de közben sugároz is. A c fajhőjű és m tömegű detektor hőmérsékletének változását az alábbi összefüggés írja le: cm dt dt = F σ(t 4 k T 4 ) (3) A fenti összefüggés nem tartalmazza a detektor hőmérséklet változását okozó összes tényezőt. Ezek a termopár drótjainak hővezetése és a detektorral érintkező levegő hőátadása. Az előbbi arányos a drótok keresztmetszetével és a szonda és a külső környezet közti hőmérséklet-különbséggel. A levegő hőátadási tényezője arányos a szonda felületével és a kályha levegőjének (ami közelítőleg a kályha hőmérséklete) és a szonda hőmérsékletének 4
ezüstlemez Pt hőmérő fűtés hőszigetelés termopár referenciapont 1. ábra. A mérőberendezés különbségével. Ha a detektor a sugárzási térben van, akkor ez az utóbbi tag jelentős lehet, mert a detektor hideg, így a hőmérséklet-különbség nagy, viszont a drótok hővezetése elhanyagolható. Összességében ez azt jelenti, hogy a (3) egy T -vel arányos és egy konstans taggal egészül ki. Ezt figyelembe véve: σ = 1 F (T 4 k T 4 ) ( mc dt dt + α 1T + α 0 ahol α 1 és α 0 egyelőre ismeretlen állandók. A (4) egyenlet szerint tehát a detektor paramétereit, tömegét, fajhőjét ismerni kell. Ejtsünk pár szót a szonda anyagáról. A szonda jó hővezető legyen és vékony, hogy a felületén és a belsejében azonos legyen a hőmérséklet, a tömege nagy legyen a termopár tömegéhez viszonyítva, és hegeszthető legyen. Ezeknek a feltételeknek jól megfelel az ezüst, esetleg réz és az alumínium, bár az utóbbira nehezen hegeszthető a termopár. A σ meghatározásához mérni kell a kályha hőmérsékletét és a szonda hőmérsékletét, valamint annak változását. Mivel a kályha hőmérséklete negyedik hatványon szerepel, fontos a pontos hőmérsékletmérés. A kályha falára rögzített platinahőmérőt egy elektronika 3 ma-es árammal látja el. A (4) alapján látható, hogy a kályha hőmérséklete mellett, a szonda hőmérsékletét kell mérni és nem csak a hőmérsékletét, hanem a hőmérséklet-változást is, hisz a hőmérséklet időbeli deriváltjára van szükségünk. A megfelelő mérőeszköz kiválasztása előtt végezzünk előzetes kalkulációt. Ha detektornak egy 1 cm 2 felületű, 1 gramm tömegű ezüst lapkát választunk és a kályha 400 C hőmérsékletű, akkor az első másodpercekben a detektor 5 ) (4)
hőmérséklet-változása 10 C/s nagyságrendbe esik. Ezért a mintavétel sebessége századmásodperc kell, hogy legyen. Ennyi idő alatt, a hőmérséklet-változás kisebb, mint 0, 1 C, ami azt jelenti, hogy a termopár feszültségváltozása vas-konstantán termopárt használva összességében 5mV nagyságrendű, de mikrovolt nagyságú jelváltozásokat kell mérnünk század-másodpercenként. Léteznek ilyen érzékenységű voltmérők, de azok mérési ideje lassabb, ezen kívül legalább 1000 adatot kell tárolni. A tárolási gondot és a mintavételi sebességet megoldhatjuk egy A/D analóg-digitális konverter kártyával, ami vagy a számítógép belső kártyája, vagy külső USB, vagy egyéb csatlakozóval köthető az adatgyűjtő mérésvezérlő számítógéphez. A probléma, hogy egy 12 bites ±1 V méréshatárú A/D konverter 2 mv felbontású. Ebből következik, hogy a termopár jelét erősíteni kell, azaz, legalább egy 500-szoros erősítőt kell használni. Az A/D konverter kártyáknak több feszültség bemenetük van, és általában elhelyeznek rajta D/A, azaz digitális- analóg konvertert. Ez utóbbi alkalmas lesz a kályha hőmérsékletének szabályzására is. A kályhát hálózati feszültséggel fűtjük. A fűtőteljesítmény szabályzását nem a kályhára juttatott feszültség értékének változtatásával, hanem az időegységre jutó fűtési idő változtatásával érjük el. Ez azt jelenti, hogy mondjuk 10 másodpercenként leolvassuk a kályha hőmérsékletét, és ettől függően a következő 10 másodpercben mondjuk 3 mp-ig fűtünk és 7 mp-ig kikapcsoljuk a fűtést. A fűtési/kikapcsolási idő arányát szoftveresen vagy analóg módon határozhatjuk meg. A mérésben a mérésvezető megadja, hogy milyen hőmérsékletre állítsák be a kályhát. Ehhez a mellékelt platina-hőmérséklet ellenállás táblázatból számítsák ki a kályha üzemi hőmérsékletén a platina ellenállását. Mivel a platinát 3 ma-es áramgenerátor hajtja, kiszámítható, hogy mennyi a platinán lévő feszültség, amikor a kályha épp eléri a kívánt hőmérsékletet. Elektronikai szempontok miatt ennek a feszültségnek az ötszörösét használjuk a szilárdtest-relét vezérlő komparátor egyik bemenetén, ugyanis a hálózati feszültséget a kályhára egy szilárdtest relének nevezett eszköz kapcsolja, amit digitális jellel vezérelnek. Ezt a feszültséget kell beadni a komparátor másik bementére referencia értékként. A program digitekben kéri ennek a feszültségnek megfelelő digitszámot. A D/A konverter 5 V-os 12 bites. 5. Kalibrálás Mivel kis feszültségeket erősítve és pontosan kell mérni, ezért mérés előtt kalibrálni kell az erősítőt és az A/D konvertert. A HP multiméter nagyon pontos, de azért érdemes ellenőrizni. E célból kösse a feszültségbemenetére mindkét polaritással a mellékelt Weston normálelemet. A normálelem standardnak tekinthető feszültsége 1,018 V, a további jegyek a hőmérsékletétől függenek, de számunkra elegendő ez a pontosság. Rövidzárban is ellenőrizze a 0 értéket. Az erősítő bemenetére kapcsolja a mellékelt kisfeszültségű kalibráló tápegységet, mérje meg a HP-vel a bemeneti és egy másik, szintén a normálelemmel ellenőrzött multiméterrel az erősítő kimenetének jeleit. Ez lesz az első kalibráció, az erősítés jól közelíthető olyan lineáris függvénnyel, ami nem az origón megy át. Máso- 6
dik kalibrációs feladat az A/D konverter kalibrálása. Ehhez az A/D konverter megfelelő bemenetét kösse ±1 V változtatható feszültségű tápegységre, és a különböző bemeneti értékekhez tartozó digitális értéket a számítógép kijelzi. Mindkét méréshez van a vezérlő számítógépben segédprogram. Ezzel rendelkezésre áll egy feszültség-digitális érték kalibráció, ami szintén lineáris lesz. A következő lépés a kályha hőmérsékletének beállítása a D/A konverter segítségével. A monitoron ellenőrizni tudja a kályha hőmérsékletét. A kályha hőmérséklete nem állandó, hanem egy kicsit hullámzik a beállítandó hőmérséklet körül. Mikor már közelítőleg stabil, olvassa le a maximális és minimális hőmérsékleteket. Ezek átlaga a kályha hőmérséklete és a hiba az átlagtól való eltérés. Természetesen a hőmérséklet digitekben jelenik meg, ugyanis a A/D konverter méri a platinahőmérő feszültségét. Ezt a második kalibrációval feszültséggé alakítja és elosztva a 3mA-rel, megkapja a platina-ellenállás értékét. Készítsen legalább másodfokú polinom illesztést a platinahőmérséklet ellenállás értékeire és ebből tudja meghatározni a kályha hőmérsékletét. A mérőprogrammal most már fel lehet venni a szonda hőmérséklet változását. Ne feledje el az erősítő bemenetére rákapcsolni a detektor kivezetését. Indítsa el a mérőprogramot és a hangjelzés után tegye be a szondát a kályha nyílásába. 5 másodperc effektív mérésre van szüksége, de a be- és kivételre összességében 30 másodperce van, tehát nem kell sietni, viszont óvatosan kezelje a szondát, mert letörhet. Most egy file-ban van tárolva a szonda hőmérséklet-változása az idő függvényében, másodperc és digitszám van a két oszlopban. Első lépésként válassza ki azt az intervallumot, amit elemezni akar. A második kalibráció segítségével a digiteket alakítsa át feszültséggé. Ez az erősített termopár feszültség, amit az első kalibráció segítségével visszaalakít valódi termofeszültséggé. A vas-konstantán táblázat segítségével alakítsa át ez utóbbit hőmérsékletté. Ehhez hozzáadva a referencia hőmérsékletet és 273 K-t, minden t időpillanathoz megvan a hozzátartozó T hőmérséklet Kelvin fokban számolva. A következő lépés a numerikus deriválás. Itt képezheti az egymás melletti hőmérséklet-különbségeket, osztva az időkülönbséggel, de ez nem lesz sima függvény. Jobb polinomot illeszteni a t T párokra, majd ezt a függvényt analitikusan deriválni. Ezzel bármilyen T -hez megkapja a hozzátartozó derivált értékét. Most már megkapható σ a (4) alapján. Vagy háromismeretlenes egyenletet oldunk meg σ, α 1, α 0 ismeretlenekre kiválasztva három tetszőleges T dt/dt párt, de megpróbálkozhatunk függvényillesztéssel is. Utóbbinál a (4) alapján három paraméteres illesztést végezzen! dt dt = σ T 4 + p 2 T + p 1 7
6. Gyakorló kérdések 1. Feszültség- vagy áramgenerátorral hajtaná meg az izzót? 2. Az izzó feszültség-áram karakterisztikájánál vagy az áramot vagy a feszültséget méri pontatlanul. Mikor követ el kisebb hibát? 3. Hogy tudja meghatározni az izzó hőmérsékletét? 4. Mi az előnye és hátránya a platina- és a termopár-hőmérőknek? 5. Milyen hőhatások érik a szondát és mennyire elhanyagolhatók ezek a hatások? 6. Hogy méri meg a Stefan Boltzmann-állandót? 7. Miért nem kell kalibrálni a D/A konvertert? 8. Mit jelent, ha egy konverter 12-bites? 9. Milyen adatok kellenek a szondáról? 10. Milyen módon lehetne kiküszöbölni a levegő hatását? 7. Mérési feladatok Illesszen megfelelő függvényt a wolfram fajlagos ellenállás-hőmérséklet kapcsolatra! Illesszen megfelelő függvényt a platinahőmérő ellenállás hőmérséklet kapcsolatra! Illesszen megfelelő függvényt a vas-konstantán termofeszültség hőmérséklet kapcsolatra! Vizsgálja meg, miért nem jó a másodfokú polinom illesztés! Mérje meg az izzószál feszültség-áram karakterisztikáját és ellenőrizze a Stefan Boltzmann-törvényt! Kalibrálja az erősítőt és az A/D konvertert! Határozza meg legalább 3 kályha hőmérsékleten σ-t! Becsülje meg, ha a levegő hőátadási tényezője 50, milyen lenne vákuumban a t T görbe megfelelő szakasza! 8