Modern algebrai módszerek fizikai alkalmazásai Makai Mihály Budapesti Műszaki Egyetem Nukleáris Technikai Intézet KFKI Atomenergiakutató Intézet 2007
Előszó i Fizika előadásokon rendszeresen elhangzanak algebrai konstrukciók megnevezései: vektortér, csoport, algebra. Ezek megismerésére a diákok elsősorban matematikai kurzusokat hallgatnak, ahol a fenti fogalmak elmélete kerül előtérbe. Jelen előadás célja fizikai alkalmazások keretében bemutatni a modern algebrai fogalmak használatát. Egy fizikus hétköznapjaiban lépten-nyomon alkalmazni kényszerül algebrai eszközöket. Leggyakrabban talán a nem-lineáris egyenlet megoldása, lineáris egyenletrendszerek megoldása bukkan fel. Ezek triviális példák. De amikor egy közönséges differenciálegyenlet integrálásáról van szó, vagy egy bonyolult fizikai rendszerben megmaradó mennyiségeket kell megkeresni, kevesen gondolnak algebrai eszközök alkalmazására. Ennek egyik oka, hogy ezek az eszközök kevéssé ismertek. A fizika egyes területein (ld. alább) elkerülhetetlen modern algebrai eszközök (elsősorban csoportelmélet) alkalmazása. A legtöbb fizikai probléma megoldását nem tudjuk megadni zárt alakban, gyakran kényszerülünk közelítő-, vagy numerikus megoldás használatára. Egy félvezetőben az elektronok Fermi-felületének meghatározása, amire egy nanotechnológiai eszköz fejlesztéséhez szükség van; egy kisülési csőben az elektronsűrűség meghatározásához, egy plazma töltés- és sűrűségeloszlásának meghatározásához, egy atomerőmű zónájában a neutrongáz eloszlásának meghatározásához, egy gyorsan áramló folyadék vagy gáz leírásához ilyen közelítő megoldások állnak rendelkezésre. A példákat lehet folytatni csillagászati, úrhajózási, geofizikai, optikai problémák sorával. A modern algebra absztrakt fogalmait nem künnyű megszokni és alkalmazni. Ezért a jegyzetben gyakran talál az olvasó példákat (ezek általában nagyon egyszerűek) azzal a céllal, hogy a jelöléseket, az új fogalmakat legyen mihez kapcsolni. A numerikus módszerek egy analitikusan (differenciál-, vagy integrálegyenlet formájában megfogalmazott) feladatot leegyszerűsítenek és átalakítanak végső soron egy algebrai feladattá, többnyire lineáris egyenletrendszerré. Ezt az egyszerűbb, algebrai feladtot kell megoldani. Ilyen eszközök fejlesztése és használata során az alábbi szempontok játszanak döntő szerepet: Mi az ára a numerikus módszer használatának? Ne legyen az Olvasónak illúziója, a tetszetős, színes ábrákat produkáló CFD kód 1 is jelentős egyszerűsítéséket tartalmaz. Az a felhasználó, aki ennek nincs tudatában, alaposan pórul járhat, esetleg olyan jelenség vizsgálatára akarja a programot felhasználni, amit az nem is tud modellezni. Milyen kompromisszukat kellett kötni az egyszerűsítések érdekében? Külön meg kell vizsgálni, nem áldoztuk-e fel a végrehajthatóság oltárán a fizikai folyamat lényeges elemeit? A jelen jegyzetben leírt módszerek ismerete a szerzőnek sokat segített abban, hogy a gyakorlatban is használható, szilárd elméleti alapokon álló algoritmusokat dolgozzon ki a geofizikában és a reaktorfizikában. Ismeretes, hogy a csoportelmélet a fizika több területén is fontos szerepet játszik, mint pl. részecskefizika, relativitáselmélet, atom- és magfizika, szilárdtestfizika. A fizikus és tanárszakos hallgatók képzésében szerepel csoportelméleti előadás is, ez azonban szükségszerűen elméleti jellegű. 1 A CFD a computational fluid dynamics szavak rövidítése, a Navier-Stokes egyenletek megoldására kidolgozott numerikus módszer és program.
ii Előszó Jelen munka az ELTE TTK-n és a BME-n megtartott speciális kollégium anyagát tartalmazza és elsősorban az alkalmazásokra koncentrál. Rövid csoportelméleti bevezetés után a peremérték-feladatok szimmetriáit tárgyalja, majd a változók szétválasztásának módszerét, egy adott egyenlet szimmetriáinak rendszerezett megkeresését vizsgálja. A csoportelmélet gyakran összefonódik más algebrai struktúrák (testek, vektorterek, algebrák) használatával. Külön kitérünk a geometria és a csoportelmélet kapcsolatának néhány kérdésére (gráfok, fedőcsoportok), ezek ugyanis előnyösen használhatóak például egy egyenlet Green-függvényének megkonstruálására. De, a geometria és a csoport kapcsolata előkerül a speciális relativitáselméletben is. Wagner István azon felismerése, hogy a sebességösszeadás relativitáselméletben alkalmazandó módja azt is jelenti, hogy a sebességeket más geometriában célszerű tárgyalni, mint a távolságokat lehetővé tette a Lorentz-transzformáció egyes hiányosságainak kiküszöbölését. A bemutatandó módszer két pillére az algebra és az analízis. A szerző megdöbbenve tapasztalta, hogy egy sikeres, fiatal amerikai kolléga, aki eredményeket ért el a peremértékfeladatok terén, a kilencvenes évek közepén elképzelhetetlennek tartotta algebrai módszerek alkalmazását. Szerinte az algebra és az analízis két külön világ. Időközben kiderült, hogy a téma művelői elsősorban orosz és ukrán kutatók nem így gondolkoztak. Ma már elfogadott az algebra és az analízis együttes alkalmazása az egész világon. Ugyanakkor a magyar kutatók figyelmét ez a kérdéskör elkerülte. Egy algebrai vagy differenciálegyenlet szimmetriacsoportjának ismerete megkönnyíti a megoldás megkeresését. A változók szétválasztásának módszere, alkalmas skálák választása, a geometria algebrai módszerekkel történő leírása ezek a kiválasztott témák kaptak helyt jelen munkában. Mindezen eredmények gyakorlati alkalmazása nem lenne lehetséges az algebra numerikus módszereinek látványos fejlődése nélkül. Az utóbbi évtizedben ezek az eredmények az interneten is elérhető programokban, és a bennük megtestesülő modern numerikus módszerekben is megtalálhatóak. Röviden kitérünk a (nem csoportelméleti) numerikus módszerekre is. A vizsgálat célja, hogy a kezelhetőnek ítélt esetek egy részének tárgyalására is legyen mód. A gyakorlatban előforduló peremérték-feladatok (ilyenek a szilárdtest fizikában összetett elemi cellák elektronnívóinak számítása, vagy a DNS szerkezetéhez kapcsolódó vizsgálatok) többnyire csak numerikus módszerekkel tárgyalhatóak. Ha a probléma mérete kétségessé teszi a szokásos numerikus módszerek sikerét, akkor is lehet alkalom a megoldás egyes tulajdonságainak meghatározására, vagy éppen a numerikus módszer olyan megfogalmazására, ami már sikerrel kecsegtet. Végül a csoportelmélet két, a peremértékekhez nem kapcsolódó feladatban elért sikerét mutatom be. Az első a polinomok gyökképletével kapcsolatos, a második pedig egy valószínűségszámítási feladat megoldása. Terjedelmi okokból a bizonyításokat mellőztem, azok megtalálhatóak egy csoportelméleti tankönyvben vagy előadásban, esetleg kézikönyvekben. Az alkalmazott érvelés néha matematikai jellegű, de ha az bizonyul egyszerűbbnek, a fizikai érvelést követem. Remélem, sikerül eloszlatni azt az elsősorban matematikus körökben elterjedt nézetet, miszerint a csoportelmélet egy absztrakt, de meglehetősen haszontalan tudomány. A tárgyalásmód nem a csoportelméleti könyvek többségében megszokott szigorú rendet követi. Ennek egyik oka a terjedelem korlátja. A 2.-11. fejezetek mindegyike megtöltene egy teljes kötetet, ha a precíz kifejtést követném. Remélhetően az olvasó követni tudja a gondolatmenetet és megismeri az alkalmazott eszközöket. Ha pedig érdeklődik egy téma
Előszó iii iránt, az irodalomjegyzékben talál monográfiákat, amelyek részletesen tárgyalják az adott kérdéskört. A vizsgálatok során gyakran esik szó matematikai objektumokról (halmaz, sokaság, eukleidészi tér, Hilbert-tér, csoport, Lie-algebra, stb.). Ezek leírására két mód is kínálkozott. Az első leírási módot lokálisnak lehet nevezni, mert benne a leírt objektumot koordinátákkal adjuk meg, a koordinátákhoz pedig ismert módon kapcssolható távolság és topológia. Erre a leírásmódra közismert példa egy ortonormált bázissal ellátott Hilbert-tér. Segítségével a Hilbert-téren ható operátorokat végtelen mátrixokkal lehet leírni. A másik leírási mód arra helyezi a hangsúlyt, hogy számos objektum kezelhető azonos módon, ezért az objektumot globális módon jellemezzük, például eltekintünk a koordináták használatától. Ezt a tárgyalásmódot az teszi lehetővé, hogy egyes objektumok között kölcsönösen egyértelmű, invertálható, sima leképezés teremt kapcsolatot, és a leírás egyaránt vonatkozhat bármelyik objektumra. Erre példának felhozható az R n dimenziós tér két nyílt részhalmaza, amelyeknek pontjai kölcsönösen megfeletethetőek. Megemlítem, hogy ennek a nézőpontnak egyik terméke a topológiában alkalmazott sokaság fogalma, ld. Alexandrov munkáját. Természetesen célszerű általános megfogalmazást használni, de alkalomadtán előnyös a koordináták adta lehetőségeket kihasználni. Ezért a két nézet szükségszerűen keveredik. Amikor lokális koordinátákról beszélünk, arra kívánjuk felhívni a figyelmet, hogy az adott objektum adott koordinátarendszeréről van szó.
iv Előszó Köszönetnyilvánítás Az anyag gyűjtésében nagy szeret kapott az internet. Gyakran felhasználtam a GAP, a MATHEMATICA és a Maple programokban található információt. Ezen felül, az egyes részek anyagai közismert könyvekre épülnek, ezek listáját a jegyzet végén találja az olvasó. Mégis külön köszönet illeti az alábbi művek szerzőit: A 4. fejezet Willard Miller könyvének anyagára (azon belül is elsősorban az 1. fejezetre) épül. Az 5. fejezet nagyrészt Peter J. Olver és N. H. Ibragimov könyvének anyagára épül, de felhasználtam W. Hereman anyagát is a CRC Handbook-ból. A 6. fejezetben többek között Charles Kittel, a Landau-Lifsic V. kötete, S. L: Altman könyve szolgált kiindulásul. A 7. fejezetben David Sattinger, Az 7.5 fejezet teljes egészében Wagner István munkájára épül. Külön köszönet azért, hogy a többnyire publikálatlan eredményeit Wagner istván rendelkezésemre bocsátotta. A 9. fejezetben Richard S. Varga könyve volt segítségemre, a 10. fejezetben Farkas Miklós, a 11. fejezetben Artois jegyzete, és egy sor internetről hozzáférhető kézirat segített. A 12. fejezet Nifenecker cikkére épül.
Contents Előszó Tartalomjegyzék i v Bevezetés 1 1 Csoportelmélet a fizikában 5 Csoportelmélet a fizikában 5 1.1 Jelölések...................................... 7 2 Csoportelméleti és geometriai alapok 11 2.1 Jelölés....................................... 12 2.2 Diszkrét csoportok................................ 13 2.2.1 Szorzatábrázolás............................. 24 2.2.2 Ábrázolások direkt szorzata, tenzorok felbontása, Clebsch-Gordan együtthatók................................... 24 2.3 Folytonos csoportok................................ 26 2.3.1 Lie-csoportok............................... 26 2.3.2 Lie-Bäcklund csoport........................... 33 2.4 Cayley-diagram.................................. 35 2.5 Forgáscsoport, Lorentz-csoport.......................... 41 2.5.1 Forgáscsoport............................... 41 2.5.2 Lorentz-csoport.............................. 45 2.5.3 Irodalom.................................. 52 3 Segédeszközök a csoportelméleti számításokhoz 53 3.1 MAGMA..................................... 55 3.2 GAP........................................ 59 3.3 MAPLE 7..................................... 64 3.4 Segédeszközök az interneten........................... 65 4 A változók szétválasztásának módszere 67 4.1 Jelölések...................................... 68 4.2 A módszer..................................... 68 4.3 A változók szeparálásának felhasználása.................... 76 v
vi CONTENTS 4.3.1 Az S = M 2 -hez tartozó pálya...................... 78 4.3.2 Az S = P 2 2-hez tartozó pálya....................... 79 4.3.3 Az S = {M, P 2 }-hez tartozó pálya................... 80 4.3.4 Az S = M 2 + d 2 P 2 1-hez tartozó pálya.................. 82 5 Egyenletek szimmetriáinak meghatározása 85 5.1 Egyenletek szimmetriája............................. 86 5.2 Differenciálegyenletek szimmetriája....................... 89 5.3 Kvadratúrával megoldható differenciálegyenletek................ 98 5.4 Algoritmusok................................... 101 5.4.1 A Lie-szimmetriákat meghatározó egyenlet kiszámítása........ 101 5.4.2 Az egyenlet kanonikus alakra hozása.................. 103 5.4.3 A Lie-csoport meghatározása...................... 103 5.4.4 Szimbolikus algoritmusok........................ 103 5.5 Szimmetriák és megmaradási tételek...................... 105 5.5.1 Variációs feladat............................. 105 5.6 Irodalom...................................... 109 6 Kristályrácsok osztályozása 111 6.1 A kristályok szerkezete.............................. 112 6.1.1 A sík és a tér szimmetriái........................ 113 6.2 Véges csoportok osztályozása.......................... 121 6.2.1 Pontcsoportok osztályozása....................... 121 6.2.2 Általános véges csoportok osztályozása................. 128 6.3 Bloch-függvények................................. 131 7 Algebra és geometria 139 7.1 Jelölés....................................... 140 7.2 Skálák....................................... 143 7.3 Turbulencia.................................... 146 7.4 Káosz és szimmetriák............................... 150 7.5 Összetett tartomány............................... 161 7.5.1 Green-függvény előállítása........................ 167 7.6 Lorentz-transzformáció.............................. 170 7.6.1 Geometriai viszonyok........................... 170 7.6.2 A geometriai viszonyok kiválasztása................... 179 7.6.3 A fizikai probléma............................ 179 7.6.4 Téridő transzformáció, komponensek transzformációja......... 180 7.6.5 Sorozattranszformáció.......................... 187 7.6.6 A jelölésről................................. 193 8 A peremérték-feladat 195 8.1 A peremérték-feladat szimmetriája....................... 202 8.2 A fedőcsoport használata............................. 207 8.3 Irreducibilis komponensek előállítása...................... 211 8.4 A reszponz mátrix néhány tulajdonsága..................... 213
CONTENTS vii 8.5 Nem egyenletes anyageloszlás.......................... 215 9 Numerikus módszerek 219 9.1 Gyenge megoldás................................. 221 9.2 Az iteráció..................................... 223 9.3 A próbafüggvények és a súlyfüggvények kiválasztása.............. 225 9.3.1 Végesdifferencia-módszer......................... 225 9.3.2 Végeselem-módszer............................ 227 9.3.3 Nodális módszer.............................. 232 9.4 Az egyenletrendszer megoldása.......................... 233 9.4.1 Véges differencia módszer........................ 233 9.4.2 Végeselem-módszer............................ 235 9.4.3 Nodális módszer.............................. 236 9.5 Diszkretizáció, invariáns megoldás, a szimmetriák kihasználása........ 240 9.5.1 Mimetikus diszkretizáció......................... 240 9.5.2 A div, grad és rot operátorok diszkretizált alakja........... 243 9.5.3 Diszkretizált, invariáns megoldás.................... 247 9.5.4 Iteráció és szimmetriák.......................... 256 10 Speciális függvények 259 10.1 A változók szátválasztásához kapcsolódó függvények.............. 260 10.1.1 Legendre-polinomok........................... 260 10.1.2 Bessel-függvények............................. 263 10.1.3 Mathieu-függvények........................... 266 10.1.4 Parabolikus hengerfüggvények...................... 268 10.2 Gömbfüggvények................................. 268 10.3 Elliptikus függvények............................... 271 10.4 Hermite-polinomok................................ 272 11 A Galois elmélet 275 11.1 Gyökök és együtthatók.............................. 278 11.1.1 A Galois-elmélet............................. 280 11.2 Differenciál-egyenletek invarianciája....................... 282 11.3 Differenciálegyenletek Galois elmélete...................... 285 11.3.1 Eljárások a megoldás meghatározására................. 289 11.3.2 Algoritmusok............................... 293 11.4 Gépi eljárások................................... 296 11.5 Irodalom...................................... 297 12 Algebra és valószínűség 299 12.1 Elágazó folyamatok................................ 300 12.2 Neutrondetektorok hatékonysága........................ 305 13 Definíciók 311 Irodalom 314
viii Tartalomjegyzék Példák 317
Bevezetés 1 Aki fizikai feladatok megoldására adja a fejét, annak gyakran lesz szüksége matematikai eszközökre. Ha egy kifejezésből ki kell fejezni egy abban szereplő paramétert, egy (gyakran nemlineáris) egyenletet kell megoldani. Ha a fizikai folyamat leírására differenciálegyenlet (vagy integrálegyenlet) szolgál, a megoldás ismét matematikai eszközökkel történik. Egy fizikai feladat megoldásában gyakran nem elegendő kiválasztani egy matematikai módszert, figyelembe kell venni a fizikai feladat tulajdonságait is. Ezért a fizika egyes ágaiban használt matematikai módszerek egyediek is, általánosak is. Vegyük példaul a differenciálegyenletek megoldását. A közönséges differenciálegyenletek általános megoldásában az egyenlet általános megoldásában a határozatlan állandók száma megegyezik a differenciálegyenlet rendjével. Az egyenlet megoldása így két lépésből áll, az elsőben meghatározzuk az általános megoldást, a másodikban pedig rögzítjük az általános megoldás szabad együtthatóit. A parciális differenciálegyenleteknél már más a helyzet. Az egyenletek megoldása sokkal gazdagabb, minthogy néhány konstanssal le lehetne írni. A megoldások halmaza szűkíthető, egyes esetekben egyértelművé is tehető, ha a megoldást csak egy tartományon vizsgáljuk és a tartomány határán alkalmas feltételeket szabunk meg. Ismeretes, hogy a komplex síkon értelmezett síma függvények kielégítik a Laplace-egyenletet. Ha azonban a függvény értékét rögzítjük egy zárt görbe mentén, a görbe belső pontjaiban a függvény értéke egyértelműen meghatározott. A parciális differenciál-egyenletek elmélete nem ad útmutatást arra nézve, milyen peremfélteleket lehet egy adott egyenlethez megszabni úgy, hogy a megoldás egyértelmű legyen. A tankönyvek nagyrészt az elméleti fizika által felvetett problémákat tárgyalják, tehát az egyenletek is, a peremfeltételek is adottak. Azonban könnyen belátható, hogy a fizika egyenleteihez nem feltétlenül egy peremfeltétel adható meg. Példának felhozható a rugalmas rezgés, ami megoldható akár rögzített peremmel (ez fizikailag úgy valósítható meg, hogy a peremet szilárdan rögzítjük), ekkor a rezgés amplitudója nulla a peremen. De megoldható szabad végek mellett is, vagy akár részben rögzített peremmel is, amikor a perem bizonyos megkötésekkel rezeghet. A fizikai problémák kapcsán felvetődik a kérdés: Honnan tudjuk, hogy egy adott fizikai feladatnak egy vagy több megoldása létezik? A fizikai feladatot kevés kivételtől eltekintve akkor tekintjük korrekt kitűzésűnek, ha a megoldás létezik és egyértelmű. Még ha igazolható is, hogy egy adott fizikai jelenségnek egyetlen megoldása létezik, nem biztos, hogy a jelenség leírására alkalmazott matematikai modellnek is csak egy megoldása létezik. Jelentős erők dolgoznak azon, hogy számos fizikai modellre igazolják: a fizikai modellhez tartozó matematikai modellnek is csak egy megoldása van. Ha több megoldás is létezik, akkor a lehetséges megoldások közül azt választjuk ki, amelyik fizikailag ésszerű, azaz, kellően sima, esetleg pozitív stb. Ez már biztosítja a megoldás egyértelműségét. Mindenesetre ébernek kell lennünk, nem szabad magától értetődőnek venni, hogy egy adott feladathoz csak egy megoldás tartozik. Az előadás célja bemutatni a modern algebrai módszerek egyes fizikai alkalmazásait. Az algebra annyira hétköznapi eszköz a fizikában, hogy gyakran nem is gondolunk rá. Egy nemlineáris egyenlet, egy lineáris egyenletrendszer megoldása a hétköznapi munka része. A fizika egyes területein (relativitáselmélet, kvantumelmélet, szilárdtestfizika) a csoportok alkalmazása természetesnek számít. A véletlen folyamatok tanulmányozásában egy speciális gráf, a fa, mint algebrai struktúra bizonyult hasznosnak. Az utóbbi évtizedben jelentős lendületet kapott a Lie-csoportok (ill. Lie-B acklund-
2 Bevezetés csoportok) alkalmazása a differenciálegyenletek vizsgálatában. Ma már programokat találunk az interneten, amelyekkel differenciál- és integro-differenciálegyenletek szimmetriáit lehet vizsgálni. Ezek használata elsősorban a numerikus módszerek kidolgozásában és ellenőrzésében lehet előnyös, de egyes területeken, mint a turbulens áramlások vizsgálata, szerepük meghatározóvá vált. A computational group theory (csoportelméleti számítógépes programok) mellett ez is egy olyan gyakorlati alkalmazása a csoportelméletnek, amely a nem csoportelméleti szakemberek számára különösen hasznosnak bizonyulhat. Fizikai feladatok széles köre kapcsolódik peremérték-feladatokhoz. Ezen a területen azonban a modern algebrai eszközös alkalmazása még távolról sem általános. Be kívánjuk mutatni, hogy a modern algebrai módszerek (csoportok, fedőcsoport, gráf) előnyösen alkalmazhatók a feladat megoldásában. Részletesen foglalkozunk azzal, hogyan lehet egy differenciálegyenlet megoldását megadni csoportelméleti módszerekkel. Elsőként a Fourier-módszert, azaz, a változók szétválasztását vizsgáljuk, de szó lesz a differenciálegyenlet rendjének csökkentéséről és az integráló tényező meghatározásáról is. Ezek a technikák széles körben használhatóak a fizikában. A kristályok szerkezetének tárgyalása kapcsán összefoglaljuk a véges csoportok tulajdonságait, megadjuk a leggyakoribb pontcsoportok karaktertábláit is. A speciális relativitáselmélet kapcsán pedig érintjük az algebra és a geometria kapcsolatát. Nem tér ki az előadás például a színképvonalak finomszerkezetének kérdéseire, noha az is algebrai eszközökkel tárgyalható. Ennek egyik oka, hogy a kérdéskör tárgyalása magyar nyelven hozzáférhető (ld. Wigner könyvét az irodalomjegyzékben). A tárgyalás egyhangúságát példák teszik változatosabbá. Ezzel az volt a célom, hogy bemutassan a bevezetett fogalmak, eszközök alkalmazását. A jegyzet végén példák találhatóak önálló megoldásra, ezek segítségével az olvasó ellenőrizheti tudását. Tekintettel arra, hogy azok a transzformációk, amelyekkel szemben egy egyenlet invariáns egy algebrai struktúrát (csoportot) alkotnak, az algebrai módszerek alkalmazása indokolt. Hasonlóképpen, ha a vizsgált térrész egyforma elemekből épül fel (pl. elemi cellákból), akkor a geometria leírására egy másik algebrai struktúrát, gráfot lehet alkalmazni. Meg kell jegyezni, hogy napjainkban a csoport elveszítette titokzatosságát, mítoszát, egyszerű hétköznapi eszköz lett belőle, mint mondjuk a szögfüggvényekből. Ha valaki a Rubik kocka leírására kíváncsi, talál olyan könyvtárakat, ahonnan letölthető egy programcsomag, ami percek alatt előállítja a Rubik-kocka szimmetriacsoportját, elkészíti a kocka két állapotát összekötő forgatás-sorozatot. Mindez a computational group theory, azaz a csoportelméleti számítások gyors fejlődésének következménye. Ugyanakkor ezen eszközök felhasználása még várat magára. Feltételeztem, hogy az olvasó már hallgatott csoportelméletet. A felhasznált fogalmakat a 13. fejezet foglalja össze, itt felfrissítheti az olvasó definíciókat. Az 1. fejezet egy rövid áttekintést ad az algebrai módszerek közül a csoportelmélet fizikai alkalmazásairól, és megadja a felhasznált jelöléseket. A 2. fejezetben összefoglaljuk a felhasználni kívánt algebrai és geometriai fogalmakat. A 3. fejezetben olyan eszközökről (számítógépi programokról) van szó, amelyek jól használhatóak csoport- vagy gráfelméleti kérdések vizsgálatában. A 4. fejezetben megvizsgáljuk, milyen koordináták használata előnyös adott szimmetriák esetében, amely választás mellett a megoldás a változókban szeparálható. Az 5. fejezetben megvizsgáljuk, hogyan lehet meghatározni egy adott egyenlet szimmetriáit. A 6. fejezetben röviden áttekintjük a kristályrácsok osztályozását, a 7.
Bevezetés 3 fejezetben az algebra és geometria kapcsolatát vizsgáljuk néhány speciális téma (skálák kiválasztása, turbulencia vizsgálta, a káoszhoz kapcsolódó néhány jelenség, a diszkretizált térfogatok és a Lorentz-transzformáció) megvizsgáljuk a peremérték-feladat szimmetriáit, bemutatjuk a fedőcsoport kihasználásának egyik módját. A 8. fejezetben bemutatjuk algebrai módszerek alkalmazását peremérték-feladatokban. A 9. fejezetben a peremértékfeladatokban alkalmazott numerikus módszerekben használható algebrai módszereket tárgyaljuk. A 10. fejezetben a fizikában legfontosabb speciális függvényeket ismertetjük. A 11. fejezetben egy egyváltozós egyenlet szimmetriáit vizsgáljuk, az eredmények alkalmazásaként bemutatjuk egy klasszikus probléma (a polinomok gyökképletének) csoportelméleti megoldását. A gyökök keresésére kidolgozott módszer átvihető a differenciálegyenletek tárgyalására is. Ezt a kérdéskört is tárgyaljuk. A 12. fejezetben bemutatunk egy példát, ahol a csoportelmélet jól alkalmazható egy részecskefizikai feladatban. A 13. fejezetben a felhasznált matematikai fogalmak definícióit találja az olvasó. A 14. fejezetben a felhasznált irodalom, a 15. fejezetben önálló megoldásra szánt példák találhatóak. Jelen jegyzetet haszonnal forgathatják mérnök, fizikus és tanárszakos hallgatók is. A jegyzetben ismertetett általános technikák (polinomok gyökképlete, egyenlet szimmetriáinak meghatározása, differenciálegyenletek integrálása, változók szétválasztása, azaz a Fouriermódszer, közelítő módszerek, numerikus megoldás) jól használható a gyakorlati munka számos területén. Ezért lehet hasznos fizikusoknak, mérnököknek, kutatóknak és tanároknak. Egy jegyzet célja persze elsősorban ötleteket adni, milyen eszközökkel érdemes alkalmazni egy feladat megoldása során. Külön kiemelem a numerikus módszerekbeli alkalmazásokat, amelyek a jegyzet írása idején még kevéssé voltak ismertek, noha már akkor is léteztek kódok, amelyekkel egy-egy adott feladat megoldását meg lehetett határozni. Budapest, 2006 május.
4 Bevezetés
Chapter 1 Csoportelmélet a fizikában 5
6 Csoportelmélet a fizikában A fizika térben és időben végbemenő folyamatokat vizsgál, amely folyamatokban fizikai kölcsönhatások is szerepet játszanak. A térben és időben egy koordinátarendszer segítségével tájékozódunk, minden ponthoz koordinátákat rendelünk, ezek segítségével értelmezhető a közel és a távol (metrika). A kölcsönhatásokat matematikai egyenletek segítségével fogalmazzuk meg, pl. a kvantummechanika a következő megfeleltetést használja a fizikai mennyiségek leírására, ld. 2.1. táblázat. Table 1.1: Fizikai és matematikai változók megfeleltetése a kvantummechanikában Fizikai változó Matematikai változó állapotfüggvény Pont az L 2 függvénytérben Skalár fizikai mennyiség Önadjungált operátor Fizikai mennyiség Operátor Változó értéke Operátor sajátértéke Átmeneti valószínűség Skalárszorzat abszolút értéke Egyszerre mérhető mennyiségek Kommutáló operátorok Az egyenleteknek meg kell felelniük a megfigyeléseknek. A megfigyelések közvetlenek (amilyen pl. egy kölcsönhatást leíró potenciál alakja) vagy elviek lehetnek. Elvi megfigyelés pl. az, hogy azonos fizikai rendszereket azonos matematikai struktúrákkal (pl. egyenlettel) kell leírni. Az elvi megfigyelések egy része azt a követelményt támasztja a matematikai struktúrával szemben, hogy annak változatlannak (invariánsnak) kell lennie olyan változásokkal szemben, amelyek a fizikai jelenséget nem érintik. Ilyen invariancia elvek: Hasonlósági elv: a fizikai kísérlet arányosan zsugorítható. Ez a kézenfekvő feltevés Fourier-től származik, az atomok felfedezése óta a feltevést elvetették, noha a mérnöki gyakorlatban egy meghatározott tartományon belül az elv alkalmazható. Egy jelenség leírása független a koordinátarendszer kezdőpontjának megválasztásától, valamint a t=0 pont megválasztásától. Másszóval, minden kísérlet megismételhető máshol és máskor. Ha egy fizikai rendszerben az azonos részecskéket felcseréljük, ugyanazt az állapotot kell kapnunk. Az invarianciához kapcsolódó matematikai konstrukció a (változók) transzformációja. Azok a transzformációk, amelyek egy egyenletet változatlanul hagynak egy algebrai struktúrát (csoportot) alkotnak. A csoport struktúrájából hasznos következtetést lehet levonni az egyenlet megoldásának tulajdonságait illetően. Ezzel a megoldásokat csoportosítani lehet, aminek sok praktikus következménye van. A közelítő módszerek megítélésében is fontos szempont, hogy a közelítő módszer megőrzi-e az eredeti egyenlet szimmetriáit, vagy hoz-e be újabbakat. Nehezen megoldható feladatok estén (ilyen például a többfázisú áramlás) ennek alapján megítélhető egy közelítő módszer pontossága. A fizika és matematika néhány területe, ahol a csoportelmélet hasznosnak bizonyult: Elemi részek osztályozása. A Lie-csoportok reprezentációi alkalmas keretet biztosítanak az elemi részecskék osztályozására. Egyes esetekben egyszerű de látványos szimmetriamegfontoláson alapuló összefüggéseket (ilyen pl. a fermionokra kimondott betöltési korlát) lehet megfogalmazni.
1.1. JELÖLÉSEK 7 Atomi színképek értelmezése. Az atomi színképek az elektronhéjban található elektronok állapotai közötti energiakülönbséggel kapcsolatosak. Az energiaszinteket pedig sajátértékfeladatok megoldásával lehet meghatározni. Szilárd testek szerkezetének osztályozása. Az egész teret nem lehet tetszőleges alakú egységek ismétlésével kitölteni. A lehetséges egységek és a kristály megfigyelt tulajdonságai között szoros kapcsolat van. Ezek a tulajdonságok a szimmetriákkal is kapcsolatba hozhatóak. Általános- és speciális relativitáselmélet. A relativitáselmélet alapgondolata: a fizikai egyenletek szerkezetének azonosnak kell lennie minden inerciarendszerben. Ebből a megfogalmazásból is kitűnik a szimmetriák fontossága. Gyökképletek magasabb fokú egyenletek megoldására. Ha van gyökképlet, akkor az egyenlet fokszáma minden gyök meghatározása után csökkenthető eggyel. A különböző fokszámú egyenletek szimmetriája közötti kapcsolat lehetőséget ad a megoldhatóság feltételeinek kimondására. Körzővel vonalzóval elvégezhető szerkesztések. A szerkeszthető pontok halmaza megfeleltethető egy algebrai egyenlet gyökeinek. Az előző pont eredményeinek felhasználásával megadható az elvégezhető szerkesztések köre. Geometriai szerkezetek tanulmányozása. Ahogyan egy véges kristályt felépíthetünk egy elemi cella ismétlésével, egy szabálytalannak tűnő alakzatot gyakran felbonthatunk elemi cellákra. A felbontás kínálja az algebrai módszerek eleőnyeit. Peremértékfeladatok. Amennyiben vannak olyan transzformációk, amelyek a feladatot változatlan formában hagyják, az invarianciát ki lehet használni. Numerikus módszerek (speciális függvények, numerikus módszerek). A legtöbb speciális függvény egy egyenlethez és egy megfelelő geometriához tartozik. Ezért vizsgálatukban a szimmetriák fontos szerepet kaphatnak. Egy egyenlet megoldását csak adott feltételek mellett lehet egyváltozós függvények szorzataként felírni. E feltételek megfogalmazásában is segít az algebra. A csoportelmélet hasznát röviden a következőekben lehet összefoglalni. Ha a csoportot alkotó transzformációk felcserélhetőek egy operátorral, akkor létezik közös sajátfüggvény rendszer. Következésképpen, az operátor sajátfüggvényeit csoportosítani lehet a transzformációk sajátfüggvényei segítségével. Ahhoz, hogy a sajátfüggvényeket csoportosítani lehessen, meg kell ismerni a csoport szerkezetét. Egy szimmetriacsoporthoz rendelhető egy invariáns mennyiség, ennek ismeretében hatékony módszereket lehet kidolgozni pl. az egyenlet megoldására. 1.1 Jelölések A jelölésekben igyekeztem a hagyományokat követni, ez azonban gyakran vezetett konfliktushoz. Ezért a jelöléseknek csak egy része egységes, egy-egy adott probléma vizsgálata során igyekeztem az ott szokásos jeölést követni, ezért minden fejezet elején van jelölésjegyzék.
8 Csoportelmélet a fizikában Általában az operátorokat és mátrixokat kövér latin nagybetűkkel jelöljük (A, B, C). Egy vektortér, ponthalmaz, vagy függvénytér jelölésére a mathbb betűtípust használjuk: X, Z, P, Q. A helyváltozóra az x jelölést használjuk, ha a változónak az a tulajdonsága lényeges, hogy egy halmaz része, míg az x jelölés a helyváltozó komponenseinek szerepét kívánja hangsúlyozni (pl. a transzformációs szabályok esetében). Halmazok A B az A és B halmazok egyesítése A B az A és B halmazok közös része A\B az A és B halmazok különbsége B A a B halmaz az A halmaz része A a az a elem része az A halmaznak a b a halmaz két elemének szorzata (amennyiben a szorzás művelete definiált) a + b a halmaz két elemének összege (amennyiben az összaadás művelete definiált) S = {x : F (x) = 0} egy adott feltételnek (itt F (x) = 0 gyökei) eleget tevő halmaz Mátrixok, operátorok A mátrix vagy operátor A 1 inverz mátrix A + adjungált mátrix A - mátrix(operátor) norma E m m m egységmátrix (operátor) P projektor operátor Függvények f(x) az x változó skalár függvénye f : A B függvény, amely az A halmaz elemeit a B halmaz elemeibe viszi át x = (x 1,..., x n ) n elemű vektor f(x) = (f 1 (x),..., f n (x)) az x változó vektorfüggvénye, n komponenssel / x x szerinti parciális derivált x1 / x 1 F x F/ x F xx 2 F/ x 2 D x Φ a Φ függvény x szerinti teljes differenciálja pr n -n-ik prolongáció g F a g csoportelem hatása az F függvényre [A, B] az A és B mennyiségek kommutátora (= AB BA) {A, B} az A és B mennyiségek antikommutátora (= AB + BA) G V (x, x 0 ) a V alakzat Green-függvénye L g az L operátor képe a g csopoertelem alatt
1.1. JELÖLÉSEK 9 Csoportok a 1,..., a n ; n generátor által előállított szabad csoport a 1,..., a n ; r 1,..., r m n generátor és m reláció által előállított csoport G -a G csoport rendje e a csoport egységeleme g 1 g 2 csoportelemek szorzata g 1 a g csoportelem inverze Gx a G csoport hatása az x elemre gx a g csoportelem hatása az x pontra (vektorra) gf(x) a g csoportelem hatása az f(x) függvényre G\N az N részcsoport G faktorcsoportja G\X a G csoport orbitja az X halmazon [G : H] a H részcsoport indexe a G csoportban [s] az s elemmel ekvivalens elemek osztálya Peremérték-feladat V ponthalmaz, sokaság, térfogat, amelyen a megoldást keressük V V határa x általános pont a V térfogatban x 0 rögzített pont (pl. forrás helye) a V térfogatban
10 Csoportelmélet a fizikában
Chapter 2 Csoportelméleti és geometriai alapok 11
12 Csoportelméleti és geometriai alapok 2.1 Jelölés Jelen fejezetben az alábbi jelölést használjuk. A csoportot többféle matematikai struktúraként is vizsgáljuk. Egy vektortér, ponthalmaz, vagy függvénytér jelölésére a mathbb betűtípust használjuk: X, Z, P, Q. A csoportelemeket kisbetűkkel (g, h, x) jelöljük, a csoportokat pedig nagybetűkkel (G, H, X). A csoportok alkalmazása során halmazok (többnyire geometriai objektumok) elemein vizsgáljuk a csoportelemek hatását. Halmazok A B az A és B halmazok egyesítése A B az A és B halmazok közös része A\B az A és B halmazok különbsége B A a B halmaz az A halmaz része A a az a elem része az A halmaznak a b a halmaz két elemének szorzata (amennyiben a szorzás művelete definiált) a + b a halmaz két elemének összege (amennyiben az összeadás művelete definiált) S = {x : F (x) = 0} egy adott feltételnek (itt F (x) = 0 gyökei) eleget tevő halmaz Mátrixok, operátorok A mátrix vagy operátor A 1 inverz mátrix A + adjungált mátrix A - mátrix(operátor) norma E m m m egységmátrix (operátor) P projektor operátor Függvények f(x) az x változó skalár függvénye f : A B függvény, amely az A halmaz elemeit a B halmaz elemeibe viszi át x = (x 1,..., x n ) n elemű vektor f(x) = (f 1 (x),..., f n (x)) az x változó vektorfüggvénye, n komponenssel / x x szerinti parciális derivált x1 / x 1 F x F/ x F xx 2 F/ x 2 D x Φ a Φ függvény x szerinti teljes differenciálja pr n -n-ik prolongáció g F a g csoportelem hatása az F függvényre [A, B] az A és B mennyiségek kommutátora (= AB BA) {A, B} az A és B mennyiségek antikommutátora (= AB + BA) G V (x, x 0 ) a V alakzat Green-függvénye L g az L operátor képe a g csopoertelem alatt
2.2. DISZKRÉT CSOPORTOK 13 Csoportok a 1,..., a n ; n generátor által előállított szabad csoport a 1,..., a n ; r 1,..., r m n generátor és m reláció által előállított csoport G -a G csoport rendje e a csoport egységeleme g 1 g 2 csoportelemek szorzata C 1, C 2,... konjugált osztályok n c a konjugált osztályok száma g 1 a g csoportelem inverze Gx a G csoport hatása az x elemre gx a g csoportelem hatása az x pontra (vektorra) gf(x) a g csoportelem hatása az f(x) függvényre G\N az N részcsoport G faktorcsoportja G\X a G csoport orbitja az X halmazon [G : H] a H részcsoport indexe a G csoportban [s] az s elemmel ekvivalens elemek osztálya 2.2 Diszkrét csoportok Legyen adott az a 1,..., a n elemek (másnéven betűk) véges halmaza, amelyek között elvégezhető a szorzás művelete, az i-ik és j-ik elemek szorzatát a i a j -vel jelöljük. Legyen minden elemnek definiált az inverze, az a i elem inverzét jelölje a 1 i. Egy szó betűk egy véges sorozatát jelenti: a τ 1 i 1 a τ 2 i 2... a τ k ik (2.1) ahol a kitevők csak a +1 vagy 1 értéket vehetik fel, az első hatványon pedig magát a betűt értjük. Két szó, s 1 és s 2 szorzatán, amit s 1 s 2 -ként írunk, a szavak egymásután írásával kapott szót értjük, először leírjuk s 1 -et, azután pedig s 2 -t. Ez nyilvánvalóan asszociatív művelet. A hosszú szavakban előfordulhat, hogy ugyanaz a betű többször szerepel egymás után. A szavak rövidítése céljából bevezetjük az a n i jelölést az a i a i... a i (n tényezőt tartalmazó) szorzatra. Az üres szóra az 1 jelölést használjuk, ezzel nyilván s1=1s bármely s szóra. Reláció alatt egy r = 1 alakú egyenletet értünk, ahol r egy szó (ebben a kontextusban relátornak szokás nevezni). Az s 1 és s 2 szavakat ekvivalensnek nevezzük az r j = 1 reláció szerint, ha s 1 átalakítható s 2 -vé az alábbi műveletek véges számú alkalmazásával: 1. Az r j betűsorozat beszúrása vagy törlése. 2. Az a 1 i a i ill. a i a 1 i betűsorozatok beszúrása vagy törlése. Az s-sel (adott relációk szerint) ekvivalens szavak osztályát (röviden ekvivalenciaosztályokat vagy osztályokat) [s] -sel jelöljük. Az ekvivalenciaosztályok közötti szorzás az alábbi definíció szerint történik: [s 1 ][s 2 ] = [s 1 s 2 ]. Ez a kifejezés jól definiált, hiszen ha s ekvivalens s-sel, akkor ss 2 ekvivalens ss 2 -vel, minthogy az a művelet, ami s-t s-vé alakítja független s 2
14 Csoportelméleti és geometriai alapok jelenlététől. s-et az [s] ekvivalenciaosztály generáló elemének nevezzük. Így belátható, hogy a szorzat független az osztályokat reprezentáló osztályelemtől. Az a struktúra, ami az a i betűkből képzett véges szavak r j relációk szerinti ekvivalenciaosztályait jelöli, egy G csoport. A G csoportban lévő elemek számát G rendjének nevezzük és G -vel jelöljük. Ha G véges, G-t véges csoportnak nevezzük. Az elnevezés jogosságához azt kell megmutatni, hogy a négy csoportaxióma (ld. 13. fejezet) teljesül. Az elemek között létezik művelet, ez a szavak egymás után írása. Ez a művelet asszociatív, ami a szorzótényezők egymás után írásából, és a tényezők asszociativitásából következik. Van egységelem, az [1], továbbá létezik inverz, hiszen [s][s 1 ] = [ss 1 ] = [1], amiből [s] 1 = [s 1 ]. Rendszerint az ekvivalencia osztályokból a zárójelet elhagyjuk, ahogyan a törteknél is 1/2-t írunk, noha az valójában az 1/2, 2/4, 3/6 stb. halmaz minden elemét jelenti. A csoportot megadhatjuk az elemek és relációk felsorolásával. Ezt a megadási módot úgy használjuk, hogy <> között felsoroljuk az elemeket, ezeket egy pontosvessző zárja, majd felsoroljuk a relációkat pl. a 1, a 2,... ; r 1, r 2,.... Mind az elemek, mind a relációk lehetnek véges vagy végtelen számúak. Az a 1, a 2,... ; r 1, r 2,... struktúrát a G csoport prezentációjának nevezzük. Egy csoportnak több prezentációja létezhet. A G csoport végesen prezentált, ha a prezentációban szereplő betűk és a relációk halmaza véges sok elemből áll. Általában a csoportelemek szorzata függ a tényezők sorrendjétől, vagyis, a 1 a 2 a 2 a 1. Azokat a csoportokat, amelyek minden a 1, a 2 elemére fennáll a 1 a 2 = a 2 a 1, Abel-csoportoknak nevezik 1. Legyen H egy (nem üres) csoport, amelynek elemei megtalálhatóak a G csoportban. Ekkor H-t G részcsoportjának nevezzük, jelölésben: H G. Az alábbi halmazokat G-nek H szerinti jobboldali mellékosztályainak nevezzük: Hg = {hg : h H} (2.2) minden g G-re. Ezek a halmazok vagy diszjunktak, vagy azonosak. A mellékosztályok G egy felbontását alkotják. A H G részcsoport mellékosztályainak száma (véges vagy végtelen) H indexe és ezt G : H -val jelöljük. Ha G véges csoport, akkor az elemek száma mindegyik H szerinti mellékosztályban véges és egyenlő H rendjével. A baloldali mellékosztályokat az alábbi halmazok adják meg: gh = {gh : h H}. (2.3) Amennyiben a baloldali és jobboldali mellékosztályok megegyeznek, a H részcsoportot a G csoport normálosztójának vagy normális részcsoportjának nevezzük. A normálosztóra nyilvánvalóan fennáll H = ghg 1. (2.4) Egy adott h elemhez tartozó, valamely g csoportelem segítségével (miközben g végigfut a csoport összes elemén) a ghg 1 művelettel, a konjugálással előállítható elemek h konjugált osztályát (vagy egyszerűen osztályát) alkotják. Az osztályok a csoport szerkezetére jellemzőek. Az Abel-csoport minden eleme egy konjugált osztályt alkot. Legyen N a G csoport egy normálosztója. G-nek az N szerinti mellékosztályai a szorzás műveletére nézve csoportot 1 Niels Henrik Abel (1802-1829) norvég matematikus tiszteletére.
2.2. DISZKRÉT CSOPORTOK 15 alkotnak, ezt a csoportot nevezik a G csoport N szerinti faktorcsoportjának, jelölése G\N. Az egységelem és G triviálisan faktorcsoportok. Ha a G csoportnak csak az egységelem és maga G faktorcsoportja, akkor G-t egyszerű csoportnak nevezzük. Azt a g G\N homomorfizmust, amely minden g G elemet a gn mellékosztályba visz, természetes vagy kanonikus homomorfizmusnak nevezzük. A normálosztók meghatározásához jól használható az alábbi megfigyelés. Az N G csoport akkor és csak akkor normális részcsoport, ha N-ben G elemei osztályonként fordulnak elő, azaz, amennyiben adott g G eleme N-nek, akkor minden hg h 1 N, ahol a g és g elemek G azonos konjugált osztályához tartozó elemek. A G csoportot feloldhatónak nevezzük, ha egymásba ágyazott normális részcsoportok sorozataként (ezt szokás normálláncnak nevezni) adhatjuk meg, a következő módon: G = G 0 G 1 G s = e és a G i 1 \G i csoport minden tagja kommutál. A G = a 1, a 2,... ; r 1, r 2,... csoport az F = a 1, a 2,... ; 2 csoport és az N = r 1, r 2,... részcsoport hányadosa. Egy G csoport G csoportba menő homomorfizmusán egy olyan f : G G leképezést értünk, amelyre f(g 1 g 2 ) = f(g 1 )f(g 2 ). Egy X halmaz transzformációján egy olyan f : X X leképezést értünk, amely X-et kölcsönösen egyértelműek képezi le önmagára. Egy G csoport f homomorfizmusa egy X halmaz transzformációcsoportjába G-nek egy hatását adja meg X-en. A csoporthatás megadásánál meg kell mondani, hogy adott g G-hez milyen X-nek milyen f(g) transzformációja tartozik 3, azaz, meg kell adnunk f(g)(x)-et minden x X-re. Egy x X elem orbitja a G transzformációcsoportra nézve az a Gx halmaz, amely a g(x) alakú elemekből áll, itt g végigfut G elemein. Az x elem stabilizátora, G x = {g : g(x) = x}, G-nek azon elemeiből áll, amelyek helyben hagyják x-et. Tekintsük azt a relációt az x, y X elemek között, amikor x-hez van olyan g G, amelyre g(x) = y. Ez egy ekvivalenciarelációt ad meg, azaz, reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Az X halmaz orbitok diszjunkt uniójára bontható; az orbitok halmaza az orbittér, amit G\X-szel jelölünk. Ha csak egy orbit van, akkor azt mondjuk, hogy G tranzitív. Legyen X topologikus tér. X automorfizmusai képezhetnek folytonos vagy diszkrét csoportot. X automorfizmusainak egy G csoportját diszkrétnek (itt a diszkrét a folytonos ellentéteként értendő) nevezzük, ha minden K X kompakt részhalmazra csupán véges sok olyan g G elem létezik, amelyre K gk nem üres. Ha minden x X pont stabilizátora csak g egységeleméből áll, akkor azt mondjuk a G csoport szabadon hat az X halmazon. G orbitjainak G\X halmazán a következő módon definiálhatunk topologiát. Amennyiben G szabadon hat X-en, akkor minden x 0 G\X pontnak van olyan környezete, amelynek az f : X G\X leképezésnél a teljes inverze az f által homeomorfan leképezett, páronként diszjunkt nyílt halmazoknak az egyesítése. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy X nem elágazó fedése G\X-nek. Természetesen a G csoport hatása G elemein is definiálható. A három leggyakrabban alkalmazott definíció: g x = gx (itt x G, az egyenlőség baloldala a csoporthatás definíciója, jobboldala pedig G-beli szorzás); g x = xg 1 ; g x = gxg 1. A fenti műveleteket balreguláris, jobbreguláris, ill. adjungált csoporthatásnak nevezzük. Adott G csoport hatását egy X halmazon többféleképpen is megadhatjuk. Például legyen 2 A relációt nem tartalmazó, n generátor által generált csoportot n elemmel genarált szabad csoportnak nevezik és F n -nel jelölik. 3 ez a jelölés arra utal, hogy az f leképezés minden csoportelem esetén más és más lehet, f(g) a g csoportelemhet tartozó leképezés
16 Csoportelméleti és geometriai alapok G egy csoport, amelynek minden g G elemének hatása, definiált, azaz gx értelmezve van, az x X pontokra. Ekkor a g csoportelem hatásaként tekinthetjük pl. a gx vagy a gxg 1 transzformációt is. Gyakran nem adható meg triviális csoporthatás. Az előző példában természetesnek tűnhet a gx definíció választása, azonban ez nincs mindig így. Például legyen G az egységnyi determinánsú 2 2-es mátrixok csoportja, amit a z > 0 komplex félsíkra alkalmazhatunk az alábbi képlettel gz = az + d cz + d. (2.5) Hozzárendelhetjük a g csoportelemhez az alábbi invertálható mátrixot: ( ) a b g =. (2.6) c d Itt tehát két defíníció is kínálkozik, egyiknek sincs kiemelt szerepe. Példa 1 A (2.5) vagy (2.6) csoporthatás az X = C komplex számtest ill. az R 2 (sík pontjai) halmazokon van értelmezve. A továbbiakban szükségünk lesz a polinomokból álló testre, amit C(x)-szel jelölünk, ha a polinom változója x, együtthatói pedig komplex számok. C(x)-en értelmezett az összeadás (a polinomokban az azonos hatványok együtthatóit kell összeadni), és a szorzás. Ha a legfeljebb n-edfokú polinomok körében kívánunk maradni, akkor a szorzást moduló (n + 1) értjük, azaz, a szorzatnak csak a legfeljebb n-ed fokú tagjait tekintjük. Ha az osztást is megengedjük, akkor a K(x) testről beszélünk, amelynek elemei a 0 + a 1 x + + a n x n b 0 + b 1 x + + b n x n. (2.7) Itt nem minden b i nulla, az együtthatók pedig a a i, b i K testből valók. Egy G csoport hatását az X halmazon primitívnek nevezzük, ha a csoporthatás tranzitív, és nem engedi meg az X halmaz nemtriviális blokkokra bontását. Egy blokkrendszer ( imprimitivitás rendszer) a G csoport egy X-en értelmezett hatása, amely nem más, mint X egy partíciója, amely változatlan marad G hatása alatt. Röviden megemlítjük még az X halmazban választandó bázis kérdésére. Amennyiben a csoporthatást szeretnénk hangsúlyozni, megfelelő bázis választására van szükség. Gondoljunk pl. arra, hogy a polinomok leírására a változók hatványait szoktuk alkalmazni, ezek bizony a csoportelemek hatása alatt összekeverednek. Lehetőség van szimmetrizált bázisok választására, azaz, olyan polinomokat választhatunk, amelyek a csoportelemek hatása alatt egyszerű módon transzformálódnak. Csoportelméleti munkákban szó esik a Gröbner-bázisról is, ennek definíciójára itt nem térünk ki, mivel általunk nem tárgyalt struktúrákat (ideál, polinomgyűrű, monomiális rendezés) használ. Ezért az érdeklődő Olvasónak a GAP leírást ajánlom. A GAP-ben használható a GroebnerBasis függvény, amely előállítja a kívánt bázist. Gyakran szükségünk van a csoporthatásra egy függvénytér elemein. Erre az alábbi definíciót szokás használni. Legyen adott az f(r) függvény, és a vizsgált csoport egy g M g ábrázolás úgy, hogy M g (r) értelmezve van. Ekkor a csoporthatás definíciója g f(x) = f ( M 1 g x ). (2.8)
2.2. DISZKRÉT CSOPORTOK 17 Minden véges csoport reprezentálható permutációkkal. Az 1,..., n elemek permutációján az elemek alábbi átrendezését értjük: ( ) 1 2 3... n (2.9) i 1 i 2 i 3... i n Nyilvánvaló, hogy a permutációk egymásutáni alkalnazása is permutáció, azaz a permutációk zártak az egymásutáni alkalmazás műveletére nézve. Könnyen belátható, hogy a csoportaxiómák teljesülnek, a permutációk csoportot alkotnak. Minden véges csoport izomorf egy permutációcsoporttal vagy annak részcsoportjával. A permutációk ábrázolásakor csak az alsó sort szokás felírni, azokat az elemeket, amelyek egymás között permutálunk egy zárójelbe. Így pl. ( ) 1 2 3 4 5 6 = (124)(35)(6) (2.10) 2 4 5 1 3 6 mert az (124) elemek egy háromelemű, (35) egy kételemű, (6) pedig egy egyelemű ciklust alkot. 4 Az egységelem n egyelemű ciklusból áll, de ennek jelölésére az üres zárójelet () szokás használni. A ciklus invariáns a ciklus elemeinek ciklikus permutációjára, pl. (124) = (241) = (412), de (124) (142). A közös elemet nem tartalmazó ciklusok sorrendje felcserélhető, pl. (124)(35) = (35)(124). A ciklusban szereplő elemek száma a ciklus hossza és ( (i1 i 2 i 3... i k ) k = (). ) (2.11) Bármely ciklus felírható transzpozíciók szorzataként: Ez a felbontás nem egyértelmű. Végül két hasznos azonosság: (ijk... l) = (ij)(jk)...(kl). (2.12) (ik... lmi) = (k... lm) (2.13) (ik... lm)(mn... p) = (ik... lmn... p). (2.14) A fenti összefüggések segítségével belátható, hogy tetszőleges permutáció előállítható kételemű ciklusokból, amelyeket transzpozíciónak neveznek. Azokat a permutációkat, amelyeket páros transzpozícióval állíthatunk elő, páros permutációnak nevezik. A páros permutációk alcsoportot alkotnak, az alternáló csoportot. Az alternáló csoport indexe 2, mivel a páros és páratlan permutációk között egy-egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Példa 2 (A szabályos hatszög szimmetriacsoportja C 6v ) A csoport permutációkkal az alábbi módon állítható elő. Számozzuk meg a hatszög csúcsait az óramutató járásával megegyező irányban. A csoport generátoraként egy forgatást és egy tükrözést lehet választani. Legyen α = (123456), ami egy π/3 szögű forgatás, és β = (26)(35), ami az 1, 4 csúcsokon átmenő síkra vett tükrözést jelenti. Az olvasó könnyen ellenőrizheti, hogy β 2 = (), α 6 = (), és a két generátor segítségével a C 6v csoport minden eleme előállítható. A csoport elemei hat konjugált osztályt alkotnak. Az elsőben az egységelem van: (); a másodikban három elem van, három tükrözés a hatszög csúcsain átmenő síkokra, ezek egyike (26)(35); a harmadikban három elem található, a három lapközépen átmenő síkra vett tükrözés, az egyik 4 Az egyelemű ciklust csak akkor érdemes kiírni, ha jelezni kívánjuk a permutáció hosszát.