Modern algebrai módszerek fizikai alkalmazásai. Makai Mihály Budapesti Műszaki Egyetem Nukleáris Technikai Intézet KFKI Atomenergiakutató Intézet

Átírás

1 Modern algebrai módszerek fizikai alkalmazásai Makai Mihály Budapesti Műszaki Egyetem Nukleáris Technikai Intézet KFKI Atomenergiakutató Intézet 2007

2 Tartalomjegyzék 1. Csoportelmélet a fizikában Jelölések Csoportelméleti és geometriai alapok Jelölés Diszkrét csoportok Szorzatábrázolás Ábrázolások direkt szorzata, tenzorok felbontása, Clebsch-Gordan együtthatók Folytonos csoportok Lie-csoportok Lie-Bäcklund csoport Cayley-diagram Forgáscsoport, Lorentz-csoport Forgáscsoport Lorentz-csoport Irodalom Segédeszközök a csoportelméleti számításokhoz MAGMA GAP MAPLE Segédeszközök az interneten A változók szétválasztásának módszere Jelölések A módszer A változók szeparálásának felhasználása Az S = M 2 -hez tartozó pálya Az S = P 2 2-hez tartozó pálya Az S = {M, P 2 }-hez tartozó pálya

3 Az S = M 2 + d 2 P 2 1-hez tartozó pálya Egyenletek szimmetriáinak meghatározása Egyenletek szimmetriája Differenciálegyenletek szimmetriája Kvadratúrával megoldható differenciálegyenletek Algoritmusok A Lie-szimmetriákat meghatározó egyenlet kiszámítása Az egyenlet kanonikus alakra hozása A Lie-csoport meghatározása Szimbolikus algoritmusok Szimmetriák és megmaradási tételek Variációs feladat Kristályrácsok osztályozása A kristályok szerkezete A sík és a tér szimmetriái Véges csoportok osztályozása Pontcsoportok osztályozása Általános véges csoportok osztályozása Bloch-függvények Algebra és geometria Jelölés Skálák Turbulencia Káosz és szimmetriák Összetett tartomány Green-függvény előállítása Lorentz-transzformáció Geometriai viszonyok A geometriai viszonyok kiválasztása A fizikai probléma Téridő transzformáció, komponensek transzformációja Sorozattranszformáció A peremérték-feladat A peremérték-feladat szimmetriája A fedőcsoport használata Irreducibilis komponensek előállítása A reszponz mátrix néhány tulajdonsága

4 8.5. Nem egyenletes anyageloszlás Numerikus módszerek Gyenge megoldás Az iteráció A próbafüggvények és a súlyfüggvények kiválasztása Végesdifferencia-módszer Végeselem-módszer Nodális módszer Az egyenletrendszer megoldása Véges differencia módszer Végeselem-módszer Nodális módszer Diszkretizáció, invariáns megoldás, a szimmetriák kihasználása Mimetikus diszkretizáció A div, grad és rot operátorok diszkretizált alakja Diszkretizált, invariáns megoldás Iteráció és szimmetriák Speciális függvények A változók szátválasztásához kapcsolódó függvények Legendre-polinomok Bessel-függvények Mathieu-függvények Parabolikus hengerfüggvények Gömbfüggvények Elliptikus függvények Hermite-polinomok A Galois elmélet Gyökök és együtthatók A Galois-elmélet Differenciál-egyenletek invarianciája Differenciálegyenletek Galois elmélete Eljárások a megoldás meghatározására Algoritmusok Gépi eljárások Irodalom

5 12.Algebra és valószínűség Elágazó folyamatok Neutrondetektorok hatékonysága Appendix Definíciók Példák Irodalom 355 4

6 Előszó 5

7 Fizika előadásokon rendszeresen elhangzanak algebrai konstrukciók megnevezései: vektortér, csoport, algebra. Ezek megismerésére a diákok elsősorban matematikai kurzusokat hallgatnak, ahol a fenti fogalmak elmélete kerül előtérbe. Jelen előadás célja fizikai alkalmazások keretében bemutatni a modern algebrai fogalmak használatát. Egy fizikus hétköznapjaiban lépten-nyomon alkalmazni kényszerül algebrai eszközöket. Leggyakrabban talán a nem-lineáris egyenlet megoldása, lineáris egyenletrendszerek megoldása bukkan fel. Ezek triviális példák. De amikor egy közönséges differenciálegyenlet integrálásáról van szó, vagy egy bonyolult fizikai rendszerben megmaradó mennyiségeket kell megkeresni, kevesen gondolnak algebrai eszközök alkalmazására. Ennek egyik oka, hogy ezek az eszközök kevéssé ismertek. A fizika egyes területein (ld. alább) elkerülhetetlen modern algebrai eszközök (elsősorban csoportelmélet) alkalmazása. A legtöbb fizikai probléma megoldását nem tudjuk megadni zárt alakban, gyakran kényszerülünk közelítő-, vagy numerikus megoldás használatára. Egy félvezetőben az elektronok Fermifelületének meghatározása, amire egy nanotechnológiai eszköz fejlesztéséhez szükség van; egy kisülési csőben az elektronsűrűség meghatározásához, egy plazma töltés- és sűrűségeloszlásának meghatározásához, egy atomerőmű zónájában a neutrongáz eloszlásának meghatározásához, egy gyorsan áramló folyadék vagy gáz leírásához ilyen közelítő megoldások állnak rendelkezésre. A példákat lehet folytatni csillagászati, úrhajózási, geofizikai, optikai problémák sorával. A modern algebra absztrakt fogalmait nem könnyű megszokni és alkalmazni. Ezért a jegyzetben gyakran talál az olvasó példákat (ezek általában nagyon egyszerűek) azzal a céllal, hogy a jelöléseket, az új fogalmakat legyen mihez kapcsolni. A numerikus módszerek egy analitikusan (differenciál-, vagy integrálegyenlet formájában) megfogalmazott feladatot leegyszerűsítenek és átalakítanak végső soron egy algebrai feladattá, többnyire lineáris egyenletrendszerré. Ezt az egyszerűbb, algebrai feladatot kell megoldani. Ilyen eszközök fejlesztése és használata során az alábbi szempontok játszanak döntő szerepet: Mi az ára a numerikus módszer használatának? Ne legyen az Olvasónak illúziója, a tetszetős, színes ábrákat produkáló CFD kód 1 is jelentős egyszerűsítéséket tartalmaz. Az a felhasználó, aki ennek nincs tudatában, alaposan pórul járhat, esetleg olyan jelenség vizsgálatára akarja a programot felhasználni, amit az nem is tud modellezni. Milyen kompromisszukat kellett kötni az egyszerűsítések érdekében? Külön meg kell vizsgálni, nem áldoztuk-e fel a végrehajthatóság oltárán a fizikai folyamat lényeges elemeit? A jelen jegyzetben leírt módszerek ismerete a szerzőnek sokat segített abban, hogy a 1 A CFD a computational fluid dynamics szavak rövidítése, a Navier-Stokes egyenletek megoldására kidolgozott numerikus módszer és program. 6

8 gyakorlatban is használható, szilárd elméleti alapokon álló algoritmusokat dolgozzon ki a geofizikában és a reaktorfizikában. Ismeretes, hogy a csoportelmélet a fizika több területén is fontos szerepet játszik, mint pl. részecskefizika, relativitáselmélet, atom- és magfizika, szilárdtestfizika. A fizikus és tanárszakos hallgatók képzésében szerepel csoportelméleti előadás is, ez azonban szükségszerűen elméleti jellegű. Jelen munka az ELTE TTK-n és a BME-n megtartott speciális kollégium anyagát tartalmazza és elsősorban az alkalmazásokra koncentrál. Rövid csoportelméleti bevezetés után a peremérték-feladatok szimmetriáit tárgyalja, majd a változók szétválasztásának módszerét, egy adott egyenlet szimmetriáinak rendszerezett megkeresését vizsgálja. A csoportelmélet gyakran összefonódik más algebrai struktúrák (testek, vektorterek, algebrák) használatával. Külön kitérünk a geometria és a csoportelmélet kapcsolatának néhány kérdésére (gráfok, fedőcsoportok), ezek ugyanis előnyösen használhatóak például egy egyenlet Green-függvényének megkonstruálására. De, a geometria és a csoport kapcsolata előkerül a speciális relativitáselméletben is. Wagner István azon felismerése, hogy a sebességösszeadás relativitáselméletben alkalmazandó módja azt is jelenti, hogy a sebességeket más geometriában célszerű tárgyalni, mint a távolságokat lehetővé tette a Lorentz-transzformáció egyes hiányosságainak kiküszöbölését. A bemutatandó módszer két pillére az algebra és az analízis. A szerző megdöbbenve tapasztalta, hogy egy sikeres, fiatal amerikai kolléga, aki eredményeket ért el a peremértékfeladatok terén, a kilencvenes évek közepén elképzelhetetlennek tartotta algebrai módszerek alkalmazását. Szerinte az algebra és az analízis két külön világ. Időközben kiderült, hogy a téma művelői elsősorban orosz és ukrán kutatók nem így gondolkoztak. Ma már elfogadott az algebra és az analízis együttes alkalmazása az egész világon. Ugyanakkor a magyar kutatók figyelmét ez a kérdéskör elkerülte. Egy algebrai vagy differenciálegyenlet szimmetriacsoportjának ismerete megkönnyíti a megoldás megkeresését. A változók szétválasztásának módszere, alkalmas skálák választása, a geometria algebrai módszerekkel történő leírása ezek a kiválasztott témák kaptak helyt jelen munkában. Mindezen eredmények gyakorlati alkalmazása nem lenne lehetséges az algebra numerikus módszereinek látványos fejlődése nélkül. Az utóbbi évtizedben ezek az eredmények az interneten is elérhető programokban, és a bennük megtestesülő modern numerikus módszerekben is megtalálhatóak. Röviden kitérünk a (nem csoportelméleti) numerikus módszerekre is. A vizsgálat célja, hogy a kezelhetőnek ítélt esetek egy részének tárgyalására is legyen mód. A gyakorlatban előforduló peremérték-feladatok (ilyenek a szilárdtest fizikában összetett elemi cellák elektronnívóinak számítása, vagy a DNS szerkezetéhez kapcsolódó vizsgálatok) többnyire csak numerikus módszerekkel tárgyalhatóak. Ha a probléma mérete kétségessé teszi a szokásos numerikus módszerek sikerét, akkor is lehet alkalom a megoldás egyes tulajdonságainak meghatározására, vagy éppen a numerikus módszer olyan megfogalmazására, ami már sikerrel kecsegtet. Végül a csoportelmélet két, a peremértékekhez nem kapcsolódó feladatban elért sikerét mutatom be. Az első a polinomok gyökképletével 7

9 kapcsolatos, a második pedig egy valószínűségszámítási feladat megoldása. Terjedelmi okokból a bizonyításokat mellőztem, azok megtalálhatóak egy csoportelméleti tankönyvben vagy előadásban, esetleg kézikönyvekben. Az alkalmazott érvelés néha matematikai jellegű, de ha az bizonyul egyszerűbbnek, a fizikai érvelést követem. Remélem, sikerül eloszlatni azt az elsősorban matematikus körökben elterjedt nézetet, miszerint a csoportelmélet egy absztrakt, de meglehetősen haszontalan tudomány. A tárgyalásmód nem a csoportelméleti könyvek többségében megszokott szigorú rendet követi. Ennek egyik oka a terjedelem korlátja. A fejezetek mindegyike megtöltene egy teljes kötetet, ha a precíz kifejtést követném. Remélhetően az olvasó követni tudja a gondolatmenetet és megismeri az alkalmazott eszközöket. Ha pedig érdeklődik egy téma iránt, az irodalomjegyzékben talál monográfiákat, amelyek részletesen tárgyalják az adott kérdéskört. A vizsgálatok során gyakran esik szó matematikai objektumokról (halmaz, sokaság, euklideszi tér, Hilbert-tér, csoport, Lie-algebra, stb.). Ezek leírására két mód is kínálkozott. Az első leírási módot lokálisnak lehet nevezni, mert benne a leírt objektumot koordinátákkal adjuk meg, a koordinátákhoz pedig ismert módon kapcsolható távolság és topológia. Erre a leírásmódra közismert példa egy ortonormált bázissal ellátott Hilberttér. Segítségével a Hilbert-téren ható operátorokat végtelen mátrixokkal lehet leírni. A másik leírási mód arra helyezi a hangsúlyt, hogy számos objektum kezelhető azonos módon, ezért az objektumot globális módon jellemezzük, például eltekintünk a koordináták használatától. Ezt a tárgyalásmódot az teszi lehetővé, hogy egyes objektumok között kölcsönösen egyértelmű, invertálható, sima leképezés teremt kapcsolatot, és a leírás egyaránt vonatkozhat bármelyik objektumra. Erre példának felhozható az n dimenziós R n tér két nyílt részhalmaza, amelyeknek pontjai kölcsönösen megfeleltethetőek. Megemlítem, hogy ennek a nézőpontnak egyik terméke a topológiában alkalmazott sokaság fogalma, ld. Alexandrov[1] munkáját. Természetesen célszerű általános megfogalmazást használni, de alkalomadtán előnyös a koordináták adta lehetőségeket kihasználni. Ezért a két nézet szükségszerűen keveredik. Amikor lokális koordinátákról beszélünk, arra kívánjuk felhívni a figyelmet, hogy az adott objektum adott koordináta-rendszeréről van szó. A 11 fejezet a fizikában gyakran szükséges differenciálegyenletek megoldásával foglalkozik. Megértése komoly algebrai ismereteket tételez fel, ezért az Olvasó ezt a részt átugorhatja, a többi fejezet megértéséhez nem szükségesek az itteni ismeretek. 8

10 Köszönetnyilvánítás Az anyag gyűjtésében nagy szeret kapott az internet. Gyakran felhasználtam a GAP [10], a MATHEMATICA és a Maple programokban található információt. Ezen felül, az egyes részek anyagai közismert könyvekre épülnek, ezek listáját a jegyzet végén találja az olvasó. Mégis külön köszönet illeti az alábbi művek szerzőit: A 4. fejezet Willard Miller könyvének[28] anyagára (azon belül is elsősorban annak 1. fejezetre) épül. Az 5. fejezet nagyrészt Peter J. Olver [31] és N. H. Ibragimov [15] könyvének anyagára épül, de felhasználtam W. Hereman anyagát is a CRC Handbook-ból [13]. A 6. fejezetben többek között Charles Kittel [21], a Landau-Lifsic V. kötete [25], S. L. Altman [2] könyve szolgált kiindulásul. A 5. fejezetben David Sattinger [37], A fejezet teljes egészében Wagner István munkájára épül. Külön köszönet azért, hogy a többnyire publikálatlan eredményeit Wagner István rendelkezésemre bocsátotta. A 9. fejezetben Richard S. Varga[48] könyve volt segítségemre, a 10. fejezetben Farkas Miklós [8] és [48], a 11. fejezetben Artin jegyzete[3], és egy sor internetről hozzáférhető kézirat segített. A 12. fejezet Pál Lénárd [34],[33] kézirataira és Nifenecker [30] cikkére épül. 9

11 Bevezetés 10

12 Aki fizikai feladatok megoldására adja a fejét, annak gyakran lesz szüksége matematikai eszközökre. Ha egy kifejezésből ki kell fejezni egy abban szereplő paramétert, egy (gyakran nemlineáris) egyenletet kell megoldani. Ha a fizikai folyamat leírására differenciálegyenlet (vagy integrálegyenlet) szolgál, a megoldás ismét matematikai eszközökkel történik. Egy fizikai feladat megoldásában gyakran nem elegendő kiválasztani egy matematikai módszert, figyelembe kell venni a fizikai feladat tulajdonságait is. Ezért a fizika egyes ágaiban használt matematikai módszerek egyediek is, általánosak is. Vegyük példaul a differenciálegyenletek megoldását. A közönséges differenciálegyenletek általános megoldásában az egyenlet általános megoldásában a határozatlan állandók száma megegyezik a differenciálegyenlet rendjével. Az egyenlet megoldása így két lépésből áll, az elsőben meghatározzuk az általános megoldást, a másodikban pedig rögzítjük az általános megoldás szabad együtthatóit. A parciális differenciálegyenleteknél már más a helyzet. Az egyenletek megoldása sokkal gazdagabb, minthogy néhány konstanssal le lehetne írni. A megoldások halmaza szűkíthető, egyes esetekben egyértelművé is tehető, ha a megoldást csak egy tartományon vizsgáljuk és a tartomány határán alkalmas feltételeket szabunk meg. Ismeretes, hogy a komplex síkon értelmezett síma függvények kielégítik a Laplace-egyenletet. Ha azonban a függvény értékét rögzítjük egy zárt görbe mentén, a görbe belső pontjaiban a függvény értéke egyértelműen meghatározott. A parciális differenciál-egyenletek elmélete nem ad útmutatást arra nézve, milyen peremfélteleket lehet egy adott egyenlethez megszabni úgy, hogy a megoldás egyértelmű legyen. A tankönyvek nagyrészt az elméleti fizika által felvetett problémákat tárgyalják, tehát az egyenletek is, a peremfeltételek is adottak. Azonban könnyen belátható, hogy a fizika egyenleteihez nem feltétlenül egy peremfeltétel adható meg. Példának felhozható a rugalmas rezgés, ami megoldható akár rögzített peremmel (ez fizikailag úgy valósítható meg, hogy a peremet szilárdan rögzítjük), ekkor a rezgés amplitudója nulla a peremen. De megoldható szabad végek mellett is, vagy akár részben rögzített peremmel is, amikor a perem bizonyos megkötésekkel rezeghet. A fizikai problémák kapcsán felvetődik a kérdés: Honnan tudjuk, hogy egy adott fizikai feladatnak egy vagy több megoldása létezik? A fizikai feladatot kevés kivételtől eltekintve akkor tekintjük korrekt kitűzésűnek, ha a megoldás létezik és egyértelmű. Még ha igazolható is, hogy egy adott fizikai jelenségnek egyetlen megoldása létezik, nem biztos, hogy a jelenség leírására alkalmazott matematikai modellnek is csak egy megoldása létezik. Jelentős erők dolgoznak azon, hogy számos fizikai modellre igazolják: a fizikai modellhez tartozó matematikai modellnek is csak egy megoldása van. Ha több megoldás is létezik, akkor a lehetséges megoldások közül azt választjuk ki, amelyik fizikailag ésszerű, azaz, kellően sima, esetleg pozitív stb. Ez már biztosítja a megoldás egyértelműségét. Mindenesetre ébernek kell lennünk, nem szabad magától értetődőnek venni, hogy egy adott feladathoz csak egy megoldás tartozik. Az előadás célja bemutatni a modern algebrai módszerek egyes fizikai alkalmazásait. Az algebra annyira hétköznapi eszköz a fizikában, hogy gyakran nem is gondolunk rá. Egy nemlineáris egyenlet, egy lineáris egyenletrendszer megoldása a hétköznapi munka 11

13 része. A fizika egyes területein (relativitáselmélet, kvantumelmélet, szilárdtestfizika) a csoportok alkalmazása természetesnek számít. A véletlen folyamatok tanulmányozásában egy speciális gráf, a fa, mint algebrai struktúra bizonyult hasznosnak. Az utóbbi évtizedben jelentős lendületet kapott a Lie-csoportok (ill. Lie-Bäcklundcsoportok) alkalmazása a differenciálegyenletek vizsgálatában. Ma már programokat találunk az interneten, amelyekkel differenciál- és integro-differenciálegyenletek szimmetriáit lehet vizsgálni. Ezek használata elsősorban a numerikus módszerek kidolgozásában és ellenőrzésében lehet előnyös, de egyes területeken, mint a turbulens áramlások vizsgálata, szerepük meghatározóvá vált. A computational group theory (csoportelméleti számítógépes programok) mellett ez is egy olyan gyakorlati alkalmazása a csoportelméletnek, amely a nem csoportelméleti szakemberek számára különösen hasznosnak bizonyulhat. Fizikai feladatok széles köre kapcsolódik peremérték-feladatokhoz. Ezen a területen azonban a modern algebrai eszközös alkalmazása még távolról sem általános. Be kívánjuk mutatni, hogy a modern algebrai módszerek (csoportok, fedőcsoport, gráf) előnyösen alkalmazhatók a feladat megoldásában. Részletesen foglalkozunk azzal, hogyan lehet egy differenciálegyenlet megoldását megadni csoportelméleti módszerekkel. Elsőként a Fourier-módszert, azaz, a változók szétválasztását vizsgáljuk, de szó lesz a differenciálegyenlet rendjének csökkentéséről és az integráló tényező meghatározásáról is. Ezek a technikák széles körben használhatóak a fizikában. A kristályok szerkezetének tárgyalása kapcsán összefoglaljuk a véges csoportok tulajdonságait, megadjuk a leggyakoribb pontcsoportok karaktertábláit is. A speciális relativitáselmélet kapcsán pedig érintjük az algebra és a geometria kapcsolatát. Nem tér ki az előadás például a színképvonalak finomszerkezetének kérdéseire, noha az is algebrai eszközökkel tárgyalható. Ennek egyik oka, hogy a kérdéskör tárgyalása magyar nyelven hozzáférhető (ld. Wigner könyvét az irodalomjegyzékben). A tárgyalás egyhangúságát példák teszik változatosabbá. Ezzel az volt a célom, hogy bemutassan a bevezetett fogalmak, eszközök alkalmazását. A jegyzet végén példák találhatóak önálló megoldásra, ezek segítségével az olvasó ellenőrizheti tudását. Tekintettel arra, hogy azok a transzformációk, amelyekkel szemben egy egyenlet invariáns egy algebrai struktúrát (csoportot) alkotnak, az algebrai módszerek alkalmazása indokolt. Hasonlóképpen, ha a vizsgált térrész egyforma elemekből épül fel (pl. elemi cellákból), akkor a geometria leírására egy másik algebrai struktúrát, gráfot lehet alkalmazni. Meg kell jegyezni, hogy napjainkban a csoport elveszítette titokzatosságát, mítoszát, egyszerű hétköznapi eszköz lett belőle, mint mondjuk a szögfüggvényekből. Ha valaki a Rubik kocka leírására kíváncsi, talál olyan könyvtárakat, ahonnan letölthető egy programcsomag, ami percek alatt előállítja a Rubik-kocka szimmetriacsoportját, elkészíti a kocka két állapotát összekötő forgatás-sorozatot. Mindez a computational group theory, azaz a csoportelméleti számítások gyors fejlődésének következménye. Ugyanakkor ezen eszközök felhasználása még várat magára. Feltételeztem, hogy az olvasó már hallgatott csoportelméletet. A felhasznált fogal- 12

14 makat a 13. fejezet foglalja össze, itt felfrissítheti az olvasó definíciókat. Az 1. fejezet egy rövid áttekintést ad az algebrai módszerek közül a csoportelmélet fizikai alkalmazásairól, és megadja a felhasznált jelöléseket. A 2. fejezetben összefoglaljuk a felhasználni kívánt algebrai és geometriai fogalmakat. A 3. fejezetben olyan eszközökről (számítógépi programokról) van szó, amelyek jól használhatóak csoport- vagy gráfelméleti kérdések vizsgálatában. A 4. fejezetben megvizsgáljuk, milyen koordináták használata előnyös adott szimmetriák esetében, amely választás mellett a megoldás a változókban szeparálható. Az 5. fejezetben megvizsgáljuk, hogyan lehet meghatározni egy adott egyenlet szimmetriáit. A 6. fejezetben röviden áttekintjük a kristályrácsok osztályozását, a 7. fejezetben az algebra és geometria kapcsolatát vizsgáljuk néhány speciális téma (skálák kiválasztása, turbulencia vizsgálta, a káoszhoz kapcsolódó néhány jelenség, a diszkretizált térfogatok és a Lorentz-transzformáció) megvizsgáljuk a peremérték-feladat szimmetriáit, bemutatjuk a fedőcsoport kihasználásának egyik módját. A 8. fejezetben bemutatjuk algebrai módszerek alkalmazását peremérték-feladatokban. A 9. fejezetben a peremérték-feladatokban alkalmazott numerikus módszerekben használható algebrai módszereket tárgyaljuk. A 10. fejezetben a fizikában legfontosabb speciális függvényeket ismertetjük. A 11. fejezetben egy egyváltozós egyenlet szimmetriáit vizsgáljuk, az eredmények alkalmazásaként bemutatjuk egy klasszikus probléma (a polinomok gyökképletének) csoportelméleti megoldását. A gyökök keresésére kidolgozott módszer átvihető a differenciálegyenletek tárgyalására is. Ezt a kérdéskört is tárgyaljuk. A 12. fejezetben bemutatunk egy példát, ahol a csoportelmélet jól alkalmazható egy részecskefizikai feladatban. A Függelékben a felhasznált matematikai fogalmak definícióit és önálló megoldásra szánt példákat talál az olvasó. Jelen jegyzetet haszonnal forgathatják mérnök, fizikus és tanárszakos hallgatók is. A jegyzetben ismertetett általános technikák (polinomok gyökképlete, egyenlet szimmetriáinak meghatározása, differenciálegyenletek integrálása, változók szétválasztása, azaz a Fourier-módszer, közelítő módszerek, numerikus megoldás) jól használható a gyakorlati munka számos területén. Ezért lehet hasznos fizikusoknak, mérnököknek, kutatóknak és tanároknak. Egy jegyzet célja persze elsősorban ötleteket adni, milyen eszközökkel érdemes alkalmazni egy feladat megoldása során. Külön kiemelem a numerikus módszerekbeli alkalmazásokat, amelyek a jegyzet írása idején még kevéssé voltak ismertek, noha már akkor is léteztek kódok, amelyekkel egy-egy adott feladat megoldását meg lehetett határozni. Budapest, 2006 május. 13

15 1. fejezet Csoportelmélet a fizikában 14

16 A fizika térben és időben végbemenő folyamatokat vizsgál, amely folyamatokban fizikai kölcsönhatások is szerepet játszanak. A térben és időben egy koordináta-rendszer segítségével tájékozódunk, minden ponthoz koordinátákat rendelünk, ezek segítségével értelmezhető a közel és a távol (metrika). A kölcsönhatásokat matematikai egyenletek segítségével fogalmazzuk meg, pl. a kvantummechanika a következő megfeleltetést használja a fizikai mennyiségek leírására, ld táblázat táblázat. Fizikai és matematikai változók megfeleltetése a kvantummechanikában Fizikai változó Matematikai változó állapotfüggvény Pont az L 2 függvénytérben Skalár fizikai mennyiség Önadjungált operátor Fizikai mennyiség Operátor Változó értéke Operátor sajátértéke Átmeneti valószínűség Skalárszorzat abszolút értéke Egyszerre mérhető mennyiségek Kommutáló operátorok Az egyenleteknek meg kell felelniük a megfigyeléseknek. A megfigyelések közvetlenek (amilyen pl. egy kölcsönhatást leíró potenciál alakja) vagy elviek lehetnek. Elvi megfigyelés pl. az, hogy azonos fizikai rendszereket azonos matematikai struktúrákkal (pl. egyenlettel) kell leírni. Az elvi megfigyelések egy része azt a követelményt támasztja a matematikai struktúrával szemben, hogy annak változatlannak (invariánsnak) kell lennie olyan változásokkal szemben, amelyek a fizikai jelenséget nem érintik. Ilyen invariancia elvek: Hasonlósági elv: a fizikai kísérlet arányosan zsugorítható. Ez a kézenfekvő feltevés Fourier-től származik, az atomok felfedezése óta a feltevést elvetették, noha a mérnöki gyakorlatban egy meghatározott tartományon belül az elv alkalmazható. Egy jelenség leírása független a koordináta-rendszer kezdőpontjának megválasztásától, valamint a t=0 pont megválasztásától. Más szóval, minden kísérlet megismételhető máshol és máskor. Ha egy fizikai rendszerben az azonos részecskéket felcseréljük, ugyanazt az állapotot kell kapnunk. Az invarianciához kapcsolódó matematikai konstrukció a (változók) transzformációja. Azok a transzformációk, amelyek egy egyenletet változatlanul hagynak egy algebrai struktúrát (csoportot) alkotnak. A csoport struktúrájából hasznos következtetést lehet levonni az egyenlet megoldásának tulajdonságait illetően. Ezzel a megoldásokat csoportosítani lehet, aminek sok praktikus következménye van. A közelítő módszerek megítélésében is fontos szempont, hogy a közelítő módszer megőrzi-e az eredeti egyenlet 15

17 szimmetriáit, vagy hoz-e be újabbakat. Nehezen megoldható feladatok estén (ilyen például a többfázisú áramlás) ennek alapján megítélhető egy közelítő módszer pontossága. A fizika és matematika néhány területe, ahol a csoportelmélet hasznosnak bizonyult: Elemi részek osztályozása. A Lie-csoportok reprezentációi alkalmas keretet biztosítanak az elemi részecskék osztályozására. Egyes esetekben egyszerű de látványos szimmetriamegfontoláson alapuló összefüggéseket (ilyen pl. a fermionokra kimondott betöltési korlát) lehet megfogalmazni. Atomi színképek értelmezése. Az atomi színképek az elektronhéjban található elektronok állapotai közötti energiakülönbséggel kapcsolatosak. Az energiaszinteket pedig sajátértékfeladatok megoldásával lehet meghatározni. Szilárd testek szerkezetének osztályozása. Az egész teret nem lehet tetszőleges alakú egységek ismétlésével kitölteni. A lehetséges egységek és a kristály megfigyelt tulajdonságai között szoros kapcsolat van. Ezek a tulajdonságok a szimmetriákkal is kapcsolatba hozhatóak. Általános- és speciális relativitáselmélet. A relativitáselmélet alapgondolata: a fizikai egyenletek szerkezetének azonosnak kell lennie minden inerciarendszerben. Ebből a megfogalmazásból is kitűnik a szimmetriák fontossága. Gyökképletek magasabb fokú egyenletek megoldására. Ha van gyökképlet, akkor az egyenlet fokszáma minden gyök meghatározása után csökkenthető eggyel. A különböző fokszámú egyenletek szimmetriája közötti kapcsolat lehetőséget ad a megoldhatóság feltételeinek kimondására. Körzővel vonalzóval elvégezhető szerkesztések. A szerkeszthető pontok halmaza megfeleltethető egy algebrai egyenlet gyökeinek. Az előző pont eredményeinek felhasználásával megadható az elvégezhető szerkesztések köre. Geometriai szerkezetek tanulmányozása. Ahogyan egy véges kristályt felépíthetünk egy elemi cella ismétlésével, egy szabálytalannak tűnő alakzatot gyakran felbonthatunk elemi cellákra. A felbontás kínálja az algebrai módszerek előnyeit. Peremértékfeladatok. Amennyiben vannak olyan transzformációk, amelyek a feladatot változatlan formában hagyják, az invarianciát ki lehet használni. Numerikus módszerek (speciális függvények, numerikus módszerek). A legtöbb speciális függvény egy egyenlethez és egy megfelelő geometriához tartozik. Ezért vizsgálatukban a szimmetriák fontos szerepet kaphatnak. Egy egyenlet megoldását csak adott feltételek mellett lehet egyváltozós függvények szorzataként felírni. E feltételek megfogalmazásában is segít az algebra. 16

18 A csoportelmélet hasznát röviden a következőekben lehet összefoglalni. Ha a csoportot alkotó transzformációk felcserélhetőek egy operátorral, akkor létezik közös sajátfüggvény rendszer. Következésképpen, az operátor sajátfüggvényeit csoportosítani lehet a transzformációk sajátfüggvényei segítségével. Ahhoz, hogy a sajátfüggvényeket csoportosítani lehessen, meg kell ismerni a csoport szerkezetét. Egy szimmetriacsoporthoz rendelhető egy invariáns mennyiség, ennek ismeretében hatékony módszereket lehet kidolgozni pl. az egyenlet megoldására Jelölések A jelölésekben igyekeztem a hagyományokat követni, ez azonban gyakran vezetett konfliktushoz. Ezért a jelöléseknek csak egy része egységes, egy-egy adott probléma vizsgálata során igyekeztem az ott szokásos jelölést követni, ezért minden fejezet elején van jelölésjegyzék. Általában az operátorokat és mátrixokat kövér latin nagybetűkkel jelöljük (A, B, C). Egy vektortér, ponthalmaz, vagy függvénytér jelölésére a mathbb betűtípust használjuk: X, Z, P, Q. A helyváltozóra az x jelölést használjuk, ha a változónak az a tulajdonsága lényeges, hogy egy halmaz része, míg az x jelölés a helyváltozó komponenseinek szerepét kívánja hangsúlyozni (pl. a transzformációs szabályok esetében). Halmazok A B az A és B halmazok egyesítése A B az A és B halmazok közös része A\B az A és B halmazok különbsége B A a B halmaz az A halmaz része A a az a elem része az A halmaznak a b a halmaz két elemének szorzata (amennyiben a szorzás művelete definiált) a + b a halmaz két elemének összege (amennyiben az összaadás művelete definiált) S = {x : F (x) = 0} egy adott feltételnek (itt F (x) = 0 gyökei) eleget tevő halmaz Mátrixok, operátorok A mátrix vagy operátor A 1 inverz mátrix A + adjungált mátrix A - mátrix(operátor) norma E m m m egységmátrix (operátor) P projektor operátor 17

19 Függvények f(x) az x változó skalár függvénye f : A B függvény, amely az A halmaz elemeit a B halmaz elemeibe viszi át x = (x 1,..., x n ) n elemű vektor f(x) = (f 1 (x),..., f n (x)) az x változó vektorfüggvénye, n komponenssel / x x szerinti parciális derivált x1 / x 1 F x F/ x F xx 2 F/ x 2 D x Φ a Φ függvény x szerinti teljes differenciálja pr n -n-ik prolongáció g F a g csoportelem hatása az F függvényre [A, B] az A és B mennyiségek kommutátora (= AB BA) {A, B} az A és B mennyiségek antikommutátora (= AB + BA) G V (x, x 0 ) a V alakzat Green-függvénye L g az L operátor képe a g csopoertelem alatt Csoportok a 1,..., a n ; n generátor által előállított szabad csoport a 1,..., a n ; r 1,..., r m n generátor és m reláció által előállított csoport G -a G csoport rendje e a csoport egységeleme g 1 g 2 csoportelemek szorzata g 1 a g csoportelem inverze Gx a G csoport hatása az x elemre gx a g csoportelem hatása az x pontra (vektorra) gf(x) a g csoportelem hatása az f(x) függvényre G\N az N részcsoport G faktorcsoportja G\X a G csoport orbitja az X halmazon [G : H] a H részcsoport indexe a G csoportban [s] az s elemmel ekvivalens elemek osztálya Peremérték-feladat V ponthalmaz, sokaság, térfogat, amelyen a megoldást keressük V V határa x általános pont a V térfogatban x 0 rögzített pont (pl. forrás helye) a V térfogatban 18

20 2. fejezet Csoportelméleti és geometriai alapok 19

21 2.1. Jelölés Jelen fejezetben az alábbi jelölést használjuk. A csoportot többféle matematikai struktúraként is vizsgáljuk. Egy vektortér, ponthalmaz, vagy függvénytér jelölésére a mathbb betűtípust használjuk: X, Z, P, Q. A csoportelemeket kisbetűkkel (g, h, x) jelöljük, a csoportokat pedig nagybetűkkel (G, H, X). A csoportok alkalmazása során halmazok (többnyire geometriai objektumok) elemein vizsgáljuk a csoportelemek hatását. Halmazok A B az A és B halmazok egyesítése A B az A és B halmazok közös része A\B az A és B halmazok különbsége B A a B halmaz az A halmaz része A a az a elem része az A halmaznak a b a halmaz két elemének szorzata (amennyiben a szorzás művelete definiált) a + b a halmaz két elemének összege (amennyiben az összeadás művelete definiált) S = {x : F (x) = 0} egy adott feltételnek (itt F (x) = 0 gyökei) eleget tevő halmaz Mátrixok, operátorok A mátrix vagy operátor A 1 inverz mátrix A + adjungált mátrix A - mátrix(operátor) norma E m m m egységmátrix (operátor) P projektor operátor Függvények f(x) az x változó skalár függvénye f : A B függvény, amely az A halmaz elemeit a B halmaz elemeibe viszi át x = (x 1,..., x n ) n elemű vektor f(x) = (f 1 (x),..., f n (x)) az x változó vektorfüggvénye, n komponenssel / x x szerinti parciális derivált x1 / x 1 F x F/ x F xx 2 F/ x 2 D x Φ a Φ függvény x szerinti teljes differenciálja pr n -n-ik prolongáció g F a g csoportelem hatása az F függvényre 20

22 [A, B] az A és B mennyiségek kommutátora (= AB BA) {A, B} az A és B mennyiségek antikommutátora (= AB + BA) G V (x, x 0 ) a V alakzat Green-függvénye L g az L operátor képe a g csopoertelem alatt Csoportok a 1,..., a n ; n generátor által előállított szabad csoport a 1,..., a n ; r 1,..., r m n generátor és m reláció által előállított csoport G -a G csoport rendje e a csoport egységeleme g 1 g 2 csoportelemek szorzata C 1, C 2,... konjugált osztályok n c a konjugált osztályok száma g 1 a g csoportelem inverze Gx a G csoport hatása az x elemre gx a g csoportelem hatása az x pontra (vektorra) gf(x) a g csoportelem hatása az f(x) függvényre G\N az N részcsoport G faktorcsoportja G\X a G csoport orbitja az X halmazon [G : H] a H részcsoport indexe a G csoportban [s] az s elemmel ekvivalens elemek osztálya 2.2. Diszkrét csoportok Legyen adott az a 1,..., a n elemek (másnéven betűk) véges halmaza, amelyek között elvégezhető a szorzás művelete, az i-ik és j-ik elemek szorzatát a i a j -vel jelöljük. Legyen minden elemnek definiált az inverze, az a i elem inverzét jelölje a 1 i. Egy szó betűk egy véges sorozatát jelenti: a τ 1 i 1 a τ 2 i 2... a τ k ik (2.1) ahol a kitevők csak a +1 vagy 1 értéket vehetik fel, az első hatványon pedig magát a betűt értjük. Két szó, s 1 és s 2 szorzatán, amit s 1 s 2 -ként írunk, a szavak egymásután írásával kapott szót értjük, először leírjuk s 1 -et, azután pedig s 2 -t. Ez nyilvánvalóan asszociatív művelet. A hosszú szavakban előfordulhat, hogy ugyanaz a betű többször szerepel egymás után. A szavak rövidítése céljából bevezetjük az a n i jelölést az a i a i... a i (n tényezőt tartalmazó) szorzatra. Az üres szóra az 1 jelölést használjuk, ezzel nyilván s1=1s bármely s szóra. Reláció alatt egy r = 1 alakú egyenletet értünk, ahol r egy szó (ebben a kontextusban relátornak szokás nevezni). Az s 1 és s 2 szavakat ekvivalensnek nevezzük az r j = 1 reláció 21

23 szerint, ha s 1 átalakítható s 2 -vé az alábbi műveletek véges számú alkalmazásával: 1. Az r j betűsorozat beszúrása vagy törlése. 2. Az a 1 i a i ill. a i a 1 i betűsorozatok beszúrása vagy törlése. Az s-sel (adott relációk szerint) ekvivalens szavak osztályát (röviden ekvivalenciaosztályokat vagy osztályokat) [s] -sel jelöljük. Az ekvivalenciaosztályok közötti szorzás az alábbi definíció szerint történik: [s 1 ][s 2 ] = [s 1 s 2 ]. Ez a kifejezés jól definiált, hiszen ha s ekvivalens s-sel, akkor ss 2 ekvivalens ss 2 -vel, minthogy az a művelet, ami s-t s-vé alakítja független s 2 jelenlététől. s-et az [s] ekvivalenciaosztály generáló elemének nevezzük. Így belátható, hogy a szorzat független az osztályokat reprezentáló osztályelemtől. Az a struktúra, ami az a i betűkből képzett véges szavak r j relációk szerinti ekvivalenciaosztályait jelöli, egy G csoport. A G csoportban lévő elemek számát G rendjének nevezzük és G -vel jelöljük. Ha G véges, G-t véges csoportnak nevezzük. Az elnevezés jogosságához azt kell megmutatni, hogy a négy csoportaxióma (ld. 13. fejezet) teljesül. Az elemek között létezik művelet, ez a szavak egymás után írása. Ez a művelet asszociatív, ami a szorzótényezők egymás után írásából, és a tényezők asszociativitásából következik. Van egységelem, az [1], továbbá létezik inverz, hiszen [s][s 1 ] = [ss 1 ] = [1], amiből [s] 1 = [s 1 ]. Rendszerint az ekvivalencia osztályokból a zárójelet elhagyjuk, ahogyan a törteknél is 1/2-t írunk, noha az valójában az 1/2, 2/4, 3/6 stb. halmaz minden elemét jelenti. A csoportot megadhatjuk az elemek és relációk felsorolásával. Ezt a megadási módot úgy használjuk, hogy <> között felsoroljuk az elemeket, ezeket egy pontosvessző zárja, majd felsoroljuk a relációkat pl. a 1, a 2,... ; r 1, r 2,.... Mind az elemek, mind a relációk lehetnek véges vagy végtelen számúak. Az a 1, a 2,... ; r 1, r 2,... struktúrát a G csoport prezentációjának nevezzük. Egy csoportnak több prezentációja létezhet. A G csoport végesen prezentált, ha a prezentációban szereplő betűk és a relációk halmaza véges sok elemből áll. Általában a csoportelemek szorzata függ a tényezők sorrendjétől, vagyis, a 1 a 2 a 2 a 1. Azokat a csoportokat, amelyek minden a 1, a 2 elemére fennáll a 1 a 2 = a 2 a 1, Abelcsoportoknak nevezik 1. Legyen H egy (nem üres) csoport, amelynek elemei megtalálhatóak a G csoportban. Ekkor H-t G részcsoportjának nevezzük, jelölésben: H G. Az alábbi halmazokat G-nek H szerinti jobboldali mellékosztályainak nevezzük: Hg = {hg : h H} (2.2) minden g G-re. Ezek a halmazok vagy diszjunktak, vagy azonosak. A mellékosztályok G egy felbontását alkotják. A H G részcsoport mellékosztályainak száma (véges vagy végtelen) H indexe és ezt G : H -val jelöljük. Ha G véges csoport, akkor az elemek 1 Niels Henrik Abel ( ) norvég matematikus tiszteletére. 22

24 száma mindegyik H szerinti mellékosztályban véges és egyenlő H rendjével. A baloldali mellékosztályokat az alábbi halmazok adják meg: gh = {gh : h H}. (2.3) Amennyiben a baloldali és jobboldali mellékosztályok megegyeznek, a H részcsoportot a G csoport normálosztójának vagy normális részcsoportjának nevezzük. A normálosztóra nyilvánvalóan fennáll H = ghg 1. (2.4) Egy adott h elemhez tartozó, valamely g csoportelem segítségével (miközben g végigfut a csoport összes elemén) a ghg 1 művelettel, a konjugálással előállítható elemek h konjugált osztályát (vagy egyszerűen osztályát) alkotják. Az osztályok a csoport szerkezetére jellemzőek. Az Abel-csoport minden eleme egy konjugált osztályt alkot. Legyen N a G csoport egy normálosztója. G-nek az N szerinti mellékosztályai a szorzás műveletére nézve csoportot alkotnak, ezt a csoportot nevezik a G csoport N szerinti faktorcsoportjának, jelölése G\N. Az egységelem és G triviálisan faktorcsoportok. Ha a G csoportnak csak az egységelem és maga G faktorcsoportja, akkor G-t egyszerű csoportnak nevezzük. Azt a g G\N homomorfizmust, amely minden g G elemet a gn mellékosztályba visz, természetes vagy kanonikus homomorfizmusnak nevezzük. A normálosztók meghatározásához jól használható az alábbi megfigyelés. Az N G csoport akkor és csak akkor normális részcsoport, ha N-ben G elemei osztályonként fordulnak elő, azaz, amennyiben adott g G eleme N-nek, akkor minden hg h 1 N, ahol a g és g elemek G azonos konjugált osztályához tartozó elemek. A G csoportot feloldhatónak nevezzük, ha egymásba ágyazott normális részcsoportok sorozataként (ezt szokás normálláncnak nevezni) adhatjuk meg, a következő módon: G = G 0 G 1 G s = e és a G i 1 \G i csoport minden tagja kommutál. A G = a 1, a 2,... ; r 1, r 2,... csoport az F = a 1, a 2,... ; 2 csoport és az N = r 1, r 2,... részcsoport hányadosa. Egy G csoport G csoportba menő homomorfizmusán egy olyan f : G G leképezést értünk, amelyre f(g 1 g 2 ) = f(g 1 )f(g 2 ). Egy X halmaz transzformációján egy olyan f : X X leképezést értünk, amely X-et kölcsönösen egyértelműek képezi le önmagára. Egy G csoport f homomorfizmusa egy X halmaz transzformációcsoportjába G-nek egy hatását adja meg X-en. A csoporthatás megadásánál meg kell mondani, hogy adott g G-hez milyen X-nek milyen f(g) transzformációja tartozik 3, azaz, meg kell adnunk f(g)(x)-et minden x X-re. Egy x X elem orbitja a G transzformációcsoportra nézve az a Gx halmaz, amely a g(x) alakú elemekből áll, itt g végigfut G elemein. Az x elem stabilizátora, G x = {g : g(x) = x}, G-nek azon elemeiből áll, amelyek helyben hagyják 2 A relációt nem tartalmazó, n generátor által generált csoportot n elemmel genarált szabad csoportnak nevezik és F n -nel jelölik. 3 ez a jelölés arra utal, hogy az f leképezés minden csoportelem esetén más és más lehet, f(g) a g csoportelemhet tartozó leképezés 23

25 x-et. Tekintsük azt a relációt az x, y X elemek között, amikor x-hez van olyan g G, amelyre g(x) = y. Ez egy ekvivalenciarelációt ad meg, azaz, reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Az X halmaz orbitok diszjunkt uniójára bontható; az orbitok halmaza az orbittér, amit G\X-szel jelölünk. Ha csak egy orbit van, akkor azt mondjuk, hogy G tranzitív. Legyen X topologikus tér. X automorfizmusai képezhetnek folytonos vagy diszkrét csoportot. X automorfizmusainak egy G csoportját diszkrétnek (itt a diszkrét a folytonos ellentéteként értendő) nevezzük, ha minden K X kompakt részhalmazra csupán véges sok olyan g G elem létezik, amelyre K gk nem üres. Ha minden x X pont stabilizátora csak g egységeleméből áll, akkor azt mondjuk a G csoport szabadon hat az X halmazon. G orbitjainak G\X halmazán a következő módon definiálhatunk topologiát. Amennyiben G szabadon hat X-en, akkor minden x 0 G\X pontnak van olyan környezete, amelynek az f : X G\X leképezésnél a teljes inverze az f által homeomorfan leképezett, páronként diszjunkt nyílt halmazoknak az egyesítése. Ez definíció szerint azt jelenti, hogy X nem elágazó fedése G\X-nek. Természetesen a G csoport hatása G elemein is definiálható. A három leggyakrabban alkalmazott definíció: g x = gx (itt x G, az egyenlőség baloldala a csoporthatás definíciója, jobboldala pedig G-beli szorzás); g x = xg 1 ; g x = gxg 1. A fenti műveleteket balreguláris, jobbreguláris, ill. adjungált csoporthatásnak nevezzük. Adott G csoport hatását egy X halmazon többféleképpen is megadhatjuk. Például legyen G egy csoport, amelynek minden g G elemének hatása, definiált, azaz gx értelmezve van, az x X pontokra. Ekkor a g csoportelem hatásaként tekinthetjük pl. a gx vagy a gxg 1 transzformációt is. Gyakran nem adható meg triviális csoporthatás. Az előző példában természetesnek tűnhet a gx definíció választása, azonban ez nincs mindig így. Például legyen G az egységnyi determinánsú 2 2-es mátrixok csoportja, amit a z > 0 komplex félsíkra alkalmazhatunk az alábbi képlettel gz = az + d cz + d. (2.5) Hozzárendelhetjük a g csoportelemhez az alábbi invertálható mátrixot: ( ) a b g =. (2.6) c d Itt tehát két defíníció is kínálkozik, egyiknek sincs kiemelt szerepe Feladat A (2.5) vagy (2.6) csoporthatás az X = C komplex számtest ill. az R 2 (sík pontjai) halmazokon van értelmezve. A továbbiakban szükségünk lesz a polinomokból álló testre, amit C(x)-szel jelölünk, ha a polinom változója x, együtthatói pedig komplex számok. C(x)-en értelmezett az összeadás (a polinomokban az azonos hatványok együtthatóit kell összeadni), és a szorzás. Ha a legfeljebb n-edfokú polinomok körében kívánunk maradni, akkor a szorzást moduló (n + 1) értjük, azaz, a szorzatnak csak a legfeljebb 24

26 n-ed fokú tagjait tekintjük. Ha az osztást is megengedjük, akkor a K(x) testről beszélünk, amelynek elemei a 0 + a 1 x + + a n x n b 0 + b 1 x + + b n x n. (2.7) Itt nem minden b i nulla, az együtthatók pedig a a i, b i K testből valók. Egy G csoport hatását az X halmazon primitívnek nevezzük, ha a csoporthatás tranzitív, és nem engedi meg az X halmaz nemtriviális blokkokra bontását. Egy blokkrendszer ( imprimitivitás rendszer) a G csoport egy X-en értelmezett hatása, amely nem más, mint X egy partíciója, amely változatlan marad G hatása alatt. Röviden megemlítjük még az X halmazban választandó bázis kérdésére. Amennyiben a csoporthatást szeretnénk hangsúlyozni, megfelelő bázis választására van szükség. Gondoljunk pl. arra, hogy a polinomok leírására a változók hatványait szoktuk alkalmazni, ezek bizony a csoportelemek hatása alatt összekeverednek. Lehetőség van szimmetrizált bázisok választására, azaz, olyan polinomokat választhatunk, amelyek a csoportelemek hatása alatt egyszerű módon transzformálódnak. Csoportelméleti munkákban szó esik a Gröbner-bázisról is, ennek definíciójára itt nem térünk ki, mivel általunk nem tárgyalt struktúrákat (ideál, polinomgyűrű, monomiális rendezés) használ. Ezért az érdeklődő Olvasónak a GAP leírást ajánlom. A GAP-ben használható a GroebnerBasis függvény, amely előállítja a kívánt bázist. Gyakran szükségünk van a csoporthatásra egy függvénytér elemein. Erre az alábbi definíciót szokás használni. Legyen adott az f(r) függvény, és a vizsgált csoport egy g M g ábrázolás úgy, hogy M g (r) értelmezve van. Ekkor a csoporthatás definíciója g f(x) = f ( M 1 g x ). (2.8) Minden véges csoport reprezentálható permutációkkal. Az 1,..., n elemek permutációján az elemek alábbi átrendezését értjük: ( ) n (2.9) i 1 i 2 i 3... i n Nyilvánvaló, hogy a permutációk egymásutáni alkalnazása is permutáció, azaz a permutációk zártak az egymásutáni alkalmazás műveletére nézve. Könnyen belátható, hogy a csoportaxiómák teljesülnek, a permutációk csoportot alkotnak. Minden véges csoport izomorf egy permutációcsoporttal vagy annak részcsoportjával. A permutációk ábrázolásakor csak az alsó sort szokás felírni, azokat az elemeket, amelyek egymás között permutálunk egy zárójelbe. Így pl. ( ) = (124)(35)(6) (2.10)

27 mert az (124) elemek egy háromelemű, (35) egy kételemű, (6) pedig egy egyelemű ciklust alkot. 4 Az egységelem n egyelemű ciklusból áll, de ennek jelölésére az üres zárójelet () szokás használni. A ciklus invariáns a ciklus elemeinek ciklikus permutációjára, pl. (124) = (241) = (412), de (124) (142). A közös elemet nem tartalmazó ciklusok sorrendje felcserélhető, pl. (124)(35) = (35)(124). A ciklusban szereplő elemek száma a ciklus hossza és ( (i1 i 2 i 3... i k ) k = (). ) (2.11) Bármely ciklus felírható transzpozíciók szorzataként: (ijk... l) = (ij)(jk)...(kl). (2.12) Ez a felbontás nem egyértelmű. Végül két hasznos azonosság: (ik... lmi) = (k... lm) (2.13) (ik... lm)(mn... p) = (ik... lmn... p). (2.14) A fenti összefüggések segítségével belátható, hogy tetszőleges permutáció előállítható kételemű ciklusokból, amelyeket transzpozíciónak neveznek. Azokat a permutációkat, amelyeket páros transzpozícióval állíthatunk elő, páros permutációnak nevezik. A páros permutációk alcsoportot alkotnak, az alternáló csoportot. Az alternáló csoport indexe 2, mivel a páros és páratlan permutációk között egy-egyértelmű megfeleltetés létesíthető Feladat (A szabályos hatszög szimmetriacsoportja C 6v ) A csoport permutációkkal az alábbi módon állítható elő. Számozzuk meg a hatszög csúcsait az óramutató járásával megegyező irányban. A csoport generátoraként egy forgatást és egy tükrözést lehet választani. Legyen α = (123456), ami egy π/3 szögű forgatás, és β = (26)(35), ami az 1, 4 csúcsokon átmenő síkra vett tükrözést jelenti. Az olvasó könnyen ellenőrizheti, hogy β 2 = (), α 6 = (), és a két generátor segítségével a C 6v csoport minden eleme előállítható. A csoport elemei hat konjugált osztályt alkotnak. Az elsőben az egységelem van: (); a másodikban három elem van, három tükrözés a hatszög csúcsain átmenő síkokra, ezek egyike (26)(35); a harmadikban három elem található, a három lapközépen átmenő síkra vett tükrözés, az egyik elem (12)(36)(45); a negyedikben két, 2π/3 szögű forgatás található, az egyik (135)(246); az ötödikben két darab π/3 szögű forgatás van, egyik közülük (123456); a hatodikban csak az inverzió (14)(25)(36) van. A C 6v csoport karaktertáblája a 6.9. táblázatban, a 6. fejezetben található. Egy G csoport felbontható a csoportelemek konjugáltosztályainak halmazára. Vegyünk egy h 1 G elemet és képezzük az összes h 1 -gyel konjugált elem halmazát, amit gh 1 g 1 elemek összessége ad meg, itt g végigfut G minden elemén. Jelölje ezt a halmazt C 1. Ezután vegyünk egy h 2 elemet G C 1 -ből, és képezzük a h 2 -höz konjugált elemek halmazát: 4 Az egyelemű ciklust csak akkor érdemes kiírni, ha jelezni kívánjuk a permutáció hosszát. 26

28 C 2 = {gh 2 g 1, g G}. Az eljárást folytatva, a kapott C 1, C 2,... elemosztályok lefedik a G csoportot. Egy véges G csoportot alkotó konjugált elemosztályok száma véges. A C 1, C 2,... elemosztályokat konjugált elemosztályoknak is nevezik. A konjugált elemosztályok számát n c -vel fogjuk jelölni. Egy G csoport ábrázolása (ábrázolása) alatt G egy homomorfizmusát értjük, egy L vektortér automorfizmus csoportjába. A leggyakoribb mátrixábrázolás esetén L automorfizmusai mátrixok, G homomorfizmusa alatt pedig a g csoportelemhez egy olyan g D g mátrix hozzárendelést értünk, amire teljesül, hogy D e az egységmátrix, amennyiben e az egységelem G-ben, továbbá g 1 g 2 D g1 g 2 = D g1 D g2. Ha g D g egy ábrázolás, akkor g CD g C 1 is az (itt C nemszinguláris mátrix). A hasonlósági transzformációban eltérő ábrázolásokat ekvivalensnek nevezzük. A nem ekvivalens ábrázolások jellemzésére a mátrix spurját használjuk, amit az ábrázolás karakterének nevezünk. Ismeretes az algebrából, hogy ekvivalens mátrixok spurja azonos. Amennyiben egy ábrázolás minden mátrixa egyidejűleg az alábbi alakra hozható: ( ) M1 M 2 (2.15) 0 M 3 az ábrázolást reducibilisnek, egyébként irreducibilisnek nevezzük. A nem ekvivalens irreducibilis ábrázolások száma megegyezik a konjugált elemosztályok n c számával. Az ábrázolást hűnek nevezzük, amennyiben eltérő csoportelemekhez eltérő mátrixok tartoznak. Legyen s egy homomorf leképezése a G csoportnak az F számtestbe. A homorfizmus azt jelenti, hogy s(g 1 g 2 ) = s(g 1 ) s(g 2 ), bármely két g 1, g 2 G-re. s-t a G csoport karakterének nevezzük. Amennyiben G-t mátrixokkal reprezentáljuk, a mátrix spurja egy alkalmas karakter. Egy véges G csoport χ karakterét monomiálisnak nevezzük, ha χ előállítható G egy részcsoportjának lineáris karakteréből. A véges G csoportot monomiálisnak, vagy M- csoportnak nevezzük, ha minden közönséges irreducibilis karaktere monomiális. Az irredicibilis ábrázolások karaktereit egy karaktertábla tartalmazza. A karakterek egy elemosztályon belül egyenlőek, az eltérő karakterek száma tehát nem haladhatja meg az elemosztályok számát. A karaktertáblában a nem ekvivalens irreducibilis ábrázolások karakterei vannak felsorolva. Az irreducibilis ábrázolás mátrixának rendjét az ábrázolás dimenziójának nevezzük. A véges csoportok irreducibilis ábrázolásai 1, 2 vagy 3 dimenziósak. A karaktertáblában azt is megadják, hogyan transzformálódik az adott irreducibilis komponens (irrep). Erre utal az irrep jelölése is, de fel szokták tüntetni az adott irrep szerint transzformálódó egyszerű komponenseket is. Ez lehet egy vektor valamely komponense (pl. x, y vagy z), vagy egy R axiálvektor x, y vagy z komponense. Az egydimenziós, szimmetrikus irreducibilis altér jelölése A, amennyiben több ilyen is van, akkor azokat egy indexszel különböztetjük meg. Az egydimenziós, aszimmetrikus ábrázolások szokásos jele B, a kétdimenziós ábrázolás jele E, a háromdiemnziósé pedig F. Az irrepek alkotják a karaktertábla sorait. Az első irrep maximális szimmetriával 27

29 rendelkezik, azaz a karaktertábla első sorában csupa egyes áll. A karaktertábla oszlopait a csoportot alkotó elemek alkotják. Mivel az egy konjugált elemosztályba tartozó csoportelemek karaktere azonos, az oszlopok konjugált elemosztályokat tartalmaznak. Szokás szerint az első oszlop tartozik az egységelemhez, ebből tehát leolvasható az adott irrep dimenziója. A karaktertábla segítségével egy tetszőleges reducibilis ábrázolást felbonthatunk irreducibilis ábrázolások összegére. Az ekvivalens irreducibilis ábrázolások száma megegyezik az ábrázolás dimenziójával. A karaktertábla rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: 1. A táblázat négyzet alakú, minden sora megfelel egy nemekvivalens irreducibilis ábrázolásnak. 2. A táblázat első oszlopa az ábrázolás dimenzióját adja meg. Ez osztója a csoport rendjének. Az első oszlop az egységelem konjugált elemosztályához tartozik. 3. Az első oszlopban álló számok négyzeteinek összege megegyezik a csoport rendjével. 4. Az első sorban minden oszlopban 1 áll. 5. A sorok ortogonálisak, ha az adott oszlopban álló számot megszorozzuk az adott konjugált elemosztályba tartozó csoportelemek számával. 6. Az oszlopok ortogonálisak. 7. Amennyiben az ábrázolás G rendű mátrixokkal történik, az i-ik irreducibilis ábrázoláshoz annyi ekvivalens ábrázolás tartozik, amennyi az ábrázolás dimenziója. 8. A táblázat segítségével tetszőleges függvény felbontható irreducibilis komponensekre. 9. A táblázat segítségével egy tetszőleges ábrázolás felbontható irreducibilis ábrázolások összegére. Az irreducibilis ábrázolások a következőt jelentik. Amennyiben a csoportot N-rendű mátrixok egy halmazával ábrázoljuk, akkor elképzelhető, hogy van olyan hasonlósági transzformáció, ami a csoportelemekhez rendelt mátrixok mindegyikét diagonalizálja. Ennek feltétele, hogy G Abel-csoport legyen. A diagonálishoz legközelebb álló alakot a karaktertábla megadja, u.i. a mátrixok egyidejűleg blokkdiagonális alakra hozhatóak, a blokkok mérete az irreducibilis ábrázolások dimenzióival egyeznek meg, a blokkok száma pedig egyenlő az irreducibilis ábrázolások számával. A diagonálisban álló mátrixokat spurjuk (karakterük) szerint lehet osztályozni, a diagonálisban legfeljebb n c eltérő blokk fog állni, mindegyik blokk megfelel egy irreducibilis ábrázolásnak. A diagonálisban álló mátrix rendje megegyezik az ábrázolás dimenziójával. Azonos ábrázoláshoz tartozónak 28

30 2.1. táblázat. A GL(2, 2) és C 3v csoport karaktertáblája C 3v E 2t 3s A B E tekintjük azokat a mátrixokat, amelyeknek rendje (sorainak száma) és spurja megegyezik. Az irreducibilis ábrázolásnak van egy másik jelentése is. A csoport ábrázolásához tartozik egy L vektortér, a vektortér bázisa meghatározza a csoport egy mátrixábrázolását. Az irreducibilis ábrázolás azt jelenti, hogy van olyan bázis L-ben, amelyen a csoportot reprezentáló mátrixok egyidejűleg diagonálishoz közelálló alakra hozhatóak (v.ö. (2.15)) Ez annyit jelent, van olyan altér L-ben, amelyet a csoportot ábrázoló mátrixok változatlanul hagynak. Az ábrázolás dimenziója megadja ezen irreducibilis altér dimenzióját. Ennél szűkebb altér viszont nincs L-ben, amelyet a csoportot ábrázoló mátrixok változatlanul hagynának Tétel (Schur-lemma.) Alkossák a D g mátrixok a G csoport egy végesdimenziós ábrázolását. Álljon fenn valamely M mátrixra D g M = MD g. Ha a D g, g G ábrázolás irreducibilis, akkor M az egységmátrix skalárszorosa. Ha viszont minden M mátrix, amely minden D g mátrixszal kommutál, az egységmátrix konstans szorosa, akkor a D g, g G ábrázolás a G csoport irreducibilis ábrázolása Tétel Legyen D g, g G egy végesdimenziós ábrázolása a G csoportnak. Legyen D α, α = 1, n c a G csoport irreducibilis ábrázolása. Ekkor egy tetszőleges D ábrázolás előállítható az irreducibilis ábrázolás mátrixainak direkt összegeként: ahol n c D = a α D α, (2.16) a α = 1 G α=1 χ(g)χ α (g), (2.17) g G ahol χ a D ábrázoláshoz tartozó, χ α (g) pedig a D α irreducibilis altérhez tartozó karakter Tétel (Irreducibilis ábrázolások teljessége) Legyen D n és D o a véges G csoport unitér, irreducibilis mátrixábrázolása. Ekkor fennáll az alábbi ortogonalitás: 1 ln D n (g) ij lo D o (g) km = δ ik δ jm δ no. (2.18) G g G 5 Ez a tétel a 2.3 fejezetben bevezetett kompakt csoportokra is érvényes. 29

31 Itt l n, l o a D n és D o ábrázolások dimenziószáma. A tételből következik, hogy a csoport ábrázolását adó D o (g) mátrixokból felépíthető G darab ortogonális v vektor a D(g) ij mátrixelemekből, ezek a vektorok bázisként alkalmazhatóak a G dimenziós R G téren. Amennyiben G kompakt csoport, a D ij (g) elemek teljességét kimondó tételt Peter-Weyl tételnek nevezik. Végezetül három tétel 6 a tenzorábrázolásokkal kapcsolatban. Legyen V egy vektortér, V pedig annak duálisa. Legyen mindkét tér véges (n) dimenziójú, bázisként használjuk a ϕ 1,..., ϕ n és ϕ 1,..., ϕ n függvényeket. Legyenek a bázisban szereplő függvények ortogonálisak az alábbi értelemben (ϕ i, ϕ j) = δ ij. Egy (m, n) indexpárral jellemzett tenzor, amely V felett van definiálva, egy m + n változós lineáris funkcionál F (u 1,..., u m, v1,..., vn), ahol u i V, v j V. Példának okáért egy (2, 0) típusú tenzor nem más, mint egy bilineáris funkcionál B(u 1, u 2 ). Tenzorok szorzatát a fejezetben használt tenzorszorzatra alapozva, az alábbi módon definiálhatjuk. Legyen a V téren definiált lineáris funkcionálok vektorterében egy bázis (v 1,..., v n ), a V téren definiált lineáris funkcionálok vektorterében egy bázis (w 1,..., w n ). Ekkor a szorzattér i,j α ijv i w j alakba írható, ahol v w = F (u 1,..., u m, v1,..., vn). Az így definiált új művelet rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: a(v w) = (av) w = v (aw) (2.19) (u + v) w = u w + v w (2.20) v (u + w) = v u + v w. (2.21) 2.3. Feladat Legyen adott φ, ϕ V, két (0, 1) típusú funkcionál, ezek tenzorszorzata (φ ϕ ) = φ (u)ϕ (v), ez nyilván (0, 2) típusú tenzor. Egy A : V V lineáris leképezést természetes módon kapcsolhatjuk össze a B(u, v) = (Au, v) bilineáris funkcionál révén. Ez a kapcsolat meg is fordítható, a v B(u, v ) leképezéssel, amelyet rögzített u mellett tekintünk. Ezzel definiálható az A operátor hatása, mint skalárszorzat. (Riesz Frigyes tétele) Amennyiben a lineáris funkcionálban k darab vektor szerepel, tekintsük az alábbi k + 1- lineáris függvényt: F (u 1,..., u k, v ) = (B(u 1,..., u k ), v ) (2.22) Tegyük fel, hogy a V téren definiált hatással rendelkező G V csoportnak egy véges dimenziós ábrázolása D g, g G V. A k-lineáris B leképezés invariáns 7, ha fennáll T g B(u 1,..., u k ) = B(T g u 1,..., T g u k ). Amint a 7.3 fejezetben látni fogjuk, a tenzorábrázolást jól felhasználhatjuk a káosz leírása során. 6 A közismert Riesz-tételt a példában találja az olvasó 7 Egyes szerzők, pl. Sattinger, használják a kovariáns elnevezést is. 30

32 2.4. Tétel (Csoportábrázolás tenzorszorzatokkal) Legyen D a G csoport egy ábrázolása a V vektortér felett. Ekkor a D ábrázolás invariánsainak száma (azon v V vektorok száma, amelyek változatlanul maradnak minden D g, minden g G alatt) egyenlő a 1 = 1 G ahol χ g a D ábrázoláshoz tartozó karakter. χ(g), (2.23) A 7.3 fejezetben bemutatunk olyan alkalmazást, amelyben egy B() k-lineáris operátor argumentumai azonosak. Az ilyen k-lineáris kifejezéseket szimmetrikusnak nevezik Tétel (Szimmetrikus k-lineáris leképezések száma) Legyen D a G csoport egy ábrázolása a V vektortér felett és jelölje c k (D, G) azon szimmetrikus k-lineáris leképezések számát, amelyek kovariánsak a D ábrázolás alatt. A c k -t megkapjuk z = 1 helyettesítés mellett az alábbi generátorfüggvényből: g G vagy ahol k=0 c k (D, G)z k = 1 G c k (D, G) = 1 G χ (k) (g) = k l=1 li l=k det (I zd g ) 1 χ (g), (2.24) g G χ (k) (g)χ (g), (2.25) g G χχ i 1 (g)... χ i k (gk ) 1 i 1 i1!2 i 2 i2!... k i k ik!. (2.26) 2.4. Feladat [A C 3v csoport egy mátrix ábrázolása] A GL(2, 2) csoportban 8 6 elem található, a csoport izomorf a C 3v csoporttal, karaktertábláját a 2.1. táblázat adja meg, ezt a csoportot később részletesebben is megvizsgáljuk 9. Az egydimenziós, szimmetrikus irreducibilis altér jelölése A, amennyiben több ilyen is van, akkor azokat egy indexszel különböztetjük meg. Az egydimenziós, aszimmetrikus ábrázolások szokásos jele B, a kétdimenziós ábrázolásé E, a háromdiemnziósé pedig F. A karaktertábla oszlopiban konjugált elemosztályok állnak. Az első konjugált elemosztály szokás szerint az egységelem. Általában a táblázat fejlécében feltüntetik a konjugált elemosztályba tartozó elemek számát és legalább típusát. A második konjugált elemosztályban két elem található (t és t 2 ), a harmadik konjugált elemosztályban pedig három (s, st és st 2 ). A jelölés magyarázatát ld. 8 A GL(2,2) csoport invertálható 2 2-es mátrixokból áll, amelyeknek elemeit modulo2 kell venni, a műveleteket (pl. matrix összeadás, mátrixszorzás) is így kell érteni. 9 A véges csoportok karaktertábláit a 6. fejezetben találja az olvasó. 31

33 az (2.102) egyenlet után. Az 2.2. táblázatban két egydimenziós és egy kétdimenziós irreducibilis ábrázolás található. (Amint korábban láttuk, az elemosztályok száma n c = 3.) Ábrázoljuk a csoport elemeit 6 6-os mátrixokkal. Ekkor a csoport mind a hat mátrixa transzformálható az alábbi alakra: a b x x x x y y y y (2.27) A csoportot alkotó mátrixokban csak a betűkkel jelölt pozíciókban fordulhat elő nemnulla elem. A két egydimenziós ábrázolásnak megfelelően két darab 1 1-es, a két dimenziós ábrázolásnak megfelelően két, 2 2-es mátrix található, ezek ekvivalensek, ezért spurjuk megegyezik. A C 3v csoport (2.27) mátrixokkal történő ábrázolása irreducibilis. A 4. tétel és a 2.1. karaktertábla alapján a 1 = 1, vagyis egyetlen olyan vektor van az R 6 vektortérben, amelyet a C 3v csoport minden (2.27) alakú mátrixa változatlanul hagy. Az irreducibilis ábrázolások meghatározása az alábbi projektorral történik: ψ α = l α G χ α (g) g ψ (2.28) g G Itt ψ egy tetszőleges n elemű vektor, amin a G csoport mátrixábrázolásának hatása definiált. Az irreducibilis komponenst az α index jellemzi, χ α (g) pedig a karaktertábla α-ik sorában a g elemet tartalmazó osztálynál álló elem, l α pedig az α altér dimenziója. Amennyiben többdimenziós altérről van szó, több lineárisan független vektort is ki lehet vetíteni, nyilván lineárisan független ψ vektorokból kiindulva, g ψ pedig a ψ függvény transzformáltja a g csoportelem hatására 10. Amennyiben minden α-hoz ismert l α számú független ψ α, akkor a csoport g elemét alkalmazva ψ α -ra megkapjuk a g-hez tartozó irreducibilis mátrixot. Könnyen belátható, hogy a karaktertábla ilyenformán történő meghatározása a csoport rendjének növekedtével egyre nehezebb. Ugyanakkor a karaktertábla általános megfontolások alapján is meghatározható, ahogyan azt a 10. fejezetben bemutatjuk. A ψ α, α = 1,..., n c bázison a csoportot alkotó mátrixok diagonális blokkokból állnak: D (1) D (2) 0 (2.29) Az l α rendű mátrixokból l α szerepel. Ezen alak speciális esetét láttuk a ( 2.27) képletben. 10 Az olvasó részletes példát talál a peremértékfeladatokkal foglalkozó részben. 32

34 Véges csoportok karaktertábláit megtaláljuk a GAP -programban (ld. a 3. fejezetet) vagy egyéb kézikönyvekben (pl. Landau-Lifsic V. kötet, Kaplan könyve, Biedenharn kiadványa, a híres, de nehezen hozzáférhető ATLAS (Conway és munkatársai)). A fenti projekció alkalmazható bármilyen halmazon, ahol a csoporthatást definiáltuk, a leggyakrabban egy függvénytéren szoktuk alkalmazni a csoporthatás (2.8) szerinti definíciójával. Az irreducibilis ábrázolásokat úgy is meg lehet adni, hogy megadjuk a csoportelemek ábrázolásait. Ekkor az egydimenziós ábrázolások minden csoportelemhez egy számot, a kétdimenziós ábrázolások egy 2 2-es mátrixot rendelnek. E mátrixok azonos elemeit véve (pl. az 1,1 indexű elemeket véve) megkapjuk az ábrázolásnak megfelelő altér bázisvektorait. Egy reguláris csoportábrázolásban a vetítés (vagyis a ψ függvény irreducibilis komponenseinek meghatározása) az alábbi módon történik: ψ α ik = l α G Dik(g)g α ψ. (2.30) g G Az ábrázolások száma megegyezik a csoportelemek számával, azaz,a csoport rendjével. Az (2.30) vetítés jól tükrözi, hogy az irreducibilis ábrázolás egy pálya elemeinek lineárkombinációja. A pálya minden olyan halmazon, téren, stb. megadható, amelyen a csoportelemek hatása definiált Feladat (A C 4v csoport egy ábrázolása) Tekintsük a C 4v csoport elemeinek alábbi ábrázolását: α = 1: D e = 1, D ax = 1, D ay = 1, D d1 = 1, D d2 = 1, D b = 1, D c1 = 1, D c2 = 1, α = 2: D e = 1, D ax = 1, D ay = 1, D d1 = 1, D d2 = 1, D b = 1, D c1 = 1, D c2 = 1, α = 3: α = 3: D e = 1, D ax = 1, D ay = 1, D d1 = 1, D d2 = 1, D b = 1, D c1 = 1, D c2 = 1, α = 4: D e = 1, D ( ax = 1, ) D ay = 1, ( D d1 = 1, ) D d2 = 1, D ( b = 1, D c1 ) = 1, D c2 ( = 1, ) α = 5: D e =, D 0 1 ax =, D 0 1 ay =, D 0 1 d1 =, ( ) ( ) ( ) ( ) D d2 =, D 1 0 b =, D 0 1 c1 =, D 1 0 c2 =, 1 0 Itt a csoportelemeket az első két ábrázolásban egyetlen szám ábrázolja, ezért két egydimenziós altérről van szó, a harmadik ábrázolásban 2 2-es mátrixokkal ábrázoljuk a csoportelemeket, ez az ábrázolás tehát kétdimenziós. A csoport megadott ábrázolásához 33

35 tartozó bázisvektorok: ψ 1 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) (2.31) ψ 2 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) (2.32) ψ 3 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) (2.33) ψ 4 = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) (2.34) ψ 5 = (1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0) (2.35) ψ 6 = (0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1) (2.36) ψ 7 = (0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1) (2.37) ψ 8 = (1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0) (2.38) A csoport karaktertábláját 11 a 2.2. táblázat tartalmazza, amelyből spurok alapján megállapítható, hogy az ábrázolások irreducibilisek Szorzatábrázolás A fentiekből kitűnik, hogy tetszőleges függvényt fel lehet bontani egy csoport irreducibilis ábrázolásai szerint transzformálódó függvények összegére, feltéve, hogy a csoportelemek hatása a szóban forgó függvényre definiált. Nyilván két ilyen függvény szorzata is függvény, ezek felbontása azt a kérdést veti fel, hogyan lehet az irreducibilis ábrázolások szerint transzformálódó függvények szorzatának felbontását elvégezni. Ennek vizsgálatához transzformáljuk két irreducibilis függvény szorzatát: gψ α i ψ β j = l,m D α li(g)d β mj (g)ψα l ψ β m, (2.39) közvetlenül látjuk, hogy a karakterek szorzódnak: χ α β (g) = i,k D α ii(g)d β kk (g) = χα (g)χ β (g) (2.40) Az (2.39)-ben szereplő mátrixot D α β -val jelöljük és az α, β ábrázolások direkt szorzatának nevezzük. 11 A véges csoportok karaktertábláit s 6. fejezetben találja az olvasó. 34

36 Ábrázolások direkt szorzata, tenzorok felbontása, Clebsch- Gordan együtthatók Két mátrix direkt szorzatán az alábbiakat értjük. Legyen A és B másodrendű, négyzetes mátrixok. Direktszorzatuk: a 11 b 11 a 11 b 12 a 12 b 11 a 12 b 12 A B = a 11 b 21 a 11 b 22 a 12 b 21 a 12 b 22 a 21 b 11 a 21 b 12 a 22 b 11 a 22 b 12. (2.41) a 21 b 21 a 21 b 22 a 22 b 21 a 22 b 22 Általában a direktszorzat oszlopainak (sorainak) száma a komponensek oszlopainak (sorainak) számának összege. A direktszorzat mátrix a második mátrixnak megfelelő blokkokból áll, a blokkok az első mátrix elemeinek felelnek meg. Minden blokkot úgy kapunk meg, hogy az első mátrix megfelelő elemét szorozzuk a második mátrixszal. Legyen adott az n kompunensű u vektor. Az u komponenseiből képzett u i u j mennyiségek másodrendű tenzort alkotnak. Általában az n N komponensből álló tenzort N- edrendűnek nevezzük. Az N-edrendű tenzor egy N dimenziós lineáris teret képez le egy N dimenziós lineáris térre. Egy lineáris tér irreducibilis alterét már definiáltuk a 2.2 fejezetben. A skalároperátor független a koordináták választásától, az elsőrendű operátor úgy transzformálódik új kooordináták bevezetésekor, mint egy vektor s.i.t. A tenzor irreducibilis komponenseit a forgatásokkal szembeni viselkedés alapján definiálják. Az ω fokú irreducibilis tenzornak 2ω+1 komponense van (ezeket T i jelöli), és azok az alábbi módon transzformálódnak: ω O 1 T i O = D ij T j, (2.42) ahol a D ij mátrix a tengelyek forgatását írja le. Legyen a T tenzor irreducibilis felbontása j= ω T = t,α T α t. (2.43) Ekkor a T tenzor irreducibilis komponensei is az l α dimenziós α altér koordinátáihoz hasonlóan transzformálódnak, azaz, g T α k = l α t=1 D kt (g)t α t. (2.44) 2.6. Tétel (Wigner-Eckart tétel.) Az α i T τ t βk mátrix elem nulla minden olyan esetben, amikor a Γ τ Γ β direktszorzat mátrixelemeinek irrepekre való felbontása nem tartalmazza a Γ α irrepet. 35

37 A Wigner-Eckart-tétel segítségével integrálok kiszámítása válik könnyebbé (emlékezzünk, a legtöbb esetben a skalárszorzat összegzést vagy integrálást jelent, a vizsgált operátor természetétől függően) Tétel Amennyiben a T 0 operátor a G csoporttal szemben invariáns, a T 0 operátor különböző irreducibilis ábrázolásokhoz tartozó függvényekkel képzett mátrixelemeiből képzett mátrix diagonális az irrepkre vonatkozóan, és az irrep bázisaira vonatkozóan, továbbá mátrixelem nem függ a bázisfüggvény sorszámától, vagyis aαi T 0 a α i = δ αα δ ii a T 0 a α. (2.45) A fenti kifejezésben az α irreducibilis altér ekvivalens bázisait az a index különbözteti meg Folytonos csoportok Legyen X topologikus tér. Az összefüggőség tanulmányozásához néhány topológiai alapfogalomra van szükségünk. Azt mondjuk, hogy X tartalmaz egy F pályát, ha létezik olyan f(t) folytonos függvény, amely a t valós paraméter minden egyes 0 t 1 értékének megfelelteti X egy jól meghatározott pontját. Ekkor az F pálya összeköti az X tér f(0)-hoz és f(1)-hez rendelt pontjait. F -et nullapályának nevezzük, ha az f függvény állandó. Az f(0) és f(1) pontokat összekötő pályákat homotopnak nevezzük, ha létezik olyan folytonos transzformáció, amely az egyik pályát a másikba folytonosan transzformálja. Az X fundamentális csoportjának elemei az egymásba folytonos deformációval átvihető zárt görbék osztályai. Egy x X és y X végpontú görbe alatt az I = [0, t] intervallum olyan f : I X folytonos leképezését értjük, amelyre f(0) = x és f(1) = y. A görbe zárt, ha x = y. Az f : I X leképezés kezdőpontja legyen x, végpontja y, a g : I X görbe kezdőpontja legyen y, végpontja pedig z. Az f, g görbék kompozíciója az az fg : I X leképezés, amelyre fg(t) = { f(2t) ha 0 t 1/2 g(2t 1) ha 1/2 t 1. (2.46) Két I X görbe, f és g, amelyek mindegyikének kezdőpontja x és végpontja y, homotóp, ha létezik a J = [0 t, u 1] négyzetnek olyan ϕ : J X folytonos leképezése, amelyre ϕ(t, 0) = f(t); ϕ(t, 1) = g(t); ϕ(0, u) = x; ϕ(1, u) = y (2.47) Azoknak a zárt görbéknek a homotópia osztályai, amelyeknek kezdő- és végpontjai egyaránt x 0, csoportot alkotnak a görbék kompozíciójára, mint műveletre nézve. Ez a csoport X fundamentális csoportja, jele π(x). Az X tér egyszeresen összefüggő, ha π(x) = e (egységelem). 36

38 A fundamentális csoport fogalma szorosan kapcsolódik a diszkrét transzformációcsoportokhoz. Ha X olyan tér, amelyben bármely két pont görbével összeköthető, akkor létezik olyan összefüggő és egyszeresen összefüggő ˆX tér és egy azon ható, π(x)-szel izomorf G csoport úgy, hogy X = G\ˆX (a jelölést ld. az orbitoknál). Az ˆX teret X univerzális fedésének nevezzük. 12 Fundamentális tartományon az ˆX tér olyan D X részhalmazát értjük, amely minden orbitot metsz, és amelynek minden x D belső pontjára teljesül, hogy x orbitjának és D-nek metszete pontosan x. Ekkor D lezártjának D-nak két pontja csak akkor tartozhat azonos orbithoz, ha a pontok D határán vannak. Így a G\ˆX teret úgy képzelhetjük el, hogy D-t összeragasztjuk, azonosítva egymással határának azonos orbithoz tartozó pontjait. Például az egyenes eltolásainak csoportjának a [0, 1] intervallum fundamentális tartománya. Ennek két végpontját azonosítva egy kőrt kapunk Lie-csoportok Egy tartomány vizsgálata során gyakran folyamodunk leképezések használatához. Legyen M, N R n két nyílt halmaz, legyen továbbá adott az f : M N függvény, amely az M halmazt az N halmazba képezi le. Az f leképezést diffeomorfizmusnak nevezzük, ha f tetszőlegesen sokszor differenciálható, inverzfüggvénye f 1 létezik és tetszőlegesen sokszor diferenciálható. Az f : M N függvény szürjektív, amennyiben a teljes M halmaz képe a teljes N halmaz; injektív leképezésnek nevezzük, ha ha M különböző elemeit N különböző elemeibe képezi le; bijektív leképezésnek nevezzük, ha a leképezés kölcsönösen egyértelmű. További osztályozás lehetséges, ha az M, N halmazok pontjai között relációk is felállíthatóak. A leképezések vizsgálatának fontos eleme annak eldöntése, hogy az N halmaz tartalmazzae ugyanazt az információt, mint az M halmaz. Figyelembe kell azt is venni, hogy a két halmaz dimenziója eltérő is lehet. Erre a célra használjuk egy adott f : M N leképezés rangját. Legyen f : M N egy sima leképezés az m dimenziós M térből az n dimenziós N térbe. f rangján egy adott x M pontban az n m-es f i / x j Jacobi-mátrix rangját értjük. (A koordinátákat kiírva x = (x 1,..., x m ) M y = (y 1,..., y n ), azaz, y i = f i (x 1,..., x m ), i = 1,..., n). Az f leképezést maximális rangúnak nevezzük, ha a Jacobi-mátrix rangja maximális, azaz egyenlő min(m, n)-nel. A csoportok között fontos helyet foglalnak el azok a csoportok, amelyeknek elemei folytonos függvényei egy vagy több paraméternek. Ilyen csoportot alkotnak pl. a síkbeli 12 További részleteket ld. Safarevics könyvének 131.-ik oldalán. 37

39 forgatások mátrixai, aminek általános elemét ( cosθ sinϑ A ϑ = sinϑ cosθ ) (2.48) alakba írhatjuk. Az A ϑ mátrixok a mátrixszorzás műveletére nézve csoportot alkotnak, ugyanakkor a csoport minden eleme differenciálható függvénye ϑ-nak. A csoportművelet áthárítható a ϑ változóra, hiszen ( ) cos(ϑ1 + ϑ A ϑ1 A ϑ2 = 2 ) sin(ϑ 1 + ϑ 2 ) (2.49) sin(ϑ 1 + ϑ 2 ) cos(ϑ 1 + ϑ 2 ) Ezzel az összefüggéssel leképeztük a forgást leíró mátrixokat a valós számokra (azaz, a mátrixelemekben szereplő θ argumentumra), a leképezés izomorfia, a csoportművelet a mátrixok közt a mátrixszorzás, a valós számok (azaz, a mátrix argumentumok) között pedig az összeadás. A paraméterektől folytonosan függő csoportokkal foglalkozunk a továbbiakban. A csoportelemek általában több paramétertől is függenek, ezért a paramétert R helyett R n - ben (n 1) vizsgáljuk. Mivel a fizikában alkalmazott Lie-csoportok többnyire mátrix csoportok, az alábbiakban csak a lokálisan lineáris Lie-csoportokkal foglalkozunk. Legyen W egy egyszeresen összefüggő nyílt halmaz, amely tartalmazza az R n tér o = (0,..., 0) pontját, továbbá, amely a valós elemű p = (p 1,..., p n ) szám n-esekből áll. Tekintsük az invertálható A(p) = A(p 1,..., p m ) m-edrendű mátrixokat, amelyek definiálva vannak minden p W-re, és fennáll továbbá: A(0,..., 0) = E m egységmátrix; A(p) analitikus függvénye p minden komponensének; A A/ p j, j = 1,..., m mátrixok lineárisan függetlenek minden p-re. Létezik az o = (0,..., 0) elemnek olyan W W környezete, hogy bármely p, q W-párhoz található olyan r W, amelyre teljesül A(p)A(q) = A(r). Itt a baloldalon álló szorzás egyszerű mátrixszorzást jelent. A fent definiált A(p) mátrixok a mátrixszorzás műveletére nézve egy G L csoportot alkotnak. Ezt a csoportot n-dimenziós, valós, lokális Lie-csoportnak nevezik 13. A p paramétert a G L csoport lokális koordinátájának nevezzük. Mivel tetszőleges A(p), A(q) G L -re fennáll A(r) = A(p)A(q) G L, ezért 13 Sophus Lie ( ) svéd matematikus tiszteletére. r = f(p, q). (2.50) 38

40 Itt az f függvénynek n komponense van. Belátható, hogy a p koordináták helyett bármely másik p = F(p) koordináta egy új csoportot eredményez, az A(p) A(p ) leképezéssel. A mátrixok szorzása tehát leírható a mátrixok paraméterei közötti f függvénnyel is. Az asszociativitás miatt teljesülnie kell tetszőleges p, q és r argumentumok esetén az f(r, f(p, q)) = f(f(r, p), q) (2.51) összefüggésnek. Az egységelem nyilvánvalóan létezik a mátrixok között, ezért léteznie kell egy o vektornak, amelyre fennáll: f(p, o) = f(o, p) = p. (2.52) Mivel feltettük, hogy a szóbanforgó mátrixok invertálhatóak, adott mátrixnak létezik az inverze is, ezért minden p paraméterhez létezik olyan p paraméter, amelyre f(p, p) = f(p, p) = o. (2.53) Legyen p(t) egy vektor-skalár függvény, amely R R n és analitikus t < 1-re. A G L csoport G Lie-algebráját a A = d dt A(p(t)) t=0 (2.54) m-edrendű mátrixok halmaza alkotja, ahol p(t) végigfut minden olyan görbén R n -ben, amely átmegy az o R n ponton. Ebből következik, hogy minden A G felírható az alábbi n, lineárisan független B 1,..., B n mátrix lineáris kombinációjaként: B j = A(p) p j, i = 1,..., n. (2.55) Valóban, ha A = d/dta(p(t)) G, akkor n p j (t) A = A(p) t t=0 p j = p=o i=1 n α j B j. (2.56) j=1 Eszerint G rendelkezik egy n-dimenziós vektortér struktúrájával, e vektortéren definiálva van az összeadás és a skalárral való szorzás. Ebben a vektortérben a B j, j = 1,..., n mátrixok bázist alkotnak. A műveletek számát bővíteni lehet. Vizsgáljuk meg az A, B G mátrixok kommutátorát! Minthogy [A, B] = AB BA, továbbá a mátrixszorzás átvihető a paraméterek transzformációjára (2.50) szerint, továbbá, minden G-beli mátrix kifejthető a B j mátrixok szerint, az alábbi összefüggést kapjuk: [B m B n ] = n i=1 c (mn) i B i, 1 m, n n. (2.57) 39

41 Továbbá, c (mn) i = c i,mn c i,nm (2.58) ahol c i,mn = p 2 i p j f i (p, q) p,q=o. Ezzel a G vektortéren értelmeztük a kommutátort is, G-hez tehát egy Lie-algebra is rendelhető az alábbiak szerint. Egy L halmazt, amelyen két művelet van értelmezve, egy a+b összeadás és egy [a, b] = ab ba kommutálás Lie-gyűrűnek nevezzük, ha kielégíti az összes gyűrűaxiómát, kivéve a szorzás asszociativitását, aminek helyébe az [a, a] = 0 és [[a, b], c]+[[b, c], a]+[[c, a], b] = 0 azonosságok lépnek minden a, b, c L-re. Ha L még vektortér is valamilyen K test felett, akkor L-et egy K-feletti Lie-algebrának nevezzük Feladat. Legyen D L az elsőrendű differenciálás operátora: D(f) = i p i f x i. (2.59) Ekkor D(f 1 + f 2 ) = D(f 1 ) + D(f 2 ) és D(f 1 f 2 ) = f 1 D(f 2 ) + f 2 D(f 1 ) továbbá ha D(f) = 0 ha f a konstans függvény. Legyen D 1 (f) = i p i f x i, D 2 (f) = i q i f x i. Ekkor [D 1, D 2 ] = i R i x i ahol R i = k p k q i p x k q i k x k. Tehát [D 1, D 2 ] is elsőrendű differenciáloperátor. Továbbá [D, D] = 0 és [[D 1, D 2 ], D 3 ] + [[D 2, D 3 ], D 1 ] + [[D 3, D 1 ], D 2 ] = 0, tehát az elsőrendű deriváltak Lie-algebrát alkotnak. Most megmutatjuk, hogy a G L Lie-csoport elemeit paraméterezhetjük a Lie-algebra bázisaival. Válasszuk az A G L csoportelem következő ábrázolását: amennyiben A = exp A, ahol A = n i=1 α ib i, akkor A = exp n α i B j. (2.60) Az (α 1,..., α n ) együtthatókat az A G L mátrix kanonikus koordinátáinak nevezik. Az A = exp A leképezés megvalósítható, hiszen amennyiben A < ε, akkor exp(a) G L. Továbbá, ha A E m < δ, akkor felírható A = exp A, A G alakban, egyetlen A G, A < ε segítségével. A Lie-csoportok másik fontos ábrázolását alkotják a leképezések. Tekintsünk egy L sokaságot, amelyen értelmezve vannak L L transzformációk. Ilyen például az síkot önmagára leképező, forgatásokat leíró SO(2) csoport, vagy az R n teret önmagára leképező, invertálható, lineáris transzformációk GL(n) csoportja. Általában egy Lie-csoport megvalósítható egy M sokaság automorfizmusainak segítségével. A transzformációk abban az értelemben lokálisak, hogy egyes transzformációk esetleg nem definiáltak M egyes pontjaiban, vagy hatásuk nem definiált egyes transzformációkra. A vizsgált leképezések általában nemlineárisak, ezért mátrixokkal nem leírhatóak. Egy adott transzformáció leírását úgy adjuk meg, hogy megadjuk az x M pont x M képét, és megadjuk, melyik transzformációról van szó, ez utóbbit a leképezésben egy 40 i=1

42 paraméterrel, g-vel fogjuk jelölni. Legyen egy leképezés adott a Ψ(g, x) g változójában mindenhol differenciálható függvénnyel, ahol x M és g G L. Két leképezés szorzatát egymás utáni alkalmazásuk jelenti. Legyen az első leképezés paramétere h, a másodiké g, akkor Ψ(g, Ψ(h, x)) = Ψ(g h, x), (2.61) ami azt fejezi ki, hogy két leképezés szorzata is leképezés, gh paraméterrel. Azt a leképezést, amely minden x M pontot változatlanul hagy, az e paraméterrel azonosítjuk. Nyilván Ψ(g 1, Ψ(g, x)) = Ψ(e, x) = x. Megmutatható, hogy a Ψ(g, x) leképezések csoportot alkotnak. A komponenseket is kiírva: x = (x 1, x 2,..., x n ) és a leképezés eredménye legyen x = Ψ(g, x). Kizárólag g szerint deriválható leképezésekkel foglalkozunk, ezért az x vektor i-ik komponensének g szerinti deriváltját írhatjuk dx i dg = ξ i(x) (2.62) alakba. Adott Ψ leképezés egyértelműen meghatározza a ξ i (x) függvényeket. Mivel g = e esetén x = x, ezért teljesülnie kell az x (e) = x feltételnek is. Alkalmazzuk a fenti gondolatmenetet a x = Ψ(h, x) pontra. Ekkor legyen a képpont x = Ψ(g, Ψ(h, x)) = Ψ(g, x ). Nyilván fennáll dx i /dg = ξ i (x ) minden 1 i n indexre, és x (e) = x. Vizsgáljuk most az y = Ψ(g h, x) leképezést. Nyilván dy i /dg = ξ i (x) és y(e h) = x. Kaptunk két, első deriváltakat tartalmazó kezdetiérték feladatot, amelynek csak egy megoldása létezik, ezért Ψ(g, Ψ(h, x)) = Ψ(g h, x), tehát a leképezések tényleg csoportot alkotnak. Minthogy a transzformáció g = e esetén helyben hagyja az x pontot, feltehetjük, hogy a g-hez tartozó transzformáció folytonosan változik g-vel és elegendő a g-hez tartozó transzformációt első rendben tekinteni, és minden g csoportelemhez társítható egy ε << 1 paraméter. Ebben az esetben ahol a ξ(x) vektor elemeit (2.62) adja meg. Bevezetjük a Ψ(ε, x) = x + εξ(x) + O(ε 2 ), (2.63) v x = d dε ε=0ψ(ε, x) (2.64) kifejezést, amit a transzformációcsoport infinitezimális generátorának nevezünk. Ezzel a jelöléssel maga a transzformáció így írható fel: Ψ(ε, x) = exp(εv)x. (2.65) Az exponenciálisban szereplő operátoron Taylor sorát értjük: exp(a) = i=1 A i i!. 41

43 2.2. Feladat Legyen M-ben egyetlen változó, x, és v = d/dx. Ekkor exp(εv)x = x+ε Feladat Az x = x p transzformáció a [0, 1] intervallumot önmagára képezi le. A transzformáció paramétereként használható a leképezésben szereplő p kitevő, p 1 és p 2 egymásutáni alkalmazása megfelel az x = x p 1+p 2 leképezésnek. Itt a leképezések csoportja izomorf a valós számok (additív) csoportjával. Jelölje G a vizsgált L sokaságon ható Ψ(g, x) transzformációk csoportját. Egy adott x pont O orbitját a Ψ(g, x), g G pontok alkotják. A G transzformációcsoport regulárisan hat L-en, ha minden orbit azonos dimenziójú és minden x L pontnak létezik egy tetszőlegesen kicsi U környezete, amelyet a G csoport orbitjai pályánként folytonos részhalmazokban metsz. A csoporthatást tranzitívnak nevezzük, ha G-nek csak egy orbitja van, L. A transzformációcsoportot újra megvizsgáljuk a 7. és 8. fejezetben. Vizsgáljuk meg egy transzformációval szemben invarianciát mutató halmazokat! Először azt kell megvizsgálni, mely invariánsak tekinthetőek függetlennek. Legyenek ζ 1 (r),..., ζ k (r) megfelelően sima valós függvények, amelyek értelmezettek azon az M sokaságon, amelyet a vizsgált G transzformációscoport önmegára képez le. Ekkor a ζ 1 (r),..., ζ k (r) függvényeket funkcionálisan összefüggőnek nevezzük, ha minden r M pontnak létezik egy U környezete, és egy olyan sima, valós F (ζ 1,..., ζ k ) függvény, amely nem azonosan nulla a k-dimenziós tér egyetlen nyílt halmazán sem, és teljesül F (ζ 1,..., ζ k ) = 0 minden x U esetén. Amennyiben a fenti F függvény azonosan nulla, a ζ 1 (r),..., ζ k (r) függvényeket funkcionálisan függetleneknek nevezzük Feladat A ζ 1 = x/y és a ζ 2 = xy/(x 2 + y 2 ) funkcionálisan összefüggők az x, y sík y 0 pontjaiban, mert xy x 2 + y = x/y (x/y) = f(x/y). 2 A ζ 1 (r),..., ζ k (r) függvények funkcionális függetlenségének klasszikus feltétele,hogy a Jacobimátrix rangja minden pontban kisebb legyen k-nál. Amennyiben egy transzformációcsoport, amelyet (2.62) ír le, akkor hagy egy ζ függvényt változatlanul, ha fennáll ξ 1 (x) ζ x ξ m (x) ζ x m = 0. (2.66) (2.66) általános megoldása egy közönséges differenciálegyenelet-rendszer integrálásával kapható meg. Ezt a differenciálegyenelet-rendszert karakterisztikának nevezik és a következő egyenletrendszert jelenti: dx 1 ξ 1 (x) = dx 2 ξ 2 (x) = = dx m ξ m (x). (2.67) 42

44 Ezen egyenletek megoldása m 1 függvény, amelyek az m-dimenziós M-sokaság koordinátáitól függvenek Feladat Az SO2 (forgatáscsoport) csoport a síkon hat. Legyen ezért M = R 2 = (x, y). A csoport elemei az (x, y) pontok transzformációit adják meg. A transzformáció jellemzésére (2.62) szerint a képpont koordinátáinak deriváltjait használhatjuk. Az SO2 csoport infinitezimális generátora v = y x + x y. A transzformációban szereplő függvények ξ 1 (x, y) = y, ξ 2 (x, y) = x. A karakterisztikák egyenlete: dx y = dy x. (2.68) Az egyenletrendszer megoldása x 2 +y 2 = áll. Ez, vagy ezen kifejezés tetszőleges függvénye a forgatások egyetlen, független invariánsa. Azokat a Lie-csoportokat, amelyekben a paraméter csak véges korlátok között mozoghat, kompakt csoportoknak nevezzük. Amennyiben a csoport elemei sima függvényei egy vagy több paraméternek, lehet definiálni két csoportelem távolságát, azaz, be lehet vezetni topológiát a csoporton. Ennek alkalmazásaira példák találhatóak Saferivics és Olver könyvében is Feladat Tekintsük az alábbi vektormezőt: v = y x + x y + (1 + z2 ) z, (2.69) amely értelmezési tartománya R 3. Minthogy v nem tűnik el egyetlen (x, y, z) R 3 pontban sem, két invariánst is generálhatunk. A karakterisztika most dx y = dy x = dz 1 + z 2. (2.70) Az első két egyenletet az előző példában oldottuk meg, ennek megfelelően az első invariáns r = x 2 + y 2. A második invariáns megkereséséhez használjuk az x r 2 y 2 helyettesítést az integrálás előtt: dy r2 y 2 = dz 1 + z 2. (2.71) Ennek megoldása arcsin(y/r) = (arctanz) + k, itt k tetszőleges állandó. A második invariáns tehát arctan z arcsin(y/r) = arctan z arctan(y/x). (2.72) 43

45 2.7. Feladat ( Néhány Lie-csoport) 1. GL(n, X)- az invertálható n-edrendű mátrixok csoportja, aminek elemei az X halmazból valóak. 14 A mátrixnak n 2 független eleme van. Ennek a csoportnak a centruma az egységmátrix skalárszorosa. A centrum szerinti faktorcsoportot P GL(n, X)-szel jelöljük. Ilyen csoport az Sp(2n, X), szimplektikus csoport, amely egy ferdén szimmetrikus kvadratikus alak automorfizmuscsoportja. A kvadratikus alak együtthatói az X térből valók. Ezen csoport egyik récscsoportját alkotják azon felsőháromszög mátrixok, amelyeknek diagonális elemei mind eggyel egyenlőek. Ilyen a ( ) 1 a G a = (2.73) 0 1. Ez a csoport izomorf X additív csoportjával. A GL(1, X) csoport viszont X multiplikatív csoportjával 15 izomorf, ezt a csoportot G m -mel szokás jelölni. Ezt a két csoportot a 7. fejezetben felhasználjuk. 2. SL(n, X)- az egységnyi determinánsú (unimoduláris) n-edrendű mátrixok csoportja. Általában, ha G egy mátrixcsoport, akkor SG-vel jelöljük az egységnyi determinánsú mátrixok alcsoportját. A G és SG csoportok centruma szerinti faktorcsoportot rendre P G-vel ill. P SG-vel jelöljük. Az SL(n, X) csoport a GL(n, X) csoport azon elemeiből áll, amelyek determinánsa 1, ez a csoport tehát a GL(n, X) csoport részcsoportja, paramétereinek száma n O(n, X)- az n-edrendű ortogonális mátrixok csoportja, azaz, azon A mátrixok tartoznak ide, amelyekre AÃ = 1. A szabad paraméterek száma n(n 1)/2. A paraméterek 1 és +1 között változhatnak. Mivel det(a) = ±1, a sokaság két halmazra esik szét, a valódi forgatásokra, amelyek csoportot alkotnak (det(a) = 1)és nem valódi forgatások halmazára det(a) = 1. Az utóbbiak nem alkotnak csoportot, mert nem érhetőek el az egységelemből kizárólag csoportelemek alkalmazásával. 4. U(n)- az n-dimenziós komplex euklideszi tér unitér transzformációi.elemei olyan n n-es komplex számokból álló mátrixok, amelyekre AÃ = 1. A független valós paraméterek száma n 2 n 5. SU(n): Az U(n) csoport egységnyi determinánsú mátrixokból álló részcsoportja, ennek centruma azokból az εe (itt E-egységmátrix) mátrixokból áll, amelyekre ε n = SpU(2n)- unitér szimplektikus csoport. Azokból a 2n 2n-es A mátrixokból áll, amelyekre AGÃ = G, ahol G adott antiszimmetrikus mátrix. (Itt a hullám a transzponált mátrixot jelenti.) 14 Megjegyezzük, hogy a modulo q egészek halmazát F q -val szokás jelölni. 15 amennyiben az X halmaz elemei a szorzás műveletére nézve csoportot alkotnak 44

46 7. O(3, 1)- a Lorentz-csoport, az összes olyan 4x4-es A mátrixból áll, amelyre AGÃ = G. A paraméterek száma 6. Itt G = diag(1, 1, 1, 1). SO(3, 1) pedig a valódi Lorentz-csoport. Ezek a csoportok a relativitáselméletben fordulnak elő. 8. Lineáris algebrai csoportok: a GL(n, K), bizonyos K test feletti algebrai egyenletekkel meghatározott részcsoportja, pl. O(f, K), a K feletti f kvadratikus alakot megtartó mátrixok csoportja Lie-Bäcklund csoport Differenciálegyenletek automorfizmusainak keresésében a Lie-csoportok elmélete használható. Azonban ha az egyenlet integrált is tartalmaz, a Lie-csoportok már nem elegendőek, vagy ha a differenciálegyenlet helyett annak véges differencia közelítését vizsgáljuk, a Liecsoportok helyett azok egy általánosítására van szükség. Ezt az általánosítást tárgyaljuk röviden. A 2.2 fejezetben ismertetett transzformációk közül azok, amelyek változatlanul hagynak egy adott egyenletet, csoportot alkotnak. Írjuk az egyenletet u(x) = 0 (2.74) alakba, ahol u jelenthet egy vagy több egyenletet, x pedig egy vagy több független változót. A transzformációt pedig írjuk x = f(x, u, a) (2.75) u = φ(x, u, a) (2.76) alakba, ahol vessző jelöli az új változókat, a pedig egy szabad paraméter. Ezekről a transzformációkról a 2.2 fejezetben volt szó, igaz, ott a leképezések kapcsán. A 2.2 fejezetben ismertetett folytonos transzformációk egy általánosítása az alábbi módon adható meg. Az f : M N abban a speciális esetben tárgyaljuk, amikor M és N dimenziója azonos: x = (x 1,..., x n ) M, y = (y 1,..., y n ) N. Amennyiben egy (differenciálásokat és integrálásokat tartalmazó) egyenletről van szó, azt egy összefüggésnek tekintjük a független változók (x = (x 1,..., x n )) és az egyenletben szereplő u = (u 1,..., u m ) függvények, valamint annak deriváltjai u 1 = (u 1 1, u 1 2,..., u 2 1, u 2 2,..., u m n ) között. Ha az egyenletre alkalmazunk egy transzformációt, a független változók is, a függő változók is, és annak deriváltjai is transzformálandóak. Ezért a transzformáció általános alakja: x i = f i (x, u, u 1, a) (2.77) u α = φ α (x, u, u 1, a) (2.78) u α i = ψ α i (x, u, u 1, a), (2.79) 45

47 ahol a a transzformációban szereplő szabad paraméter. A 2.2 fejezetben láttuk, hogy ezek a transzformációk csoportot alkotnak, a csoport elemeit a transzformációban szereplő a paraméterrel jellemezhetjük. A (2.77) transzformáció hatása a dx, du, du 1 infinitezimális elemekre így adható meg: dx i = f i x j dxj + f i u β duβ + f i u β j u β j du β j (2.80) du α = φα x j dxj + φα u β duβ + φα du β j (2.81) du α i = ψα x j dxj + ψα u β duβ + ψα du β j. (2.82) Ezzel egy olyan transzformációt kapunk, amely értelmezve van a (y, u, u 1, dx, du, du 1 ) vektorok halmazán. A (2.77) transzformációt kontaktnak nevezik, amennyiben változatlanul hagyja az u α i deriváltakat. Ezek a transzformációk csoportot alkotnak. A Liecsoport generátorai X = ξ i x + i ηα u + α ζα i, (2.83) ahol ξ i = f i a, η α = φα a=0 a, ζi α a=0 u β j u α i = ψα i a, (2.84) a=0 a kontakt transzformációk K csoportjának Y generátorát pedig az alábbi operátor adja meg: Y = X + ξ i (dx i ) + ηα (du α ), (2.85) ahol Felhasználva (2.80)-t, ξ i = (dx i ) a Írjuk a megőrizni kívánt érintő egyenletét, η α = (du α ) a=0 a. (2.86) a=0 ξ i = ξi x j dxj + ξi u β duβ + ξi du β u β j (2.87) j η α = ηα x j dxj + ηα u β duβ + ηα du β j. (2.88) u β j du α u α i dx i = 0 (2.89) 46

48 alakba, az Y generátor akkor őrzi meg a (2.89) tulajdonságot, ha fennáll ( ) ( ) η α x + ηα j u β uβ j ξ i uα i x j uα i u β ξ i j u β ζα j dx j η α + u α ξ i i u β j u β j du β j = 0. (2.90) összefüggés. Minthogy (2.90)-ben mind dx j, mind du β j független változó, ezért együtthatóiknak el kell tűnniük. Ezért a ξ i (x, u, u 1 ), η α (x, u, u 1 ), ζi α (x, u, u 1 ) függvények kielégítik az alábbi differenciálegyenlet-rendszert: ( ) ζ α j = ηα η α x + j u β uβ j ξ i uα i x j uα i u β j (2.91) 0 = ηα u β j u α i ξ i. (2.92) u β j A Lie-B acklund-csoport integro-differenciálegyenletek automorfizmusaként is megjelenik Cayley-diagram Az továbbiakban szükségünk lesz egy másik algebrai (ha tetszik geometriai) struktúrára, a gráfra. A gráf pontok (csúcsok) tetszőleges halmaza, a halmaz elemeit élek köthetik össze. Magát a gráfot a csúcsok és az élek halmazával adjuk meg: Γ = (C, E). A csoportok tanulmányozására alkalmas eszköz a Cayley-diagramm. Ha a G csoport generátorai a 1, a 2,... ; akkor a G csoport Γ Cayley diagrammja egy gráf, aminek csúcsait P g (minden egyes g G-re) alkotja, irányított élei pedig a i típusúak és P g -ből P ga -ba mutatnak minden a generátorra Feladat (A szabályos háromszög szimmetriáinak Cayley-gráfja (1)) Legyen G = a, b; a 2 = 1, b 3 = 1, ab = ba a vizsgált csoport. G-nek két generátora (a és b) továbbá 6 eleme van: 1, b, b 2, a, ab, ab 2. Cayley-diagrammja pedig az 2.1. ábrán látható. Később belátjuk, hogy ez a csoport izomorf a szabályos háromszög szimmetriacsoportjával Feladat ( A négyzet szimmetriái) Tekintsük az alábbi négyzetet. Legyen X = {x, y : 1 x +1; 1 y +1}. A négyzet automorfizmusainak csoportja Aut(X) 8 elemet tartalmaz: a x -tükrözés az x tengelyre, a y -tükrözés az y tengelyre, d 1 -tükrözés az y = x átlóra, d 2 -tükrözés az y = x átlóra, b-tükrözés az origóra, c 1-90 fokos forgatás az óramutató irányába, c fokos forgatás. Először előállítjuk Aut(X) egy véges prezentációját. Legyen s 1 = a y és s 2 = c 2, amivel a következő véges prezentációt kapjuk a négyzet szimmetriacsoportjára: Aut(X) = s 1, s 2 ; s 2 1 = 1, s 4 2 = 1 47

49 2.1. ábra. Az {1, b, b 2, a, ab, ab 2 } csoport Cayley-digrammja 2.2. táblázat. A C 4v csoport karaktertáblája Reprezentáció / Osztály C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 A B A B E A csoportelemeket öt konjugált elemosztályba sorolhatjuk: C 1 = {E}, C 2 = {a x, a y }, C 3 = {d 1, d 2 }, C 4 = {b}, C 5 = {c 1, c 2 }. Ez a csoport izomorf a C 4v pontcsoporttal, aminek karaktertábláját kézikönyvekből, vagy a GAP programból kiolvashatjuk: Az orbitok a négyzeten 4 vagy 8 pontot tartalmaznak, az Aut(X)\X halmaz a négyzet 1/8 részét kitevő háromszög. Az Aut(X) csoport ábrázolása lehetséges például 4x4-es mátrixokkal. Ekkor a csoport egy ábrázolását adják a következő mátrixok: D e = D ax = (2.93) (2.94) 48

50 D ay = D c2 = D d1 = D c1 = D d2 = D b = (2.95) (2.96) (2.97) (2.98) (2.99) (2.100) Mivel spur(d e ) = 4, ez az ábrázolás reducibilis, azaz, létezik olyan bázis a 4 dimenziós térben (amelyen a 4x4-es mátrixok hatnak), amelyben a fenti mátrixok blokkokra esnek szét. Meggyőződhetünk közvetlen számítással arról, hogy az alábbi O mátrix mind a 8 fenti mátrixot blokkdiagonális alakra redukálja: O = a a a a a a a a b 0 b 0 0 b 0 b (2.101) ahol a = 1/2, b 2 = 1/2. Mivel az első két sorban az OMO 1 transzformáció után az Aut(X) csoport ábrázolásához tartozó minden mátrixnak csak diagonális eleme van, ezért az O mátrix első és második sora is egy-egy Aut(X) invariáns, egydimenziós alteret jelent. A transzformáció után egyes mátrixokban a harmadik és negyedik sorban két nemnulla elem található, ezért az O mátrix utolsó két sora ad meg egy újabb Aut(X) invariáns, de már kétdimenziós alteret. 49

51 2.3. táblázat. A C 4v csoport gráfjához Csoportelem (g) s 1 g s 2 g E a y c 2 a x b d 1 a y E d 2 c 1 d 2 E c 2 d 1 b d 1 c 2 a y d 2 c 1 a x b a x c táblázat. A C 4v csoport Cayley-diagrammjához i u i s u i t A négyzet szimmetriáinak Cayley-gráfja bonyolult szerkezetet mutat, ezért helyette egy táblázatban azt adjuk meg, hogyan kapcsolják össze a csoportelemeket a generátorok. Ha egy csoport Cayley-gráfja bonyolult szerkezetű, egy G csoport struktúráját bemutathatjuk az alábbi egyszerűsített módon is. Jelöljünk ki egy H G részcsoportot és bontsuk fel G-t H szerinti C i mellékosztályokra. Ezek száma G / H lesz. Az egyes mellékosztályokat jellemezhetjük a mellékosztály reprezenzációs elemével, u i -vel, amelyre teljesül c i = h u i, minden c i C i -re. A csoport jellemzésére elegendő megadni, hogy G generátorai melyik mellékosztályba transzformálják az u i reprezentánsokat Feladat (A C 4v csoport Cayley-gráfja) Válasszuk generátornak az s 90-fokos forgatást és a t y-tengelyre vett tükrözést. Válasszunk egy kételemű részcsoportot, pl. H = {e, st}. Ekkor a C 4v csoport négy H-szerinti mellékosztályra bomlik, legyenek ezek ábrázolásának elemei u i, i = 1, 4. Az u i elemek transzformációit a 2.4. táblázat adja meg. (A mellékosztálynak csak az indexét adtuk meg.) Az így kapott Cayley-gráf táblázat, vagy rajz formájában is használható. Az egész számok egy végtelen elemű csoportot alkotnak, a csoportművelet az összeadás. A valós számok is csoportot alkotnak, itt a csoportművelet szintén az összeadás. Tekintsük a nemszinguláris 2 2-es nemszinguláris mátrixok halmazát. Ez a halmaz is csoportot alkot a mátrixszorzás műveletére nézve. Amennyiben a mátrixelemeket modulo(q) vesszük, a csoport elemeinek száma véges lesz. 50

52 2.5. táblázat. Szorzások a GL(2, F 2 ) csoportban bal/jobb E m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 E E m 1 m 2 m 3 m 4 m 5 m 1 m 1 E m 3 m 2 m 5 m 4 m 2 m 2 m 5 m 4 m 1 E m 3 m 3 m 3 m 4 m 5 E m 1 m 2 m 4 m 4 m 3 E m 5 m 2 m 1 m 5 m 5 m 2 m 1 m 4 m 3 E 2.6. táblázat. Az (2.104) csoport szorzási táblázata bal/jobb e t t 2 s st st 2 e e t t 2 s st st 2 t t t 2 e st 2 s st t 2 t 2 e t st st 2 s s s st st 2 e t t 2 st st st 2 s t 2 e t st 2 st 2 s st t t 2 e 2.4. Feladat (A szabályos háromszög szimmetriacsoportja (2)) Könnyen belátható, hogy az alábbi 6 mátrix, melyeknek elemeit modulo(2) vesszük 16, a mátrixszorzás műveletére csoportot képez, ez a GL(2, 2) csoport: ( ) ( ) ( ) E = ; m 1 = ; m 2 = (2.102) m 3 = 0 1 ( ) ; m 4 = 1 0 ( ) ; m 5 = 1 0 ( ) (2.103) A szorzási táblázatot a 2.6. táblázat mutatja. A konjugált osztályokat könnyen előállíthatjuk a definíció alapján: {E}, {m 1, m 1 m 2, m 1 m 2 2 }{m 2, m 2 2 }. A csoport generátora m 1 és m 2, előbbi rendje 2, mert m 1 m 1 = E, utóbbié 3, mert m 2 m 2 m 2 = E. Tehát a csoport előállítható G = m 1, m 2 ; m 2 1 = 1, m 3 2 = E (2.104) formában, azaz, végesen prezentálható. Ez a csoport izomorf a szabályos háromszög szimmetriáinak csoportjával. Azt u.i. egy magasságvonalra való tükrözés (jelöljük s-sel) és a háromszög középpontja körüli 120 fokos elforgatás (jelöljük t-vel) generálja, és s 2 = E, t 3 = E. A két csoport elemeinek megfeleltetését könnyen megtalálja az Olvasó. A szorzási táblához fel kell használni az alábbi azonosságokat: ts = st 2 ; (st) 2 = E. A C 4v 16 Ekkor a mátrix elemei az F 2 -halmazból valóak 51

53 2.2. ábra. Az C 4v csoport Cayley-digrammja 2.7. táblázat. Konjugált elemosztályok az (2.104) csoportban x g gxg 1 Konjugált elemosztály tetszőleges e e C e = {e} t {e, t, t 2 }, {s, st, st 2 } {t}, {t 2 } C t = {t, t 2 } s e, {t, t 2 } s, {st}, st 2, st C s = {s, st, st 2 } csoport Cayley-diagrammját a 2.4. ábra tartalmazza. A konjugált elemosztályokra bontáshoz a (2.15) egyenlet előtti bekezdésben elmondottakat használjuk, az eredményt az 2.7 táblázat tartalmazza. Tekintsük az A = {e, t, t 2 } csoportot, ami G-nek részcsoportja. A szorzási táblázat segítségével ellenőrizhető, hogy A baloldali és jobboldali mellékosztályai azonosak, ezért A normálosztója G-nek. G rendje 6, A rendje 3, A indexe pedig 2. Tekintsük a G csoportban az alábbi két halmazt: S 1 = A = {e, t, t 2 }; S 2 = {s, st, st 2 }. S 1 és S 2 csoportot alkot, amit G/A faktorcsoportnak nevezünk. A csoportművelet a következő: S g S h = S g h minden g, h G-re. Itt S g alatt azt az S i, i = 1, 2 halmazt értjük, amelyik megegyezik g A-val. Ezért a faktorcsoport szorzási táblázata: S 1 S 1 = S 1 ; S 1 S 2 = S 2 S 1 = S 2 ; S 2 S 2 = S 1. A G csoport feloldható Feladat Határozzuk meg egy forgatás hatását a helykoordinátákra! A vizsgált M sokaság álljon a sík r = (x, y) pontjaiból, és írjuk le a forgatást az infinitezimális generátorral. Ehhez először a transzformációt kell felírni, ezt megtaláljuk (2.48)-ben, amit most a sík pontjainak transzformációja alapján írunk fel: Ψ(ϑ, (x, y)) = (x cos ϑ y sin ϑ, x sin ϑ + y cos ϑ). A transzformációhoz tartozó deriváltat (2.64)-nek megfelelően v = ξ(x, y) x + η(x, y) y adja meg. Mivel a transzformáció egységeleme a ϑ = 0 elemhez tartozik, ezért ξ(x, y) = d (x cos ϑ y sin ϑ) dϑ = y (2.105) ϑ=0 52

54 és η(x, y) = Ezért az infinitezimális generátor v = y x + x y. d (x sin ϑ y cos ϑ) dϑ = x. (2.106) ϑ= Feladat (Faktorcsoport) Tekintsük a négy elemű ciklikus csoportot: C 4 = a, a 2, a 3, a 4 = e. Ebben E = e, a 2 egy részcsoport, és a G\A faktorcsoportnak két eleme van (mert A indexe G-ben 2), ennek elemei halmazok: E = e, a 2 és A = a, a 3, teljesül továbbá A 2 = E és E 2 = E; azaz a két halmaz zárt a szorzásra nézve tehát csoportot alkotnak, ez a C 4 csoport faktorcsoportja Feladat. [Permutációcsoportok] Az S n permutációcsoport egy konjugált elemosztályába tartozó elemek ciklusszerkezete azonos. A ciklusok számát megszorozva a ciklusban lévő elemekkel, a kapott szorzatokat minden ciklushosszra összegezve S n rendjét kapjuk meg. A ciklusok hosszát zárójelben szokták megadni, pl. (31 3 ) jelentése: egy darab hármas ciklus, három darab (ez a szám szerepel a kitevőben) egyes ciklus az S 6 csoportban; vagy (2 2 1) jelentése: két darab kettes ciklus, egy darab egyes ciklus az S 5 csoportban. Az S 4 csoportban 5 konjugált osztály található, ezek: C 1 = (); C 2 = (12), (13), (23), (24), (34); C 3 = (12)(34), (13)(24), (14)(23); C 4 = (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); C 5 = (1234), (1243), (1324), (1324), (1342), (1423), (1432). Ezek az elemek az alábbi módon rendezhetőek csoportokba: C 1 (C 1 C3 ) (C 1 C3 C4 ) (C 1 C2 C3 C4 C5 ) = S 4. Ezért az S 4 csoport feloldható. Megjegyezzük, hogy S n nem feloldható ha n Forgáscsoport, Lorentz-csoport Forgáscsoport A síkbeli forgatásokat az SO2 csoport írja le, a csoportelemeket a forgatás szögével lehet paraméterezni. Az alábbiakban alkalmazni fogjuk a fejezetben elmondottakat. A paramétervektor most egyetlen skalár, a mátrixban szereplő ϑ argumentum, a forgáscsoport mátrixainak szorzásának pedig az argumentumok összeadása felel meg. Az 53

55 egységelemnek a paraméter θ = 0 értéke felel meg. Képezzük a (2.55) deriváltat (mivel egyetlen argumentum van, a deriváltmátrix indexét elhagyjuk) a θ = 0-pontban: B = da ( ) ( ) sinθ cosθ 0 1 dθ = =. (2.107) cosθ sinθ 1 0 Mint látjuk, da(θ) = BA(θ). (2.108) dθ Vagyis, a paraméter szerinti derivált tetszőleges paraméterértéknél előállítható a B mátrix segítségével. (Megjegyezzük, hogy ez egy általános tétel alkalmazása a forgáscsoportra.) A forgáscsoport Ábel-csoport, minden mátrix egy konjugált elemosztályt alkot. A forgatást leíró mátrixok egy unitér mátrixszal diagonalizálhatóak. Sajátértékei e iθ = cos θ + i sin θ. A forgatást leíró mátrixok egydimenziós ábrázolást feszítenek ki,azaz, a csoport egy és csak egy eleme feleltethető meg egy adott θ értéknek. A térbeli forgatást is egy mátrixszal lehet leírni, a térbeli forgatások csoportja az SO3 csoport. A térbeli forgatások esetében meg kell adni a forgástengely irányát, erre a Θ, Φ szögeket használjuk. A forgatás harmadik paramétere pedig a forgatás nagysága, ezt φ-vel jelöljük. Vegyük észre, hogy a (Θ, Φ, φ) paraméterek tartománya 0 Θ π, 0 Φ 2π és 0 φ π. Megállapodás szerint a φ = 0 értékhez nem tartozik forgatás, ez a csoport egységeleme. Emiatt a paraméterek (Θ, Φ, 0) halmazához ugyanaz a csoportelem tartozik. Ezt elkerülendő, a paraméterek, amelyek egy gömbben helyezkednek el, a (Θ, Φ, φ) elemekhez tartozó pont x, y, z Descartes-koordinátáit fogjuk használni: x = φ sin Θ cos Φ (2.109) π y = φ sin Θ sin Φ (2.110) π z = φ cos Φ. π (2.111) Amennyiben Φ-t π egységekben mérjük, az (x, y, z) pontok az egységgömb egy pontját adják meg, a φ = 0-hoz az egységelem tartozik, aminek az egységgömb origója felel meg. Gyakran célszerű a forgatás paramétereit másként megválasztani. A mechanikában is használatos Euler-szögeket fogjuk használni. Jelölje a koordináta-rendszer tengelyeit (X, Y, Z). A forgatás után előállt tengelyeket pedig (X, Y, Z ). A ϑ, ϕ, ψ Euler-szögek segítségével a koordinátatengelyek közötti szögeket az alábbi táblázat segítségével lehet felírni. X Y Z X cos ϕ cos ψ sin ϕ sin ψ cos ϑ sin ϕ cos ψ cos ϕ sin ψ cos ϑ sin ψ sin ϑ Y cos ϕ sin ψ + sin ϕ cos ψ cos ϑ sin ϕ sin ψ + cos ϕ cos ψ cos ϑ cos ψ sin ϑ Z sin ϕ sin ϑ cos ϕ sin ϑ cos ϑ 54

56 A Θ, Φ irányú tengely körüli φ szögű forgatást megadó mátrixot három mátrix szorzataként lehet felírni: először Θ szöggel forgatunk az OZ tengely körül, azután Φ szöggel az OY tengely körül, majd φ szöggel az OZ tengely körül. x y z = cos φ sin φ 0 sin φ cos φ cos Φ 0 sin Φ sin Φ 0 cos Φ cos Θ sin Θ 0 sin Θ cos Θ (2.112) A forgatások egy- és kétdimenziós ábrázolásokkal rendelkeznek. Ezek az ábrázolások közismert eszközökkel előállíthatóak (ld. Wigner könyvét). A forgatásokhoz 2 2-es mátrixot is rendelhetünk az alábbi módon. Az általános kétdimenziós egységnyi determinánsú, unitér mátrix általános alakja ( a b U = b a x y z ), a 2 + b 2 = 1. (2.113) Legyen a H 2 2-es mátrix diagonális elemeinek összege (spurja) nulla, akkor H-ban három szabadon választható elem van. Ezt úgy használjuk ki, hogy H paraméterezésére a Pauli-mátrixokat választjuk: ( ) 0 1 s x = (2.114) 1 0 ( ) 1 0 s z = (2.115) s y = 0 1 ( 0 i i 0 ), (2.116) azaz, 17 H = xs x + ys y + zs z. A H mátrix és az (x, y, z) elemek kapcsolata: ( z x + iy H = x iy z ). Azonnal belátható, hogy a H = UHU + mátrix spurja is nulla, ezért a H mátrix is felbontható a fenti módon: H = x s x + y s y + z s z. UHU és (2.114)-(2.116) alapján a komponensek közötti megfeleltetés: ( ) ( ) ( ) ( a b z x + iy a b z x b a x iy z b = + iy a x iy z 17 A Pauli-mátrixok algebrát alkotnak a kommutálás műveletére nézve. ). (2.117) 55

57 Ez az egyenlet megadja (x, y, z )-t mint (x, y, z) függvényét: x = 1/2(a 2 + a 2 b 2 b 2 )x + i/2(a 2 a 2 + b 2 b 2 )y + (a b + ab)z(2.118) y = i/2(a 2 a 2 + b 2 b 2 )x + (a 2 + a 2 + b 2 + b 2 )y + (a b ab)z (2.119) z = (a b + ab )x + i(a b ab )y + (aa bb )z. (2.120) Válasszuk az U initér mátrixot az alábbi módon: a = exp( iα/2), b = 0. Behelyettesítéssel igazolható, hogy ezzel a választással (2.113) egy z-tengely körüli α-szögű forgatásnak felel meg. Hasonlóképpen az a = cos β/2, b = sin β/2 választással U y-tengely körüli β-szögű forgatásnak felel meg. Továbbá, a korábban elmondottaknak megfelelően, az α, β, γ szögű forgatást három mátrix szorzatával állíthatjuk elő. A harmadik mátrixot a = exp γ/2, b = 0 választással megkapjuk meg (2.113)-ból. A (2.5.1) transzformáció egy megfeleltetést létesít a forgatások és a 2 2-es unitér mátrixok között. Ez utóbbiak az (2.113)-ban szereplő a, b paraméterekkel jellemezhetőek. Az (α, β, γ) Euler-szögekkel leírt forgatásokhoz az a = exp iα/2 cos(β/2) exp iγ/2, (2.121) b = exp iα/2 sin(β/2) exp iγ/2 (2.122) paraméterek tartoznak. Az ábrázolások meghatározása az alábbi módon történik. A forgáscsoport ábrázolásához az invariáns alteret kifeszítő bázisokat és a bázisok transzformációit leíró mátrixokat kell megadni. Korábban már megmutattuk, hogy a forgatást leíró mátrixok ekvivalensek a kétdimenziós unitér mátrixokkal. Az említett unitér mátrixot generáló a és b elem kapcsolatát is megadtuk a forgatás {α, β, γ} szögével. A forgatást leíró mátrixok alakja tehát ismert. A bázis választásánál kihasználjuk, hogy a 2j fokú homogén polinomokat a kétdimenziós, unitér mátrix 2j fokú homogén polinomokba transzformálja 18. Célszerű tehát a bázist nem a háromdimenziós vektorok közül, hanem egy absztrakt térből választani. A 2j-ed fokú homogén polinomok: x 2j, x 2j 1 y,..., xy 2j 1, y 2j, ezek száma 2j + 1. Ezen polinomok segítségével hasznos speciális függvényeket vezethetünk be, ezek tárgyalása a 10. fejezetben található. Ebben a fejezetben a bázis indexelésére az i indexet használjuk a korábban használt α indexet fenntartjuk az x tengely körüli forgatások szögének. Válasszuk tehát az alábbi bázist: x j+i y j i f i (x, y) =, j i +j. (2.123) (j + i)!(j i)! Az irreducibilis ábrázolások elkészítéséhez (2.28) szerint az f i függvények unitér mátrixok alatti transzformációit kell meghatározni. Mivel az unitér transzformáció: ( ) ( ) x a x by y b, (2.124) x + ay 18 A hagyományon kívül célszerű is a polinom számát 2j alakba írni, noha így j egész, vagy fél értékű lehet, attól függően, hogy a vizsgált fokszám páros vagy páratlan. 56

58 a függvény transzformációja pedig (2.1) szerint P U f i (x, y) = f i (a x by, b x + ay) = (a x by)j+i (b x + ay) j i (j + i)!(j i)!, (2.125) a binomiális tétel alkalmazásával a transzformált f i kifejezhető a bázisfüggvények lineáris kombinációjaként. Némi számolás után az alábbi eredményt kapjuk: i P U f i (x, y) = j+i (j + i)!(j i)!(j + ( 1) k i )!(j i )! k k!(j i k)!(j + i k)!(k + i i)! aj i (a ) j+i k b k (b ) k+i i f i (x, y). k=0 (2.126) Ide behelyettesítve a és b forgatásokkal kifejezett értékét (2.117)-ből, megkapjuk a j indexszel jellemzett, 2j + 1 dimenziós altér transzformációját leíró mátrixot, azaz, egy {α, β, γ} szögekkel jellemzett forgatáshoz hozzárendeltünk egy 2j + 1 rendű mátrixot, vagyis elkészítettük a forgáscsoport egy ábrázolását. A j = m + 1/2 (m egész) indexű ábrázolás kétértékű, mert az {α, β, γ} forgatáshoz ±D j (α, β, γ) tartozik (itt D j a (2.126) egyenletben szereplő mátrix, amely az f i (x, y), i = 1,..., 2j + 1 függvényeket kifejezi az f i (x, y), i = 1,..., 2j + 1 függvényekkel). Az ábrázolás karakterét a mátrix spurjából lehet kiolvasni, A z tengely körüli ϕ szögű forgatás az m-ik bázisfüggvényt e imϕ -vel szorozza ( j m +j), ezért a spur csak ϕ-től függ: χ j (ϕ) = +j m= j exp(imϕ) (2.127) Az egész j-hez tartozó ábrázolás egyértékű, adott forgatáshoz egy és csak egy mátrix tartozik. Az egyértékű ábrázolások megadják a vektorok, tenzorok stb. transzformációs szabályait. Új koordináta-rendszerben a vektor (tenzor) komponenseinek transzformációi a forgáscsoport egy ábrázolását alkotják. A j = 0-val jellemzett ábrázolásnak (ez az egységábrázolás) a skalár, a j = 1-nek a vektorok, a j = 2-nek a tenzorok felelnek meg. Az első három ábrázolás mátrixait explicit alakban megadjuk. Az első ábrázolás j = 0-hoz tartozik, egy skalár: D 0 (α, β, γ) = 1, ez felel meg az egységábrázolásnak. A második ábrázolás j = 1/2-hez tartozik, a megfelelő altér dimenziószáma kettő, ezért az ábrázolás kétértékű: ( ) e D 1/2 (α, β, γ) = ± iα/2 cos(β/2)e iγ/2 e iα/2 sin(β/2)e iγ/2 e iα/2 sin(β/2)e iγ/2 e iα/2 cos(β/2)e iγ/2. (2.128) 57

59 A harmadik ábrázolás j = 1-hez tartozik, a megfelelő altér dimenziószáma három, ezért: iα 1+cos β e e iγ iα sin e β iα 1 cos β 2 D 1 2 e e iγ 2 sin β (α, β, γ) = 2 e iγ cos β sin β 2 e iγ (2.129) iα 1 cos β e e iγ iα sin β e iα 1+cos β 2 2 e e iγ Feladat (A tenzorábrázolás reducibilis) Legyen u.i. T xx T xy T xz T = T yx T yy T yz. (2.130) T zx T zy T zz T felírható egy szimmetrikus és egy asszimmetrikus tenzor összegeként. (Hogyan írható fel a szimmetrikus és az asszimmetrikus tenzor?) Az antiszimmetrikus tenzor ekvivalens a D 1 ábrázolással és irreducibilis. A szimmetrikus rész viszont két részre bontható: T xx T/3 T xy + T yx T zx + T xz T xy + T yx T yy T/3 T yz + T zy T zx + T xz T yz + T zy T zz T/3 + T T T b. (2.131) Az első tenzor egy nulla spurú szimmetrikus tenzor, ez ekvivalens a D 2 ábrázolással. irreducubilis Lorentz-csoport Az elektromágnességet leíró Maxwell-egyenletek vizsgálata során előbukkant egy nem várt következmény. Az egyenletek csak akkor őrzik meg alakjukat különböző inerciarendszerekben, ha feltesszük, hogy a fénysebesség minden inerciarendszerben azonos. Vizsgálni kell tehát, hogy milyen transzformáció köti össze két inerciarendszer koordinátáit és idejét, ha a fénysebesség mindkettőben azonos. A fénysebességet változatlanul hagyó transzformációját Lorentz-transzformációnak 19 nevezzük. Tekintsünk egy K koordináta-rendszert és egy hozzá képest v 1 sebességgel mozgó K 1 koordináta-rendszert. Vizsgáljuk meg a fény mozgását K-ban! Jelölje c a fénysebességet (mint vektort), x pedig a fény helyzetét K-ban, a t időpillanatban. Nyilván fennáll az (ct) 2 x 2 = 0 összefüggés. Jelölje a fény helyzetét K -ben x a K -ben mért t időpillanatban. A fénysebesség állandósága miatt fennáll az 19 H. A. Lorentz ( )holland fizikus után. (ct ) 2 x 2 = 0 58

60 összefüggés. A helyzet nagyon hasonlít a térbeli forgatásoknál megfigyeltre, csak itt most egy négydimenziós vektor hossza marad változatlan a K K áttéréskor. A transzformációt a cosh 2 a sinh 2 a = 1 összefüggés ismeretében azonnal fel lehet írni: x = x cosh u + ct sinh u (2.132) ct = x sinh u + ct cosh u. (2.133) Vizsgáljuk meg a K és K rendszerek relatív sebességét. Az origók a t = 0 pillanatban essenek egybe, ezzel x = ct sinh u; ct = ct cosh u, (2.134) a két egyenletet elosztva és az origók sebességét V = x /t -t behelyettesítve tanh u = V/c adódik. Ebből kapjuk a Lorentz-transzformáció jól ismert képletét: x = t = x + V t 1 ( ) V 2 c (2.135) t + V x c 2 1 ( ). V 2 c (2.136) Természetesen az idézett képletek csak az x tengellyel párhuzamos sebesség esetén érvényesek, a másik két koordináta változatlan marad (y = y, z = z). Általános esetben azonban más a helyzet. A téridő általános szimmetriáit szeretnénk tehát megtalálni. Itt algebra és geometria összefonódik. Az algebrai geometria a geometriai alakzatokat az alakzatok automorfizmusaival írja le. Kísérletet teszünk tehát arra, hogy a téridő tulajdonságait a téridő automorfizmusaiból vezessük le, ez lényegében Felix Klein Erlangeni program -jának célkitűzése. Az alábbiakban Domenico Guilini munkája alapján bemutatjuk, hogyan működik a modern algebra apparátusa a téridő vizsgálatában. A fizika megfigyelésekből von le következtetéseket. A téridőre vonatkozó megfigyelésekhez méterrúdra, mint a távolságmérés hagyományos eszközére, és zsebórára, mint az időmérés hagyományos eszközére van szükség. Ezeket az eszközöket elvisszük a tér egyes pontjaiba hogy ott méréseket végezzünk velük. Feltesszük, hogy mérőeszközeink stabilak, miközben egyik helyről a másikra visszük át, szerkezetük nem változik és szerkezetük független a környezettől. A méréseket mindig adott pontokban végezzük, és belőlük újabb mennyiségeket származtatunk, mint pl. két pont távolsága, vagy két időpont közötti különbség. Ezeket a műveleteket tehát adott munkahipotézisek alapján végezzük. A megfigyelések szerint egy erőhatások alatt nem álló test egy kitüntetett pályán mozog, ezt a pályát egyenesnek fogjuk nevezni. A téridő transzformációit mathrm típussal R, B stb. jelöljük, a háromdimenziós tér transzformációit (mátrixait) D, A bold betűtípussal írjuk. A térbeli vektorokat v, ugyanezen vektor abszolútértékét v jelöli. A téridő automorfizmusainak vizsgálata során a következő elveket fogjuk követni: 59

61 1. A téridő homogén: ha egy kisérletet megimétlünk másutt, máskor, ugyanazt az erdményt kell kapnunk. 2. A tér izotróp: nincsenek kitüntetett irányok. 3. Érvényes a Galilei-féle relativitás. A fentiekből a téridő automorfizmusaira nézve az alábbi követelmények adódnak. Az első követelmény szerint az automorfizmusban helyet kell kapnia minden transzlációnak, vagyis az automorfizmusok között szerepelnie kell GL(4, R) alcsoportjainak. A második szerint az automorfizmusok között helyet kell kapnia minden térbeli forgatásnak. A téridőben az időt és a három térkoordinátát azonos módon kezeljük, a téridő egy pontját a (t, x) T négyessel (azaz oszlopvektorral) jelöljük 20. A második feltétel szerint amennyiben a téridő egy pontját (t, x) T írja le, az automorfizmus csoport része minden ( ) 1 0 T R(D) = (2.137) 0 D alakú mátrix is, ahol D SO(3), egy forgatást leíró mátrix. A jelölés hangsúlyozni kívánja, hogy az R automorfizmust paraméterezi a D mátrix. A harmadik szerint a sebbességtranszformációnak az a formája, amikor egyik inerciarendszerről áttérünk egy másikra, szintén lehet a téridő automorfizmusa. Egyenlőre még nem tudjuk, hogyan kell az inerciarendszerek közötti áttérést leírni matematikailag. Feltesszük, hogy a sebességtranszformációt leíró B mátrixot egyetlen (háromdimenziós) vektorral lehet paraméterezni, tehát írhatunk B( v )-t, ez a v vektor a két inerciarendszer origójának relatív sebessége v. B( 0 ) = E 4, egységtranszformáció. Feltesszük, hogy a szóbajöhető sebességek abszolútértéke nem haladja meg c-t, ami adott (véges vagy végtelen) állandó. A 3. feltevés szerint bármely D forgatás esetén feltesszük, hogy R(D)B( v )R(D 1 ) = B(D v ). (2.138) Megmutatjuk, hogy ez utóbbi tulajdonság lehetővé teszi, hogy csak adott irányú, esetünkben a pozitív x tengely irányú sebességtranszformációkat vizsgáljunk. A bizonyítás hét lépésben történik. 1. Az x tengely körüli tetszőleges D forgatást alkalmazva a (2.138)-ből következik, hogy D v = v esetén ( ) A(v) 0 B(ve x ) =. (2.139) 0 α(v)e 2 20 A részben a T felső index transzponálásra utal. 60

62 Itt a téridő négy elemét két, kételemű vektorra bontottuk fel. Az első két elem (t, x) változhat, a második két elem (y, z) pedig nem. Alkalmazva (2.138)-t, egy y tengely körüli π-szögű forgatással, azt találjuk, hogy α(v) = α( v), itt a negatív előjel ellentétes irányú sebességet jelent. Meg lehet azonban mutatni, hogy α(v) A Galilei-transzformáció során megváltozó két koordináta változását A(v) szabja meg. Írjuk ki részletesen elemeit: ( ) ( ) ( ) ( ) t t a(v) b(v) t x = A(v) =. (2.140) x c(v) d(v) x A (t, x) koordinátákra mint K koordináta-rendszerre hivatkozunk, a (t, x ) koordinátákra mint K -re. A K rendszer sebessége K-ban mérve pontosan v. A K rendszer K -ben mért sebessége legyen v. K origójának sebességét míg K origójának sebességét v = c(v) d(v), (2.141) v = a(v) c(v) = vd(v) a(v), (2.142) adja meg. Bevezetjük a v = ϕ(v) jelölést. Nyilvánvalóan, a K K és a K K transzformációk egymás inverzei, ezért A(ϕ(v)) = (A(v)) 1. (2.143) 3. Most határozzuk meg a ϕ függvényt. Ismét alkalmazzuk (2.138)-et úgy, hogy D legyen π szögű forgatás az y tengely körül, amiből közvetlenül látható, hogy a és d páros, b és c páratlan függvény. ϕ definíciójából következően páratlan függvény. Korábban feltettük, hogy K és K relatív sebessége, v egy topologikus csoport folytonos koordinátája, ezért ϕ folytonos függvény. Belátható, hogy ϕ önmagára képezi le a ( c, +c) intervallumot. Egy tétel szerint egy folytonos bijekció, amely egy valós intervallumot önmagára képez le, az monoton. Ezért ϕ csak ±1-gyel szorzásnak felelhet meg. Mivel A(0) = E 3 ezért csak ϕ(v) = v lehet. Ez azt jelenti, hogy a K rendszer K -ben mért sebessége éppen a negatívja a K rendszer K-ban mért sebességének. Ez nem triviális, hiszen a két koordináta rendszerben más-más mérőeszközöket (órát és mérőrudat) használtunk. 4. Nézzük most az α(v) függvényt. Láttuk, hogy B( v e x ) = (B(v e x )) 1. Ebből következően α(v) = 1. 61

63 5. Vegyük most szemügyre az A(v) mátrixot! (2.141) és (2.142) alapján ( ) a(v) b(v) A(v) =. (2.144) va(v) a(v) Legyen (v) = det (A(v)) = a(v) [a(v) + vb(v)], és mivel A( v) = [A(v)] 1, ezért a( v) = a(v)/ (v); b( v) = b(v)/ (v). (2.145) Korábban már láttuk, hogy a(v) páros, b(v) pedig páratlan, ezért (v) 1 és b(v) = a(v) [ ] 1 v a 2 (v) 1. (2.146) 6. Ezzel A(v) meghatározását a(v) meghatározására redukáltuk. Most használjuk ki azt, hogy két sebességtranszformáció egymásutánja is sebességtranszformáció, egyenlőre csak azonos irányú sebességekről van szó. Ezért A(v)A(v ) = A(v ). (2.147) (2.144) szerint az A(v) mátrix diagonális elemei egyenlők. Ezt alkalmazva a (2.147) baloldalán álló mátrixszorzatra azt kapjuk, hogy v 2 (a 2 (v) 1) független v-től, azaz, egyenlő egy k állandóval, amelynek dimenziója sebességnégyzet reciproka. Ezzel 1 a(v) =, (2.148) 1 + kv 2 ahol azért választottuk a pozitív gyököt, mert különben nem áll fenn a(0) = 1. A (2.147) többi elemét meghatározva az alábbi összefüggéseket kapjuk: a(v)a(v )(1 kv v) = a(v ) (2.149) a(v)a(v )(v + v ) = v a(v ). (2.150) Ebből a sebességösszeadásra az alábbi kifejezést kapjuk: Végülis a (2.147) feltételből kiadódik (2.148) és (2.151). v = v + v 1 kvv. (2.151) 7. Mielőtt meghatároznánk k értékét, foglaljuk össze az eddigi eredményeket. Egymáshoz képest x irányban v relatív sebességgel mozgó koordináta rendszerek közt csak a t, x változókat kell transzformálni. Ez a transzformáció: A(v) = ( 1 1+kv 2 kv 1 1+kv 2 v 1 1+kv 2 Most az alábbi lehetőségek állnak fenn kv 2 ). (2.152)

64 Amennyiben k > 0, átskálázzuk az időt az alábbi módon: t τ = t/ k és bevezetjük tanα = kv-t, amivel a (2.152) mátrix egy α szögű forgatást ír le a t, x síkban. A (2.151)-nek megfelelő sebességösszeadás közönséges összeadássá válik. Amennyiben k-t sebességként értelmezzük, ebből konfliktusok származnak. A téridő automorfizmusainak így kapott csoportja SO(4) lesz. Amennyiben k = 0, az A mátrixnak a Galilei-transzformációk csoportja felel meg. A sebességösszeadás vektorösszeadássá egyszerűsödik. Amennyiben c = k < 0, 1/ k a sebbeségek felső határának adódik. Bevezetjük az alábbi jelöléseket: τ = ct, v/c = β, β = tanh ρ és γ = 1/ 1 β 2. Ekkor (2.152) az alábbi alakot ölti: ( τ x ) ( γ βγ = βγ γ ) ( τ x ) ( cosh ρ sinh ρ = sinh ρ cosh ρ ) ( τ x ). (2.153) A ρ = tanh 1 (v/c) = tanh 1 (β) kifejezés a koordináta-rendszerek relatív sebessége. (Vessük össze a fenti képletet a (2.135)-(2.136) képletekkel). Ezzel megmutattuk, hogy a téridő automorfizmuscsoportját Galilei-transzformációk és Lorentz-transzformációk alkothatják. A transzformációt reprezentáló mátrixok szerkezetét pedig megszabja a tett három plauzibilis feltevés. A továbbiakban a Lorentz-csoporttal foglalkozunk. A téridőt négydimenziós valós vektortérként ábrázoljuk, a következő metrikával : g ij = diag(1, 1, 1, 1). (2.154) Jelölje L a i a Lorentz-transzformáció mátrixát. A Lorentz-csoporthoz tartozó mátrixok definíció szerint kielégítik az 4 g ij L i kl j l = g kl. (2.155) i,j=1 összefüggést. Írjuk a Lorentz-transzformáció mátrixát ( γ a T ) L = b M (2.156) alakba. A (2.155) definíció szerint fennállnak az alábbi összefüggések: a 2 = γ 2 1, γ b = M a, M M T = E 3 + b b T b 2 = γ 2 1, γ a = M T b, M T M = E 3 + a a T. (2.157) 63

65 Minden L mátrix felbontható egy forgatást leíró mátrix és egy sebességtranszformáció szorzataként: L = B R, (2.158) ahol és B = R = ( γ b b T E3 + b b T 1+γ ( 1 0 T 0 M b a T 1+γ. ) ) (2.159) (2.160) A bizonyításból csak azt a részt idézzük, amelyből belátható, hogy D = M b a T 1+γ tényleg egy térbeli forgatást ír le. Először is (2.157) alapján DD T = E 3. Továbbá, det(d) = 1, mert det(l) = 1 és det(b) = 1. Ebből következik, hogy a D mátrix forgatást ír le. Vizsgáljuk meg, milyen paraméterekkel írható le a B sebességtranszformáció! Legyen v = b /γ és v = v. Ezzel γ = 1/ 1 v 2, b = γ v, a = γd T v, (2.161) vagyis, a B mátrixot egyértelműen paraméterezi v. Az utolsó lépés a sebességösszetevés vizsgálata. Hajtsuk végre először a v 1 vektorral, majd a v 2 vektorral jellemzett sebességtranszformációt! A két mátrix szorzatát (2.158) szerint felbonthatjuk egy M forgatás és egy v 3 sebességgel jellemzett sebességtranszformáció szorzataként. Megmutatható, hogy L( v 1, D 1 )L( v 2, D 2 ) = L( v 1 D 1 v 2, T[ v 1, D 1 v 2 ] D 1 D 2 ). (2.162) Itt D 1 és D 2 jelenti a v 1 és v 2 sebességekhez tartozó mátrix (2.158)-szerinti felbontásában szereplő forgatások mátrixát. A sebességek kompozícióját megadó szabály: v 1 v 2 = v 1 + v 2 + γ1 1 v v. (2.163) 1 v 2 A sebességkompozíciók nem alkotnak csoportot, mert a v 1 v 2 művelet nem asszociatív. Létezik viszont egységelem: v 0 = 0 v, létezik inverz, hiszen v ( v ) = ( v ) v = 0. Igaz továbbá az alábbi összefüggés is: v 1 ( v 2 v 3 ) = ( v 1 v 2 ) (T[ v 1, v 2 ] v 3 ). (2.164) Megmutatható, hogy a v 1 v 2 = v 3 egyenlet egyértelműen megoldható a harmadik sebességre, ha v 3 és egy másik sebesség adott. 64

66 A sebességek összeadása kapcsolatban áll a hiperbolikus geometriával (Borel, 1913). Bevezetve a sebességtérben a radiális koordinátát, a metrika így írható fel: s 2 = dv 2 (1 v 2 ) + v2 2 1 v 2 (dθ2 + sin 2 θdϕ 2 ) (2.165) s 2 = dr R + 2 R2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) (2.166) s 2 = 4r 2 { dr 2 + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ) } 1 r 2 (2.167) s 2 = dϱ 2 + sinh 2 ϱ(dθ 2 + sin 2 θdϕ 2 ), (2.168) ahol R = v 1 v 2 (2.169) r = v v 2 (2.170) ϱ = tanh 1 v, (2.171) és R [0, ], r [0, 1], ϱ [0, ] Feladat (A Lorentz-transzformáció mátrixa) Összehasonlításképpen közöljük Novobátzky Károly könyvéből a Lorentz-transzformáció mátrixát. Az alkalmazott jelölés: v 2 = v v v 2 3, κ = 1/ 1 v 2 /c 2, c a fénysebesség. Tekintsük tehát a K és K inerciarendszereket, amelyek tengelyei nem esnek össze és nem esnek a (v 1, v 2, v 3 ) komponensekkel jellemzett kölcsönös mozgás irányába. A K és K rendszerekben mért időt t ill. t adja meg. Feltesszük, hogy a t = t = 0 időben a K és K rendszerek origója egybeesik. Ekkor az x y z t = L transzformációt leíró Lorentz-mátrix: 1 + (κ 1)v 1 2 (κ 1)v 1 v 2 (κ 1)v 1 v 3 iκ v v 2 v 2 v 2 1 c (κ 1)v 2 v L = (κ 1)v 2 2 (κ 1)v 2 v 3 iκ v v 2 v 2 v 2 2 c (κ 1)v 3 v 1 (κ 1)v 3 v (κ 1)v 2 3 iκ v v 2 v c iκ v 1 c iκ v 2 c iκ v 3 c κ x y z t (2.172). (2.173) Az L mátrix egy lineáris transzformációt ír le, ezért a koordinátadifferenciálokra ugyanez a mátrix alkalmazható. 65

67 Irodalom Magyar nyelvű csoportelmélet Safarevics, Kuros és Wigner könyve. Ezek közül csak Kuros könyve nevezhető bevezető jellegűnek. A gazdag angol nyelvű irodalomból Falicov, Hammermesh és Sternberg könyve ajánlható. Wigner, Olver és Landau-Lifsic inkább a haladó olvasóknak ajánlható. Safarevics könyve jó összefoglaló, de nem bevezető jellegű munka. Az algebra és geometria közötti kapcsolat bevezető leírását adja (piros és sárga). 66

68 3. fejezet Segédeszközök a csoportelméleti számításokhoz 67

69 Egy számítógépen nem csak számokkal lehet műveleteket végezni. A nagy számításigényű munkák (pl. részecskefizikai kísérletek kiértékelése) igényelték számítógépek alkalmazását. Ez is ösztönözte a szimbolikus vagy formulamanipulációs nyelvek kidolgozását, amelyek segítéségével be lehet helyettesíteni formulákban szereplő részek helyére bonyolult kifejezéseket, el lehetett végezni egy kifejezés egyszerűsítését vagy deriválását. A formulamanipulációs nyelvekben tetszőlegesen pontos aritmetikát is megvalósítottak, az egész számokat tetszőlegesen sok számjeggyel lehet jellemezni, a racionális számokat két egész hányadosaként, az irracionális számokat pedig egy formulával lehet leírni. Így a 2 ábrázolásához egy szám, amelynek sajátmagával vett szorzata kettőt ad definíciót lehet felhasználni. Az első formulamanipulációs nyelveket (Schoonship, T. Veltman programja) és a RE- DUCE (Hearst programja) részecskefizikában gyakran szükséges számítások elvégzésre készítették. Ez a munka a nyolcvanas években jelentős lendületet kapott, egymás után jelent meg a MAXIMA, SMP, MAPLE, SCRATCHPAD, AXIOM, majd nyolcvanas évek vége felé a MATHEMATICA. Ezek általános célú programok, amelyekhez egy-egy speciális feladat megoldására csomagokat lehetett írni, ilyen csomagok a CALI (konstruktív algebrai feladatok megoldására szolgáló csomag), IDEALS (nem-konstruktív geometriai feladatok), PDEtools, StandardForm (parciális differenciálegyenletek), a REDUCEhoz, a CASA csomag (konstruktív algebrai feladatok megoldására) a MAPLE-hoz. A szimbolikus nyelvek is szaporodtak, megjelent a MAXIMA nyelv, amelyen elkészült a SYMMGRP,MAX, SYMDE. A REDUCE tovább bővült a CRACK és a ODESOLVE csomagokkal. A MACSIMA szimbolummmanipulációs programot (amely később egész családdá alakult, amelynek tagjai a LISP nyelven megírt ALJBR, MACSYMA, PARA- MAX, PUNIMAX, VAXIMA programok) kiegészítették a PDELIE csomaggal. Az extra nagy matematikai objektumok kezelésére létrejött a FORM nyelv, majd megjelentek a MAGMA, GAP, SENAC numerikus és algebrai manipulációk végzésére íródott programok. Ahogyan nőtt a szimbolummanipulációs programok száma, nagyobb lett az igény a csomagok közötti kapcsolat kialakítására, létrejött a MathLink a Mathematica-hoz, a MathEdge a Maple-hoz. Időközben megjelent az OpenMath mozgalom, amely protokollt biztosított a csomagok közötti kommunikációhoz. A speciális szimbolikus nyelvek a matematika egy-egy ágára összpontosítottak, ezen a területen jobb lehetőségeket biztosítva, mint az általános programok. Ezzel szemben kevésbé kellemes környezetet (input, output, megjelenítés) biztosítanak a felhasználónak. Az algebrai célú speciális szimbolikus programok között megemlítjük a GAP (ld, fennt), ELIAS, GRAPE, ANU, CHEVIE, Schur és GUAVA kódokat. A számelméletben pedig a PARI, KANT, Galois, MALM, SIMATH kódokat. Algebrai és geometriai feladatokra készültek az Albert, Bergman, CoCoA, FELIX, GANITH, GB, GRB, KAN, Maculay, SACLIB, GROEBNER, Singular kódok. Differenciálegyenletekkel kapcsolatos kódok: DESIR, DIMSYM, SPDE. Tenzorkalkulusban használatos kódok: SHEEP, STENSOR. 68

70 A fenti kódokból, csomagokból bennünket az elgebrai feladatokban használatos kódok érdekelnek. Az interneten több program is található, amelyekkel algebrai feladatokat lehet megoldani. Ilyenek például a GAP és a MAGMA. Algebrai csomagok tartoznak a MATHEMATICA, vagy a MATLAB szimbolikus nyelvekhez is. A jelen fejezetben ismertetett nyelveket az tünteti ki, hogy az algebra leggyakoribb fizikai alkalmazásaihoz (véges csoportok, Lie-csoportok, vektorterek, testek, leképezések stb.) szükséges ismeretek könnyen megtalálható bennük. A MAGMA-t ld. ahol a felhasználás feltételeit is meg lehet ismerni. A MAGMA előfizetés mellett használható, a feltételeket a weboldalon találja az Olvasó MAGMA A V2.9 MAGMA verzió tartalomjegyzéke az alábbi elemekből áll: Bevezetés A Magma filozófiája A jelen dokumentum összefoglalása A Magma nyelv és rendszer A Magma felhasználói nyelve A Magma környezet Csoportok Permutaciócsoportok Mátrixcsoportok Végesen presentált csoportok Abel-csoportok Végesen presentált Abel-csoportok Policiklikus csoportok Véges feloldható csoportok Véges p-csoportok Csoportok, amelyeket újraírással definiálunk Automatikus csoportok Csoportok, amelyek elemeit programok generálják Braid csoportok 69

71 A PSL(2, R) csoport részcsoportjai Félcsoportok és monoidok végesen prezentált félcsoportok Monoidok, amelyeket újraírással definiálunk Lie elmélet A Lie elmélet gyökerei Coxeter csoportok Lie-típusú véges csoportok Komplex tükrözések csoportjai Gyűrűk és testek A racionális test, az egészek gyűrűje Egyváltozós polinomok gyűrűje Egyváltozós polinomgyűrűk maradékosztályai Véges testek Galois gyűrűk Számtestek és rendjük Általános algebrai függvények teste Diszkrét értékű gyűrűk Valós és komplex testek Newton sokszögek Lokális gyűrűk és testek Hatvány, Laurent and Puiseux sorok gyűrűi Lazy hatványsorok gyűrűi Algebrailag zárt testek Kommutativ algebra Többváltozós polinomok gyűrűi Affin algebrák Affin algebrák feletti modulusok 70

72 Linearis algebra és modullus elmélet Matrixok Vektorterek Szabad modulusok Dedekind domének feletti Modulusok Rácsok és kvadratikus formák Rácsok Binaris kvadratikus formák Algebrák Végesen presentált asszociatív algebrák Általános véges-dimenziós algebrák Véges dimenziós asszociatív algebrák Quaternion algebrák Csoport algebrák Mátrix algebrák Véges simenziós Lie algebrák Representació elmélet Algebra feletti modulusok Karakterek elmélete Véges csoportok invariánsai Homologikus algebra Alapvető algebrák Lánc komplexek Algebrai geometria Sémák Általános algebrai görbék Racionális görbék és kúpok Elliptikus görbék 71

73 Hiperelliptikus görbék Modularis formák K3 felület adatbázisa Gráfok és Splice diagrammok Véges incidencia szerkezetek Enumerative Combinatorics Gráfok Incidence Structures and Designs Véges síkok Incidence Geometry Hibajavító kódok Lineáris kódok véges testek felett Lineáris kódok Z 4 felett Titkosítás, pseudo véletlen számsorozatok Matematikai adatbázisok Dokumentáció Irodalom A fenti tartalomjegyzékből kivonatosan idézzük a MAGMA filozófiájának ismertetését. A MAGMA egy számítógépeken működő algebrai rendszer, amelyet arra terveztek, hogy algebrai, számelméleti, geometriai és kombinatorikai feladatokat oldjon meg. Ezek a feladatok gyakran körmönfont matematikai háttérre épülnek és megoldásuk még számítógéppel is körülményes. A megoldáshoz MAGMA biztosít egy matematikai szigorúságú környezetet, amely hangsúlyozza a struktúrált számítást. Kulcsszeret kapott a program azon képessége, hogy fel tudja építeni a matematikai struktúrák kanonikus reprezentációjának szerkezetét. Ezáltal tesz lehetővé olyan műveleteket, mint egy elem (halmazhoz) tartozásának vizsgálata, egy struktúra tulajdonságainak leírása, izomorfiák vizsgálata struktúrák között. A MAGMA program sok osztály struktúrájának reprezentációját tartalmazza az algebra öt alapvető ágából: csoportelmélet gyűrűelmélet 72

74 testelmélet modulelmélet algebrák elmélete. Ezen felül, az elgebrai geometria és a gráfelmélet több struktúracsaládja megtalálható a MAGMA programban. A MAGMA rendszer főbb jellemzői közül kiemeljük: A tervezés filozófiáját: a tervezési elvek, amelyek a felhasználói nyelv és a rendszer architektúrájának alapjait képezik, az általános algebra és kategóriaelmélet fogalmaira épülnek. Univerzalitás: az algebra említett öt ágát mélységében lefedi a MAGMA nyelv. Integráció: Az egyes területek segédeszközeit általános elemekből építették fel, ezért a különböző területeket is átfogó számítások programozása egyszerűsödött. A szerzők szerint a MAGMA felhasználói nyelv főbb tulajdonságai: utasításokból és procedúrákból álló szabványos nyelv; funkcionális, hierarchikus felépítés, amely lehetővé teszi kifejezések, függvények részbeni kiértékelését; aggregált, algebrai fogalmakra (halmaz, sorozat, leképezés) épülő adattípusok használata; univerzális konstruktorok, amelyek általánosíthatóvá teszik a leképezések konstrukcióját; egyszerű és hatékony jelölésrendszer, amely közel áll a matematikai jelöléshez; egyszerű műveletek halmazok vagy sorozatok között; hatékony műveletek; csomagok használata, amely megkönnyíti a moduláris alkalmazásokat. 73

75 3.2. GAP Az alábbiakban részletesen a GAP programcsomagról szólunk. A programcsomag neve egy rövidítés, ami a Groups, Algorithms and Programming szavak kezdőbetűiből áll össze. A programcsomag diszkrét algebrai feladatok megoldását segíti, különös tekintettel a csoportokra. A GAP csomagot az Aacheni Egyetemen (Lehrstuhl D für Mathematik) fejlesztették ki. A fejlesztésben résztvevők névsora: Alice Niemeyer, Werner Nickel, Martin Schönert, Johannes Meier, Alex Wegner, Thomas Bischops, Frank Celler, Jürgen Mnich, Udo Polis, Thomas Breuer, Götz Pfeiffer, Hans U. Besche, Volkmar Felsch, Heiko Theissen, Alexander Hulpke, Ansgar Kaup, Seress Ákos, Horváth Erzsébet, Bettina Eick. A fejlesztésbe bekapcsolódott a skóciai St. Andrew Egyetem is. Ma már a GAP egy szerteágazó programcsomaggá vált, aminek főbb részei 1. Kernel, ami a memória szervezését végzi, de egy PASCAL szerű programozási nyelvet (amit szintén GAP-nak hívnak) is magában foglal. A programozási nyelv támogat egy sor adattípust, amelyek a testek, csoportok stb. leírásához jól használhatóak. A kernel harmadik része egy interaktív futtató környezet, amiben a felhasználó beavatkozhat a számításba, sőt, belövést is végezhet. 2. Függvénykönyvtár. Hatékony csoportelméleti függvények (pl. Elements, Centralizer, Normalizer, Size), leképezések és homomorfizmusok, karaktertábla kezelő szubrutinok állnak a felhasználó rendelkezésére. 3. Dokumentáció. Az on-line help funkció mellett minden fogalom és eszköz részletes leírása megtalálható, szövegként és TEX fájl formában is. A leírások angol nyelven készültek. A GAP program az internetről ingyen letölthető, a felhasználók egy levelezési listán cserélhetik ki nézeteiket, tapasztalataikat, a lista egyúttal tanácsadásra-kérésre is jól használható. Nem használható viszont szabadon a GAP pénzért árult termékek készítéséhez. Mire alkalmas GAP? A GAP egy szimbolikus nyelv, leginkább a MATHEMATICA programcsomagra hasonlít. Található benne tetszőlegesen pontos aritmetika, műveletek végezhetőek egy csoport elemeivel, de halmazokkal, listákkal és más a GAP-ban definiált struktúrákkal is. Az eredményeket fájlba lehet írni, van lehetőség az utasítások fájlba írására is, amivel bonyolult programokat lehet írni. Az alapcsomagot számos, speciális feladatokra kidolgozott programcsomag egészíti ki. Hogyan tölthetjük le GAP-ot? A GAP-ot elérhetjük a direktoriból. Több mirror-site is létezik, ezekben minden éjszaka áttöltik a legújabb változtatásokat. Mi található a leírásban? A es verzió leírásában 85 fejezet található, ezek közül néhány: 74

76 domains: itt adott szerkezetű adathalmazt jelent. fields testek (mint algebrai struktúrák) groups: csoportok rings: gyűrűk (mint algebrai struktúrák) vector spaces: vektorterek, ahogyan megszoktuk integers: az egész számokat itt is egész számok jelölik, de pl. ciklusban van lehetőség szimbolikus változó használatára number theory: számelméleti függvények és mennyiségek rationals: a racionális számok halmaza lists: itt adott szerkezetű adathalmazt jelent, pl. a mátrix is egy lista sets: halmazok és halmazfüggvények permutations: permutációk matrices: mátrixok és mátrix függvények vectors: vektorok algebras: algebrák (mint algebrai struktúrák) modules: modulusok (mint algebrai struktúrák) mappings: leképezések homorphisms: homorfizmusok combinatorics: kombinatorikai függvények charater tables Az ismertebb csoportok karaktertábláit tartalmazza Share csomagok: CARAT: kristálycsoportok, Bravais csoportok CrystCat: 2-,3-, és 4-dimenziós kristálycsoportok katalógusa CrystGap: affin kristálycsoportok EDIM: egészelemű mátrixok osztóinak meghatározása FPLSA: végesen prezentált Lie-algebrák 75

77 GRAPE: gráfok vizsgálata GUAVA: kódelmélet LAG: Lie-algebrák függvényei MeatAxe: véges testek feletti mátrixok MPQS: egész szám tényezőkre bontása (40 jegyű számot kb. 90 s alatt bont fel) egy sor egyéb, elsősorban csoportelméleti kérdést vizsgáló csomag. A GAP segítségével generálhatunk olyan gyűrűt, testet, csoportot, vektorteret vagy más algebrai konstrukciót, amiben megadott elemek megtalálhatóak. Ehhez adott tipusú változókkal végzett műveletekkel jutunk el. Az elemek együttartásának, együttes kezelésének legfontosabb eszköze a lista, ami elemek gyüjteménye. Listát alkotnak pl. egy vektor vagy mátrix elemei. A rekord formában tárolt elemeket domain-nek nevezik. A domainek kategóriákba vannak rendezve (pl. csoport, gyűrű, test, vektortér). Egy lista pl. átalakítható domain-né. A fentieken kívül természetesen a GAP programozás alapjait, a program használatát ismertető fejezetek is léteznek. Az alábbi levél némi ízelítőt ad a fórum működéséről, egyúttal a GAP programozás természetéről is. A levelet Joachim Neubueser küldte a GAP fórumnak, tehát a kérdésre adott választ (és persze a kérdést magát is) a GAP lista minden tagja megkapja. > Dear GAP Forum, > > Nicola Sottocornola asked: > > > this is my question. I ve defined a group G by generators and relations. > > 1) How can I obtain all the elements g in G s.t. g\^2=u? >\\ > First of all it should be understood that in general the word problem > for a finitely presented group is algorithmically unsolvable, that is, > it is not possible to answer a question like this for an arbitrary > finitely presented group. If however the finitely presented group is > in fact finite there are trial and error methods, in particular the > so-called Todd-Coxeter method, to find a faithful permutation > representation of the finitely presented group and using this (behind > the back of the user) GAP can deal with a question like this (of course > only if the group is not only finite but small enough). >\\ > Here is an example how this can be done (the presentation used is a > presentation for the generalised quaternion group of order 16) and as 76

78 > you see GAP does in fact show you only words in the generators of the > finitely presented group and not what is happening behind the scene. > > gap> F := FreeGroup( "a", "b" ); > <free group on the generators [ a, b ]> > gap> a := F.1;; b := F.2;; > gap> G := F / [ a\^8, b\^4, a\^4*b\^-2, b\^-1*a*b*a ]; > <fp group on the generators [ a, b ]> > gap> a := G.1;; b := G.2;; > gap> Size( G ); > 16 > gap> elts := AsSortedList( G ); > [ <identity...>, a, b, a\^2, a*b, a\^7*b, a\^4, a\^3, a\^2*b, > a\^5, a\^6*b, a\^4*b, > a\^3*b, a\^6, a\^5*b, a\^7 ] > gap> u := b\^2; > b\^2 > gap> result := Filtered( elts, g -> g\^2 = u ); > [ b, a\^2, a*b, a\^7*b, a\^2*b, a\^6*b, a\^4*b, a\^3*b, a\^6, a\^5*b ] > > Hope this answers the question, > > Joachim Neubueser > Tisztelt GAP Fórum! Nikola Sottocornola kérdése: Íme a kérdésem: Definiáltam egy G csoportot generátorok és relációk segytségével. Hogyan állíthatom elo G azon g elemeit, amelyekre teljesül g^2=u? Eloször is, meg kell érteni, hogy az ún. szó-feladat általában nem oldható meg algoritmikusan végesen prezentált csoportokra, azaz, a feltett kérdést nem lehet általában megválaszolni. Ha azonban a végesen prezentált csoport véges csoport, akkor léteznek próbálkozáson alapuló módszerek, például itt a Todd-Coxeter-módszer, amelynek segítségével a végesen prezentált csoporthoz hu permutációreprezentációt lehet találni. A felhasználó megkerülésével a GAP megbirkózik ilyen feladatokkal, amennyiben a csoport nem csak 77

79 véges, de kevés eleme is van. Itt egy példa, hogyan lehetséges a megoldás. (A csoport prezentációja a 16 rendu általánosított kvaternió csoport egy prezentációja). Ahogyan látható, GAP csak a kért szavak generátorokkal felírt alakját adja meg, a megoldás módjáról nem közöl semmit. > gap> F := FreeGroup( "a", "b" ); > <free group on the generators [ a, b ]> > gap> a := F.1;; b := F.2;; > gap> G := F / [ a\^8, b\^4, a\^4*b\^-2, b\^-1*a*b*a ]; > <fp group on the generators [ a, b ]> > gap> a := G.1;; b := G.2;; > gap> Size( G ); > 16 > gap> elts := AsSortedList( G ); > [ <identity...>, a, b, a\^2, a*b, a\^7*b, a\^4, a\^3, a\^2*b, > a\^5, a\^6*b, a\^4*b, > a\^3*b, a\^6, a\^5*b, a\^7 ] > gap> u := b\^2; > b\^2 > gap> result := Filtered( elts, g -> g\^2 = u ); > [ b, a\^2, a*b, a\^7*b, a\^2*b, a\^6*b, a\^4*b, a\^3*b, a\^6, a\^5*b ] > Remélem, a válasz kielégíto. Joachim Neubueser Végül megemlítjük, hogy a GAP jelentős része megtalálható a SAGE programcsomagban, amelyet számelméleti, algebrai és geometriai szimbolikus számítások elvégzésre hoztak létre. A SAGE-ban megtalálható a MAXIMA jelentős része is. A SAGE alkotói: William Stein és David Joyner ( wstein@gmail.com honlapja: de elérhető a oldalról és a oldalakról is. 78

80 3.3. MAPLE 7 A MAPLE 7 egy átfogó szimbolikus manipulációt végző program, amelyet kimondottan bonyolult matematikai műveletek elvégzésére dolgoztak ki. A felhasználó segítséget kap az algebra, analízis, diszkrét matematika, grafika, numerikus számítások és a matematika több egyéb területén is. A MAPLE 7 kiterjedt programkönyvtárral (csomaggal) rendelkezik, amelyben beépített függvények, és műveletek találhatóak. A könyvtárak kellemes környezetet biztosítanak bonyolult matematikai célú programok fejlesztéséhez. A MAPLE 7 programot a Waterloo Maple Inc. készítette, a BME rendelkezik a MAPLE 7 telephelyi licencével. Néhány fejezet a MAPLE 7 nyújtotta szolgáltatásokból (az előző két csomagban található általános eszközöket, mint helyettesítés, egyszerűsítés, egyenlet megoldása, rajzolás nem említem): algebra: mátrixokkal, vektorokkal, tömbökkel és tenzorokkal végezhetünk algebrai műveleteket (összeadás, kivonás, hatványozás, skalárral való szorzás). A lineáris algebra csomag kiterjedt ábrázolási lehetőséget kínál a fenti objektumokkal végzett munkához. Tenzorműveletekre két csomag van(christoffell-néven), a koordinátatranszformációkhoz Jacobi-tenzort lehet közvetlenül számítani. További lehetőségek: Killing-egyenletek, Levi-Civita tenzor, Lie-derivált, Newmann-Penrose spin együtthatók, Petrov-osztályozás Weil-tenzorokhoz, kovariáns Ricci-tenzor számítása, Riemann-féle görbületi tenzor számítása, görbületi tenzor számítása az általános relativitáselmélethez. számelmélet: nevezetes számok és polinomok, lánctörtekre bontás, számalméteti függvények. numerikus számítások: közelítések, interpoláció, görbeillesztés. Lehetőség van a MATLAB egyes algoritmusainak (pl. Cholesky-faktorizáció) használatára is. statisztika: 13 eloszlásfüggvény, illesztési eljárások, szóráselemzés, adatsorok elemzése, lineáris regresszió, véletlenszám generátorok, adatmegjelenítés és manipuláció. egységkonverzió: a forgalomban lévő mértékegységek közötti átváltást adja meg, beleértve a nálunk kevéssé használatos angolszász egységeket is. programozás: számos csomag segíti a matematika egyes területén végzendő munkát. analízis: differenciálás, integrálás, integrál-transzformációk, határértékek. differenciálegyenletek:külön csomagot tartalmaz a közönséges- és a parciális differenciálegyenletek vizsgálatához. Itt kiemeljük a 11. fejezetben használható DEtools csomagot, amelyben található: 79

81 Differential Operators: operátorokkal végezhető műveletek, beleértve a faktorizációt is. Lie Symmetry Method: közönséges DE megoldási módszerei a Lie-csoportok segítségével. Solving Methods: exponenciális alakú megoldás, speciális DE-k megoldása (Bernoulli-, Abel-differenciálegyenletek, Kovacic-megoldás, Lie-módszer, racionális polinom alakú megoldás). Rajzolás: az egyenlet megoldásának grafikus ábrázolása. odeadvisor: a közönséges DE jellemzőit megadja és tanácsot ad az alkalmazható módszerekkel kapcsolatban is. diszkrét matematika: kombinatorika, gráfelmélet. geometria: 2D, 3D geometria, euklideszi geometria összefüggései. csoportelmélet: konjugálás, mellékosztályok, centrum, permutációk, normális és Sylow-részcsoportok, orbit. lineáris algebra: a Linear Algebra szubrutincsomag eljárásait is tartalmazza. speciális függvények: polinomok (Hermit-, Laguerre-, Csebisev- stb.) Hankel-, Bessel-, Kelvin- stb. speciális függvények Segédeszközök az interneten Ma már bármilyen eszközre is van szükség, a keresét érdemes az interneten kezdeni. A Google, Google Scholar weboldalak személyek, intézmények honlapját gyorsan megadja. Ha könyvre van szükség, az Amazon kiadót, magyar kiadványok esetében a Prospero-t érdemes felkeresni. Egyes kiadványok, amilyen pl. a CRC Handbook 3. kötete, jelentős forrásokat ad meg. Ezért ha ismerünk egy nevet, egy programot, gyorsan eljutunk a forráshoz. Az internet kincsesbányái a levelező listák. Ezeken tárolják a teljes levélforgalmat, ezeket átnézve is fontos információhoz juthatunk. Sajnos az internet tulajdonsága a gyors változás. Az emberek jönnek-mennek, címük megváltozik, ha egy weboldalt nem gondoznak, az gyorsan használhatatlanná válik. Az internet zászlóshajói az egyetemek. Az ritkán fordul elő, hogy egy egész tanszék eltűnik (ha mégis, akkor ahhoz hosszú idő kell), ezért érdemes a keresést az egyetemi weboldalakkal kezdeni. 80

82 4. fejezet A változók szétválasztásának módszere 81

83 4.1. Jelölések Q -A Helmholtz-egyenlet operátora r = (x, y) -független helyváltozó és merőleges koordinátái r -a polárkoordináták radiális része L -lineáris differenciáloperator L g -az L operátor képe a g csoportelem alatt [L, Q] -az L és Q operátorok kommutátora x, y -differenciálás x ill. y szerint R 2 -kétdimenziós, valós elemű vektortér D -tartomány L 2 -négyzetesen integrálható függvények tere L 2 (S 1 )- az egységkörön négyzetesen integrálható függvények tere X xx, X xy, X yy - az X függvény második deriváltjai E(2) -az euklideszi sík szimmetriáinak Lie-algebrája E(2) -az euklideszi sík szimmetriáinak Lie-csoportja E -algebra E -vektortér f -az f függvény Fourier-transzformáltja f -az f komplex szám konjugáltja S 1 -az egységnyi sugarú kör pontjainak halmaza A módszer Az elméleti fizika egyenleteinek gyakran megadható analitikus megoldása, amennyiben a megoldást egyváltozós függvények szorzataként kereshetjük. Ilyen megoldás adódik például, ha az egyenlet forgatásokkal szemben invariáns. Ebben az esetben célszerű olyan koordináta-rendszert választani, ami megfelel az egyenlet szimmetriájának. Könnyen belátható, hogy a polárkoordinátákban keresett egyenlet jóval egyszerűbb, mint más, kevésbé alkalmas koordinátákban felírt társa. Ennek kapcsán felmerül a kérdés: Egy adott egyenlethez hány olyan speciális koordináta-rendszer található, amelyben a megoldás a változók szeparálásával megoldható? Hogyan lehet ezeket a koordináta-rendszereket megtalálni? A választ ismét az egyenlet szimmetriáinak segítségével adhatjuk meg. A vizsgált egyenlet szimmetriáit a helyváltozók szerinti differenciálásból és függvényegyütthatókból felírt L lineáris operátorok formájában keressük. Ezek a kifejezések algebrai struktúrákat alkotnak (vektorteret és Lie-csoportot, Lie-algebrát). A vektortérnek van dimenziója és bármely elem kifejthető a bázis szerint. Megmutatjuk, hogy a szeparálható megoldás a Lie-csoport g eleme alatt kialakuló pályákhoz, tehát az algebrai struktúra szerekezetéhez kapcsolható. A megoldás Fourier-transzformáltja lehetővé teszi, 82

84 hogy az egyenlet megoldásait megfeleltessük az S 1 egységkörön értelmezett függvények halmazának. Ez lehetővé teszi a szeparált megoldás explicit megadását is. A módszer az algebra és az analízis eszközeit használja, gyakran kell differenciálegyenletek megoldásait meghatározni. Ezek a megoldások általában speciális függvények, amelyekkel részletesen a 10. fejezet foglalkozik. Ebben a fejezetben a kétdimenziós Helmholtz-egyenletet vizsgáljuk, a következő formájában: QΦ Φ + ω 2 Φ = 0 (4.1) ahol ω valós állandó. A független változókat r = (x, y) jelöli, az x változó szerinti differenciálásra pedig a x jelölést alkalmazzuk. A Q operátor hatását olyan Φ(r) függvényeken vizsgáljuk, amelyek adottak egy D R 2 összefüggő tartományon, és analitikus függvényei az x, y változóknak. Könnyen belátható, hogy ezen függvények vektorteret alkotnak, minthogy az összeadás és a számmal való szorzás művelete definiált ezen függvények között. Az L = X(r) x + Y (r) y + Z(r) lineáris differenciáloperatort a (4.1) egyenlet szimmetriájának nevezzük, ha [L, Q] = R(x)Q (4.2) ahol [L, Q] = LQ QL és az R analitikus függvény függhet L-től. Jelölje G a Helmholtz-egyenlet szimmetriáinak operátorait. A G halmaz komplex Lie-algebrát alkot. Legyen ugyanis adott L 1, L 2 G, ekkor a 1 L 1 + a 2 L 2 G, minthogy ez a kifejezés is kielégíti (4.2)-t. Az (2.59) kapcsán elmondottak szerint [L 1, L 2 ] elsőrendű differenciálással fejezhető ki, tehát a Lie-algebra axiómái teljesülnek. Megmutatjuk, hogy a G-hez tartozó Lie-algebra dimenziója 4. Helyettesítsük L-et és Q-t (4.2)-be, számítsuk ki a kommutátort. Így a következő egyenletre jutunk: 2X x xx + 2(X y + Y x ) xy + 2Y x yy + (X xx + Y yy + 2Z x ) x + (Y xx + Y yy ) + 2Z y ) y + (Z xx + Z yy ) = R( xx + yy + ω 2 ). (4.3) A deriváltak együtthatóinak a két oldalon meg kell egyezniük, amiből az alábbi egyenleteket kapjuk: 2X x = R = 2Y y (4.4) X xx + Y yy + 2Z x = 0 (4.5) Z xx + Z yy = Rω 2 (4.6) X y + Y x = 0 (4.7) Y xx + Y yy + 2Z y = 0. (4.8) (4.4)-ból következik, hogy X x = Y y, (4.7)-ből, hogy X y = Y x. Ezért X xx + X yy = Y xy Y xy = 0. Ezt összevetve (4.8)-vel belátjuk, hogy Z állandó, (4.6)-ből pedig R = 0 83

85 htb 4.1. táblázat. Bázisok a (4.1) egyenlet szimmetriáinak halmazában bázis konstansok megválasztása P 1 = x α = 1, β = γ = δ = 0 P 2 = y β = 1, α = γ = δ = 0 M = y x x y γ = 1, α = β = δ = 0 E = 1 δ = 1, α = β = γ = 0 adódik. (4.4) szerint X = X(y) és Y = Y (x). (4.7) miatt X (y) = Y (x) = γ, állandó. Ezzel a ( ) egyenletek általános megoldása: X = α + γy; Y = β γx; Z = δ; R = 0 (4.9) A (4.1) egyenlet szimmetriái tehát, ahogyan állítottuk, Lie-algebrát alkotnak, amit G- vel jelölünk 1, a bázist a 4.1. táblázatban adott módon választjuk. A báziselemek nemtriviális kommutátorai: [P 1, P 2 ] = 0; [M, P 1 ] = P 2 ; [M, P 2 ] = P 1. (4.10) Az egységelem, mint szimmetriaoperáció számunkra érdektelen, ezért a továbbiakban a {P 1, P 2, M} bázis által kifeszített algebrát vizsgáljuk. Ez viszont izomorf a kétdimenziós tér Euklideszi csoportjához tartozó E(2) Lie-algebrával. A kétdimenziós tér Euklideszi csoportját forgatások és eltolások alkotják, e csoportot E(2)-vel jelöljük. Az E(2) csoport általános eleme cosθ sinθ 0 g(θ, a, b) = sinθ cosθ 0 (4.11) a b 1 ahol a és b valós számok. A csoportszorzás az alábbi szabályok szerint történik: g(θ, a, b)g(θ, a, b ) = g(θ + θ, acosθ + bsinθ + a, asinθ + bcosθ + b ) (4.12) Az egységelem g(0, 0, 0). Az E(2) csoport elemei folytonos függvényei a θ, a, b paramétereknek, a Lie-algebra bázisát (2.55) szerint a mátrixok paraméterek szerinti deriváltjai szolgáltatják. A csoportelemek exponenciális ábrázolásával (v.ö. (2.60)) azonnal megállapítható, hogy P 1 az x tengely menti eltolás, P 2 az y-tengely menti eltolás, M pedig az origó körüli forgatás operátora, ezért a megfelelő bázis előállítható (4.11)-ból, rendre θ, a, b szerinti differenciálással: M = 1 0 0, P 1 = 0 0 0, P 2 = (4.13) Ugyanezek a műveletek egy csoportot is alkotnak, amit G-vel jelölünk. 84

86 A Lie-algebrában a (2.65) exponenciális ábrázolás segítségével az E(2) csoport általános elemére g(θ, a, b) = exp(θm)exp(ap 1 + bp 2 ) (4.14) adódik. A fejezetben a Lie-algebra kapcsán elmondottak szerint az E(2) csoport T(g) (lokális) ábrázolását az alábbi formában írhatjuk: T(g(0, a, 0))Φ(x) = exp(ap 1 )Φ(x) = Φ(x + a, y) (4.15) T(g(0, 0, b))φ(x) = exp(p 2 )Φ(x) = Φ(x, y + b) (4.16) T(g(θ, 0, 0))Φ(x) = exp(θm)φ(x) = Φ(xcosθ + ysinθ, xsinθ + ycosθ) (4.17) T(g(θ, a, b))φ(x) = exp(θm)exp(ap 1 )exp(bp 2 )Φ(x) = Φ(xg). (4.18) Tekintettel arra, hogy az E(2) csoport elemeinek fenti ábrázolásai a Helmholtz-egyenlet egyik megoldását egy másik megoldásba transzformálják, az E(2) csoportot a Helmholtzegyenlet szimmetriacsoportjának nevezzük. Közbevetőleg megjegyezzük, hogy az E(2) csoport a sík automorfizmusainak csoportjával izomorf. Ezt a tulajdonságot ki fogjuk használni a 6. fejezetben, a szilárdtestek szimmetriáinak leírásánál. Ott ugyan a tér (háromdimenziós) szimmetriáiról van szó, de a kiterjesztés magától értetődik. Az elsőrendű szimmetriák meghatározásával analóg módon határozhatjuk meg a másodrendű szimmetriákat. A másodrendű operátor alakja: S = A 11 xx + A 12 xy + A 22 yy + B 1 x + B 2 y + c. (4.19) S-t akkor nevezzük a Helmholtz-egyenlet szimmetriájának, ha [S, Q] =U(r)Q, (4.20) U =H 1 (r) x + H 2 (r) y + J(r) (4.21) Itt U(r) függhet S-től. Jelölje S az S operátorok vektorterét, hiszen az operátorok között definiált az öszeadás és a számmal való szorzás. A legfeljebb másodrendű szimmetriák is vektorteret alkotnak, de nem alkotnak Lie-algebrát, mert két másodrendű operátor szorzata vagy kommutátora lehet harmadrendű operátor is, ami már nem eleme a vektortérnek. S-ben megtalálhatóak az S = SQ típusú operátorok is, hiszen (4.20)-ból ebben az esetben [RQ, Q] = [R, Q]Q (4.22) adódik. Legyen F a Q operátor értelmezési tartományában definiált valós, analitikus függvények vektortere. Legyen a (4.22) kifejezésben R F 2, hiszen egyébként a kommutátor értelmetlen. Amennyiben QΨ = 0, akkor RQΨ = 0 és mivel (RQ)Ψ = R(QΨ) = 2 Pontosabban, az R operátor egy F beli függvényt F beli függvényre képez le. 85

87 4.2. táblázat. Az E(2) csoportelemek hatása az E(2) Lie algebrán P g 2 1 = P 1 P g 2 2 = P 2 M g 1 = M ap 2 P g 2 1 = P 1 P g 2 2 = P 2 M g 2 = M + bp 1 P g 3 1 = cosαp 1 + sinαp 2 P g 3 2 = sinαp 1 + cosαp 2 M g 3n = M + bp 1 0, ezért az RQ operátor megoldást megoldásba transzformál, így joggal tekinthetjük RQt a (4.1) egyenlet triviális szimmetriájának. Az RQ alakú triviália azimmetriák alteret alkotnak S-ben, az altér összes operátora nulla operátorként 3 hat F elemein. Ezen megfigyelés alapján ekvivalenciaosztályokat hozhatunk létre, S és S azonos osztálybe tartozik, ha S = S + RQ Amennyiben S-et (4.19) adja meg, akkor S és S A 22 Q ekvivalensek, következésképpen S -ben az A 22 függvényegyüttható nulla. A (4.1) egyenlet nemtriviális szimmetriáit az alábbi módon lehet meghatározni. Helyettesítsük az (4.19) kifejezést A 22 = 0 mellett valamint (4.21)-t (4.20)-ba, tegyük egyenlővé az egyenlet bal- és jobboldalán a parciális deriváltak együtthatóit. Most egy (4.3)-hoz és (4.4)-(4.8)-hez hasonló, de bonyolultabb egyenleteket kapunk. Végeredményként azt találjuk, hogy a nemtriviális, legfeljebb másodrendű szimmetriák egy kilencdimenziós vektorteret alkotnak, amiben bázisként választhatóak az alábbi elemek: P 1, P 2, M, E: a négy lineáris operátor és P 2 1, P 1 P 2, M 2, {M, P 1 }, {M, P 2 }: az öt másodrendű operátor. Megjegyezzük, hogy minden g E(2)-re a T(g)Ψ k függvény, ahol T(g)-t a (4.15)-(4.17)-összefüggések adják meg, a (4.1) egyenlet megoldása, és amennyiben Ψ k kielégítette az egyenletet, akkor LΨ k = ikψ k (4.23) L g (T(g)Ψ k ) = ikt(g)ψ k, (4.24) ahol L g = T(g)LT(g 1 ). Az E(2) csoport elemeinek hatását a P 1, P 2, M bázison az alábbiakkal adhatjuk meg. Először is, ha akkor L = A(x) x + B(x) y (4.25) L g = A(x ) x + B(x ) y. (4.26) Továbbá, legyen g 1 = exp(ap 1 ), g 2 = exp(bp 2 ) és g 3 = exp(am). Ekkor fennállnak az 4.2 táblázatban adott összefüggések a transzformált operátorokra. Vegyük észre, hogy L g a g csoportelem egy hatását (azaz, a csoportelem alkalmazásának egy definícióját) adja meg. Amennyiben g végigfut a csoportelemeken, L g befut egy pályát. A pályát alkotó elemeket megkapjuk, ha g végigfut a csoport generátorain, hiszen bármely csoportelem előállítható a generátorokkal. A generátorok most a Lie-algebra bázisai, hiszen velük bármely elem kifejezhető. A bázis most g 1, g 2 és g 3. A pályákat két 3 A nulla operátor minden függvényt az azonosan nulla függvénybe transzformál. 86

88 osztályba lehet sorolni: az elsőben szerepel M is (ld. utolsó oszlop), a másodikban nem szerepel M de szerepel P 2 vagy P 1 (ld. első két oszlop). A fenti adjungált csoporthatáshoz tehát kétféle pálya tartozik, ha L = c 1 P 1 + c 2 P 2 + c 3 M, akkor a két pályát c 3 = 0 ill. c 3 0 különbözteti meg. Ennek megfelelően két koordináta-rendszer létezik, amiben a Helmholtz-egyenlet megoldása a változók szétválasztásával adható meg: a derékszögű és a polárkoordináta-rendszer. Az első az eltolások alcsoportjának, és a c 3 = 0 esetnek; a második a c 3 0 esetnek felel meg, és a forgatások alcsoportjának diagonális ábrázolásait adja meg. Alább a másodfokú differenciálást tartalmazó szimmetriákat vizsgáljuk meg. Legyen adott egy tetszőleges L E(2) operátor. Lehetséges-e találni olyan {u, v} koordináta-rendszert, amelyben a Helmholtz-egyenlet megoldása előállítható a változók szétválasztásával és a kapott függvények sajátfüggvényei L-nek? Az alábbiakban meghatározzuk azokat a koordinátákat, az úgynevezett részcsoport koordinátákat, amelyek lehetővé teszik a változók szétválasztását. Amint látni fogjuk, több ilyen koordináta is létezik. Legyen {u, v} egy olyan koordináta-rendszer, amelyben a változók lehetővé teszik a változók szétválasztását. Ekkor x = x(u, v), y = y(u, v), valamint u = u(x, y), v = v(x, y). A Jacobi determináns J = v x u y u x v y nullától különbözik. A Helmholtz-egyenlet az új koordinátákban az alábbi alakot ölti: [( ) ] u 2 x + u 2 y uu + (u xx + u yy) u Ψ + [ 2 (u x v x + u y v y ) uv + ( vx 2 + vy) 2 vv + (v xx + v yy ) v + ω 2] Ψ = 0 (4.27) Ebben az egyenletben kell a változókat szétválasztani. Két esetet különböztetünk meg attól függően, hogy szerepel-e uv vagy sem. 1. I. eset: u x v x +u y v y = 0. Ekkor, mivel a transzformáció Jacobi-determinánsa J 0, létezik olyan R nem azonosan nulla függvény, amellyel teljesül v y = Ru x és v x = Ru y. Minthogy (4.27)-ben szerepel ω 2, a változókat akkor lehet szétválasztani, ha teljesülnek az alábbi összefüggések: u 2 x + u 2 y = U(u) U 1 (u) + V 1 (v) ; v2 x + v 2 y = V (v) U 1 (u) + V 1 (v) (4.28) Itt U, V, U 1, V 1 nem azonosan nulla függvények. Mivel a (4.28) egyenletek jobboldalai között fennáll a v 2 x + v 2 y = R 2 (u 2 x + u 2 y) összefüggés, ezért R 2 = V/U. Vezessünk be új {ũ, ṽ} koordinátákat a következő összefüggésekkel: dũ/du = U 1/2, dṽ/dv = V 1/2. Ekkor a (4.28) feltételek teljesülnek az új függvényekre, és a számlálókban 1 fog állni. Ezért az általánosság megtartása mellett a tilde elhagyható, és feltehetjük, hogy u és v kielégíti a (4.24) feltételeket. Ebből következően feltehetjük, hogy R 1, amikor is u x = v y, u y = v x. Ekkor u és v kielégíti a Cauchy-Riemann egyenleteket, azaz, fennáll u x = v y és u y = v x, ezért u és v analitikus komplex 87

89 függvény. Ha bevezetjük az z = x + iy és w = u + iv komplex változókat, akkor w analitikus függvénye z-nek. A (4.28) feltétel pedig a (dz/dw) 2 = U 1 (u) + V 1 (v) alakot ölti. Továbbá, uv ( dz/dw 2 ) = 0. Az utóbbi egyenletben az u, v változók helyett áttérünk a w és w változókra. Használjuk a uv = i ww i ww és dz/dw 2 = (dz/dw)(dz/d w) átalakításokat, és vegyük észre hogy az utóbbi képletben az első tényező csak w-től, a második pedig csak w-tól függ, ezért létezik egy λ állandó, amellyel: d 2 dw 2 ( ) dz = λ dz ( ) d2 d z és = λ d z dw dw d w 2 d w d w. (4.29) Két összefüggést kaptunk, egyet a valós, egyet a képzetes részre. A kapott harmadrendű differenciálegyenletekből meghatározható w és konjugáltja, azaz, u és v, vagyis azok a koordináta-rendszerek, amelyekben a Helmholtz-egyenlet megoldható a változók szeparálásával. Az egyenlet vizsgálatára később térünk vissza. 2. II. eset: u x v x + u y v y 0. Ebben az esetben meg kell követelnünk, hogy a parciális differenciálhányadosok együtthatói (4.27)-ben csak v-től függjenek. Ekkor a következő helyettesítéssel érhető el a változók szétválasztása: Ψ(u, v) = exp(iku)φ(v). Az u-tól függő tagokat kiemelhetjük (4.27)-ben a zárójelek elé, a zárójelekben egy közönséges differenciálegyenlet marad F (v)-re, az egyenlet együtthatóiban előfordul k is. A u operátor szimmetriája (4.23)-nek, hiszen Ψ(u, v)-t ikψ(u, v)-be transzformálja, ami szintén megoldás. Ezzel megkaptuk a változókat szeparálva tartalmazó megoldást. Amint korábban láttuk, választhatjuk u = P 2 vagy u = M-t, ahol M-et és P 2 -t (4.13) adja meg. Az első esetben y = u y u + v y v = u. Ebből u y = 1, v y = 0 azonnal adódik, v(x, y) = v(x), ezért feltehetjük, hogy v = x. Az u és v parciális deriváltjainak integrálása után megkapjuk a transzformáció explicit alakját: u = y + h(x); v = x. Ezekben a koordinátákban a (4.28)) egyenlet megoldása két, egyváltozós függvény szorzatára esik szét. A II. eset feltételét akkor teljesítjük, ha kikötjük a h (x) = 0 feltételt. Az u = áll és v = áll görbék nem ortogonálisak az euklideszi értelemben. A második esetben u = M, szeparálható koordinátákat kapunk az alábbi változókkal: u = θ + h(r); v = r, ahol θ, r polárkoordináták. Ezek a koordináták nem ortogonálisak és kevéssé térnek el a polárkoordinátákban felírt szeparálható megoldástól. 88

90 Megjegyezzük, hogy a II. esetben végtelen sok koordináta-rendszer létezik, amely lehetővé teszi a változók szétválasztását, ám Miller szerint ezek lényegében azonosak. Térjünk most vissza a (4.29) egyenlet vizsgálatához a λ = 0 speciális esetben. Első lépésben megkapjuk a dz = β + γw (4.30) dw megoldást. Amennyiben γ = 0, β = c + id, ebből z = βw + α, avagy, x = a + cu dv; y = b + du + cv, α = a + ib. (4.31) Itt a, b, c és d valós számok. Amennyiben viszont γ 0 (4.30)-ben, z másképpen adható meg: z = (γ/2)w 2 + βw + α. Itt α, β, γ complex számok. Alkalmas transzformációk után elérhető γ = 1 és α = β = 0, a megfelelő euklideszi koordináták pedig: x = 1 2 (u2 v 2 ); y = uv. (4.32) Az (u, v) koordinátákat parabolikus koordinátáknak nevezik, mivel az u = (x 2 + y 2 ) 1/2 + x = const.; v = (x 2 + y 2 ) 1/2 x = const. (4.33) görbék két ortogonális parabolasokaságot határoznak meg. Amennyiben behelyettesítjük a (4.32) koordinátákat a (4.27)-be, az egyenlet új alakja uu Ψ + vv Ψ + (u 2 + v 2 )ω 2 Ψ = 0 (4.34) lesz, a Ψ megoldást pedig írhatjuk Ψ = U(u)V (v) alakban és a két új bevezetett függvényre szeparált egyenleteket kapunk: U + (ω 2 u 2 k 2 )U = = 0 (4.35) V + (ω 2 v 2 + k 2 )V = 0. (4.36) Itt k 2 a szeparalásnál használt állandó. A szeparált megoldáshoz tartozó operátor meghatározására szorozzuk meg (4.35)-at v 2 V -vel, (4.36)-et pedig u 2 U-val, és vonjuk ki egymásból a kapott egyenleteket: (u 2 + v 2 ) 1 ( v 2 uu u 2 vv ) Ψk = k 2 Ψ k, (4.37) vagyis, az egyenlet baloldalán álló operátornak a most megtalált, változóiban szeparált megoldás sajátfüggvénye. Közvetlen számítással belátható, hogy ez az operátor {M, P 2 }. 89

91 Térjünk most vissza a (4.29) egyenlet vizsgálatához a λ 0 speciális esetben. Ebben az esetben λ valós, vehetjük a λ = 1 esetet. A (4.29) egyenlet megoldása: amiből dz dw = αew βe w (4.38) z = αe w + βe w + γ. A koordináták forgatásával és eltolásával vehetjük γ = 0 és α 0-t. Amennyiben β = 0, α > 0, feltehetjük, hogy r = αe u és θ = v, végül pedig a közismert polárkoordinátákat kapjuk: x = r cos θ; y = r sin θ. Mivel a megoldás már az (u, v) koordinátákban is szeparálható volt, az (r, θ) változókban is szeparálható marad. Ha αβ 0, az x, y sík forgatásával elérhető αβ > 0. Ezért átírjuk az α, β változókat: 2α = exp(a b + iϕ); 2β = exp(a + b iϕ). Legyen d = e a, ξ = u b, és η = v + ϕ, amivel a (ξ, η) elliptikus koordinátákat kapjuk: x = d cosh ξ cos η, y = d sinh ξ sin η. A ξ = állandó és η = állandó vonalak egyenlete: x 2 d 2 sinh 2 ξ + y 2 d 2 sinh 2 ξ x 2 d 2 cos 2 η + y2 d 2 sin 2 ξ = 1 (4.39) = 1. (4.40) Az első görbesereg ellipszisekből, a második hiperbolákból áll. A (ξ, η) változókban felírt Helmhotz-egyenlet alakja: ξξ Ψ + ηη Ψ + d 2 ω 2 (cosh 2 ξ cos 2 η)ψ = 0. (4.41) Ez az egyenlet a Ψ = U(ξ)V (η) helyettesítés után az alábbi két egyenletre esik szét: U + (d 2 w 2 cosh 2 ξ + k 2 )U = 0; V (d 2 w 2 cos 2 η + k 2 )V = 0. (4.42) Itt k 2 a szeparációs állandó. A fenti egyenletek a Mathieu-egyenletek variánsai, ld. 10. fejezet. Legyen S (2) a Helmholtz-egyenlet nemtriviális, tisztán másodrendű szimmetriáinak tere, azaz, a P 2 1, P 1 P 2, M 2, MP 1 + P 1 M, MP 2 + P 2 M bázis által kifeszített ötdimenziós tér. Ezt a teret az E(2) csoport felbontja egydimenziós alterekre. Megmutatható, hogy 90

92 4.3. táblázat. Szimmetria operátor és koordináta-rendszer a Helmholtz-egyenlethez S operátor koordinátarendszer A megoldás P 2 2 Derékszögű Exponenciális függvények szorzata M 2 Polárkoordináták Bessel-függvények és x = rcosθ; y = exponenciálisok szorzata rsinθ {M, P 2 } Parabolikus x = Parabolikus függvények (ξ 2 η 2 )/2; y = szorzata, ld. ξη fejezet M + d 2 P 2 1 Elliptikus x = Mathieu-függvények chαcosβ; y = szorzata, ld shαsinβ fejezet bármely S S (2), azaz, a Helmholtz-egyenlet bármely másodrendű szimmetriája felírható a következő alakban: S = (a c)p bp 1 P 2 + dm 2 + e{m, P 1 } + f{m, P 2 }. (4.43) Tegyük fel, hogy d 0. Ekkor a 4.2. táblázat felhasználásával S áttranszformálható olyan alakra, ahol az {M, P 1 } és {M, P 2 } együtthatója eltűnik. Az új alak: a P b P 1 P 2 + c P dm 2. (4.44) Megfelelő forgatással (ld táblázat 2 oszlopának 3. elemét) ez a kifejezés a következő alakra hozható: (a c )P dm 2. Itt két eset lehetséges. Amennyiben a = c, akkor S ugyanazon az orbiton található, mint M 2. Ellenkező esetben pedig S ugyanazon az orbiton található, mint M 2 + r 2 P 2 1, r 2 > 0. Tegyük fel, hogy d 0 és e 2 + f 2 > 0. Ekkor forgatással elérhető, hogy e = 0 és f 0 legyen. Ezután a 4.2. táblázat első két sorának alkalmazásával elérhető, hogy csak {M, P 2 } együtthatója nem tűnik el. Ekkor S azonos orbiton van {M, P 2 } -vel. Végül, tegyük fel, hogy d = e = f = 0, a 2 + b 2 > 0. Ekkor egy megfelelő forgatással az ap bp 1 P 2 kvadratikus alak diagonalizálható, amiből következik, hogy S a P 2 1-tel azonos orbiton található. Az orbitok négy csoportba sorolhatók, az alábbi jellemző elemekkel: M 2, M 2 + r 2 P 2 1, {M, P 2 }, P 2 2. Következésképpen, az ortogonális koordináta-rendszerek között, amelyek megengedik a változók szétválasztásával történő megoldást és az S 2 -beli orbitok között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés áll fenn, ld. 4.3 táblázat. 91

93 4.3. A változók szeparálásának felhasználása Ebben a részben bemutatjuk, hogyan lehet az előző részben megismert szeparációt felhasználni a Helmhotz-egyenlet megoldása során. Vizsgálataink során a megoldás Fouriertranszformáltját tekintjük, megvizsgáljuk a megoldást tartalmazó Hilbert-tér struktúráját. Legyen tehát Ψ(x, y) a (4.1) egyenlet megoldása. Állítsuk elő a keresett megoldást az alábbi integrállal: Ψ(x, y) = + + exp [ω 1 x + ω 2 y)] h(ω 1, ω 2 )dω 1 dω 2, (4.45) ahol h jelöli a Ψ függvény Fourier-transzformáltját. Alkalmazzuk (4.45) mindkét oldalára a ω 2 operátort: ( ω 2 )Ψ(x, y) = + + (ω 2 ω 2 1 ω 2 2) exp [i(ω 1 x + ω 2 y)] h(ω 1, ω 2 )dω 1 dω 2 = 0. (4.46) Legyen δ(ω s)h(ϕ) h(ω1, ω 2 ) =, (4.47) ω ahol δ() a Dirac-delta függvény. Vezessük be az (s, ϕ) a polárkoordinátákat az (ω 1, ω 2 ) síkban: ω 1 = s cos ϕ, ω 2 = s sin ϕ, dω 1 dω 2 = sdsdϕ. Az s szerinti integrálás után előállítottuk a keresett megoldást a h függvény transzformáltjaként. Vizsgáljuk meg, hogyan hat a kapott kifejezésen az E(2) csoport g(θ, a, b) eleme! s-szerinti integrálás után: Ψ(x, y) = +π π exp[iω(x cos ϕ + y sin ϕ)]h(ϕ)dϕ (4.48) A csoportelem hatását egy függvényre (4.18) segítségével az argumentum transzformációjaként írtuk le, az argumentum transzformációjához pedig a csoportelem T(g) mátrixábrázolását használtuk: T(g)Ψ(x, y) = +π π exp[iω(x cos(ϕ + θ) + y sin(ϕ + θ))]h(ϕ)dϕ. (4.49) A fenti integrálásban a polárszög transzformációja átvihető a h függvény argumentumára: T(g)Ψ(x, y) = +π π exp[iω(x cos ϕ + y sin ϕ)]t(g)h(ϕ)dϕ, (4.50) ahol a g csoportelem hatását a 2π szerint periodikus h() függvényre az alábbi összefüggés adja meg: T(g)h(ϕ) = exp[iω(a cos(ϕ θ) + b sin(ϕ θ))]h(ϕ θ). (4.51) 92

94 Közvetlenül igazolható, hogy a (4.51) által definiált operátorra fennáll T(g 1 g 2 ) = T(g 1 )T(g 2 ). Tekintsük most a h függvényt az L 2 (S) = L 2 (ω1 2 + ω2 2 = 1) Hilbert-tér elemének. E tér elemeit képező függvények négyzetének integrálja véges. A Hilbert-téren bevezethető az alábbi skalárszorzat: (h 1, h 2 ) = +π Könnyen belátható, hogy ezen a téren a T(g) operátor unitér: π h 1 (ϕ)h 2 (ϕ)dϕ. (4.52) (T(g)h 1, T(g)h 2 ) = (h 1, h 2 ). (4.53) Ezzel létrehoztuk az E(2) csoport egy unitér ábrázolását. Megmutatható (ld. Mackay könyvét), hogy az így bevezetett ábrázolás irreducibilis. Az előző részben leírtakkal analóg módon parciális integrálással meg lehet határozni a P 1, P 2 és M operátorok által indukált Lie-algebra operátorait. Eredményül az alábbiakat kapjuk: P 1 = iω cos ϕ; P 2 = iω sin ϕ; M = d/dϕ. (4.54) A fenti operátorok ugyanazokat a kommutátorokat adják, mint az előző fejezetben definiált P 1, P 2 és M operátorok, ezért bázisként választhatóak az E(2) algebrában. Szintén az előző résszel analóg módon a fenti operátorokkal képzett Lie-algebra segítségével kifejezhető T(g): T(g) = exp(θm) exp(ap 1 + bp 2 ). (4.55) Mivel a T(g) operátorok ferdén hermetikusak, azaz, Lh 1, h 2 = h 1, Lh 2, h j L 2 (S 1 ) (4.56) minden L = c 1 P 1 + c 2 P 2 + c 3 M operátorra (itt az együtthatók valós számok). Nem térünk ki a részletekre, de L értelmezési tartományát gondosan kell definiálni. Mi arra az esetre szorítkozunk, amikor azon függvények, amelyekre L-et alkalmazzuk, kellően simák. Ahogyan az előző részben is, a Helmholtz-egyenlet szeparált megoldását most is egy ortogonális, szeparálható koordináta-rendszer (u, v) változóiban írjuk fel, a megoldást ilyen függvények szerint fejtjük ki. Ezeket a függvényeket egy S szimmetrikus operátor sajátfüggvényeiként állítjuk elő, az S operátor pedig szimmetrikus, másodfokú polinomja az E(2)- beli operátoroknak. Röviden: az S operátor szimmetrikus, amennyiben (SΨ 1, Ψ 2 ) = (Ψ 1, SΨ 2 ) (4.57) valamely D D S halmazban lévő Ψ 1, Ψ 2 függvényekkel. (Itt a D S függvénytéren definiált az S operátor hatása.) Egy szimmetrikus operátor eltérő sajátértékekhez tartozó sajátfüggvényei ortogonálisak, sajátértékei pedig valósak. Feltesszük, hogy a sajátfüggvények rendszere teljes, a szóban forgó függvények kifejthetőek a sajátfüggvények szerint. A változók szeparálásával előállítható megoldáshoz tehát az 1. táblázatban szereplő operátorok sajátffüggvényeit (az operátorok spektrális felbontását) kell megadni. Előre vesszük az S = M 2 operátort. 93

95 Az S = M 2 -hez tartozó pálya Ebben a részben i = 1 a komplex egységet jelöli. Nyilván elegendő M 2 helyett im sajátfüggvényeit vizsgálni, hiszen ha MΨ = λψ, akkor f(m)ψ = f(λ)ψ. A sajátfüggvényt megadó egyenletet így írjuk: i df λ(ϕ) = λf λ (ϕ). (4.58) dφ A megoldást az egységkörön értelemezett, folytonos első deriválttal rendelkező függvények körében keressük. Könnyen belátható, hogy az f n (ϕ) = einϕ 2π (4.59) függvényhez az im operátor n sajátértéke tartozik. A sajátfüggvények ortonormáltak az egységkörön és teljes rendszert képeznek, szerintük tetszőleges periodikus függvény 4 kifejthető. A forgatás operátorát korábban már felírtuk elsőrendű deriváltakkal: im = i(y x x y ). Ez az operátor egy másik téren van értelmezve, mint a φ szerinti deriválás, de fennáll az alábbi kapcsolat: M = IMI 1, ahol I az inverz Fouriertranszformáció (4.45) operátora. Ebből következően im unitér, ekvivalens M-mel, ezért spektrumuk is azonos. Vagyis, a (4.59) sajátfüggvényekre alkalmazva a (4.45) inverz Fourier-transzformációt, megkapjuk az M operátor x, y változóktól függő sajátfüggvényeit. Célszerű áttérni az (x, y) változókról (r, θ) polárkoordinátákra. Jelölje a sajátfüggvényeket Ψ n (r, θ), amit a fentiek szerint a Ψ n (r, θ) = I(e inϕ / 2π) = 1 2π +π π exp[iωr cos(ϕ θ)]exp[inϕ]dϕ (4.60) kifejezés ad meg. A fenti kifejezést egyúttal az I integráloperátor definíciójaként is használjuk. Áttérve az α = ϕ θ változóra: ahol R n (r) = 1 2π +π Megmutatjuk, hogy Ψ(r, θ) az alábbi alakba írható: Ψ n (r, θ) = exp[inθ]r n (r), (4.61) π Ψ n (r, θ) = exp[iωr cos α] exp[inα]dα. (4.62) in 2π J n (ωr) exp[inθ], (4.63) 4 Megjegyezzük, hogy az im operátor nem önadjungált az egységkörön, de kiterjeszthető egy nagyobb térre, ahol már önadjungált. A kiterjesztés nem vezet sem új sajátértékek, sem új sajátvektorok megjelenéséhez. 94

96 ahol J n (x) az n-ik Bessel-függvény, ld fejezet. Vizsgáljuk meg (4.60) r-től függő részét. Mivel a vizsgált függvény sajátfüggvénye az im operátornak n sajátértékkel, egy r-től és egy θ-tól függő függvény szorzataként írható. Jelölje az r-től függő részt R n (r). Ez a függvény kielégíti a (10.24) Bessel-féle differenciálegyenletet, tehát a megoldás egy Bessel-függvénnyel arányos. Az arányossági tényező meghatározásához a Bessel-függvény (10.28) sorfejtését használjuk fel. A Ψ(r, θ)- ban szereplő exp[iωr cos α]-t Taylor-sorba fejtve azt találjuk, hogy r n együtthatója (iω) n +π ( ) n 2π iω n! cos n α exp(inα)dα =. (4.64) 2π n! 2 π Ezzel a megoldást egy r-től és egy θ-tól függő függvény szorzatára bontottuk Az S = P 2 2-hez tartozó pálya Az előző részhez hasonlóan elegendő a szimmetrikus ip 2 operátor spektrális felbontását meghatározni. Mivel ip 2 = ωsinϕ és az ip 2 operátor definiált az egységkörön négyzetesen integrálható függvények Hilbert-terén, nincs szükség az operátor kiterjesztésére, azonban sajátfüggvényei nem függvények, hanem funkcionálok: f α (ϕ) = δ(ϕ α), π α +π. Az előző részhez hasonlóan az inverz Fourier-transzformációt hívjuk segítségül. Az ip 2 operátort az x, y változóktól függő függvényekre ip 2 = i y adja meg, és a megfelelő sajátfüggvények Ψ α (x, y) = I(δ(ϕ α) = +π π exp[iω(x cos ϕ+y sin ϕ)]δ(ϕ α)dϕ = exp[iω(x cos ϕ+y sin ϕ)]. Tetszőleges Ψ(x, y) függvény pedig kifejthető a Ψ α (x, y) sajátfüggvények szerint: Itt π α π és c α = Ψ(x, y) = +π π +π π (4.65) c α exp[iω(x cos α + y sin α)]dα. (4.66) h(ϕ)δ(α ϕ)dϕ = Ψ(x, y)ψ α (x, y)dxdy. (4.67) A (4.66) egyenlet egy bázis (nevezetesen az exp[iω(x cos α + y sin α)] függvények bázisa) szerinti kifejtést tartalmaz. A bázis minden eleme egy x-től és egy y-tól függő függvény szorzata. Ezzel egy x-től és egy y-tól függő függvényre szeparáltuk a megoldást Az S = {M, P 2 }-hez tartozó pálya A szóbanforgó operator azonnal felírható: {M, P 2 } = iω(sin ϕd/dϕ + cos ϕ), (4.68) 95

97 ez az operátor szimmetrikus (de nem önadjungált)az egységkörön négyzetesen integrálható függvények L 2 (S) terében. (Az L 2 (S)-beli függvényeket sin 2 ϕ+cos 2 ϕ = 1 jellemzi.) Lehet találni olyan kiterjesztést, amelyen az operátor már önadjungált. A fejezetben láttuk, hogy a forgatások leírásához jól használhatóak a kételemű vektorok és a rajtuk ható mátrixok. Az L 2 (S) kiterjesztését ilyen vektorokkal fogjuk megadni. Legyen f L 2 (S). Bevezetjük az U : L 2 (S) L 2 (R 2 ) operátort, U tehát egy kétdimenziós, valós értékű vektort rendel L 2 (S) minden eleméhez, a vektor elemei a valós tengely felett négyzetesen integrálható függvények, a komponenseket a + és alsó indexekkel különböztetjük meg. Az U operátor tehát az egységkör (cos ϕ, ϕ) pontjához hozzárendel egy valós ν számot, a kételemű vektor komponensei pedig ν valós függvényei. Legyen F (ν) = ( F+ (ν) F (ν) Az U operátort az alábbi módon definiáljuk: ( ) f+ (cos ϕ) Uf(ν) = F (ν) = f (cos ϕ) ). = [sin ϕ] 1/2 ( f+ (cos ϕ) f (cos ϕ) ), (4.69) ahol cos ϕ = tanh ν. A most bevezetett + és indexekkel jelölt komponensek egyazon függvény két intervallumon felvett értékeiből állnak: f (cos ϕ) = f(ϕ), π ϕ < 0 (4.70) f + (cos ϕ) = f(ϕ), 0 < ϕ π. (4.71) Ezen kételemű vektorokat aláhúzással fogjuk jelölni pl. F (ν). Nyilván Fourier-transzformáltjuk is kételemű vektor lesz. A Fourier transzformáltra skalár f változó esetén az f, vektor F változó estén a F jelölést fogjuk használni.: F(λ) = 1 + F (ν)e iνλ dν, (4.72) 2π a megfelelő inverz Fourier-transzformáció pedig F (ν) = 1 + F(λ)e iνλ dλ. (4.73) 2π Arra kell még ügyelnünk, hogy a skalárszorzatnál a komponensek integrálásán 5 kívül a komponensek szorzását is el kell végezni, és mivel a Fourier-transzformációban komplex mennyiségek szerepelnek, de alakjában előfordul komplex konjugált is, ezt felülhúzással jelöljük: + ( (F(ν), G(ν)) = F+ (ν)g + (ν) + F (ν)g (ν) ) dν (4.74) 5 A valós függvénytéren ez az általánosan használt skalárszorzat. 96

98 Ebben a részben az S = {M, P 2 }; SF (ν) = 2iωd/dνF (ν) operátorral foglalkozunk. Az operátor hatását az L 2 (S) függvénytéren (4.68) adja meg, az L 2 (R 2 ) téren viszont USU 1. Fourier-transzformáció után az S = {M, P 2 } = F (ν) = 2iωd/dνF (ν) operátor sajátértékeit meghatározó egyenlet: SF (λ) = 2λωF (λ). (4.75) Arra a következtetésre jutottunk, hogy az S = {M, P 2 } operátort ki lehet terjeszteni egy egyértelmű unitér operátorra, amelynek spektruma folytonos (v.ö. (4.75)), minden sajátérték kétszeres, a sajátfüggvények pedig ismét funkcionálok: ( ) δ(λ µ) F µ + (λ) = (4.76) 0 F µ (λ) = ( 0 δ(λ µ). ) (4.77) Ezeket a függvényeket visszatranszformálva a ϕ változóra, megkapjuk a kifejtésben használandó általánosított sajátfüggvényeket: f µ+ (ϕ) = { 1 2π (1 + cos ϕ) iµ/2 1/4 (1 cos ϕ) iµ/2 1/4 0 < ϕ π 0, π ϕ < 0 (4.78) Fennáll továbbá a f µ (ϕ) = f µ+ ( ϕ) összefüggés, és {M, P 2 }f µ± = 2µωf µ±. A Helmholtzegyenlet f µ+ függvénynek megfelelő megoldása: Ψ µ+ (x, y) = I(f µ+ ) = 0 exp[iω(x cos ϕ + y sin ϕ)]f µ+ (ϕ)dϕ (4.79) Bevezetve a cos ϕ = (t 1 t)/(t 1 + t) helyettesítést, az integrál az alábbi alakot veszi fel: Ψ µ+ (x, y) = 1 [ ( ) t iµ 1/2 1 t 2 {iω exp x + 2yt ]} dt. (4.80) π 1 + t t t 2 0 A 2.1 részben elmondottakból következik, hogy az {M, P 2 } operátor sajátfüggvényei szeparálhatóak parabolikus koordináták használata esetén. Vezessük be a x = 1 2 (ξ2 η 2 ), y = ξη (4.81) változókat. Mivel Ψ µ+ (ξ, η) sajátfüggvénye a (4.1) egyenletnek, továbbá a (4.27) helyettesítéssel a (4.27) egyenlet alábbi speciális esetetét kapjuk meg: ξξ Ψ + ηη Ψ + (ξ 2 + η 2 )ω 2 Ψ = 0, amelynek megoldását kereshetjük Ψ(ξ, η) = U(ξ)V (η) alakban. Ekkor U és V a (4.35) és (4.36) egyenletek megoldása, ahol k 2 = 2µω. Minthogy ezen egyenleteknek két lineárisan 97

99 független megoldása létezik (ld fejezet), a szeparált függvényben összesen négy szabad állandó található. Az új változókkal felírt egyenlet legfeljebb négy, szorzat alakban szeparált tagra esik szét. Itt nem részletezett számítások eredményeként azt kapjuk, hogy a sajátfüggvény [ ] 1 [ Ψ µ+ (ξ, η) = 2 cos(iµπ) Diµ 1/2 (σξ)d iµ 1/2 (ση) + D iµ 1/2 ( σξ)d iµ 1/2 ( ση) ]. (4.82) Itt σ = 2ω exp(iπ/4) és D ν (x) a parabolikus hengerfüggvényt jelöli, ld fejezet. A megoldás másik komponensét a fenti kifejezésből kapjuk: Az S = M 2 + d 2 P 2 1-hez tartozó pálya Most tehát (4.54) felhasználásával az Ψ µ (ξ, η) = Ψ µ+ (ξ, η). (4.83) S = M 2 + d 2 P 1 2 = d2 dϕ 2 d2 ω 2 cos 2 ϕ, (4.84) operátort vizsgáljuk. A most bevezetett S operátor D értelmezési tartománya az egységkörön négyzetesen integrálható függvények tere. Az S operátor sajátérték-feladata az alábbi egyenlet megoldását igényli: d 2 f dϕ + (a 2q cos 2ϕ)f = 0, a = λ d2 ω (4.85) és q = d 2 ω 2 /4. A sajátfüggvények tehát Mathieu-függvények, ld fejezet. Az S operátornak nincs sajátfüggvénye a D tartományban, de S egyértelműen kiterjeszthető egy olyan szimmetrikus operátorrá, amely a körön kétszer folytonosan differenciálható függvényeken hat. Ebben az esetben a (4.85) egyenletnek megszámlálhatóan végtelen sok megoldása létezik, mindegyik sajátértéke egyszeres. A normált sajátfüggvények (v.ö fejezet) pedig: f nc (ϕ) = ce n(ϕ, q) π (4.86) f ns (ϕ) = se n(ϕ, q) π, n = 1, 2,.... (4.87) A Helmholtz-egyenlet (x, y) változóktól függő megoldását f nc (ϕ)-ből Fourier-transzformációval kapjuk: Ψ(x, y) = 1 +π exp [iω(x cos ϕ + y sin ϕ)] ce n (ϕ, q)dϕ. (4.88) π π 98

100 Bevezetjük az elliptikus koordinátákat: x = d cosh α cos β, y = d sinh α sin β. (4.89) Az új koordinátákban felírva a Helmhotz-egyenlet megoldását az alábbi, szeparált alakot kapjuk: Ψ nc (α, β) = U(α)ce n (β, q), (4.90) ahol U(α) kielégíti a módosított Mathieu-egyenletet: d 2 U + ( a + 2q cosh(2α))u = 0. (4.91) dα2 Tekintettel arra, hogy a (4.88) egyenlet páros α-ban, így Ψ(α, β)-ra az alábbi két alakot kapjuk: C n Ce n (α, q)ce n (β, q), S n Se n (β, q). Ezzel a szeparálható megoldások vizsgálatát befejeztük. Végezetül megemlítünk egy gyakorlati kérdést. A Helmholtz-egyenlet megoldását gyakran arra használjuk, hogy egy függvényt kifejtsünk a megoldások szerint, vagyis, a szeparált formában felírt függvényeket bázisként használjuk. Ilyen számítások során gyakran van szükségünk (T(g)Ψ n, Ψ m ) (4.92) típusú mátrixelemek kiszámítására. Ebben a Wigner-Eckart-tételen kívül segítségünkre lehet annak felismerése, hogy a Fourier-transzformáció felhasználásával a skalárszorzatokat ki lehet értékelni az egységkörön, ami jóval kevesebb számítást igényel. 99

101 5. fejezet Egyenletek szimmetriáinak meghatározása 100

102 A Lie-csoportok alkalmazásának fontos területe az egyenletek vizsgálata. A szimmetria a független és függő változók együttes transzformációja olymódon, hogy a transzformáció egy megoldást másik megoldásba vigyen. A szimmetriák ismeretében invariánsokat lehet meghatározni, amivel az egyenlet megoldása egyszerűsíthető. Első lépésként a deriváltakat nem tartalmazó egyenleteket vizsgáljuk. Az egyenlet tehát az ismeretlenek deriváltjait nem tartalmazzák, feltesszük továbbá, hogy a vizsgálandó egyenletek kellően simák, azaz, legalább kétszer deriválhatóak. Az egyenlet szimmetriái Lie-csoport alakjában keressük, a csoportot generátorai révén határozzuk meg. A tárgyalás végső célja egy praktikus, alkalmazható módszert adni a differenciálegyenletek vizsgálatához. Itt szükségünk lesz a fejezetben tárgyalt funkcionálisan független függvényekre. Az M halmazon értelmezett valós f i (x 1,..., x n ), i = 1,..., m függvények rendszerét függetlennek nevezzük, amennyiben nem létezik olyan m változós F (y 1,..., y m ) függvény, amely M bármely nyílt részhalmazán teljesítené az F (f 1 (x),..., f n (x)) = 0 feltételt. Itt x = (x 1,..., x n ) Feladat Legyen y 1 = f 1 (x 1, x 2 ) = x 1 és { y 2 = f 2 (x 1, x 2 x 1 ha x 2 > 0 ) = x 1 + e x2 ; ha x 2 > 0 Az így definiált f 1 és f 2 függvények függetlenek az x 2 > 0 félsíkon, de funkcionálisan függőek az alsó félsíkon. Sophus Lie eredetileg a közönséges differenciálegyenletek szimmetriáját vizsgálta, és megmutatta, hogy egy egyparaméteres szimmetriacsoport birtokában az egyenlet rendje eggyel csökkenthető. Parciális differenciálegyenletek esetében a technika bonyolultabb. A második részben a differenciálegyenletek invarianciáját vizsgáljuk. Itt az alkalmazott technika a prolongációkra, azaz, a szimmetriacsoport hatásának az egyenletekre történő alkalmas átvitelére épül Egyenletek szimmetriája Tekintsük az alábbi algebrai egyenletrendszert: F i (x) = 0, i = 1,..., l. (5.1) Feltesszük, hogy az F i valós függvények minden x M értékre sima függvények. A fenti egyenletek megoldása egy (vagy több) x M pont, amelyben minden F i (x) függvény nulla értéket vesz fel. Az (5.1) rendszer szimmetria csoportja M-en ható lokális transzformációk olyan G csoportja, amely az (5.1) egyenlet megoldását másik megoldásba transzformálja. Vagyis, 101

103 amennyiben y(x) megoldás, és g G, akkor amennyiben gy definiálva van, akkor megköveteljük, hogy gy is megoldás legyen. Az alábbiakban annak feltételeit keressük, hogy egy adott transzformációcsoport a vizsgált egyenletek szimmetriája legyen. Első lépésként emlékeztetünk az invariáns altér definíciójára (2. fejezet). Ennek analógiájára definiáljuk az invariáns részhalmaz fogalmát: az S M halmazt G invariánsnak nevezzük, ha minden x S-re, és g G-re gx S, feltéve, hogy gx definiálva van. Definiálhatjuk egy adott F (x) függvény invarianciáját is. Legyen G egy lokális transzformációcsoport, amely az M halmazon hat. Egy F : M N (itt N egy másik sokaság) függvényt G invariánsnak nevezünk, ha minden x M-re, és minden g G-re, amelyre gx definiálva van, F (gx) = F (x). F : M R l akkor és csak akkor G invariáns, ha F = (F 1,..., F l ) minden komponense G invariáns. Most már meg tudjuk fogalmazni a bevezetésben megfogalmazott állításokat Állítás Legyen G egy összefüggő lokális Lie-transzformációcsoport az m dimenziós M sokaságon. Egy valós értékű ζ : M R függvény akkor és csak akkor G invariáns, ha minden x M-re, és G minden v infinitezimális generátorára. v(ζ) = 0 (5.2) Legyen G az infinitezimális generátorok Lie-algebrája, és legyen ebben az algebrában v 1,..., v r egy bázis. Ekkor a 5.1. állításnak megfelelően, a ζ(x) függvény akkor és csak akkor Lie-algebra invariáns, ha v k (ζ) = 0, k = 1,..., r. A v k generátort Lokális koordinátákkal kifejezve v k = ξk(x) i x. (5.3) i i=1 Ebből következik, hogy a fenti tulajdonságú ζ függvény az alábbi differenciálegyenlet megoldása: v k (ζ) = ξk(x) i ζ = 0, k = 1,..., r. (5.4) xi i= Tétel Legyen g egy öszefüggő Lie-transzformációcsoport, amely az m dimenziós M sokaságon hat. Határozzák meg az F : M R l, l m, függvények az (5.1) egyenletrendszert és tegyük fel, hogy az egyenlet rangja maximális, azaz, a F i / x k mátrix rangja l, az egyenlet minden x megoldására. Ekkor a G csoport akkor és csak akkor szimmetriacsoportja az (5.1) egyenletrendszernek, ha v (F i (x)) = 0, i = 1,..., l, (5.5) valahányszor F (x) = 0, és a fenti összefüggés G minden v infinitezimális generátorára fennáll. 102

104 5.3. Állítás Legyen az F : M R l függvény maximális rangú az S F = {x : F (x) = 0} rész-sokaságon. Az f : M R valós függvény akkor és csak akkor tűnik el S F -en, ha léteznek olyan sima Q 1 (x),..., Q l (x) függvények, hogy f(x) = l Q j F j (x), (5.6) j=1 minden x M-re. A 5.3. állításban a maximális rang lényeges feltétel. Például tekintsük az F (x, y) = y 2 2y + 1 függvényt és legyen f(x) = y 1, amely eltűnik minden olyan pontban, ahol F (x, y) = 0, ez a halmaz az S F = {y = 1} pontból áll. Ugyanakkor nem létezik olyan sima Q(x, y) függvény, amelyre fennállna f(x, y) = Q(x, y)f (x, y) Állítás Legyen M R l maximális rangú az S F = {x : F (x) = 0} halmazon. Tegyük fel, hogy az R 1 (x),..., R l (x) függvényekre fennáll l R j (x)f j (x) = 0 (5.7) j=1 minden x M-re. Ekkor R j (x) = 0 minden x S F -re. Ezzel ekvivalens, hogy léteznek olyan S m j (x) függvények, amelyre fennáll R j (x) = l Sj m (x)f m (x). (5.8) m=1 Továbbá, az Sj m (x) függvényeket lehet úgy választani, hogy Sj m (x) = Sm(x), j ebben az esetben (5.8) fennállása szükséges és elégséges ahhoz, hogy (5.7) minden x-re teljesüljön. Gyakran szükség van annak megválaszolására, hogy egy adott transzformációcsoportnak hány invariánsa van. Nyilvánvaló, hogy amennyiben ζ 1 (x),..., ζ k (x) invariáns egy transzformációcsoporttal szemben, és F (z 1,..., z k ) tetszőleges, sima függvény, akkor F (ζ 1 (x),..., ζ k (x)) szintén invariáns, ám ez semmiféle új információt nem hordoz, az előbbi invariánstól funkcionálisan függő -nek nevezzük (ld. jelen fejezet bevezető részét) Tétel Legyen ζ = (ζ 1,..., ζ k ) egy sima leképezés M-ből R k -ba. Ekkor ζ 1 (x),..., ζ k (x) akkor és csak akkor funkcionálisan összefüggőek, ha dζ x (azaz, a ζ függvény differenciálja az x pontban) rangja szigorúan kisebb, mint k minden x M-re. A következő tétel egy transzformációcsoport invariánsainak számát adja meg. 103

105 5.6. Tétel Hasson a G csoport szemiregulárisan az m-dimenziós M sokaságon, és legyenek orbitjai s dimenziósak. Ha x 0 M, akkor pontosan m s funkcionálisan független lokális invariáns ζ 1,..., ζ m s létezik x 0 egy környezetében. Továbbá, a csoporthatás bármely egyéb, x 0 környezetében definiált invariánsa az alábbi formába írható: ζ(x) = F (ζ 1 (x),..., ζ m s (x)), valamely alkalmas, sima F függvényre. Amennyiben a G csoport hatása reguláris, a csoport invariánsai globális invariánsokká tehetőek x 0 egy környezetében. Most már csak az invariánsok megkonstruálása van hátra. Legyen G egyparaméteres csoport, amelynek infinitezimális generátora v = ξ 1 (x) x ξm (x) x m (5.9) valamely alkalmas lokális koordinátában kifejezve. Egy lokális, G-vel szemben invariáns mennyiség, ζ(x) az alábbi egyenlet megoldása lesz: v(ζ) = ξ 1 (x) ζ x ξm (x) ζ = 0. (5.10) xm 5.1. Feladat (Karakterisztikus egyenlet) A (5.10) egyenlet megoldása a megfelelő karakterisztikákból adódó egyenletek megoldására épül. Ez röviden a következőt jelenti két változó esetén. Legyen ζ = ζ(x 1, x 2 ), (5.11) p = x 1ζ és q = x 2ζ, a megoldandó egyenlet pedig legyen F (x 1, x 2, ζ, p, q) = 0 (5.12) alakú. Legyen a tér egy pontja legyen P (x 1 = x, x 2 = y, ζ = z). A (5.12) egyenlet érintője a P pontban ζ z = p(x 1 x) + q(x 2 y). (5.13) (5.12)-ben és (5.13)-ben p és q paraméterek, ráadásul nem függetlenek. (5.13)-ből (5.12)-ből és p F dp + q F dq = 0 (5.14) (x 1 x)dp + (y x 2 )dq = 0. (5.15) Itt dp = dq = 0 nem állhat fenn, ezért a determináns eltűnik, ezért p F (x 2 y)+ q F (x 1 x) = 0. Ebből az egyenletből, (5.13)-ből és (5.12)-ből a p, q koordinátákat eliminálhatjuk: dz = pdx + qdy és F p dy = F q dx. Ezt átalakítva dx = dy. (5.16) F p F q 104

106 Ezt általánosítva: Ezen egyenletrendszer megoldásai: dx 1 ξ 1 (x) = dx2 ξ 2 (x) = = dxm ξ m (x). (5.17) ζ 1 (x 1,..., x m ) = c 1,..., ζ m 1 (x 1,..., x m ) = c m 1. (5.18) Az így kapott ζ 1,..., ζ m 1 pontosan a (5.10) egyenlet keresett lineárisan független megoldásai Differenciálegyenletek szimmetriája Tekintsük az X halmazt, amelynek pontjait x = (x 1,..., x p ) koordinátákkal jellemezzük. Tekintsük az X U leképezést, ahol az U halmaz pontjait u = (u 1,..., u p ) írja le. A leképezés miatt u i = u i (x). Elégítsék ki az u i (x) függvények az alábbi egyenletrendszert: ν (x, u ( n)) = 0, ν = 1,..., l. (5.19) Itt u ( n) az u(x) függvény legfeljebb n-ik deriváltját jelöli. A = ( 1 (x, u (n) ),..., l (x, u (n) )) függvényekről, amelyek a (5.19) egyenletben szereplő műveleteket jelölik, feltesszük, hogy argumentumaiknak sima függvényei, így a leképezés sima, az X U (n) tér pontjait az R l tér pontjaiba képezi le. Itt U (n) az U tér elemeinek legfeljebb n-ik deriváltját tartalmazó tér Feladat Legyen p = 2, a két koordináta legyen x 1 = x, x 2 = y. Legyen q = 1, a függő változó legyen az u skalár függvény. Az U 1 tér az (u, u x, u y ) függvényhármasokból áll. Az U 2 tér pedig az (u, u x, u y, u x x, u xy, u yy ) hatelemű vektorokból áll. A (5.19) differenciálegyenlet-rendszert az X U (n) R l leképezésnek tekintjük. Az egyenlet megoldását röviden az u = f(x) alakba írhatjuk. Az egyenlet szimmetriája egy Lie-csoport lesz, amelynek elemei az X U (n) tér pontjait képezik le ugyanezen tér esetleg más pontjaira. A megoldást ábrázoló pontokat általában egy másik megoldás pontjaiba viszik át Feladat Legyen p = 1, q = 1, az egyenlet megoldása pedig legyen u = f(x). Vizsgáljuk meg a G = SO2 csoport (ld fejezet) egy elemének hatását! Mint láttuk (x, u ) g(x, u) = (x cos ϑ u sin ϑ, x sin ϑ + u cos ϑ). 105

107 Legyen u = f(x) = ax + b, egy egyenes. Legyen ϑ kis érték, ekkor a transzformáció eredménye: x = x(cos ϑ a sin ϑ) b sin ϑ és u sin ϑ + a cos ϑ b = cos ϑ a sin ϑ x + cos ϑ a sin ϑ. Azt katuk, hogy az egyenes elforgatottja egy másik egyenes, ahogyan lennie kell. Legyen az x pont az M sokaság egy általános pontja, koordinátái pedig legyenek x = (x 1,..., x p ), ahol a vizsgált egyenletben p számú független változó szerepel. Legyen adva egy C M görbe. Írjuk le a görbét a φ : I M paraméterezéssel, ahol I egy valós intervallum. A C görbét megadhatjuk az m számú koordinátával, amelyeket egyetlen vektorban foglalunk össze: φ(ε) = ( φ 1 (ε),..., φ p (ε) ) (5.20) A C görbe egy általános pontja φ(ε). A görbe rendelkezik érintővel, amelyet φ(ε) ad meg: ( φ(ε) = φ1 (ε),..., φ ) p (ε). (5.21) Célszerű különbséget tenni az érintővektor és a lokális koordináta szerinti derivált között. Ezért az x = φ(ε) pontban az érintővektorra az alábbi jelölést szokás használni: v x = φ(ε) = φ 1 x + + φ p (5.22) 1 x p Első látásra ez a jelölés meglepő lehet, de gondoljunk arra, hogy az x pont megváltozásának i-ik koordinátája x + εe i alakba írható a lokális koordintátában (itt e i az i-edik egységvektor R p -ben) Feladat Adott az alábbi, háromdimenziós csavarvonal: φ(ε) = (cosε, sinε, ε). A csavarvonal pontjait az x = sin ε, y = cos ε és z = ε koordinátákkal jelöljük. A csavarvonal érintője φ(ε) = ( sinε, cosε, 1). (5.23) Ugyenezt a kifejezést koordinátákkal megadva: φ(ε) = ( y, x, 1). Az érintővektor pedig: v = φ(ε) = φ 1 (ε) x + φ 2 (ε) y + φ 3 (ε) z = y x + x y + z. (5.24) Az M sokaságon definiált (5.22) vektormező a sokaság minden pontjához egy vektort rendel. Ez a vektor lehet a ponton áthaladó C görbe érintője. Lokális koordinátákkal kifejezve az érintő az alábbi alakot ölti: v x = ξ 1 (x) x 1 + ξ 2 (x) x ξ p (x) x p (5.25) 106

108 Egy v vektormezőhöz rendelhetünk egy sima görbét, x = φ(ε)-t, azzal a kikötéssel, hogy a görbe érintője minden x pontban egyezzen meg v-vel. Ezt a görbét a v vektormező integrálgörbéjének nevezzük. Az integrálgörbe az alábbi autonom differenciálegyenletrendszer megoldása: dx i dε = ξi (x). (5.26) A vektormezőhöz rendelt integrálgörbe átmegy az x ponton, ezt, mint kezdőfeltételt kiköthetjük az autonóm differenciálegyenletekhez. Jelölje az integrálgörbe egy pontját Ψ(ε, x). Ekkor a most bevezetett Ψ leképezés rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: Ψ(δ, Ψ(ε, x)) =Ψ(δ + ε, x) (5.27) Ψ(0, x) = x (5.28) d dε Ψ(ε, x) = v Ψ(ε,x), (5.29) minden értelmes ε-ra. A fenti tulajdonságok éppen megegyeznek a Lie-csoport lokális hatásával (v.ö fejezet). Az integrálgörbék tehát egy egyparaméteres transzformációcsoportot generálnak az M sokaságon. Tekintettel arra, hogy kis ε esetén Ψ(ε, x) = x + εξ(x) + O(ε 2 ), (5.30) a v vektormezőt tekinthetjük a transzformáció generátorának. Az állítást meg lehet fordítani: amennyiben Ψ(ε, x) egy egyparaméteres transzformációcsoport, amelynek hatása ismert az M sokaságon, akkor a csoport infinitezimális generátorát megadja v x = d dε Ψ(ε, x). (5.31) ε=0 Az autonom egyenlet megoldásának (megfelelő kezdőérték mellett) egyértelműségéből következik a Lie-csoport lokális hatásának egyértelműsége az M sokaságon. A v vektor által fentebb generált transzformációra az alábbi jelölést szokás használni: exp (εv) = Ψ(ε, x). (5.32) 5.4. Feladat Az alábbiakban két speciális esetet tárgyalunk a jelölés jobb megértése céljából. Legyen M a valós számok halmaza, és legyen v = x. Az exponenciális sorfejtését felhasználva kapjuk: [exp(ε x )]x = x + ε. A második példában a síkbeli forgatásokat tekintjük: Ψ(ε, (x, y)) = (xcosε ysinε, xsinε + ycosε). Ezen transzformációk infinitezimális generátora v = ξ(x, y) x + η(x, y) y, az együtthatókra pedig (5.31) alapján ezt kapjuk: ξ(x, y) = d dε (xcosε ysinε) = y (5.33) ε=0 η(x, y) = d dε (xsinε + ycosε) = x. (5.34) ε=0 Tehát v = y x + x y a transzformáció generátora, ami jól ismert eredmény. 107

109 A fentiek alapján megvizsgáljuk, hogyan változik a Ψ(ε, x) transzformáció hatására egy M-en értelmezett F (x 1,..., x m ) függvény. A transzformáció az x pontot az x = Ψ(ε, x) pontba viszi, vagyis a transzformált koordináták függeni fognak a transzformációt jellemző ε mennyiségtől. Írjuk a vizsgálandó függvényt F (x 1 (ε),..., x m (ε)) alakban. Először vizsgáljuk meg a df/dε deriváltat. Nyilván m df dε = xi F dxi dε i=1 (BF ). (5.35) Az így bevezetett B = i x i ξ i (x), ahol a dx i = ξ(x) operátor segítségével egyszerűsítettük a jelölést. A (5.35) egyenlet formális megoldása mostmár azonnal dε felírható: F (ε, x 1,..., x m ) = exp(εb)f (x 1,..., x m ). (5.36) A B deriváltmátrixot a ξ i (x) együtthatófüggvények egyértelműen meghatározzák. Automatikusan adódik az F (ε = 0, x 1,..., x m ) = F (x 1,..., x m ) összefüggés is. A B operátort nevezik a Ψ(ε, x) transzformációcsoport infinitezimális generátorának is. A fejezetben bevezetett infinitezimális generátorok a csoportelemek paraméter szerinti deriváltjai voltak, így a csoportelemekre jellemzőek, az itt bevezetett infinitezimális generátorok függvényekre hatnak, azt írják le, mennyire változik a transzformált függvény a transzformáció paraméterének változásával. A fenti bevezetés után megfogalmazzuk a megvizsgálandó feladatot. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor az x 1,..., x p független változók száma p. Ezen változók kifeszítenek egy X teret. A differenciálegyenlet megoldása során keressük az u 1,..., u q függvényeket, amelyek kielégítenek l differenciálegyenletet, amelyek legfeljebb n-ik deriválást tartalmaznak. Ezek a függvények kifeszítenek egy U teret. Elő kívánunk állítani egy G csoportot, amely ezeket az egyenleteket változatlanul hagyja. A vizsgált egyenleteket egy kibővített téren fogjuk vizsgálni, amit a független változók, az u 1,..., u q függő változók fognak alkotni, és azok deriváltjai az egyenletben szereplő rendig bezárólag. Keressük azt a Lie-csoportot, ami a megoldást jelentő halmazt (azaz, a megoldandó egyenleteket) invariánsan hagyja. A Lie-csoportot generátorai segítségével állítjuk elő. Először bevezetünk néhány, elsősorban a parciális deriváltak írását egyszerűsítő jelölést és definíciót. deriváltjainak száma p k = ( p+k 1 k Tekintsük az ) f(x) = f(x 1,..., x p ) függvényt, aminek k-adrendű. A J-edrendű parciális deriváltakra bevezetjük a J f(x) = k f(x) x j1 x j2... x jk (5.37) jelölést, ahol J = (j 1,..., j p ) egy rendezetlen szám p-s, elemei egészek és 1 j i p. A J index rendje k, ami a deriválás fokszámát jelenti és megegyezik a J szám p-s 1 elemeinek számával. A differenciálegyenlet-rendszerekben, ami vizsgálatunk tárgya, több függvényt kell vizsgálni egyszerre. Legyen u = ( f 1 (x),..., f q (x) ) (5.38) 108

110 tehát az u megoldás mostantól q elemű vektor, és bevezetjük az u(x) = f(x) függvény n-edrendű prolongációját, pr (n) f(x)-et. Az u vektor α komponensének magasabb rendű parciális deriváltjaira az alábbi jelölést fogjuk használni: u α J = J f α (x), (5.39) ezek segítségével a prolongációt az alábbi egyenlettel definiáljuk: u (n) pr (n) f(x), (5.40) ahol pr (n) f(x) egy függvény amely az X tér pontjait az U (n) tér pontjaiba képezi le. pr (n) f(x) egy vektor, amelynek qp (n) eleme van. Itt p (n) = ( ) p+n n, az u függvények legfelejebb n-ik deriváltjainak száma, a deriváltakat(5.39) szerint kell meghatározni. A prolongációban tehát legfeljebb n-ik deriváltak szerepelnek, minden lehetséges kombinációban Feladat Így pl. n = 2 esetén, ha u = f(x, y) akkor u (2) = pr (2) f(x, y) = (5.41) (u; u x, u y ; u xx, u xy, u yy ) = (f; x f, y f; xx f, xy f, yy f). (5.42) U (2) tehát egy hatdimenziós tér, ami annyit jelent, hogy az u x, u y függetlennek tekintjük. stb. deriváltakat is Térjünk vissza a (5.25) által megadott érintővektorhoz, amely egyúttal egy differenciáloperátor is. Ez az operátor az x vektorra úgy hat, hogy x i-ik koordinátáját kicseréli ξ i (x)-re, ezért vx = (ξ 1 (x),..., ξ m (x)). Ez nem más, mint egy koordinátatranszformáció. Korábban már láttuk, hogy a v operátor által generált transzformációkat így lehet leírni: x = Ψ(ε, x) = exp(εv)x. Legyen y = Ψ(x), ekkor a v operátort ki lehet fejezni az új koordinátákkal: m m v = ξ i (Ψ 1 (y)) Ψ j (Ψ 1 (y)). (5.43) x i yj j=1 i=1 A v operátort alkalmazni lehet egy kellően sima f(x) függvényre is az alábbi szabály alapján: m v(f)(x) = ξ i (x) f (x), (5.44) x i i=1 vagyis, v(f)(x) az f függvény infinitezimális változását adja meg. Minthogy v lineáris operátor, ezért v(f + g) = v(f) + v(g) (5.45) és v(f g) = v(f) g + f v(g). (5.46) 109

111 Egy f(x) függvény hatását a transzformált argumentumra a következő kifejezés adja meg: ε k f(exp(εvx)x = k! vk (f)(x). (5.47) Hasonlóan járunk el az F : R R n többváltozós függvény esetén is., csak ott v(f ) = (v(f 1 ),..., v(f n )). Ennyi előkészítés után rátérhetünk a tulajdonképpeni egyenletek felírására. A vizsgált probléma több egyenletből állhat, mindegyik egyenlet megállapít egy összefüggést a független változók, a függő változók és a függő változók deriváltjai között. A megoldandó egyenletek az X U halmazon vannak értelmezve. A megoldandó egyenleteket változatlanul hagyó Lie-csoportot a csoport generátorai révén fogjuk meghatározni Tétel Legyen k=0 ν (x, u (n) ) = 0, ν = 1,..., l (5.48) egy maximális rangú differenciálegyenlet-rendszer 1 az M X U halmazon. Ha G egy lokális transzformációcsoport, amely M-en hat és G minden v infinitezimális generátorára teljesül pr (n) v [ ν (x, u (n)] = 0, ν = 1,..., l (5.49) valahányszor a (5.49) egyenlet teljesül, akkor a G csoport a (5.49) differenciálegyenletrendszer szimmetriája. A tétel bizonyítása Olver könyvében található. A tétel alkalmazásához a prolongáció kiszámítására van szükség, az ezzel kapcsolatos tudnivalókat foglalja össze az alábbi tétel Tétel Legyen v = p ξ i (x, u) xi + i=1 q φ α (x, u) u α (5.50) egy vektormező az M X U nyílt halmazon. Ezen vektormező n-edik prolongációját adja meg. pr (n) v = v + α=1 q φ J α(x, u (n) u α J (5.51) α=1 J 1 Maximális rangú a (5.48) differenciálegyenlet-rendszer, ha Jacobi-mátrixának rangja megegyezik az egyenletek számával. A Jacobi-mátrix: J (x, u (n) ) = ( ν x j,, ) ν u α i 110

112 A fenti kifejezésben a második összegzés azokra a multiindexekre történik, amelyekben minden index valamelyik független változóra utal (azaz, értéke legfeljebb p lehet), egy index többször is előfordulhat, de a J-ben szereplő egyesek száma legfeljebb n lehet. Az összegzésben szereplő függvények kiszámítása az alábbi formulával történik: ) p p φ J α(x, u (n) ) = D J (φ α ξ i u α i + ξ i u α J,i (5.52) Az utóbbi képletben pedig az alábbi jelölést alkalmaztuk: i=1 A D J teljes derivált értelmezése pedig az alábbi: i=1 u α i = x iu α ; u α J,i = x iu α J. (5.53) D J = D j1 D j2... D jk, (5.54) amennyiben a J multiindex hossza k és végül az egyes teljes deriváltak jelentése: D i P = xi P + q u α J,i u α J P. (5.55) α=1 A tétel bizonyítása a következő megfontolásokra épül. Az M halmazon egy csoportelem hatására a független változók is, a függő változók is transzformálódnak. A csoportelem hatását mindkét esetben egy lokális transzformáció írja le. A független változók esetében ez triviális, a keresett függvények esetében pedig gondoljunk arra, hogy a lineáris transzformáció hatását egy függvényre úgy írjuk le, hogy argumentumát transzformáljuk Feladat Legyen adott az alábbi vektormező: v = u x + x u. Határozzuk meg (5.51) alapján az első prolongációt! Mivel q = 1,p = 1, (5.52)-ben J=1. φ α = φ = x, mert (5.50)-ben a példa szerint u együtthatója u. ξ i = ξ = u, mert (5.50)-ben a példa szerint u együtthatója u. Továbbá u 1 = u x és u 1,x = u xx, mert (5.53)-ben csak x szerint kell deriválni. (5.51)-ban n = 1 és J = 1 esetén pr (1) v = ξ(x, u) x + φ 1 (x, u) u. Itt φ 1 (x, u) = D(φ ξu x ) + ξu xx. Ide behelyettesítve φ = x-et és ξ = u-t, a v prolongációjában szereplő kifejezésben φ 1 = D x (x + uu x ) = 1 + u x 2. Ezzel az első prolongáció: J pr (1) v = u x + x u + (1 + u 2 x) ux. (5.56) Jegyezzük meg, hogy az első két tag megegyezik v-vel. 111

113 5.7. Feladat Tekintsünk egyetlen kétváltozós függvényt, a független változók legyenek x, t, a függvény pedig u = f(x, t). Írjuk föl a függvény első két prolongációját! A megadott függvény esetében az érintővektort generáló vektormező: v = ξ(x, t, u) x + τ(x, t, u) t + φ(x, t, u) u. (5.57) Az első prolongáció (5.51) szerint: pr (1) v = v + φ x ux + φ t ut, (5.58) ahol felhasználva (5.52)-et, az együtthatókat az alábbi módon lehet megkapni: φ x = D x (φ ξu x τu t ) + ξu xx + τu xt = D x φ u x D x ξ u t D x τ = φ x + (φ u ξ x )u x τ x u t ξ u u 2 x τ u u x u t. φ t = D t (φ ξu x τu t ) + ξu xt + τu tt = D t φ u x D t ξ u t D t τ = φ t ξ t u x + (φ u τ t )u t ξ u u x u t τ u u 2 t. Hasonló módon nyerjük a második prolongációt,amelynek alakja 2 (5.59) (5.60) pr (2) v = pr (1) v + φ xx uxx + φ (xt) uxt + φ (tt) utt. (5.61) Itt már csak egy együtthatófüggvényt írunk ki, mert a továbbiakban szükség lesz rá. φ xx =φ xx + (2φ xu ξ xx )u x τ xx u t + (φ uu 2ξ xu )u 2 x 2τ xu u x u t ξ uu u 3 x τ uu u 2 xu t + (φ u 2ξ x )u xx 2τ x u xt 3ξ u u x u xx 2τ u u x u xt. (5.62) 5.8. Feladat Tekintsük a hővezetés egyenletét egydimenziós rúdban és keressük meg a hővezetés egyenletének szimmetriacsoportját! A megoldandó egyenlet: u t = u xx, (5.63) ennek megfelelően a független változók száma p = 2, a keresett függvények száma q = 1, az egyenletben előforduló deriválás legmagasabb fokszáma n = 2. A csoport infinitezimális generátorát az alábbi alakban keressük: v = ξ(x, t, u) x + τ(x, t, u) t + φ(x, t, u) u. (5.64) 2 Itt felhasználtuk, hogy pr (2) pr (1) kizárólag a második deriváltakat tartalmazza. 112

114 5.1. táblázat. A hővezetés egyenletének szimmetriáihoz Derivált Együttható Összefüggés u x, u xt 0 = 2τ u (1) u xt 0 = 2τ x (2) u 2 xx τ u = τ u (3) u 2 x u xx 0 = τ uu (4) u x u xx ξ u = 2τ xu 3ξ u (5) u xx φ u τ t = τ xx + φ u 2ξ x (6) u 3 x 0 = ξ uu (7) u 2 x 0 = φ uu 2ξ xu (8) u x ξ t = 2φ xu ξ xx (9) 1 φ t = φ xx (10) A cél tehát a generátorban található együttható függvények meghatározása. A tétel szerint ehhez a másodrendű prolongációt kell meghatározni, amit az alábbi alakban írunk: pr (2) v = v + φ x ux + φ t ut + φ xx uxx + φ xt uxt + φ tt utt. (5.65) Ezt kell a megoldandó egyenletre alkalmazni és ügyelni kell arra, hogy a (5.49) feltétel teljesüljön. Ebből egyenleteket kapunk a generátorban szereplő függvényekre. Esetünkben: φ t = φ xx. (5.66) A következő lépésben a (5.62)-ban szereplő függvényeket ki kell fejezni a generátorokban szereplő függvényekkel, és azok deriváltjaival. Ebben a tétel van segítségünkre: segítségével a prolongációban szereplő függvényeket elő tudjuk állítani a generátorban szereplő függvényekből. A példa és a példa során kapott eredmények alapján φ t -t (5.60), φ xx -et pedig (5.62) adja meg, ezeket behelyettesítve (5.66)-be, az együtthatókat a két oldalon egyenlővé téve, az 5.1. táblázatban szereplő egyenleteket kapjuk. A 5.1. táblázat(1) és (2) képlete szerint τ = τ(t), (5) szerint ξ független u-tól, (6)-ból pedig τ t = 2ξ x, vagyis ξ(x, t) = 1/2τ t x + σ(t), ahol σ csak az időtől függ. (8) alapján φ lineáris u-ban, ezért φ(x, t, u) = β(x, t)u + α(x, t), ahol α és β szabadon választható függvények. Ugyanakkor (9) szerint ξ t = 2β x, vagyis, β legfeljebb másodfokú x-ben. Ennek megfelelően vegyük fel β-t az alábbi alakban: β = 1/(8τ u )x 2 1/2σ t x + ρ(t). Végezetül (10) megköveteli, hogy α és β kielégítse a megoldandó egyenletet. Mindezt összefoglalva, a (5.63) egyenlet legáltalánosabb szimmetriáját az alábbi alakba írhatjuk: ξ = c 1 + c 4 x + 2c 5 t + 4c 6 xt τ = c 2 + 2c 4 t + 4c 6 t 2 φc = ( c 3 c 5 x 2c 6 t c 6 x 2) u + α(x, t). (5.67) 113

115 5.2. táblázat. A (5.31) egyenlet szimmetriacsoportjának infinitezimális generátorainak kommutátárai v 1 v 2 v 3 v 4 v 5 v 6 v v v 1 v 3 2v 5 v αx v v 2 2v 1 4v 4 2v 3 v αt v v α v 4 v 1 2v v 5 2v 6 v α1 v 5 v 3 2v 1 0 v v α2 v 6 2v 5 2v 3 4v 4 0 2v v α3 v α v α v α v α v α1 v α2 v α3 0 Itt c 1,..., c 6 tetszőleges állandó és α(x, t) az (5.63) egyenlet tetszőleges megoldása. Az 5.1. táblázat egyenleteiben meghatározott együtthatófüggvényeket behelyettesítve az infinitezimális generátorok (5.50) kifejezésébe, azt találjuk, hogy a generátorok Lie-algebráját a következő vektorok feszítik ki: v 1 = x v 2 = t v 3 = u u v 4 = x x + 2t u (5.68) v 5 = 2t x xu u v 6 = 4tx x + 4t 2 t ( x 2 + 2t ) u u. A fentieken kívül található még a generátorok között egy végtelen dimenziós szubalgebra, amelynek elemeit a v α = α(x, t) u (5.69) határozza meg. Itt α(x, t) a (5.63) egyenlet tetszőleges megoldása. A generátorok kommutátorait a 5.2. táblázat mutatja. A táblázatban az alábbi jelölést használtuk: α 1 = xα x + 2tα t ; α 2 = 2tα x + xα; α 3 = 4txα x + 4t 2 α t + (x 2 + 2t)α. Minthogy az infinitezimális generátorok Lie-algebrát alkotnak, az α(x, t) megoldásból képzett α i (x, t), i = 1, 2, 3 valamint az α x, α t függvények is megoldások. Minden infinitezimális vektor generál egy egyparaméteres csoportot. A csoport hatását a fejezet szerint leírják az exp(εv i )(x, t, u) képpontok. Ezzel a változók transzformációja révén új megoldásokhoz jutunk. A 5.3 táblázat ezeket a transzformációkat összesíti. Amennyiben tehát f(x, t) kielégíti (5.31)-et, akkor a táblázat első sora szerint f(x + ε, t) is megoldás. Hasonló módon értelmezhető a többi csoport hatása is. Végül megjegyezzük, hogy a bemutatott technika nemlineáris egyenletekre is alkalmazható, így például a u t = u xx + u 2 x (5.70) 114

116 5.3. táblázat. A (5.31) egyenlet infinitezimális szimmetriái által generált csoportok csoport transzformáció G 1 (x + ε, t, u) G 2 (x, t + ε, u) G 3 (x, t, e ε u) G 4 (e ε x, e 2ε t, u) G 5 (x + 2εt, t, uexp( εx ( ε 2 t)) x G 6 (, t, u 1 4εtexp 1 4εt 1 4εt (x, t, u + εα(x, t)) G α εx 2 1 4εt ) ) egyenlet is vizsgálható Kvadratúrával megoldható differenciálegyenletek A Lie-csoport alkalmazásának egyik leglátványosabb területe a közönséges differenciálegyenletek integrálhatóságának vizsgálata. Mivel a közönséges differenciálegyenletekben csak egy független változó van, a továbbiakban az x i jelölést az x változó szerinti i-ik deriválás számára tartjuk fenn. Sophus Lie megfigyelte, hogy amennyiben ismerjük egy differenciálegyenlet szimmetriacsoportját, az lehetővé teszi a differenciálegyenlet integrálását. Tekintsük az alábbi egyváltozós, elsőrendű differenciálegyenletet: du dx = F (x, u). (5.71) Megmutatjuk, hogy amennyiben az egyenlet invariáns egy egyparaméteres transzformációcsoporttal szemben, akkor az egyenlet integrálható. Legyen a csoport generátora v = ξ(x, u) x + φ(x, u) u. v első prolongációja: Amint (5.52)-ből tudjuk, pr (1) v = ξ x + φ u + φ x ux. (5.72) φ x = D x φ u x D x ξ = φ x + (φ u ξ x )u x ξ u u 2 x. (5.73) A tétel szerint a (5.63) által generált csoport akkor lehet a (5.71) egyenlet szimmetriája, ha fennáll x φ + ( u φ x ξ) F u ξf 2 = ξ x F + φ u F, (5.74) 115

117 és a (5.71) egyenletnek bármely ξ(x, u), φ(x, u) megoldása generálja a (5.71) egyenlet egy egyparaméteres csoportját. Sajnos semmi sem garantálja, hogy a (5.74) egyenletet könnyebb lenne megoldani, mint az eredeti (5.51) egyenletet. Ha azonban sikerrel jártunk, az eredeti egyenletet integrálni tudjuk az alábbiak szerint. Vezessük be az y = η(x, u), w = ξ(x, u) (5.75) változókat. Könnyen ellenőrizhető, hogy az új koordinátákkal v = w továbbá pr (1) v = v. Az új változókkal felírt egyenlet akkor lesz invariáns a v által generált csoporttal szemben, ha a transzformált egyenlet nem függ w-től. Ezt kihasználva, az egyenlet alakja az új változókban dw = H(y), (5.76) dy amit lehet (szerencsés esetben zárt alakban) integrálni. Ide behelyettesítve az eredeti változókat, kapunk egy implicit egyenletet a megoldásra. A (5.75)-ben bevezetett transzformáció megkonstruálásában felhasználhatóak az invariánsok megkeresésére szolgáló módszerek, ezek részleteit az 5.5 fejezetben tárgyaljuk. Ehhez vizsgáljuk meg, a koordinátatranszformáció hatását a (5.25) prolongációra. Legyen y = ψ(x), ekkor a közvetett függvény differenciálási szabályai szerint (itt x, y ismét p komponensű vektor): v = p p ξ i (ψ 1 (y)) xi ψ j (ψ 1 (y)) y j. j=1 i=1 Mivel most az (x, u) változók helyett térünk át a (ξ, η) változókra, belátható, hogy a transzformált változók akkor veszik fel a kívánt alakot, ha v(η) = ξ x η + φ u η = 0 (5.77) v(ζ) = ξ x ζ + φ u ζ = 1. (5.78) Az első egyenlet pontosan azt a feltételt fejezi ki, hogy η(x, u) legyen invariánsa a v által generált csoportnak. Ebből az alábbi egyenletet kapjuk dx ξ(x, u) = du φ(x, u). (5.79) Nehezebb viszont a (5.78) egyenletet megoldani. Nem bonyolódunk további részletekbe, legyen annyi elegendő, hogy szerencsés kézzel kell a transzformációt megválasztani (ebben leginkább a tapasztalatot lehet segítségül hívni) ahhoz, hogy a transzformált feladat megoldása ténylegesen könnyebb legyen. A megoldás másik módja egy integráló osztó keresése. Ebben segít az alábbi tétel. 116

118 5.9. Tétel 8.3. Tétel. Tegyük fel, hogy a P dx + Qdu = 0 egyenletnek van egy egyparaméteres szimmetriacsoportja, amelynek generátora v = ξ x + φ u. Ekkor az kifejezés integráló tényező. R(x, u) = 1 ξ(x, u)p (x, u) + φ(x, u)q(x, u) (5.80) Ugyanakkor jegyezzük meg, hogy amennyiben ξp + φu 0, minden (x, u)-ra, akkor nem létezik integráló tényező. Sajnos, integráló tényező csak elsőrendű feladatokhoz létezik Feladat Megmutatható, hogy integráló osztó minden elsőrendű egyenlethez létezik. Legyen R(x, u) integráló tényező. Ekkor P dx + Qdu = 0 és a baloldal teljes differenciállá alakítható úgy, hogy R-rel szorzunk: és (RP )/ y = (RQ)/ x, amiből RP dx + RQdu = 0 (5.81) R y P + R P u = R Q x + Q R x (5.82) és P ln R ln R Q u x = Q x P u. (5.83) Ez egy parciális differenciálegyenlet az R integráló tényezőre. Ezen egyenletnek végtelen sok megoldása van, integráló tényező tehát mindig létezik. Ebből következik, hogy minden Q(x, u) du dx = P (x, u) (5.84) egyenlethez található egyparaméteres szimmetriacsoport. Ezt a csoportot a (5.49) egyenlet segítségével határozhatjuk meg. Vegyük azonban észre, hogy nem léptünk előre, hiszen egy elsőrendű differenciálegyenlet megoldását visszavezettük egy másik elsőrendű differenciálegyenlet megoldására Feladat Vizsgáljuk meg újra a P dx + Qdu = 0 egyenletet. Képezzük az M(x, u) = P (x, u)x + Q(x, u)u és N(x, u) = P (x, u)x Q(x, u)u függvényeket. Ha M(x, u) 0, akkor 1/N(x, u) integráló osztó, ha viszont N(x, u) 0, akkor 1/M(x, u) integráló osztó. Amennyiben az egyenlet homogén, 1/M(x, u) integráló osztó, ha még M = 0 is fennáll, akkor az egyenlet szeparálható is és y = Cx. Ha viszont N = 0, akkor xy = C. Magasabb rendű egyenletek esetében viszont ha ismerjük az egyenlet egyparaméteres szimmetriacsoportját, csökenteni lehet az egyenlet fokszámát eggyel. Vizsgáljuk az (x, u, u 1,..., u n ) = 0 (5.85) 117

119 n-edfokú közönséges differenciálegyenletet, ahol u i di u. Tegyük fel továbbá, hogy dx i (5.85) invariáns egy adott G csoporttal szemben. Vezessük be az alábbi új, transzformált koordinátákat y = η(x, u), w = ζ(x, u), oly módon, hogy G transzformálódjon egy olyan transzlációcsoportba, amelynek infinitezimális generátora v = / w. A láncszabály alkalmazásával u-nak x-szerinti deriváltjait helyettesíthetjük u-nak w-szerinti deriváltjaival, és w y-szerinti deriváltjával: ( d k dx = d k k y, w, dw ) dy,..., dk (5.86) dy k valamilyen d k függvényre. Ezen kifejezéssel pedig az eredeti (5.85) egyenlet az alábbi alakot ölti: (x, u, u 1,..., u n ) = 0. (5.87) Az új egyenlet szintén invariáns lesz a G csoporttal szemben, és az (y, w) változók szerinti prolongáció pr (n) v = lesz. Az egyenlet G-vel szembeni invarianciájából következik, w hogy a transzformált egyenlet w szerinti parciális deriváltja eltűnik (v.ö. (5.76) egyenlet). Ez viszont azt jelenti, hogy létezik olyan egyenlet, amely független w-től (de nem független w deriváltjaitól). Ezzel az egyenlet fokszámát csökkentettük eggyel Algoritmusok A Lie-csoportok alkalmazása jelentős lendületet kapott a kilencvenes években, miután Ovscsinnikov és Ibragimov munkáit kiadták angol nyelven is. Az angol nyelvű irodalomban elsősorban Olver munkái irányították rá a figyelmet erre a területre. A megújult figyelem egyik következménye egy sor algoritmus, amellyel a vizsgálat automatikusan elvégezhető. Arról van ugyanis szó, hogy a szimmetriaanalízis ugyan fogalmilag nehéz, ám az elvégzendő számítások meglehetősen egyszerűek. Röviden ismertejük az alkalmazott módszereket (W. Hereman munkája alapján). Ahogyan korábban megfogalmaztuk, itt egy egyenlet (algebrai vagy differenciálegyenlet) szimmetriáján egy egyszerű ponttranszformációt értünk, amely az X U tér diffeomorfizmusát jelenti. Ezt azért fontos hangsúlyozni, mert más értelemben is szokás egy (differenciál) egyenlet szimmetriáját említeni. Így nemlokális szimmetráról, dinamikus szimmetriáról, általánosított (Lie-Bäcklund) szimmetriáról is szokás beszélni. Ezekről a CRC Handbbok of Lie Group Analysis-ben talál információt az olvasó. A Lieszimmetriák meghatározása differenciálalgebrai módszerekkel történik. Az első lépés a Lie-szimmetriákat meghatározó egyenlet kiszámítása. Ebben két fő módszert alkalmaznak, vektorterek prolongációját vagy differenciális formákat. A harmadik módszer, a formális szimmetriák, két független változóra korlátozódik, itt nem foglalkozunk vele részletesebben (Ld. Mihailov, Sabat és Szokolov könyvét). 118

120 A Lie-szimmetriákat meghatározó egyenlet kiszámítása A megoldandó egyenletekből kell előállítani azt az egyenletet, amelynek a vizsgált egyenlet szimmetriái eleget tesznek. Ahogyan az 5. fejezetben láttuk, a Lie-csoport generátorát egy részhalmazon eltűnő függvény segítségével lehet megadni. Az egyenletnek polinom fokszámúnak kell lennie minden változóban. Vektorterek prolongációja Ezt az eljárást részleteiben ismertettük az 5. fejezetben. Az algoritmus öt lépésből áll. 1. Képezzük a (5.48) megoldandó egyenletrendszer v operátorait (5.50) szerint. Itt az x vektor komponenseinek száma p, a keresett u függvények száma pedig q. A prolongációt (5.49) szerint kell meghatározni. 2. Alkalmazzuk a prolongációt a megoldandó egyenletekre, így jutunk a (5.54) egyenletekhez. Ez az egyenletrendszer biztosítja, hogy minden v generátora lesz a megoldandó egyenlet szimmetriacsoportjának, mivel v megoldást megoldásba fog transzformálni. 3. Válasszuk ki az u (n) vektor l komponensét, legyenek a kiválasztott komponensek v (1),..., v (l). A kiválasztás az alábbiak szerint történik: Minden v i legyen egyenlő valamely u α deriváltjával. A derivált legyen legalább elsőrendű valamely x k változóban. Egyik v (i) se legyen egyenlő valamely v (j) (j i) deriváltjával. A fenti választás mellett a (5.48) egyenlet megoldható a v (i) -kre a maradék u β -k (ezeket w-vel jelöljük) segítségével. Így v(i) = S (i) (x, w). Ekkor a v (i) függvények D J deriváltjait (v.ö. (5.54)) ki lehet fejezni w-vel és deriváltjaival. Megjegyezzük, hogy ez megszorításokat ró a megoldandó egyenletekre. Ugyanakkor a 3. pontban említett v i változók kiválasztása gyakran triviális. Vegyük példaként az alábbi egyenletet: u α t (x 1,..., x p 1, t) = F α (x 1,..., x p 1, t, u (n) ). (5.88) ahol α = 1,..., l és u α -ból hiányzik a t változó szerinti derivált. Ekkor triviális választás a v α = uα t. 4. A v α = S α (x, w) egyenlet segítségével elimináljuk v α -t és deriváltjait (5.54)-ből. A kapott kifejezés polinomja lesz au u k J -knek. 5. A (5.48)-ban szereplő együtthatófüggvények meghatározása úgy történik, hogy a deriváltak együtthatóit nullával tesszük egyenlővé (5.54)-ben. 119

121 Az algoritmusban az x i, u α és u α J változókat függetlennek tekintjük. Végeredményként (5.54)-ből egy lineáris, homogén PDE-rendszert kapunk a v operátorban szereplő ξ i és φ i függvényekre. Ezt az egyenletet definíciós egyenletnek nevezzük, minthogy meghatározza a (5.48) egyenletrendszer szimmetriáit, ezáltal nyer konkrét értelmet a prolongáció. Differenciál formák Infinitezimális szimmetriák előállíthatóak a Cartan által kidolgozott differenciálkalkulus segítségével. A kérdés részletei iránt érdeklődő olvasónak Harrison és Estabrook cikkét ajánlom Az egyenlet kanonikus alakra hozása A Lie-csoport meghatározásához a csoportot meghatározó differenciálegyenletet meg kell oldani, azaz, integrálni kell. Ehhez először az egyenleteket egyszerű alakra (a kanonikus alakra) kell hozni. Itt normál, ortonóm, involútív és passzív formákról valamint Gröbnerbázisról lehet beszélni A Lie-csoport meghatározása A Lie-csoportot meghatározó egyenlet megoldására egy lineáris, homogén parciális differenciálegyenletrendszert kell megoldani Szimbolikus algoritmusok Számos algoritmus elérhető az interneten. Ezek többsége ismert szimbolikus nyelvekhez (MATHEMATICA, MAPLE, REDUCE) kapcsolódik. AZ alábbi táblázatban közöljük néhány program elérhetőségét. Kb algoritmus leírása található W. Hereman munkájában Feladat A SYMMGRP.MAX csomag segítségével Nucci meghatározta a magnetohidrodinamikai egyenletek szimmetricsoportját. Az alábbiakban a számítás eredményét közöljük. A vizsgált egyenletek: v + (v )ρ + ρ v = 0 (5.89) ( ) t v ρ t + (v )v + (p H2 ) (H )H = 0 (5.90) H t + (v )H (H )v = 0 (5.91) ( ) p + (v ) t ρ κ 120 H ) = 0 (5.92) = 0 (5.93) ( p ρ κ

122 5.4. táblázat. Programok egyenletek szimmetriájának meghatározására Program Nyelv Szerző DIFFGROB2 MAPLE E. Mansfield LIE REDUCE V. Eliseev CPC Program Library név: AABS Lie MATHEMATICA G. Baumann WOLFRAM MATH- SOURCE MathSym MATHEMATICA S. Herod colorado.edu NUSY REDUCE M. C. Nucci unipg.it symmgroup.c MATHEMATICA D. Bérubé & Montignval.ca ula- SYMMGRP.MAX MACSYMA W. Hereman colorado.edu SPDE REDUCE F. Schwartz Liesymm MAPLE J. Carminati et al. uwaterloo.ca ahol p a nyomás, ρ a sűrűség, κ a viszkozitás, v a közeg sebessége, H a mágneses térerő. Az első egyenlet segítségével az utolsó egyenletből kiküszöbölhető a sűrűség: p t + κp( v) + (v )p = 0. (5.94) Amennyiben a vektorok komponenseit is figyelembe vesszük, kilenc egyenletről van szó. A független változók az idő és a három helykoordináta: x, y és z. A függő változók a sebesség három komponense v x, v y és v z, a térerő három komponense H x, H y és H z, a sűrűség ρ és a nyomás p. Tekintsük a κ 0 esetet. A generátorokban 222 egyenlet határozza meg a generátorokban szereplő függvényeket. A generátor alakja: α = η x x + ηy y + ηz z + ηt t + ϕρ ρ + ϕp p (5.95) +ϕ vx + ϕ vy ϕ vz + ϕ Hx + ϕ Hy + ϕ Hz v x v y v z H x H y H z (5.96) A meghatározó egyenletek integrálása után az együttható függvényekre az alábbiakat kap- 121

123 juk: η x = k 2 + k 3 t k 8 y k 9 z + k 1 1x (5.97) η y = k 3 + k 6 t + k 8 x k10z + k 11 y (5.98) η z = k 4 + k 7 t + k 9 x k 10 z + k 11 z (5.99) η t = k 1 + k 12 t (5.100) ϕρ = 2(k 11 k 12 k 13 )ρ (5.101) ϕ p = 2k 13 p (5.102) ϕ vx = k 5 k 8 v y k 9 v z + (k 11 k 12 )v x (5.103) ϕ vy = k 6 + k 8 v x k 10 v z + (k 11 k 12 )v y (5.104) ϕ vz = k 7 + k 9 v x + k 10 v y + (k 11 k 12 v z (5.105) ϕ Hx = k 13 H x k 8 H y k 9 H z (5.106) ϕ Hy = k 13 H y + k 8 H x k 10 H z (5.107) ϕ Hz = k 13 H z + k 9 H x + k 10 H y. (5.108) Mivel a fenti függvényekben 13 állandó szerepel, a generátorok egy 1 dimenziós Liealgebrát feszítenek ki. Minden egyes dimenzióhoz rendelhető egy csoport, az alábbiak szerint: G 1 = t (5.109) G 2 = x (5.110) G 3 = y (5.111) G 4 = z (5.112) G 5 = t x + vx (5.113) G 6 = t y + vy (5.114) G 7 = t z + vz (5.115) G 8 = x y y x + v x vy v y vx + H x H y H y Hx (5.116) G 9 = y z z y + v y vx v z vy + H y H z H x Hy (5.117) G 10 = z x x z + v z vz v x vz + H z H z H x Hz (5.118) G 11 = x x + y y + z z 2ρ ρ + v x v x + v y vy + v z vz (5.119) G 12 = t t + 2ρ ρ (v x vx + v y vy + v z v z ) (5.120) G 13 = 2ρ ρ + 2ρ p + H x Hx + H y Hy + H z H z (5.121) G 2 -G 4 transzlációt írnak le, G 5 -G 7 a Gallilei-transzformációt írja le, G 8 -G 10 forgatásokat jelent, G 11 -G 13 dilatációkat ír le. 122

124 5.5. Szimmetriák és megmaradási tételek A fizikában általános érvényű megmaradási elvek érvényesek, ilyen pl. az energiamegmaradás elve. A mozgásegyenletek megoldása során ezeket a megmaradó mennyiségeket fel lehet használni, pl. a vizsgált test pályáját a test megmaradó mennyiségei alapján adott osztályba lehet sorolni. Emmy Noether a XX. század elején megmutatta, hogy a megmaradási törvények kapcsolatban állnak a mozgásegyenletekkel. A mozgásegyenleteknek az időbeli eltolások csoportjával szembeni invarianciája vezet az energiamegmaradáshoz. Ezzel sikerült kapcsolatot teremteni a vizsgált egyenlet szimmetriacsoportja és a megmaradó mennyiségek között. A Noether-tétel alkalmazhatóságához egy variációs formát kell a vizsgált problémához találni úgy, hogy a variációs probléma Euler Lagrange-egyenlete pontosan a vizsgált egyenlet legyen. Sajnos a vizsgált egyenlet nem minden szimmetriacsoportja vezet egy megmaradási tételhez. Csak azok a csoportokhoz tartozik megmaradó mennyiség, amelyek kielégítenek egy további variációs feltételt. Az alábbiakban először megfogalmazzuk a variációs feladatot, azután megadjuk, mit nevezünk megmaradási tételnek Variációs feladat Keressük az u = f(x) függvényt (u R q, v R p ), amely mellett az L[u] = L(x, u (n) )dx (5.122) Ω funkcionál szélsőértéket (minimumot vagy maximumot) vesz fel. Itt Ω R p tartomány, amelynek határa megfelelően sima. Az integrál alatt álló kifejezést az L funkcionál Lagrange-függvényének nevezik. L sima függvénye x-nek és u deriváltjainak. Az L funkcionál variációs deriváltjának nevezzük az alábbi, egyértelműen meghatározott q elemű vektort: δl[u] = (δ 1 L[u],..., δ q L[u]) (5.123) amely rendelkezik az d dε L[f + εη] = ε=0 Ω δl[f(x)]η(x)dx (5.124) tulajdonsággal minden u = f(x) sima, Ω-n értelmezett függvény esetén. η(x) = (η 1 (x),..., η q (x)) egy Ω-n értelmezett sima függvény, továbbá f + εη kielégíti a peremfeltételt, amely a szóba jövő függvénytér elemeire ki van róva. Így ε függvényeként L[f + εη]-nak szélsőértéke kell hogy legyen ε = 0-nál. 123

125 Az E α Euler-operátorok 1 α q-ra: E α = J Az u = f(x) függvény, amelyre teljesül kielégíti az Euler-Lagrange egyenleteket. Tekintsük egy ( D) J u α J. (5.125) δl[u] = 0 (5.126) E ν (L) = 0, ν = 1,..., q (5.127) (x, u (n) ) = 0 (5.128) alakú differenciálegyenlet-rendszert. Megmaradási törvénynek nevezzük a DivP = 0 (5.129) kifejezést, amely a differenciálegyenlet-rendszer minden u = f(x) megoldására eltűnik. Itt P = (P 1 (x, u (n) ),..., P p (x, u (n) )) egy p elemű vektor, amelynek elemei sima függvényei x-nek,u-nak és u deriváltjainak. Továbbá, DivP = D 1 P D p P p. (5.130) Ez a megmaradási törvény a közönséges differenciálegyenletek egy tulajdonságának kézenfekvő általánosítása a parciális differenciálegyenlet-rendszerekre. A fizikában gyakori dinamikai feladatokban az egyik változó az idő, a többi változó a helyváltozók összessége x = (x 1,..., x p ). A megmaradási törvény alakja ebben az esetben D t T + DivX = 0. (5.131) Itt T megmaradó sűrűségfüggvény, X = (X 1,..., X p ) pedig áram, melynek komponensei függvényei x, t és u-nak, valamint u deriváltjainak. Legyen Ω R p egy térbeli tartomány, u = f(x, t) egy megoldása a (5.128) egyenletnek, amely definiált minden x Ω és t [a, b]-re. Tekintsük az F Ω [f](t) = T (x, t, pr (n) f(x, t))dx (5.132) Ω funkcionált, amely adott f és Ω esetén csak t-től függ. Tegyük fel, hogy T megmaradó sűrűségfüggvény, X a megfelelő áram, amely a (5.128) rendszer megoldásából származtatható. Ekkor bármely korlátos Ω R p tartományra, amelynek Ω határa sima, és bármely u = f(x) megoldásra teljesül t F Ω [f](t) F Ω [f](a) = X(x, τ, pr (n) f(x, τ))dsdτ (5.133) a 124 Ω

126 Fordítva, amennyiben (5.133) teljesül minden fenti tartományra és u = f(x) megoldásra, akkor T és X meghatároz egy megmaradási törvényt Feladat Legyen a Lagrange-függvény L(x, u), vagyis p = q = 1, a független változó x, a függő változó u. Mivel (5.125)-ben csak α = 1 fordul elő, az indexet nem írjuk ki: E = ( D x ) j = u j u D x + D 2 2 x.... (5.134) u x u xx j=0 Itt D x = d/dx, u j = d j /dx j. Az Euler-Lagrange egyenlet: A E(L) = L u D L x + D 2 L x... (5.135) u x u xx Q α (x, u) = φ α p ξ i u α i, (5.136) kifejezésből felépített Q = (Q 1,..., Q q ) vektort a v vektormező (operátor) karakterisztikájának nevezzük. A karakterisztika segítségével a prolongációban (v.ö. (5.51)) szereplő φ J α függvény, és vele a prolongáció így írható: p φ J α = D J Q α + ξ i u α J,i (5.137) pr (n) v = i=1 q D J Q α α=1 J u α j + i=1 i=1 [ q ξ i x i q α=1 J u α J,i u α J ]. (5.138) Tétel (Noether tétele) Legyen adott az L[u] = L(x, u (n) dx (5.139) variációs feladat. Legyen a G egyparaméteres csoport infinitezimális generátora p v = ξ i (x, u) q x + φ i α (x, u) u, (5.140) α i=1 és legyen G a (5.139) feladat szimmetriacsoportja. Legyen továbbá a v-nek megfelelő karakterisztika (5.136), ahol u α i = u α / x i. Ekkor Q = (Q 1,..., Q q ) az Euler Lagrangeegyenlet karakterisztikája is, vagyis, létezik olyan P (x, u m ) = (P 1,..., P p ) vektor, amelyre α=1 DivP = QE(L) = ν=1 Q ν E ν (L) (5.141) egy megmaradási egyenlet karakterisztika formában, éspedig az E(L) = 0 Euler Lagrangeegyenlete. 125

127 A fentiek alapján megfogalmazható, mit nevezünk egy variációs feladat szimmetriacsoportjának. Legyen értelmezve a G lokális transzformációcsoport hatása az M Ω 0 U sokaságon. G-t az L[u] = L(x, u (n) )dx (5.142) Ω 0 funkcionál variációs szimmetriacsoportjának nevezzük, amelyben az Ω tartomány lezárása, Ω Ω 0, továbbá u = f(x) sima függvény, amely értelmezve van Ω-ban, görbéje pedig M-ben helyezkedik el. Továbbá, g G olyan, hogy ũ = f( x) = gf( x) egyértékű függvény, amely definiálva van Ω-ban, akkor L( x, pr (n) f( x))d x = L(x, pr (n) f(x))dx. (5.143) Ω Ω Egy megmaradási egyenlet karakterisztikáját a következő módon vezetjük be. Tekintsük a (x, u (n) ) = 0 (5.144) nem degenerált differenciálegyenlet-rendszert. Ezen egyenletrendszer minden u = (u 1,..., u q ) megoldásából képzett P = (P 1,..., P p ) függvény, amely függvénye x = (x 1,..., x p )-nek, u = (u 1,..., u q )-nak és u deriváltjainak, akkor és csak akkor tűnik el, ha léteznek olyan Q J ν (x, u (m) ) függvények, amelyekkel fennáll DivP = ν,j Q J ν D J ν (5.145) minden (x, u)-ra. Parciális integrálás után a fenti kifejezés átalakítható egy új R(x, u) függvényre és egy maradékra, azaz, DivP = DivR + l Q ν ν DivR + Q. (5.146) ν=1 A maradékban szereplő l elemű vektor komponensei: Q ν = J ( D) J Q J ν (5.147) és R = (R 1,..., R p ). Mivel DivP = 0 minden megoldásra, azt látjuk, hogy R lineáris függvénye a (5.144) differenciálegyenlet-rendszert alkotó egyenleteknek. Látjuk tehát, hogy DivP = 0 és Div(P R) = Q. (5.148) A (5.148) egyenletet nevezzük a (5.145) megmaradási törvény karakterisztikájának. 126

128 Amennyiben l = 1, a Q karakterisztika egyértelműen meghatározott. 1 < l q esetén a Q karakterisztika már nem egyértelműen meghatározott. Legyen például Div(P R) = Q (5.149) és Div(P R) = Q. (5.150) Ekkor Q = Q, de mivel a differenciálegyenlet-rendszer nem degenerált, ezért Q Q = 0 minden u megoldásra. (Emlékezzünk, P függ x-től és u-tól, továbbá u deriváltjaitól is.) Így valójában nem egyetlen megmaradási egyenletről, hanem egy ekvivalenciaosztályról van szó. 127

129 6. fejezet Kristályrácsok osztályozása 128

130 A fémes kristályok leírására sikerrel alkalmazzák az ú.n. szabadelektron modellt. Ennek lényege, hogy az elektromosan semleges kristály periodikus szerkezetében az atommaghoz tartozó elektronok két csoportra oszthatóak. Egy részük a maghoz kötődik, ezen elektronok kötött állapotban találhatóak a kristály valamely pozíciójában található atommag körül. A kötött energiájú állapotokat a Hamilton-operátor sajátértékeinek segítségével lehet azonosítani. A kötött elektron állapotát nagyrészt 1 a lokális viszonyok (mag-elektron kölcsönhatás) határozzák meg. Az elektronok egy része viszont nincs kötött állapotban, ezek az elektronok a rács egészében találhatóak elosztva. Tekintettel arra, hogy a rácshelyeken visszamaradó pozitív töltések összege megegyezik a szabad elektronok negatív töltésének összegével, jó közelítés a kristály viselkedését úgy leírni, mintha egyetlen elektron mozogna szabadon. Az elektron energiaszintjeinek meghatározásához a Hamilton-operátor sajátértékeit kell meghatározni: [ HΨ(r) = ] p 2 + V (r) Ψ(r) = EΨ(r). (6.1) i 2m e Amennyiben a rács periódikus, célszerű peremfeltételként a rács periodikusan ismétlődő egységének (az elemi cellának) felületén a periodicitást megkövetelni. Ezzel a fémek tárgyalását egy peremérték-probléma megoldására vezettük vissza. Az egyes rácsok elektonszerkezete eltérő, ennek megértéséhez az adott rácshoz tartozó szabad elektron energiáját (Fermi-energiát) kell meghatározni. Az egyes rácsok tulajdonságait a rácsot alkotó atomok vagy molekulák térbeli szerkezete illetve a rács geometriája szabja meg. Nem meglepő hát, hogy a leírásban nagy szerepet kap a rácsok geometriai szimmetriája A kristályok szerkezete A szilárdtest fizika kitüntetett tárgya egy végtelen, szabályos szerkezet. Ezt a szerkezetet kristálynak nevezik. Nem minden szilárd anyag periodikus, a nem periodikus szilárd anyagokat amorf anyagnak nevezik és kívül esnek a szilárdtest fizika tárgykörén. A szilárdtest fizika tehát szabályos szerkezetű kristályokat vizsgál. A 2 fejezetben megmutattuk, hogy egy V térfogat szimmetriái változatlanul hagyják a V térfogat egy pontját. Ezek a szimmetriák egy csoportot alkotnak, a csoportot pontcsoportnak nevezik. Magának a V térfogatnak a jellemzésére jól felhasználható V szimmetriacsoportja. A kristályok osztályozásának alapja szintén a végtelen rácsot önmagába transzformáló csoport. Tekintsük azt a csoportot, amely változatlanul hagyja a rács egy adott P pontját. Ez a csoport az alábbi transzformációkat tartalmazhatja: diszkrét szögű forgatások P -n átmenő tengely körül; 1 Az elektronállapotok pontos energiáját természetesen egy sokrészecske feladat megoldása adja. 129

131 egy P -n átmenő síkra vett tükrözések. A kristály a fentieken kívül tartalmazza ez eltolást, mint szimmetriát. Ez azt jelenti, hogy a kristályt azonos elemek ismétlődéséből felépülő struktúrának tekintjük, nincsenek benne egyedi helyek. Emiatt a hibákat is tartalmazó kristály vizsgálatával nem foglalkozunk A sík és a tér szimmetriái Az irányítástartó transzformációkat forgatásoknak nevezzük. Az alábbiakban a sík két, véges automorfizmus csoportjával foglalkozunk Tétel A sík véges forgáscsoportjai ciklikusak. Egy n-edrendű csoport egy adott pont körüli diszkrét, k2π/n szögű forgatásokból áll, ahol k = 0,..., n 1. A sík forgáscsoportjait C n -nel jelöljük, ez a szabályos n-szög szimmetriacsoportja. Amennyiben a C n csoportot kiegészítjük a szabályos n-szög szimmetriatengelyeire vett tükrözésekkel, a 2n elemű D n diadikus csoportot kapjuk. A két elemű D 1 csoportot egyetlen tükrözés generálja, a négy elemű D 2 csoportot pedig az x és y tengelyre való tükrözések generálják. A háromdimenziós térben a véges forgáscsoportok a szabályos poliéderekhez kötődnek. Legyen P egy korlátos, konvex poliéder a háromdimenziós térben. P zászlójának hívjuk az F = {P 0,, P 1, P 2 } halmazt, ha P i P -nek i dimenziós lapja. (P 0 a poliéder csúcsainak halmaza, P 1 az élek halmaza, P 2 a lapok halmaza.) A P poliéder szabályos, ha a P -t változatlanul hagyó forgatások G P csoportja tranzitív P összes zászlóinak halmazán. Ekkor G P rendje P csúcsainak száma szorozva az egy csúcsban összefutó élek számával. A szabályos poliédereket platóni testeknek nevezik, ezek: tetraéder (forgáscsoportja T ), kocka, oktaéder (forgáscsoportja N), dodekaéder és ikozaéder (forgáscsoportja Y ). Minden szabályos poliéderhez hozzátartozik a duálisa, a duális csúcsai a poliéder lapközéppontjai. A poliéder és duálisának azonos a forgáscsoportja. Az oktaéder duálisa a kocka, a tetraéder duálisa saját maga, az ikozaéder duálisa a dodekaéder. A fentiek alapján meghatározható az említett csoportok rendje: T = 12, O = 24, Y = Tétel A három-dimenziós tér forgáscsoportjának véges részcsoportjai a következők: a ciklikus és a diédercsoportok, valamint a tetraéder, az oktaéder és az ikozaéder forgáscsoportja. Ha tehát G a három-dimenziós tér forgáscsoportjának egy részcsoportja, akkor G vagy ciklikus, vagy létezik olyan P poliéder, amelyre G = G P. Mivel azokat a poliédereket tekintjük azonos típusúaknak, amelyek nagyításokkal, forgatásokkal egymásba vihetőek, ezért az ilyen poliédereknek megfelelő részcsoportok konjugált részcsoportjai a tér forgáscsoportjának. 130

132 A tér szimmetriáinak vizsgálatában használni fogjuk a Z kételemű inverziós csoportot, amelynek elemei az egységtranszformáció és egy adott középpontra (ez általában egy tetszőlegesen kiválasztott rácspont) vett tükrözés Tétel A három-dimenziós tér ortogonális transzformációinak nem csak forgatásokból álló véges részcsoportjai a következők:. C n Z, D n Z, T Z, O Z, Y Z, C 2n, C n, D 2n, D n, C n, OT 6.4. Tétel R n minden diszkrét részcsoportja izomorf Z n -nel. Minden ilyen részcsoport n darab lineárisan független vektor, a 1,..., a n összes egész együtthatós lineáris kombinációiból áll. Az ilyen csoportokat rácsoknak nevezzük. A i p ia i tartomány 0 p i 1 esetén a rácsnak fundamentális tartománya. Ez a tartomány az a i vektorok által kifeszített paralellepipedon. Az n = 2 esetben az R 2 sík egy C komplex síknak tekinthető, amelynek z pontját az (x, y) koordinátákból z = x+iy relációval kapjuk. Ha G egy C-beli rács, akkor a G\C faktortér rendelkezik C struktúrájával. A faktortéren értelmezett meromorf komplex függvények invariánsak a z z + g, g G eltolásokkal szemben. Ezek elliptikus függvények, ld fejezet Tétel Legyen G egy kristálycsoport, azaz, a kristályrács automorfizmusainak egy csoportja. G-ben az eltolások T -vel jelölt részcsoportja véges indexű normálosztó,melyre T \R n (itt n = 2, 3) kompakt. Ezzel a kristályokat osztályoztuk tisztán matematikai szempontok alapján. A fenti tétel szerint minden kristályban létezik egy elemi cella, amelynek pontjai összefüggő tartományt alkotnak. Az elemei cella pályája a rács szimmetriái alatt lefedi az egész kistályt. Az a i rácsvektorok segítségével definiáljuk a reciprokrácsot, a következő módon. Feszítsék ki a recirpokrácsot a b i vektorok, amelyekre teljesüljön: a i b j = { 2π ha i = j 0 egyébként (6.2) A b = i p ib i (p i egész) vektorok egy rácsot feszítenek ki, a reciprokrácsot. A br = állandó egyenlet (itt b állandó vektor) a b vektorra merőleges síkot ír le, a sík távolsága az origótól állandó b. Azon r = i n ia i pontok halmaza, amelyek rajta vannak az említett síkon, kielégítik a i n ip i = állandó egyenletet. A fentiek szerint minden reciprorácsvektornak megfelel a kristály párhuzamos síkjainak egy halmaza. A fenti egyenletben p i -k választhatóak relatív prímeknek. A p i -ket az adott sík Miller-indexének nevezzük. 131

133 Az eltolásokkal szembeni invariancia miatt a végtelen rács előállítható egyetlen egységből eltolásokkal. A rács invariáns minden t = i n i a i (6.3) transzlációval szemben, ahol a i a legrövidebb, nem zérus transzláció, amellyel szemben a rács invariáns. A rács invariáns továbbá bizonyos forgatásokkal és tükrözésekkel szemben. A forgatások és tükrözések leírására a 2.2. fejezetben láttunk példát, az eltolások és forgatások együttes alkalmazására pedig a 4.1. fejezetben. Az alábbiakban a kristályrácsokat fizikai szempontok alapján osztályozzuk. Válasszunk ki egy rácspontot, ebből kiindulva mérjük fel az a i vektorokat. Az így kapott paralellepipedont elemi cellának nevezzük. Az egymásba párhuzamos eltolással átvihető rácspontok összessége alkotja a Bravais-rácsot. Térben 14 Bravais-rács lehetséges, ezeket a ábra mutatja. Általában a Bravais-rács nem tartalmazza a rács minden pontját. Általában egy kristályrács több, egymásba tolt Bravais-rácsból épül fel. Megfigyelések szerint a kristály egy sor jelenségben homogén, folytonos testként viselkedik. A kristály makroszkopikus tulajdonságai (szilárdság, törésmutató) csak az iránytól függenek. A szimmetria miatt a kristályban létezhetnek ekvivalens irányok. Az ekvivalens irányok mentén a kristály makroszkopikus tulajdonságai azonosak. Mivel az eltolás nem hoz létre ekvivalens irányokat, az irányok szimmetriáját a kristályban a szimmetriatengelyek és síkok határozzák meg úgy, hogy a csavartengelyeket és csúszósíkokat egyszerű tengelyeknek és síkoknak tekintjük. Ezen szimmetriaelemek összességét kristályosztálynak nevezzük. Megmutatjuk, hogy az eltolással szembeni invariancia csak meghatározott forgatásokat enged meg, mint szimmetriát. Tekintsük a kristály egymástól a rácstávolságnyira lévő A és B pontjait. Ha A-n átmegy egy n-fogású tengely, akkor az a eltolással szembeni invariancia miatt, a B ponton is átmegy egy n-fogású tengely. Legyen B elforgatott képe B, A elforgatott képe pedig A. Szintén az eltolással szembeni invariancia miatt, az A B távolság a egészszámú többszöröse lesz, legyen A B = pa, ahol p egész. Ezzel a + 2asin(φ π/2) = a 2acosφ = ap, (6.4) amiből cosφ = 1 p. Ebből adódik: p = 1, 2, 3. Mivel a kristály hézagmentesen kitölti a 2 teret, φ = 2π/n, ahol n egész szám. Ebből közvetlenül kapjuk a lehetséges forgatások értékét: n = 2, 3, 4, 6 (ld ábra). Pontcsoportnak nevezzük a rács szimmetriáinak olyan csoportját, amelyek a rács egy adott P pontját változatlanul hagyják. Itt megjegyezzük, hogy a kristályszerkezet szimmetriája két lépésben állapítható meg. Először is a periodikus rács (ezt nevezik térrácsnak) szimmetriáját kell meghatározni, azután pedig a rács egy adott pontjában található atomcsoport szimmetriáját. A fentiek alapján felsorolhatjuk a kétdimenziós kristályok pontcsoportjait: 132

134 1: csak az egységelemből áll a szimmetriacsoport, a rács szabálytalan; 2: a rács minden pontja egy kétfogású tengely; 1m: a rács minden pontján átmegy egy szimmetriasík; 2mm: a rács minden pontján átmegy egy kétfogású tengely és két, egymásra merőleges szimmetriasík; 4: a rács minden pontja egy négyfogású tengely; 4mm: a rács minden pontján átmegy egy négyfogású tengely és két, egymásra merőleges szimmetriasík; 3: a rács minden pontja egy háromfogású tengely; 3m: a rács minden pontján átmegy egy háromfogású tengely és egy szimmetriasík; 6: a rács minden pontja egy hatfogású tengely; 6mm: a rács minden pontján átmegy egy hatfogású tengely és két, egymásra merőleges szimmetriasík. A pontcsoportokat két osztályba sorolják: szimmorf csoportok, ezek szimmetriái t p alakúak, ahol t rácsvektor, p pedig a Bravais-rács pontcsoportjának eleme. Szimmorf szimmetriacsoporttal rendelkező kristályban nincs csavartengely vagy csúszósík. nemszimmorf csoportok, amelyek v p alakúak, itt v = t/p, p egész szám. Nem szimmorf szimmetriacsoporttal csak olyan kristály rendelkezhet, amelyet legalább két, egymásba tolt Bravais-rács alkot. Vizsgáljuk meg, hogyan elégíthető ki a tükrözési szimmetria egy adott síkban. Legyen a két koordináta tengely irányú egységvektor i és j. Bármely két rácspontot összekötő vektort rácsvektornak nevezünk. Legyen a = a x i + a y j, és b = b x i + b y j. A tükrözött vektorok a = a x i a y j, és b = b x i + b y j. a és b akkor lesz rácsvektor, ha a = a i és b = b j, vagyis, a két vektor a koordináta tengelyek irányába mutat. Van azonban egy másik lehetőség is: b = a b, azaz, b x = a x b x = b x és b y = a y b y = b y. Ez utóbbi két egyenletből a y = 0, a x = 2b x, azaz, a primitív transzlációs vektorok másik lehetséges választása: a = a i, b = 1 a i + b 2 yj. Ez a választás centrált rácsot szolgáltat, az első választás esetén a rács olyan cella ismétélésvel építhető fel, amelyben csak a csúcspontokban található a rácsot alkotó atomcsoport. Ez utóbbit primitív cellának nevezzük. 133

135 Az alábbiakban sorravesszük azokat a szimmetriatranszformációkat, amelyekből egy kristályrács szimmetriacsoportja felépíthető. Már láttuk, hogy a szimmetricsoport faktorcsoportja az eltolások csoportja, ennek indexe minden esetben véges. A faktorcsoport leválasztása után kapott szimmetriák pontcsoportot alkotnak. A pontcsoportok osztályozásában fontos szerepet kapnak ezek a szimmetriák. Figyelemre méltó, hogy hasonló módon vizsgálható egy sok atomos molekula szimmetriája is, amely fontos szerepet játszik a gerjesztési energiák és a színkép leírásában. Egy kristályrács pontcsoportja az alábbi alkotóelemekből állhat: forgástengely: Ha a rács önmagára leképezhető valamilyen tengely körüli 360 o /n szögű forgatással, akkor ezt a tengelyt n-edrendű szimmetriatengelynek nevezzük. Általában n tetszőleges egész értéket felvehet, ám egy rács esetében csak n = 1, 2, 3, 4 és 6 megengedett. Ezeket a tengelyeket digir, trigir, tetragir és hexagirnek szokták nevezni. A tengely szokásos jelölése C n. A forgatások egy ciklikus csoportot alkotnak. Ha adott két tengely, amelyek egy pontban metszik egymást, a két tengely körüli forgatás szorzata egy harmadik, ugyanazon a ponton átmenő tengely körüli forgatás. tükörsík: Amennyiben a kristályt önmagára képezi le egy rácsponton átmenő síkra vett tükrözés, akkor azt mondjuk, a kristály rendelkezik tükörsíkkal vagy szimmetriasíkkal. A síkra vett tükrözést σ-val szokás jelölni. Amennyiben több szimmetriasík is van, azokat egy alkalmas indexszel különböztetjük meg. A v index egy adott tengelyen átmenő (függőleges) síkra, a h index pedig egy, a tengelyre merőleges (vízszintes) síkra utal. A tükrözés ismételt alkalmazása az egységtranszformációt adja, ezért minden tükrözés generál egy kételemű csoportot. Két, egymást metsző síkra vett tükrözés szorzata egy forgatással egyenlő. A forgatás tengelye a két sík közös metszésvonala, a forgatás szöge pedig a síkok által bezárt szög kétszerese. szimmetria-középpont: Egy 180 o -os elforgatás és a forgástengelyre merőleges síkra vett tükrözés középpontos tükrözést (inverziót) alkot. A középpontos tükrözés műveletét I-vel jelöljük. Jelölje σ h az inverzióban szereplő tükrözést, ekkor I = C 2 σ h, és mivel C 2 I = σ h és Iσ h = C 2, a másodrendű tengely, a rá merőleges tengely és ezek metszéspontjában álló szimmetriaközéppont nem függetlenek, ha közülük kettő létezik, a harmadik léte már következik. inverziós forgástengely: Ha a kristály leképezhető önmagára egyidejű /n szögű forgatással és inverzióval, akkor létezik inverziós forgástengely. Egy-, két-, három-, négy- és hatfogású inverziós forgástengely létezik. forgástengely, rá merőleges tükörsíkkal: Ekkor a kristály leképezhető önmagára egyidejű /n szögű forgatással és a forgástengelyre merőleges σ h tükrözésel. E szimmetria jele S n, n értéke csak 2, 3, 4 és 6 lehet. Nyilván S n = σ h C n = C n σ h. 134

136 Megjegyezzük, hogy S2m+1 2 = C2m+1, 2 azaz tiszta forgatás, általában S2m+1 = C2m+1 és S2m+1 = σ h. Amennyiben S n -ben szereplő n páros, egyidejűleg létezik C n/2 szimmetria (forgástengely) is. Továbbá, S 2 = I. A felsorolt egyszerű szimmetriákból összetett szimmetriákat hozhatunk létre. Az összetett szimmetriák eltolások, forgatások és tükrözések kombinációi. forgástengely, rá merőleges (egy vagy több) kétfogású tengellyel: ha egy n-edrendű tengelyhez hozzáveszünk egy rá merőleges másodrendű tengelyt, ez további n 1 másodrendű tengely megjelenését eredményezi, összesen tehát az n-edrendű tengelyre merőlegesen n másodrendű tengely jelenik meg. Az így megjelenő másodrendű tengelyeket jelölésben is megkülönböztetjük az U 2 jelöléssel. csavartengely: egy forgatás és a forgástengely mentén történő eltolás. A rácsnak akkor van n-edrendű csavartengelye, ha egy adott tengely körüli 360 o /n szögű forgatással és ugyanazon tengely mentén valamely d eltolással önmagába vihető át. Ha van n-edrendű csavartengely, a forgatás és az eltolás n-szeri ismétlésével a rács önmagára leképezhető, ezért d = p/na, ahol p egész, a pedig a rács legkisebb periódusa a csavartengely mentén. csúszósík vagy tükörsík: ha a tükrözést kombináljuk egy, a tükrözés síkjába eső d eltolással, új szimmetriaelemet, csúszósíkot vagy tükörsíkot kapunk. Nyilván d = a/2. Egy rács szimmetriacsoportja a Bravais-rácsok szimmetriájának részcsoportja, ugyanis a rács szimmetriái a Bravais-rácsot is és a rácsot alkotó atomcsoportot is önmagára képezi le. Amennyiben a rács szimmetriája megegyezik a Bravais-rács szimmetriájával, akkor a rácsot holoéderesnek nevezik. A Bravais-rácsokat forgatásokra és tükrözésekre vonatkozó szimmetriái alapján kristályrendszerekbe sorolják. Három dimenzióban hét kristályrendszer van. Ha a párhuzamos eltolásokon kívül a szimmetriaközéppont a Bravais-rács egyetlen szimmetriája, akkor a kristályrendszerek: 1. triklin. A legalacsonyabb szimmetriával rendelkezik, szimmetriacsoportjai C 1, C i. A triklin rendszernek megfelelő Bravais-rács elemi cllája olyan paralellepipedon, amelyben az élek hosszúsága eltérő, a közöttük lévő szögek is különbözőek. A kristályrendszer neve abból származik, hogy a három kristálytengely más-más szöget zár be (háromhajlású). 2. monoklin. Szimmetriacsoportjai a C s, C 2, C 2h. A Bravai-rács elemi cellája egy tetszőleges alapú egyenes hasáb. A Bravai-rácsnak két változata is létezik, az egyszerű Bravai-rácsban a rácspontok a hasáb csúcsaiban helyezkednek el. A második változat az alaplap-centrált rács, amelyben a csúcsokon kívül az oldallapok középpontjaiban is vannak rácspontok. 135

137 3. rombos vagy ortogonális. A C 2v, D 2, D 2h pontcsoportoknak felel meg. A Bravaisrács elemi cellája egy tetszőleges élhosszúságú derékszögű hasáb. A rombos kristályrendszerhez négy Bravais-rács tartozik. Az egyszerű rácsban a rácspontok a hasáb csúcsaiban helyezkednek el, az alaplap-centrált rácsban a hasáb két szemközti oldalának középpontjában, a tércentrált rácsban a csúcsokban és a hasáb középpontjában is vannak rácspontok; a lapcentrált rácsban pedig minden lap középpontja is rácspont. 4. tetragonális vagy négyzetes. A S 4, D 2d, C 4, C 4h, C 4v, D 4, D 4h pontcsoportoknak felel meg. A Bravais-rács elemi cellája egy derékszögű négyzetes hasáb. Két változata létezik, az egyszerű és a tércentrált cella. 5. romboéderes vagy trigonális. A C 3, S 6, C 3v, D 3, D 3d pontcsoportoknak felel meg. A Bravais-rács elemi cellája egy egyenlő oldalú romboéder. Csak egy változata létezik, az egyszerű cella. 6. hexagonális. A C 3h, D 3h, C 6, C 6h, C 6v, D 6, D 6h pontcsoportoknak felel meg. A Bravaisrács elemi cellája egy hatszög alapú egyenes hasáb. Csak egy változata létezik, a rácspontok a hasáb csúcsaiban és a hatszögű alaplapok középpontjaiban helyezkednek el. 7. köbös. A T, T h, T d, O, O h pontcsoportoknak felel meg. A Bravais-rács elemi cellája egy kocka. Három Bravai-rács tartozik hozzá, az egyszerű, a lapcentrált és a tércentrált rács. A ábrán bemutatunk egy tércsoportot két dimenzióban. A rácspontokat fekete körök, a kétfogású tengelyeket fekete ellipszisek jelölik. A rács elemi celláját az a, b vektorok feszítik ki. A cella belsejében két rácspont található. Általában egy rácsban több elemi cellát is kijelölhetünk. A rajzon feltüntettük az a, b vektorok által kifeszített elemi cellát is. Ebben a cellában egy rácspont található a cella belsejében, két rácspont a cella határán. Az v = a/2 vektor a belső pozícióra mutató vektor. Az üres ellipszisek az alábbi szimmetriát jelölik: kétfogású tengely + eltolás v-vel. A C 2 jelölés kétfogású tengelyt jelent, a σ y, σ 1, σ 2, σ 3 és σ 4 szimmetriasíkokat jelölnek. A számmal jelölt pozíciókon követhető a szimmetria hatása, pl. σ 2 változatlanul hagyja a 4-es pontot, és egymásba transzformálja a 2 és 6 pontokat. A rajzon csavartengelyek is találhatóak, ezeket g 1, g 2, g 3, g 4 és g 5 jelöli, pl. g 5 kicseréli a 4 és 7 pontokat. Belátható, hogy g 2 = vc 2. Az olvasóra bízzuk annak belátását, hogy a rács minden szimmetriája előállítható az E, C 2, vσ x, σ y szimmetriák alkalmas szorzataként. A 2. fejezetben láttuk, hogy egy csoport jellemzésében fontos eszköz a karaktertábla. Azonban olyan csoportok vizsgálatánál, amelyeknek rendje nagy, az irreducibilis ábrázolások, a csoportkarakterek meghatározása körülményes. A kristályok vizsgálatánál találkozunk a transzlációcsoporttal, amelynek végtelen sok eleme van. Célszerű olyan módszert keresni, amely akár végtelen rendű csoportokban is alkalmazható. Első lépésként 136

138 vizsgáljuk meg egyetlen a elem által generált G csoport karaktertábláját! Amennyiben a csoport rendje véges, van olyan n, amelyre a n = e. Ebből következik, hogy amennyiben λ az a csoportelem karaktere, akkor λ n = 1, vagyis, a csoportelemek karakterei egységgyökök. A szóban forgó csoport Ábel-csoport, ezért minden elem egy osztályt képvisel. Legyen ε = e 2πi/n, akkor a karaktertábla j-ik sorában ε r, r = 1, 2,..., áll. Ha n páros, az m = n/2 és az m = n/2 sorok azonosak, a karaktertáblának m + 1 különböző sora van. Ha pedig n = 2m + 1, akkor G karaktertáblájának n különböző sora van. Ezzel a gondolatmenettel meghatároztuk a ciklikus csoportok karaktertáblájának szerkezetét. Tegyük fel, hogy az n-edrendű a elemen kívül G-nek van egy p-edrendű b eleme is, és ab = ba. Ekkor létezik közös bázis, b hatványainak p különböző sajátértéke van. Az irreducibilis ábrázolásokat a és b sajátértékei szerint csoportosíthatjuk, így np irreducibilis ábrázolás lehetséges, más szóval, G karaktertáblájának np sora van. Ezzel ismét megkaptuk G karaktertábláját. Tegyük fel, hogy az n-edrendű a elemen kívül G-nek van egy p-edrendű b eleme is, és ab ba. Ekkor némi számolás után, belátható a következő állítás Tétel Tegyük fel, hogy a G csoportnak csak n-edrendű ciklikus részcsoportja van, amelyet az a elem generál. Tegyük fel, hogy létezik G-ben egy b elem, amely nem kommutál a-val. Ekkor ha v az a elemet ábrázoló A mátrix sajátvektora λ sajátértékkel, akkor A-nak a Bv vektor is sajátvektora λ 1 sajátértékkel. λ ±1 esetén a v és Bv vektorok a csoport egy kétdimenziós ábrázolását feszítik ki. Amint a. fejezetben láttuk, a sík automorfizmusainak csoportja egy eltolásokat és forgatásokat tartalmazó Lie-csoport. A kristályrácsok egy-egy elemi térfogat (az elemi cella) ismétlésével töltik ki a végtelen síkot (két dimenzióban), illetve a teret. A kristályrács tehát végtelen, automorfizmusai attól függenek, milyen alakú az elemi cella. A kristályrácsok osztályozása az automorfizmus csoportok alapján lehetséges. Az automorfizmus csoport elemeit a 7. fejezetben már tárgyaltuk, a háromdimenziós rácsok tárgyalása ennek analogonja. Az r vektor transzformációját egy p forgatás és egy t rácsvektorral való eltolás írja le, ezt (p t)-vel fogjuk jelölni. Könnyen belátható, hogy a transzformációk szorzási szabálya: (p t )(p t) = (p p p t + t ). Az inverz elem: (p t) 1 = (p 1 p 1 t). A tiszta eltolásnak az (E t) elem felel meg, itt E a pontcsoport egységeleme, t pedig rácsvektor. Szimmorf csoportokban a tiszta forgatásoknak (p 0) elemek felelnek meg, nemszimmorf csoportokban viszont (p τ), ahol τ a rácsvektornak az a része, amely a csavartengely, vagy a csúszósík eltolásának felel meg. Az egy ponthoz tartozó forgatások és tükrözések részcsoportot alkotnak, ez a részcsoport határozza meg a kristály szimmetriáját. Soroljuk a tércsoport elemeit mellékosztályokba, úgy, hogy egy mellékosztályba egy forgatás és az összes lehetséges eltolás szorzatai kerülnek. Ezen elemek általános alakja (p τ + t), ahol p és τ adottak. Ezek az elemek csoportot alkotnak az ismételt alkalmazás műveletére (tehát a tércsoport műveletére) nézve, az így kapott halmaz tehát a tércsoport faktorcsoportja. 137

139 1. A sík véges forgatáscsoportjai ciklikusak; minden ilyen n-edrendű csoport egy adott pont körül 2kπ/n szögű forgatásokból áll, ahol k = 0, 1,..., n 1. A fenti csoportokat C n -nel jelöljük, ami éppen az irányított oldalú szabályos n-szög szimmetriacsoportja. 2. A sík ortogonális transzformációinak tükrözéseket is tartalmazó véges csoportjai a szabályos n-szögek szimmetriacsoportja; egy ilyen csoportot D n -nel jelölünk, elemszáma 2n, az elemek a C n elemei és a szabályos n-szög n darab szimmetriatengelyére vett tükrözések. Némiképp kivételt jelentenek az n=1 és n=2 esetek, a kételemű D 1 csoportot egyetlen tükrözés generálja, a négyelemű D 2 csoportot pedig az x- és y-tengelyekre való tükrözés. 3. A valós számok R testének diszkrét megfelelője az egész számok Z gyűrűje, az R n vektortérnek a Z n modulus 2, a GL(n, R)-nek pedig GL(n,Z)felel meg. A kritályok szimmetriái tehát ezen csoportok véges részcsoportjai. Tekintsük Z n -et az n-dimenziós R n tér bizonyos vektoraiból álló csoportnak. Az ilyen csoportot rácsnak nevezzük. GL(n, Z) számunkra érdekes részcsoportjai a rácsot megtartó lineáris transzformációk G csoportja. Minden G-hez létezik egy metrika, azaz egy olyan pozitív definit kvadratikus alak R n -en, hogy f(gx) = f(x) minden g G-re. A kvadratikus alak R n -et euklideszi térré teszi, a feladat tehát, az euklideszi tér rácsait önmagába leképező véges ortogonális transzformációk meghatározása. A nemtriviális szimmetriával bíró rácsokat Bravais-rácsoknak nevezzük, szimmetriatranszformációból állóakat pedig Bravais-csoportoknak. 4. Vizsgáljuk meg először a síkbeli rácsokat, első lépésként határozzuk meg azokat az ortogonális transzformációkból álló véges csoportokat, amelyek megtartanak egy rácsot. Ezeket a csoportokat kristályosztályoknak nevezzük. Ehhez csak a 2.-ben felsorolt csoportokból kell kiválasztani azokat, amelyek kompatibilisek az eltolásokkal is. Elemi számítással megmutatható, hogy egy síkbeli rácsot csak akkor vihet önmagába egyik pontja körüli elforgatás, ha az elforgatás szöge 0, π, 2π/3, π/2 vagy π/3. Ennek megfelelően, kétdimenziós kristályosztályból 10 van: C 1, C 2, C 3, C 4, C 6, D 1, D 2, D 3, D 4 és D 6. A megfelelő elemi cellák: az általános parallelogramma (jelölése: ált, általános téglalap, jelölése: tégl, általános rombusz, jelölése: romb, négyzet jelölése: négy, és (két szabályos háromszögre) osztott parallelogramma, jelölése: hat. 5. A 4. pontbeli osztályozás még nem teljes. Azt is meg kell mutatni, hogy egymással nem ekvivalens szimmetriacsoportok tartoznak-e azonos kristályosztályhoz. Más 2 A modulus egy algebrai struktúra, ami annyiban tér el a vektortértől, hogy elemeit egy gyűrűből vett elemekkel lehet szorozni (szemben a vektortérrel, amelynek elemeit egy testből vett elemmel lehet szorozni). 138

140 6.1. táblázat. Háromdimenziók kristályosztályok A kristály rendszer Kristályosztály Triklin C 1 Z Monoklin C 2 Z, C 2, C 2 C 1 Ortorombikus D 2 Z, D 2, D 2 C 2 Trigonális D 3 Z, D 3, D 3 C 3, C 3 Z, C 3 Tetragonális D 4 Z, D 4 C 4, D 4 D 2, C 4 Z, C 4 C 2, C 4 Hexagonális D 6 Z, D 6, D 6, C 6, D 6 C 3, C 6 Z, C 6, C 6 C 3 Kocka O Z, O, T, OT, T Z szóval, létezhetnek olyan részcsoportok GL(2, Z)-ben, amelyek konjugáltak az ortogonális transzformációk csoportjában, de nem konjugáltak GL(2, Z)-ben. Ilyen pl. az alábbi két, egy-egy mátrix által generált csoport: G 1 = ( ), G 2 = ( ). (6.5) A síkbeli rácsok 13 ekvivalenciaosztályba tartoznak: C 1 (Γ alt ), C 2 (Γ alt ), C 4 (Γ negy ), C 3 (Γ hat ), C 6 (Γ hat ), D 1 (Γ romb ), D 1 (Γ tegl ), D 2 (Γ tegl ), D 2 (Γ romb ), D 4 (Γ negy ), D 3 Γhat, D 3 ( Γ hat ), D 6 (Γ hat ). A zárójelben annak a rácsnak a típusát tüntettük fel, amelynek az illető csoport szimmetriacsoportja. 6. Háromdimenziós kristályosztályból 32 van, ld. a 6.1 táblázatot. A 6.1 táblázatban direkt szorzatot jelöl 3, Z = {e, e } középpontos tükrözés, T -tetraédercsoport (pl. ilyen szimmetriával rendelkezik a metán: CH 4 ), O-oktaédercsoport (pl. ilyen szimmetriával rendelkezik az uránium-hexafluorid: UF 6 ) Véges csoportok osztályozása Pontcsoportok osztályozása A lehetséges pontcsoportok száma 14, ezeket röviden ismertetjük az alábbiakban. Pontosabban csoportok családjairól van szó, hiszen a csoport jelölésében gyakran szerepel egy n index, amely több értéket is felvehet. 1. A C n csoport. A csoport generátora egy n-edrendű szimmetriatengely, minden elem egy osztályt alkot, a C 1 csoport a szimmetria teljes hiányának felel meg. 2. Az S 2n csoport. Egy páros rendű tükrözéses forgástengely körüli forgatások ciklikus csoportja. A csoport indexe n mindig páros. 3 A G 1 és G 2 csoportok direkt szorzatának elemei (g 1, g 2 ) alakúak, ahol g 1 G 1 és g 2 G

141 3. C nh csoport. A csoportot egy n-edrendű szimmetriatengely és egy rá merőleges szimmetriasík generálja. Elemeinek száma 2n, a csoport elemei felcserélhetőek. A C 1h csoportra használják a C s jelölést is. 4. C nv csoport. A csoport generátora egy n-edrendű szimmetriatengely és egy rajta áthaladó szimmetriasíkra vett tükrözés. Automatikusan megjelenik további n 1, a tengelyben egymást 180 o /n szögben metsző szimmetriasík. Elemeinek száma 2n. 5. A D n csoport. A csoport generátora egy n-edrendű szimmetriatengely és egy rá merőleges másodrendű tengely. Elemeinek száma 2n. A D 2 csoportra a V jelölést is szokták használni. 6. A D nh csoport. A csoport generátora egy n-edrendű szimmetriatengely, egy rá merőleges másodrendű tengely és a másodrendű tengelyeken átfektetett szimmetriasík. Elemeinek száma 4n. 7. A D nd csoport. A csoport generátora egy n-edrendű szimmetriatengely, egy rá merőleges másodrendű tengely, kiegészítve az n-edrendű tengelyen át fektetett függőleges szimmetriasíkok, amelyek a másodrendű tengelyek szögfelezőin haladnak át. A csoport elemeinek száma 4n. 8. A tetraédercsoport (T ). A tetraédercsoportot a V csoportból, négy harmadrendű tengely hozzáadásával kapjuk. (ld ábra). A csoport elemeinek száma 12, ezek négy osztályba sorolhatók. 9. A T d csoport. A T csoportból származtatható, azon szimmetriasíkok hozzáadásával, amelyek átmennek a tetraéder két harmadrendű és egy másodrendű szimmetriatengelyén. A csoportnak 24 eleme van, ezek 5 osztályba sorolhatók. 10. A T h csoport. Ez a csoport a T -ből származtatható, szimmetriaközéppont hozzáadásval. A csoportnak 24 eleme van, ezek 8 osztályba sorolhatók. 11. Oktaédercsoport (O). A csoport generátorai egy kocka szimmetriatengelyei: a szemközti lapok középpontján átmenő negyedrendű tengelyek, amelyekből három van, az ellentétes csúcsokon átmenő harmadrendű tengelyek, ezek száma négy; és a szemben fekvő élek felezőpontján átmenő hat darab másodrendű tengely. A csoport elemeinek száma 24, ezek 5 osztályba sorolhatóak. 12. Az O h csoport. O-ból szimmetriaközéppont hozzáadásával nyerjük. A csoportnak 48 eleme van, ezek 10 osztályba sorolhatók. 13. Az ikozaédercsoport (Y ). Az ikozaéder szimmetriatengelyei körüli 60 forgatásból áll, ezek közül 6 ötödrendű, 10 harmadrendű, 15 másodrendű tengely. 140

142 6.2. táblázat. A C i, C 2 és C s csoportok karakterei C i E I C 2 E C 2 C s E σ A g A;z A ;x,y 1 1 A u B; x;y A, z táblázat. A C 3 csoport karaktertáblája C 3 E C 3 C 2 3 A; z E; x ± iy { 1 ε ε 2 1 ε 2 ε 14. Az Y h csoport. A csoport az ikozaédercsoportból, szimmetriaközéppont hozzáadásával áll elő. A táblázatokban közöljük néhány pontcsoport karaktertábláit. Egy táblázatban tüntettük föl az izomorf csoportokat. Az izomorf csoportokban a konjugált elemosztályok száma megegyezik, noha maguk az osztályok az egyes csoportok esetében eltérő elemekből állnak. Ezeket az osztályokat a táblázatok első sorában feltüntettük. A táblázatban szereplő karakterek között szerepel a harmadik komplex egységgyök ε = exp 2πi/3, ill. ennek hatványai, valamint a hatodik egységgyök ω = exp 2πi/6. Könnyen ellenőrizhetőek az alábbi összefüggések: ε + ε 2 = 1 és ω 2 ω = 1. A táblázatban az egyes irrepek transzformációs tulajdonságát is feltüntettük. A tükrözéssel szemben páros irrepet aposztróf ( ), a páratlant két aposztróf ( ) jelöli. A ponttükrözéssel szemben páros irrepet g a páratlant u index jelöli. Az irrepeknél alkalmazott egyéb jelölés a 2. fejezetben, a karaktertáblánál elmondottaknak felel meg. Amint a 2. fejezetben láttuk, gyakran előnyös a csoportelemek irreducibilis ábrázolásának ismerete. Mivel az egydimenziós ábrázolások a karaktertáblából kiolvashatóak, csak a többdimenziós ábrázolásokra van szükség, azt is elegendő megadni az izomorf csoportok egyikére táblázat. A C 2h, C 2v és D 2 csoportok karaktertáblája C 2h E C 2 σ h I C 2v E C 2 σ v σ v D 2 E C2 z C y 2 C2 x A g A 1 ;z A B g B 2 ;y B 3 ;x A u ; z A 2 B 1 ;z B u ;x;y B 1 ;x B 2 ;y

143 6.5. táblázat. A C 3v és D 3 csoport karaktertáblája C 3v E 2C 3 3σ v D 3 E 2C 3 3U 2 A 1 ; z A A 2 A 2 ; z E;x,y E;x,y táblázat. A C 4 és S 4 csoportok karaktertáblája C 4 E C 4 C 2 C4 3 S 4 E S 4 C 2 S4 3 A;z A B B;z E;x ± iy E;x ± iy { 1 i -1 -i 1 -i -1 i 6.7. táblázat. A C 6 csoport karaktertáblája C 6 E C 6 C 3 C 2 C3 2 C6 5 A;z B E 1 { 1 ω 2 ω 1 ω 2 ω 1 ω ω 2 1 ω ω 2 E 2 ; x ± iy { 1 ω ω 2-1 ω ω 2 1 -ω 2 -ω -1 ω 2 ω 6.8. táblázat. A C 4v, D 4 és D 2d csoportok karaktertáblája C 4v E C 2 2C 4 2σ v 2σ v D 4 E C 2 2C 4 2U 2 2U 2 D 2d E C 2 2C 4 2U 2 2U 2 A 1 ;z A 1 A A 2 A 2 ;z A B 1 B 1 B B 2 B 2 B 2 ;z E;x,y E;x,y E;x,y

144 6.9. táblázat. A D 6, C 6v és D 3h csoportok karaktertáblája D 6 E C 2 2C 3 2C 6 3U 2 3U 2 C 6v E C 2 2C 3 2C 6 3σ v 3σ v D 3h E σ h 2C 3 2S 3 2U 2 3σ v A 1 A 1 ;z A A 2 ;z A 2 A B 1 B 2 A B 2 B 1 A 2 ;z E 2 E 2 E ;x,y E 1 ;x,y E 1 ;x,y E táblázat. A tetraédercsoport karaktertáblája T E 3C 2 4C 3 4C3 2 A E 1 1 ε ε 2 E 1 1 ε 2 ε F;x,y,z táblázat. Az O és T d csoportok karaktertáblája O E 8C 3 3C 2 6C 2 6C 4 T d E 8C 3 3C 2 6σ d 6S 4 A 1 A A 2 A E E F 2 F 2 ;x,y,z F 1 ;x,y,z F

145 6.12. táblázat. A D 3 csoport elemeinek irreducibilis ábrázolásai az E irrep esetén csoportelem ( mátrix ) 1 0 E 0 1 ( ) 1/2 3/2 C 3 3/2 1/2 ( 1/2 3/2 ) C 2 3 U (1) 2 U (2) 2 U (3) 2 ( 3/2 1/2 ) ( ) 1/2 3/2 3/2 1/2 ( ) 1/2 3/2 3/2 1/ táblázat. A D 4 csoport elemeinek irreducibilis ábrázolásai az E irrep esetén csoportelem ( mátrix ) 1 0 E ( 0 1 ) 0 1 C 4 ( 1 0 ) 1 0 C 2 ( 0 1 ) 0 1 C 3 4 U (1) 2 U (2) 2 U (1) 2 U (2) 2 ( 1 0 ) 0 1 ( 1 0 ) 0 1 ( 1 0 ) 1 0 ( 0 1 )

146 6.14. táblázat. A D 6 csoport elemeinek irreducibilis ábrázolásai az E 1 és E 2 irrepek esetén csoportelem E 1 E 2 ( ) ( ) E ( ) ( ) 1/2 3/2 C 3 1/2 3/2 3/2 1/2 3/2 1/2 ( ) ( ) 1/2 3/2 C3 2 1/2 3/2 3/2 1/2 ( ) ( 3/2 1/2 ) C ( ) ( ) 1/2 3/2 C 6 1/2 3/2 3/2 1/2 3/2 1/2 ( ) ( ) 1/2 3/2 C6 5 1/2 3/2 ( 3/2 1/2 ) ( 3/2 1/2 ) ( ) 1/2 3/2 U (1) 2 U (2) 2 U (3) 2 U (1) 2 U (2) 2 U (3) 2 ) ( 1/2 3/2 3/2 1/2 3/2 1/2 ( ) ( ) 1/2 3/2 1/2 3/2 3/2 1/2 3/2 1/2 ( ) ( ) 1/2 3/2 1/2 3/2 ( 3/2 1/2 ) ( 3/2 1/2 ) ) ( 1/2 3/2 3/2 1/2 ) ( 1/2 3/2 3/2 1/2 145

147 6.15. táblázat. A T csoport elemeinek ábrázolása az F irrep esetén csoportelem ábrázolás E C2 z C y C2 x C3 a (C3 a ) C3 b ( ) C b (C3) c (C3) c ( ) C d ( ) C d

148 Általános véges csoportok osztályozása Csoportelmélettel foglalkozó matematikusok évtizedekkel ezelőtt azt a célt tűzték maguk elé, hogy bebizonyítanak egy ártatlannak tűnő tételt, amely a véges, egyszerű csoportok osztályozásáról szól. Nézzük először a tételt Tétel (Osztályozás tétel) Minden egyszerű véges csoport vagy prím rendű ciklikus csoport, alternáló csoport, Lie-típusú véges csoport, vagy egyike a 26 szporadikus egyszerű csoportnak. A tétellel kapcsolatos cikkek számát kb. ötszázra teszik, az összes írás terjedelme és oldal között lehet. A munka az ötvenes években kezdődött és napjainkban is tart. A GAP fórumain szó esik egy kezdeményezésről, amelyben egy jelenleg tizenkét kötetesre tervezett munkában adnák közre a tétel bizonyítását. Jelenleg öt monográfián dolgoznak, a kötetek tervezett címe: I. Előzmények II. Tételek az egyértelműségről III. Generikus egyszerű csoportok IV. Speciális páratlan egyszerű csoportok V. Speciális páros egyszerű csoportok. A tervek szerint a kötetek további fejezetekre oszlanak, a munka terjedelme jelenleg nem becsülhető meg. Nemrégiben John Davies angol matematikus kétségeit fogalmazta meg, hogy a munka valaha befejeződik-e, és megkérdőjelezte az ilyen, generációkon átívelő, többezer oldalas bizonyítások létjogosultságát. Figyelemre méltó, hogy az egyszerű, véges csoportok milyen változatosak lehetnek. A ciklikus csoportról és az alternáló csoportot már ismeri az Olvasó. A folytonos Liecsoportról is beszéltünk, ezeknek létezik véges analógja is. Az általános lineáris csoport GL n (q) n n-es, nemszinguláris mátrixokból áll, a mátrix elemei egy q elemű véges testből valóak. E csoportban egy alcsoportot képeznek az egységnyi determinánsú mátrixok, az alcsoport neve SL n (q). Ebben egy alcsoport a P SL n (q) csoport. Az utóbbi csoport csak bizonyos n és q esetén (pl. n = q = 2) egyszerű. Ezek a csoportok példák a véges Lie-csoportokra. Összesen 16 családja ismert a véges Lie-csoportoknak. A szporadikus csoportok különféle csoportelméleti kontextusban bukkantak fel, erre utal a nevük is. Az első ötöt Mathieu fedezte fel az 1860-as években a tranzitív permutáció csoportok egy sajátságos válfajaként. Három a 24 dimenziós ú.n. Leech-rács automorfizmusaihoz kapcsolódik, nevük felfedezőjük után Conway-csoportok. 147

149 6.16. táblázat. Az O csoport elemeinek reprezentációja az E, F 1 és F 2 irrepekben csoportelem E F 1 F 2 ( ) E ( ) C2 x ( ) C y ( ) C2 z ( ) C4 x ( ) /2 3/ /2 1/2 C y 4 C z 4 ( (C x 4 ) 3 ( ) ) ( ) (C y 4 ) 3 1/2 3/2 3/2 1/2 (C z 4) 3 ( 1/2 3/2 3/2 1/2 C (1) 2 C (2) 2 C (3) 2 C (4) 2 C (5) 2 ( 1/2 3/2 3/2 1/2 ( 1/2 3/2 3/2 1/2 ( ) 1/2 3/2 3/2 1/2 ( ) 1/2 3/2 3/2 1/2 ( ) ) ) )

150 6.17. táblázat. Folytatás csoportelem E F 1 F 2 ( ) C (6) ( ) C (a) 1/2 3/ /2 1/ ( ) / /2 0 1/2 ( ( ( ( C (b) 3 C (c) 3 C (d) 3 C (a) 3 C (b) 3 C (c) 3 C (d) 3 ( 1/2 3/2 3/2 1/2 ) ( 1/2 3/2 3/2 1/2 ) ) ( ) 2 1/2 3/2 3/2 1/2 ) ( ) 2 1/2 3/2 3/2 1/2 ) ( ) 2 1/2 3/2 3/2 1/2 ) 2 ( 1/2 3/2 3/2 1/2 )

151 Az osztályozás egyik célja olyan ismérveket megadni, amelyek alapján a csoportok azonosíthatóak. (Ne feledjük, a csoportok közti izomorfizmus miatt elég nehéz felismerni, új csoportról van-e szó.) Az egyszerű csoportok azonosításának három módja van: prezentáció alapján (generátorok és relációk segítségével); a csoport hatása révén egy adott geometriában; Permutációs reprezentáció alapján. A részletek iránt érdeklődő Olvasónak a GAP levelezési listáit ajánlom Bloch-függvények Amennyiben a kristályok jellemzése megoldott, kérdés, hogyan kapcsolható össze az elektronszerkezet leírása a kristály szerkezetével. A csoportelmélet egyik alkalmazása azt sugallja, meg kell vizsgálni a lehetséges megoldásokat és fel kell bontani azokat az egyenlet szimmetriacsoportja által megadott irreducibilis komponensekre. Ezzel a kérdéssel foglalkozik a jelenlegi alfejezet. Mielőtt a Schrödinger-egyenlet megoldásainak vizsgálatára térnénk, vegyük szemügyre a síkhullámok leírását egy periodikus rácson. Legyen tehát Φ k (r) = e ikr (6.6) a vizsgált síkhullám, ahol k = 2π/λu a hullámvektor, itt u a hullám terjedési irányába mutató egységvektor. A síkhullám általános (időtől- és helytől függő) alakja pedig Φ k (r, t) = e i(kr+ωt), (6.7) ahol ω a körfrekvencia: ω = 2π/T, ahol T a síkhullám periódusideje. Legyen a terjedési irányra merőleges két síknak a terjedési irányra vett vetülete r 1 és r 2, továbbá legyen r 1 r 2 = λ. A két síkon a síkhullám fázisa megegyezik, hiszen e ikr 1 = e i(kr 2+λ) = e ikr 2+i2π = e ikr 2. (6.8) A síkhullám terjedési sebességét két mennyiséggel szokták jellemezni. Az első a fázissebesség, v f = ω/ k. Könnyen belátható, hogy a síkhullám az impuzusoperátor sajátfüggvénye, ennek megfelelően pl. adott impulzusú szabadelektron állapotot ír le. A fizikai részecskék állapotát hullámcsomag írja le, azaz, a fenti monokromatikus síkhullámot ki kell egészíteni egymástól kissé eltérő k hullámvektorú síkhullámokkal. Legyen a hullámcsomagban lévő hullámvektorok hullámszáma a k δk + k intervallumban, 150

152 ahol δk infinitezimális mennyiség, k viszont egy véges szélességű intervallum. Ekkor a hullámcsomagot egy összeggel írhatjuk le: Ψ(r, t) = e i(k 0+δk)r+(ω 0 +δω)t (6.9) δk k = e i(kr 0 ω 0 t) δk k e i(δkr δωt) (6.10) Ebből a kifejezésből látható, hogy a hullámcsomag amplitúdója (ez a második egyenlőségjel utáni összeg) modulált, az e ikr síkhullámra ráül egy jóval lassabb moduláció. A hullám által leírt elektron sebességét nem a hullámszámhoz, hanem a modulált amplitudóhoz kapcsoljuk, mivel ez utóbbi írja le a lokalizált perturbáció terjedési sebességét. Ezt a sebességet csoportsebességnek nevezik, és v cs -vel fogjuk jelölni: v cs = δω δk = ω k = 1 E k. (6.11) Itt E a Schrödinger-operátor sajátértéke, az elektron energiája. Végezetül megadunk két, a síkhullámra vonatkozó, hasznos összefüggést: e ikr = v δ(r t); e ipt = v δ(p k), (6.12) t t k k ahol k reciprokrácsvektor, t rácsvektor, v a cellatérfogat. Egy N cellából álló véges rácson e ikr = Nv, (6.13) k amennyiben r rácsvektor, nulla egyébként. Azok a k vektorok, amelyek egy reciprok rácsvektorban térnek el, ekvivalensek abban az értelemben, hogy a (6.12) síkhullámok azonosak. Ebből következik, hogy a nem ekvivalens síkhullámok a reciprok rács egy elemi celláján belül helyezkednek el. Ezt a cellát nevezik Brillouin-zónának. Az említett k vektorok képezik a rácsvektorokhoz tartozó eltolások irreducibilis ábrázolásait. Egy Brillouin-zónában a lehetséges hullámvektorok egy véges rácsot alkotnak amennyiben a kristály véges sok cellából áll. Legyen az a rácsvektor x irányú, és legyen az x tengely mentén a véges rácsban N x cella. A véges rács példányait egymáshoz ragasztva felépíthetünk egy végtelen rácsot, ebben pedig a véges rács egyes példányainak azonosnak kell lenniük, ezért az N x a-val eltolásnak az egységoperátort kell visszaadnia. Ebből következik, hogy a Brillouin-zónában a lehetséges állapotok száma (az x tengely mentén) N x, ami annak felel meg, hogy a lehetséges állapotok diszkrétek, egy állapothoz tartozó cella mérete 2π/a/N x. 151

153 6.1. Feladat Tekintsünk egy egydimenziós rácsot, az elemi cella hossza legyen a, a rács álljon N atomból. Vizsgáljuk meg a Brillouin-zóna szerkezetét! Legyen N páros, a reciprok rács a = 2π/a, a nem-ekvivalens hullámvektorok a a /2 < k a /2 intervallumba esnek. A lehetséges hullámvektorok ia/n alakúak, ahol N/2 i +N/2. Páratlan N esetén pedig (N 1)/2 i +(N 1)/2. Ez utóbbi esetben a Brillouin-zóna széle (a ±N/2 pont) nem megengedett mivel nem egész szám. Feltevésünk szerint a Schrödinger-operátor felcserélhető a rács szimmetriáival. Ezt úgy fogjuk kihasználni, hogy megkeressük a szimmetriacsoport irreducibilis ábrázolásait kifeszítő függvényeket, és azok szerint a függvények szerint fogjuk kifejteni a Schröndigeregyenlet megoldását. Először tehát a szimmetriacsoport ábrázolásait kell megkeresni. Kezdjük a transzlációk részcsoportjával. Keressük tehát a T(t)Φ(r) = λφ(r) (6.14) sajátérték-feladat megoldását. Belátható, hogy a (6.6) sajátfüggvény, a sajátérték pedig e ikt. A transzlációk sajátfüggvényét általánosan az alábbi formában írhatjuk: Φ(r) = e ikr u k (r), (6.15) ahol u k (r + t) = u k (r), bármely t rácsvektorra. A (6.15) alakú függvényeket Blochfüggvényeknek nevezik. A kristály tércsoportjának irreducibilis ábrázolásait (ezt a továbbiakban irrepnek fogjuk rövidíteni, akárcsak a 2. fejezetben tettük) Bloch-függvényekkel állítjuk elő. Korábban már beláttuk, hogy két Bloch-függvény, amelyek hullámvektorának különbsége reciprok rács-vektor, ekvivalens egymással. Viszont ezeket a Bloch-függvényeket is meg kell különböztetni az irrepek kidolgozása során, ezért az alábbi jelölést fogjuk átvenni: a Bloch-függvényt Ψ kj (r) = e ikr u kj (r) (6.16) alakba írjuk és a bevezetett j index az ekvivalens hullámvektorú Bloch-függvényekhez tartozó függvényeket indexeli. Ha a Bloch-függvényekben szereplő k hullámvektorokat a reciprok rácsban helyezzük el, akkor a periodikus reciprok rács egy elemi cellájában az összes, nem-ekvivalens hullámvektor megtalálható. A következő kérdés: hogyan transzformálódik a (6.16) függvény egy tércsoporthoz tartozó transzformáció alatt? A (p v) csoportelem hatására Ψ kj (r) transzformáltja (p v)ψ kj = Ψ k j, (6.17) j lesz, ahol k = pk. Azoknak a nem-ekvivalens k vektoroknak a halmazát, amelyeket a csoport összes forgatási elemének alkalmazásával nyerünk k-ból, a k hullámvekor csillagának nevezzük. Egy pontcsoport irreducibilis ábrázolásának meghatározására használhatjuk 152

154 az (2.28) képletet. Eredményül síkhullámok lineáris kombinációját kapjuk, amelyben a k vektor csillagának minden eleme (ezeket sugárnak nevezzük) szerepel. Ezen lineáris kombinációban szereplő elemek számát eltolások alkalmazásával sem lehet csökkenteni, mert az egyes tagok az eltolás során más-más együtthatóval szorzódnak Feladat Tekintsünk egy kétdimenziós, a oldalú, négyzet alakú elemi cellából álló rácsot. Induljunk ki egy k vektorból és készítsük el a k vektor csillagát! (ld ábra.) A kristályrácsot egymásra merőleges tengelyek mentén két eltolás, (a és b, írja le, de az eltolások nagysága azonos. Az elemi cella szimmetriasíkjait mutatja az a ábra, a Brillouin-zónát a b ábra. A cella pontcsoportja a C 4v csoporttal izomorf. A szokásos jelölést követve, a k vektort az ábrán G 1 jelöli. A pontcsoport elemei összesen 8 vektorból álló csillagot hoznak létre G 1 -ből. Amennyiben a k vektort megnyújtjuk annyira, hogy pontosan a Brillouin-zóna határáig érjen (c ábra), a helyzet megváltozik, mert bizonyos vektorok egymással ekvivalensek lesznek, minthogy egy reciprokrács-vektorban különböznek (pl. Z 2 és Z 5, Z 4 és Z 7 ), ezt mutatja a d ábra szürke vonala. Ennek megfelelően az irreducibilis ábrázoláshoz elegendő a c ábrán vastaggal jelölt Z 1, Z 2, Z 3, Z 4 vektorok használata. Adott k esetén azonban az irrepekben szereplő tagok száma kisebb is lehet, mint a pontcsoport rendje (legyen ez n). Azokat a csoporthoz tartozó transzformációkat, amelyek egy adott k vektort változatlanul hagynak, az adott k vektor szimmetriacsoportjának nevezzük. Ha a k vektor szimmetriacsoportja egynél több elemből áll, az irrepben szereplő tagok száma kisebb lesz, mint n Feladat Az előző, 6.5 ábrán azonosíthatjuk az egyes k vektorok csoportját is. Z 1 esetén csak az egységoperátor és σ v2 transzformálja Z 1 -et önmagába ill. vele ekvivalens vektorba. A 2b ábráról leolvasható, hogy kitüntetett szerepet kapnak azok a vektorok, amelyek valamely szimmetriasíkban helyezkednek el, a megfelelő csoport legfeljebb 4, de legalább 2 elemből áll. Szimmorf csoportok Amennyiben a rácsban nincsenek csavartengelyek és csúszósíkok, az irrepek az alábbi alakú függvényekből állnak: ψ kj = Ψ k u j, (6.18) ahol Ψ k ekvivalens hullámvektorú e i kr síkhullámok lineáris kombinációi, az u j cellafüggvény pedig invariáns bármely rácsvektorral való eltolással szemben (azaz, periodikus függvény). A (6.18) függvény k csillagának minden elemét tartalmazza. Ha (6.18)-re alkalmazzuk a k hullámvektor csoportjához tartozó forgatásokat és tükrözéseket, azt látjuk, hogy Ψ k nem változik, a benne szereplő síkhullámok ugyanis egymásba transzformálódnak, az u j cellafüggvények szintén egymásba transzformálódnak, előállítják a k 153

155 hullámvektor csoportjának irrepjét. (Az u j cellafüggvényekből kapott irrepeket kis ábrázolásoknak nevezik.) Azok a forgatások viszont, amelyeket a k hullámvektor csoportja nem tartalmaz, a nem ekvivalens k-jú (6.18) függvényeket transzformálják egymásba. Az így előállítható tércsoportábrázolás dimenziója a k vektor csillagában lévő sugarak számának és a kis ábrázolások dimenziójának szorzatával lesz egyenlő. A szimmorf tércsoportok irrepjeinek meghatározása tehát visszavezethető a k hullámvektorok szimmetria szerinti osztályozására, és véges pontcsoportok irrepjeinek meghatározására. Nemszimmorf csoportok Ebben az esetben a csavartengelyek és a csúszósíkok jelentenek nehézséget. Ha azonban a k vektor nem változik csoportjának egyik transzformációja során sem, akkor a csavartengely és a csúszósík megjelenése lényegtelen marad. Márpedig ez a helyzet, ha k = 0 vagy k általános helyzetű, hiszen ebben az esetben csoportja csak az egységelemből áll. Ekkor az irrepek (6.18) segítségével állíthatók elő, az egyetlen különbség az, hogy az e ikr függvények a forgatások során e ikv -vel szorzódnak. Ha viszont (6.18)-ban Ψ k több ekvivalens k vektort is tartalmaz, ezek a vektorok a transzformáció során e ibv -vel szorzódnak, és mivel bv (itt b reciprokrács-vektor) 2π-nek nem egész számú többszöröse, a lineáris kombinációk nem transzformálódnak egymásba. Ez azzal jár, hogy az eltolásokat és a forgatásokat nem lehet elkülöníteni. Tekintettel arra, hogy v racionális része (ez 1/2, 1/3, vagy 2/3) a rácsvektornak, elegendő véges sok eltolást vizsgálni. Amennyiben a rács véges, vagy a szennyezések hatására vagyunk kíváncsiak, nem elegendő a végtelen rácsot vizsgálni. Ebben az esetben a Schrödinger-egyenlet megoldásait nem lehet periodikus Bloch-függvényekből felépíteni. Anélkül, hogy a részletekbe bocsátkoznánk, az alábbi egyszerű megfontolások kínálkoznak. Lemondunk arról, hogy a véges kristály invariáns az eltolásokkal szemben. Töltse ki az egyik irányban véges rács az x > 0 félteret. Ebben az esetben a +x tengely irányába mutató eltolásokkal szemben megkövetelhetjük az invarianciát, de a x irányú eltolásokkal szemben már nem. Ennek megfelelően a Bloch-függvényt úgy általánosíthatjuk, hogy a k vektor képzetes, képzetes része pozitív, így az e ikr e Re(kr) e Im(k)r lép a Blochfüggvény helyére. További részletek szilárdtestfizika könyvekben (pl. Altman, [2], 14. fejezet) találhatóak. 154

156 6.1. a bra. A 14 Bravais-ra cs 155

157 6.2. a bra. Lehetse ges ra cspontok 6.3. a bra. Szimmetria k a ra cspontokban 156

158 157

159 6.5. ábra. A k vektor csillaga négyzetrácsban 158

160 7. fejezet Algebra és geometria 159

161 7.1. Jelölés E {x} -az x mennyiség várható értéke E -egységmátrix δ i k -Dirac-féle deltafüggvény v = (v 1, v 2, v 3 ) -sebességvektor és komponensei r = (x, y, z) -a helyvektor és komponensei r = r n -irány normálisvektora G(x, u) -evolúciós egyenletben szereplő operátor vagy függvény T -operátor v, ψ az u megoldás komponensei F(λ, v) -a bifurkációs egyenletben szereplő operátor A, B 2, B 3 -F lineáris, kvadratikus és köbös komponenei, mint operátorok E, F, N -függvénytér T -ábrázolás, amelynek általános eleme T g χ(g) -a g csoportelem karaktere -a Laplace-operátor d -eltolásvektor k -hullámvektor G\X -orbithalmaz (G csoport, X függvénytér) G -Green-függvény f x, f y -parciális deriváltak π 1 (t) -a t sokaság fundamentális csoportja K -inerciarendszer A, B, C -sebességabszolútértékek (matematikai szemlélet) Egy fizikai elmélet kidolgozása az alábbi lépésekből áll. Először tisztázni kell, milyen fizikai mennyiségek játszanak szerepet az adott elméletben, azaz, a vizsgált fizikai rendszer leírásában. Ezután a szóban forgó fizikai rendszert leíró mennyiségek mindegyikének mérésére egy skálát kell megadni, ezen a skálán helyezzük el a fizikai mennyiséget, értelmezzük a kisebb, nagyobb és egyenlő relációkat. A skálán értelmezni kell az összeadás és a szorzás műveletét, a vizsgált fizikai mennyiség minden szóba jövő értékére. Egy fizikai mennyiség mértékéül szolgáló értékek tehát egy algebrai konstrukciót, testet képeznek. Felmerül a kérdés, van-e lényeges különbség a lehetséges skálák között. Egy skála meghatározásában első lépés a nullpont és az egység kijelölése. Azon skálákat, amelyek csak a nullpontban és az egység megválasztásában térnek el, egy lineáris transzformáció köti össze. Amennyiben a transzformáció invertálható, a lineáris transzformációk által összekötött skálák használata a fizikai összefüggéseket egy hasonlósági transzformáció erejéig változtatja meg. 160

162 7.1. Feladat (Hőmérsékleti skálák.) A legismertebb fizikai mennyiség, amelynek mérésére többféle skála is használatos, a hőmérséklet. Az Európában használatos Celsiusskálát 1742-ben vezették be, a skála a víz fagyáspontja és forráspontja közötti hőmérséklettartományt 100 egyenlő részre osztja. Elsősorban az angolszász országokban használatos a Fehrenheit-skála (1714), amelynek értékeit a Celsius-skálából a F = 5/9(C 32) képlettel kapjuk meg. A Réaumur-féle skálát (1730) pedig R = 1/0.8 C ill. R = R(F ) = 1 (9F/5 + 32) 0.8 transzformációval kapjuk meg. A fizikusok arra törekedtek, hogy egy, a hőmérőben felhasznált anyag minőségétől független, egyszerű alakú törvényeket eredményező skálát találjanak. Erre az egyesített gáztörvény megismeréséig kellett várni. Ekkor kiderült, hogy létezik egy legalacsonyabb hőmérséklet, az abszolút nulla pont, ez kb. 273, 16C o. Lord Kelvin (született W. Thomson, ) javaslatára bevezették az abszolút hőmérsékleti skálát (T), amely a Celsius-skálával (C) az alábbi kapcsolatban áll: T = C. Az abszolút skálát kiegészítették bizonyos méréstechnikai előírásokkal, ezt 1927-ben vezették be a nemzetközi hőmérsékleti skála néven Feladat (Elektromos töltés) Az elektromos töltés dimenzióját az elektromos töltések között ható erőből származtathatjuk. Az erőhatást F = cq 1 q 2 /r 2 (7.1) írja le, az F erő dimenziója és a távolság dimenziója a mértékrendszer meghatározása után adott, ebből már adódik a töltés dimenziója. Mivel a q 1 és q 2 töltések dimenziója azonos, az egyenlőségből következően a töltés dimenziója törtkitevőket tartalmaz. A töltés egysége 1cm 3/2 g 1/2 s 1, amennyiben a távolságot centiméterben, a tömeget grammban, az időt másodpercekben mérjük. Ezt Benjamin Franklin ( ) után franklinnak (Fr) nevezik. Később bevezették ennek egy gyakorlati egységét, Charles Augustine de Coulomb ( ) tiszteletére a coulombot (C): 1C = F r. Érdekesség, hogy a F r és C közötti átváltás pontos értéke egy másik állandótól, a fénysebességtől függ. Nem kerülhetjük meg a (7.1) erőtörvényt a töltés mérési utasításának megfogalmazásakor. Meghatározhatjuk a q 1, q 2,..., töltések között ható erőket, például három-három töltés, q k, q l, q m,, q k, q l, q m esetén, adott r távolság mellett így határozhatjuk meg q k -t: q k = r Fkl F km F lm Fk = r l F k m. (7.2) F l m 161

163 Nyilván megköveteljük, hogy a különböző k, l, m index hármashoz tartozó q k értékek azonosak legyenek. A (7.2) képlet tehát nem kizárólag a töltés meghatározására, de a (7.1) formula ellenőrzésére is szolgál Feladat (Mértékrendszerek) Gauss és Weber 1836 évi kezdeményezésére fizikai mértékrendszereket alakítottak ki. A mechanika mennyiségeinek egységeit három mennyiség egységének megválasztása meghatározza, ez a három mennyiség a távolság, a tömeg és az idő. Ezen skálák esetében a nullapont kiválasztása automatikusan adódik, csak az egység megválasztása tetszőleges. Ezen mennyiségekre egységes skálákat dolgoztak ki. Ezek a skálák alkotják a CGS mértékrendszert, amelyben a hosszúság egysége a centiméter, a tömeg egysége a gramm, az idő egysége a másodperc. Egy másik mértékrendszer az MKS rendszer, ebben az egységek méter, kilogramm és szekundum. Az elektromágneses jelenségek felfedezése után célszerűnek bizonyult egy negyedik egység hozzáadása a mértékrendszerekhez, így alakult ki az MKSA rendszer, amely negyedik mennyiségként az áramerősség egységét az ampert (André Marie Ampére ( ) után) választotta. A CGS rendszerben az áramerősség egysége a franklin/másodperc, jelölése F r/s, amelynek alapmennyiségekkel kifejezett dimenziója cm 1/2 g 1/2 s 2. Ezután mérések vagy elméleti megfontolások alapján összefüggéseket állítunk fel a fizikai rendszer leírására. Az összefüggésekben a rendszer leírására használt fizikai mennyiségek között függvénykapcsolatokat állapítunk meg. Egy adott függvénykapcsolatban legalább két fizikai mennyiség szerepel. A fizikai rendszer állapotát egy többdimenziós fázistérben is ábrázolhatjuk. A fizikai rendszer egy adott állapotát a fázistér egy pontja adja meg. A rendszer állapotát leíró függvény az fázistér egy pontjához rendel egy (általában valós) számot Feladat (Egyesített gáztörvény) Az ideális gáz p nyomása, T hőmérséklete és V térfogata között fennáll az alábbi kapcsolat pv = RT, ahol R állandó. A (p, V, T ) fázistérben az ideális gáz állapotát egy pont adja meg, ez a pont rajta van a pv RT = 0 görbén. A fizikai mennyiségeknek a számértéken kívül dimenziójuk is van, ezért a fizikai állapotot leíró függvény lényegesen különbözik a matematikai függvénytől. A fizikai rendszer állapotát leíró egyenletben minden tagnak azonos dimenziójúnak kell lennie, hiszen összeadni, kivonni csak azonos dimenziójú mennyiségeket lehet. Ezt az elvet a dimenzió homogenitásának nevezik. Az állapotegyenletben szereplő tagokban szerepelhet szorzás és osztás, a szorzás eredményeképpen adódó mennyiség dimenziója a két szorzótényező dimenziójának szorzata. Amennyiben az állapotegyenletben egyéb matematikai függvények szerepelnek, (ilyenek 162

164 pl. a szögfüggvények, az exponenciális, a logaritmus), e függvények argumentumában előforduló fizikai mennyiségeknek csak olyan kombinációja fordulhat elő, amelyek dimenziótlanok Feladat (Hőmérsékleti sugárzás) A hőmérsékleti sugárzás vizsgálata során Planck arra a következtetésre jutott, hogy egy T hőmérsékletű fekete test elektromágneses sugárzásának spektruma hν 8πV de(ν, T ) = e hν/kt 1 c 3 ν2 dν. (7.3) Itt V a fekete test térfogata, c a fénysebesség, h a Planck-állandó, ν a frekvencia. A képletben szereplő exponenciális szükségszerűen dimenziótlan, ezért a k Boltzmann-állandó és a h Planck-állandó dimenziója olyan, hogy kt dimenziója energia, továbbá hν dimenziója is energia. A képletben egyetlen tag szerepel, de az több tényező szorzata, mindkét oldal dimenziója energia Feladat (Hőterjedés összenyomhatatlan folyadékban) A nem egyenletesen melegített folyadékban a sűrűség a hőmérséklettel változik. A sűrűséget állandónak tekinthetjük, ha a folyadék sebessége kicsi a hangsebességhez képest. Kis hőmérséklet-különbségek esetén a hőterjedést leíró egyenlet: T t ( ν vi + v T = χ T + + v ) 2 k, (7.4) 2c p x k x i ahol χ = κ ϱc p a hővezetőképesség, ν = η/ϱ a kinematikai viszkozitás, T a folyadék hőmérséklete, v a folyadék sebessége, c p az állandó nyomáson vett fajhő. Az egyenletben szereplő tagok dimenziója [foks 1 ]. Az első tag esetében ez nyilvánvaló, a második tagban a sebesség szorozva a hőmérséklet gradiensével rész dimenziója [s 1 ]. A jobboldal első tagjában a hővezetőképesség dimenziója [χ] = cm 2 s 1, ezért az első tag dimenziója szintén [foks 1 ]. A jobboldal második tagjának első tényezője [foks] dimenziójú, a második tag pedig s 2 dimenziójú, így szorzatuk dimenziója fok/s. Amennyiben adott egy x fizikai mennyiség valamilyen skálán, akkor f(x) szintén alkalmas skála, ha f monoton, egyértékű függvény. Ezt a tényt ki lehet használni a fizikai állapot leírása során. Erre mutatunk be példát a következő részben a turbulens áramlás vizsgálata kapcsán. A 7.3 részben pedig azt vizsgáljuk meg, milyen kapcsolatban áll a kaotikus állapot a szimmetriákkal. A 7.4 részben egy geometriai konstrukció, az összetett tartomány, algebrai leírását adjuk meg. A 7.5 részben azt vizsgáljuk a relativitáselmélet kapcsán, milyen következményekkel jár, hogy a távolság mérésénél (ha úgy tetszik a metrika és a geometria kiválasztásában) is többféle skála között választhatunk. 163

165 7.2. Skálák A 4. fejezetben láttunk példát arra, hogy a térbeli változók koordináta-rendszerét alkalmasan megválasztva olyan egyenletet kapunk, amelynek megoldása leegyszerűsödik. Az 5. fejezetben pedig arra láttunk példát, hogy adott egyenlet invariáns lehet a változók adott skálájára nézve. Most azt fogjuk megvizsgálni, milyen megszorításokat eredményez, ha a fizikai állapot leírására szolgáló egyenletben a skála egységét adott módon vesszük fel. Legyen a fizikai állapotot leíró egyenlet alakja f(x 1,..., x n ) = 0 (7.5) ahol a fizikai állapot leírásában az x i, i = 1,..., n mennyiségek játszanak szerepet. Vizsgáljuk meg, hogy az x i mennyiségekből hány független dimenziótlan mennyiséget tudunk előállítani. Az egyszerűség kedvéért jelölje az x i mennyiség dimenzióját [x i ]. Amint korábban láttuk, ezen dimenzió kifejezhető a mértékrendszer alapmennyiségeihez tartozó dimenziók szorzatával, tehát [x i ] = m α i kg β i s γ i A δ i. (7.6) Egy dimenzió tehát egyértelműen jellemezhető az m i = (α i, β i, γ i, δ i ) négyesvektorral. Az (7.5) egyenletben szereplő fizikai mennyiségek dimenziói között legfeljebb négy lehet független, hiszen az m i vektorok dimenziója legyen p, ez nem haladhatja meg a négyet. Ebben az esetben az (7.5) egyenletben szereplő fizikai mennyiségek közül n p olyan kombináció képezhető, amelynek dimenziója egységnyi. Itt kombináció alatt az x i mennyiségek pozitív és negatív kitevőjű hatványainak szorzatait értjük. Legyenek ezen mennyiségek Q 1,..., Q n p. Ekkor (7.5)-et így írhatjuk: φ (Q 1,..., Q n p ) = 0. (7.7) Azon esetekben, amelyekben a Q k mennyiségek dimenziói azonosak, az állapotegyenletek egy hasonlósági, másnéven skálatranszformációval, állíthatók elő egymásból Feladat (Folyadékba merülő test ellenállása) Vizsgáljuk meg egy áramló folyadékba merülő testre ható erőt. Az erő függeni fog a folyadék tulajdonságaitól (ρ sűrűség és µ viszkozitás), az áramlás v sebességétől, a test lineáris méretétől, d-től, tehát a testre ható F erőt kifejezhetjük F (ρ, µ, d, v) alakban, vagy f(f, ρ, µ, d, v) = 0 implicit függvényként. A felsorolt mennyiségek mechanikai mennyiségek, ezért csak három független közülük, legyen az ρ, d, v. Dimenziótlan mennyiségként választhatjuk Q 1 = F/(ρv 2 d 2 )-et, és Q 2 = µ/(ρvd)-t. A keresett összefüggés alakja: ( ) F φ 1 ρv 2 d, µ = 0, 2 ρvd 164

166 vagyis, az eredeti öt mennyiség helyett két mennyiség maradt. Természetesen más választással is élhetünk. Legyen pl. Q 1 = F ρ/µ 2, Q 2 = ρvd/µ, ekkor ( ) F ρ ρvd µ = φ 2 2. µ 7.2. Feladat (Bolygómozgás) A fizikai folyamatokban mindig találkozunk energiacserévél. Amennyiben az energia mozgással kapcsolatos, a jelenség leírására jól használható a Lagrange függvény. Amennyiben a vizsgált testek között nincs kölcsönhatás, az egyes testek Lagrange-függvényei összeadódnak. Egy szabad tömegpont Lagrange-függvénye L = mv2 2, (7.8) ahol m a tömegpont tömege, v pedig sebességének abszolútértéke. Amennyiben a vizsgált rendszer több tömegpontból áll, amelyek kizárólag egymással állnak kölcsönhatásban, a Lagrange-függvényt 1 úgy kapjuk meg, hogy első lépésben a tömegpontokat kölcsönhatásban nem állóknak tekintjük, majd az így kapott Lagrange-függvényhez hozzáadjuk a vizsgált testek koordinátáinak egy függvényét: L = i m i v 2 i 2 V (r 1, r 2,... ). (7.9) A V függvény megadja a tömegpontok potenciális energiáját. Amennyiben a potenciális energia a koordináták homogén függvénye, azaz fennáll a V (α 1 r 1, α 2 r 2,... ) = α k V (r 1, r 2,... ), ahol α tetszőleges állandó, k 0-t a homogenitás fokának nevezzük, a pontrendszer mozgásáról az alábbiakat lehet kijelenteni. Hajtsuk végre egyidejűleg a t βt és az r i αr i helyettesítéseket minden i-re! Ekkor a sebességek α/β-szorosra változnak, a mozgási energiák pedig (α/β) 2 -szorosra. A mozgás többi mennyisége (impulzus, impulzusmomentum) is egy szorzóval változik. Amennyiben úgy választjuk β értékét, hogy fennálljon β = α 1 k/2, akkor a mozgásegyenletek nem változnak. Ez tehát azt jelenti, hogy geometriailag hasonló pályákhoz tartozó mozgásidők (továbbá energiák, impulzusmomentumok stb.) értéke meghatározható. Jelölje aposztróf az új pálya adatait. Homogén erőtérben k = 1, ekkor t l t = l, (7.10) ebből adódik, hogy nehézségi erőtérben eső testek esetén az esési idők négyzetei úgy aránylanak egymáshoz, mint a kezdeti magasságok. 1 Az itt közölt tárgyalás csak nemrelativisztikus esetre vonatkozik. 165

167 Gravitációs erőtérben k = 1, ekkor t t = ( ) l 3/2, (7.11) azaz, a pályákon való keringés idejének négyzete a pályák méretének (pl. ellipszis pálya esetén a nagytengely) köbével arányos. Ez a harmadik Kepler-törvény Feladat (Folyadékok áramlása.) A skálatörvény jól használható stacionárius folyadékmozgások leírása során. Tekintsünk egy adott geometriában (cső, adott excentricitású ellipszis stb.) kialakuló stacionárius áramlást. A geometriát jellemezzük valamely hosszúsággal (pl. csőátmérő), ezt l-el jelöljük. A hidrodinamikai egyenletekben, amilyen a (7.17) Navier Stokes-egyenlet, csak a kinematikai viszkozitás (ν = η/ρ) szerepel, az egyenletekből meghatározandó a nyomás és a sűrűség hányadosa (p/ρ). Ezen felül a peremfeltételeken keresztül a bejövő áramlás sebességének abszolút értéke (u) is befolyásolja a fenti mennyiségeket, így a folyadék mozgását három paraméter határozza meg: ν, l, u. Ezek dimenziója: [ν] = cm 2 s 1, [l] = cm, [u] = cms 1. E mennyiségekből egyetlen dimenzió nélküli mennyiség állítható elő, az l R = ϱul η, (7.12) Reynolds-szám, minden más, dimenziótlan kifejezés megadható R függvényeként. A fentiekből következik, hogy a folyadék sebességeloszlását v = uf (r/l, R) (7.13) függvénnyel lehet leírni. További dimenziótlan mennyiségek a Froude-szám F r = u2 gl, (7.14) és a S = uτ (7.15) l Strouhal-szám. (Itt τ a mozgásra jellemző időállandó.) A nyomáseloszlás leírásához készítsünk ν, l, u-ból nyomás/sűrűség dimenziójú mennyiséget: p = ϱu 2 f (r/l, R). (7.16) Az említettek szerint azonos típusú és Reynolds-számú áramlások tehát hasonlóak. 166

168 7.3. Turbulencia A skálával kapcsolatos megfontolások az örvényes áramlások tanulmányozásában megkülönböztetett szerepet játszanak, ezért indokolt részletesen foglalkozni a kérdéssel. A kérdéskör kiemelten fontos, hiszen a folyami gátak méretezésétől az űrsikló tervezéséig, a merülőforralótól az erőművek kazánjáig egy sor berendezés leírásában játszik meghatározó szerepet. A tárgyalást a súrlódó folyadékok áramlásával kezdjük. A folyadékok áramlását a Navier-Stokes egyenletek írják le, ezeket az elméleti fizika kurzusokon a hallgatók megismerik. Tegyük fel, hogy a folyadék összenyomhatatlan, ekkor a folyadék mozgásegyenlete, a Navier-Stokes egyenlet, az alábbi alakot ölti: [ ] v ϱ t + (v )v = p + η v. (7.17) Itt ϱ- a folyadék sűrűsége, η-belső surlódási együttható, p a nyomás, v a folyadék sebessége. Az anyagi jellemzők (ρ, η) ismeretében v-t kell a (7.17) egyenletből meghatározni. A (7.17) egyenletek megoldása sok konkrét esetben ismert. Azonban a megoldásnak stabilnak is kell lennie, azaz, a kis perturbációknak időben le kell csengeni. A perturbáció időfüggése egy e iωt taggal írható le, a stabilitás feltétele, hogy ω képzetes része negatív legyen. A stabilitásvizsgálat elsősorban kísérleti eredményekre épül. Kis Reynolds-számok esetén a megoldás bizonyosan stabil, azonban van egy kritikus Reynolds-szám, ahol a megoldás instabillá válik az infinitezimális perturbációkkal szemben. A stabilitásvizsgálat eredménye szerint a Reynolds-szám növekedtével újabb és újabb frekvenciák jelennek meg, a v(x, y, z, t) függvényben. A megjelenő újabb mozgások amplitúdója egyre kisebb, a frekvenciák közötti különbségek is egyre csökkennek. A sebesség alakja az alábbi lesz: v(x, y, z, t) = n j=1 p jφ j, (7.18) p 1,p 2,...,p n A p1,...,p n e i ahol i = 1, p 1,..., p n egész számok, φ j a p j -vel jellemzett Fourier-komponens fázisa, A pedig (vektor)amplitúdója. Egy adott t pillanatban a fázis φ j = ω j t+β j alakú, nyilván t = 0-kor φ j = β j. Ismert, hogy kezdeti értékektől függetlenül, elegendően nagy időintervallum elteltével a folyadék állapota egy előre megadott állapothoz tetszőlegesen közel kerül. Ezért ha a turbulens mozgást hosszú ideig követjük, a kezdeti értékek elvesztik jelentőségüket. Ezt mutatja, hogy a turbulens mozgás elmélete statisztikus elmélet. A (7.18)-ben felírt mozgásnak n szabadsági foka van, a szabadsági fokok száma a Reynolds-számmal nő. A kifejlődött turbulenciában a szabadsági fokok száma végtelen, a φ j fázisoktól függ, milyen eredményt kapunk, ha (7.18)-t átlagoljuk egy adott időintervallumban a tér egy adott pontjában. Ezért a sebességet tekinthetjük egy átlag és egy fluktuáló rész összegének. Nagy Reynolds-számoknál azt találjuk, hogy a fluktuációk különböző léptékűek, a legnagyobb szerepet a nagyléptékű ingadozások játsszák, ezen ingadozások karakterisztikus hosszának nagyságrendjét az áramlás egész kiterjedése határozza meg (azaz, a vizsgált térrész egésze). Jelölje l a turbulens áramlás fenti 167

169 nagyságrendjét. Az áramlás e komponensét jellemző sebességének nagyságrendje összemérhető az átlagsebesség l távolságon való változásával, legyen ez u. A komponenshez tartozó frekvenciát az u átlagsebesség és az l távolság hányadosával becsülhetjük. A nagy frekvenciáknak megfelelő kis léptékű ingadozások amplitúdója a turbulens áramlásban jóval kisebb. Ezek adják a nagy léptékű alapmozgásra szuperponálódó finomszerkezetet. Ha a tér egy adott pontjában a sebesség időben való változását vizsgáljuk, a T 1/u karakterisztikus időkhöz képest kis időtartamok alatt a sebesség változása jelentéktelen, ha viszont az időtartam nagy, a sebesség u nagyságrendű változásokat szenved. Amint láttuk, a folyadék egészének áramlását meghatározó R Reynolds-számban az l távolság szerepel. A különböző fluktuációkhoz tartozó R λ Reynolds-számot R analógiájára definiálhatjuk R λ v λ λ/ν-ként, ahol λ az adott fluktuáció léptéke (távolság), v λ pedig a jellemző sebesség. A folyadék viszkozitása csak a legkisebb léptékű ingadozások esetén válik lényegessé, amikor a megfelelő Reynolds-szám egységnyi nagyságrendű. Jelölje ezen mozgások léptékét λ 0. Turbulens mozgásban a legnagyobb léptékű fluktuációkból a kisebbek felé folyó energiaáramot figyelhetünk meg, azaz, az energia a kis frekvenciákból áramlik a nagyokba, a legkisebb léptékű, azaz legnagyobb frekvenciájú fluktuációkban pedig hővé alakul. A fentiek szerint λ >> λ 0 esetén a fluktuációt leíró mennyiségek nem függhetnek a viszkozitástól. Ez emeli ki a hasonlósági megfontolások jelentőségét a turbulencia tanulmányozásában. A fentiek alapján becsüljük meg a turbulens áramlásban bekövetkező mechanikai energiaveszteség nagyságrendjét. Legyen ε az időegység alatt a folyadék tömegegységében disszipált energia átlaga. Az előző bekezdésben említett energiaáramlás során az energiadisszipáció végül a λ 0 léptékű fluktuációkban disszipálódik. ε nagyságrendjét a nagy léptékű mozgások jellemző mennyiségei, nevezetesen a ϱ sűrűség, az l méret és a u sebesség meghatározzák. Minthogy ε dimenziója erg/g/s, ilyen dimenziójú mennyiséget kell képezni a fenti három mennyiségből. Egyetlen ilyen mennyiség van: ε ( u)3. (7.19) l A fenti három mennyiség megszabja továbbá a ν turb turbulens viszkozitást is. Egyetlen kinematikai viszkozitás jellegű mennyiség képezhető: ν turb l u. (7.20) Határozzuk meg, a turbulens áramlás sebességének változását λ távolságon, azaz, v λ -t. Mivel ez csak ϱ, ε, λ-tól függhet, ezekből egyetlen sebesség dimenziójú kifejezés alkotható, ezért v λ (ελ) 1/3. (7.21) Vagyis, a kis távolságokon bekövetkező sebességváltozás arányos a távolság köbgyökével (Kolmogorov Obuhow-törvény). 168

170 A. N. Kolmogorov ( ) vezette be a korrelációs függvények használatát és fedezett fel egyszerű feltételek mellett, egy univerzális skálatörvényt. Ezt röviden összefoglaljuk. Vizsgáljuk a folyadék v(r, t) sebességének i-ik komponensét, v i (r, t)-t, i = 1, 2, A helykoordinátákat jelölje r = (x 1, x 2, x 3 ). Legyen a fázistér egy P pontja P = (x 1, x 2, x 3, t). Korlátozzuk vizsgálatainkat a V tartomány r V pontjaira. Mivel a turbulens mozgás leírásában szereplő φ i fázisokat nem ismerjük, ezeket véletlen mennyiségeknek tekintjük. Így végül is v i (r, t) is véletlen { mennyiség. } Jelölje az A mennyiség várható értékét E {A}. Feltesszük, hogy E {vi 2 } és E ( dv i dx j ) 2 véges mennyiség V minden pontjában. Bevezetjük az y koordinátákat a fázistérben az alábbi definícióval. Legyen y i = x i x (0) i v i (P 0 )(t t 0 ); s = t t 0, (7.22) ahol P 0 = (x (0) 1, x (0) 2, x (0) 3, t) és r 0 = (x (0) 1, x (0) 2, x (0) 3 ) V. Nyilván y i is véletlen mennyiség, hiszen v i (P 0 )-tól függ. Az új koordinátákban kifejezett sebesség komponensei w i (P ) = v i (P ) v i (P 0 ). A fázistér általunk vizsgált részét G-vel jelöljük: G = (y, s), y V ; s T, ahol T egy időintervallum. Ezzel definiáltuk a w (k) i = w i (P k ), i = 1, 2, 3; k = 1,..., n eloszlásfüggvényeket. Legyen w (0) i = w i (P 0 ). Az említett eloszlásfüggvények x (0) i, t (0), v (0) i, y (k) i és s (k) függvényei lesznek. Legyen egy ilyen eloszlásfüggvény F n = F n (x (0) 1,..., s (k) ). Ezen függvények vizsgálatára Kolmogorov bevezette az alábbi definíciókat Definíció (Lokálisan homogén turbulencia) Legyen a turbulencia lokálisan homogén a G tartományban, ha minden n-re az F n eloszlásfüggvény független az x (0) i, t (0), v (0) i koordinátáktól Definíció (Lokálisan izotróp turbulencia) Nevezzük a turbulenciát lokálisan izotropnak a G tartományban, ha az homogén és emellett F n minden n-re invariáns a forgatásokkal és tükrözésekkel szemben (az eredeti x 1, x 2, x 3 koordinátatengelyekre nézve). A fenti definíciók alapján vizsgáljuk meg lokálisan izotrop turbulencia esetén az alábbi sebességektől függő korrelációs függvényeket: E ik = E {(v 2i v 1i )(v 2k v 1k )}, i, k = 1, 2, 3, (7.23) ahol v 1 és v 2 az áramlás két közeli pontjában mért sebesség, az átlagolás pedig időbeli átlagolást jelent. Tartozzon a v 1 sebesség az r 1, a v 2 pedig az r 2 ponthoz. Legyen r = r 2 r 1, és legyen r = r < l. Feltesszük, hogy a turbulencia lokálisan izotrop, ezért az E ik tenzor nem függhet a tér egyetlen kitüntetett irányától sem, E ik -ban csak r ill. az r irányú egységvektor, n szerepelhet. Egy ilyen tenzor legáltalánosabb alakja E ik = A(r)δ ik + B(r)n i n k. (7.24) 169

171 A koordinátatengelyeket úgy választjuk, hogy az n irányú komponens indexe r (radiális), a rá merőleges t (tangenciális) legyen. Nyilván n = (n r, n t ) = (1, 0). (7.24)-ból következően E rr = A + B; E tt = A; E rt = 0. A vázolt közelítésben összefüggést állapíthatunk meg E rr és E tt között. Mivel a várható érték lineáris: E ik = E {v 1i v 1k } + E {v 2i v 2k } E {v 1i v 2k } E {v 1k v 2i }. (7.25) Az izotropia miatt E {v 1i v 1k } = E {v 2i v 2k } és E {v 1i v 2k } = E {v 1k v 2i }, ezért E ik = 2E {v 1i v 1k } E {v 1i v 2k }. Ezt differenciáljuk az r 2 koordinátái szerint: { } E ik v 2k = 2E v 1i. (7.26) x 2k x 2k Minthogy a turbulencia vizsgálata során csak a sebességnek az átlagsebességre rakódó, ingadozó részét vizsgáljuk, a kontinuitási egyenlet miatt E ik x 2k = 0. (7.27) Továbbá, E ik = E ik (x 1, x 2, x 3 ), ahol x i = x 2i x 1i, ezért az x 2k szerinti deriválás megegyezik az x k szerinti deriválással. Bevezetve a geometriához illeszkedő hengeres koordinátákat, (7.27) így írható: A + B + 2B = 0. (7.28) r Itt az r szerinti deriválást vesszővel jelöltük. Az A és B függvények kifejezhetők a nem eltűnő komponensekkel: E rr + 2 r (E rr E tt ) = 0, (7.29) ezt átalakítva: E tt = 1 d ( ) r 2 E rr. (7.30) 2r dr r >> l 0 távolságokon a sebességkülönbségek (7.21) szerint arányosak r 1/3 -nal. Mivel E ik - ban két ilyen sebesség szorzata szerepel, ezért E ik r 2/3. Ezt behelyettesítve (7.30)-be: E tt = 4 3 E rr (7.31) adódik. Ha viszont r << l 0, a sebességkülönbségek r-rel arányosak, ezért E rr = cr 2, E tt = cr 2, ezért ebben a közelítésben E tt = 2E rr. (7.32) A fenti eredményeket elsőként A. N. Kolmogorov mutatta meg 1941-ben. Eredményét szokás skálafüggetlennek tekinteni, vagyis érvényesnek a turbulenciát alkotó kaszkád 170

172 bármely tagjára, másszóval a turbulenciában megtalálható minden skálán érvényesek az összefüggések. Vannak azonban eltérő vélemények is. L. D. Landau érveket hozott fel a (7.31) összefüggés skálafüggetlenségének cáfolatára. A vitát feloldja U. Frisch gondolatmenete. Egy turbulens áramlásban a Navier-Stokes egyenlet szimmetriáinak csak egy kis része figyelhető meg. Jól ismert tény, hogy egy kísérletben egy vezérlőparaméter (pl. a Reynolds-szám) növelése bifurkációk megjelenéséhez vezet, a bifurkációk csökkentik a szimmetriát, kialakul a kaotikus állapot. Ekkor még fennáll az időeltolással szembeni invariancia, igaz, csak statisztikus értelemben. U. Frisch feltette, hogy a statisztikus értelemben fennálló szimmetriák nem korlátozódnak az időeltolásra, és a következő hipotéziseket javasolta Feltevés. Az R határesetben a Navier-Stokes egyenlet minden lehetséges szimmetriája, amelyet rendszerint meghiúsít a turbulens áramlás, statisztikus értelemben újra helyreáll kis skálákon, a határfelületektől távol Feltevés. Az Hipotézisben megfogalmazott feltételek mellett a turbulens áramlás kis skálákon önmagához hasonló, azaz, egyetlen skálakitevőt tartalmaz Feltevés. Az Hipotézisben megfogalmazott feltételek mellett a turbulens áramlás tömegegységre eső disszipációjának átlagértéke véges. A fenti hipotézisekből megkapható a Kolmogorov által is megadott hasonlósági transzformáció, 1/3 kitevővel. Általában turbulens áramlásban n mennyiség korrelációjára az l hosszal jellemzett skálán F n (l) = c n ε 1/3n l 1/3n (7.33) adódik, itt c n dimenziótlan állandó, n = 3 esetén c 3 = 4/5, egy univerzális állandó. A többi c n együttható viszont függ a geometriától, így a turbulencia skálájától is, ezért nem univerzális állandó Káosz és szimmetriák Egy fizikai rendszer fejlődését egy egyenlettípus, az ú.n. evolúciós egyenlet írja le, amelyet itt az alábbi alakban írunk: u = G(x, u), (7.34) t ahol u(x, t) a fizikai rendszert leíró állapotfüggvény, x a fázistér egy pontja, t az idő. A fizikai rendszert jellemző folyamatok határozzák meg a G(x, u) operátort, amely általában nemlineáris operátor is lehet. A G operátor lehet egy nemlineáris függvény is, ezért a továbbiakban G egyszer operátornak, máskor függvénynek tekintjük, ahogyan a tárgyalás megkívánja. 171

173 7.1. Feladat (Operátor és függvény) Amennyiben G-ben deriválás vagy integrálás szerepel, operátorról beszélünk. Ha viszont G-ben csak a matematikai analízisben megszokott műveletek (hatványozás, nemlineáris függvények) szerepelnek, akkor G-t függvénynek nevezzük, noha ekkor is egy függvényből egy másik függvényt állít elő. Példa nemlineáris operátorra: a Navier-Stokes egyenletben szereplő (v )v operátor, amely egy három komponensből álló v függvényre (ez játsza most az u függvény szerepét) hat, a következőképpen: v v = ( ) v i i v j. (7.35) j i Ez tehát operátor. Ugyanakkor az e Bv nemlineáris függvényt inkább érdemes függvénynek tekinteni. A különbség elsősorban a deriválás módjában mutatkozik meg. Függvények esetén a szokásos függvényderiváltat kell meghatározni, operátorok esetén pedig a Frechetderiváltat (ld. alább). A (7.34) egyenlet vizsgálata révén bepillanthatunk az evolúció folyamatába, azaz, egy összetett rendszer időbeni fejlődésébe. Az 5.1 pontban láttuk, hogy a kaotikus turbulens áramlás megértéséhez szükséges az evolúciót leíró operátor (azaz, a (7.17) Navier-Stokes egyenletben szereplő operátor) spektrumának ismerete. Ugyanis, legyen G független u-tól, azaz, tekintsük a lineáris esetet. Ekkor G leírására előnyösen alkalmazható sajátértékeinek és sajátfüggvényeinek összessége. Írjuk a sajátérték-feladatot GΦ i = γ i Φ i (7.36) alakba és tegyük fel, hogy a Φ i sajátfüggvények teljes rendszert alkotnak, és fejtsük ki a keresett u függvényt a sajátfüggvények bázisán: u = i A i (t)φ i (x), (7.37) ezt behelyettesítve (7.34)-be, azt látjuk, hogy az amplitudók exponenciális függvények, mert kielégítik az A i = γ i A i egyenletet. Ha a fizikai rendszert perturbáció éri, alkalmazhatjuk a (7.37) sorfejtést. Következésképpen,a perturbáció kifejthető a sajátfüggvények szerint, az egyes komponensek amplitúdója pedig a sajátáértékektől függően időben nő, csökken vagy oszcillál, ez utóbbi tiszta képzetes sajátértékek esetén áll elő. Kezdjük a vizsgálatot azzal a speciális esettel, amikor a G operátor lineáris. Legyen a t = 0-ban u(0) = i c i0φ i. Az u(t) állapotot ábrázolhatjuk a c i (t) amplitudókkal. Amennyiben minden sajátérték negatív, növekvő t-vel az amplitudók csökkenek, és t határesetben tartanak nullához, az u(t) görbe bárhonnan induljon is, az origóba jut, ld ábra. 172

174 7.1. ábra. Negatív sajátértékek esete 7.2. ábra. Komplex sajátértékek esete Komplex sajátértékek esetén pozitív valósrész esetén növekvő, negatív valósrész esetén csökkenő spirálison mozog az u(t) görbe, ld ábra. Bármilyen bonyolult legyen is az időfüggést megadó egyenlet, az u(t) állapot pályája a fázistérben néhány tipikus pályába sorolható. Ezek többsége tanulmányozható az autonóm rendszerek példáján. Megjegyezzük, hogy mechanikai alkalmazásokban kétféle rendszert különböztetünk meg, konzervatív és disszipatív rendszert. Ez a két kategória általánosítható az időfüggő folyamatokra. A konzervatív rendszerben megmarad az energia, érvényes a Liouville-tétel, amely szerint a fáziscellák térfogata nem változik az idővel. A disszipatív rendszer energiája egyre csökken, pályája ennek megfelelően egyre kisebb térrészre korlátozódik. A pályák elemzését az autonóm rendszerek példáján mutatjuk be. Előrebocsátva az autonóm rendszerek néhány tulajdonságát. Először is, ha egy autonóm rendszer pályájának van olyan u(t 1 ) pontja, amely megegyezik egy másik u(t 2 ), t 2 > t 1 ponttal, akkor a pálya u(t), t 1 t t 2 pontjai egy zárt ciklust alkotnak. Minden egyéb esetben az autonóm rendszer pályája nem haladhat át kétszer ugyanazon a ponton. 173

175 1. Stacionárius pont. Ha a fázistérnek létezik olyan pontja, amelyben u/ t = 0, és a rendszer fejlődése eljut e pontba, akkor azt nem is hagyja el. (Ezt a pontot nyelőnek is nevezik.) 2. Határciklus. Az u(t) pálya t esetén tart egy zárt ciklushoz. 3. Ciklus. Az u(t) pálya egy zárt görbében folytatódik, itt t véges. 4. Különös attraktor. Egy disszipatív rendszer pályája egyre kisebb térrészben helyezkedik el. Egyes esetekben ez a pálya nem egy zárt ciklus, a pálya nem tölti ki a szóban forgó térrészt, de a pálya dimenziója a pályagörbe dimenziója (ez természetesen 1) és a térrész dimenziója (ez u komponenseinek száma) közé eső, általában tört szám. 5. Bifurkáció, káosz. Bizonyos feltételek mellett (ezeket alább részleteiben tárgyalják) a rendszer pályája két (esetleg több) ágra bomlik. Ezt nevezik bifurkációnak. Egyes rendszerek bifurkációk sorozatán mennek át, amíg végül a lehetséges pályák sokasága jelenik meg. Ezt nevezik kifejlett káosznak. Tekintettel arra, hogy az autonóm rendszer pályája a fázistér önmagára történő leképezésnek tekinthető, a kialakuló pályák tanulmányozása a leképezések tanulmányozását jelenti. A ábrán egy nyelő látható az origóban, a 7.2 ábra origójában csak negatív valósrészű sajátértékek esetén van nyelő. A következő lépésben vizsgáljuk az elliptikus operátorok sajátértékeit. Noha áltlánosságban nem sokat tudunk az elliptikus opertátorok sajátértékeiről, az operátorok egy széles osztályára fennáll a mátrixokra vonatkozó Perron-Frobenius-tétel általánosítása Tétel (Perron-Frobenius-tétel) Legyen az A négyzetes, irreducibilis mátrix minden eleme nemnegatív. Ekkor van A-nak egy λ(a) nemnegatív sajátértéke, ehhez a sajátértékhez pozitív elemű sajátvektor tartozik. A (ke A) 1 mátrix akkor pozitív elemű, ha k > λ(a). A Perron-Frobenius-tétel általánosítása pedig a Krein-Rutman tétel. Legyen X egy Banach-tér. Egy K kúp egy komplex halmaz X-ben, amelyre minden λ > 0-ra teljesül λk K és K ( K) =. Egy X-ben található K-kúp egy részleges rendezést indukál. Jelölje ezt. X-ben u v, akkor és csak akkor, ha u v K. Feltesszük, hogy {u v, u, v K} sűrű X-ben. A tételnek több általánosítása is létezik nemlineáris operátorokra, itt a lineáris esetre közöljük a tételt Tétel (Krein-Rutman-tétel) Legyen X egy Banach-tér, K X egy kúp és T : X X egy T kompakt lineáris operátor, amely pozitív, azaz, T(K) K. A T operátor spektrális sugara legyen ρ(t) > 0. Ekkor ρ(t) > 0 egy sajátértéke T-nek, és a hozzá tartozó u sajátfüggvényre teljesül Tu = ρ(t)u, u K, továbbá T spektrális sugara megegyezik T spektrális sugarával: ρ(t ) = ρ(t). 174

176 A domináns sajátérték aszimptotikusan nagy idők esetén meghatározza a megoldás viselkedését, hiszen a többi sajátértékhez tartozó tag amplitúdója jóval kisebb, mint a domináns sajátértékhez tartozó tagé. Sajnos ennél több általánosságban nem mondható. Az időfüggő egyenletek megoldását csak a spektrum ismeretében lehet vizsgálni. A fizikában előforduló operátorok egy részének (ide tartozik a Botzmann-féle transzportegyenlet operátora és számos belőle származtatott operátor is) ma sem ismert a spektruma, ez elsősorban a stabilitásvizsgálatot nehezíti meg. A sajátértékek ismeretében vizsgálható ugyanis a megoldás stabilitása. A megoldás, vagy a vizsgált egyenletek stabilitásán a következőt értik. Amennyiben a (7.34) egyenlet u(λ, t) megoldása egy t = 0 időpontban megadott kezdőfeltétel esetén ismert, megvizsgáljuk, az egyenletben szereplő λ paraméter kis megváltozása (azaz, λ + δ, δ << 1 esetén az u(λ + δ, t) megoldás elegendően nagy t esetén mennyire változik meg. Ha azt látjuk, hogy minden t > T esetén u(λ, t) u(λ + δ, t) << 1, akkor az (7.34) egyenlet megoldása stabil, ellenkező esetben instabil. A G(λ, u 0 ) = 0 stacionárius egyenlet megoldását stabilnak nevezzük, ha a G/ u(λ, u 0 ) operátor spektruma a komplex sík baloldalára (azaz, a negatív képzetes részű sajátértékekre) van korlátozva. Amennyiben(7.34) lineáris, a derivált egy állandó mátrix, ellenkező esetben az u szerinti deriváltat az alábbi módon kell kiszámítani (Frechet-derivált): G(λ, u) G(λ, u + εv) G(λ, u) v = lim. (7.38) u ε 0 ε Vagyis, a G függvény vagy operátor deriváltja az az operátor, amely a (7.38) határátmenet végrehajtása után a v U függvényre hat. Amennyiben G függvény, a Frechetderivált megegyezik az analízisben használatos deriválttal. Ha viszont G egy operátor (pl. deriválást tartalmaz), akkor kiszámításához az alábbi tulajdonságokat lehet felhasználni Feladat (A Frechet-derivált tulajdonságai) Amennyiben a λ paraméter értékét rögzítjük, a Frechet-derivált csak u-tól függ, a G függvény vagy operátor, ez nézőpont kérdése, u szerinti deriváltját G -vel jelöljük. Könnyen belátható, hogy a (7.38) Frechetderivált rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: 1. Ha G = u = const, azaz a G operátor minden u függvényt egy állandóba képez le, akkor G (u) 0, vagyis, akkor G deriváltja a nulla lineáris operátor. 2. Legyen G lineáris, azaz álljon fenn G(u 1 +u 2 ) = G(u 1 )+G(u 2 ). Ekkor G (u) = G. 3. Összetett függvény deriváltja. Legyen U, V és W három normált tér. Legyen U(u), ahol u U, az U tér u pontjának egy környezete. Az G 1 operátor képezze le ezt a környezetet a V térbe. Legyen V (v) a v = G 1 (u) pont egy környezete. A G 2 operátor képezze le ezt a környezetet a W térbe. Ha G 1 differenciálható az u, G 2 pedig a v pontban, akkor az U W leképezést megvalósító G 3 = G 2 G 1 összetett operátor is differenciálható az u pontban és G 3(u) = G 2(v)G 1(u). 175

177 4. Legyen G 1 és G 2 U V folytonos leképezés. Ha G 1 és G 2 differenciálható az u U pontban, akkor (G 1 + G 2 ) u = G 1(u) + G 2(u), továbbá adott a szám esetén (ag 1 ) (u) = ag 1(u) Feladat (A Frechet-féle derivált használata) Határozzuk meg az F (u) = u n, folytonos függvényt folytonos függvénybe leképező operátor Frechet-deriváltját! (7.38) alapján F (u + th) n u n (u)h = lim, (7.39) t 0 t a binomiális tételt felhasználva, elvégezve a határátmenetet, az alábbi eredményt kapjuk: F (u)h = nu n 1 h. (7.40) Ezután megfogalmazhatjuk, mikor találkozunk bifurkációval a (7.34) egyenlet megoldásakor. Legyen (7.34) egy ismert megoldása u(λ). Legyen a G u = G/ u(λ, u 0 ) operátor egyik sajátértéke σ(λ), amely előjelet vált λ = λ 0 -nál. Legyen a sajátérték deriváltja dσ/dλ 0 > Tétel (Bifurkáció tétel) A fenti feltételek mellett létezik (7.34)-nek egy sima, nemtriviális λ(ε), u(ε) megoldása, amely a (λ 0, u 0 ) pontban bifurkál az u(λ) megoldástól. Legyen u E és legyen a G operátor egy leképezés az L E térből az F térbe, és λ L. Jelölje L 0 = G u (λ 0, u 0 )-t. Legyen N az L 0 operátor nulltere, azaz, ϕ 0 N ha L 0 ϕ = 0. Az L 0 operátor R értékkészlete azon f függvényekből áll, amelyekre L 0 u = f. A Fredholm-alternatíva tétel alapján ennek feltétele (f, ϕ 0 ) = 0, a jobboldal és ϕ 0 ortogonalitása. Az invariancia vizsgálatához egy nemlineáris függvény transzformáció alatti viselkedését kell leírni a 2. fejezetben ismertett módon. Ennek haszna abban jelentkezik, hogy a (7.36) sajátfüggvények legalább lineárisan függetlenek vagy ortogonálisak. A sajátfüggvényeket invarianciájuk alapján is lehet osztályozni, a két felosztás összevetéséből kitűnik, hogy a magasabb sajátértékhez kevésbé szimmetrikus megoldás tartozik. Írja le a transzformációt a T operátor. A T operátort a (7.34) egyenlet szimmetriájának nevezzük, ha fennáll TG(λ, u) = G(λ, Tu). (7.41) Az (7.34) egyenlet szimmetriáit jelölje G, a csoport egy reprezentációja, amely az E téren hat, e reprezentáció álljon a T g, g G operátorokból. Bontsuk fel a stacionárius G(λ, u) = 0 (7.42) 176

178 egyenletet egy N-be eső v = Pu komponensre, és egy N-re merőleges ψ komponensre (ezt vetítse ki a Q = 1 P projektor). Ezzel (7.42) két egyenletre esik szét: QG(λ, v + ψ) = 0 (7.43) PG(λ, v + ψ) = 0. (7.44) Az első egyenletből meghatározhatjuk ψ = ψ(λ, v)-t. Ezt behelyettesítjük a második egyenletbe: F (λ, v) PG(λ, v + ψ(λ, v)) = 0. (7.45) A kapott egyenletet bifurkációegyenletnek nevezik, mert megadja (7.42)-nek egy (λ 0, u 0 ) pontban bifurkáló megoldását. Legyen N az L 0 = G u (λ 0, u 0 ) operátor nulltere, amelynek dimenziója legyen N. Legyen az N-re vetítő P operátor egyúttal E leképezése E-re és F leképezése F-re. Mivel (7.45)-ben már csak v-t kell meghatározni, az pedig az N dimenziós N-tér eleme, az eredetileg végtelen dimenziós egyenletet véges dimenzióssá redukáltuk. Ezt az eljárást Ljapunov-Schmidt eljárásnak nevezik. Az alábbi tétel azt mutatja be, hogyan használhatjuk ki azt a tényt, hogy az N nulltér szimmetriája az E(2) euklideszi csoport Tétel Legyen adott egy G csoport, annak egy T ábrázolása, az ábrázolás általános eleme legyen T g, amelynek hatása definiált E-n. Álljon fenn a (7.41) öszefüggés a T ábrázolás minden elemére. Ekkor az L 0 = G u (λ 0, u 0 ) operátor kommutál T g -vel és a (7.45) bifurkációegyenlet kovariáns a T g ábrázolás N-re korlátozott végesdimenziós ábrázolásával, vagyis, a T ábrázolás minden T g elemére fennáll T g F (λ, v) = F (λ, T g v). A bifurkációegyenlet szimmetriája felhasználható magának a bifurkációegyenletnek a megkonstruálására, amennyiben az N nulltér G N szimmetriacsoportjának T reprezentációja ismert. G N szimmetriacsoportját tekinthetjük az E(2) euklideszi-csoportnak (ld fejezet), amennyiben feltesszük, hogy a (7.34) egyenlet valamilyen véges eltolással szemben invarianciát mutat. E felismerés előnye, hogy a 4.1. fejezetben ismertetett vizsgálatokat, így az E(2) csoport (4.12) ábrázolását is, alkalmazhatjuk. Ez a körülmény a bifurkációegyenlet jelentős egyszerűsítésére vezet, elsősorban a többszörös sajátértékek esetében. Lehetővé teszi a bifurkáció problémájának geometria szerinti osztályozását valamint egy olyan elmélet kidolgozását, amely független a vizsgált probléma fizikai vonásaitól. Érdemes felfigyelni arra, hogy a reprezentációelmélet lineáris, míg a bifurkáció alapvetően nemlineáris jelenség. A reprezentációelmélet alapjait a 2. és 4. fejezetekben tárgyaltuk, itt most a bifurkációegyenlet tenzor jellegét vizsgáljuk meg. Most a (7.45) bifurkációegyenletben szereplő F nemlineáris függvényt itt operátornak tekintjük és felbontjuk fokszám szerinti tagokra, a kapott tagokat külön-külön vizsgáljuk. Fejtsük ki a (7.45) bifurkációegyenletletben szereplő műveleteket az alábbi módon: F(λ, v) = A(λ)v + B 2 (λ, v, v) + B 3 (λ, v, v, v) +... (7.46) 177

179 Itt A(λ) egy lineáris leképezés: A(λ) : N QF, ahol N az F(λ, v) operátor nulltere, F pedig a G operátor értékkészlete. A (7.46)-ban szereplő B k (λ, v,..., v) operátor egy k-lineáris operátor: B k : N N... N QF. A jelen paragrafus képleteiben a... jelentése: a szóban forgó mennyiségek k-szor ismétlődnek. Legyen a (7.57) egyenlet λ 0 paraméterhez tartozó megoldása u 0. Ha u 0 0, akkor helyettesíthetjük az eredeti G(λ, u) egyenletet a G(λ, u+u 0 ) G(λ, u)-val. Az új egyenletnek nyilván megoldása lesz az azonosan nulla függvény. Ezért tekinthetjük a fenti értelemben módosított egyenlet egy megoldásának az u 0 függvényt és a bifurkációt ettől való eltérésként vizsgálhatjuk. Először is, vegyük észre, hogy v 0 mindig megoldás, összhangban azzal a feltevésünkkel, hogy az azonosan nulla függvény megoldása a (7.34) egyenletnek. Vizsgáljuk meg a B 2 (λ, v, v) bilineáris operátort. Nyilván fennáll B 2 (τv, τv) = τ 2 B 2 (v, v). Nyilván B 2 (λ, v, v) kvadratikus v-ben, ez módot ad a kavadratikus K(u, v) operátorok és bilineáris operátorok közötti kapcsolat megállapítására: B 2 (λ, u, v) = 2 K(su, tv) s t s=0,t=0. Ezt a megállapítást felhasználjuk a bifurkációegyenlet vizsgálatánál Definíció (Kovariancia) Legyen F (λ, u) tetszőleges függvény vagy operátor. Legyen u N, legyen D : g D g az N téren értelmezett G csoport végesdimenziós ábrázolása. Az F (λ, u) függvényt kovariánsnak nevezzük a D ábrázolás alatt, amennyiben minden g G esetén fennáll D g F (λ, u) = F (λ, D g u). Legyen a (7.34) egyenlet kovariáns egy G csoport D reprezentációja alatt. Deriváljuk a (7.34) egyenletet u szerint: D g G u (λ, u) = G u (λ, D g u)d g. (7.47) Azt kaptuk, hogy a G u operátor a fenti értelemben kommutál a G csoport D ábrázolásával. Mivel a bifurkációs pont v = 0, ezért a (7.45) és (7.46) egyenletek azt írják le, hogy a sajátértéket és a sebességtér perturbációit hogyan határozzák meg a fizikai folyamatok. Természetesen nem ismerjük az infinitezimális perturbációk tulajdonságait, de az N-térben értelmezett G N automorfizmuscsoport alkalmat ad arra, hogy a perturbációkat, és így a perturbációt leíró egyenletben szereplő tagokat felbontsuk irreducibilis komponensekre. A további erőfeszítések célja egyszerűsített leírást találni a (7.46) egyenlet irreducibilis komponenseire. Tegyük fel, hogy egy G csoport hatását egy N dimenziós vektortér elemeire egy végesdimenziós D g, g G mátrix reprezentációval adjuk meg. Egy B k leképezés, amely k-lineáris, akkor kovariáns, ha D g B(u 1,..., u k ) = B(D g u 1,..., D g u k ). (7.48) Mivel a tétel szerint (7.45) kovariáns, a (7.46)-ban szereplő minden tag kovariáns lesz, továbbá, minden tag szimmetrikus változóiban, ezért csak az alábbi kifjezéseket 178

180 vizsgáljuk: B k (λ, v,..., v), vagyis, ahol az argumentumban szereplő v függvények azonosak. Ez a körülmény jelentősen leegyszerűsíti a tenzorok vizsgálatát, mert egy V vektortér felett értelmezett szimmetrikus tenzorok algebrát alkotnak, ez az algebra izomorf a z 1,..., z n n = dim(v) változók polinomjainak algebrájával. Példának okáért vizsgáljuk a k-lineáris tenzorszorzatot: ϕ i1 ϕ ik -t. Ennek a tenzornak a szimmetrikus részére van szükségünk, ezt k elem π permutációinak S k halmaza segítségével állítjuk elő. A π permutációnak tehát k eleme van, az i-ik elem legyen π(i). 1 k! π S k ϕ iπ(1) ϕ π(k) (7.49) A (7.49) szimmetrizált tenzorszorzatot egyértelműen meghatározzák az n j számok, ahol n j megadja ϕ j előfordulásának számát a ϕ i1 ϕ ik szorzatban. Így végülis a (7.49) n vektort cimkézhetjük a z 1 n 1... z k k k változós polinommal. Egy tetszőleges k-adrendű szimmetrikus tenzort pedig cimkézhetünk az alábbi k-adfokú homogén polinommal: α A α z 1 α 1... z n n, α = α α n. (7.50) α =k A V vektorteret azonosítjuk a z 1,..., z n -ben lineáris polinomokkal. A V elemeiből képzett k-tényezős szimmetrikus szorzatot (7.50)-tal azonosítjuk. Mivel a szóbanforgó V vektortér függvénytér, ezért feltesszük, hogy a polinomban szereplő z i változók komplex számok. Ekkor a B(v,..., v) homogén, k-adfokú tenzor egy n dimenziós térben b 1 (z 1,..., z n )., (7.51) b n (z 1,..., z n ) alakú. Itt minden b j homogén, k-adfokú polinom. A bifurkációegyenlet megkonstruálásához a szimmetriacsoport hatását kell megvizsgálni a z 1,..., z n változók polinomjain. A csoport hatását a z i -kre (tehát a teret alkotó függvényekre) ismerjük. Ilyen módon a (7.46)-ben szereplő tagokat F j (z 1,..., z n ) alakba írhatjuk, mindegyik egy külön egyenletnek tekinthető Tétel Legyenek a bifurkációt leíró F j (z 1,..., z n ) egyenletek kovariánsak egy adott D reprezentációval szemben. Amennyiben D irreducibilis, a lineáris tagok F j = λz j alakúak, míg ha D reducibilis, akkor a lineáris tag minden irreducibilis blokkon egy skalárszorosa az egységmátrixnak, a szorzótényező minden irreducibilis altérben más. Tegyük fel, hogy a perturbációk szabályos háromszögrácsot mutatnak. A következő példában meghatározzuk a kvadratikus irreducibilis kifejezések számát, a rákövetkező példában pedig meg is határozzuk a megfelelő függvényeket. 179

181 7.4. Feladat (A szimmetrikus leképezések száma C 3v szimmetria esetén) Amennyiben a bifurkációt leíró (7.45) egyenlet invariáns a szabályos háromszög szimmetriáival szemben, a másodfokú szimmetrikus leképezések számát az alábbiak szerint határozhatjuk meg. A csoport karaktertábláját a 2.1. táblázat tartalmazza. A (2.25) képlet adja meg k = 2 esetén az invariáns másodfokú leképezések számát, abban szerepel a (2.26) kifejezés. Ezt értékeljük ki először: χ (2) (g) = i 1 +2i 2 =2 χ i 1 (g)χ i 2 (g 2 ) 1 i 1 i1!2 i 2 i2! = χ2 (g) 2! + χ(g2 ). (7.52) 2 Mivel egy konjugált elemosztályon belül a karakterek azonosak, (7.52)-et csak a három elemosztály egy-egy elemére kell kiszámolni. A konjugált elemosztályokat a 2.6. táblázat tartalmazza. A számításhoz le kell rögzíteni a csoport reprezentációját is, válasszuk a két egydimenziós és egy kétdimenziós irreducibilis altérből álló reprezentációt, így a csoportelemeket 4 4-es mátrixok írják le, a karakterek a mátrixok spúrjai. Ezért χ(e) = 4, χ(t) = χ(t 2 ) = 1, és χ(s) = χ(st) = χ(st 2 ) = 0. Ebből azonnal kapjuk: χ (2) (e) = 10, χ (2) (t) = χ (2) (t 2 ) = 1, és χ (2) (s) = χ (2) (st) = χ (2) (st 2 ) = 2. Az invariáns másodfokú leképezések számát (2.25)-ből kapjuk: 1/6( ) = 7. Most előállítjuk az előző példában meghatározott számú invariáns függvényt Feladat (Az 7.4. példa irreducibilis függvényeinek előállítása) Bevezetjük az x, y, z, z változókat, a V vektorteret pedig ezen négy változó lineáris polinomjaiból állónak tekintjük. Definiálni kell a csoport két generátorának hatását a fenti változókra, ezt az alábbiakban megadjuk: (az alábbiakban tehát t és s a C 3v csoport generátorait jelöli, v.ö példa a 2. fejezetben): tx = sx = x, ty = y,sy = y, tz = e 2π/3 z, tz = e 2π/3 z, sz = z, sz = z. x tehát a háromszögre merőleges tengely,az y tengely merőleges a háromszög magasságvonalára (amely az s tükrözés síkja), a forgatás leírására pedig a z, z változókat fogjuk használni. Ezekből az alábbi invariáns kifejezések képezhetőek: x, z 2, y 2, z 3 és z 3. Tekintsünk egy általános F leképezést, azaz, F (x, y, z, z) függvényt. Amennyiben megmaradunk az példában tárgyalt reprezentáció mellett, F -et felbonthatjuk két egydimenziós, és egy kétdimenziós irreducibilis komponensre. Jelöljük F komponenseit F i (x, y, z, z)-vel, ahol i = 1,..., 4. A továbbiakban ezeket a komponenseket határozzuk meg. Az első komponens, F 1, az egységreprezentációhoz tartozik, vagyis invariáns minden csoportelemmel szemben, ezért csak az invariáns kifejezések függvénye lehet, ezért F 1 = F 1 (x, z 2, y 2, z 3, z 3 ). Az F 2 komponens úgy transzformálódik a csoportelemek alatt mint y, ezért F 2 = yf 1 (x, z 2, y 2, z 3, z 3 ). F 3 és F 4, a kétdimenziós ábrázolás két bázisa, amelyet az ábrázolás elemei (forgatások, eltolások) egymásba transzformálnak. A 180

182 legfeljebb kvadratikus tagokig bezárólag: F 1 = λ 1 x + ax 2 + by 2 + c z (7.53) F 2 = y(λ 2 + dx) +... (7.54) F 3 = λ 3 z + exz + fyz + gz (7.55) F 4 = λ 4 z + exz fyz + gz (7.56) A fenti kifejezésekben hét lehetséges, független másodfokú tag van, ezek együtthatóit a,..., g jelöli. Ezek a tagok adják ki a feladatban meghatározott hét kvadratikus szimmetrikus komponenst. Megjegyezzük, hogy egy adott probléma vizsgálata során az együtthatók meghatározása hosszadalmas numerikus számításokat igényel. A bifurkációs egyenletek megkonstruálása természetesen függ az E(2) csoportban jelenlévő transzlációtól, vagyis a rácstól. Ez utóbbi viszont az infinitezimális perturbációktól függ. Végül, az általános esetben a következő megállapítást tehetjük. A sajátfüggvények ortogonalitása miatt a magasabb sajárértékekhez tartozó sajátfüggvények többször is előjelet váltanak, ennek megfelelően szimmetriájuk is általában alacsonyabb rendű, mint az első néhány módusé. Általában azok a módusok gerjesztődnek könnyen amelyeket a legkisebb energiával lehet gerjeszteni. A gerjesztés energiáját pedig a sajátértékkel lehet kapcsolatba hozni Feladat (Az eltolási invariancia sérülése) Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a konvekció modellezésére használatos Boussinesq-egyenletek eltolási invarianciája hogyan sérül, azaz, szimmetriája hogyan csökken bifurkáció során. A Boussinesq-egyenletben öt ismeretlen függvény van, a sebességvektor három komponense v 1, v 2, v 3, a p nyomás és a θ hőmérséklet. A független változók a hely (x 1, x 2, x 3 ) és az idő (t). A vizsgált egyenletben tehát u (v 1, v 2, v 3, θ, p) a keresett függvény. Ennek megfelelően G(λ, u) is öt egyenletből áll: v k + δ k3 θ p x k = 1 ν/κ θ + Rv 3 = 3 j=1 3 j=1 3 j=1 v k v j + v k x j t θ v j + θ x j t (7.57) (7.58) v j x j = 0. (7.59) Az első egyenletben k = 1, 2, 3. Az egyenletben szereplő paraméterek a ν/κ Prandtlszám, R a Rayleigh-állandó, δ nem paraméter, a Kronecker-féle deltafüggvényt jelöli, a Laplace-operátor. A fizikai folyamat a következő. Adott két vízszintes sík (ezeket 181

183 x 3 = állandóval adjuk meg), amelyek hőmérséklete külön-külön állandó. A két sík között homogén közeg helyezkedik el. A közeg összenyomhatatlan folyadék. A hőmérsékletkülönbség hatására kialakuló konvekció el fogja rontani a különben fennálló (x, y) síkbeli eltolásokkal szembeni invarianciát. A jelenséget a hőmérséklet perturbációjával (θ) és a sebességtér (v 1, v 2, v 3 ) segítségével írjuk le. Tehát a vizsgált feladatban u szerepét egy ötelemű vektor veszi át, amelynek komponensei (v 1, v 2, v 3, θ, p). A λ paramétervektor a (7.57) egyenletekben szereplő állandók ν/κ, R, tehát a paraméterek száma kettő. Első lépésben az eltolásokkal szembeni invarianciát fogalmazzuk meg. Ehhez a 4. fejezetben bemutatott (4.14) reprezentációt használjuk fel. A (7.57) egyenletek invariánsak az euklideszi sík forgatásaiból és eltolásaiból álló E(2) csoporttal szemben. Az E(2) csoport egy reprezentációját megadja (4.14), amennyiben a csoport elemeit skalár függvényre alkalmazzuk. Itt az E(2) csoportot ötelemű vektorfüggvényre kell alkalmazni. Általában a g csoportelem T g reprezentációja egy n > 1 komponensből álló függvény esetén így adható meg: (T g u) (x) = (S g (u)) (g 1 x), (7.60) ahol S g egy n n-es mátrix, az E(2) csoport g elemének reprezentációja a vizsgált egyenletet jelölő G operátor értelmezési tartományán. Megmutatható, hogy a (7.57) egyenletek invarinciát mutatnak a (7.60) transzformációval szemben, ahol S g elemei skalárok. Ez annyit jelent, hogy fennáll a 3. definícióban megadott kovariancia: T g G(λ, u) = G(λ, T g u). (7.61) Írjuk a linearizált egyenletet L(λ) = G u (λ, 0) alakba. Az L operátor nyilván rendelkezik a (7.61) tulajdonsággal, amennyiben g E(2). Amiatt kommutál az eltolásokkal is. Deriváljuk ugyanis (7.61)-at u szerint, helyettesítjük G-t L-el: T g L(λ, u) = L(λ, T g u)t g. Ezért azon függvények altere, amelyet L invariánsan hagy, (4.24) szerint ψ k = ve ikx alakúak. A megoldás stabilitása Ljapunov-szerint az L(λ) operátor sajátértékeitől függ. Legyen a sajátérték σ(λ, k). Egy tipikus bifurkációs pontot mutat a 4.1. ábra. A kritikus pont (k c, λ c ), itt történik a bifurkáció. Ebben a pontban k c infinitezimális megváltozására a λ értéke instabillá válik. Mivel L(λ c ) invariáns a forgatásokkal szemben, nulltere is invariáns a forgatásokkal szemben, ezért a nulltéren bázisként használhatjuk az S r ve i(kx) (7.62) alakú függvényeket, ahol az E(2) csoport azon r indexű elemei szerepelnek, amelyek forgatásokat írnak le. Ez az altér végtelen dimenziós (mivel végtelen sok k vektorral jellemezhető), de véges dimenzióssá tehető, ha bevezetjük a 6. fejezetben ismertetett (6.2)-vel definiált reciprokrácsot. Ekkor a nulltér olyan hullámvektorokkal jellemezhető, amelyben 182

184 7.3. ábra. Bifurkációs pont szereplő k vektorok recirokrács-vektorban térnek el. Kérdés, milyen eltolások szerepeljenek a reciprokrácsban, hiszen a vizsgált probléma tetszőleges eltolással szemben invariáns lehet. Ezt nem tudjuk, ezért célszerű ez elemi eltolások értékét változóként meghagyni és minden szóbajövő rácsot megvizsgálni. Ez viszont elég terjedelmes lenne, ezért egyetlen rácsot fogunk vizsgálni, ez a hatszöges rács, amelyről feltesszük, hogy invariáns a d eltolással szemben. Alább megmutatjuk, hogy egy hatszöges rácson az L(λ) operátor nullterébe tartozó függvények kifejthetőek a (7.62) függvények szerint hat k i irány segítségével. Nyilván az N altér függ a d veltortól, ezért indokolt a nullteret N(d)-vel jelölni. Ezeket a függvényeket az E(2) csoport elemei egymásba transzformálják, ezért az L 0 operátor N(d) nullterének általános elemét w(x) = 6 z j ψ j (x) (7.63) j=1 alakba írhatjuk, ahol ψ j a k j hullámvektorhoz tartozó függvény (7.62)-ban. Amennyiben valós függvényeket vizsgálunk, a z együtthatók között összefüggések állnak fel, hiszen alkalmas j, k indexek esetén (itt a felülvonás komplex konjugálást jelent): ψ j (x) = ψ k (x). Legyen a k i hullámvektorok számozása olyan, hogy z 1 = z 4, z 2 = z 5 és z 3 = z 6. Mivel (7.62)-ban hat függvény szerepel, ezért az N(d) nullteret hatdimenziósnak tekintjük. A... tétel (?) szerint az N(d) vektortéren vizsgáljuk annak automorfizmuscsoportjának hatását. Először azonosítjuk N(d)-t a hatváltozós (legyenek a változók z 1,..., z 6 komplex mennyiségek), lináris polinomok terével. Ezután megvizsgáljuk a hatszöges rács automorfizmusainak hatását ezen a téren. A hatszöges rács diszkrét csoportja izomorf a D 6 csoporttal, ennek két generátora van s és t(v.ö. 15. példa a 2.4. fejezetben). Ezeket permutációkkal reprezentáljuk a z 1,..., z 6 változókon: s(z 1,..., z 6 ) = (z 2,..., z 1 ) és t(z 1,..., z 6 ) = (z 1, z 6, z 5, z 4, z 3, z 2 ). A d-vel való eltolással szembeni invariancia: T d = ( ) e ik1d z 1,..., e ik6d z 6. Szükség lesz még a komplex konjugálás operátorának hatására, amely a következő: J(z 1,..., z 6 ) = (z 1,..., z 6 ). A bifurkációegyenletben szereplő 183

185 F leképezést most függvénynek tekintjük, amelynek hat irreducibilis komponense van, legyenek ezek F = (F 1,..., F 6 ). Mivel a leképezés kovariáns, fennáll tf = F t, ezért F j (z 1,..., z 6 ) = F i (z 1,..., z 6 ), (7.64) ahol j = 1 + mod(i, 6). (7.64)-szerint ha F 1 ismert, a többi komponens meghatározható az argumentumok ciklikus permutációjával. Hasonlóan, sf = F s-ből: F j (z 1,..., z 6 ) = F i (z 1, z 6, z 5, z 4, z 3, z 2 ), (7.65) ahol az j index az s permutáció i-ik pozíciójában álló index. A perturbációegyenlet invariáns a konjugálásra is: JF = F J, ebből adódik az alábbi összefüggés: Az egyenlet eltolással szembeni invarianciájából adódóan: F i (z 1,..., z 6 ) = F i (z 1,..., z 6 ). (7.66) e ik 1d F i (z 1,..., z 6 ) = F i (e ik 1d z 1,..., e ik 6d z 6 ), i = 1,..., 6. (7.67) A (7.64)-(7.67) összefüggésekből meghatározhatjuk az általános kovariáns F leképezés alakját. Felbontjuk az F i komponenseket lináris, kvadratikus, köbös s.í.t. tagokra. Itt csak a lineáris taggal foglalkozunk. (7.67)-ból következik, hogy F i = az i,, i = 1,..., 6. (7.68) A 17. tételből jól látható, hogy a bifurkáció stabilitása függ a rácstól. Ennek itt nem részletezhető vizsgálata során hasznos az alábbi egyszerűsítés. Mivel a z i együtthatók között összefüggést teremt a k i hullámvektorral jellemzett síkhullámok közötti kapcsolat, célszerű bevezetni a z j = x j e iθ j, z j+3 = x j e iθ j, j = 1, 2, 3; (7.69) változókat. Ezekre a változókra az s, t generátorok és a d eltolás hatása: s(x 1, x 2, x 3, θ 1, θ 2, θ 3 ) = (x 1, x 2, x 3, θ 2, θ 3, θ 1 ) (7.70) t(x 1, x 2, x 3, θ 1, θ 2, θ 3 ) = (x 1, x 3, x 2, θ 1, θ 3, θ 2 ) (7.71) T d (x 1, x 2, x 3, θ 1, θ 2, θ 3 ) = (x 1, x 2, x 3, θ 1 + (k 1 d), θ 2 + (k 2 d), θ 3 + (k 3 d)). (7.72) A fenti változók bevezetésével a változók száma felére csökken. A redukált bifurkációs egyenletek rácsperiodikus perturbációk esetére vonatkozó, az E(2) csoporttal szemben invariáns (kovariáns) bifurkáló megoldások: Négyzetrács vagy téglalaprács esetén: x 1 (τ + cx dx 2 2 ) = 0 (7.73) x 2 (τ + cx dx 1 2 ) = 0. (7.74) 184

186 Hatszöges rács (k=2) esetén: τx 1 x 2 x 3 = 0 (7.75) τx 2 x 3 x 1 = 0 (7.76) τx 3 x 1 x 2 = 0 (7.77) Hatszöges rács (k=3) esetén: x 1 (τ + cx 2 1 d(x x 2 3 )) = 0 (7.78) x 2 (τ + cx d(x x 2 1 )) = 0 (7.79) x 3 (τ + cx d(x x 2 2 )) = 0. (7.80) Itt az x i -ktől független tagokat egyetlen τ-val jelölt tagba vontuk össze. A (7.73) megoldás az alábbi esetekben stabil: d < c < 0 és c + d < 0, c d < 0. A (7.75) egyenlet minden esetben instabil. A (7.78) megoldás az alábbi esetekben stabil: d < c < 0 és c < d, c + 2d < 0. Az alábbi tétel összekapcsolja a redukált (7.45) bifurkációegyenlet (7.73)-(7.78) megoldásaiban szereplő c és d állandókat a vizsgált egyenletben szereplő λ paraméterekkel. Természetesen a probléma természete miatt a kapcsolat implicit jellegű Tétel Létezik egy q(θ) függvény az alábbi tulajdonságokkal: q(θ) = A 2i cos(2iθ) (7.81) i=0 amelyből megkapható a (7.73) képletekben szereplő c és d állandó értéke: c = 3q(0); d = 6q(α), (7.82) ahol α a rács két bázisvektora közti hegyesszög. Az A 2i együtthatók függenek a megoldandó problémában szereplő fizikai állandóktól. Ezután már alkalmazható a stabilitásra korábban kapott eredmény: a kialakuló áramlás stabilitása a nulltér elemeiben szereplő c, d állandók függvénye, vö. (7.73)-(7.78). E két állandót viszont az infinitezimális perturbációk határozzák meg. Végeredményben a fenti, kvalitatív vizsgálat azt mutatja, hogy a kezdetben eltolás invariáns megoldás helyett egy véges eltolásokkal szemben invarianciát mutató áramlási szerkezet fog kialakulni. Az eltolás nagysága a feladat fizikai paramétereitől függ, a kialakuló rács típusa pedig a q(θ) függvénytől. 185

187 7.5. Összetett tartomány A jelen fejezet az algebra és a geometria kapcsolatának egyes kérdéseivel foglalkozik. A 2. fejezetben már láttunk példát a geometria és az algebra egyfajta kapcsolatára, amikor bemutattuk, hogy minden véges csoport ábrázolható egy Cayley-diagrammal, ami nem más mint egy geometriai struktúra, egy gráf. A Lorentz-transzformáció vizsgálata során láttuk, hogy a téridő struktúráját vizsgálhatjuk algebrai módszerekkel is. Létezik a geometriának egy ága, az algebrai geometria, amelynek tárgya alakzatok viselkedésének tanulmányozása folytonos és diszkrét transzformációk alatt. Korábban is vizsgáltuk, milyen transzformációk viszik át pl. a négyzetet önmagában, ezek a transzformációk azonban merev és diszkrét mozgások voltak. Amennyiben egy geometriai ábrát, amilyen a négyzet, vagy a kör, pontok tetszőleges halmazának tekintünk, a kérdés túl általános. Ezért csak a végesen leírható geometriai ábrákkal foglalkozunk. Azokat az ábrákat, amelyeket egy folytonos transzformáció egymásba visz át, homeomorfnak nevezzük. Például a téglalap és a tórusz homeomorf ábrák, mert ha a téglalapot összesodorjuk úgy, hogy két szemben lévő oldalát összeragasztjuk, megkapjuk a tóruszt. Az eljárás során említett transzformációk folytonosak. A tórusz és a téglalap leképezése kölcsönösen egyértelmű. Léteznek azonban egy-többértékű leképezések is. Tekintsük az egységsugarú körívet (S 1 ) és a valós számegyenest (R 1 ). Az f : R 1 S 1 leképezést megvalósítja az f(x) = x mod 2π függvény, hiszen 0 y = f(x) < 2π, és x = y + 2nπ valamely n egészre. Ezt a fajta leképezést fedésnek nevezzük. Két geometriai ábra (esetünkben a körvonal és a számegyenes) között hoztunk létre leképezést. Mivel az egész számok csoportot alkotnak az összeadás műveletére nézve, ezért azt is mondhatjuk, a számegyenest előállítottuk az egységkörből arra alkalmazva egy csoport (esetünkben az egész számok csopotjának) elemeit. Legyen értelmezve a G csoport hatása az X halmazon. Ekkor minden x X ponthoz és g G csoportelemhez hozzárendelhető egy g(x) pont, ami az x pont képe a g csoportelem hatása alatt. Ha a G csoport X automorfizmusaiból áll, akkor x, g(x) X, minden g G-re. Tekintsük az y = g(x) relációt, ami szimmetrikus, tranzitív és reflexív, tehát ekvivalenciarelációként használható. Ebből következően X orbitok diszjunkt uniójára bontható, egy orbithoz a g(x) pontok tartoznak, rögzített x-szel. Ekkor létezik olyan X 0 X tartomány, amely minden orbitot metsz. X 0 -t az X halmaz fundamentális tartományának nevezzük Feladat (Szabályos sokszög fundamentális tartománya) A négyzet fundamentális tartománya egy derékszögű háromszög, amelynek középponti szöge π/4. Szabályos n-szög fundementális tartománya egy derékszögű háromszög, amelynek középponti szöge 186

188 7.4. ábra. Négyzet fundamentális tartománya π/n, ld ábra t tartománya. Az ábra α és γ oldalaira történő tükrözésekkel előáll az egész négyzet, ugyanakkor a γ oldal végig külső oldal marad. A sokszög szimmetriái a fundamentális tartományt más háromszögekbe viszik át, ezek összessége éppen kiadja a szóbanforgó sokszöget. Az X 0 fundamentális tartomány pályája a G automorfizmuscsoport alatt éppen X. Az x 0 X 0 pontok pályája a G csoport alatt lefedi X-et, amennyiben x végig fut X 0 pontjain. Amennyiben X-en távolság van definiálva, X-et topologikus térnek nevezzük Feladat (A gömbfelület topologikus tér) A gömbfelület paraméterezhető két paraméterrel: 0 ϑ π és 0 ϕ 2π. Az egységsugarú gömbfeleület egy pontjának koordinátáit megadja x = sin ϑ cos ϕ, y = sin ϑ sin ϕ, z = cos ϑ. A ds távolságot definiálhatjuk ds 2 = dx 2 + dy 2 + dz 2 alapján: ds 2 = sin 2 ϕdϕ 2 + dϑ 2. Vizsgáljuk meg egy V tartományt az összefüggőség szepontjából. Azt mondjuk, hogy V tartalmazza az F pályát, ha létezik olyan f : t [0, 1] P V függvény, amelynek minden pontja V -be esik. Ekkor az F pálya összeköti az f(0) és az f(1) pontokat. Amennyiben f(t) állandó függvény, akkor a hozzá tartozó F pályát nullapályának nevezzük. Két V -ben haladó pályát homotopnak nevezünk, ha létezik olyan folytonos transzformáció, amely az egyik pályát, f 1 (t)-t, folytonosan áttranszformálja a másik pályába, f 2 (t)-be. Ez a transzformáció leírható egy kétváltozós φ(t, s) függvénnyel, ahol 0 s 1 továbbá φ(t, 0) = f 1 (t) és φ(t, 1) = f 2 (t). Az F pályával homotop pályák halmazát [F ]-el jelöljük. A pályák között definiálunk egy műveletet, a kompozíciót, az alábbi módon. Ha egy F pálya végpontja egybe esik egy másik G pálya kezdőpontjával, akkor a két pálya kompozícióján a h(t) függvényt értjük, amelynek argumentuma 0 t 2 és h(t) = f 1 (2t), ha 0 t 1/2 és h(t) = f 2 (2t), ha 1/2 t 1. Definiálhatjuk az inverz pályát is: tartozzon az F 1 pályához az f(1 t) függvény, amennyiben F -hez az f(t) tartozik. Egy pályának és inverzének szorzata ugyanazzal a ponttal kezdődik és 187

189 végződik, a hozzá tartozó függvény n(t) = f(2t), ha 0 t 1/2 és n(t) = f(2 2t), ha 1/2 t 1. Mivel a φ(t, s) = f(2st) ha 0 t 1/2 és φ(t, s) = f(2s 2st) ha 1/2 t 1 s = 0 esetén átmegy a nullapályába, s = 1 esetén pedig n(t)-be, ezért n(t) homotop a nullapályával. Definiáljuk az [F ] és [G] halmazok szorzatát az alábbi módon: [F ][G] = [F G]. Ekkor nyilván [F ][F 1 ] = [1], ahol a nullapályát [1] jelöli. Az így bevezetett szorzatról belátható, hogy asszociatív, tehát az egy adott P V pontban kezdődő és végződő pályák a fenti szorzásra nézve csoportot alkotnak. Ezt a csoportot V fundamentális csoportjának nevezzük és π(v )-vel jelöljük. Egyszeresen összefüggőnek nevezzük az olyan halmazt, amelynek fundamentális csoportja egyetlen elemből [1]-ből áll Feladat (A fundamentális csoport nem függ a P V ponttól.) Legyen ugyanis Q V, és kösse össze a Q és P pontokat egy H pálya. A P -ben kezdődő és végződő F pályának egyértelműen megfeletethető egy Q-ban kezdődő, és ott végződő pálya: (H 1 F )H. A P -ben kezdődő és ott végződő F G pályának megfeleltethető a (H 1 F G)H pálya, és mivel (H 1 F G)H = (H 1 F HH 1 G)H, ez két, Q-ban kezdődő és végződő pálya szorzata Feladat (A gömbfelszín egyszeresen összefüggő) A gömbfelszín egy rögzített pontjában kezdődő és végződő pálya folytonosan áttraszformálható egy másik, ugyanabban a pontban kezdődő és végződő pályába. Ezért fundamentális csoportjának egyetlen eleme [1]. Ezért a gömb egyszeresen összefüggő ábra. A tórusz mint összesodort henger 188

190 7.5. Feladat (A tórusz nem egyszeresen összefüggő) Illesszük össze egy 2r sugarú, 2πR magasságú hengert két végén. Így kapunk egy tóruszt, amelynek egy kör alakú metszete van, ennek sugara r. Kaphatunk egy körgyűrű alakú metszetet is, amelynek külső sugara R, belső sugara R 2r. A tórusz felületére rajzolható legalább két olyan kör (pl. r sugárral és R sugárral, ld. ábra), amelyek folytonosan nem deformálhatóak egymásba. Hasonló a helyzet, ha a síkból kivágunk egyetlen pontot, mert a pont köré rajzolt kör nem zsugorítható a megmaradó ponthalmaz egyik pontjára sem. Ezért sem a tórusz, sem a kivágott sík nem egyszeresen összefüggőek. Jelölje G orbitjainak halmazát G\X. Ha minden x G\X pontnak van olyan környezete, amelynek az f : X G\X leképezésnél a teljes inverze az f függvény által homeomorfan leképezett, páronként diszjunkt, nyílt halmazoknak az egyesítése, akkor X nem elágazó fedése G\X-nek. Korábban láttuk, hogy amennyiben egy függvény viselkedését vizsgáljuk egy tartományon, előnyös ismerni a tartomány automorfizmusait. Gyakran azt találjuk, hogy az automorfizmusok csoportja csak az egységelemből áll. Amennyiben egy teljesen asszimetrikus térfogatot vizsgálunk, azt hihetnénk, reménytelen az automorfizmus csoportból adódó egyszerűsítésekre számítani, ez azonban nincs mindig így, a fenti gondolatmenet gyakran alkalmazható. Tekintsünk egy olyan V térfogatot, amely egybevágó t téglák egymáshoz illesztésével jön létre. Amennyiben t-nek a V -t alkotó példányai eltolással fedésbe hozhatóak, máris előállíthajuk V -t mint t képét transzformációk egy sorozata alatt. Ebben az esetben V -t lefedtük t példányaival. A legegyszerűbb példa sík lefedése téglalapokkal. Legyen t = {(x, y) : 0 x a, 0 y b} a lefedéshez használt tégla. Az eltolást jelölje T(i, j) = i x + j y, ahol 0 x a és 0 y b, továbbá i, j egész számok. Mivel az eltolások csoportot alkotnak, ez a transzlációcsoport, a síkot lefedtük a t téglalap orbitjával a transzlációcsoport alatt. A síkon értelmezett függvényeket fel lehet bontani a csoport irreducibilis ábrázolásai szerint. Kérdés, lehetséges-e a fenti módszert általánosítani véges térfogatokra. A válasz pozitív. Először vegyük észre, hogy a T(i, j) operátorok egy részcsoportját alkotják az (i(modn), j(modm)) transzlációk, ez a részcsoport biztosítja a 0 x N a, 0 y M b lefedését. A fedőcsoport egy részcsoportja tehát biztosítja a sík egy részének lefedését. Amennyiben a vizsgált V térfogat szabálytalan, más technikát kell alkalmaznunk. Tegyük fel, hogy V előállítható egybevágó t téglákból úgy, hogy a t téglák példányai mindig érintkeznek, mindig van t példányainak legalább egy olyan éle, amely két példány közös éle. Legyenek a t tégla élei a, b, c,.... Számozzuk meg a V -t alkotó téglákat 1- től N-ig. Ezt a geometriai konstrukciót szeretnénk leírni algebrai eszközökkel. Buser javaslata nyomán az alábbi módon járhatunk el. Állítsák elő a G V csoportot az α, β, γ,... generátorok. Amennyiben V -ben t i a, j a, k a, l a,... sorszámú példányait a típusú él köti össze, akkor legyen α = (i a, j a )(k a, l a ).... (7.83) 189

191 Amennyiben V -ben t i b, j b, k b, l b,... sorszámú példányait b típusú él köti össze, akkor legyen β = (i b, j b )(k b, l b ).... (7.84) Amennyiben V -ben t i c, j c, k c, l c,... sorszámú példányait c típusú él köti össze, akkor legyen γ = (i c, j c )(k c, l c ).... (7.85) Ezek a generátorok előállítanak egy végesen prezentált G V csoportot, amely benne foglaltatik (vagy egyenlő vele) az S N csoportban. Ez a csoport rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal. 1. Induljunk ki t-nek az 1-gyel jelölt példányából. Annak legalább egy belső éle van, legyen az a típusú, az él melletti t példány sorszáma pedig legyen i 1. Ha N > 2, akkor vagy i 1 -nek, vagy 1-nek van belső éle. Legyen ez b típusú, az él melletti t példány sorszáma legyen i 2. Így V -t alkotó bármely t példányból a, b vagy c összekötő oldalakon át eljuthatunk bármely más példányhoz. Amennyiben i-ből az a, b, a, c határokon át jutunk el a j példányig, akkor G V hatását az alábbi módón adjuk meg: i αβαγ j. 2. Definíció szerint ha i-nek külső oldala a, akkor i α i. Ezzel a G V csoport elemei a V alakzatot önmagára képezik le, mivel minden elem előállítható a csoport generátoraiból. Némi szépséghiba ugyan, hogy általában több csoportelem van, mint ahány tégla V -ben, emiatt többszörös fedés is előállhat. Ezt célszerű kiküszöbölni. Egy lehetséges megoldás a fedőcsoport felbontása egy alcsoport szerint mellékosztályokra. Ez az alábbi módon történhet. G V -nek tehát annyi s i generátora van, ahány oldala van t-nek. Legyen G 1 G V egy részcsoport G V -ben, G V felbontása G 1 szerinti mellékosztályokra pedig legyen H 1,..., H m, ahol m G 1 rendje G V -ben. Minden H i mellékosztályhoz rendelhetünk egy a i G elemet, amellyel minden h i H i elem felírható h i = a i g 1 alakban, ahol g 1 G 1. Válasszuk G 1 -et úgy, hogy m legyen egyenlő a V -t alkotó téglák számával. 2 Ekkor elkészíthető az alábbi táblázat. Az s i a j H k esetén t j-ik képét és t k-ik képét az s i él köti össze. Megállapodunk abban, hogy amennyiben j = k, akkor az s i és t j-ik képében külső él. Tekintettel arra, hogy a véges csoportok többségét két generátor elemmel elő lehet állítani, ez a módszer mindig működik. Az így kapott alakzat a G csoport Cayley-gráfja (v.ö fejezet) Feladat Amennyiben t-nek páros számú, páronként párhuzamos éle van, elegendő a párhuzamos élpárokhoz egy elemet rendelni (Robert Brooks, 1988). Legyen t egy háromszög, V pedig a 7.6 ábrán látható alakzat. Számozzuk meg a háromszögeket 1-től 2 Ilyen részcsoport G V -ben valamely kiválasztott példány stabilizátora. 190

192 7.6. ábra. Szabálytalan alakzat háromszögekre bontása 7-ig, a háromszög élei legyenek a, b és c, és vizsgáljuk meg az élekre vett tükrözés hatását! Amennyiben egy él, mondjuk a,külső él, azaz, nincs mellette szomszédos háromszög, úgy tekintjük, hogy a háromszöget az a él mentén önmagára képezzük le. Így a belső élek két-két háromszöget egymásba visznek, a többi háromszöget pedig önmagába. Az él menti tükrözést a háromszögek sorszámainak transzformációjával, azaz, egy permutációval lehet jellemezni: a = (73)(62) (7.86) b = (53)(42) (7.87) c = (65)(21). (7.88) Mivel a fenti elemek ismételt alkalmazása az eredeti állapotot állítja vissza, amely a (), azaz egységpermutációnak felel meg, ezért a a = (), b b = () és c c = (). Ha a permutációt úgy értelmezzük, hogy az összekötött térfogatokon hat, akkor az így generált G csoportban tudunk N-edrendű alcsoportot találni: bármely elem stabilizátorának (S i = Stabilizer(i)) rendje pontosan N. Ezek az alcsoportok jól használhatóak a V térfogat automorfizmusainak mellékosztályokkal történő előállítása során. Csoportelméleti terminológiával a következő állítás fogalmazható meg. Legyen G egy adott csoport, amelyben adott a G 1 G részcsoport. A G 1 részcsoport jobboldali mellékosztályait a G 1 g, g G elemek alkotják. Készítsünk egy gráfot úgy, hogy a gráf nódusai a jobboldali mellékosztályok legyenek, a G 1 g és G 1 g mellékosztályokat egy s i típusú él köti össze, amennyiben g = g 1 gs i, ahol g 1 G 1 és s i a G csoport generátora. Ezt a gráftípust P. Berard vezette be 1991-ben diszkretizált tartományok csoportelméleti tárgyalása céljából Feladat Az előző példában generált G csoportot a következó módon használjuk fel. Nyilván S i G. Legyen H = G/S i, G előállítható az xh típusú diszjunkt halmazok (a 191

193 H szerinti mellékosztályok) uniójaként. Itt x legfeljebb G / H különböző értéket vehet fel, legyenek ezek r 1,..., r m, m = G / H. A g G csoportelem hatása legyen a balról történő szorzás. A g x H szorzatot pedig cimkézhetjük azzal az r j -vel, amelyre teljesül g x H r j H. Ilymódon a G csoport mellékosztályokkal történő reprezentációját kapjuk, amelyben a G csoport minden generátorához a 1 j m = G / H indexszet rendeltünk ábra. Összefüggések a tartományok megfelelő pontjaiban 7.8. Feladat Álljon a vizsgált V régió négy egybevágó tartományból a 7.7. ábrának megfelelően. Ekkor V előállítható az alábbi csoport segítségével. Vizsgáljuk meg V -n a Laplace egyenlet sajátfüggvényét: Φ(x, y) = λφ(x, y), (x, y) V. (7.89) Jelölje a megoldás értékét a négy tartományon φ i, i = 1,..., 4. Ekkor vagy fennáll 4 Φ(x i, y i ) = 0 i=1, itt az (x i, y i ) pontokat a V -t előállító csoport elemei egymásba viszik át, vagy bármely tartományra fennáll Φ(x, y) = λφ(x, y), (x, y) V i, vagyis, a Laplace-operátor sajátértéke azonos V -n és mind a négy V i -n. (Hersch, 1965) Green-függvény előállítása Amennyiben is mert egy V térfogat Green-függvénye, és a V térfogat előállítható egy t tégla pályájaként, úgy hogy V = G\t, és a G csoport elemei felcserélhetőek a vizsgált egyenletben szereplő műveletekkel, akkor összefüggés áll fenn V és t tartományok Green-függvényei között. Ennek alapján V (a nagyobbik tartomány) Green-függvénye ismeretében meghatározható t (a kisebbik tartomány) Green-függvénye. Tekintettel arra, 192

194 hogy a legtöbb egyenlet Green-függvénye ismert a sík, vagy a végtelen háromdimenziós tér esetében, a fenti összefüggéssel meghatározhatjuk véges alakzatok Green-függvényeit. Egy tartomány leképezése egy másik tartományra folytonos függvényekkel történik, hiszen a szomszédos pontokat szomszédos pontokba kívánjuk leképezni. Ezek a leképezések Lie-csoportot alkotnak, vö fejezet. Ha az x = φ(x, y), y = ψ(x, y) transzformációt alkalmazzuk az (x, y) koordinátájú pontra, akkor dx = φ(x, y) x dx + φ(x, y) y dy (7.90) dy = ψ(x, y) x dx + ψ(x, y) y dy. (7.91) A fenti leképezést izometrikusnak nevezzük, ha dx 2 + dy 2 = dx 2 + dy 2. A csoportelemek akkor hatnak izometrikusan egy X halmazon, ha a halmaz minden pontján a csoportelemhez tartozó leképezés izometrikus, azaz, fennáll a (7.90)-(7.91) összefüggés. Két halmaz Green-függvénye között állapít meg összefüggést a következő tétel Tétel (Sunada-tétele) Tegyük fel, hogy az A operátor kommutál a G csoporttal és a G csoport szabadon hat a V tartományon. Ekkor az AG(x x 0 ) = δ(x x 0 ) egyenlet V -re és t-re vonatkozó G t (x, y) és G V (x, y) Green-függvényei között fennáll az alábbi kapcsolat: G t (x, y) = g G G V (x, gy), ahol G = π 1 (t)/π 1 (V ), amennyiben a G csoport izometrikusan hat V -n. Célszerű bevezetni két koordinátát, egy lokálisat t-ben és egy globálisat V -ben. Előbbit jelölje ξ, utóbbit x. Egy pont egyértelmű megadásához elegendő megadni x-t, vagy, ξ-t és g-t, amennyiben x V g = gt. A fedőcsoport segítségével t a fedőcsoport elemei alatt transzformált példányai segítségével állítjuk elő V -t. A továbbiakban csak összefüggő V térfogatokat vizsgálunk. Ezekben t-nek minden g G-vel kapott gt képéhez tartozik legalább egy olyan szomszéd, amelyik szintén előállítható t-ből egy h G csoportelemmel. V tehát hasonlít egy térképhez, annyi eltéréssel, hogy itt a térképen szereplő országok egybevágóak, de ugyanűgy kiszínezhetők úgy, hogy két szomszédos ország mindig eltérő színű legyen. A színezéshez szükséges minimális színek számát V színszámának nevezik. Minden térkép kiszínezhető legfeljebb négy színnel. A színszám segítségével az alábbi hasznos állítást kapjuk. Amennyiben egy alakzat színszáma kettő, az alakzat alkotórészeit két diszjunkt halmazra lehet bontani, legyen a két halmaz színe a fehér és a fekete Tétel (Részhalmaz Green-függvénye) Legyen V = G\t, legyen minden g G-re V g = gt. Legyen V színszáma kettő. Amennyiben a V térfogat G V (x) Greenfüggvénye ismert, és a G fedőcsoport felcserélhető a vizsgált egyenletben lévő műveletekkel, akkor a t tégla Green-függvénye az alábbi módon határozható meg: G t (ξ) = g G G V (gξ)( 1) f(g), (7.92) ahol gξ V g a ξ t pont képe g G alatt, f(g) pedig +1 vagy 1 attól függően, hogy V g a fehér vagy a fekete halmazba esik. 193

195 Tekintettel arra, hogy az elméleti fizika legfontosabb egyenleteihez kézikönyvekben megadott csoportok tartoznak, amelyek kommutálnak az egyenlet műveleteivel, a fenti tétel széleskörűen alkalmazható. A 6. fejezetben ismertetett módszerekkel pedig minden egyenlethez megtalálható az alkalmas G csoport. Fedőcsoportot pedig a síkhoz, a körhöz lehet találni, amelyek Green-függvényei kézikönyvekben (pl. Korn és Korn) megtalálhatóak Feladat (60 o -os körcikk Green-függvénye) Tekintsük egy K körlap 60 o -os szektorait. Egy kiválasztott t szektorra alkalmazva 60 o -os forgatásokat, amelyek a C 6 csoport elemei. Nyilván K = C 6 /t. Legyen G(x, x 0 ) a körlap Green-függvénye, legyen a Green függvény t hat példányán ϕ i (x), x (R 60 ) i t, i = 1,..., 6. A t szektor Green-függvényét megadja 6 Ψ(x) = ( 1) i ϕ i (x). (7.93) i=1 Először, (7.93) szingularitást mutat az x 0 pontban, kielégíti a vizsgált egyenletet minden x x 0 pontban. Továbbá, eltűnik a szektor peremén, tehát a Green-függvény minden tulajdonságával rendelkezik Feladat (A Helmholtz-egyenlet Green-függvénye négyzeten) Írjuk a vizsgálandó egyenletet u + k 2 u = 0 (7.94) alakba. Az egyenlet Green-függvénye a síkon ismert: G(r, r 0 ) = K 0 (r r 0 ). Ebből meghatározzuk a [(0, 1), (0, 1)] négyzet Green-függvényét. Jelölje a négyzeten belüli koordinátákat (ξ, η), 0 ξ 1 és 0 η 1. Az (i, j) koordinátákkal jellemzett négyzetben nyilván fennáll az alábbi összefüggés az (x, y) globális és a (ξ, η) lokális koordináták között: x = i + ξ, y = j + η. Alkalmazzuk (7.92)-et: G 4 (ξ, η) = i,j K 0 ( (i + ξ x 0 ) 2 + (j + η y 0 ) 2 ). (7.95) Mivel a K 0 Bessel-függvény (v.ö fejezet) argumentumának gyorsan csökkenő függvénye, a (7.95) sor gyorsan konvergál. 194

196 7.6. Lorentz-transzformáció Ebben a részben fizikai mennyiségek (távolságok és sebességek) segítségével hozunk létre matematikai, elsősorban geometriai konstrukciókat. Ennek megfelelően két jelölés lesz jelen párhuzamosan az elméletben. Az egyszerűség kedvéért elkerüljük a geometria általános tárgyalását, de nem tudjuk elkerülni a geometria leegyszerűsített tárgyalását. A felhasznált geometria egy háromszögben az oldalak és szögek közötti kapcsolat leírását jelenti. A matematikai viszonyokat három oldal (ezekre az A, B és C jelölést alkalmazzuk), valamint három szög (α az A oldallal szemben, β a B oldallal szemben, γ a C oldallal szemben) kimerítően megadja. Amennyiben a háromszög egy konkrét geometriában jelenik meg, az oldalak jelölése marad (hiszen a geometria megváltoztatása csak annyit jelent, hogy más szerkezetű térben helyezzük el az oldalakat jelentő szakaszokat), a szögek viszont felvesznek egy indexet, amely utal a térszerkezetre, azaz, a geometriára. Az alább ismertetendő tárgyalás Wagner István munkája. Noha a Wagner István által kidolgozott elmélet jóval általánosabb, mint ahogyan itt bemutatjuk, itt csak az algebrai és geometriai vonatkozásokat hangsúlyozzuk. Arra az esetre szorítkozunk, amikor A, B, C < 1 pl. úgy, hogy a háromszöget elhelyeztük egy egységnyi sugarú gömbben. Amennyiben A, B, C fizikai jelentése sebesség, akkor ezeket fénysebesség egységekben mérjük. Szükség lesz tetszőleges hosszúságú szakaszokra is, ekkor a 0 a, b, c < jelölést használjuk. A tárgyalás célja tetszőleges irányban mozgó koordinátarendszerekre történő áttérések sorozatáról, az azt leíró transzformációról megmutatni, hogy azok csoportot alkotnak. Az itt közölt anyag azt hivatott alátámasztani, hogy a csoportelmélet alkalmazható az egyik inerciarendszerről a másik inerciarendszerre való áttérés formalizmusában. Megjegyezzük, hogy Wagner István alkalmazza az itt közölt technikát a fentieken túl is. Az itt közölt gondolatmenet a Lorentz-transzformáció rész második alrészében ismertetett tárgyalásának egy alternatíváját kínálja. Amint a részben láttuk, Lorentz-transzformációk egymásutánja is Lorentz-transzformáció, v.ö. (2.162), azaz, a Lorentz-transzformációk az egymás utáni alkalmazás műveletére zártak. Az eredő sebességet (2.163) adja meg. Wagner István tárgyalása viszont rámutat egy érdekes kérdésre: a sebességtranszformáció nem csak több alternatív geometriában tárgyalható, de az egyik közülük, a gömbi geometria, kétdimenziós! A Wagner-elmélet részleteibe nem tudunk belemenni. A nem közölt számítások gyakran hosszadalmasak, de egyszerűek. Máskor kimondottan nehezek. Ezt a szövegben jelöljük. Az olvasót példák segítségével próbáljuk eligazítani. Az utolsó fejezetbeli feladatok között is található pár hasznos állítás Geometriai viszonyok Lehetne ugyan a geometriát általánosan (pl. Riemann-geometriát vizsgálva) tárgyalni, ez azonban nehezen lenne követhető. Az itt ismertetett gondolatmenet a jóval egyszerűbb 195

197 trigonometriára épít. Amennyiben a geometria kérdése egy háromszög leírására szorítkozik, elegendő az oldalak és szögek közötti viszonyokat vizsgálni. Ezt az adott geometriában megfogalmazott koszinusztétel és szinusztétel biztosítja. Először tehát megpróbáljuk tisztázni, hogyan lehet diszkrét helyeken elvégzett mérésekből (pl. egyszerű távolságmérésekből) megállapítani, milyen egy háromszögben az oldalak és szögek viszonya. Az egyszerűség kedvéért csak az alábbi geometriákat vizsgálunk meg: az euklideszit (jele E), a Bolyai-Lobacsevszkij (jele B) 3 és a gömbi (jele G) geometriát. Ez utóbbi azért érdekes, mert egy kétdimenziós felszínen lévő pontokat ír le, így alapvetően különbözik az első kettőtől, amely két-, ill. a belőle létrehozott tetraéder esetében háromdimenziós tér geometriája. Az alábbi, táblázatban összefoglaljuk a háromszögre vonatkozó koszinusz és szinusz tételt a három vizsgált geometriában. A fentieken kívül tárgyaljuk 7.1. táblázat. Koszinusz- és szinusztétel három geometriában geometria szinusz-tétel koszinusz-tétel eukliedészi (E) A/ sin α = B/ sin β = C 2 = A 2 + B 2 2AB cos γ C/ sin γ sin A gömbi (G) cos A = cos B cos C + sin α sin β sin γ sin B sin C cos α ill. cos α = cos β cos γ + sin β sin γ cos A (1 tanh Bolyai-Lobacsevszkij (B) sin α/ sin β = sinh a/ sinh b (C))(1 tanh 2 (B)) 1 tanh 2 (A) = 1 tanh(b) tanh(c) még az ú.n. sebességgeometriát is, ezt alább részletesen vizsgáljuk. Ha egy inerciarendszeren belüli távolságokat kell összeadni, azokból háromszöget alkotni, az euklideszi geometria van összhangban a tapasztalattal. Ha azonos inerciarendszerbeli sebességeket kell összeadni, mint vektorokat, ismét az euklideszi geometria írja le a megfigyeléseket. Ha azonban két eltérő inerciarendszerben mért sebességet kell összeadni, a (2.151) képletet kell alkalmazni, ami ellent mond az euklideszi geometriának. Wagner javaslatára bevezetünk egy új geometriát, amelyet sebességgeometriának (S-geometriának) hívunk. Az új geometriával szemben azzal az igénnyel lépünk fel, hogy helyesen írja le az eltérő inerciarendszerekben mért sebességek összeadását. Ezt a geometriát végtelen sokféle módon lehet rögzíteni, egy lehetséges választást ad meg Wagner első tétele Tétel (Wagner 1. tétele) Legyen adott 0 < B < 1 és 0 < C < 1, valamint 3 Az itt előforduló geometriában a háromszög szögösszege mindig kisebb, mint 180 fok, ennek ellenére megtartjuk a nemzetközileg elfogadott Bolyai-Lobacsevszkij-geometria elnevezést. 196

198 legyen adott ρ 1. Ekkor A 2 = C2 + B 2 2BCρ 1 + B 2 C 2 2BCρ továbbá léteznek olyan ω 1 és τ 1 számok, amelyekkel fennáll B 2 = A2 + C 2 2ACω 1 + A 2 C 2 2ACω < 1, (7.96) (7.97) C 2 = A2 + B 2 2ABτ 1 + A 2 B 2 2ABτ. (7.98) Mivel ρ 1, van olyan α szög, amelyre cos α = ρ, továbbá olyan β és γ szög, amelyre cos β = ω, cos γ = τ. Vagyis, két oldal és a közbezárt szög segítségével konstruálható egy háromszög. Azt fogjuk mondani, hogy az így konstruált a háromszög S-geometriát követ. Anélkül, hogy részletekbe bocsátkoznánk, megjegyezzük, hogy oldalak hossza és szögfüggvények segítségével létrehozható háromszög a B-geometriában és a G-geometriában is Tétel (Wagner 2. tétele) Az a, b, c oldalak közül bármelyik kettő összege nagyobb a harmadiknál, azaz, alkosson a, b, c euklideszi háromszöget. Legyen A = a 1+a 2, B = A a, b, c esetén. Az b 1+b 2 és C = c 1+c 2. Ekkor A, B, C háromszöget alkot S-geometriában tetszőleges 1 A 2, B 1 B 2, C 1 C 2 oldalakkal rajzolt háromszög euklideszi háromszög (E-geometria). Az A = tanh A, B = tanh B, C = tanh C definícióval bevezetett A, B, C távolságok Bolyai-Lobacsevszkij háromszöget alkotnak (B-geometria). Az A = sin A, B = sin B, C = sin C definícióval bevezetett A, B, C távolságok olyan gömbi háromszöget alkotnak, amelynek minden szöge hegyesszög (G-geometria), ezért az {A, B, C} háromszög egyaránt értelmezhető sebességtérbeli, euklideszi, Bolyai-Lobacsevszkij és gömbi háromszögként is, amennyiben a távolság mértékét megfelelően választjuk Feladat (A geometriák kapcsolata) A következőkben gyakran esik szó a fent említett négy geometriáról, ezért érdemes részletesebben szemügyre venni kapcsolatukat. A tételben a kisbetűs és nagybetűs oldalak kapcsolata invertálható, ezért ha A = a 1+a 2, akkor a = A 1 A 2. Ez tehát az S-geometria és az E-geometria közötti kapcsolat alapja 4. Belátható 5, hogy B C 1 BC A B + C 1 + BC, 4 A továbbiakban gyakran szereplő Θ(x) x 1+x függvényt fogjuk használni. 2 5 Az S-geometria koszinusztételében cos α S = 1 ill. cos α S = +1 helyettesítéssel. V.ö. 26. tétel alább. 197

199 ami feltétele annak, hogy A, B, C háromszöget alkosson S-geometriában. Az A = tanh A, B = tanh B, C = tanh C definícióval bevezetett A, B, C szakaszokhoz létezik olyan α B szög, amellyel fennáll Ebből azonos átalakítással 1 tanh 2 A = 1 tanh B 1 tanh C. (7.99) 1 tanh B tanh C cos α B cosh A = cosh B cosh C sinh B sinh C cos α B, ami a Bolyai-Lobacsevszkij-geometria koszinusztétele. Amennyiben a geometriát még nem választottuk ki, nem lehet vektorokról, azok komponenseiről beszélni. Úgy kell a geometriát kiépíteni, hogy csak általános fogalmakat, az analízis és az algebra fogalmait használjuk a geometria kidolgozása során. Az analízisből átvesszük az alábbi, végtelen sorok által definiált függvényeket: x i exp(x) = (7.100) i! cos(x) = sin(x) = i=0 i=0 i=0 ( 1) i x2i 2i! (7.101) ( 1) i x 2i+1 (2i + 1)!. (7.102) Ezen függvények segítségével lehet dolgozni az S, G és B geometriákban is. E függvények inverzei segítségével definiálhatjuk a szöget is, pl. az α szöget egyszerűen a tg 1 x értékkel definiáljuk, ahol x valós szám. Amennyiben azonban vektorokról, komponensekről, ortogonalitásról kívánunk beszélni, szükség van az euklideszi geometriára. Megemlítjük, hogy egyes geometriai tételek pusztán algebrai eszközökkel is megfogalmazhatóak. Ennek illusztrálására közöljük az alábbi tételt, amelyből kitűnik, hogy az euklideszi geometria koszinusztételének elfogadása maga után vonja az euklideszi geometria egészét (noha itt csak azt mutatjuk meg, hogy a szinusztétel is következik a koszinusztételből) Tétel (Algebrai szinusztétel) Legyen a, b, c > 0, három valós szám. Létezzenek p, q, r valós számok úgy, hogy a 2 = b 2 + c 2 2bcp; b 2 = c 2 + a 2 2acq; c 2 = a 2 + b 2 2bar. (7.103) Ám ez esetben algebrai tény, hogy igaz. a 2 1 p 2 = b2 1 q 2 = c2 1 r 2, (7.104) 198

200 Tegyük most fel, hogy p 1, úgy q 1 és r 1 is kiadódik, vagyis p = cosα; q = cosβ; r = cos γ választható. Ám akkor a/(sinα) = b/(sinβ) = c/(sinγ) adódik, vagyis az euklideszi koszinusztétel tisztán algebrai úton maga után vonja a szinusztételt is, vagyis az euklideszi koszinusztétel használója automatikusan euklideszi geometriát tételez fel. Sebességgeometria A feladat olyan konstrukció felépítése, amelyben a (2.151) sebességösszeadás rekonstruálható. A feladatot Wagner egy megfelelő skála kiválasztásával oldotta meg. Először, Szegedi Gyula tételét idézzük Tétel (Az összeadás és a szorzás általánosítása) Az aritmetika felépítése nem egyértelmű. A valós számok összeadása és szorzása helyett bevezethető végtelen sok ekvivalens művelet az alábbi definíciókkal. Legyen az általános összeadás művelete az általános szorzás művelete pedig A B = ϕ(ϕ 1 (A) + ϕ 1 (B)), (7.105) A B = ϕ(ϕ 1 (A)ϕ 1 (B)). (7.106) Itt ϕ tetszőleges invertálható függvény. Az így bevezetett műveletek tetszőleges valós A, B esetén elvégezhetőek, és rendelkeznek az alábbi tulajdonságokkal: 1. az összeadás szimmetrikus: A B = B A; 2. az összeadás kommutatív és asszociatív: (A B) C = A (B C) = (A C) B = (B C) A = A B C; 3. a szorzás szimmetrikus: A B = B A; 4. a szorzás kommutatív és asszociatív: (A B) C = A (B C) = (A C) B = (B C) A = A B C; 5. disztributivitás: (A B) C = A C B C; 6. Bevezethető mindkét művelet inverze, amelyek korlátlanul elvégezhetők, csak a nullával való osztás tiltott; 7. Bevezethető a számmal történő szorzás művelete is, úgy, hogy ka = A A A A, (a kifejezésben k darab jel szerepel). 199

201 Szegedi tételét alkalmazzuk a ϕ(a) = tanh(a) függvényre, és használjuk fel az alábbi összefüggést: tanh 1 A+tanh 1 B = tanh 1 ((A + B)/(1 + AB)). Legyen tehát A, B, C < 1, ekkor A B = tanh(tanh 1 A + tanh 1 B) = tanh ( tanh ( )) 1 A+B 1+AB = A+B, tehát ez 1+AB a választás pontosan írja le a sebességgeometriát. Az is belátható, hogy A, B < 1 esetén A B < 1 teljesül, vagyis, a fénysebességet a most bevezetett művelettel nem lehet átlépni. Szegedi tétele tehát alkalmas keret sebességek abszolútértékének összeadására Tétel (Az S-geometria koszinusztétele) Bármely 0 < B, C < 1 számpárhoz és α S szöghöz létezik olyan A > 0 szakasz és β S, γ S szögek, amelyekkel fennállnak az alábbi összefüggések: A 2 = B2 2BC cos α S + C 2 1 2BC cos α S + BC, (7.107) B 2 = A2 2AC cos β S + C 2 1 2AC cos β S + AC, (7.108) C 2 = B2 2AB cos γ S + A 2 1 2BA cos α S + BA. (7.109) Tétel (Az S-geometria szinusztétele) Az (A, B, C) oldalakkal felrajzolt háromszög szögeit S-geometriában jelölje α S, β S és γ S. Ekkor fennállnak az alábbi összefüggések: A (1 A 2 ) sin α S = B (1 B 2 ) sin β S = C (1 C 2 ) sin γ S. (7.110) Azt mondjuk, hogy az (A, B, C) hosszúságú szakaszokkal, mint oldalakkal meghatározott háromszög az S geometriában természetes háromszög, ha fennáll cos α S BC < 1. (7.111) 1 B 2 1 C 2 Megmutatható, hogy ekkor a (7.111) összefüggés másik két szöggel felírt változata is fennáll, azaz, cos β S AC < 1. (7.112) 1 A 2 1 C 2 cos γ S AB < 1. (7.113) 1 B 2 1 A 2 Legyen (A, B, C) természetes háromszög. Legyen továbbá cos α E = cos β E = cos α S BC 1 B 2 1 C 2 (7.114) cos β S AC 1 A 2 1 C 2 (7.115) 200

202 cos γ E = cos γ S AB 1 A 2 1 B 2. (7.116) Tétel (S-geometria természetes háromszögeinek euklideszi őse) Legyen (A, B, C) természetes háromszög S-geometriában. Ekkor fennáll A 1 A 2, A 2 1 A = B2 2 1 B 2 BC cos α E 2 1 B 2 1 C + C2 (7.117) 2 1 C 2 azaz, az oldalakkal és α E szöggel megszerkesztett háromszöget nevezzük az (A, B, C) S-geometriabeli háromszög euklideszi ősének. B 1 B 2, C A 1 C 2 oldalak euklideszi háromszöget alkotnak. Az 1 A 2, B 1 B 2, Szegedi tétele segítségével a (2.151) összefüggésnek megfelelő (azaz, a megfigyeléseknek megfelelően összeadott sebességekből) sebességekből is alkothatunk háromszöget. Ne feledjük azonban, hogy (2.151)-ben egyirányú sebességekről, azaz, elfajuló háromszögekről van szó Lemma (Háromszögalkotás S-geometriában) Álljon fenn a 0 < A, B, C < 1 számok között a C = A + B (7.118) 1 + AB összefüggés. Ekkor az A, B és C oldalakkal elfajuló háromszög alkotható S geometriában. Bolyai-Lobacsevszkij-geometria A Bolyai-Lobacsevszkij-geometria szinusz- és koszinusztételét a 7.1. táblázat tartalmazza. Rendeljük a C hosszúsághoz az sinh C C = = tanh(c) (7.119) 1 + sinh 2 (C) normált mértéket. Így az (A, B, C) háromszög (A, B, C) oldalai háromszöget alkotnak a Bolyai-Lobacsevszkij-geometriában. C 1 C Tétel (Bolyai-Lobacsevszkij geometria koszinusztétele) Legyen cos α B = cos α S sin α S tg(π (α S + β S + γ S )/4) sin α S. Jelentős erőfeszítések árán belátható, ez utóbbi kifejezés 1 1 2BC cos α S alakba írható. Ezzel [1 BC cos α BC B ] 2 = 1 2BC cos α S + B 2 C 2. Tovább alakítva: [1 BC cos α S ] 2 = 1 2BC cos α S + C 2 B 2, amit behelyettesítve (7.96)- be, átrendezés és gyökvonás után 1 B 2 1 C 1 A2 = 2. (7.120) 1 BC cos α B Itt alkalmazva az A = tanh x, B = tanh y, C = tanhz helyettesítést, cosh(x) = cosh(y) cosh(z) sinh(y) sinh(z) cos α B (7.121) adódik, ami a Bolyai-Lobacsevszkij geometria oldalakra vonatkozó koszinusztétele. 201

203 Gömbi geometria A gömbi geometria szinusz- és koszinusztételét a 7.1. táblázat tartalmazza Tétel (A gömbi-geometria koszinusztétele) Legyen cos α G = 1 A 2 cos α B. (7.122) Ezzel 1 a2 = 1 b 2 1 c 2 + bc cos α G (7.123) adódik. Itt bevezetve a cos x = 1 a 2, cos y = 1 b 2, cos z = 1 c 2 jelölést, cos x = cos y cos z + sin y sin z cos α g (7.124) -t kapjuk, ami az x, y, z oldalak által meghatározott gömbháromszög oldalakra vonatkozó koszinusztétele. Euklideszi geometria Az alábbi tétel megmutatja, hogyan kaphatunk az S-geometria V P, V P, V 0P szakaszaiból E-geometriában háromszöget. A most még talányos V 0P jelölés magyarázatát később, a tételben adjuk meg Tétel (Euklideszi háromszög sebességháromszögből) Álljon fenn a vektoregyenlet, és V P 1 V P 2 Ekkor a fenti összefüggések egyértelműen meghatározzák a = V P V 0P, (7.125) 1 2 VP 1 2 V0P t 1 V 2 P = t 1 V P 2. (7.126) 1. a V P, V P és V 0P természetes sebességháromszöget; 2. a { s, t}-t a { s, t }-vel összekötő téridő transzformációt; 3. a V P, V P és V 0P vektorok közti Lorentz-transzformációt Feladat (Az (a, b, c), (A, B, C) és az S és E geometria kapcsolatához) A fentiek alapján az olvasó látja, hogyan származtatható tetszőleges (a, b, c) háromszögből (A, B, C) háromszög, ahol A, B, C < 1. Az A, B, C oldalakkal különféle háromszögeket lehet létrehozni: 202

204 a speciális S háromszög α S szögét, amellyel fennáll az cos α S BC < 1 (7.127) 1 B 2 1 C 2 összefüggés; egy speciális euklideszi háromszöget, melynek oldalai között fennáll az alábbi egyenlőtlenség: B C 1 BC < A < B + C (7.128) 1 + BC egy speciális Bolyai-Lobacsevszkij háromszöget, amelyre fennáll cos α B BC/2(1 + cos 2 α B ) < 1 (7.129) 1 B 2 1 C 2 egy speciális gömbháromszöget, x, y, z hegyesszögekkel, amelyre sin x = sin y = sin x < 1. (7.130) sin α G sin β G sin γ G A (7.127)-(7.130) tulajdonságokkal egyetlen másik geometria sem rendelkezik. A fentiek alapján minden euklideszi háromszöghöz egyértelműen rendelhető: 1. egy természetes S-háromszög; 2. egy B háromszög; 3. egy olyan G háromszög, amelyben az oldalakat definiáló középponti szögek hegyesszögek. A háromszögek geometriától független definíciója után fel kell építeni a teret. Itt Wagner arra támaszkodik, hogy a megfigyelések mindig egyes pontokban történnek, ezért a teret elegendő háromszögekből felépíteni. A háromszögekből felépíthető legegyszerűbb térbeli forma a tetraéder. Ezt hozza létre az alábbi konstrukció. A tetraéderben a következő jelölést használjuk (ld ábra): Legyen a tetraéder három, közös P 0 pontból induló szakasszal megadva, a szakaszok hossza legyen A, B, C. A szakaszok P 1, P 2, P 3 végpontjai is egy háromszöget alkotnak, legyenek e háromszög oldalai a, b, c Tétel (Tetraéder tétel) Legyen adott négy pont (P 0, P 1, P 2, P 3 ) a sebességgeometriában. Legyenek e pontok által meghatározott természetes sebességháromszögek: {A, B, c}, e három oldalhoz tartozzanak az α S3, β S3, γ S3 szögek; 203

205 7.8. ábra. Tetraéder a P 0, P 1, P 2, P 3 pontokból {A, b, C} e három oldalhoz tartozzanak az α S2, β S2, γ S2 szögek; {a, B, C} e három oldalhoz tartozzanak az α S1, β S1, γ S1 szögek. A felsorolt háromszögekben fennállnak az alábbi összefüggések: cos β E2 = cos γ E3 = cos α E1 = cos β S2 AC 1 A 2 1 C 2 (7.131) cos γ S3 AB 1 A 2 1 B 2 (7.132) cos α S1 BC 1 B 2 1 C 2. (7.133) Amennyiben teljesül β E2 γ E3 α E1 β E2 + γ E3, (7.134) akkor (a, b, c) természetes sebességháromszög, amelynek euklideszi őse az a E, b E, c E háromszög. Tekintettel arra, hogy a háromszög oldalai a vizsgált geometriák mindegyikében meghatározhatóak egymásból, ezért ha {a, B, C}, {A, b, C}, {A, B, c}, {a, b, c} természetes sebességháromszögek alkotta tetraéder S-geometriában, akkor az {a E, B E, C E }, {A E, b E, C E }, {A E, B E, c E }, {a E, b E, c E } euklideszi tetraéder. Továbbá {a B, B B, C B }, {A B, b B, C B }, {A B, B B, c B }, {a B, b B, c B } Bolyai-Lobacsevszkij tetraéder, {a G, B G, C G }, {A G, b G, C G }, {A G, B G, c G }, {a G, b G, c G } pedig négyszög a nyolcadgömb felszínén, ahol ha max{a G, b G, c G, A G, B G, C G } A G, akkor A G és a G átlók, a többi határoló oldal. Itt a = tanh a B, b = tanh b B, c = tanh c B,A = sin A G, B = sin B G, C = sin C G, a = sin a G, b = sin b B, c = sin c G,A = a sinh A G, B = sin B G, C = sin C G, továbbá a E = b 1 a 2, b E = c 1 b 2, c E = 1 c 2, A E = A 1 A 2, B E = B 1 B 2, C E = C 1 C 2. Mivel a mérések mindig diszkrét pontokban 204

206 történnek, a geometriát tetraéderek sokasága segítségével fogjuk kiépíteni. Ezt újabb és újabb pontok hozzáadásával érjük el. Ezt segíti az alábbi tétel Tétel (Kiterjesztési tétel) Alkossanak a P 0, P 1, P 2, P 3 pontok természetes tetraédert. Vegyünk fel az eredeti P 0, P 1, P 2, P 3 pontokhoz egy P 4 pontot, mondjuk úgy, hogy a P 1, P 2, P 3, P 4 pontok alkossanak természetes tetraédert. Ekkor P 0, P 2, P 3, P 4, P 0, P 1, P 3, P 4, P 0, P 1, P 2, P 3 természetes tetraédereket alkotnak, azaz, az öt pontból álló pontrendszerben bármely négy pont természetes tetraédert alkot. A fenti tétel a sebességtéren kívül érvényes az euklideszi és a Bolyai-Lobacsevszkij térben is. Ezután a fenti tétel kiterjeszthető tetszőleges számú pontból álló pontrendszerre. A háromszögekből tetraéderek segítségével felépíthető a tér A geometriai viszonyok kiválasztása Tekintsük az alábbi problémát. Adott egy K inerciarendszer, melynek origója O, az inerciarendszerben adott egy általános helyzetű P pont, amely K-ban V P sebességgel mozog. Adott egy második inerciarendszer, K, melynek origóját O jelöli, O sebessége a K rendszerben V 0. Legyen adott továbbá egy K inerciarendszer, amelynek origója O, amely O-hoz képest V 0 sebességgel, O -höz képest V sebességgel mozog. Egy V vektor abszolútértékét V -vel jelöljük. Legyenek K, K, K tengelyei párhuzamosak. Mivel az inerciarendszeren belüli két távolság összegét euklideszi módon kell meghatározni, ha a megfigyelésekkel összhangban akarunk maradni, ezért bármely inerciarendszeren belül a geometriát euklideszinek tekintjük. Feltesszük, hogy egy adott t 0 időpontban O és O összeesik, azaz, a két pont azonos. Egy adott inerciarendszer térbeli pontjainak geometriája tehát euklideszi geometria. Most térjünk át a különböző koordináta-rendszerekben mért sebességekre. Mivel két, eltérő inerciarendszerben mert sebesség összeadása a megfigyelések szerint nem követi az euklideszi geometria szabályait, ezért a különböző inerciarendszerekben mért sebességek közötti szögről nem tudunk beszélni. Annyit állíthatunk bizonyosan, hogy a korábban kialakított ponttér alkalmazható, de amint láttuk, a pontok közötti szögek nincsenek egyértelműen meghatározva, a szög annak függvénye, milyen geometriát fog igazolni a tapasztalat. Legyen a P pont K -beli sebessége V P. A fenti jelölésekkel a K-inerciarendszerbeli s távolság és az ugyanott mért t idő, valamint a K -beli s távolság és t idő között egy mátrix teremt kapcsolatot. Összevetve (2.140)-gyel, az alábbi különbséget látjuk: nem egy helyvektor komponenseire írtuk fel a transzformációt, hanem hosszúságokra, mert az elmozdulásvektorok és a sebességvektorok geometriája a két inerciarendszerben nem azonos. Azt is láttuk, hogy a (2.151)-ben szereplő sebességabszolútértékekkel háromszög alkotható, ezek a háromszögek S-geometriát követnek. 205

207 7.7. A fizikai probléma A cél annak leírása, hogyan lehet áttérni egyik inerciarendszerben mérhető mennyiségekről egy másik inerciarendszerben mérhető mennyiségekre. E feladatot az előző részben megadtuk, a fizikai megfogalmazás a megadottól nem tér el. Azt szeretnénk meghatározni, milyen transzformáció köti össze a P pont K, K, K inerciarendszerekben mért sebességeit. A fizikai elméletekben kiemelt szerepet játszik a hely és az idő. A Lorentz-transzformáció kapcsán már szó esett arról, hogy a geometria és az algebra (azaz, a vizsgált tér automorfizmusainak csoportja) szorosan összefonódik. A 2.4 alfejezetben bemutatott tárgyalásmód az euklideszi geometria elfogadására épül, hiszen amikor az inerciarendszerek sebességének komponenseiről esik szó, amikor két pont térbeli távolságáról esik szó, az euklideszi geometria képleteire hagyatkoztunk. Ebben a fejezetben Wagner István munkája alapján egy másik megközelítést mutatunk be. Amennyire csak lehetséges, az elmélet felépítésében a geometria lehetőségét nyitva hagyjuk. Kizárólag a megfigyelésekre építjük az elméletet Téridő transzformáció, komponensek transzformációja Vizsgáljuk meg, hogyan lehet a P pont elmozdulásait leírni a K, K és K inerciarendszerekben. Amennyiben megköveteljük, hogy a transzformáció 1. rögzítse a sebességek megfigyelt és (2.151) által helyesen leírt transzformációját; 2. az eltolással szemben invariáns legyen; 3. lineáris legyen; 4. teljesítse a fénysebesség állandóságának megfigyelt elvét; 5. három koordináta-rendszer (K, K, K ) origóját és egy P pontot úgy kezelje, hogy a P pont helyettesíthető legyen egy hozzá képest nyugvó koordináta-rendszer origójával. Ekkor az egyetlen lehetőség a. alfejezetben már vizsgált Lorentz-transzformáció. Megismételjük az ismert eredményt: a K inerciarendszerben megfigyelt s elmozdulást (nem vektor) és a t időintervallumot a K inerciarendszerbeli megfigyelő s -nek és t -nek észleli, ahol ( ) t s ( a b = c d ) ( t s ). (7.135) 206

208 Megmutatható a (2.153) levezetéséhez hasonló módon, hogy a kikötött tulajdonságokból következik, hogy a (7.135)-ben szereplő mátrix az alábbi alakot ölti: ) ( 1 1 U 2 U 1 U 2 U 1 U U 2, (7.136) ahol U = U, továbbá az U, V P, V P és V 0, V P, V P távolságok háromszöget alkotnak. 6 A (7.135) transzformáció inverzét az alábbi alakba írjuk: ( t s ) ( = 1 1 U 2 U 1 U 2 U 1 U U 2 ) ( t s ). (7.137) U meghatározása az alábbi módon történik. Osszuk el (7.135) második egyenletét tvel, és használjuk fel, a V P = lim t 0 s / t (a P pont sebessége a K rendszerben) definíciót, a kapott kifejezést átrendezve: Felhasználva a V P s = lim t 0 t és s V P = lim t 0 t definíciókat, az alábbi összefüggést kapjuk: U = V P V P. (7.138) 1 V P V P V P = V P + U 1 + V P U. (7.139) Ha itt U = V 0 /c, (ahol c a fénysebesség), azaz, U a K és K rendszer relatív sebességének fénysebesség egységekben kifejezett értéke, amit (2.151)-ben v-vel jelöltünk, azt állapíthatjuk meg, hogy (7.139) megegyezik (2.151)-el. Ugyanakkor vegyük észre, hogy a (2.151)-ben megadott sebességösszeadás csak akkor lehet igaz, ha V 0, V P és V P elfajult háromszög. Ezzel szemben (7.139) mindig igaz, mert azonosság, amennyiben U-t (7.138) definiálja. Alapvető jelentőségű, hogy a(7.137) transzformáció V 0 választásától függetlenül igaz. Az (7.137) transzformációban háromszögek oldalai szerepelnek, ezért az (7.137) transzformáció minden geometriában érvényes. Egyetlen kikötésnek kell teljesülnie: a V P, V P, és V 0 sebességek természetes háromszöget alkotnak. Itt V 0 a K rendszer origójának sebessége a K inerciarendszerben. 6 Figyelmen kívül hagyjuk azt a tényt, hogy ez a háromszög speciális esetben elfajult is lehet. 207

209 (7.135) első egyenletéből megkapjuk a K és K rendszerekben eltelt idők közötti kapcsolatot: ( t t = 1 VP (V P V ) ( P ) 1 1 VP V 2 ) + 1 = 1 U 2 1 V P V P 1 U 2 1 V P V = p, P U V P V P (7.140) amit átrendezve, a P pont mozgásának egy inerciarendszertől független (invariáns) kifejezését kapjuk: t 1 V P 2 = t 1 V 2 P. (7.141) A téridőtranszformáció végrehajtását mindig megelőzi a hármassebesség abszolútértékének meghatározása. Ez úgy történik, hogy a sebességtérben megoldjuk a K rendszer origójára támaszkodó sebességháromszöget. A sebességháromszög megoldása az alábbi módon történik. Felmérjük a K rendszer origójából azt az elmozdulásvektort, amely t időhöz tartozik. Ezalatt a P pont elmozdulása s P, a K rendszer origójának elmozdulása s 0 és a kettő közötti β szöget, amely az éppen aktuális térszerkezet függvénye. Mint említettük, ez a szög megadható úgy, hogy a s p / t = A és s 0 / t = C normált sebességarányok sebességháromszöget alkotnak euklideszi geometriában és egyúttal együtt meghatározzák a s p/ t = B normált sebességarányt. Ily módon meghatároztuk az A, B, C oldalakat és az α, β, γ szögeket. Egy sebsséghároszögben több módon is meghatározhatjuk a sebességháromszög egyik oldalát. Fizikailag ez zat jelenti, hogy a P pont, a K inerciarendszer O origója, és a K inerciarendszer O origójához illesztett inerciarendszerek között is végrehejtható Lorentz-transzformáció. Ebből újabb hasznos összefüggéseket kapunk Tétel (Összefüggések sebességháromszögben) Alkossanak a V P, V P és V 0 sebességabszolútértékek természetes háromszöget. Ekkor a V 0 sebességabszolútértékhez hozzárendelhető a V 0P sebesség, amely a V 0 sebesség a P -ponthoz rögzített, azaz, V P sebességgel mozgó inerciarendszerben mért értéke, amelyet az alábbi összefüggés ad meg: V V = V 0P 1 VP 2 1 V 2 P (7.142) V0P 1 2 VP + 1 V P 2 Fennáll továbbá a sebességek között a V P 1 V P 2 összefüggés. = V P 1 VP 2 V V VP 1 V P 2 (7.143) 208

210 7.1. Feladat (Három pont relatív sebességei) A tétel alapján azt gondolhatnánk, a tételben szereplő V 0, V P és V P sebességek kimerítően leírják a három pont relatív sebességének problémáját. A helyzet azonban ennél bonyolultabb. Ebben a példában részletesen tanulmányozzuk három pont (legyenek (P 0, P 1, P 2 )) relatív sebességeit. A tételben P 0 a K inerciarendszer origója, P 1 a K inerciarendszer origója és P 2 a P pont, és azt vizsgáltuk, hogyan változik a P pont sebessége a P 1 -hez tartozó inerciarendszerben. Legyen a pontok relatív sebességei V Pi P j, i, j = 0, 1, 2, ahol az első index jelenti az inerciarendszer origójának választott pontot. A Lorentz-transzformáció s Pi P j elmozdulásokból és az elmozdulásokhoz tartozó t Pi P j idők transzformációját adja meg a (7.135) összefüggésekkel. Az időtartamok és a relatív sebességek között fennáll a (7.141) összefüggés. Ezért t Pi P j 1 V Pi P j = t Pk P j 1 V Pk P j. (7.144) Itt i, j, k különböző indexek, az inerciarendszerek relatív sebessége V Pi P k. Az elmozdulásokra a (7.137) második sorát kell alkalmazni: s Pi P j = s P k P j + V Pi P k,µ t Pi P k. (7.145) 2 1 V PiPk Az (7.145)-ben szereplő három sebesség, V Pk P j, V Pi P k és V Pi P j általában nem alkot természetes háromszöget S-geometriában. Ugyanakkor a 34. tételben láttuk, hogy ha az egyik sebességet alávetjük a (7.143) utolsó tagjában lévő transzformációnak, akkor már természetes háromszöget kapunk. Hajtsuk végre a szóban forgó transzformációt a V Pi P k sebességen, deformáltja legyen V Pi P k,µ, amelyet így kapunk meg: V Pi P k,µ = 1 + V Pi P k 1 V Pi P k (7.146) V Pi P j 1 V Pk P j Összevetve (7.146)-t (7.152) utolsó tagjával a két kifejezés egyezését látjuk. Ez annyit jelent, hogy (7.152) utolsó tagja egy Lorentz-transzformáció eredménye. Egy természetes S-háromszögnek a tétel értelmében létezik euklideszi őse. Az euklideszi ősben legyen a V 0 és V P sebességek közötti szög β E. Természetesen a relatív sebesség szimmetrikus, ezért fennáll V Pi P j = V Pj P i, (7.147) minden i, j-re. Legyen i = 0, j = 2, k = 1, V P0 P 2 = V P, V P1 P 2 = V P, legyen P 0, P 1 a K, K inerciarendszerek origója, legyen a K-ben mért idő t, a K -ben mért idő pedig t. Ekkor t és t kapcsolata: t = 1 V P V 0 1 V 0 2 t, (7.148) 209

211 ami időintervallumokra (tehát t és t -re is), továbbá négyessebességekre is alkalmazható. A V P sebességre az alábbit kapjuk: [( ) ]} 1 2 V P V0 1 = {V P + V 0 1 V 0 V 1 V 0 V P 1 P (7.149) V0 V V0 A fenti egyenletből négyzetreemelés és hosszú átalakítás után az alábbi összefüggést kapjuk: 1 V P 2 = (1 V 0 2 )(1 V 2 P ). (7.150) 1 V 0 V P Mivel V 0V P = V 0V P cos β E, ezért Ezt behelyettesítve (7.149)-be: V P 1 V P 2 = 1 V P 2 = V P 1 VP 2 V V V0 2 1 V P 2 1 V 0 V P cos β E. (7.151) VP 1 V P 2. (7.152) (7.152) utolsó tagja pontosan a keresett V P1 P 2,µ = V 0P. Mivel V P0 P 2 = V P2,P 0 = V P, ezért V 0P 1 VP 2 1 V 2 P 1 2 V 0 = V0P 1 2 VP + 1 V P V 0 (7.153) Jegyezzük meg, hogy itt V 0P a K inerciarendszer P ponthoz képesti sebessége. A (7.143) transzformációval térhetünk át a K-ról a K inerciarendszerre. Itt a P pont sebességét vizsgáljuk. Amennyiben az O pont sebességét vizsgáljuk, a (7.142) transzformációval térhetünk át a K-ról a P -hez rögzített inerciarendszerre. Vessük össze a (7.137) transzformációt (2.153)-tal! Az itt levezetett Lorentz-transzformáció a (2.61) transzformáció egy speciális esete, a transzformáció elemeit az inerciarendszerek origóinak relatív sebességének abszolútértéke paraméterezi. A sebességek összeadására pedig a (7.139) szabály szolgál. Vegyük észre, hogy a (2.61) transzformáció csak akkor működik, ha a sebességek egy egyenesbe esnek, az általános transzformációt (2.158) írja le, ahol az L mátrix egy forgatás és egy sebességtranszformáció (Lorentz-mátrix) szorzataként írható. A képletekben azonban a három sebesség (v 1, v 2 és v 3 a (2.164) egyenletben) nem azonos szerepet játszik: v 1 V P és v 2 V P szerepe szimmetrikus, viszont a két inerciarendszer origójának 210

212 relatív sebessége (v 3 V 0) nem. Ezt a Wagner által javasolt gondolatmenet sem küszöböli ki, a P pont kitüntetett szerepet játszik a transzformációban. Eddig csak szakaszok transzformációjával foglalkoztunk, most áttérünk a sebességkomponensek transzformációjára. Az euklideszi ős létezését biztosító tétel alapján az (a, b, c) oldalakkal felrajzolt sebességháromszöghöz rendelhető az (A, B, C) oldalakkal felrajzolt euklideszi háromszög. Az (A, B, C) háromszögre tehát alkalmazható az euklideszi geometria koszinusztétele, lehet komponensekről beszélni. Alkalmazzuk most ezt a felismerést az a = V P, b = V P, c = V 0 sebességháromszögre: és fennáll V P 1 V P 2 = V P V 0P, (7.154) 1 2 VP 1 2 V0P V 0P V P = V 0P V P cos β E. (7.155) Ezen túl, beláttuk, hogy a különböző inerciarendszerekben mért idők között fennáll (7.141). Ebből az elmozdulásvektorokra az alábbi összefüggést állapíthatjuk meg: 2 s 1 V P = s V 0 t 2 1 V, (7.156) 0 továbbá, a (7.138)-ban bevezetett transzformált sebesség, V 0 segítségével pedig az elmozdulások között fennálló s = s V 0 t 2 1 V P (7.157) 1 2 V0 képletet kapjuk. Mivel s = V P t és x = V P x t, ezért s = V P x /V P x, azaz x = V P x V P s + V 0 t 1 V0 2. (7.158) A sebességabszolútértékek transzformációja elvégezhető a sebességgeometria (A, B, C) háromszögének meghatározásával. Emlékezzünk, hogy a sebességgeometria α S, β S és γ S szögeit az A, B oldalak és a α E, β E és γ E szögek alapján a (7.131) egyenletekből meg tudjuk határozni. Ezért az x irányú komponensekre x = V P x s + U t V. (7.159) 0x 1 U 2 Ide most visszaírjuk az elmozdulások sebességekkel kifejezett értékét, amiből az elmozdulás x komponensére, terjedelmes számítások után, a 2 x = V 1 V P P x t 1 V P 2 (7.160) 211

213 majd az elmozdulás-komponensek visszaírása után a 2 s 1 V P = s V 0 t 2 (7.161) 1 V 0 eredményre jutunk. A kapott eredmény azonos (7.156)-mal, vagyis, azonos átalakításokat hajtottunk végre a fentiekben. Végeredményként, a 2 x = x V 0x t 1 V P 1 V 0 2 (7.162) kifejezésből azonos átalakításokkal kapjuk meg a x = V 0x 1 [ s + U t] (7.163) V 0 1 U 2 összefüggést. (Az analóg kifejezéseket y és z-re az olvasó könnyedén felírhatja.) Ebből némi átalakítás után belátható (7.161), és az időintervallumok transzformációit leíró 2 t 1 V P = t 1 V P 2 (7.164) egyenletek ekvivalens átalakítással megkaphatóak a Lorentz-transzformáció (7.137) egyenleteiből Feladat (Az (7.152) összefüggés igazolása) Induljunk ki a Lorentz-transzformációból: a K inerciarendszerben V P sebességgel mozog a P pont, a K inerciarendszer sebessége K-ban V 0. Legyen a V 0 és V P sebességek közti szög α. s, t jelenti a P pont elmozdulását és idejét K-ban, s, t pedig K -ben. A Lorentz-transzformációt (7.135) írja le, ezért [( ) ] s 1 = s + 1 V 0 t (7.165) 1 2 V0 t = V P cos α V V0 2 t 1 V0 2 (1 V P V 0 cos α). (7.166) Ebből a sebességek viszonyát a sebesség per idő összefüggés adja meg: {( ) } 1 2 V P V0 1 2 V0 1 = V P + V 0 1 V 0 V P 1 V 0 V 1 V 0 V P 1 P V0 V V0 (7.167) Ezt átalakítjuk az 1 1 V 0 2 = V V

214 azonosság felhasználásával: V 0 V P = V V 0 V P Ebből egyszerű átalakításokkal V 0 V P = V V 0 V P [ V P 1 V 2 0 V ] V (7.168) 1 V 0 [ V P 1 V 2 0 V ] V (7.169) 1 V 0 adódik. Felhasználva a Bolyai-Lobacsevszkij geometria koszinusztételét: 1 2 V0 1 2 VP = 1 V 0 V, P 1 2 VP az eredményből pedig némi átrendezés után eljutunk a végeredményhez: V P V = P V 0 1 V P VP V VP 1 V P 2. (7.170) Álljon fenn koincidencia a t = 0 időpontban a K és K inerciarendszerek és a P pont között. Feltesszük, hogy a K rendszerbeli megfigyelő megméri a K és K inerciarendszerek origói közötti sebesség abszolútértékét, legyen ez V 0. Feltesszük, hogy ugyanez a megfigyelő megméri a P pont sebességének abszolútértékét a K rendszerben, legyen ez V P. Feltesszük továbbá, hogy a K rendszerbeli megfigyelő képes megmérni a γ szöget, amelyet ez előbbi két sebesség egymással bezár. Továbbra sem rögzítjük le, milyen geometria érvényes K-ban, feltesszük, hogy az S, B, E, G geometria valamelyike érvényes, a további gondolatmenet mindegyik geometriában végigvihető. Az egyszerűség kedvéért feltesszük, hogy K-ban az S-geometria érvényes, ez a geometria van összhangban a megfigyelésekkel. Ebben az esetben a K-beli megfigyelő számára a K inerciarendszer origója és a P pont közötti sebesség (v.ö. (7.110)) V P V = 2 0 2V 2 0V P cos γ S1 + V P 1 2V 0V P cos γ S1 + V 2 P V 0 2 (7.171) lesz. A ábrán bemutatott β szöget is meg lehet mérni, de a, b és c ismeretében ki is lehet számolni a V 2 P = V V P 2 2V 0V P cos β S1 1 2V P V 0 cos β S1 + V P 2 V 0 2 (7.172) 213

215 7.9. ábra. A K-K -K sebességtranszformációhoz összefüggésből. A megfigyelésekből tehát meghatározható egy sebességháromszög, erről feltesszük, hogy természetes háromszög, de ezt mérésekkel igazolni kell. Most áttérünk a sebesség komponenseinek transzformációjának kérdésére. A Wagner által bevezetett pontgeometriának lényeges vonása, hogy bármilyen legyen is a geometria, minden természetes, S-geometriabeli háromszögnek létezik euklideszi őse, ezért lehet beszélni a komponensekről. Így például a V P, V P, V 0P oldalakkal (ezek tehát nem vektorok, csak vektorok hossza) jellemzett háromszögben a háromszög csúcsait kijelölő V P, V P, V 0P vektorok között mindig fennáll az alábbi három összefüggés: V P (1 V P )2 = V P (1 VP ) 2 V 0P (1 V0P ) 2 (7.173) továbbá és Végig szorozva (7.173)-t (7.141)-vel: V P V 0 = V P V 0 cos α E, (7.174) V P 2 = (V P ) 2 2 2V P V 0 cos α S + V 0 1 2V P V 0 cos α S + V 2 2 P V. (7.175) 0 2 V P t 1 V P = V P t V 0 1 V 0 2 t (7.176) alakba, ezért fennáll az elmozdulásvektor ( s) komponenseire az alábbi transzformációs szabály: 2 s 1 V P = s V 0 1 V 0 2 t. (7.177) 214

216 Ezzel a koordináta transzformáció leírása teljes. Azt kell még megmutatni, hogy a Wagner által bevezetett transzformációk csoportot alkotnak. Ennek bizonyításához elegendő belátni, hogy két egymást követő transzformációban szereplő sebességvektorok egymással felcserélhető szerepet játszanak a transzformációban Sorozattranszformáció A sorozattranszformációt úgy vizsgáljuk, hogy meghatározzuk egy P pont sebességét három inerciarendszerben: K-ban, K -ben és K -ben. A P pont helyzetét az inerciarendszerben mért elmozdulásvektorokból és az ugyanabban az inerciarendszerben az elmozduláshoz szükséges időből állapítjuk meg. Legyen tehát a P pont sebességének abszolutértéke a K inerciarendszerben A = s, a t K -ben B = s és a K -ben C = s. t t A távolságok és idők transzformációját a (7.135) képletből kapjuk meg: [ ] s 1 B A = 1 [ ] t + s (7.178) B A 2 1 AB 1 AB [ ] t 1 B A = 1 [ ] s + t (7.179) B A 2 1 AB 1 AB Könnyen belátható, hogy s = A-ból következik s = B. Ehhez osszuk el (7.178)-t t t (7.179)-vel, és használjuk fel az A = s/ t és a B = s / t jelölést, valamint U értékét (7.138)-ból a V P = A, V p = B jelölésekkel, amiből az állítás adódik. A 27. tétel szerint az {A, B, C} sebességháromszögnek létezik euklideszi őse, az euklideszi ős oldalai közötti szögeket (7.131) egyenletekből kapjuk meg. Legyen x E = x 2 / 1 x 2, ahol x = a, b, c az euklideszi ős oldalainak hossza. A (7.131) egyenletekből meghatározott α E, β E, γ E szögek segítségével pedig felírható az a E, b E, c E vektor, amelyek között (7.173) miatt fennáll c E = b E a E. (7.180) Most végrehajtjuk a K K transzformációt. Ehhez (7.135)-ben elvégezzük az alábbi helyettesítéseket. A jobboldalon: t t, s s. A baloldalon: t t, s s. Az U relatív sebesség pedig U = C B. Az eredmény: 1 CB [ 1 s = 1 [ ] s + C B ] C B 2 1 CB t (7.181) 1 CB [ ] 1 C B t = 1 [ ] C B 2 1 CB s + t (7.182) 1 CB 215

217 A fenti két egyenletben s = B-ből következik s = C. Az (7.181) előtt leírt gondolatmenet alkalmazásával bizonyíthatóak az alábbi összefüggések: t t [ 1 s = 1 [ ] s + C A ] C A 2 1 CA t (7.183) 1 AC s t t = = A-ból következik s t 1 1 [ C A 1 AC ] 2 [[ C A 1 AC ] ] s + t = C. A következtetéseket az alábbi tétel foglalja össze: (7.184) Tétel (Wagner 3. tétele) A s, t páros sorozattranszformációja csak a kezdeti és végállapottól függ, a közbülső lépések végrehajtása a végállapotot megadó transzformáción semmiféle nyomot nem hagy. Az példa (7.152) egyenlete egy új lehetőséget kínál. A (V P, V P, V 0 ) vektorok között a sebességgeometriában is találtunk egy új összefüggést. Ehhez csak arra volt szükség, hogy az egyik vektor helyett (ez (7.152)-ben V 0 ) annak (7.142) szerinti deformáltját (V 0P -t) írjuk a képletbe. Az (7.142) képletnek fizikai jelentése is van: megadja a P - ponthoz rögzített inerciarendszerben a K K relatív sebességet. Tekintettel arra, hogy a ábra háromszögein minden élhez két vektort lehet rendelni, az alábbi jelölést fogjuk használni: A K P relatív sebessége legyen A. A K K relatív sebessége legyen c µ (= V 0 ) és c(= V 0P ). A K K relatív sebessége legyen b µ (= V 0 ) és b. A K K relatív sebessége legyen a µ (= V 0 ) és a. A K P relatív sebessége legyen B µ (= V P ) és B. A K P relatív sebessége legyen c µ (= V P ) és c. Ahol nem írtuk ki a µ indexszel jelzett deformáltat, az azonos index nélküli változóra alkalmazva a (7.142) transzformációt, megkapjuk a keresett deformált mennyiséget. Megjegyezzük, hogy az (x, y, z µ ) típusú S-háromszög nem szükségképpen természetes háromszög, ezért általában nem létezik euklideszi őse. Az (x, y, z) típusú S-háromszög mindig természetes, ezért mindig létezik euklideszi őse. Wagner 3. tétele vizsgálatához tekintsük a K inerciarendszert, amelyben adott egy P pont, melynek sebességabszolutértéke V P. Legyen adott a K inerciarendszer, melynek O origója V 0 sebességgel mozog a K inerciarendszerben. Legyen szintén adott a K inerciarendszer, amelynek O origója 216

218 V 0 sebességgel mozog a K inerciarendszerben. A ábrán sematikusan ábrázoltuk a sebességabszolútértékekkel létrehozott tetraédert. Emlékeztetünk rá, hogy az ábrán négy darab, különféle sebesség abszolútértékekből létrehozott háromszög látható, ezek a háromszögek S-geometriát követnek, nem pedig euklideszi geometriát. Az ábrán alkalmazott jelölések: V P a P pont sebessége a K rendszerben, V P pedig a P pont K -ben mért sebessége. Feltesszük, hogy egy t 0 időpontban a P pont, valamint az O, O, O origók egy pontba estek. Vizsgáljuk először a K K geometriát. Ebben a (V 0, V P, V P ) oldalakkal rajzoltunk S-geometriában háromszöget. Ezt a háromszöget mutatja a ábra. Az (V 0, V P, V P, α S1, β S1, γ S1 ) oldalakkal és szögekkel felrajzolt természetes háromszögre alkalmazható az S-geometria koszinusztétele. Ebből a 25. tétel segítségével meghatározható V P, a P pont K -beli sebességégének abszolút értéke. A tetraédertétel értelmében a V P, V 0, V 0 sebességekkel alkotott tetraéder minden oldala természetes háromszög lesz. Ezeket a háromszögeket mutatják a ábrák. Az (7.173) egyenletet most az ábra. A O, O, O pontokkal alkotott sebességháromszög alábbi módon értelmezzük. V P a P pont sebessége K (új) inerciarendszerben, V P a P pont sebessége a K (régi) inerciarendszerben, V 0 pedig a régi és az új inerciarendszer közötti sebességkülönbség. Ezt alkalmazzuk először a K-K rendszerekre, majd a K -K rendszerekre. és fennáll V P (1 V P )2 = V P (1 VP ) 2 V 0 (1 V 0) 2 (7.185) V P V 0P = V P V 0P cos γ S1, (7.186) ezzel a K-K átmenetet leírtuk. Nézzük a K -ről a K -re áttérést. V P (1 V P ) 2 = V P V 0 (7.187) (1 V P )2 (1 V 0 ) 2 217

219 7.11. ábra. A P, O, O pontokkal alkotott sebességháromszög ábra. A K, P, K pontokkal alkotott sebességháromszög 218

220 és fennáll V P V P = V P V P cos α 2E, (7.188) amivel a K -K átmenetet leírtuk. Hátra van még a K-K közvetlen átmenetet leírása. Ez a fentiek analógiájára így írható: V P (1 V P ) 2 = V P (1 VP ) 2 V 0P (1 V 0P ) 2 (7.189) és fennáll V P V 0P = V P V 0P cos α 3E. (7.190) Tétel (Sorozattraszformáció) Legyen a K inerciarendszer kezdőpontja O, egy P pont K-ban mért elmozdulása t A idő alatt legyen S A, sebességének abszolútértéke legyen A. Legyen a K inerciarendszer kezdőpontja O, és a P -nek K -ben mért t B alatti elmozdulása legyen S B, sebességének abszolútértéke legyen B. Legyen a K inerciarendszer kezdőpontja O, a P pont elmozdulása t C idő alatt K -ben legyen S C. A P pont sebességének abszolútértéke legyen C. Ekkor S A = A t A (7.191) a P pont elmozdulása K-ban, a P pont elmozdulása K -ben, és S B = B t B (7.192) S C = C t C (7.193) a P pont elmozdulása K -ben. Tegyük fel, hogy a P pont viszonylagos mozgását a K-K és a K -K inerciarendszerek viszonylatában a (7.163)-(7.164) Lorentz-transzformáció írja le. Legyen K és K viszonylagos sebessége a, a a K és K viszonylagos sebessége c. Ekkor a K és K inerciarendszerek között Lorentz-transzformáció áll fenn, a K és K közötti b viszonylagos sebességet megadhatjuk a és c függvényében. Tekintettel a tétel fontosságára, közöljük a bizonyítás főbb lépéseit is. Előre bocsátjuk, hogy azt kell belátni, a P pont K -ben mért C sebességét a K-ban mért sebesség (A) és a K -ben mért B sebesség segítségével megadhatjuk. Bizonyítás: Először vegyük észre, hogy (7.141) szerint fennáll a t A, t B és t C időtartamok között a t A 1 A2 = t B 1 B2 = t C 1 C 2 (7.194) összefüggés. A különböző inerciarendszerek sebességeit sebességgeometria szerint kell összeadni, a sebességgeometriában megszerkesztett természetes háromszögből a 31. tétel szerint euklideszi háromszöget lehet szerkeszteni. Ez a háromszög az (A, B, C) szakaszokkal megrajzolt tetraéder végpontjai által meghatározott (a, b, c) háromszög. A

221 tételt alkalmazva az (A, B, C) vektorok által meghatározott tetraéder három oldalára az alábbi összefüggéseket kapjuk: [ ] A B = c µ 1 A 2 1 B c + 1 (7.195) 2 µ 1 A 2 1 B 2 [ ] B C = a µ 1 B 2 1 C a + 1 (7.196) 2 µ 1 B 2 1 C 2 [ ] A C = b µ (7.197) 1 A 2 1 C b 1 A 2 1 B 2 µ Amennyiben a fenti három összefüggésből kettőt Lorentz-transzformációból kaptunk, belátjuk, hogy a harmadik megkapható a Lorentz-transzformációból. Megmutatjuk, hogy a fenti harmadik egyenletet az előző kettő meghatározza. Az egyenletek szerkezetéből következik, mindegy melyik kettő ismeretében vizsgáljuk a harmadikat. Szorozzuk meg (7.197)-t az (7.194) egyenlőség megfelelő tagjával, az eredmény: S A = S C b µ 1 b µ 2 b ( S Cb µ ) µ b µ 1 b µ 2 t C. (7.198) (7.198) és (7.194) megfelelő tagjai pontosan a Lorentz-transzformáció (7.163) és (7.164) képleteinek felelnek meg. Kérdés, hogyan lehet meghatározni b µ -t, amennyiben ismerjük az A, B, C és a µ, c µ mennyiségeket. Itt csak főbb vonalakban ismertetett számítások szerint (7.198) mintájára (7.195)-ból kapjuk az alábbi egyenletet: S A = S B [ ] cµ 2 c µ c µ 2 ( S Bc µ ) (7.199)-ból és (7.198)-ból elimináljuk t C -t. Az eredmény: b µ = c µ 1 cµ 2 t B. (7.199) 2L 1 + W a 2 µ + 2M 1 + W c µ. (7.200) 2 Emlékeztetünk rá, hogy b a K és K rendszerek relatív sebessége. E sebesség transzformáció utáni abszolútértékét így adhatjuk meg: b µ = 2 a µ2 L 2 2a µ c µ LM cos β 0 + c µ2 M a µ2 L 2 2a µ c µ LM cos β 0 + c µ2 M 2 (7.201) ahol L = a µ 2 [ 1 1 B C A C 2 ] (7.202) 220

222 és M = c µ 2 [ 1 1 A B A C 2 ] (7.203) W 2 = a µ 2 L 2 2LMa µ c µ cos β 0 + c µ 2 M 2. (7.204) A β 0 szög az (a, b, c) euklideszi háromszög a és c oldalai közötti szög, azaz a µ c µ = a µ c µ cos β 0. QED. Végezetül néhány megjegyzés az alkalmazott jelölésről. Inerciarendszerek K, K, K, ezek origója rendre O, O, O. Szerepel még egy általános P pont, amelynek sebességét vizsgáljuk a fenti inerciarendszerekben. Sajnos ez nem elegendő, elkerülhetetlen, hogy a P ponthoz is rendeljünk egy inerciarendszert, amelynek origója P. Jelölje ezt az inerciarendszert K P. Minden pont sebességét minden inerciarendszerben lehet mérni. A jelölésben az alábbi megszorítások révén kívánunk rendet tartani. Jelölje a sebességeket V Pi P j, ahol az első index az inerciarendszer origója, a második index a pontot azonosítja, amelynek sebességéről van szó. Gyakran nincs szükség ilyen általános jelölésre. A 7.5 ábrán például a K, K, K koordináta-rendszerek, ill. a P pont alábbi sebességei szerepelnek: V 0- K sebessége K-ból mérve; V 0 - K sebessége K-ból mérve; V 0 - K sebessége K -ből mérve; V P - P sebessége K-ból mérve; V P - P sebessége K -ből mérve; V P - P sebessége K -ből mérve. Ezen kívül szükség lehet az inerciarendszerek origójának P pontból mért sebességeire: V 0P - K sebessége P -ből mérve; V 0P -K sebessége B-ből mérve. Mivel V Pi P j = V Pj P i, K origójának sebessége P -ből mérve V

223 8. fejezet A peremérték-feladat 222

224 Egy peremérték-feladatnak három alkotórésze van: egy V tartomány, egy egyenlet, amit a keresett függvénynek ki kell elégítenie V belsejében; és egy másik egyenlet, amit a keresett függvénynek ki kell elégítenie V határán. A V tartományról feltesszük, hogy egyszeresen összefüggő, azaz, bármely V belsejében haladó görbe folytonos transzformációval egyetlen pontra húzható össze. Általában csak kétdimenziós tartományról beszélünk, noha a feladatok egy része háromdimenziós térre vonatkozik. Ennek oka az, hogy a kétdimenziós tartomány egyszerűbb, és sok esetben a harmadik dimenzió mentén minden térfogatelemet homogénnek lehet tekinteni, így a feladat két dimenzióra egyszerűsödik. V lehet véges (pl. négyzet) vagy végtelen (pl. féltér). Ahol nem hangsúlyozzuk az ellenkezőjét, V véges térfogatot jelent. A tartomány belsejében megoldandó egyenletről feltesszük, hogy másodrendű, elliptikus operátorként írható le. Amennyiben az egyenletben az együtthatók függenek a helytől, ezeket legalább kétszer folytonosan differenciálható függvények írják le. Amennyiben az együtthatók szakaszosan folytonosak (ez a helyzet, ha V -t több, homogénnek tekinthető rész egyesítésével kapjuk), az együtthatók ugrását mindig végesnek tekintjük. A parciális differenciálegyenleteket a következő általános alakba szokás felírni: n 2 u a ij (x) + F (x, u, u) = 0. (8.1) x i x j i,j=1 Itt x = (x 1,..., x n ) a független változókat jelöli, u = u(x) a keresett függvény (függő változó), a ij (x) és F (x, u, u pedig folytonos függvények 1. Az egyenlet struktúrájának vizsgálatához keressük meg a független változók olyan függvényét, amelyekkel az egyenlet szerkezete leegyszerűsödik. Vizsgáljuk meg az n a ij (x 0 )p i p j (8.2) i,j=1 kvadratikus alakot az x 0 V pontban. A lineáris algebrában ismeretes, hogy létezik olyan nemszinguláris transzformáció, amellyel (8.2) r pozitív és legfeljebb n r negatív tag összege lesz: r m qi 2 qi 2, (8.3) l=1 l=r+1 ahol m n. Az egyenlet osztályozása az x 0 pontban az alábbiak szerint történik: Ha m = r = n akkor a (8.1) egyenlet az x 0 pontban elliptikus típusú; Ha egy tag előjele eltér a többiétől, azaz r = 1 vagy r = n 1 és m = n esetén, akkor a (8.1) egyenlet az x 0 pontban hiperbolikus típusú; 1 Fizikai feladatokban gyakran előfordul, hogy az együtthatók csak a V tartomány egy részén folytonos. Ebben az esetben az egyenletet az említett tartományokon külön-külön kell megoldani, a megoldásokat pedig úgy illesztjük össze, hogy a megoldás V egészén a feladatnak megfelelő simaságú legyen. 223

225 Ha m = n 1 és r = 1 vagy r = n 1, akkor parabolikus típusú Feladat A Laplace egyenlet elliptikus típusú, mert n = 2 és r = 2. A hullámegyenlet 2 u x + 2 u 2 y = 0 (8.4) 2 2 u t 2 hiperbolikus típusú, mert n = 3 és r = 1. A hővezetés egyenlete egyenlete parabolikus típusú, mert n = 3, r = 2. = 2 u x u y 2 (8.5) u t = 2 u x + 2 u (8.6) 2 y 2 A V peremen kielégítendő egyenletben szereplő operátor legfeljebb elsőrendű differenciáloperátor. Felmerül a kérdés, adott egyenlet esetén milyen peremfeltételt lehet előírni. A közönséges differenciálegyenletek esetében a megoldásban annyi szabadon választható együttható szerepel, amennyi az egyenlet fokszáma. Az is ismert, hogy minden analitikus komplex függvény kielégít egy parciális differenciálegyenletet és ha egy tartomány peremén megadjuk a függvény értékét, akkor a függvény értéke már a tartomány belsejében is egyértelműen meghatározott. A parciális differenciálegyenletek esetében a helyzet kevésbé egyszerű, ott az alábbi három alapfeladatot szokás megkülönböztetni: Cauchy-feladat vagy kezdetiérték-feladat: hiperbolikos és parabolikus egyenletekre csak kezdeti feltételeket adunk meg a V tartomány az egész R n térrel egyezik meg, nincs peremfeltétel. Peremérték-feladatqindexPeremérték-feladat: elliptikus típusú egyenletek esetében a V felületen peremfeltételeket adunk meg, nincs kezdeti feltétel. Vegyes feladat: hiperbolikus és parabolikus egyenletekre kezdeti- és peremfeltételt is megfogalmazunk. A továbbiakban csak az elliptikus egyenletekkel foglalkozunk. Az u megoldás tehát kielégíti a (8.1) egyenletet, a peremfeltétel általános alakja pedig αu(x) + β u n = q, (8.7) ahol x V és n a V felület x pontjának kifelé mutató normálisa. Az alábbi peremértékfeladatokat szokás megkülönböztetni: 224

226 Dirichlet-feladat: β = 0, α = 1; Neumann-feladat: β = 1, α = 0; Harmadik vagy kevert peremérték-feladat: β 0, α 0. A fentiek alapján a megoldandó feladatot a következőképpen lehet megfogalmazni: A(x)Ψ(x) = Q(x); x V (8.8) BΨ(x) = q(x); x V. (8.9) Itt Q(x) a térfogati forrás, és q(x) a felületi forrás vagy peremérték, a kettő közül legalább az egyik nem azonosan nulla. Ezt a feladatot inhomogénnek nevezzük. Az inhomogén feladat megoldása akkor egyértelmű, ha Q(x) 0 és q(x) 0 esetén nincs nemtriviális megoldás. Az A, B operátorokat lineárisnak nevezzük, ha X(Y 1 + Y 2 ) = XY 1 + XY 2 (X = A vagy B). A peremértékfeladatokat alkalmanként sajátérték-feladatként is meg szokás fogalmazni. Ilyenkor keressük azt a λ számot, ami mellett az és AΨ(x) = λψ(x) (8.10) BΨ(x) = 0, x V. (8.11) feladatnak létezik nemtriviális megoldása. A peremérték-feladatot tehát az alábbi rendezett hármassal lehet jellemezni: (A, B, V ). A térfogati és felületi forrást a feladat járulékos elemének tekintjük. A feladat megoldása bizonyos feltételeket ki kell hogy elégítsen. Egy fizikai problémában ezek a feltételek az alábbiak lehetnek: folytonosság folytonos derivált véges érték bármely pontban folytonos deriváltak adott rendig pozitív értékkészlet. Amennyiben az egyenletben szereplő együtthatók folytonosak, a megoldástól is megköveteljük, hogy folytonos legyen. Ha V olyan részekből áll, amelyekben az együtthatók folytonosak és a régiók határán véges ugrást mutatnak, a normális deriváltak folytonossága gyakran megkövetelhető. Ezeket a követelményeket könnyű kielégíteni, ha a megoldást valamely L függvényosztályból választjuk. A leggyakoribb függvényosztályok: C 0, C 1, C 2, L 2 stb., ami a folytonos, folytonos első- és második deriválttal rendelkező és négyzetesen integrálható függvények terét jelenti. Ha a függvényt csak a V térfogaton vizsgáljuk, akkor pl. C 0 (V )-t írunk. 225

227 8.4. Feladat (Membrán rezgése) Legyen a membrán az x, y síkban egyenletesen kifeszítve, azaz, nyugalmi állapotban a feszültségtenzor elemei legyenek állandóak: σ xx = σ yy = σ, a többi tenzorkomponens legyen nulla. A síkra merőleges infinitezimális ξ(x, y) elmozdulás egy h vastagságú membrán dxdy felületű darabjában hσ( 2 ξ + 2 ξ )dxdy erőt x 2 y 2 ébreszt. Legyen a membrán sűrűsége ρ, ez az erő gyorsítja a hdxdy térfogatban lévő tömeget, ezért 2 ( ) ξ σ 2 t = ξ 2 ρ x + 2 ξ. (8.12) 2 y 2 Ez tehát a membrán mozgásegyenlete, ehhez kell hozzáadni a kezdeti feltételeket és a peremfeltételeket. Amennyiben a peremet rögzítjük, ott az elmozdulás nulla lesz minden t-ben. Tegyük fel, hogy a megoldást síkhullám alakban keressük. Ekkor minden pontban, ezért a deformáció helyfüggő része kielégíti a 2 ξ x 2 = ω2 ξ (8.13) Φ(x) = ω 2 Φ(x) (8.14) egyenletet és ξ(x, t) = e iωt Φ(x). A membrán mozgásának leírásában is kiemelt szerepet kapnak a Laplace-operátor sajátfüggvényei Feladat (Potenciálgödör) Egy részecske akkor kerül kötött állapotba, ha a potenciális energiája nagyobb, mint kinetikus energiája. A kötött állapotban kialakuló energiák jól tanulmányozhatók a derékszögű potenciálvölgy példáján. Feltesszük, hogy a részecske leírására a kvantummechanika alkalmazható, azaz, a részecske ψ(x) hullámfüggvényét a Schrödinger-egyenletből határozhatjuk meg: d 2 ψ dx + 2m [E V (x)] ψ = 0, (8.15) 2 2 ahol = 1, ergs, m a részecske tömege, E a sajátérték (energia), V (x) pedig az egydimenziós potenciál. Legyen V (x) = { V0 ha x a 0 egyébként. (8.16) Ebben a feladatban a potenciál nem folytonos az x = ±a pontokban. A (8.15) egyenlet integrálásával megmutatható, hogy a ±a pontokban a megoldás és első deriváltja folytonos lesz. Amennyiben a vizsgált függvénytéren létezik alkalmas skalárszorzat, a szokásos módon definiálhatjuk egy A operátor adjungáltját, amit A + -szal jelölünk: (φ, Aψ) = ( A + φ, ψ ) (8.17) 226

228 A skalárszorzat rendszerint egy integrál: (Ψ 1, Ψ 2 ) = w(x)ψ 1 (x)ψ 2 (x)dx. (8.18) V A w(x) súlyfüggvényt gyakran w(x) 1-nek választják, a továbbiakban mi is ezt használjuk. A (8.18) skalárszorzat alapján bevezethető a (8.8) egyenletben szereplő A operátor adjungáltja: (φ, Aψ) = (A + φ, ψ) = ψ(x)a + φdx. (8.19) Hasonló módon definiálható a B operátor adjungáltja is: (φ, Bψ) = (B + φ, ψ) = ψ(x)bφ(x)dx. (8.20) Ügyeljünk azonban arra, hogy a (8.19)-ben a skalárszorzat a V térfogatra, a (8.20)-ban viszont a V határra vonatkoznak. Az A ill. B operátort önadjungáltnak nevezzük amennyiben A = A + ill. B = B Feladat (A Laplace-operátor önadjungált) Legyen Φ(x) és Ψ(x) értelmezve a V tartományon, és mindkét függvény legyen nulla a V peremen. Ekkor a Green-tétel miatt Φ(x) Ψ(x)dV = Ψ(x) Φ(x)dV + [Φ(x) n Ψ(x) Ψ(x) n (x)] df = Ψ(x) Φ(x)sV, V V V V azaz, a Laplace-operátor önadjungált Tétel (Fredholm-alternatíva tétel) Az V V AΨ(x) = Q(x) x V (8.21) BΨ(x) = 0 x V (8.22) differenciálegyenletből és a peremfeltételből álló lineáris peremérték-feladatnak nem lehet egyértelmű Ψ(x) megoldása, ha a A + Ψ + (x) = 0 x V (8.23) B + Ψ + (x) = 0 x V (8.24) adjungált egyenletnek van a Ψ + (x) 0 triviális megoldáson kívül más megoldása. Ekkor a (8.21)-(8.22) egyenletek csak akkor oldhatóak meg, ha Q(x) ortogonális minden Ψ + (x) megoldásra, vagyis (Ψ +, Q) = 0. Ha ez a feltétel teljesül, az (8.21)-(8.22) feladatnak végtelen sok megoldása van. 227

229 8.7. Feladat (Neutrontranszport) Az adjungált feladat és az eredeti feladat (ezt gyakran egyenes feladatnak nevezik) közötti kapcsolatra jól rámutat egy olyan példa, ahol az egyenes feladat megoldása és az adjungált egyenlet megoldása más halmazon van értelmezve. Ilyen a neutrontranszport egyenlete. A neutrongázban az n(r, v, t) neutronsűrűségre vonatkozó stacionárius mérlegegyenlet az alábbi alakot ölti: (v )n(r, v) Σ v n(r, v) + Σ s (v v)n(r, v )dv = Q(r, v) (8.25) 4π a V tartomány minden x pontjában, és minden v sebességre. A V peremen viszont csak a bejövő v sebességekre, azaz, a vn < 0 tartományra kell a peremértéket előírni. Az egyszerűség kedvéért vizsgáljuk az n(r, v, t) = 0 ha vn < 0, r V peremfeltételt. Az adjungált egyenlethez állítsuk elő a (8.25)-ban szereplő műveletek adjungáltját. A skalárszorzat most is a független változókra vett integrált jelenti, ezért tekintsük a ( Ψ +, An ) Ψ + (r, v)an(r, v)dvdv (8.26) v V integrálokat, ahol A a (8.25)-ban szereplő operátorokat jelenti. Az első operátor a kifolyást írja le, adjungáltját így kapjuk: ( Ψ +, Ln ) Ψ + (r, v)(v )n(r, v)dvdv = n(r, v)(v )Ψ + (r, v)dvdv v V V (8.27) + (Ωn)n(r, v)ψ + (r, v). v V Mivel az utolsó integrálban n(r, v) = 0, ha nv < 0, fizikai megfontolásokból pedig Ψ + (r, v) = 0 ha vn > 0 adódik, ezért az utolsó integrál eltűnik, és ezt kaptuk a kifolyás operátor adjungáltjára: L + (v ) + = (v ) L. (8.28) Könnyen belátható, hogy egy függvénnyel való szorzás önadjungált művelet, ezért (Σ v ) + = Σ v. Már csak a szórást leíró harmadik tag vizsgálatát kell elvégezni. ( Ψ + ; R s n ) [ ] = Ψ + (r, v) Σ s (r, v v)n(r, v )dv dv dv v V v [ ] (8.29) = Σ s (r, v v)ψ + (r, v )dv dv n(r, v )dv, v V v amiből kiolvasható ( S + Ψ +, n ) = Σ s (r, v v )Ψ + (r, v )dv. (8.30) v 228

230 Ezzel a stacionárius transzportegyenlet adjungáltja: Ω Σ v + Σ s (v v) dv. (8.31) A (8.21) egyenlethez tartozó G(x, x 0 ) Green-függvény kielégíti az alábbi egyenletet: a V tartomány belsejében és eleget tesz a AG(x, x 0 ) = δ(x x 0 ) (8.32) G(x, x 0 ) = 0 (8.33) peremfeltételnek az x V peremen. A Green-függvény segítségével a (8.21) egyenlet megoldása az alábbi integrállal adható meg: Ψ(x) = G(x, x 0 )Q(x 0 )dx 0. (8.34) A fenti Green-függvényt térfogati Green-függvénynek fogjuk nevezni. felületi G F Green-függvény is, mint a egyenlet megoldása. A felületi Green-függvénnyel a V Definiálható a AG F (x, x 0 ) = 0 x V (8.35) BG F (x) = δ(x x 0 ) x V (8.36) AΨ(x) = 0 x V (8.37) BΨ(x) = q(x) x V (8.38) feladat megoldása szintén egy integrállal adható meg: Ψ(x) = G F (x, x 0 )q(x 0 )dx 0. (8.39) V Mivel az A és B operátorok lineárisak, a (8.8) peremérték-feladat megoldása így adható meg: Ψ(x) = G(x, x 0 )Q(x 0 )dv + G F (x, x 0 )q(x 0 )dx 0. (8.40) V Mivel az integráloperátor adjungáltja olyan integráloperátor, amelyben a magfüggvény argumentumai felcserélődnek, az adjungált feladat Green-függvénye G(x 0, x). V 229

231 8.1. A peremérték-feladat szimmetriája A 2. fejezetben láttuk, hogy némely egyenlet alakja nem változik, ha a független x változó helyett áttérünk az x változóra. Ekkor azt lehet mondani, hogy az egyenlet invariáns az x x transzformációval szemben. Az 5. fejezetben ismertettünk egy módszert, amivel adott egyenlet esetén az ilyen transzformációkat meg lehet határozni. Általánosabban azt lehet mondani, hogy az egyenlet szimmetriája olyan transzformáció, ami a független változókat és a függő változókat úgy transzformálja, hogy az egyenlet egyik megoldását egy másik megoldásba viszi át. Egy peremértékfeladatban azonban két egyenlet van, egy a tartomány belsejében, egy pedig a peremen. Ezért egy peremérték-feladat szimmetriájának olyan transzformációt nevezünk, ami 1. A V térfogatot önmagába viszi át; 2. A V peremen megoldandó egyenletet változatlanul hagyja; 3. A V belsejében a megoldandó egyenletet változatlanul hagyja. Amennyiben a perem egyenlete és az f(x) = 0 (8.41) x = Px (8.42) transzformáció a (8.41) egyenletet változatlanul hagyja, akkor P-t a perem szimmetriájának nevezzük. A perem szimmetriái automatikusan adódnak a V térfogat szimmetriáiból. Ha (8.42)-ben minden x V esetén x V, akkor P-t a V térfogat szimmetriájának nevezzük Feladat (Szabályos hatszögalakú tartomány karakterisztikus egyenlete) Egy V tartomány f(x) karakterisztikus függvénye az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: pozitív V belsejében és nulla a tartomány határán. Az origó középpontú, H oldalú, csúcsán álló hatszög határának egyenlete: (y x 3 +H)(x 3 2 H)( x 3 +H y)( y + x 3 +H)(x+ 3 2 H)(+ x 3 +H +y) = 0 (8.43) Ebből az összefüggésből konstruálható olyan H 6 (x, y) függvény, amely pozitív a szabályos hatszög belsejében és zérus a határon. A karakterisztikus függvény jól alkalmazható numerikus módszerekben. Egy P transzformáció hatását egy f(x) függvényre az alábbi, Wignertől származó gondolatmenettel írjuk le. Bevezetjük a (Pf) szimbólumot, ami egy függvényt jelöl, 230

232 pontosabban, azt a függvényt, amelyre (Pf)( x) = f(x). Fejezzük ki x-et (8.42) alkalmazásával: (Pf)( x) = f(p 1 x). Azaz, egy függvény úgy transzformálódik a P transzformáció alatt, hogy a függvény argumentumára P inverzét alkalmazzuk. Megjegyezzük, hogy érvényesek az alábbi szabályok: P(f + g) = Pf + Pg; P(fg) = PfPg. Az általunk használt operátorok függvényekre hatnak. Ezek az operátorok differenciálást vagy integrálást tartalmaznak, adott együttható-függvényekkel. Láttuk, hogyan transzformálódik egy függvény szimmetria hatására: a transzformált függvény az új koordinátákon fejti ki hatását. Ezután nem meglepő, hogy a transzformáció az operátorokat is megváltoztatja. Tekintsük az alábbi sajátértékfeladatot: AΦ = αφ. (8.44) Alkalmazzuk erre az egyenletre a P szimmetriát, amit megtehetünk, mert mindkét oldalon egy-egy függvény áll, azok transzformációja ismert. Vezessük be a Ψ = PΦ függvényt. Az egyenlet baloldalán és jobboldalán a sajátfüggvényt fejezzük ki Ψ-vel: A ( P 1 Ψ ) = α ( P 1 Ψ ). (8.45) A kapott egyenletet előlről megszorozva P-vel, a következő egyenletet kapjuk: PA ( P 1 Ψ ) = αψ. (8.46) A zárójelet elhagyva azt találjuk, hogy a transzformált függvényen ható operátor épen PAP 1, azaz, a P szimmetria hatására az A PAP 1 helyettesítést kell elvégezni. Általában az egyenlet nem a valós térben, hanem egy fázistérben (vagy konfigurációs térben) van felírva. Ennek megfelelően egy egyenlet szimmetriái nem feltétlenül korlátozódnak a valós tér szimmetriáira, elég arra gondolni, hogy két azonos részecske kölcsönhatását leíró egyenlet invariáns a részecskék koordinátáinak felcserélésére nézve. A peremérték-feladat szimmetriájának nevezzük a P transzformációt, ha P szimmetriája V -nek P kommutál A-val is, B-vel is, azaz AP = PA és BP = PB. Mint látható a járulékos elemekre, azaz a felületi, vagy a térfogati forrásra nem tettünk megszorítást. Ezzel elérjük, hogy a homogén- és inhomogén feladatokat nagyrészt egységesen lehet kezelni. Megmutatjuk, hogy amennyiben P 1 és P 2 szimmetriája az (A, B, V ) peremértékfeladatnak, akkor (P 1 P 2 ) is szimmetria. Az asszociativitás miatt u.i. (P 1 P 2 )A = P 1 (P 2 A) = (P 1 A)P 2. Az utóbbi átalakításban kihasználtuk, hogy P 2 felcserélhető A-val, mert szimmetriája a peremérték-feladatnak. Továbbá, (P 1 A)P 2 = AP 1 P 2 = A(P 1 P 2 ). Hasonló összefüggés érvényes ha A helyett B-t írunk. Ezek szerint tehát (P 1 P 2 ) felcserélhető A-val is, B-vel is. Amennyiben minden x V -re x 1 = P 1 x és 231

233 x 1 V, valamint x 2 = P 2 x és x 2 V, akkor x 3 = P 2 P 1 x és x 3 V. Azaz, (P 1 P 2 ) V -t önmagába viszi át, tehát felcserélhető A-val is, B-vel is és V -t önmagába képezi le, ezért az (A, B, V ) peremérték-feladat szimmetriája. Amennyiben P egy lineáris transzformáció, V -t folytonosan képezi le önmagára, azaz, ha x 1 x 2 < ε, akkor Px 1 Px 2 < ε. Meg kell jegyezni, hogy léteznek olyan transzformációk, amelyek nem folytonosak V minden pontjában, ezek általában a megoldást sem transzformálják másik megoldásba. Amint láttuk, az (A, B, V ) peremértékfeladat szimmetriái között értelmezhető egy művelet, amit a szimmetria transzformációk egymás utáni alkalmazásaként, vagy szorzataként foghatunk fel. Létezik egységelem, azaz olyan transzformáció, ami mindent változatlanul hagy, ez az x x transzformáció. Minden transzformációt meg lehet fordítani, azaz, ha x x létezik, akkor létezik x x is. Az (A, B, V ) peremérték-feladat szimmetriái tehát csoportot alkotnak. Azt kívánjuk megvizsgálni, hogyan lehet megtalálni egy peremérték-feladat szimmetriáit és kihasználni azokat a feladat megoldásánál és vizsgálatánál. Egy x elem orbitja a G transzformációcsoportra nézve az a Gx halmaz, amely a g(x) alakú elemekből áll (itt g(x) jelentése: x képe a g transzformáció alatt), miközben g végigfut G elemein. Tekintsük azt a relációt az x, y X elemek között, amikor az x-hez van olyan g G, hogy g(x) = y. Ez egy ekvivalencia reláció, hiszen reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Az ekvivalens elemek G-nek egy orbitját alkotják. Ezzel X-et orbitok diszjunkt uniójára bontottuk, az orbitok halmaza az orbittér, amit G\X-szel jelölünk. Ha csak egy orbit van, azaz minden x, y X-hez van olyan g G, hogy y = g(x), akkor azt mondjuk, hogy a X halmaz G tranzitív. A továbbiakban a 2. fejezetben bemutatott technikát fogjuk alkalmazni. Először, a csoportelemek segítségével a V térfogatot előállíthatjuk V 0 V egy részhalmazából, így V a V 0 halmaz G egymáshoz kapcsolódó példányából áll. Jelölje L(V ) a V -n értelmezett függvények terét. A (2.28) projektor segítségével tetszőleges f(x) L(V ) felbontható irreducibilis komponensekre, amelyek meghatározzák a G csoport egy reguláris ábrázolását. Ismeretes, hogy az R N térben a G csoport irreducibilis ábrázolásait kifeszítik az alábbi vektorok: e 2i = cos(i 2π/N) (8.47) e 2i+1 = sin(i 2π/N). (8.48) Ennek alapján belátható, hogy L(V ) elemeinek irreducibilis komponensei előállíthatóak egy e i vektor és egy V 0 -on értelmezett függvénnyel: f i (x) = e ij f i (x 0 ), ha x g j V 0 (8.49) ahol x 0 V 0. Következésképp, ha a Q(x) és q(x) források irreducibilis felbontása Q(x) = i Q i (x) = i e ij Q i (x 0 ), ha x g j V 0, (8.50) 232

234 és q(x) = i q i (x) = i e ij q i (x 0 ), ha x g i V 0. (8.51) A megoldás irreducibilis komponenseit pedig az alábbi módon állíthatjuk elő: ahol Ψ i (x) = φ i (x) + ψ i (x), (8.52) Aφ i (x) = Q i (x), Bφ i (x) = 0, (8.53) Aφ i (x) = 0, Bφ i (x) = q i (x). (8.54) Amennyiben g az (A, B, V ) peremértékfeladat egy szimmetriája, akkor a g szimmetriához tartozik egy P g mátrix, amely alkalmazható az x helyvektorra. A peremértékprobléma akkor szimmetrikus, ha a forrást transzformálva g alatt, megkapjuk az egyenlet baloldalának transzformáltját g alatt. A transzformációt végrehatva a koordinátákon, a fenti feltétel így fogalmazható meg: Ψ(P g x) = G(x, x 0 )Q(P g x 0 )dx 0. (8.55) Minthogy x = P 1 g (P g x) és x 0 = Pg 1 (P g x 0 ), ezért Ψ(x ) = V V G(P 1 g x, P 1 g x 0)Q(x 0)dx 0, (8.56) vagyis, szimmetrikus peremértékprobléma esetén a peremértékhez tartozó Green-függvény az alábbi tulajdonsággal rendelkezik: G(x, x 0 ) = G(P g x, P g x 0 ). (8.57) Ebből következik, hogy amennyiben a homogén egyenletnek nincs nemtriviális megoldása, a forrás és a peremen előírt peremérték szimmetriája meghatározza a megoldás szimmetriáját. Az irreducibilis komponensek kivetítése a (2.28) operátorral történik, ami annyit jelent, hogy Q α (x ), x V 0 az x pont G alatti pályájának pontjaiban lévő forráserősségek (források) lineáris kombinációja. Hasonlóképpen q α (x ) a peremen fekvő x pont pályájának pontjaiban a peremértékekből képzett lineáris kombináció. Q α és q α ismeretében a megoldás Ψ α irrepje (8.40) alapján integrálással állítható elő. Megfordítva, amennyiben Ψ α ismert minden α-ra, a megoldást bármely pontban előállíthatjuk kihasználva azt a tényt, hogy az x V 0 pont pályájának pontjait megkapjuk, ha a V 0 -ba eső értéket megszorozzuk az adott gv 0 -ba eső e α számmal. Amennyiben ismert az (A, B, V ) peremértékfeladat szimmetriacsoportja, a megoldást leegyszerűsíthetjük a V 0 halmazra, függetlenül a peremfeltételként előírt q(x) függvény 233

235 vagy a Q(x) térfogati forrás szimmeriájától. Igaz, általános esetben G számú peremértékfeladatot kell megoldanunk, azonban a megoldás időigénye a pontok számának kvadratikus függvénye, ezért előnyös a feladat feldarabolása. A Green-függvény segítségével a megoldásból előállíthatunk számos új függvényt. Ezek közül most azokkal foglalkozunk, amelyeknek szimmetriája megegyezik a megoldás szimmetriájával. Emlékeztetünk rá, hogy A elliptikus operátor, ezért olyan operátorokról lehet szó, amelyek a megoldást és annak első deriváltját tartalmazzák. Vizsgáljuk meg először a normális menti deriváltat a határon, azaz, (n )Ψ(x)-et. Mivel a feladat P szimmetriája a skalárszorzatot változatlanul hagyja, ezért P(n )Ψ = (n )Pψ, vagyis a normális gradiens ugyanahhoz az irreducubilis altérhez tartozik, mint a megoldás. Legyen J n (x) = n Ψ(x) a normális áram az x V pontokban. Tekintettel arra, hogy Q 0 esetén Ψ(x) = G(x, x 0 )q(x 0 )dx 0 (8.58) és J n (x 0) = V V n G(x 0, x 0 )q(x 0 )dx 0, (8.59) azt látjuk, hogy rendelkezünk egy funkcionállal, amely egy lineáris transzformációval áll elő a peremértékből. A (8.56) tulajdonság miatt azt látjuk, hogy az áram normális komponense és a peremérték irreducibilis komponenseit az alábbi típusú mátrix állítja elő: (J n (x 0)) α i = δ αβ δ ij n G(x 0, x 0 )qi α (x 0 )dx 0. (8.60) V Ezt a megfigyelést alkalmazhatjuk a harmadik típusú peremértékfeldatra is. Írjuk elő a peremen az I(x 0 ) = Ψ(x 0 ) + a(x 0 )(n )Ψ(x 0 ) függvényt. Ekkor a megoldás peremen felvett értéke és a megoldás normális gradiense (a peremen) irrepjei közötti kapcsolat a (8.60) szerkezetű mátrixokkal írható le Feladat (Reszponzmátrixok) Tekintsük a (8.54) peremérték-feladatot (most az egyenletben szereplő i indexet alhagyjuk), és tegyük fel, hogy a P transzformáció szimmetria, azaz, fennáll AP = PA és BP = PB. A peremfeltételben szereplő B operátor egy lehetséges választása B 1, a Dirichlet-féle peremérték-feladat. A peremérték-feladatot tekinthetjük input-output kapcsolatként, ahol a q peremértéket tekintjük inputnak, a megoldást (vagy abból származtatott bármely mennyiséget) pedig outputnak. Legyen az output a megoldás normálismenti deriváltja a határon, ennek képzése az alábbi operátorral írható le: B = n. Ekkor a I(x) = q(x) input és a O(x) = n φ(x) output közötti kapcsolat 2 Vegyük észre, hogy (8.60)-ban szereplő mátrix diagonális, hiszen csak qi α -hoz ad járulékot. Ez a Schur-lemma közvetlen következménye [7],[12], hiszen a (8.60)-ban szereplő mátrix felcserélhető az egyenlet minden szimmetriájával, így csak diagonális mátrix lehet. 234

236 megadható a Green-függvény segítségével: O(x) = n G(x, x )I(x )dx, (8.61) V és x V. Mivel itt csak a peremen vizsgáljuk x-et, ez az egyenlet csak a V tartomány határát köti össze a V tartomány határával. A (8.61)-ben szereplő magfüggvényt nevezik reszponz mátrixnak: R(x, x ) = n G(x, x ), x, x V. (8.62) Az elnevezés onnan adódik, hogy a (8.61)-ben szereplő integrált fel lehet bontani oldalakra vett integrálok összegére: G(x, x )I(x )dx = n G(x, x )I(x )dx (8.63) V n F n amivel Legyen F m O(x)dx = n R mn = F n F n F m n G(x, x )I(x )dx dx. (8.64) F m n G(x, x )I(x )dx dx F n I(x )dx, (8.65) amivel O m = R mn I n, (8.66) n O m = O(x)dx, I n = I(x )dx. (8.67) F m F n Az így bevezetett reszponzmátrixok előnyösen alkalmazhatóak peremérték-feladatok megoldása során Feladat (Numerikus technikák) Numerikus megoldás esetén gyakran elegendő a határ minden pontján előírt peremfeltétel helyett a perem egy-egy pontjában előírt feltételt megadni. Amennyiben e pontok, a kollokációs pontok, a feladat szimmetriái alatt egyetlen pályán helyezkednek el, a numerikus módszer nagyon egyszerűvé válik. Például négyzet alakú térfogat esetén ilyen pontok a lapközepek A fedőcsoport használata Láttuk, hogy a peremérték-feladatok nagy része nem rendelkezik szimmetriával, például azért, mert a V térfogat automorfizmusa csak az egységelemből áll. Ugyanakkor azt is 235

237 láttuk, hogy szabálytalannak tűnő V térfogat is előállítható egy t tégla és egy fedőcspoport segítségével. Vagyis, a szimmetrikus térfogatoknál kidolgozott technikát részben át lehet vinni az asszimetrikus térfogatokra. Egy X geometriai objektumot jellemezhetünk a fundamentális csoportjával. A 1. fejezetben láttuk (v.ö. a 2.3 rész elején található diszkussziót), hogy a fundamentális csoport elemei folytonosan egymásba transzformálható zárt görbék, amelyek a görbék kompozíciójára, mint műveletre nézve alkotnak csoportot. Amennyiben X egyszeresen összefüggő, a fundamentális csoport csak az egységelemből áll. Vizsgáljunk meg más lehetőséget is. Vizsgáljuk meg azt az esetet, amikor X egy (A, B) oldalú téglalap, az oldalak irányítása legyen a 8.2. ábra szerinti! 8.1. ábra. Téglalap a sík beterítéséhez Illesszük ezen téglalap példányait egymáshoz az azonos betűvel jelölt oldalak mentén! Eredményként egy felületet kapunk, amely elágazást nem tartalmazó fedése X-nek, amennyiben X nem gömb vagy projektív sík, akkor homeomorf a síkkal 3. A legplasztikusabban az látható be, hogyan lehet egy tórusz felületét lefedni a síkkal. A tóruszt úgy kapjuk meg a 8.2. ábrán látható téglalapból, hogy az azonos betűkkel jelzett oldalakat összeragasztjuk. Tekerjük össze a függőleges irányban a 8.2. ábrán látható alakzatot úgy, hogy az eredmény egy A kerületű henger legyen! A henger palástján végtelen sokszor ismétlődik az ábra egy sorának megfelelő rész. Ezután a kapott végtelen henger két végét dugjuk egymásba, olyan mélységben, hogy az eredmény egy B kerületű cső legyen, amely nem más mint egy tórusz. Tehát a síkkal elágazás nélkül lefedtük a tóruszt. A tóruszon rajzolt tetszőleges zárt görbe átvihető folytonos deformációval két kör valamelyikébe, az 3 Két alakzat, X és Y homeomorf, amennyiben folytonos deformációval X átvihető Y -ba és viszont. 236

238 egyik kör a tórusz középpontja körül rajzolt B sugarú, a másik a tórusz egy metszetében látható A sugarú kör. A síkon rajzolt bármely zárt görbe viszont ráhúzható egy pontra. Sunada megmutatta, hogy általánosságban a következő állítás fogalmazható meg Tétel Tekintsük az alábbi peremérték-feladatot: és A x G(x, x 0 ) = δ(x x 0 ), hax V (8.68) G(x, x 0 ) = 0, ha x V. (8.69) Itt a jelölés mutatja, hogy az A operátor az x változóra hat. Tegyük fel, hogy A x kommutál a G csoporttal és a G csoport szabadon hat az M V t halmazon. Ekkor a (8.68) egyenlet Green-függvényei a t és a V halmazon kielégítik az alábbi összefüggést: G t (x, x 0 ) = g G V ( x, g ỹ). (8.70) Itt x az x-szel azonos pályán fekvő pontokat jelöli Feladat A tétel alkalmazásaként határozzuk meg a Laplace- egyenlet Green-függvényét egy tóruszra! Legyen tehát t a tórusz, V pedig a sík. A G csoport az x és y irányú eltolásokból áll, az eltolás mértéke A ill. B egész számú többszöröse. G V a logaritmus függvény, (6.3) alapján pedig a tórusz Green-függvénye: G t (x, y, x 0, y 0 ) = i,j [ ln ( (x x0 ia) 2 + (y y 0 jb) 2). ] (8.71) Hasonló gondolatmenettel megkereshető a négyzet, a téglalap, bizonyos rombuszok Greenfüggvénye a sík Green-függvényéből. Másrészt, összefüggés állapítható meg bizonyos alakzatok Green-függvényei között, pl. a hatszög és a trapéz, a négyzet és az egyenlőszárú derékszögű háromszög, a kör és bizonyos körcikkek Green-függvényei között ábra. Sík beterítése téglalapokkal 237

239 A fedőcsoportot előállíthatjuk a t hányadoshalmaz segítségével az alábbi módon. Tekintsük az 2.3. példában vizsgált négyzetet, amit a négyzet 1/8-át jelentő háromszögből állítunk elő. Legyen a fedőcsoport két generátora α és β, az a- és b oldalra vett tükrözés. Nyilván α 2 = 1 és β 2 = 1, továbbá (αβ) 4 = 1. Ezzel a fedőcsoport végesen prezentált, hiszen G = α, β; α 2 = 1, β 2 = 1, (αβ) 4 = 1. (8.72) ami a C v4 csoporttal izomorf. Általános esetben a fedőcsoport előállítása nem ilyen egyszerű, de hasonló módon történhet. A fedőcsoport ismeretében redukálni lehet azt a térfogatot, amelyben a megoldást keressük. Ennek egyik kihasználási módja az alábbi. Keressük a következő sajátérték-feladat megoldását AΦ(x) = λφ(x), x V (8.73) Φ(x) = 0, x V. (8.74) Legyen V = G\t, és legyen ismert a (8.73) feladat megoldása a t térfogatra, jelöljük ezt a megoldást φ-vel. Ekkor Aφ(x) = λ t φ(x), x t (8.75) φ(x) = 0, x t. (8.76) Legyen továbbá V színszáma 2. Ekkor a következő alternatíva áll fenn. Amennyiben a Ψ(x) = N c i g i φ(x) (8.77) i=1 függvény az A operátor értelmezési tartományába esik, akkor vagy Φ(x) = Ψ(x) és λ = λ t, vagy (8.77) azonosan nulla. Az utóbbi esetben a (8.73) megoldására fennáll az alábbi összefüggés: 0 = c i g i Φ(x), (8.78) i alkalmas c i együtthatókkal. Először is vegyük észre, hogy a (8.77)-ben szereplő állandók nem lehetnek tetszőlegesek: c i = ±1, hiszen különben a (8.77)-beli összeg nem tartozna a C 1 függvényosztályba. Választhatjuk a c i együtthatókat úgy, hogy Φ(x) = 0 legyen t két érintkező példányának határán. Ezáltal (8.78) jobboldala kielégíti (8.75)-ot, noha λ λ t, ami csak úgy lehet, hogy a sajátfüggvény azonosan nulla, ami éppen a (8.78) egyenlet. Ezek szerint a (8.78) egyenlet azt mondja ki, hogy a V -beli megoldás a G alatti pályájához tartozó értékek között fennáll egy összefüggés, nevezetesen (8.78), ami lehetővé teszi a megoldás intervallumának szűkítését. Megjegyezzük, hogy a megoldás intervallumának csökkenése eltérő mértékű a fedőcsoporttól függően. A csökkenés akkor a legnagyobb, ha a fedőcsoportnak csak egydimenziós ábrázolásai vannak. Ezért nem mindig célszerű minél 238

240 több elemű fedőcsoportot keresni. A fedőcsoport segítségével gyakran olyan esetben is csökkenthető a megoldás tartománya, amikor a vizsgált térfogatnak látszólag nincs szimmetriája. Vizsgáljuk meg a 8.2. ábrát! A V térfogat nem szimmetrikus a V 1 és V 2 részeket elválasztó vonalra, tehát nincs szimmetria. Fedőcsoportot viszont könnyű találni. Vegyük észre, hogy a baloldali ábrát A-val eltolva a második ábrát kapjuk, ha az eltolást mod2 értjük, már készen is van a fedőcsoport! 8.3. ábra. Véges fedőcdoport Tekintsük az AΦ(x, y) = λφ(x, y) (8.79) sajátértékfeladatot a 8.2. ábrán bemutatott térfogaton! A két alakzat külső határán legyen Φ(x, y) = 0 a peremfeltétel. Tegyük fel, hogy AT = T A, ahol T az x x + A eltolás operátora. Legyen a fedőcsoport G = {e, t A }, és t A t A = 1 a mod2 eltolások miatt. Nyilván AG = GA, a G csoport minden eleme felcserélhető az A operátorral. Ekkor létezik A-nak és t A -nak közös sajátfüggvény-rendszere. Jelölje Φ 1 és Φ 2 a megoldást a baloldali ill. a jobboldali alakzaton abban a lokális koordináta-rendszerben, amit az alakzat bal alsó sarkához rögzítettünk. Ekkor az u = (Φ 1 + Φ 2 )/2; v = (Φ 1 Φ 2 )/2 (8.80) függvények megoldásai (8.79)-nek, és sajátfüggvényei t A -nak is. Amennyiben tehát megoldjuk a következő két feladatot a baloldali alakzaton: Au(x, y) = λu(x, y); 0 x A; u(0, y) = u(a, y) = Y (y) (8.81) és Av(x, y) = λv(x, y); 0 x A; v(0, y) = v(a, y) = Y (y) (8.82) 239

241 akkor tetszőleges Y (x) függvény esetén a (8.79) feladat megoldása a teljes alakzaton a következő módon állítható elő: Φ(x, y) = (u(x, y) + v(x, y))/2; 0 x A; Φ(x, y) = (u(x, y) v(x, y))/2a x 2A. (8.83) A bemutatott eljárás előnye abban áll, hogy könnyebb két egyenletet megoldani egy adott intervallumon, mint egy egyenletet megoldani egy kétszer akkora intervallumon. A fedőcsoport segítségével reménytelenül szabálytalannak tűnő alakzaton is csökkenthető a tartomány, amelyen a megoldást meg kell határozni. A 8.2. ábrán hét egybevágó háromszögből kirakott alakzat található, a megoldás ugyan az adott esetben csak 6 háromszögre csökkenthető ábra. Szabálytalan alakzat 7 egybevágó háromszögből 8.3. Irreducibilis komponensek előállítása Tekintsünk egy V térfogatot, amelyen fel szeretnénk bontani egy adott f(x) függvényt V automorfizmusainak G csoportja szerinti irreducibilis komponensekre. A 2. fejezetben a karaktertábla tulajdonságai kapcsán elmondtuk, hogy tetszőleges függvény felbontható 240

242 irreducibilis komponensekre a (2.30) projektor segítségével. Legyenek az f függvény α altérbe eső irreducibilis komponensei {f i (1),..., f i (l α) }. Ekkor ha g G, akkor gf i (α) = l j j=1 D α ji(g)f j (α) (8.84) minden g G-re és minden α = 1,..., n c irreducibilis altérre, ahol n c a konjugált elemosztályok száma G-ben. Mivel G meghatározza a D α ij(g), j, i = 1,..., l α mátrixot, (8.84) rögzíti a gf i (α) függvény transzformációs tulajdonságát. Az irreducibilis komponensek egy x V pontban a felbontandó f(x) függvénynek egy G alatti (x 1,..., x G ) pálya pontjaiban felvett értékeinek lineáris kombinációi. Ezért f(x) adott irrepjét elegendő megadni az alapszektorbeli x-ekre, és egy transzformációs szabályt, ahogyan az alapszektorbeli értékek változnak G elemei alatt. Az irrepek egy leírását tehát egy 2 G elemű vektorból álló négyzetes mátrixszal lehet megadni. Jelölje a szóbanforgó mátrix sorait e 1,..., e 2 G. A vektor elemeit megadhatjuk egy köríven egy adott α szöggel jellemzett pont G alatti pályájának pontjaiban. Legyen m = G. Egy tetszőleges g(θ) periodikus függvény megadható az alábbi Fourier-sorral: g(θ) = m E k (θ) + O k (θ), (8.85) k=0 ahol az E k függvények párosak, az O k függvények páratlanok: E k (θ) = cos(i m + k)θ (8.86) i=1 O k (θ) = sin(i m + k)θ. (8.87) i=1 Az i = 1 tagokra szorítkozva megkapjuk a kívánt mátrixot, ld táblázat. Analóg eljárás követhető a V tartomány V peremén megadott függvények felbontásakor. Legyen adott az f(x), x V függvény a peremen. E függvény irrepjeit a (2.30) kifejezéssel határozhatjuk meg úgy, hogy a vizsgált függvény értékeit a csoport alatt kapott pálya pontjaiban megszorozzuk a csoport karaktertáblájának adott elemeivel. Tekintsünk egy négyzet alakú V térfogatot. A négyzet V peremének egy pontját paraméterezhetjük a négyzet középpontja és a határ pontja által kijelölt egyenes szakasz, valamint az x tengely által bezárt θ szöggel. Egy szabályos n oldalú sokszögben a vetítés eredményeképpen ([ ]) θn f i (θ) = m i (θmodπ/n)e i (8.88) π 241

243 8.1. táblázat. Az e i vektorok szabályos hatszögben e e e e e e e e e e e e adódik, ahol az e i ([]) függvény csak egész értékeket vesz fel, az m i () 0 függvény a sokszög peremének az alapszektorhoz tartozó részén van megadva. Az e i függvény 2n lehetséges értékét egy vektorban foglalhatjuk össze. E vektor elemeit megadhatjuk az alábbi képlettel: e i (k) = cos(iπ/n k), k = 1,..., 2n; ha i páros, sin(iπ/n k), k = 1,..., 2n; ha i páros. (8.89) A 8.3. ábrán jól látható, hogy elegendő az irrepeket megadni a [0, π/4] intervallumon, valamint azt, hogy az irrep milyen előjelet vesz fel a nyolc szektorban. Az első irrep esetén (jobb felső ábra) az együtthatók rendre +1, +1, +1, +1, +1, +1, +1, +1. Egy oldalon (azaz, bármelyik [i π/2, (i+1) π/2] intervallumon) az irrep páros függvény. A második irrep (bal alsó ábra) viszont bármelyik oldalon páratlan függvény. A harmadik irrep mindegyik lapon páratlan függvény, de a pozitív periódusok minden lapon el vannak tolva A reszponz mátrix néhány tulajdonsága A peremen megadható többer között a keresett függvény, vagy gradiensének értéke, ill. ezek lineáris kombinációja. Amennyiben peremértékként rögzítjük a megoldás értékét, válaszként a megoldás ismeretében megkapjuk a gradiens értékét a határon. Formálisan a V térfogathoz hozzárendelhetünk egy mátrixot, amely a V határ élein megadott megoldásból előállítja a gradiens értékét. Egy lehetséges mátrixot (a reszponzmátrixot) tárgyaltunk a példában. Most inputként és outputként a megoldás és a normális gradiens egy-egy olyan lineáris kombinációját tekintjük inputnak és outputnak, amelyek 242

244 8.5. ábra. A peremérték (bal felső ábra) és annak három irreducibilis komponense csak pozitív értékeket vehetnek fel. Ilyen mennyiségek: I = φ 4 nφ 2, O = φ 4 + nφ 2. (8.90) Amennyiben a φ megoldás gradiense kicsi, mind I, mind O csak pozitív értékeket vehet fel. A megfelelő R reszponzmátrix tehát pozitív vektorokat pozitív vektorokba képez le. Mivel R ij megadja az i-ik oldalon vett I i > 0 input járulékát a j-ik oldal O j > 0 outputjához. Ez csak úgy lehetséges, ha a mátrix minden eleme pozitív. A Perron- Frobenius-tétel miatt R legnagyobb sajátértéke pozitív, a hozzá tartozó sajátvektor elemei választhatóak pozitívnak. A továbbiakban feltesszük, hogy V -ben homogén anyag található, azaz, az A, B operátorok felcserélhetőek V automorfizmusaival. Ebben az esetben a reszponzmátrix rendelkezik az alábbi tulajdonságokkal: R ij = R i j. Jelölje ezeket az elemeket R 0, R 1, R 2,..., R k. A független elemek száma k = (N + 2)/2 egész része. A reszponzmátrix sorai azonos elemekből állnak csak a sorrend változik a sorok között. 243

245 A reszponzmátrix irreducibilis komponensei előállíthatóak az e 1 Ω = e 2... (8.91) e k mátrixszal az alábbi módon: ΩRΩ Feladat (Szabályos hatszög reszponzmátrixa) Ω = (8.92) A transzformáció után diag(r 1, R 2, R 3, R 3, R 4, R 4 ), (8.93) ahol R 1 = 2r 1 +2r 2 +r 3 +t és R 2 = 2r 1 +2r 2 r 3 +t skalár, továbbá R 3 = r 1 r 2 +r 3 +t, R 4 = r 1 r 2 r 3 + t Nem egyenletes anyageloszlás Amennyiben V -ben homogén az anyageloszlás, a válasz ugyanolyan szimmetriájú lesz, mint a peremérték. Más a helyzet azonban, ha az anyageloszlás függ a sokszögön belüli pozíciótól. Az alábbiakban azt tárgyaljuk, hogyan vezet az egyre általánosabb anyageloszlás egyre általánosabb reszponzmátrixhoz. Első lépésként azt vizsgáljuk meg, hogyan változik a reszponzmátrixha a homogén anyageloszláshoz egy adott, nem szimmetrikus perturbáció társul. Általában egy operátort (amilyen a reszponzmátrixis) fel lehet bontani irreducibilis komponensekre az alábbi recept szerint. Legyen R = R α k. (8.94) k α Nyilván ebben az esetben a reszponzmátrixés az input szorzata a következőképpen írható: R α a I β b = λ αβτ τ ikt v t (8.95) a α b β t τ 244

246 A reszponzmátrixirreducibilis felbontását megadhatjuk az e i vektorokból konstruált ortogonális mátrix segítségével. Tekintsük ugyanis az ΩRΩ + mátrixot. Ez nyilván ΩI-t ΩO-ba transzformálja. Az irreducibilis komponensek szétválasztásában pedig segít a Clebsch-Gordan-együtthatók bevezetése. Nézzük a részleteket! Írjuk az output-input kapcsolatot az alábbi alakba: O = RI. (8.96) Vezessük be az irreducibilis input- és output komponensekre az alábbi jelölést: O = ΩO; I = ΩI. (8.97) Megszorozva (8.96)-t elölről Ω-val, az alábbi egyenletet kapjuk az irreducibilis komponensekre: O = RI, (8.98) ahol R = ΩRΩ 1. Az R mátrixban össze van zsúfolva minden irreducibilis komponens, ezek szétválasztására az alábbi fogást használjuk fel. Az irreducibilis komponensek kijelölése céljából vizsgáljuk meg, hogyan transzformálódik egy e i vektorral arányos komponens, ha megszorozzuk egy e j szerint transzformálódó függvénnyel. A szorzat képzési szabályai szerint mind a nyolc szektorban össze kell szorozni az e i (k) és az e j (k) számokat, eredményül ismét egy nyolc elemű vektort kapunk. Erre a műveletre bevezetjük a p ij = e i e j (8.99) jelölést, amely az R 8 R 8 teret az R 8 térre képezi le. Mivel p ij R 8, ezért kifejthető az e i vektorok lineáris kombinációjaként: p ij = 8 U m ij e m. (8.100) m=1 Az U m mátrixok irreducibilis alterek direkt szorzatának irreducibilis komponenseit adják meg. Az U m mátrixok elemeit Clebsch-Gordan-együtthatóknak nevezik, fontos szerepük van pl. a magfizikában. Az R mátrix azon elemei, amelyek az U m mátrix pozícióiban állnak, azok tekinthetőek az R mátrix m-edik komponensének. Itt figyelembe kell venni, hogy a kétdimenziós ábrázolások bázisvektorai között összefüggés áll fenn Feladat (Általános négyzetes reszponzmátrixfelbontása) Tegyük fel, hogy a négyzet alakú régió oldalain az átlagos bejövő- és kimenőáramok viszonyát vizsgáljuk. Ekkor a reszponzmátrix leírása egy 4 4-es mátrixszal történik. A mátrixelemek azonban nem lehetnek tetszőlegesek, mert a lapközepekre tükrözve az áramokat azt találjuk, kettő változatlan marad, kettő pedig kicserélődik. Jelölje r ij a reszponzmátrix elemeit, ekkor 245

247 a fenti kikötés az alábbi megszorítást jelenti: r 12 r 32 = r 14 r 34 valamint r 21 r 41 = r 23 r 43. Legyen R = ΩrΩ +. Ezzel az R ij mátrixelemek: ( ) R 11 = 1 r ij (8.101) 4 i,j ( ) R 12 = 1 r ij ( 1) j 1 (8.102) 4 i,j R 13 = 4 i=1 r i1 r i3 2 2 (8.103) 4 i=1 R 14 = r i2 r i4 2 2 i,j R 21 = r ij( 1) i 1 4 R 22 = r 4 12 i,j=1 r ij i+j 4 4 i=1 R 23 = r i1( 1) i 1 r i 1 i3 2 2 i = 1 4 (r i2 ( 1) i 1 r i4 ( 1) i 1 ) R 24 = 2 2 R 31 = r i=1 r 1i r 3i i=1 R 32 = (r 1i( 1) i 1 r 3i ( 1) i 1 ) 2 2 R 33 = r 11 r 13 r 31 + r 33 2 R 34 = r 12 r 14 r 32 + r i=1 R 41 = r 2i r 4i i=1 R 42 = (r 2i r 4i )( 1) i R 43 = r 21 r 23 r 41 + r 43 2 R 44 = r 22 r 24 r 42 r 44 2 (8.104) (8.105) (8.106) (8.107) (8.108) (8.109) (8.110) (8.111) (8.112) (8.113) (8.114) (8.115) (8.116) 246

248 9. fejezet Numerikus módszerek 247

249 Jelölések x, (x, y, z) -helyváltozó x, y -(x 1, x 2,... ), (x 1, x 2,... ) vektorok V -a vizsgált régió L(V ) -a vizsgált függvénytér, fázistér f i (x), Φ(x) -függvény az L(V ) megoldástérben Φ k,m -a Φ függvény értéke az x k, y m pontban V i -résztérfogat (nódus, elem) V -ben χ i (x) -V i karakterisztikus függvénye F(x) -függvény az L(V ) megoldástérben W(x) -súlyfüggvény, x V ρ(f 1, f 2 ) -az f 1, f 2 L(V ) függvények távolsága E -egységmátrix, egységoperátor A, B -mátrix, operátor D -diffúziós állandó Σ -hatáskeresztmetszet Q -forrás 248

250 Az alábbiakban ismertetett módszerek a neutrongáz leírásására szolgálnak egy atomreaktorban. A reaktor egészének számításakor meglehetősen nagy kiterjedésű térbeli régióban, nevezetesen az egész reaktorban, keressük a diffúzió- vagy transzport egyenlet megoldását. A klasszikus módszerekkel (mint amilyen a végesdifferencia-módszer) csak akkor kapunk elfogadható pontosságú megoldást, ha a zónát a szabad úthosszal összemérhető átmérőjű, homogén régiókra bontjuk fel. Ebben az esetben a pontok száma nagy lesz, s mivel a megoldás műveletigénye a pontok számának másodfokú függvénye, a megoldás túlságosan lassú a gyakorlat számára. A hetvenes években még élt az elképzelés, hogy a megoldásban szereplő iteráció felgyorsítható, és sikerül a gyakorlat számára elfogadható pontosságú módszert kidolgozni. A gyorsításban ugyan számos kiváló ötlet felmerült, de ezek egyike sem váltotta be a hozzá fűzött reményeket. A nyolcvanas évekre felmelegítették a műszaki feladatokban már évtizedek óta alkalmazott végeselem-módszert, ami meglehetősen sikeresnek bizonyult reaktorfizikai feladatok megoldásában is. Ugyanakkor megjelentek az úgynevezett nodális módszerek is, amelyeket azóta is sikeresen használnak. A végesdifferencia-módszerben a megoldást a homogén régiókban állandónak tételezzük fel, a régió határán a differenciál-hányadosokat pedig differencia hányadosokkal helyettesítjük. Az egyenletek vizsgálata azt mutatja, hogy nagy homogén régiókban a megoldás a helyváltozó lassan változó függvénye lesz, kézenfekvő tehát olyan numerikus módszert keresni, ahol a megoldást a helyváltozóban alacsony fokszámú polinomnak tekintjük. A polinom együtthatóit pedig abból a feltételből határozzuk meg, hogy a próbafüggvényt (most alacsony fokszámú polinomot) az egyenletbe helyettesítve kapott kifejezés legyen merőleges azokra a függvényekre, amelyek szerint a megoldás jó közelítéssel kifejthető. Az óvatos fogalmazás azért helyénvaló, mert a megoldást egy végtelen dimenziós térben keressük ugyan, azonban néhány függvény jó közelítéssel megadja a megoldás nagy részét. Később ezeket a részleteket pontosan kifejtjük Gyenge megoldás Keressük az AΦ(x) = 0, x V (9.1) egyenlet megoldását valamely L(V ) fázistérben, pl. a V -n négyzetesen integrálható függvények terén. Legyen f 1,..., f N egy bázis L-ben, ahol N akár végtelen is lehet. Ha találunk olyan φ függvényt, amelyre teljesül (Aφ; f i ) = 0, i = 1,..., N, (9.2) akkor φ a (9.1) egyenlet megoldása, amennyiben egyetlen megoldás létezik, akkor Φ = φ az egyetlen megoldás. Válasszunk ki az N bázisfüggvényből N 1 < N függvényt és követeljük meg, hogy (9.2) teljesüljön minden i < N 1 -re! Legyen a megoldás a bázisfüggvé- 249

251 nyek szerint kifejtett alakja Φ = N c i f i. (9.3) i=1 Ekkor az egzakt megoldás és a (9.2) szerinti gyenge megoldás különbsége az alábbi lesz: Φ φ = N i=n 1 c i f i, (9.4) ami jó közelítésnek vehető, amennyiben a c i együtthatók elegendően kicsik i N 1 esetén. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy a Φ függvény által leírt fizikai folyamatot kellő pontossággal leírják a választott bázisfüggvények. φ-t a (9.1) egyenlet gyenge megoldásának nevezzük. A (9.2)-ben szereplő f i függvények, amelyeket súlyfüggvényeknek nevezünk, nem szükséges, hogy azonosak legyenek a bázisfüggvényekkel. A súlyfüggvény kiválasztásánál az a fő szempont, hogy kiemelje a közelítő megoldás fizikailag fontos tulajdonságait. A reaktorfizikában fontos a neutronmérleg teljesülése, ezért célszerű az állandó függvényt is szerepeltetni a súlyfüggvények között. Legyen a (9.3) alakú függvények halmaza L. E halmazon elvégezhető az összeadás és a számmal való szorzás, L tehát vektortér. Az ismeretlen c i együtthatókat a (9.2) feltételekből határozhatjuk meg, de választhatunk más súlyfüggvény sorozatot is. L-en bevezethetünk metrikát is, hiszen a c i együtthatókat tekinthetjük egy vektornak. Az alábbi példában a megoldás tartományát felosztjuk diszjunkt részekre, minden egyes diszjunkt résztérfogaton polinomokkal közelítjük a keresett függvényt Feladat (Diszkretizált térfogat) Osszuk fel a V térfogatot V i részekre, úgy, hogy teljesüljön V = L V i (9.5) i=1 V i Vj =, ha i j. (9.6) Ebben az esetben a (9.3)-ban szereplő függvényeket választhatjuk az egyes V i térfogatokon alkalmazni kívánt függvényeket, ekkor a bázisfüggvények száma N = L. Ne feledjük azonban, hogy a bázisfüggvényeket az egész V térfogaton kell értelmezni. Ezért a V i -n használandó bázisfüggvények felírásához felhasználjuk a V i térfogat karakterisztikus függvényét 1. Legyen χ i (x) a V i térfogat karakterisztikus függvénye, és R a V i -n felhasználni kívánt függvény. Ekkor az R-ből származtatott f i (x) = χ i (x)r i (x) bázisfüggvény értelmezve van V -n, és felhasználható (9.2)-ben. kívül. 1 Egy V térfogat karakterisztikus függvénye pozitív V belsejében, nulla V határán és negatív V -n 250

252 A módszer hatékonysága (ez alatt a hiba és a számítási idő együttesét értjük) erősen függ a választott közelítéstől. A keresett Φ függvényt a végeselem-módszerben az alábbi módon közelítjük minden elemen polinomokkal. Legyen a közelítő L L függvénytér az alábbi: L L = {Φ L C 0 (V ) χ i Φ L P(V i ), 1 i N} (9.7) Itt P ( V i ) a V i -n értelmezett polinomok tere. A fenti közelítésben szereplő függvényeket Lagrange-családnak nevezzük. A diffúzióegyenlethez jobban illeszkedik az Hermite-család: L H = {Φ H C 0 (V ) D n Φ H C 0 (V ), χ i Φ H P(V i ), 1 i N}. (9.8) A V i térfogatok határán a folytonossági feltételek a polinomok együtthatóinak alkalmas megválasztásával biztosíthatók. Amint láttuk, a gyenge megoldás azt jelenti, hogy a próbafüggvényt az egyenletbe helyettesítve nem kapunk ugyan nullát, de az eredmény ortogonális lesz bizonyos kiválasztott függvényekre. Ezeket a függvényeket nem szükséges a bázisból választani, sőt, amennyiben fizikai tartalmat kívánunk adni a súlyfüggvényeknek, célszerű azokat fizikai megfontolásokból választani. Ilyen megfontolás lehet az, hogy fontos a reaktor egészére vonatkozó reakciógyakoriságok teljesülése, ezért legyen olyan súlyfüggvény, ami független a helytől. Fontos továbbá a külső határokon a peremfeltétel teljesülése, belső határokon pedig az áram folytonossága. Ennek bemutatására tekintsünk egy olyan súlyfüggvényt, ami V -ben deriváltjával együtt folytonos. A gyenge megoldás pontosságához ki kell értékelni a (9.2) skalárszorzatot (integrált). Az integrál kiértékeléshez felhasználjuk a Green-tétel alábbi alakját: W ΦdV = Φ W dv + W n ΦdF Φ n W df. (9.9) V V V feloszásának megfelelően a V -re vett integrált helyettesítsük V i -kre vett integrálok összegével. A V i -re vett integrált közelítsük két integrál összegével. Az első legyen V i - ből elhagyva V i határa mentén egy ɛ széles sávot, a második pedig a határ mentén egy 2ɛ szélességű sáv, amely tartalmazza az első részből kihagyott területet, valamint a V i körüli tartományból egy ɛ szélességű területet. Nyilván az ɛ 0 határátmenetben a két integrál összege megadja a V i -re vett integrált. Vegyünk olyan próbafüggvényt, ami V i - ben kielégíti a megoldandó egyenletet. Ekkor az első integrál nulla, mert egy szorzatot kell integrálni, aminek egyik tagja (W ) véges, a másik tagja pedig nulla. A második tagot átalakítjuk a Green-tétel segítségével, és az ɛ 0 határátmenet után kapjuk: δl = W ( n Φ + n Φ )df. (9.10) i V i Azaz, a közelítés hibája attól függ, mennyire biztosított az analitikus próbafüggvény normális deriváltjának (vagy az áramnak) folytonossága. Amennyiben tehát olyan próbafüggvényt sikerül választani, amely kielégíti a megoldandó egyenletet, valamint a nódusok határán normális deriváltja folytonos, tetszőlegesen pontos megoldást adhatunk, 251 V V

253 hiszen ekkor δl tetszőlegesen kicsivé tehető. Amennyiben a próbafüggvény nem elégíti ki a megoldandó egyenletet, akkor a térfogati integrál is ad járulékot δl-hez. Amennyiben azonban a V i térfogat elegendően kicsi, ez a járulék is kicsivé tehető Az iteráció A fizikai feladatok többségében szóba sem jön a vizsgált egyenlet analitikus megoldása, ezért a megoldást iteráció segítségével határozzuk meg. Az iteráció alapja a Banach fixponttétele Tétel (Banach fixponttétele) Képezze le az A operátor az L teljes metrikus tér S zárt részhalmazát önmagára úgy, hogy bármely f 1, f 2 S pontpárra teljesüljön ρ(f 1, f 2 ) cρ(af 1, Af 2 ), (9.11) ahol c valós, 0 < c < 1 ρ(f 1, f 2 ) pedig az f 1, f 2 L(V ) pontok távolsága. Ekkor S-ben az A operátornak pontosan egy fixpontja van, azaz, egyetlen olyan f S pont, amelyre fennáll Af = f. (9.12) Ekkor az f k+1 = Af k,, k = 0, 1, 2,... (9.13) szukcesszív approximációval képzett sorozat a (9.12) egyenlet megoldásához konvergál. A konvergencia sebességére fennáll ρ(f k, f ) ck 1 c ρ(f 1, f 0 ). (9.14) Az iteráció tárgyalásánál szokásos az alábbi terminológia. A (9.13)-ban szereplő A mátrixot konvergensnek nevezzük, ha nagy k-ra A k tart a nullmátrixhoz. Ellenkező esetben az A mátrixot divergensnek nevezzük. A feladat tehát a megoldandó egyenletet olyan alakra hozni, amelyre alkalmazható Banach fixponttétele. Erre mutatunk néhány példát Feladat (Sajátérték-feladat) A megoldandó egyenlet Ax = λx, ahol keressük x, λ-t. Legyen A értelmezési tartománya R, legyen x 0 R. Ekkor x 0 kifejezhető A sajátvektorai szerint: x 0 = i c iu i, ahol Au i = λ i u i. Rendezzük a sajátértékeket csökkenő abszolútérték szerint: λ 1 > λ 2 >.... Legyen λ = λ 1. Ekkor A n x 0 tart u 1 -hez, és λ k+1 = (Ax k; x k 1 ) (x k ; x k 1 ) (9.15) tart λ 1 -hez, valamint x k tart u 1 -hez. Amennyiben a kiinduláshoz használt x 0 vektor kifejtésében c 1 = 0, az iteráció eredménye λ 2 ill. u 2 lesz. 252

254 9.2. Feladat (Általánosított sajátérték-feladat) Keressük az Ax = 1 Bx (9.16) λ egyenlet megoldását. Ez visszavezethető a sajátérték-feladat megoldására, amelyben az iterációt a B 1 A operátor írja le Feladat (Homogén feladat) Megoldandó az Ax = 0 egyenlet. Ezt átalakíthatjuk az alábbi módon: x Ax = x. Amennyiben az x k+1 = (E A)x k iteráció mátrixa konvergens, x k tart a keresett x függvényhez Feladat (Inhomogén feladat) A megoldandó egyenlet Ax = b. Legyen A = A 1 A 2, úgy, hogy B = A 1 1 ismert és A 2 B konvergens mátrix. Ekkor az x k+1 = BA 2 x k + Bb (9.17) iteráció konvergál a keresett x megoldáshoz. Megjegyezzük, hogy ez a felbontás többféle módon lehetséges (pl. minden mátrix felbontható egy diagonális mátrixra, egy alsó- és felső háromszögmátrixra). Mindig azt a mátrixot kell invertálni, amelyik biztosítja a konvergenciát. Ezen a technikán alapszik A Jacobi- és a Gauss-Seidel iteráció is Feladat (Fizikai példa) A megoldandó fizikai egyenlet gyakran lehetőséget kínál az iteráció hatékony felírására. Példának vegyük a neutron diffúzió egyenletet, amely egy mérlegegyenlet: ( ) P (L + R) Φ = + S Φ (9.18) k eff ahol L-a kifolyást leíró operátor; R-az abszorpció és kiszórás operátora; P a produkciós operátor; S a szórásoperátor. A Φ neutronfluxust és a k eff sajátértéket kell meghatározni. Egy lehetséges iteráció az alábbi. A neutrontermelést tekintjük forrásnak, ennek megfelelően az egyenletet átírjuk és (L + R S)Φ n = P k n 1 Φ n 1, (9.19) k n = (Φ n ; PΦ n 1 ) (Φ n ; (L + R S)Φ n ). (9.20) Mivel a feladat homogén peremfeltétel esetén homogén, a megoldás tetszés szerint normálható. 253

255 9.3. A próbafüggvények és a súlyfüggvények kiválasztása Olyan próbafüggvényeket választunk, amelyek az egyenletben foglalt fizikai folyamatokat lehetőleg korrektül leírják. A súlyfüggvényeket pedig úgy választjuk, hogy kiemelje a közelítő megoldás számunkra legfontosabb részét. Különösen előnyös, ha olyan próbafüggvényeket sikerül találni, amelyek minden pontban kielégítik a megoldandó egyenletet. Az alábbiakban bemutatjuk, hogyan állíthatunk elő olyan próbafüggvényt, ami a megoldandó diffúzióegyenletet minden pontban kielégíti. Hasonló, jóval bonyolultabb megoldás a transzportegyenlet esetén is konstruálható, ezek az ún. Case-féle sajátfüggvények. Az alábbiakban a numerikus megoldási módszerek kiindulási pontjaként a végesdifferenciamódszert, és két modern módszert mutatunk be: a végeselem-, és a nodális módszert Végesdifferencia-módszer A peremérték-feladatok megoldásában a végesdifferencia-módszer etalonnak számít. A végesdifferencia-módszert két térbeli dimenzióban tárgyaljuk. Közelítő összefüggések segítségével a kapott differencia egyenletekből meghatározhatjuk a keresett függvény (a diffúzióegyenlet esetében a fluxus) értékeit egy rács pontjaiban. Ez a mátrix méreténél fogva (az ismeretlenek száma legalább 10 3 ) nem teszi lehetővé a módszerrel kapott lineáris egyenletrendszer mátrixinverzióval történő közvetlen megoldását, helyette iterációs megoldást kell alkalmazni. Nagyobb méretű feladat esetén, ha a pontok száma eléri a t, a numerikus módszereket is gondosan kell megválasztani, mert a kerekítési hiba akkumulálódása a megoldás megengedhetetlenül nagy hibájára vezethet. Három dimenzióban a pontok száma érthetően nagyobb a közölteknél. Vizsgáljuk meg az egycsoport diffúzióegyenletet merőleges koordináta-rendszerben, a koordináták legyenek x, y. A megoldandó egyenlet x ( D Φ(x, y) x ) y ( D Φ(x, y) y ) + ΣΦ(x, y) = Q, (9.21) ahol Φ(x, y) a keresett neutronfluxus, D a diffúzióállandó, Σ az abszorpciós hatáskeresztmetszet, Q a forrás. A megoldáshoz szükséges rácsot az alábbi összefüggéssel adjuk meg. A rácsot mindkét irányban egyenlő közűnek vesszük, a rácstávolságok x és y, a rácspontokat (x k, y m ) jelöli, k = 0, 1,... K; m = 0, 1,..., M. A rácspontokban a keresett mennyiség legyen Φ(x k, y m ) = Φ km. Feltesszük, hogy a rácspontok homogén régiók határán helyezkednek el. Az egyszerűség kedvéért a formulákban egyetlen homogén régiót tételezünk fel, amelyben az (9.21) egyenlet együtthatói állandók. A rács egy részét mutatja az 9.3.1) ábra. 254

256 9.1. ábra. Rácspontok két dimenzióban A keresett függvényt lineárisnak tételezzük fel az x, y változókban, az alábbi módon: Φ(x, y) = Φ km +x(φ k+1,m Φ k,m )+y(φ k,m+1 Φ k,m ), x k x x k+1 ; y m y y m+1. (9.22) Egyetlen súlyfüggvényt használunk, ez az azonosan egy függvény, ezzel kívánjuk biztosítani a mérlegegyenlet fennállását. A (9.21) egyenletet integráljuk a ábra szürke négyzetén. Amennyiben a közeg nem homogén, a szürke négyzetet alkotó négy négyzet mindegyikén eltérő állandók szerepelhetnek. Az integrálási határok: x k ± x és y m ± y. Az első tag integrálásából az alábbi összefüggést kapjuk: ym+ y/2 ( ) xk + x/2 Φ D dy. (9.23) y m y/2 x x k x/2 A második tag integrálásának eredménye: D xk + x/2 x k x/2. A harmadik, abszorpciót tartalmazó tag integrálja: Σ xk + x/2 x k x/2 dx ( ) ym+ y/2 Φ dx. (9.24) y y m y/2 ym+ y/2 y m y/2 A forrástagot tartalmazó integrál azonos módon adódik: xk + x/2 x k x/2 dx ym+ y/2 y m y/2 255 Φ(x, y)dy. (9.25) Q(x, y)dy. (9.26)

257 A deriváltakat az alábbi közelítés segítségével fejezzük ki a rácspontokban érvényes megoldásokkal: x Φ k + x/2 x Φ k+1,m Φ k,m Φ k,m Φ k 1,m = Φ k+1,m 2Φ k,m + Φ k 1,m. (9.27) x x x x k x/2 A második tagból adódó integrál analóg módon kapható meg. Végezetül a végesdifferenciaegyenlet az alábbi alakot ölti: D y x [Φ k+1,m 2Φ k,m + Φ k 1,m ] D x y [Φ k,m+1 2Φ k,m + Φ k,m 1 ]+ΣΦ k,m x y = Q km x y. (9.28) Itt csak megemlítjük, hogy az integrálok kiszámítására egyéb, általában bonyolultabb és valamivel pontosabb közelítéseket is szokás használni, de a közölt képletek a diffúzióegyenlet megoldásához megfelelő pontosságúak. Meg kell még említeni a peremfeltételeket. Mivel a peremen lehet adott a megoldás, annak deriváltja, vagy a kettő lineáris kombinációja, az alábbi esetek lehetségesek. A peremen adott megoldás azt jelenti, hogy Φ 0m, Φ Km, Φ k0, Φ km értékei adottak. A másik két peremérték biztosítható, ha a határpontokhoz virtuális külső pontokat veszünk hozzá, és azokat úgy választjuk meg, hogy a peremfeltétel a tényleges határpontban teljesüljön. Ezzel a végesdifferencia-közelítés az alábbi mátrixformába írható: AΦ = Q. (9.29) A (9.29) egyenlet megoldása az úgynevezett belső iterációval történik. Amennyiben (9.29)-ben több energiacsoport van, az egyenlet a g-ik energiacsoportra vonatkozik, a forrás pedig a többi energiacsoport járulékát tartalmazza. A csoportokon is egy iteráció során (ezt nevezik külső iterációnak) megyünk végig. Részleteket ld. Szatmáry Zoltán könyvében [43] Végeselem-módszer A V térfogatot L részre osztjuk, az egyes V i térfogatokat neve elem. Egy elemen az egyenlet együtthatóit állandónak tekintjük. A (9.2) átfogalmazható az alábbi módon. A (9.2) egyenlet megoldása helyett vizsgáljuk azt a variációs feladatot, amelynek Euler-Lagrange egyenlete éppen (9.2). Ebben az esetben a variációs feladat megoldása matematikailag ekvivalens a (9.2) egyenlet megoldásával. A technikát a diffúziós egyenlet esetében mutatjuk be. A diffúziós egyenlet alábbi alakját vizsgáljuk: D Ψ(x) + ΣΨ(x) = Q(x). (9.30) A (9.2) gyenge megoldáshoz olyan f i (x) bázisfüggvényeket választunk, amelyek eltűnnek a V térfogat V határán és folytonosak V belsejében. A keresett Ψ(x) függvényről is 256

258 feltesszük, hogy a D(n )Ψ(x) kifejezés folytonos minden belső határon (itt n a határ normálisának iránya). Mivel (f i (x)d Ψ(x)) = f i (x) (D Ψ(x)) + ( f i ) (D Ψ(x)), (9.31) a Gauss-Osztrogradszkij-tétel értelmében pedig (f i (x)d Ψ(x)) dv = v V f i (x)d Ψ(x)dF = 0, (9.32) ezért (9.2) így írható: I(Ψ, f) = ( D Ψ(x) f(x) + ΣΨ(x)f(x) Q(x)f(x)) dx = 0. (9.33) V Megjegyezzük, hogy a (9.33) egyenlethez úgy is eljuthatunk, hogy keresünk egy olyan variációs feladatot, amelynek Euler-Lagrange-egyenlete pontosan a (9.3.2) egyenlet lesz. A (9.3.2) egyenlet az alábbi variációs feladathoz tartozó Euler-Lagrange-egyenlet: ( D Ψ(x) f(x) + ΣΨ(x)f(x) Q(x)f(x)) dx = 0, (9.34) V minden f(x) L(V )-re. Ez tehát matematikailag ekvivalens a diffúzió egyenlet gyenge formájának megoldásával. A megoldást úgy határozzuk meg, hogy megköveteljük (9.34) fennállását az f(x) = f i (x), i = 1,..., N 1 esetén. Vagyis, meg kell határozni a (9.33)-ban szereplő integrálokat minden bázisfüggvény esetére. Természetesen az ismeretlen Ψ(x) függvényt is a bázisfüggvényekkel fejezzük ki, így a (9.34) egyenletek a kifejtési együtthatók meghatározására szolgálnak. Ezzel a kérdéssel részletesen a következő részben foglalkozunk. A legtöbb fizikai feladat esetében egy homogén térfogatban az egyenlet megoldása lassan változó függvénnyel írható le. Ennek megfelelően a bázisfüggvényeket alacsony fokszámú polinomoknak választjuk minden V i térfogaton. A bázisfüggvényeket ezért a V i térfogaton lokális koordináta-rendszerben írjuk le. Az alacsony fokszámú polinom felfogható egy interpolációs sémaként is, ebben az esetben a polinom együtthatóit a megoldás bizonyos pontokban felvett értékei segítségével adjuk meg. Az integrálokban a teljes V térfogatra vett integrálás szerepel, ezért a bázisfüggvények koordinátáit lokális (azaz V i -beli koordináták) és globális (azaz V koordinátái) segítségével is ki kell fejezni. Legyen (x, y) (x 1, x 2 ) a globális, (ξ, η) (ξ 1, ξ 2 ) a lokális koordináta. Az x(ξ, η), y(ξ, η) koordináták közötti kapcsolatnak invertálhatónak kell lenni, ezért a x j / ξ k általános elemű Jacobi-mátrix invertálható. Az interpoláló polinom együtthatóit tehát a megoldás megadott pontokban felvett értékeivel kell kifejezni, lehetőleg egyszerűen, hiszen ezeket a mátrixokat a számítások során sokszor kell megismételni. Egy háromszög alakú elemen az (x, y) koordinátájú pont 257

259 9.2. ábra. Lokális koordináták megadásához az (x i, y i ) pontokat használjuk, i=1,3. Jelölje A 1 az (x, y), (x 2, y 2 ), (x 3, y 3 ) háromszög,a 2 az (x, y), (x 1, y 1 ), (x 3, y 3 ) háromszög, A 3 az (x, y), (x 2, y 2 ), (x 1, y 1 ) háromszög területét, és legyen A = A 1 + A 2 + A 3. Lokális koordinátaként használható az u i = A i /A, i = 1,..., 3. Nyilván fennáll u 1 + u 2 + u 3 = 1. A lokális és a globális koordináták között az alábbi transzformáció teremt kapcsolatot: u 1 x = x 1 x 2 x 3 u 2. (9.35) y y 1 y 2 y 3 u 3 A helyzetet elbonyolítja, hogy szükség lehet a megoldás egy elemen, vagy egy felületen felvett integráljának használatára is. A megfelelő ismeretek szakkönyvekből szerezhetőek be. Szerencsére az integrálok kiszámítására numerikus módszereket is lehet alkalmazni (Gauss-Lobatto-formula, Gauss kvadratúra), amikoris az integrál előállítható egyes pontbeli értékekből. Az interpoláló függvényeket kezdjük az egyváltozós esettel. Az alábbi jelölést fogjuk alkalmazni. Az n-edfokú polinom legyen p (n) (x) = n a i x i, (9.36) i=0 ezt pedig mint skalárszorzatot fogjuk fel, amelyben az x = (1, x,..., x n ) vektor és az a = (a 0, a 1,..., a n ) vektor skalárszorzatát képeztük. Legyen tehát p (n) (x) = x n + a, (9.37) itt + transzponálást, azaz itt sorvektort jelent. Most pedig nézzük, hogyan használhatóak az elmondottak a próbafüggvények előállításában. 258

260 Az egydimenziós esetben tekintsük az [x k, x k+1 ] intervallumot, amelynek középpontját x k+1/2 -el jelöljük, az intervallum szélessége legyen x k. Ezek tehát globális koordináták, ld ábra. Lokális koordinátából csak egyre van szükség, ld ábra, legyen ez ξ és legyen ξ = 2 x x k+1/2 x k, (9.38) amivel 1 ξ +1, ha x k x x k+1. A fordított kapcsolat: A deriváltak közötti összefüggések: x = x k+1/2 + ξ x k /2. (9.39) dx dξ = x k 2 d dx = dξ d dx dξ = 2 d x k dξ. Szükségünk lesz még az alábbi lokális változókra: u 1 (x) = x k+1 x x k, u 2 (x) = x x k x k. Nyilvánvalóan u 1 + u 2 = 1. A fordított kapcsolat: és x = x k+1 x k u 1 x = u 2 x k + x k, valamint x u 1 = x k és x u 2 = x k. Ezekkel a koordinátákkal megkonstruáljuk a Lagrange vonalelemeket (mert 1D esetet vizsgálunk). Az interpoláló polinom p (1) (x) = a 0 + a 1 x. Legyen adott p (1) (x k ) és p (1) (x k+1 ). Ekkor az együtthatókat az alábbi egyenletrendszerből kapjuk meg: [ p (1) (x k ) p (1) (x k+1 ) ] ( ) [ 1 xk a0 = 1 x k+1 a 1 ]. (9.40) Szimbolikus formában p (1) = B 1 a 1. (9.41) 259

261 Három adott csomópont esetén az interpoláló polinom p (2) (x) = a 0 +a 1 x+a 2 x 2. Legyenek az adott pontok x k, x k+1/2, x k+1. (Általában célszerű egyenlőközű felosztást választani.) Ekkor az együtthatók meghatározása az alábbi egyenletrendszer megoldásával történik: p (2) 2 (x k ) 1 x k x k a 0 p (2) (x k+1/2 ) = 2 1 x k+1/2 x k+1/2 a 1, (9.42) p (2) 2 (x k+1 ) 1 x k+1 x k+1 a 2 ugyanez szimbolikus formában: p (2) = B 2 a 2. (9.43) Amennyiben a pontok száma több, mint három, Lagrange-polinomokat célszerű használni az interpolálásra. A Lagrange-polinomok alakja: n i=1,i j x x i x j x i. (9.44) Itt n a pontok száma. Tetszőleges fokszámú interpoláció megvalósítható technikai nehézség nélkül. A kapott egyenletek azonban egyre bonyolultabbak lesznek, a tapasztalat azt mutatja, hogy n > 3 fokszámot már nem érdemes használni. Az Hermite-féle interpoláció adott pontokban a függvény és deriváltjának értékéből állítja elő a polinom együtthatóit, ezért a Lagrange-interpolációnál magasabb fokszámú polinomok adódnak. A legegyszerűbb esetben két pontban, x k -ban és x k+1 -ben adott a függvényérték és a derivált. Ezt egy harmadfokú polinommal állítjuk elő, p (3) (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3. Az együtthatók meghatározására az alábbi egyenletrendszer szolgál: p (3) (x k ) dp (3) /dx(x k ) p (3) (x k+1 ) dp (3) /dx(x k+1 ) = 1 x k 2 x k 3 x k 0 1 2x k 2 3x k 1 x k+1 2 x k+1 3 x k x k+1 2 3x k+1 a 0 a 1 a 2 a 3. (9.45) Megemlítjük, hogy a magasabb fokszámú interpolációhoz célszerű az Hermite-polinomokat használni. Ld fejezet. Most pedig térjünk át a kétdimenziós esetre. A vonalelemek egyféleségével szemben a felületek sokfélék. Mi csak a sík felületekkel foglalkozunk. A kétdimenziós elemek peremvonalaik mentén illeszkednek egymáshoz, ezek mentén kell biztosítani a megfelelő folytonos illesztést. Magasabbrendű illeszkedés esetén az élek mentén is diszkretizálni kell, amit úgy teszünk meg, hogy kitüntetünk az élek mentén bizonyos pontokat és ezekben követeljük meg a folytonosságot. A globális koordináták x, y, háromszögben az u 1, u 2, u 3 területkoordinátákat fogjuk alkalmazni. Négyszögekben előnyösebb a lokális ξ, η koordinátákat használni, ezeket úgy 260

262 választjuk, hogy teljesüljön 1 ξ, η +1. A differenciálás szabályai: 3 x = y = i=1 3 i=1 u i x u i y u i (9.46) u i. (9.47) Négyszögek esetén legyen a négy sarokpont (x i, y j ), (x i+1, y j ), (x i, y j+1 ), (x i+1, y j+1 ). A lokális és globális koordináták kapcsolata: x = 1 4 [(1 ξ)(1 η)x i + (1 + ξ)(1 η)x i+1 + (1 + ξ)(1 + η)x i + (1 ξ)(1 + η)x(9.48) i+1 ] y = 1 4 [(1 ξ)(1 η)y j + (1 + ξ)(1 η)y j + (1 + ξ)(1 + η)y j+1 + (1 ξ)(1 + η)y (9.49) j+1 ]. Az (x, y) (ξ, η) transzformáció Jacobi-mátrixa: [ x y ] = J 1 [ ξ η ]. (9.50) ahol J = 1 4 ( (1 η) (1 η) (1 + η) (1 + η) (1 ξ) (1 + ξ) (1 ξ) (1 ξ) ) x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 x 4 y 4. (9.51) Az interpolációs polinomokat így írjuk le: p (n) (x, y) = m a k x i y j, i + j n, m = (n + 1)(n + 2)/2. (9.52) k=1 Adott k mellett minden olyan i, j kitevőpárt figyelmbe kel venni, amely teljesíti a feltételeket. A lineáris polinomok esetében n = 1 és m = 3, ekkor másodfokú polinom esetén: p (1) (x, y) = a 1 + a 2 x + a 3 y, (9.53) p (2) (x, y) = a 1 + a 2 x + a 3 y + a 4 xy + a 5 x 2 + a 6 y 2. (9.54) A kétváltozós polinomokat egy Pascal-háromszöggel lehet illusztrálni. 261

263 1 x y x 2 xy y 2 x 3 x 2 y xy 2 y 3 x 4 x 3 y x 2 y 2 xy 3 y 4 A Lagrange-felületelemek esetén ügyelni kell arra, hogy az interpoláló polinom minden élen azonos fokszámú legyen. Ez biztosítható, amennyiben a csomópontokat, amelyekben a függvényértékek adottak, egyenlő távolságokban helyezkednek el a háromszög éleivel párhuzamos szakaszok mentén. Ekkor a k-ad fokú interpolációs polinomok a Pascalháromszög első k sorában lévő tagokat tartalmazzák. Négyszög alakú elemben az interpolációt szintén a Pascal-háromszög alapján lehet felírni, de most a Pascal-háromszögön négyzeteket jelölünk ki, amelyben a Pascalháromszög oldalain k elem található. Így adott k esetén k2 hatvány szerepel az interpolációban. Az interpolációhoz a négyszög közepén, csúcsain, és az oldalakkal párhuzamos egyenesek metszéspontjaiban található értéket használjuk fel, vagyis, a polinomban szereplő tagok együtthatóit ezekkel az értékekkel fejezzük ki Nodális módszer A nodálsi módszerben a V i térfogatokat nódusoknak szokás nevezni. A megoldandó egyenlet helyett az egyenlet egy nódusra vett integráljának teljesülését követelük meg. A nódusok közötti peremen is csak integrális értelemben írjuk elő a folytonosságot. A keresett függvényt egy homogén nódusban egy adott bázis szerint fejtjük ki. Léteznek módszerek, amelyekben alacsony fokszámú polinomokból áll a bázis, de lehet exponenciális vagy trigonometrikus függvényeket is választani bázisként. Itt egy analitikus módszert ismertetünk, amelyben a bázisfüggvényeket úgy válaszjuk, hogy azok kielégítsék a megoldandó diffúzió egyenletet a V i nódus minden pontjában. Tekintsünk tehát egy homogén nódust, a V i -ből az indexet elhagyjuk. Írjuk a megoldandó egyenletet Ψ + AΨ = 0 (9.55) alakba, ahol az A matrix tartalmazza az energiaváltozással járó folyamatok hatáskeresztmetszeteit. A Ψ megoldás az energiától is függ, ezért egy vektornak tekintjük, annyi komponenssel, ahány energiacsoport van. Legyenek az A mátrix sajátértékei és sajátvektorai: At i = λ 2 i t i ; i = 1, 2,... (9.56) amivel a következő próbafüggvényt konstruáljuk: Ψ g (r) = t kg e λker s k (e)de, (9.57) k e =1 262

264 ahol az s k (e) súlyfüggvényeket tetszőlegesen választhatjuk. Más szóval, s k (e) adott választásával egy olyan próbafüggvényt kapunk, ami minden pontban kielégíti a megoldandó egyenletet, továbbá a súlyfüggvényben szerepelhet tetszőleges számú állandó. A legegyszerűbb eset akkor adódik, ha annyi e vektort tartunk meg, ahány oldal van: s k (e) = c ki δ(e e i ). (9.58) Az e i vektorok mutathatnak pl. az oldalak közepére, a c ki együtthatókat pedig lehet úgy választani, hogy két nódus határán teljesüljön a (9.10) feltétel vagy integrálisan, vagy a felület egy pontjában. Amennyiben a (9.57) kifejezés integrandusában szereplő exponenciális kitevője kellően kicsi, a próbafüggvény alacsony fokszámú polinomokkal helyettesíthető. Ezen a módon megkapható a végeselem-módszer és a végesdifferencia módszer, mint a nodális módszer partikuláris esete. A próbafüggvények meglehetősen tág határok között választhatóak. Először polinomokkal (pl. Lagrange-polinomokkal) próbálkoztak, de ez a közelítés lényegében nem különbözik a végeselem-módszertől. Abból kiindulva, hogy a (9.57)-ben szereplő λ k sajátértékek egy adott alkalmazásban gyakran keveset változik, használható exponenciális függvényekből álló bázis is. Ha a sajátérték komplex is lehet, trigonometrikus függvények és exponenciálisok keverékét célszerű választani. A súlyfüggvényekre a nodális módszerben nincs szükség, de a 9.1. fejezetben elmondottaknak megfelelően fontos szerepet játszik a nódusok peremén a folytonosság, vagy annak hiánya. Ezt a hibát gyakran korrekciós függvények bevezetésével csökkentik Az egyenletrendszer megoldása A numerikus módszerek célja az előző részben ismertetett megfontolások alapján egy lineáris egyenletrendszer származtatása. Ebben a részben az egyenletrendszer megoldásának módszereit ismertetjük. Tekintettel arra, hogy a kapott egyenletrendszer a módszerek többsége esetén, az egyes módszerek esetében hasonló, a megoldási módszerek között nincs lényegi különbség. Fontos különbség ellenben, hogy a modern módszerekben adott pontosság eléréséhez kevésbé finom felosztásra, következésképpen kevesebb ismeretlenre van szükség. A végesdifferencia-módszerhez dolgozták ki az iterációs módszerek, a gyorsítás alapjait. A vonatkozó irodalom alapja Richard Varga munkája [48] Véges differencia módszer A (9.29) egyenlet megoldása során alkalmazott iterációs technika bemutatására particionáljuk az egyenletben szereplő A mátrixot az alábbi módon: A = D U L, (9.59) 263

265 ahol D diagonális mátrix, U felső háromszögmátrix, L pedig alsó háromszögmátrix. Diffúzióelméletben az A mátrix diagonáldomináns, azaz, a legnagyobb elemek a diagonális mentén találhatóak. Továbbá, a rács jellegéből adódóan egy sorban legfeljebb öt nem nulla elem található. Átrendezve (9.29)-et: DΦ = [U + L] Φ + Q, (9.60) egy iterációra alkalmas alakot kapunk, hiszen U, L pozitív elemű mátrixok, amelyeknek elemei kisebbek, mint a szintén pozitív elemű D mátrixé. Az iteráció lépései: Φ i+1 = D 1 [L + U] Φ i + D 1 Q (9.61) ahol i = 1, 2,.... Mivel D 1 (L + U) < 1, az iterációk számával a hiba folyamatosan csökken. Ezt az eljárást Richardson-módszernek nevezik, ezen kívül számos más technika is ismert. Részletek Varga könyvében [48] találhatóak. Röviden kitérünk az iteráció gyorsításának kérdésre is. Az iteráció során az előző lépésben kapott vektorra rászorzunk egy mátrixszal. A konvergencia sebessége a D 1 [L + U] mátrix két legnagyobb sajátértékének arányától függ. Ismert a mátrixelméletből, hogy egy A mátrixnak és egy f(a) mátrixnak a sajátvektorai azonosak, a sajátértékeik pedig nem. Kézenfekvő tehát olyan f(a) mátrixfüggvényt keresni, amelynek két legnagyobb sajátértéke minél távolabb helyezkedik el. A mátrixfüggvény kiszámítása miatt sem kell aggódni, a legtöbb függvény sorfejtéssel adható meg, az iteráció során pedig tárolni lehet A hatványainak hatását egy alkalmas vektoron. Nyilván akkor lehet hatékony f(a) függvényt találni, ha ismerjük az A mátrix spektrumát. Leegyszerűsítve, ha az utolsó iteráció eredményének az utolsó két, vagy három vektor alkalmas lineáris kombinációját tekintjük, az iteráció felgyorsítható. Tegyük fel, hogy (9.61)-at alkalmazzuk. Amikor az új Φ i+1 vektor valamelyik elemét, mondjuk Φ i+1 j -t számítjuk ki, a jobboldalon csak az előző iterációban kapott Φ i vektor elemei szerepelnek, noha időközben már rendelkezésre állnak új elemek egészen a j- indexig. Ezek figyelembevétele gyorsíthatja az iterációt. Ezt a gondolatot valósítja meg a [D L] Φ i+1 = UΦ i + Q (9.62) iteráció (Gauss-Seidel-eljárás). Amennyiben az iteráció a megoldáshoz közelíti az egymás utáni Φ i közelítéseket, célszerű lehet a változás irányába nagyobbat lépni. Ezt úgy valósíthatjuk meg, hogy vesszük a régi iteráció eredményének és az utolsó iteráció eredményének alkalmas kombinációját, vagyis Φ i+1 = ωd 1 [ (L + U)Φ i + Q ] + (1 ω)φ i 1, (9.63) ahol az ω ú.n. relaxációs paraméter alkalmas megválasztásával lehet gyorsulást elérni (szukcesszív overrelakszáció módszere). 264

266 A gyorsítás kapcsán érdemes megvizsgálni, mit is jelent, hogy egyik iterációs eljárás gyorsabb, mint a másik. Írjuk az iterációt (9.29) átalakításával az alábbi alakba: Φ i+1 = AΦ i + Q. (9.64) Amennyiben M = E A (itt E az egységmátrix) nem szinguláris, az (E A)Φ = Q egyenletnek egyetlen megoldása létezik. A hibavektort a (9.64) egyenlet iterációja kapcsán így definiáljuk: ε i = Φ i Φ, ekkor az egymásutáni hibavektorok között fennáll ɛ i = Mɛ i 1. Ebből ɛ i M ɛ i 1. (9.65) Legyen A és B két mátrix, amelyek azonos feladat két eltérő megfogalmazásához tartoznak. Vezessük be az A mátrixhoz az R(A m ) = ln( Am ) m (9.66) átlagos konvergenciaarányt. Ha R(A m ) < R(B m ), akkor B az iteráció szempontjából gyorsabb A-nál. A következő kérdés az iteráció kezdővektorának szerepe. Az iteráció indulásakor felvett Φ 0 befolyásolhatja az iteráció sebességét. Erre vonatkozik az alábbi tétel Tétel Az (9.26) Jacobi- és (9.62) Gauss-Seidel iterációval történő megoldása konvergens tetszőleges kezdővektor választása mellett, amennyiben az A mátrix diagonáldomináns mátrix Végeselem-módszer A (9.34) integrált kell tehát kiszámítani a V térfogatra, bázisként az egyes elemeken polinomokat használunk. Ezeket a lokális függvényeket megszorozzuk a V i elem karakterisztikus függvényével, így végezzük el az integrálást. Mivel minden bázisfüggvény csak egy elem esetében ad járulékot az integrálhoz, ezért a továbbiakban az elem i indexét elhagyjuk. (9.34)-ben így olyan integrálokat kell kiszámítani, amelyekben azonos elemen egy P i és egy P j polinom szerepel az integrálban f(x) ill. Ψ(x) helyett. Célszerű az integrálokat visszavezetni egy referencia elemen elvégzett integrálásra, amelyből egy egyszerű transzformáció révén kapjuk meg a tényleges nódusra vett integrál értékét. Ilyen referencia-elem lehet az N négyzet, amelyből eltolással és nagyítással kapjuk meg az aktuális elemre vonatkozó integrált. A (9.34) egyenletben az alábbi integrálok szerepelnek. Először, a deriváltakat tartalmazó tagból: Sij x P i P j = dxdy (9.67) S y ij = N N x P i y 265 x P j dxdy. (9.68) y

267 Ezeket a mátrixokat stiffness mátrixoknak nevezik. A többi tagból csak a polinomok szorzatának integrálját kell kiértékelni: M ij = P i (x)p j (x)dxdy. (9.69) N Megjegyezzük, hogy a (9.69) integrálok kiszámítását nem célszerű a globális koordináták használatával végezni. A gyakorlatban áttérünk a lokális koordinátákra (u i -kre háromszögekben vagy ξ, η-ra négyszögekben. Gyakran az is célszerű, ha az integrálokat egy etalonra (pl. egységnégyzet) értékeljük ki, az etalont nagyításokkal átvisszük az aktuális elemre. A polinomokat a P i (ξ, η) = P i (h x ξ, h y η) transzformációval kapjuk meg a referencianégyzeten kiszámított integrálból. Ezzel már felírható a megoldandó egyenletrendszer is. Minden (i, l) indexpárhoz tartozik az l-ik elemen el nem tűnő i-ed fokú polinom, a V térfogat megfelelő bázisfüggvényének indexe legyen i l. A (9.64) egyenletet skalárisan szorozva az f j bázissal, egy egyenletet kapunk a polinomok együtthatóira: (f i ; Af j ) = (Q; f i ), (9.70) ide behelyettesítve a (9.67), (9.68) és (9.69) kifejezéseket, a megoldandó egyenletben szereplő mátrix az alábbi alakot ölti: A l ij = D l hl xh l z h l x S x i l j l + D l hl xh l z h l y S y i l j l + D l hl xh l y S h l i z l j l + Σ l th l xh l yh l zm il j l. (9.71) z A (9.71)-ban szereplő integrálokat analitikusan meg lehet határozni. Amennyiben az A operátorban a deriváltak együtthatói állandók az f i függvények tartóin (azaz, azon a tartományon, ahol f i 0), a skalárszorzat kifejezhető a (9.67)-(9.68) integrálokkal. Ne feledjük el, hogy a forrástag nem csak külső forrást jelenthet, ha a számításban az energiacsoportok száma legalább kettő, a fenti egyenletet minden energiacsoportra meg kell oldani. Egy adott energiacsoportban forrásként megjelenik minden olyan folyamat, amelynek eredményeként a neutronok energiája az egyik energiacsoportból a másikba kerülhet. Ezért a (9.70) megoldása után iterációra van szükség az energiacsoportok között is Feladat (A forrástag hasadás és lassulás esetén) Amennyiben a neutronok energiája szórás és hasadás révén változhat, a forrástagban megjelennek e folyamatok hatáskeresztmetszetei is 2. Továbbá, figyelembe kell venni, hogy a (9.70)egyenlet megoldása is iterációval történik ennek során pedig az egyes elemeken a fluxus (azaz a keresett 2 A reaktorfizikában növekvő energiához csökkenő (energiacsoport) index tartozik, így a legmagasabb energiához a g = 1 index tartozik. 266

268 megoldás) változik, ezért a hasadási forrásban célszerű az előző iterációs lépés fluxusát használni. Jelölje Q p g a p-ik iterációs lépésben a g-ik energiacsoport forrástagját. Ekkor Q p g = g <g Σ g gφ p g + G g =1 χ g νσ fg Φ p 1 g. (9.72) Itt (a korábbi jelöléssel ellentétben) χ g a hasadások g-ik energiacsoportba eső hányadát jelenti. A jelölés a Szatmáry könyv [43] jelölését követi. A forrástagban tehát a Φ g függvények ismeretlenek, rájuk is vonatkozik a módszer gp alapgondolata, azaz, kifejtjük őket a bázisfüggvények szerint. A kifejtési együtthatók x j lesz, amely függ a résztérfogat indexétől (j), az iteráció indexétől (p) és az energiacsoporttól (g): q p i = Q p gdv = N G N R gg p ij xg j + F gg ij x g p 1 j. (9.73) V g <g j=1 g =1 j=1 A fenti kifejezésben az alábbi jelölést használtuk fel: L F gg ij = χ g νσ fg P i P j dv = χ l gνσ l fg h xh y M il j l. (9.74) V R gg ij = Σ g gp i P j dv = V l=1 L Σ l g gh x h y M il j l. (9.75) Az így kapott nagyméretű lineáris egyenletrendszer megoldása ismét numerikus módszerekkel történik Nodális módszer A (9.2) ortogonalitási feltételekből egy egyenletrendszert kapunk a közelítő megoldásban szereplő együtthatókra. Az egyenletrendszer mérete és tulajdonságai a módszer hatékonysága szempontjából döntő lehet. Amint láttuk, az analitikus nodális módszer esetében a hiba egyedüli forrása a peremfeltételek részleges teljesülése. Az egyenletrendszer megoldásához először a peremfeltételeket vizsgáljuk meg, majd az egyenletek szerkezetét és megoldásának egy hatékony módját, a konjugáltgradiens módszert. Az analitikus megoldás (9.57) alakjának következményeként a megoldást a k-ik nódusban következő tömör alakba írhatjuk: l=1 Φ k (x) = T k f k (x) c k, (9.76) ahol T k a k-ik nódus hatáskereszmetszet-mátrixának sajátvektoraiból képzett mátrix, az < f k (x) > diagonális mátrix j, j-ik eleme a j-ik sajátértékkel képzett (9.76) függvény. A k-ik nódus m-ik oldalán a normális áramot a fenti képletből kiindulva kapjuk: J km (x) = < D k > T k g k (x) c k. (9.77) 267

269 Amennyiben az áramok pontonkénti vagy integrális folytonosságát követeljük meg, a g k (x) függvényt kell a megfelelő funkcionállal (érték egy pontban vagy integrál az oldalra) helyettesíteni. Ahhoz, hogy a V térfogat egészében felírjuk a belső és külső felületeken a peremfeltételeket, a nódusokat meg kell számozni, és meg kell határozni, melyek a szomszédos nódusok. Először azt ellenőrizzük, megegyezik-e az egyenletek száma az ismeretlenek számával. Az egyenletek száma egyenlő az élek száma szorozva az energiacsoportok számával szorozva kettővel, mert két folytonossági feltétel (fluxus és áram) tartozik minden belső élhez és minden csoporthoz. A külső élekhez energiacsoportonként csak egy feltétel tartozik. Az egyenletek száma tehát az energiacsoportok száma szorozva belső élek számának kétszerese plusz a külső élek számával. Az ismeretlenek száma egyenlő a nódusok száma szorozva a nódus éleinek és az energiacsoportok számával. Mivel minden belső él két nódushoz, és minden külső él csak egy nódushoz tartozik, az ismeretlenek száma megegyezik az egyenletek számával. A folytonosságot leíró egyenletek az ismeretlen c k -kban lineárisak, tehát egy lineáris egyenletrendszert kell megoldani. Amennyiben a külső éleken a peremfeltétel homogén, a kapott lineáris egyenletrendszernek csak akkor van nemtriviális megoldása, ha az egyenletrendszer mátrixa szinguláris. Ez annak a feltételnek az általánosítása, hogy egy V térfogat csak akkor lesz kritikus, ha a hatáskeresztmetszetek olyanok, hogy a materiális buckling megegyezik az anyagi bucklinggel. Itt az egyenlet együtthatói a λ sajátértékeken keresztül függenek a hatáskeresztmetszetektől. A folytonosságot leíró egyenletrendszer minden sorában annyi nemnulla elem van, amennyi a szomszédos nódusok száma plussz egy. Belátható, hogy nagy nódusszám esetén az egyenlet mátrixa ún. ritka mátrix, azaz a mátrix minden sorában sokkal több a nulla mint a többi elem. Magát az egyenletrendszert nem írjuk fel, mert szerkezetéből nem kívánunk következtetést levonni. Amennyiben azonban az egyenletrendszert nem normális áramokkal és fluxusokkal, hanem kimenő- és bemenőáramokkal fogalmazzuk meg, a következő egyszerű alakra jutunk: J = RHJ (9.78) ahol J a kimenőáramok vektora, a H mátrix azt mutatja meg, melyik oldal melyik oldallal határos V -ben, R pedig a bemenőáramokból kimenőáramot előállító mátrix, ami a diffúziós egyenlet analitikus megoldásából meghatározható Feladat (A H mátrix, számozás) Vizsgáljuk meg a szóban forgó egyenletrendszert egy négyzet alakú V térfogaton, amelyet x és y irányban is három-három négyzetre bontottunk föl, ld ábra. Az iteráció 24 parciális áram meghatározására irányul. Az egyes nódusok határait az élek sorszámával adjuk meg, ld táblázat. A táblázatot az alábbi módon kell használni. A számítás célja a kilenc nódus 24 határán meghatározni a parciális áramokat. Minden határhoz két parciális áram tartozik. A kimenőáramokat nódusonként csoportosítjuk: J = (J 1, J 2,..., J 9 ). A kövér vektor 24 elemű, az aláhúzott vektor négy elemű (az adott nódushoz tartozó parciális áramokat tartalmazza). A 268

270 9.3. ábra. A H mátrixhoz 9.1. táblázat. Nódusok és élek megfeleltetése Nódus Élek Szomszédok Szomszédok éle 1 (1,4,21,22) (0,4,0,2) (0,1,0,3) 2 (2,5,22,23) (0,5,1,3) (0,1,4,3) 3 (3,6,23,24) (0,6,2,0) (0,1,4,0) 4 (4,7,17,12) (1,7,0,5) (2,1,0,3) 5 (5,8,18,19) (2,8,4,6) (2,1,4,3) 6 (6,9,19,20) (3,9,5,0) (2,1,4,0) 7 (7,10,13,14) (4,0,0,8) (2,0,0,3) 8 (8,11,14,15) (5,0,7,9) (2,0,4,3) 9 (9,12,15,16) (6,0,8,0) (2,0,4,0) kimenő- és bemenő parciális áramok kapcsolatát J i = R i I i adja meg. Az I i bejövőáramokat a szomszédok kimenőáramaiból kell összegyűjteni. Adott i esetén a táblázat második oszlopa megadja a négy oldal mentén szomszédos nódus sorszámát. Ha az adott él külső él, akkor nincs szomszéd, ott 0 áll, ekkor a bemenőáramot pl. az adott oldal kimenőáramából egy albedóval való szorzással vagy más szabállyal 3 lehet megkapni. A táblázat utolsó oszlopa azt mutatja, hogy a szomszédos nódusok nem azonos élei érintkeznek. A szabály: mindig azonos legyen az élek számozása, akkor egyszerű a megfeleltetés, esetünkben az 1 2 és 3 4 indexeket kell felcserélni. Az alábbiakban azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogyan lehet a (9.78) egyenletet megoldani. Az egyenletrendszert írjuk az alábbi alakba: x = A(α)x. (9.79) 3 Ha például a külső felületen a Φ = 2(J + I) = 0 peremfeltételt alkalmazunk, akkor I = J. Itt I és J az adott oldal két parciális árama. 269

271 Itt explicit módon figyelembe vettük, hogy a mátrixelemek függvényei egy paraméternek (α-nak), és keressük az α paraméter azon értékét, ami mellett az egyenlet legnagyobb sajátértéke egyenlő eggyel. A továbbiakban ennek megoldásával foglalkozunk. Tekintsük az alábbi sajátérték feladatot: A(α)q = λ(α)q. (9.80) Amennyiben α valamely értékénél λ = 1, akkor q = x. Az alább ismertetett eljárás adott α-hoz megkeresi a legnagyobb sajátértéket és azt úgy állítja be, hogy λ = 1 legyen. A legnagyobb sajátérték meghatározásához az alábbi rekurzióval jutunk el. Vegyünk egy tetszőleges q 1 vektort, majd határozzuk meg i = 1 mellett a h i+1,i q i+1 = Aq i i h ij q j (9.81) egyenletből q 2 -t, és ismételjük a fenti eljárást i = 2, 3,..., K értékekre. A (9.81) képletben h ij = q + j Aq i, (9.82) ahol a + felső index a transzponálást jelöli. Ezután oldjuk meg a j=1 Hu = λu (9.83) egyenletet. Tekintettel arra, hogy a H mátrix ún. felső Hessenberg-mátrix és rendje is csak K, a (9.83) feladat megoldása jóval egyszerűbb, mint a (9.79) egyenleté. A sajátvektor ismeretében egy jóval pontosabb becslés adható q értékére az alábbi módon: q = K u j q j. (9.84) j=1 Megmutatható, hogy a pontosabb becsléssel újra indítva az iterációt, pár lépésben a sajátérték hibája (9.83)-ben valamint a sajátvektor hibája (9.84)-ban gyorsan csökken. Ezzel adott α esetén a λ(α) legnagyobb sajátértékhez tartozó sajátvektort meg lehet határozni. Ezután már csak az α paraméter megfelelő beállítása van hátra. Ez egy egyszerű gyökkeresés jelent, a (λ 1) függvény gyökét kell megkeresni. Erre a célra a probléma természetétől függően egy sor numerikus recept közül választhatunk. A legegyszerűbb α értékét az iteráció során (λ 1)-gyel arányosan változtatni. A fent ismertetett módszert Arnoldi-módszernek nevezik. Számos előnye van, többek között gyorsan konvergál, automatikusan ad becslést a pontosságra és nem igényel előzetes spektrumbecslést. 270

272 9.5. Diszkretizáció, invariáns megoldás, a szimmetriák kihasználása A fizikában megoldandó peremérték-problémák többségében nem áll rendelkezésünkre analitikus megoldás. Szerencsés esetben numerikus megoldás előállítható. Ebből modern megjelenítő eszközökkel készíthetünk grafikusan ábrázolható megoldást, ami jól szemlélteti a pontos megoldás lényeges vonásait. A numerikus megoldás, amint korábban láttuk, úgy áll elő, hogy a vizsgált V térfogatot felbontjuk nódusokra (elemekre), a megoldás viselkedését illetően egy nóduson belül felteszünk, hogy a keresett megoldás adott függvényekkel jól közelíthető. Az együtthatókat pedig egy egyenletrendszerből iterációval határozzuk meg. Ebben az apparátusban is szerep jut csoportelméleti megfontolásoknak. Amennyiben ismerjük a megoldandó egyenlet szimmetriacsoportját, G-t, lehetőségünk van olyan függvényeket választani a megoldás közelítésére, amelyek G irreducibilis altereibe esnek. Ez, amint látni fogjuk, a megoldandó egyenletek egyszerűsödésére vezet. A diszkretizáció során a fedőcsoport is kihasználható. A numerikus módszerek pontosabb megoldást adnak, amennyiben biztosított, hogy a diszkretizált egyenletek rendelkeznek mindazokkal a szimmetriákkal, amivel az eredeti egyenletek. Ezekről a kérdésekről lesz szó az alábbiakban. Az ismertetett módszerek alkalmazása elsősorban a nemlineáris egyenletek megoldásánál és a káosz tanulmányozásánál jelentős Mimetikus diszkretizáció A véges diferenciákkal foglalkozó alfejezetben leírt diszkretizáció tökéletesen megfelel a (9.21) egyenlet megoldásához. Azonban a plazmafizika vagy a termohidraulika áramlástani feladataiban vektormezők (sebességtér, elektromos térerő stb.) meghatározására van szükség. A véges differencia módszer egyenletei közelítő jellegűek, ezért előfordulhat, hogy míg az analitikus egyenletek rotációmentes teret írnak le, addig a numerikus megoldás rotációja már nem lesz nulla. A probléma megoldását jelenti a mimetikus diszkretizáció. Az elnevezés abból ered, hogy a közelítő egyenletek mímelik az analitikus egyenletek bizonyos tulajdonságait (megmaradási törvényeket, rotációmentességet s.í.t). Alább egy, a nyolcvanas években kifejlesztett módszert ismertetjük röviden. Tekintsük a valamely L(V ) függvénytéren megoldandó feladatot az (x, y, z) koordinátákkal jellemzett V téren, amelyet felbontunk téglatestekre. Egy téglatestet hat lap határol, a lapokat pedig 12 él határolja, az élek pedig 8 csúcspontban találkoznak. A csúcspontok legyenek P ijk 1 = (x i, y j, z k ),P ijk 2 = (x i+1, y j, z k ), P ijk 3 = (x i, y j+1, z k ), P ijk 4 = (x i+1, y j+1, z k ), P ijk 5 = (x i, y j, z k+1 ), P ijk 6 = (x i+1, y j, z k+1 ), P ijk 7 = (x i, y j+1, z k+1 ), P ijk 8 = (x i+1, y j+1, z k+1 ), ahol 1 i M, 1 j N, 1 k O. A téglatest középpontja legyen C ijk, a téglatest térfogata V i,j,k. Ugyanezen téglatest három lapja legyen Fx ijk, amelyet a P ijk 1,P ijk 2, P ijk 5, P ijk 6 pontok határoznak meg; Fy ijk, amelyet a P ijk 1,P ijk 4, P ijk 5, P ijk 8 pontok határoznak meg, és Fz ijk, 271

273 amelyet a P ijk 1,P ijk 2, P ijk 3, P ijk 4 pontok határoznak meg. A fenti lapok középpontjait jelölje L ijk 1, L ijk 2 és L ijk 3. A középpontokhoz rendelt normálisok iránya legyen +y, +x és +z. A P ijk 1 pontban összefutó három él legyen Hx ijk, Hy ijk, és Hz ijk. Az élek középpontjainak koordinátája legyen Ex ijk, Ey ijk, és Ez ijk. A rácson értelmeznünk kell skalárfüggvényeket és vektorfüggvényeket. A vektorfüggvényeket írjuk le a téglatestek középpontjában vagy pedig a rácspontokban felvett értékekkel. A vektorfüggvényeket pedig írjuk le az éleken ill. a lapok középpontjainak normálisa irányába eső komponensek értékeivel. A továbbiakban a jelölés egyszerűsítése érdekében kétdimenziós esettel foglalkozunk, feltesszük, hogy a z irányú méretek egységnyiek. A továbbiakban a különféle módon tárolt függvényekre tereket vezetünk be. A fejezetben leírt diszkretizáció esetében is a skalár megoldást a rácspontokban kaptuk meg, az áramokat viszont a feles rácspontokban, ez azonban még nem követelt meg formalizációt. Itt azonban a skalárokat is több ponton tárolhatjuk, a vektorokat is, ezért indokolt a gondosabb eljárás ábra. Az U(x, y) skalárfüggvény U i,j diszkretizált értékei az (i, j) cella középpontjában és a külső élek középpontjaiban Legyen R a rácspontok halmaza. Egy skalár függvényt minden pontban egyetlen (valós vagy komplex) számmal jellemzünk. Legyen C a téglatest-középpontok halmaza. Legyen F a lapközepek halmaza. Egy vektor- függvényt a három lapközép normálisa irányában eső komponenssel jellemzünk. Legyen E a P ijk pontokban összefutó élek halmaza. Egy vektor- függvényt a három él normálisa irányában eső komponenssel jellemzünk. (Ld. 9.2 táblázat.) Ezzel a diszkretizációt jellemeztük. 272

274 9.5. ábra. Az U(x, y) skalárfüggvény rácspontokban tárolt értékei 9.2. táblázat. A mimetikus diszkretizáció terei Ponthalmaz Jelölés középpontok C lapközepek F rácspontok R élek E A számításokhoz azonban elengedhetetlen szabálytalan négyszögek alkalmazása a diszkretizációban. A szabálytalan négyszögek esetén az alábbi jellemzőkre lesz szükség. Ha négyzet alakú cellákra bontjuk a vizsgált V térfogatot, lehetővé kell tenni általános négyszögek használatát is. Az általános négyszögeket mutatja az és ábra. A ábrán rácspontokban tárolt skalárfüggvény (R tér) esetét, a ábrán pedig a cellaközéppontokban tárolt skalár (C tér) és az élközepeken tárolt vektor (E tér) elemeit mutatjuk be. Az (i, j, k) és (i + 1, j, k) él hossza l x(i+1/2,j,k). Az (i, j, k) és (i, j + 1, k) él hossza l y(i,j+1/2,k). Az (i, j, k) és (i, j, k + 1) él hossza l z(i,j,k+1/2). Kétdimenziós cella esetén l z(i,j,k+1/2) = 1. Az (i, j, k)-(i, j + 1, k)- (i, j, k + 1)- (i, j + 1, k + 1) pontok által meghatározott felület nagysága F x(i,j+1/2,k+1/2). Hasonlóképpen az (i, j, k)- (i+1, j, k)- (i, j, k+1)- (i + 1, j, k + 1) pontok által meghatározott felület nagysága F y(i+1/2,j,k+1/2). A kétdimenziós (2D) cellát olyan háromdimenziós cellaként ábrázoljuk, amelynek magassága egységnyi. A 2D cella középpontja (i + 1/2, j + 1/2), felülete F z,i+1/2,j+1/2,k, ami a megfelelő 3D cella térfogata is. A (i+1/2, j +1/2) 2D cella felülete F z(i+1/2,j+1/2,k). Az (i+1/2, j +1/2) 2D cella térfogatát (mivel magassága egységnyi) F z(i+1/2,j+1/2,k) = V ( i+1/2, j+1/2) jelöli. Mivel a 2D cella egységnyi magasságú merőleges prizma, nyilván fennállnak az alábbi 273

275 összefüggések: F x(i,j+1/2,k+1/2) = l y(i,j+1/2,k) l z(i,j,k+1/2) = l y(i,j+1/2,k) (9.85) F y(i+1/2,j,k+1/2) = l x(i+1/2,j,k) l z(i,j,k+1/2) = l z(i+1/2,j,k). (9.86) Ügyelni kell arra, hogy a fenti jelölés nem egyértelmű. Az F x(i,j+1/2) és F y(i+1/2,j) jelölések a 3D-ban egy felületet jelentenek, amelyet a i, j, k, i, j + 1, k, i, j, k + 1, i, j + 1, k + 1 pontok feszítenek ki, ugyanakkor mivel a prizma egységnyi magasságú, az i, j i, j + 1 és az i + 1, j élek hossza egyenlő az F x(i,j+1/2) és F y(i+1/2,j) felületelemek felszínével is. Most rögzítjük a skalárok és vektorok értelmezését a bevezetett diszkretizációban. Kétdimenziós esetben: legyen U(x, y) egy skalár függvény, az U i+1/2,j+1/2 értékekkel definiáljuk U(x, y) értékét az E téren, vagyis az élközepeken (cella közepű diszkretizáció). A peremfeltételek teljesítése az U 1,j+1/2 és U M,j+1/2, valamint az U i+1/2,0 és U i+1/2,n pontokban szükséges. Három dimenzióban a cella közepű skalár függvényt a 3D hasáb közepén (C tér) vesszük fel. A diszkretizált függvény értékeit a diszkretizálás pontjának indexeivel látjuk el ábra. Jelölések a diszkretizációhoz Feltesszük, hogy a vektoroknak három komponense lehet, de 2D-ban a komponensek csak két helyváltozótól függenek. Az F tér az adott felületre merőleges vektorkomponenseket tárolja. Az élek irányába eső komponenseket az E tér tárolja 4 Amennyiben a 4 Vegyük észre, hogy az élek segítségével tároltuk a skalárokat is, az élközepeken, tehát feles indexű pontokban. A vektorokat valójában az (i, j, k) pontokhoz tartozó három irányban tároljuk, de egész indexű pontokban. 274

276 3D E térben diszkretizált vektort vetítjük a z tengelyre merőleges síkra, a vektorkomponensek merőlegesek lesznek a 2D cella oldalaira, továbbá kapunk egy vektort a cella középpontjában, amely merőleges a 2D cella síkjára. A többféle tárolási mód miatt a diszkretizált vektorok jelölésmódjában a tárolás módját is jelezni kell. Ezért a vektor jele után írt F ill. E fog utalni, hogy felületeken vagy éleken tárolt vektorról van szó. Ezzel megteremtettük annak feltételeit, hogy a vektorkalkulus diszkrét analogonját leírjuk A div, grad és rot operátorok diszkretizált alakja Legyen W egy vektor, u pedig egy skalárfüggvény. A div operátor alapja Gauss divergenciatétele: (W n)df V divw = lim. (9.87) V 0 V A div operátor az F térből a C térbe képez le, vagyis, olyan vektor divergenciáját tudjuk a div operátorral képezni, amelyeket a cellák felületére normális komponensekkel adtunk meg. Az eredmény pedig a cella középpontjában adott. A diszkretizált div operátor alakja: (W C) i,j = 1 V i,j {(W F x,i+1,j F x,i+1,j W F x,i,j F x,i,j ) + (W F y,i,j+1 F y,i,j+1 W F y,i,j F y,i,j )}. A grad operátor l egységvektor irányába eső komponensét (9.88) W = u l amelynek diszkretizált változata 2D-ban: = (gradul), (9.89) W Ex,i,j = u C,i+1,j u C,i,j l x,i,j (9.90) W Ey,i,j = u C,i,j+1 u C,i,j l y,i,j. (9.91) A grad operátor a C térből az E térbe képez le, vagyis, a cellaközepekben megadott skalárokból éleken megadott vektorokat állít elő. Az rot operátor alakja felírható a Stokes-tétel alapján, melynek alakja Legyen R = rotw, ekkor (nrotw ) = lim S 0 W ldl S. (9.92) RF z,i,j = W Ey,i+1,jl y,i+1,j W E,y,i,j l y,i,j W Ex,i,j+1 l x,i,j+1 W Ex,i,j l x,i,j. (9.93) 275

277 A rot operátor az E térből az F térbe képez le, azaz, éleken adott vektorokból felületen adott vektorokat állít elő. Összesen hat vektorderiváltat különböztetünk meg. Az alábbiakban ezeket soroljuk fel. A deriváltak kétdimenziós cellákra vonatkoznak. A és rajzokon feltüntetett diszkretizált térfogatokat vizsgáljuk, a cellákat az (i, j) indexekkel azonosítjuk. A rácstávolságok hx i és hy j. Bevezetjük az alábbi differenciaoperátorokat: (δ x U) i,j = U i+1/2,j U i 1/2,j (9.94) (δ y U) i,j = U i,j+1/2 U i,j 1/2. (9.95) Itt U tetszőleges skalár függvény, i, j a korábbiakkal ellentétben fél vagy egész értékeket is felvehet. 1. A div operátor. Minden 1 i M 1, 1 j N 1 cellára a div operátor az i + 1/2, j + 1/2 cellaközepeken adja meg a divergencia értékét: divw i+1/2,j+1/2 = (δ xw F x ) i+1/2,j+1/2 hx i + (δ xw F y ) i+1/2,j+1/2 hy j (9.96) A div operátorral előállított skalár tehát a cellaközepeken van megadva. 2. A grad operátor. A grad = (G Ex, G Ey ) operátor az élközepeken adja meg a gradiens komponenseit. G Ex,i+1/2,j = δ xu i+1/2,j hx i (9.97) G Ey,i,j+1/2 = δ xu i,j+1/2 hy j. (9.98) 3. A rot operátor. A rotb = (R F x, R F y, R F z ) operátor a lapközepeken adja meg a rotáció komponeneseinek értékét (ezt 3D-ban adjuk meg). A vektort az éleken felvett értékeivel írjuk le: B = (B Ex, B Ey, B Ez ). R F x,i,j+1/2 = δ yb Ez,i,j+1/2 hy j (9.99) R F y,i+1/2,j = δ xb Ez,i+1/2,j hx i (9.100) R F z,i+1/2,j+1/2 = δ xb Ey,i+1/2,j+1/2 hx i δ yb Ex,i+1/2,j+1/2 hy j (9.101) 276

278 4. A grad operátor. A gradu = (G F x, G F y ) operátor a lapközepeken adja meg a gradiens komponenseit az U skalárfüggvény élközepeken diszkretizált értékeiből. Belső éleken δ x U i,j+1/2 G F x,i,j+1/2 = (9.102) 0.5(hX i 1 + hx i ) G F y,i+1/2,j = δ y U i+1/2,j 0.5(hY j 1 + hx j ). (9.103) A külső határokon a gradiens egyoldalú differenciákkal van megadva, pl. i = 1, 1 j N 1 esetén, és j = 1, 1 i M 1 esetén G(F x, 1, j + 1/2) = U 3/2,j+1/2 U 1,j+1/2 0.5hX 1 (9.104) G(F y, i + 1/2, 1) = U i+1/2,3/2 U i+1/2,1 0.5hY 1 (9.105) 5. A div operátor. Belső pontokra 2 i M 1, 2 j N 1 a div operátor az i, j nódusokban (azaz, a diszkretizáció pontjaiban) adja meg a divergencia értékét: (divw ) i,j = δ x W Ex,i,j 0.5(hX i + hx i 1 ) + δ y W Ey,i,j 0.5(hY j + hy j 1 ) (9.106) 6. A rot operátor. A rotb = (R Ex, R Ey, R Ez ) operátor az élközepeken adja meg a rotáció komponeneseinek értékét (ezt 3D-ban adjuk meg). A vektort az éleken felvett értékeivel írjuk le. 1 i M 1, 1 j N-re: R Ex,i+1/2,j = δ yb(f z, i + 1/2, j 0.5(hY j 1 + hy j ) (9.107) 1 i M 1, 1 j N 1-re: R Ey,i+1/2,j = δ xb(f z, i, j + 1/2 0.5(hX i 1 + hy i ) (9.108) 1 i M, 1 j N 1-re: R Ez,i,j = δ x B(F y, i, j 0.5(hX i 1 + hx i ) (9.109) 277

279 Szükség van még a skalárszorzatok definiálására. A skalárszorzat két vektorhoz, (A, B)-hez rendel egy skalárt. A cellaközépben definiált skalárszorzat így számítható: 1 V i+1/2,j+1/2 i+k,j+l (AB) i+1/2,j+1/2 = sin 2 φ i+1/2,j+1/2 k,l=0 i+k,j+l [ A F x,i+k,j+1/2 B F x,i+k,j+1/2 + A F y,i+1/2,j+l B F y,i+1/2,j+l + ( 1) k+l (A F x,i+k,j+1/2 B F y,i+1/2, Itt a V súlyok nemnegatívak és 1 V i+1/2,j+1/2 i+k,j+l = 1. k,l=0 (9.110) A φ i+1/2,j+1/2 szög két szárát az (i, j), (i + 1, j) pontokat és az (i + 1, j), (i + 1, j + 1) pontokat összekötő szakaszok alkotják. Amennyiben a vektorokat a lapokon felvett értékeivel adjuk meg, a skalárszorzat így írható fel: [A, B] = i,j A F x,i,j+1/2 B F x,i,j+1/2 + i,j A F y,i+1/2,j B F y,i+1/2,j + i,j A F z,i+1/2,j+1/2 B F z,i+1/2,j+1/2. (9.111) A diszkretizált térfogat egészére vett skalárszorzat kiszámítására szükség van a rácspontokban adott skalárok, mint vektorok, és a rácspontokban adott vektorok esetében is. Az előbbi esetben legyen U, V a skalárok értéke. A skalárszorzat most a rács belsejében a középpontokban felvett értékekkel, a peremen pedig pedig az élközepen (ld ábra) felvett értékekkel számítható az alábbi módon: [U, V ] C = M 1 i=1 N 1 j=1 M 1 U i+1/2,1 V i+1/2,1 + i=1 N 1 U i+1/2,j+1/2 V i+1/2,j+1/2 + Diszkretizált A, B vektorok esetében a skalárszorzat alakja: j=1 M 1 U M,j+1/2 V M,j+1/2 + i=1 (9.112) U i+1/2,n V i+1/2 [A, B] V = M i=1 N 1 j=1 A F x,i,j+1/2 B F x,i,j+1/2 + M 1 i=1 N A F x,i+1/2,j B F x,i+1/2,j. (9.113) j=1 Most bemutatjuk a fentebb bevezetett diszkretizált operátorok néhány tulajdonságát. A Gauss-tétel folytonos változata: W ndf = divw dv, (9.114) V V 278

280 9.3. táblázat. Diszkretizált vektoroperátorok értelmezési tartománya és értékkészlete Operátor Értelmezési tartomány Értékkészlet div F C grad C F grad C F rot F divgrad C C rotrot F F graddiv F F divrot E C ahol V egy térfogat, amelynek határa V, n a felület normálisa az adott pontban. A diszkretizált változat felírásához szükségünk lesz egy u skalárfüggvény térfogati integráljára, amelyet így számítunk ki: I V (u) = udv = u C,i,j V i,j. (9.115) V i,j Egy W vektorfüggvény F felületre vett integráljának diszkretizált változatát így kapjuk meg: I F (W ) = W ndf = W F x,i,j F x,i,j + W F y,i,j F y,i,j + W F z,i,j F z,i,j. (9.116) F x y z 9.3. Tétel (Gauss-divergenciatétele) A (9.114) egyenlet diszkretizált változata: I V (divw ) = I F (W ). (9.117) 9.1. Feladat A tétel bizonyítása a (9.88) képlet linearitásának közvetlen folyománya Tétel Egy W = gradw vektorfüggvény diszkrét vonalintegrálja tetszőleges folytonos, zárt görbe mentén nulla. Amennyiben az integrálás útja nem zárt, az integrál értéke csak a kezdő és végpont függvénye, de független az integrálás útjától. Végezetül összefoglaljuk néhány vektoroperátor értelmezési tartományát és értékkészletét Diszkretizált, invariáns megoldás A legegyszerűbb eset, amikor a diszkretizált egyenletet egy rácson kívánjuk megoldani, például a véges differenciák módszerével. Ekkor a diszkretizált egyenletek felírásánál 279

281 ügyelni kell arra, hogy a diszkretizált egyenletek rendelkezzenek mindazzal a szimmetriával, amivel az eredeti egyenlet rendelkezett. A folytonos változókkal tekintett egyenlet szimmetriáit az 5. fejezetben vizsgáltuk, azok Lie-csoportok, amelyeket generátorokkal jellemezzük. A diszkretizálás annyi változást hoz be, hogy az R 2 tér helyett a Z 2 teret kell vizsgálni. A diszkretizált egyenletekkel kapcsolatban többféle nézet is kialakult. Shokin szerint az egyenlet fokszámánál eggyel nagyobb fokú vektortéren ható véges differencia sémákat kell vizsgálni a pr (n+1) (u, x), ld. 5. fejezet, téren. A differencia séma szimmetriái csoportot alkotnak, ez lesz a diszkretizált egyenlet csoportja. Ebben az esetben az egyre magasabb közelítést jelentő differencia sémák nem adnak egyre pontosabb eredményt, hiszen a magasabb közelítést adó egyenletek szimmetriáját semmi sem biztosítja. Axford, Dorodnyicin és mások szerint egy differencia séma akkor invariáns egy adott csoporttal szemben, ha az invariancia fennáll a rácson. Ebben az esetben az egyre pontosabb differencia sémák tartanak az egzakt megoldáshoz. Az alább ismertetett eljárás Dorodnyicin [6] gondolatmenetét követi, a továbbiakban az 5. fejezetben megismert technikát fogjuk alkalmazni. Álljon a Z halmaz a z = (x, u, u 1, u 2,... ) elemekből, ahol x = (x 1,..., x p ) a független változókat, u = (u 1,..., u q ) pedig a függő változókat jelöli. Az első deriváltak jelölésére az u 1 = {u k i = ( u k / x i ), i = 1,..., p; k = 1,..., q} jelölést alkalmazzuk. A magasabb rendű parciális deriváltak összességét (tehát az összes s-ed rendű parciális deriváltat u s jelöli, s = 1, 2, 3,.... Az (x, u, u 1, u 2,... ) változókból kiválasztott véges sok változó jelölésére z szolgál, ennek egyik koordinátáját z i -vel jelöljük. Az i-ik térkoordináta (azaz x i ) szerinti teljes derivált operátorát D i = x i + u k i u + k uk ji u k j +... (9.118) jelöli, v.ö. (5.55). A-val jelöljük a Z halmazon lokálisan analitikus függvények terét, amelyek véges sok Z-beli változó függvényei. A általános eleme F (z) = (f 1 (z), f 2 (z),..., f n (z)) A. Tekintsünk egy tetszőleges a paramétertől függő sokaságot, aminek elemeit a következő hatványsorral adjuk meg: f i (z, a) = A i k(z)a k. (9.119) k=0 Itt A i k A és definíció szerint Ai 0 = z i. A (9.119) formális sorok között értelmezhető az összeadás, a számmal való szorzás és a szorzás művelete. Ez utóbbi annak következménye, hogy két A-beli függvény szorzata szintén A-ban lokálisan analitikus függvénye véges sok Z-beli változónak. Vizsgálatunkat azokra a (9.119) hatványsorokra korlátozzuk, amelyekre fennáll f i (f i (z, a), b) = f i (z, a + b). Mivel a (9.119) alakú transzformáció A egyik elemét (legyen az z i ) A másik elemébe (legyen az z j ) transzformálja, tekinthetjük 280

282 az alábbi leképezésnek: z j (z, a) = f j (z, a) = e ax (z i ) s=0 a s s! Xs (z i ). (9.120) Itt a-nak és X-nek s kitevője, nem pedig indexe, X pedig a csoport infinitezimális generátora, azaz (2.55)-nek megfelelően a csoport infinitezimális generátorát X = ξ i (z) xi ; i = 1, 2,... ; ξ i (z) = f i(z, a) a (9.121) a=0 alakba írhatjuk. Az X által generált csoportban a tetszőleges értéket felvehet. A csoport inverze adott a esetén a, egységeleme az a = 0-hoz tartozó elem. A diszkretizált esetre, azaz a rácsra pedig úgy térhetünk át, hogy a értékét egy rögzített eltolás (az x i tengely mentén h i ) egész számú többszörösének vesszük. Ezen a rácson az i-edik irányban léphetünk előre és hátra, aminek megfeleltetjük az S i +h operátorokat: S i = e h id i = +h i S i = e h id i = h i és az S i h (h i ) s 1 D s i s! s=1 (9.122) ( h i ) s 1 D s i. s! (9.123) s=1 Ezen operátorok segítségével bevezethetjük a diszkrét baloldali (D i ) és jobboldali (D i ) +h h differenciáloperátorokat (egy egyenletes diszkretizáción, v.ö. Bakirova et al. J. Phys. A: Math. Gen. 30(1997)p. 8141): D i h i = D i = h i S i 1 +h (9.124) h i 1 S i h i Itt {h i } az x i koordináta diszkretizálásának egyenletes lépése. h i. (9.125) 9.2. Feladat (A D operátorok alkalmazása) A (9.124) két egyenletéből következnek az alábbi h i tulajdonságok: D(x) ±h = 1 (9.126) D 1 hu 2 h h h (9.127) D 1 +h h (9.128) D 1) h +h = u 2. h (9.129) 281

283 9.3. Feladat (A Leibnitz-szabály) Az olvasóra bízzuk az alábbi két azonosság bizonyítását: Legyen F, G A. Ekkor fennállnak az alábbi összefüggések: D h (F G) = D h (F )G + D h (G)F + hd h (F )D h (G) (9.130) D (F G) = D(F )G + D(G)F hd(f )D (G) (9.131) h h h h h A fentiek segítségével tetszőleges parciális derivált diszkrét megfelelőjét definiálhatjuk. A továbbiakban a hátra irányban vett differenciát felülvonással különböztetjük meg az előre irányba vett differenciától Feladat (Az S eltolásoperátor használata) A jelölés jobb megértése céljából bemutatjuk az eltolásoperátor használatát egyszerű példákon. Álljon a diszkretizált Z h tér egyetlen u függvényből, annak legyen egyetlen független változója x. Ekkor a Z h tér elemei: Legyen u(x) = x. Ekkor Z h = (x, u, u 1 h, u 2 h,... ). (9.132) S (u) = x h, S (u) = x + h. (9.133) h +h Általában pedig és Az első diszkretizált derivált: u h = u hu 1 h + h 2 u 2 h +... (9.134) u +h = u + hu 1 h + h 2 u 2 h +... (9.135) Általában u 2k+1 h u 1 = u 1 hu 2 + h 2 u (9.136) h h h h u 1 = u 1 + hu 2 + h 2 u (9.137) +h h h h = u hu + h 2 u +... (9.138) h 2k+1 h 2k+2 h 2k+3 Jegyezzük meg, hogy az S h eltolások rögzített h mellett nem alkotnak csoportot. Például S 2 u = S(u + hu 1) = u + 2hu + h 2 u 2 + h 2 u 3 S(u) = u + 2hu. (9.139) h h h h 1 h h 2h h 1 282

284 tulajdonságai következnek az eltolásoperátor tulajdonságaiból: A differencia operátor D h D h (u) = u 1 h hu 2 h D h (u 1 h ) = u 2 h. (9.140) Röviden kitérünk a végesdifferencia-operátorok egyes tulajdonságaira. A D ±h és S ±h operátorok között fennállnak az alábbi összefüggések: D h = D h S +h = S h D h és D = D = S = S D. h h +h h+h Definíció szerint az eltolás hatása egy F A függvényre S (F (z)) = F ( S (z)). ±h ±h Megjegyezzük, hogy a modern numerikus módszerek (önadaptív diszkretizáció, mozgó diszkretizáció, multigrid módszerek) megkövetelik szabálytalan diszkretizáció használatát. A véges differencia egyenletet az ω h rácson 5 az F (z) = 0 (9.141) formába írjuk, ahol z Z. Itt a diszkretizált F függvény a diszkretizált A tér elemeiből kerül ki. Ezt az egyenletet a differencia rács (vagyis, azokból a z pontokból álló rács, amelyekben a végesdifferencia- sémát felírtuk) véges sok pontjában írjuk fel, a rács lehet egyenletes vagy változó felosztású is. Magát a rácsot is felírhatjuk egyenlet formájában: Ω(z, h + ) = 0. (9.142) A folytonos esettel szemben, a (9.142) egyenletet is meg kell adni, amikor a diszkretizált egyenletek egy csoporttal szembeni invarianciájáról beszélünk, mert a szimmetriacsoport nem változtathatja meg a diszkretizáció egyenletességét és ortogonalitását. Nézzük most ennek feltételét. A rács egyenletességét megőrző transzformációkat keresünk. Keressük a transzformációt x = f(z, a) alakba, legyen továbbá u = φ(z, a), amiből a deriváltakra az u s = φ s (z, a) kifejezést kapjuk. A rács transzformációját infinitezimális generátorával adjuk meg: X = ξ(z) x + η(z) u + ζ i (z) ui. (9.143) i 1 ahol ξ = f a a=0, η = φ a a=0, ζ i = φ i a a=0, 5 Itt az ω h jelölés csak a kényelmet szolgálja. A rácsot ténylegesen a független változók irányában alkalmazott lépésközökkel kell megadni. 283

285 9.5. Tétel (A rács egyenletességét megőrző transzformációk) A G 1 transzformációcsoport akkor és csak akkor hagyja a rácsot egyenlőközűnek, azaz, teljesül h = h +, ha a (9.143) generátorban szereplő ξ(z) függvény második differenciálja nulla, azaz D D (ξ(z)) = 0. +h h 9.6. Tétel (A rács ortogonalitásának megőrzése) Egy tetszőleges orientációjú rács ortogonalitását megőrzi a (9.143) generátorokkal megadott transzformáció amennyiben fennállnak a D i +h i (ξ j ) = D j +h j (ξ i ) (9.144) D i +h i (ξ i ) = D j +h j (ξ j ). (9.145) A rács megőrzésén kívül azt is előírjuk, hogy a transzformáció megőrizze a véges differencia értelmében vett deriváltakat Tétel (Dorodnyicin 1. tétele.) Legyen adott egy egyparaméteres G 1 csoport, amelynek generátora X = ξ x + η u + ζ s us + ) ζ l ul + (ξ(s(z) ζ(z)) h+, (9.146) h h h s 1 l 1 ahol ξ, η tetszőleges függvények A-ból, továbbá ζ lh függvény h egy hatványsorát jelöli, amelynek együtthatói A-ból valóak. Annak feltétele, hogy a (9.141) véges differenciaegyenlet, amelyet a (9.142) rácson definiáltunk, invariáns legyen a G 1 csoport alatt, szükséges és elégséges feltétele az alábbi összefüggések fennállása: XF (z) = 0 (9.141),(9.142) ; XΩ(z, h + ) = 0 (9.141),(9.142). (9.147) Megismételjük, hogy korlátozásokkal éltünk a transzformáció kiválasztásakor. Az egyenlet szimmetriacsoportjának X generátora megváltoztathatja a diszkretizáció egyenlőközűségét, vagy a változók ortogonalitását, például egy nemlineáris transzformáció után a korábban szabályos rács szabálytalanná válhat. A rács viszont befolyásolja a véges differencia egyenletet, ezért feltételeket fogalmaztunk meg, amelyek teljesülése esetén a rács szabályos marad, a változók pedig ortogonálisak maradnak. A legtöbb szimmetria (pl. transzláció, rotáció, dilatáció, Lorentz-transzformáció), továbbá egyes nemlineáris transzformációk (pl. trigonometrikus függvények) is teljesítik a (9.6.) tételben kikötött feltételt. A véges differencia alak vizsgálata céljából Z-vel együtt fogjuk tekinteni a Z teret. h Ennek elemei (x, u, u 1 h, u 2 h,..., h)-ból állnak. Itt h = {h i+ }-az ω h rács adott Z h 284 pontjában

286 a differencia lépésköze pozitív irányban. u 1 a jobboldali első deriváltak véges differencia h közelítését jelentik: u 1 h k = u i = h { } 1 (S i 1)(u k ),, i = 1,..., n. (9.148) h i+ h Analóg módon a baloldali első deriváltak { } 1 u 1 = u k 1 = (1 S i )(u k ), h h h i h, i = 1,..., n, (9.149) ahol h i baloldali eltolás operátora. A fentiek szerint a Z h téren p pár differencia operátor (D i és D i ) hatását definiáltuk. A megmaradási tételeket folytonos változók esetén h h variációs elvből lehet levezetni, v. ö. 5 utolsó alfejetével. Írjuk fel a Z téren a variációs operátort: δ δu k = u k + ( 1) s D i1... D is, (9.150) u i1...i s s=1 ahol 1 i 1,... i s p. Dorodnyicin megmutatta, hogy a (9.146) operátor Z h téren alkalmazható változata δ = ( ) hi D δu k u k h i i hi + D + h u k i h i i. (9.151) h u k i h Az így bevezetett variációs operátor az L = {L(x, u, u ih, u ih ) A h} függvényeken hat, amelyek lokálisan analitikus függvényei a Z h vektorokból kiválasztott véges számú változónak. Ezek a függvények csak az első baloldali és jobboldali véges differencia-hányadosoktól függenek, a magasabb deriváltakat vissza lehet vezetni elsőrendűekre az ismert lineáris kapcsolatok segítségével Feladat Legyen p = 1, azaz, egyetlen térváltozót tekintünk, a véges differenciák legyenek egyenközűek. Ekkor (9.151) így alakul: δ = D i D i. (9.152) δu k u k h h Az Euler-Lagrange-egyenlet véges differencia változata a fentiek után már adódik: u k 1 h u k i h δl δu k = 0. (9.153) 285

287 Tegyük fel, hogy a Z h függvénytéren definiált egy egyparaméteres G 1 Lie-Bäcklund csoport (v.ö. 2.3 alfejezet) hatása. Legyen G 1 generátora X = ξ i + η k + ζi k x i u k u k i +..., (9.154) ahol ζ k i -ket a (5.51) prolongációs formula szolgáltatja. A G 1 csoportot a Z h téren is (9.154) izomorf megfelelőjével állíthatjuk elő: X = ξ i + η k + ζi k x i u k u k ih a többi formula pedig a prolongációk alkalmazásából adódik. Tekintsük a Z h függvénytéren egy + + h i +D jh (ξ i ), (9.155) h i+ L = Ω h L(x i, u k, u k ih)h h n+ (9.156) véges differencia funkcionált, amelyre L A h és amely csak az első véges differenciáktól függ, Ω h ω h. A differencia rácsot adja meg h i+ = ϕ i (z), ϕ i A h,, i = 1,..., n. (9.157) A (9.156) funkcionált invariánsnak nevezzük a G 1 csoport alatt a (9.157) rácson, ha L(z)h 1... h n = L(z )h 1... h n, (9.158) Ω h ahol a transzformált mennyiségeket csillaggal jelöltük Tétel (Dorodnyicin 2. tétele) Az alábbi összefüggések teljesülése szükséges és elégséges feltétele annak, hogy a (9.156) funkcionál a (9.157) rácson invariáns legyen a (9.155) generátorral megadott G 1 csoport alatt: Ω h X(L) + LD ih (ξ i ) (9.157) = 0 (9.159) S ih (ξ i ) ξ i X(ϕ i (z)) (9.157) = 0. (9.160) A folytonos deriváltakkal felírt Euler-Lagrange-egyenlet invarianciája a megfelelő variációs funkcionál invarianciájának folyománya. A véges differencia változatban viszont ez nem így van. Tekintsük ismét a p = 1 esetet Tétel (Dorodnyicin 3. tétele) Annak feltétele, hogy a (9.156) funkcionál (9.153) Euler-egyenlete invariáns legyen a (9.155) generátor által megadott G 1 csoporttal szemben az ω h rácson, szükséges és elégséges, hogy az Euler-Lagrange-egyenlet megoldása teljesítse az alábbi feltételeket: [ ] L ξ u x + u L h11 D (L) = 0 (9.161) u 1h h h D D (ξ) = 0. (9.162) h+h 286

288 Ezzel kapcsolatban felvetődik a kérdés: mi a feltétele annak, hogy a G 1 csoporttal szemben invariáns L hatás stacionárius legyen, noha nem elégíti ki (9.159)-t. Dorodnyicin megmutatta, hogy stacionárius L-et kapunk az alábbi véges differencia séma megoldásából: ( ( )) L ξ x + D L u 1 L + η L h u 1h u D L = 0 (9.163) h u 1 h Ezután rátérünk a véges differencia egyenletek megmaradási tételére Tétel (Dorodnyicin 4. tétele) Elégítse ki a (9.157) funkcionál a (9.163) véges differencia egyenletet, amelyben a (9.155) által meghatározott G 1 csoport ξ és η generátorai szerepelnek. Ekkor a (9.157) funkcionál invarianciáját jelentő (9.163) véges differencia egyenletet teljesüléséhez szükséges és elégséges az alábbi megmaradási egyenlet teljesülése: D +h ξ S h (L) + ( ) η ξu 1 S h h A többdimenziós esetben analóg helyzetet találunk. L = 0. (9.164) (9.163) A (9.156) funkcionált kváziinvariánsnak nevezzük a G 1 csoport alatt, ha a differencia Lagrange-függvény L kielégíti az alábbi egyenleteket: u 1 h η k L + D i (η k ) L u k +h u k i h + D i (η k ) L h u k i h + D i (B i ) = 0, (9.165) h ahol η k = η k ξ i (u k i h + u k i h ); L = L(x i, u k i h, u i ), h és B i (z) A h. Az alábbi tétel új megmaradási egyenletekre vezet (9.165)-ból Tétel (Dorodnyicin 5. tétele) Legyenek az F α (z) = 0, α = 1,..., m, F α A h egyenletek a (9.157) funkcionál Euler-Lagrange-egyenletei a (9.157) rácson. Ekkor a (9.157) funkcionál (9.165) kvázi invarianciájának az Euler-Lagrange-egyenletekkel szemben a (9.157) rácson, amely invariáns a G 1 csoport alatt, szükséges és elégséges feltétele az F α = 0 egyenletek megmaradása az alábbi vektorral: A i = B i (z) + η k S i L + S h u k h i(η k ) L. (9.166) u k h i h i 287

289 9.6. Feladat (A hullámegyenlet) Tekintsük az egydimenziós hullámegyenletet a x 1 = t időből és az x 2 = x helyváltozóból álló két független változó esetén. A diszkretizált egyenlet: u = 0. h 22 (9.167) u h 11 Itt az időváltozó esetében τ, a helyváltozó esetében h lépéssel egyenlőközű diszkretizálást alkalmazunk. Az előző tétel alapján a (9.167) egyenletre vonatkozó megmaradási tétel mondható ki. A hullámegyenlet csoportjának generátorai az időbeli eltolás, X 1 =, a t térbeli eltolás, X 2 =, és a Lorentz-transzformáció X x 3 = t + x. Mind a három x t operátor megőrzi az egyenlőközű diszkretizálást. Legyen a Lagrange-függvény L = 1 2 u h u h 2. (9.168) 1 Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy a (9.168) Lagrange-függvény Euler-Lagrange-egyenlete pontosan (9.167), ez az egyenlet invariáns az X 1, X 2, X 3 generátorokkal szemben. Felsoroljuk ax X α mennyiségekhez tartozó B 1 α és B 2 α mennyiségeket, amelyek (9.166)-ban szerepelnek: α = 1 : B 1 1 = 0, B 2 1 = u 1. h 2S u h 2 α = 2 : B 1 2 = u u u 2 (u h 2 h 2 h 1S h h 1 (t + τ)u S h 1 u h(u h 2) h 1u h 1 ), B2 2 = 0. α = 3 : B3 1 = tu u (u u S (u), B3 2 = xu + (x + h)u S (u ) + h 2 h 2 h 2 h 1 h 1 h 2 h 1u h 1 h 2 h 1 h 2 S Dorodnyicin 5. tételéből következik, hogy a (9.167) egyenlet megoldására telje- h 1(u). sülnek az alábbi megmaradási törvények 6 : α = 1 : ( ) ( 2 u + u S (u ) D 2 h 1 h 2 h 1 h 2 α = 2 : α = 3 : D +h 1 D +h 1 u (u + u = 0. (9.169) h 2 h 1 h 1)) (9.167) ( ) ( 2 D u (u + u + u + u +h 1 h 1 h 2 h 2) D+h u S (u )) = 0. (9.170) h 2 h h 1 h 2 h 1 (9.167) ( ) xu 2 + (x + h)u S (u + tu + u + S (u)u h 1 h 2 h 1 h 2) h 1(u h 2 h 2) h1 h 2 ( + D tu 2 (t + τ)u S (u xu + u S (u)u = 0. +h2 h 2 h 1 h 2 h 1) h 2(u h 1 h 1) h2 h 1) (9.167) (9.171) 6 Az alábbi egyenletekben alsó indexként az egyenlet sorszáma jelenik meg, amelyet a kifejezésben szereplő u függvény kielégít. 288

290 9.7. Feladat (A Koerteweg de Vries egyenlet) A Korteweg de Vries egyenlet nemlineáris, harmadfokú egyenlet, amely a plazmafizikában fordul elő. Egyetlen függő változót (u) kell meghatároznunk. u függvénye egy térbeli változónak (x) és az időnek (t). A folytonos változókkal felírt egyenlet: u t = uu x + u xxx. (9.172) Az 5. fejezetben ismertetett eljárásokkal meghatározható az egyenlet Lie-csoportja, amelynek infinitezimális generátorai: X 1 = t, X 2 = x, X 3 = t x u X 4 = x x + 3t t 2u u. (9.173) Olyan diszkretizációt és differencia egyenleteket szeretnénk konstruálni, amely végesdifferencia közelítése a (9.172) egyenletnek, és invariáns a (9.173) által generált Liealgebrával szemben. Először a rácsot vizsgáljuk. A rács egyenletességét megőrzi a Liecsoport, ha fennáll (9.162). Egy ortogonális rács akkor marad ortogonális a (9.154) által generált Lie-csoport alatt, amennyiben a (9.154) infinitezimális generátorokra teljesül D(ξ j ) = D +h j(ξ j ). (9.174) Ezt a feltételt kielégíti X 1, X 2 és X 4, de X 3 már nem. A (9.172) végesdifferencia formájához négy pontra van szükség az x tengely mentén, két pontra a t tengely mentén. Az alábbi jelölést fogjuk használni: u = u(x h ), u = u(x), u + = u(x + h + ), u ++ = u(x + h + + h ++ ). Az idő függvényében u = u(x, t), de a t + τ időpontban nem szükségszerű, hogy az x pontban vizsgáljuk a megoldást, ezért bevezetjük az û = u( x, t+τ) diszkretizát értéket. Az így bevezetett (x, x, t, τ, h, h +, h ++, u, û, u +, u ++, u ) altéren nyolc differencia invariáns kifejezés írható fel, ezek: J 1 = x x + τu h + (9.175) J 2 = (û u)(h + ) 2 (9.176) J 3 = τu x h J 4 = τu x h τu+ u h + (9.177) J 5 = τu x + τ u++ u + J 6 = (h+ ) 3 τ τ u u h (9.178) h h ++ (9.179) (9.180) J 7 = h h + (9.181) J 8 = h++ h +. (9.182) 289

291 A fenti invariánsok segítségével kell meghatározni a differencia séma rácsát. Vegyük észre, hogy csak J 1 -ben szerepel a következő időlépés helykoordinátája. A legegyszerűbb választás: J 1 = 0, azaz, x = x τu. A megmaradó mennyiségek között fennáll továbbá az alábbi összefüggés: J 2 = 2 J 5 J 3 J J 3 J 4 J 7 + 1, (9.183) ami differenciahányadosokkal kifejezve: û u τ = 2 h + + u x u x u x u x h h h ++ + h h h. (9.184) + h + + h Belátható, hogy a diszkretizáció felírásával a differencia egyenletek tartanak a (9.172) egyenlethez Iteráció és szimmetriák A numerikus módszerek egy egyenletrendszert származtatnak a keresett függvényben szereplő együtthatókra. A próbafüggvényeket (a közelítő függvénytér bázisait) úgy kell megválasztani, hogy a fizikai folyamatokat megfelelően leírják, de arra is ügyelni kell, hogy a kapott egyenleteket hatékonyan meg tudjuk oldani. A kérdést jelen fejezetben korábban vizsgáltuk. Itt most azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogyan lehet algebrai módszerek segítségével megvizsgálni az iteráció hatékonyságát. A módszert egy konkrét probléma kapcsán mutatom be. A neutrontranszportegyenlet megoldása során a VARIANT program az alábbi módszert használja: A megoldás V térfogatát felosztja egybevágó V i, i = 1,..., N régiókra, ezekben az anyagi tulajdonságok helytől függetlenek. A keresett neutronfluxusra alkalmaz egy közelítést V i határan, két szomszédos elem határán megköveteli a megoldás folytonosságát. A V i régió belsejében is alkalmaz egy közelítést, ennek alapján számítja a reaktorfizikában kiemelt fontosságú reakciógyakoriságokat. Ez a közelítési mód tipikusnak mondható a numerikus módszerek körében. Azt találták, hogy a VARIANT program algoritmusa csak akkor konvergál, ha a felületen megadott lineáris közelítéshez a térfogat belsejében legalább hatodfokú közelítést társítanak, ami a szerzők szerint érthetetlen, programhibára gyanakodtak. A feladat vizsgálatához elemezzük a közelítést. Először leszögezzük, hogy amennyiben a keresett megoldást lineárisan független alterekben vizsgáljuk, az iterációnak minden ilyen altérben biztosítania kell a konvergenciát, hiszen a lineáris függetlenség miatt az alterek között nem léphet fel kompenzáció, azaz olyan helyzet, hogy egy altérben a 290

292 9.4. táblázat. A legfeljebb negyedfokú polinomok irreducibilis komponensei (négyzet, azaz C 4v csoport esetén) i/order (x 2 + y 2 ) - (x 2 y 2 ), (x 4 + y 4 ) (x 3 y y 3 x) (x 2 y 2 ) - x 4 y xy - (x 3 y + y 3 x) 5 - x - x xy x 2 y y - y 3 - konvergencia hiányát pótolják más alterek járulékai. Ezután az a kérdés, hogyan lehet egyszerűen ilyen lineárisan független altereket találni. Erre a választ a diszkretizált térfogat egy nódusának automorfizmusai szolgáltatják. Ez az automorfizmuscsoport (2.28) szerint generál egy felosztást a közelítő függvények által kifeszített téren, és a konvergenciának minden egyes altéren fenn kell állnia. Vizsgáljuk meg tehát a konvergenciát az egyes altereken. A számítás úgy történik, hogy az előző nódus kimenőáramából meghatározzuk a bemenőáramokat. Amennyiben a peremen lineáris függvényekkel közelítjük a bemenőáramokat, minden altérben kapunk nemnulla járulékot. Ezután megoldjuk az egyenletet a tartomány belsejében, de ott is adott fokszámú polinomok szerint fejtjük ki a megoldást. Amennyiben a közelítőpolinomok nem teszik lehetővé, hogy a megoldásnak minden altérben legyen el nem tűnő komponense, az eljárás nem konvergálhat. A 9.4 és 9.5 táblázatokból megállapítható, hogy a térfogat belsejében alkalmazott polinomok fokszámának növelésével elérhető, hogy minden lineárisan független altérben legyen el nem tűnő komponens, ám ehhez legalább hatodfokú polinom kell szabályos hatszög alakú nódusokban, és legalább negyedfokú polinom négyzet alakú nódusokban. Az ismertetett módszer egyúttal útmutatást is ad, hogyan lehet egy adott közelítést javítani, ill. alkalmassá tenni más geometria esetére. 291

293 9.5. táblázat. A legfeljebb negyedfokú polinomok irreducibilis komponensei (hatszög, azaz C 6v csoport esetén) i/order (x 2 + y 2 ) - (x 2 + y 2 ) y(y 2 3x 2 ) x(x 2 3y 2 ) x, y - x(x 2 + y 2 ) x, y - y(x 2 + y 2 ) x, y x, y (x 2 y 2 ) - (5x 4 6x 2 y 2 3y 4 ), x 3 y xy - y 3 x x 2 y 2 (x 4 + y 4 )

294 10. fejezet Speciális függvények 293

295 A legtöbb probléma megfogalmazása egyszerűsíthető, amennyiben a megfogalmazás megfelelő. A homályos megfelelő megfogalmazás azt jelenti, hogy a feladat matematikai megfogalmazásának illeszkednie kell a probléma természetéhez, többek között az alkalmas szimmetriákhoz. Így pl. a szórás leírásához célszerű a forgáscsoport sajátfüggvényei szerint kifejteni a megoldást. Ilyen speciális függvények a változók szétválasztásával kapcsolatos függvények, a hengerfüggvények és a gömbfüggvények is. Ezek a függvények analitikus és numerikus módszerekben is hasznosak, hiszen a legtöbb függvény kiszámítására egyszerű eszközök alkalmasak, a függvények ortonormáltak és teljes rendszert alkotnak, ezért alkalmas függvénytérből vett függvény tetszőlegesen pontosan közelíthető lineárkombinációjukkal. A jelen fejezetben vizsgált speciális függvények leginkább a szögfüggvényekre hasonlítanak, hiszen a független változónak egy hatványsorával vannak megadva. Egyes esetekben (pl.a Legendre-polinomok esetében) az első-, másod-, s. í. t. fokszámú polinomok is megoldások, ezeknek is van jelentősége, segítségükkel a 9.1 részben leírt gyenge megoldás előnyösen közelíthető. A modern számítástechnika pedig lehetővé teszi ezeknek a függvényeknek a rutinszerű használatát, hiszen minden ismertebb szimbolikus nyelvben (MATHEMATICA, MATLAB), a nagyobb programkönyvtárakban (pl. IMSL, LAHEY könyvtár, Numerical recipies) megtalálhatóak. A 4. fejezetben a változók szétválasztása kapcsán csak az egyenletet vizsgáltuk, peremfeltétel nélkül. A parciális differenciálegyenletek sajátérték-feladatához azonban mindig tartozik valamilyen peremérték. Tekintettel arra, hogy a feladatnak homogénnek kell lennie, az alábbi esetek lehetségesek: a keresett függvény legyen nulla a peremen (Dirichlet-peremfeltétel); a keresett függvény normális gradiense legyen nulla a peremen (Neumann-peremfeltétel); a keresett függvényből és normális gradienséből álló lineáris kifejezés legyen nulla a peremen. A továbbiakban az egyszerűség kedvéért csak a Dirichlet-peremfeltételt vizsgáljuk A változók szátválasztásához kapcsolódó függvények A 4. fejezetben vizsgáltuk a Laplace-operátor sajátérték-feladatának megoldhatóságát a változók szétválasztása segítségével. A módszer eredetileg Fourier-től származik, és meglehetősen hatékonynak bizonyult. Segítségével azonban nemcsak arra nyílik mód, hogy a sajátfüggvényeket zárt alakban meghatározzuk, hanem egy sor olyan speciális függvényt is szolgáltat, amelyek jól használhatóak fizikai feladatok megoldásában. 294

296 Legendre-polinomok Vizsgáljuk meg a (4.1) sajátérték-feladat megoldását (r, ϑ, ϕ) gömbi koordinátákban. Az egységsugarú gömb felszínén legyen a megoldás független a ϕ változótól. Gömbi koordinátákban a Laplace-operátor alakja: = 1 r 2 r ( ) r 2 1 r + r 2 sin ϑ 1 ϑ (sin ϑ ϑ ) + r 2 sin 2 ϑ 2 ϕ (10.1) 2 Mivel a peremfeltétel független ϕ-től, feltételezhetjük, hogy a megoldás is független ϕ- től, ezért ez utolsó tagot (10.1)-ban elhagyjuk, a kapott egyenletet pedig megszorozzuk r 2 -tel. Az így kapott egyenlet: = r ( r 2 r ) + 1 sin ϑ ϑ (sin ϑ ϑ ). (10.2) A (10.2)-et ismét a változók szétválasztásának módszerével oldjuk meg, feltesszük, hogy Φ(r, ϑ) = R(r)T (ϑ). Ezt az alakot behelyettesítve, az eredményt R(r)T (ϑ)-val elosztva az alábbi egyenletet kapjuk: (r 2 R + 2rR ) R = T + T cot ϑ. (10.3) T (Az egyváltozós függvények deriváltját vesszővel jelezzük.) A baloldal csak r, a jobboldal csak ϑ függvénye, azaz, mindkét oldal állandó. Legyen ez az állandó ν(ν 1). Az alábbi két közönsséges differenciálegyenletet kell megoldanunk: ( r 2 R + 2rR ) = ν(ν + 1)R (10.4) T + cot ϑt = ν(ν + 1)T. (10.5) Behelyettesítéssel belátható, hogy az első egyenlet két független megoldása (ν 1/2 esetén) R 1 = r ν és R 2 = 1/r ν+1. A második egyenletben bevezetjük az u = cosϑ változót, amivel a megoldandó egyenlet ( 1 u 2 ) d 2 T du 2 2udT du Keressük (10.6) megoldását hatványsor alakjában: T (u) = + ν(ν + 1)T = 0. (10.6) c k u k. (10.7) Behelyettesítés után az alábbi rekurzív formulát nyerjük az együtthatókra: k=0 c k+2 = (k + 1) k (ν + 1)ν c k. (10.8) (k + 2)(k + 1) 295

297 10.1. táblázat. Az első 6 Legendre-polinom n P n (u) u u u3 3u u u u u3 + 15u 8 A fenti formula szerint c 0 és c 1 tetszőlegesen választható, a többi együtthatót pedig a (10.8) formula rögzíti. A rekurziós formulából az is látható, hogy az együtthatók csak 1/k szerint csökkennek. Ha azonban ν = n > 0 egész szám, valamint páros n esetén c 1, páratlan n esetén c 0 zérus, akkor (10.8) számlálója k = n-től kezdve eltűnik, a sor véges, a kapott megoldás n-edfokú polinom. A (10.6) egyenletet Legendre-egyenletnek nevezik, a megoldásként kapott polinomot pedig Legendre-polinomnak. Az első hat Legendre polinomot a 10.1 táblázat tartalmazza. A Legendre-polinomok előállítása során jól használhatóak az alábbi rekurziós formulák: (n + 1)P n+1 (u) = (2n + 1)uP n (u) np n 1 (u). (10.9) np n (u) = (2n 1)uP n 1 (u) (n 1)P n 2 (u). (10.10) A Legendre-polinomok ortogonálisak az alábbi értelemben: Normájuk pedig a következő: P n (u)p m (u)du = 0, n m. (10.11) (P n (u)) 2 du = 2 2n + 1. (10.12) A Legendre-függvényekkel a fizika több területén találkozunk (pl. kvantummechanika, neutronfizika). Röviden megemlítjük, hogy a (10.4) Legendre-egyenlet speciális esete az alábbi egyenletnek: (1 u 2 )T 2uT + [ ν(ν + 1) µ 2 (1 u 2 ) 1] T = 0 (10.13) ν-edfokú, µ-edrendű Legendre-féle differenciálegyenletnek. Amennyiben ν = n, µ = m, n és m egészek, a fenti egyenlet megoldásait a Legendre-függvényekkel lehet kifejezni, az alábbi módon. Legyen (10.4) megoldása P m n (u), ekkor P m n (u) = ( 1 u 2) m/2 d m P n (u) du m. (10.14) 296

298 Az így kapott P m n (u) polinomokat asszociált Legendre-függvényeknek nevezik. Előállításukban hasznos az alábbi rekurzió: Pn(u) 0 = P n (u) (10.15) Pn m+1 (u) = ( 1 u 2) 1/2 d du P n m (u) + m up n m (u) (1 u2 ). (10.16) Az asszociált Legendre-függvények is teljes rendszert alkotnak az 1 u +1 intervallumon. Rögzített m esetén fennáll az alábbi ortogonalitás: Normájuk pedig: P m k (u)p m l (u)du = 0, k l. (10.17) [P m n (u)] 2 du = 2(n + m)! (2n + 1)(n m)! (10.18) Tetszőleges, az u [ 1, +1] intervallumon integrálható f(u) függvény sorbafejthető Legendre-polinomok szerint: f(u) = a n P n (u), (10.19) ahol a n = 2n Bessel-függvények n= f(u)p n (u)du. (10.20) Vizsgáljuk meg a (4.1) sajátérték-feladat megoldását (r, ϕ) polárkoordinátákban. Peremfeltételként írjuk elő a megoldás eltűnését az adott sugarú körön. Polárkoordinátákban a Laplace-operátor alakja: = 2 r + 1 r r + 1 r 2 2 θ. (10.21) Olyan megoldást keresünk, amely független θ-tól. Ekkor a Laplace-operátor ω sajátértékét és Φ sajátfüggvényét az alábbi egyenletből kapjuk meg: [ r ] r r + ω Φ(r, θ) = 0. (10.22) Ismét a változók szétválasztásával próbálkozunk, azaz, feltesszük, hogy Φ(r, θ) = R(r)T (θ). Ezt behelyettesítve (10.22)-ba: R + R /r ωr R = T T = p2, (10.23) 297

299 ami csak úgy teljesülhet, ha mindkét oldal állandó (amit p 2 -tel jelölünk). Ebből a két függvényre két egyenletet kapunk: R + R /r + (p 2 ω)r = 0 (10.24) T = T. (10.25) Az első egyenlet az alábbi általános, Bessel-féle differenciálegyenlet egy változata: x 2 y + xy + (x 2 n 2 )y = 0. (10.26) A (10.26) egyenlet megoldásait nevezik Bessel-függvényeknek. A (10.24) második egyenletének adott peremfeltételekhez tartozó megoldása triviális feladat. Megjegyezzük, hogy a Bessel-egyenlet n paramétere tetszőleges komplex értéket felvehet. Vezessük be a B 2 = p 2 ω paramétert, amivel (10.26) első egyenlete a Br változó függvénye szerint fejezhető ki az alábbi módon: R (Br) + R /(Br) + B 2 R(Br) = 0. (10.27) Amennyiben az R(r 0 ) = 0 peremfeltételt szeretnénk biztosítani, B = λ nk /r 0 -t kell választani, ahol λ nk a J n Bessel-függvény k-ik zérushelye. Keressük (10.27) megoldását hatványsor alakjában, legyen R(Br) = c k (Br) k. (10.28) k=0 Ezt behelyettesítve, az egyes Br hatványok együtthatóinak eltűnését megkövetelve az alábbi egyenleteket kapjuk az együtthatókra: c 1 = 0, továbbá c k 1 c k+1 =, k = 1, 2,... (10.29) (k + 1) 2 amiből következik, hogy az összes páratlan együttható zérus, a páros együtthatók pedig a fenti rekurzióval határozhatóak meg. A (10.27) egyenlet megoldását tehát az alábbi végtelen sor adja meg: ( 1) k J 0 (Br) = 2 2k (k!) 2 (Br)2k. (10.30) k=0 Általánosságban pedig az n-ed rendű Bessel-függvényt az alábbi végtelen sor adja meg: J n (Br) = c 0 A c 0 állandó szokásos választása k=0 ( 1) k 2 2k (k!)(n + 1)... (n + k) (Br)2k+n. (10.31) c 0 = 1 2 n Γ(n + 1). (10.32) 298

300 A (10.31) sor minden Br argumentumra konvergens. A (10.22) feladatból az alábbi sajátfüggvény adódik: Φ(r, φ, z) = (c 1 cos(b z z) + c 2 sin(b z z)) (c 3 cos(nφ) + c 4 sin(nφ)) J n (λ k r). λ 2 k +B2 z=ω 2 (10.33) A peremfeltétel teljesülésének igazolásához a Bessel-függvény zérushelyeit kell még megvizsgálnunk. Az m indexű Bessel-függvények előállíthatóak az m-nél kisebb indexű Bessel-függvényekből az alábbi rekurzió által: J m+1 (x) = 2m x J m(x) J m 1 (x) (10.34) J m(x) = m x J m(x) J m+1 (x). (10.35) Az alábbi függvényt elsőfajú módosított Bessel-függvénynek nevezik: I m (x) = e imπ/2 J m (xe iπ/2.) (10.36) Megemlítjük meg a harmadfajú módosított Bessel-függvényt, amelynek definíciója az elsőfajú módosított Bessel-függvényekre épül: π K m (x) = 2 sin(mπ) [I m(x) I m (x)] (10.37) A Bessel-függvényeknél látotthoz hasonló rekurzió áll fenn a módosított Bessel-függvények esetében is: I m+1 (z) = I m 1 (z) 2m z I m(z) (10.38) di m (z) dz = (I m 1 (z) + I m+1 (z))/2 (10.39) K m+1 (z) = K m 1 (z) + 2m z K m(z) (10.40) dk m (z) dz = (K m+1 + K m 1 (z))/2. (10.41) A J m (x) függvényekből teljes függvényrendszer hozható létre a (0, 1) intervallumon az alábbiak alapján. A J m (x) függvénynek (m > 1) nincs komplex zérushelye. A J m (λ 1 x), J m (λ 2 x),... függvényrendszer a (0, 1) intervallumon ortogonális az alábbi értelemben: 1 xj m (λ k x)j m (λ l x)dx = 0, k l. (10.42) 0 299

301 10.1. ábra. A J 0 (x),..., J 4 (x) Bessel-függvények Legyen f(x) integrálható valós függvény a (0, 1) intervallumon. függvény az alábbi egyenletesen konvergens sorba fejthető: Ekkor az f(x) f(x) = a k J m (λ k x), (10.43) k=1 ahol a k = 2 [J m+1 (λ k )] xf(x)j m (λ k x)dx. (10.44) A J 0 (x),..., J 4 (x) Bessel-függvények ábráját a BesselJ.EPS FÁJL TARTALMAZZA. Az I 0 (x),..., J 4 (x) Bessel-függvények ábráját a ábra mutatja. A nulla indexű J 0 (x), I 0 (x) és K 0 (x) függvények grafikonját a ábra mutatja. A J 0 (x) függvény első 5 zérushelye: , , , , A Bessel-függvények sorfejtéssel történő meghatározása gyakran lassú. Amennyiben elegendő közelítő pontosságú számítást végezni, az alábbi közelítő polinomok használhatóak: ======================================================= Feladat (Hengeres geometria) Vizsgáljuk meg a Laplace-operátor sajátérték feladatát hengeres geometriában! A megoldandó egyenlet: [ 2 r + 1 r r + 1 r 2 2 θ + ( z ) 2 ]Φ(r, θ, z) = ωφ(r, θ, z). (10.45) 300

302 10.2. ábra. A J 0 (x), I 0 (x) és K 0 (x) függvények A megoldást most is szeparációval keressük: Φ(r, θ, z) = R(r)T (θ)z(z). (10.46) Legyen Z = (B z ) 2 Z, amivel (( r ) 2 + 1r r + 1r 2 θ 2 ) R(r)T (θ) = (ω (B z ) 2 )R(r)T (θ) (10.47) Legyen T = n 2 T, ahol n egész szám. Ezzel R(r)-re a Bessel-féle differenciálegyenlet adódik, amelynek megoldása J n (B r r), itt (B r ) 2 = ω (B z ) 2. A sajátfüggvény tehát Φ(r, θ, z) = J n (B r r) cos B z ze imθ. (10.48) A B z paraméter lehetővé teszi, hogy a henger fedő- és alaplapján eltűnő megoldást válasszunk, a B r paraméter lehetővé teszi, hogy a henger palástján eltűnő legyen a megoldás, a sajátérték pedig ω = (B z ) 2 +(B r ) 2. A sajátáértékek diszkrétek, az alapmódushoz a hengerben pozitív megoldás tartozik Mathieu-függvények Vezessük be (x, y) helyett az alábbi változókat: x = c cosh ξ cos η (10.49) y = c sinh ξ sin η. (10.50) Az ξ =állandó és η =állandó koordinátavonalak (x, y)-nal kifejezett egyenletei: x 2 c 2 cosh 2 ξ + y 2 c 2 sinh 2 ξ = 1 (10.51) x 2 c 2 cos 2 η y2 c 2 sin 2 = 1. η (10.52) 301

303 Ezeket a tengelyeket az x. ábra mutatja. A (ξ, η) koordinátákban felírt sajátértékfeladat: ξ 2 + η 2 + ω 2 c 2 /2 (cosh(2ξ) cos(2η)) = 0. (10.53) Vezessük be a 2ζ 2 = ω 2 c 2 /2 jelölést, amivel az egyenlet lesz. Legyen Φ(ξ, η) = A(ξ)B(η), amivel 2 ξ φ(ξ, η) + 2 η + 2ξ 2 (cosh(2ξ) cos(2η)) = 0 (10.54) A A + 2ζ2 cosh(2ξ) = B B + 2ζ2 cos(2η) = a, (10.55) itt a tetszőleges állandó. Az A(ξ) és B(η) függvények tehát kielégítik az A ( a 2ζ 2 cosh(2ξ ) A = 0 (10.56) B + ( a + 2ζ 2 cos(2η) ) B = 0 (10.57) egyenleteket. Vegyük észre, hogy (10.56) és (10.57) egymásba transzformáható a ξ = iη transzformációval. (10.57) a Mathieu-féle differenciálegyenlet. Homogén, lineáris, együtthatói π szerint periodikusak. Azon a értékeket, amelyek mellett (10.57) -nek létezik periodikus megoldása, karakterisztikus értéknek nevezzük. Adott karakterisztikus értékhez tartozó megoldás függ a ζ paramétertől, a megoldások páros és páratlan függvények lesznek. A [0, π] intervallumon n számú zérushellyel rendelkező, páros, ill. páratlan megoldását ce n (ξ, ζ) ill. se n (ξ, ζ) jelöli. Közvetlenül belátható az alábbi két összefüggés: ce n (ξ, 0) = cos(nξ), se n (ξ, 0) = sin(n, ξ). (10.58) (10.55)-ban adott n esetén a és ζ értéke között függvénykapcsolat áll fenn. Az irodalomban használják az alábbi jelöléseket is: Ce n (ξ, ζ) = ce n (ξ, ζ) és Se n (ξ, ζ) = ise n (ξ, ζ). A következő ábrán bemutatjuk a q = 2 értékhez tartozó karakterisztikus értékeket és a hozzá tartozó páros és páratlan Mathieu-függvényeket a [0, 2π] intervallumon. A páros függvényhez tartozó q értékek: n = 0 : , n = 2 : , n = 4 : A páratlan függvényekhez tartozó q értékek: n = 1 : , n = 3 : , n = 5 :

304 10.3. ábra. Néhány Mathieu-féle ce n függvény ábra. Néhány Mathieu-féle ce n függvény Parabolikus hengerfüggvények Az alábbi differenciálegyenlet megoldását parabolikus hengerfüggvénynek nevezik: ) d 2 u (ν dz + 12 z2 + u = 0. (10.59) 2 4 Amennyiben ν = 0, 1, 2,..., a (10.59) egyenlet megoldása u = D { ν 1}(ix) és u = D ν (x), ahol D n (z) = 2 n/2 exp( z 2 /4)H n (2 1/2 z), (10.60) itt pedig H n (z) = ( 1) n exp(z 2 ) dn dz n exp( z2 ) (10.61) az n-edfokú Hermite-polinom. Nem egész ν értékekre az u(z) megoldást konfluens hipergometrikus függvények segítségével lehet előállítani (ld. Miller könyvének B, Függelékét) Gömbfüggvények Ebben a fejezetben egy csoportelméleti eszközökkel definiált függvénycsaláddal, a gömbfüggvényekkel foglalkozunk. A háromdimenziós tér transzformációinak csoportja, amely változatlanul hagyja az egységgömböt izomorf az O(3) csoporttal. Ez egy Lie-csoport, 303