Verhóczki László. Euklideszi Geometria. ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék

Verhóczki László Euklideszi Geometria ELTE TTK Matematikai Intézet Geometriai Tanszék Budapest, 2012

Előszó A jegyzet megírásának céljai A középiskolai matematika tanárok számára az 1960 as évek óta Geometriából a Hajós György által írt Bevezetés a geometriába c. tankönyv jelenti az alapvető irodalmat a téma megértéséhez és mélyebb vizsgálataihoz. A nappali és a levelező tagozatos matematikatanári képzésen szerzett tapasztalataim azonban arra utaltak, hogy célszerű lenne egy tömörebb Geometria jegyzet elkészítése, amely főleg a tanárképzéshez kapcsolódó ismeretek tárgyalására fókuszálna. A jegyzet fő célja tehát az, hogy segítséget adjon a matematikatanári szakos hallgatók számára az egyetemi Geometria tananyag elsajátításához. Ugyanakkor remélem, hogy a jegyzet hasznos olvasmány lesz azok számára is, akik nem matematika szakos tanárnak készülnek, de érdeklődnek az euklideszi geometria alapvető összefüggései és azok alkalmazásai iránt. A Geometria oktatásának nehézségei Azt szokás mondani, hogy a geometria a térbeli alakzatok tulajdonságaival foglalkozó matematikai tudomány. A legtöbb ember számára a geometria a bennünket körülvevő fizikai tér olyan összefüggéseit írja le, amelyeket a tapasztalat révén is ellenőrizni lehet. A geometriai fogalmak kialakításában és a geometriai összefüggések felismerésében ezért valóban nagy szerepe van a szemléletnek. A diákok a középiskolában találkoznak a bizonyítás fogalmával. Ez annyit jelent számukra, hogy vannak olyan összefüggések (más szóval állítások vagy tételek), amelyeket nemcsak felismernek a szemlélet alapján, hanem be is bizonyítanak. Például, bebizonyítják, hogy ha a térben adva van egy tetraéder, akkor egyetlen olyan gömb van, amely áthalad a négy csúcsponton. Azonban a diák számára olykor gondot okoz, hogy miért fogadunk el egyes összefüggéseket csupán a szemlélet miatt, és miért kell egyes összefüggéseket bizonyítani is. Ezt támasztják alá azok a tapasztalatok, amelyek azt mutatják, hogy a középiskolás diákok sokkal inkább kedvelik a koordinátageometriát, mint a szintetikus geometriát. Ismeretes, hogy főleg a szintetikus geometriában szokás kitűzni az ún. bizonyítási feladatokat. Ezeknél előfordulnak olyan esetek, amikor a diák számára nem egyértelmű, hogy melyek azok az összefüggések, amelyeket azonnal alkalmazhat a megoldás érdekében, és melyek azok, amelyeket csak előzetes igazolást követően használhat. Véleményem szerint egy matematika tanárnak meg kell tudni értetni a diákokkal, hogy a geometriában ugyan vannak olyan alapigazságok, amelyeket elfogadunk a szemlélet alapján, de ezen összefüggéseknek a köre behatárolt, és a többi helytálló összefüggést már le lehet vezetni ezekből az alapigazságokból. Fel lehet hívni a hallgatók figyelmét arra is, hogy a szemléletre való kizárólagos hagyatkozás, téves következtetéseket eredményezhet. Mindezek alapján arra az elhatározásra jutottam, hogy bár nem célom az euklideszi geometria axiomatikus tárgyalása, a jegyzet első fejezetében felsorolom azokat az alapigazságokat, amelyekre az euklideszi geometria (illetőleg az abszolút geometria) elmélete épül. i

Mellesleg úgy vélem, ezek ismeretében érthetőbbé válik a leendő matematika tanárok számára, hogy miben is tér el az euklideszi geometria a hiperbolikus geometriától, melyet Bolyai János és az orosz N. I. Lobacsevszkij fedeztek fel a XIX. század első felében. Az axiómák szerepe a geometriában Célszerűnek tűnik, hogy megpróbáljam itt tömören leírni, mit is értünk axiómákon. Mint az összes matematikai elmélet, így az euklideszi geometria is fogalmak és állítások gyűjteménye. Az elmélet felépítése során a felhasznált fogalmakat korábbi fogalmak segítségével kell körülírni (más szóval definiálni), a kimondott állításokat pedig be kell bizonyítani. Állításon tehát egy olyan kijelentést értünk, amely az adott elmélet fogalmaival kapcsolatos összefüggést (vagy összefüggéseket) fogalmaz meg, és amelyet korábban igazolt állításokból logikai úton le lehet vezetni. Egy önálló elmélet egzakt felépítéséhez szükség van olyan kijelentésekre (úgynevezett alapigazságokra) is, amelyek az elmélet alapját képezik, és amelyeket emiatt nem bizonyítunk. Ezeket nevezzük az elmélet axiómáinak. Az axiómákon tehát azokat az elmélet alapjául szolgáló állításokat értjük, melyeket bizonyítás nélkül elfogadunk. Amennyiben az egyik axióma a többiből levezethető, akkor azt célszerű elhagyni. A matematikai elméletek axiomatikus megalapozásánál mindig fellelhető az az igény, hogy az axiómák egymástól függetlenek legyenek, vagyis egyik alapigazság sem legyen következménye a többinek. Ezen jegyzetben tehát megadjuk majd az euklideszi geometria egy olyan axióma rendszerét, amelyben a távolságfüggvénnyel kapcsolatos axióma játszik meghatározó szerepet. Fontos azonban hangsúlyozni, hogy nem célunk az axiomatikus felépítés kidolgozása. ii

1) Az abszolút geometria axiómái, alapvető fogalmai és tételei Ebben a bevezető fejezetben megadjuk az euklideszi geometria (illetve az abszolút geometria) egyik axiómarendszerét, továbbá áttekintjük az axiómákhoz kapcsolódó alapvető fogalmakat és tételeket. Az itt közölt állítások nagy része evidensnek tűnhet az olvasó számára, mivel ezek teljes összhangban állnak a szemlélettel. Jelen esetben az a célunk, hogy megmutassuk, miként lehet ezeket a tételeket néhány alapigazságból kiindulva levezetni (vagy más szóval bizonyítani). Vizsgálatainkhoz a halmazelmélet alapvető fogalmait és összefüggéseit fogjuk felhasználni. A térelemekkel kapcsolatos jelölések és elnevezések Legyen adott egy X halmaz, amelyet térnek mondunk, és amelynek az elemeit pontoknak nevezzük. Az X részhalmazait ponthalmazoknak vagy alakzatoknak mondjuk. A ponthalmazok között vannak kitüntetett alakzatok, amelyeket egyenesnek vagy síknak nevezünk. A pontokat, az egyeneseket és a síkokat együttesen térelemeknek is hívjuk, bár az egyenesek és a síkok valójában az X tér részhalmazai. A későbbiek során a pontokat latin nagybetűkkel (például A, B, C, P), az egyeneseket latin kisbetűkkel (például a, b, e, g), a síkokat pedig görög betűkkel (például α, β, σ) fogjuk jelölni. A térelemek illeszkedését a tartalmazás alapján értelmezzük. Azt mondjuk, hogy egy A pont illeszkedik egy e egyeneshez, ha A eleme e nek. Egy B pontról azt mondjuk, hogy az illeszkedik egy σ síkhoz, ha B az egyik eleme σ nak. Egy g egyenesről azt mondjuk, hogy az illeszkedik egy α síkhoz, ha g egy részhalmaza α nak. A térelemek illeszkedésével kapcsolatosan az alábbi kifejezéseket is használni fogjuk. Ha egy A pont illeszkedik egy e egyeneshez, akkor azt is mondjuk, hogy az e egyenes illeszkedik az A ponthoz, illetve az e egyenes áthalad (átmegy) az A ponton. Analóg módon, ha egy B pont eleme egy σ síknak, akkor azt is mondjuk, hogy a σ sík illeszkedik a B ponthoz. A g α feltétel teljesülése esetén azt is mondjuk, hogy az α sík illeszkedik a g egyeneshez, illetve az α sík tartalmazza a g egyenest. Ha valamely B, D (B, D X) ponthalmazokat véve B egy részhalmaza D nek (azaz B D teljesül), akkor azt mondjuk, hogy a B alakzat benne van D ben, illetve a D alakzat tartalmazza B t. Tekintsünk az X térben véges sok pontot. Ezen pontokat kollineárisaknak (illetve komplanárisaknak) mondjuk, ha van olyan egyenes (illetve ha van olyan sík), amely az adott pontok mindegyikét tartalmazza. Az előbbi értelmezés szerint véges sok pontról akkor mondjuk, hogy azok komplanárisak (illetve kollineárisak), ha van olyan sík (illetve ha van olyan egyenes), amelyhez a pontok mindegyike illeszkedik. A továbbiakban ha n számú pontról (egyenesről vagy síkról) szólunk, akkor ezen n számú különböző pontot (egyenest vagy síkot) értünk. A térelemek illeszkedésével kapcsolatos axiómák A továbbiakban feltesszük, hogy a térelemek illeszkedésre vonatkozóan teljesülnek az alábbi alapigazságok (vagy más szóval axiómák). 1

(IA 1) Van a térben négy olyan pont, amelyek nem kollineárisak és nem komplanárisak. (IA 2) Bármely két ponthoz egy és csakis egy egyenes illeszkedik. (IA 3) Minden síkhoz illeszkedik három nem kollineáris pont. (IA 4) Bármely három nem kollineáris ponthoz egy és csakis egy sík illeszkedik. (IA 5) Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkhoz, akkor az egyenes is illeszkedik a síkhoz. (IA 6) Ha két síknak van egy közös pontja, akkor a két síknak van még egy közös pontja. Ha A és B különböző pontok, jelölje A,B azt az egyenest, amely az A n és a B n egyaránt áthalad. Amennyiben A, B, C nem kollineáris pontok, jelölje A,B,C azt a síkot, amelyhez mindhárom pont illeszkedik. Ha az A pont nem illeszkedik az e egyeneshez, jelölje e,a azt a síkot, amely tartalmazza az A pontot és az e egyenest. Ha a g, h (g h) egyeneseknek van egy közös eleme, akkor a két egyenest metszőnek, a közös elemet pedig g és h metszéspontjának mondjuk. Azt a síkot, amely tartalmazza a g, h metsző egyeneseket g, h fogja jelölni. Ha egy síknak és egy egyenesnek egyetlen közös pontja van, akkor azt mondjuk, hogy az egyenes metszi a síkot, illetve a sík metszi az egyenest. A közös pontot ez esetben a két térelem metszéspontjának nevezzük. Ha valamely α, β (α β) síkoknak van közös pontjuk, akkor a két síkot metszőnek mondjuk. Amennyiben van egy közös pont, akkor az illeszkedési axiómákból azonnal következik, hogy α β metszet egy egyenes, melyet a két sík metszésvonalának mondunk. A távolságfüggvénnyel kapcsolatos axióma Állapodjunk meg abban, hogy amennyiben kimondunk egy axiómát, akkor a továbbiakban már feltesszük annak teljesülését. A szokásoknak megfelelően a valós számok halmazát R fogja jelölni. Tekintsük a tér összes pontjainak X halmazát és ezen halmaz önmagával vett Descartes szorzatát, vagyis az X X = { (A,B) A, B X } halmazt. A szakasz és a félegyenes fogalma a következő axiómán alapul. (BVA) Adva van egy olyan d : X X R valós függvény, amelyre teljesül az alábbi feltétel: Tetszőleges g egyenes esetén meg lehet adni egy olyan ξ : g R bijekciót, ahol bármely a g hez illeszkedő A, B pontokra fennáll a ξ(a) ξ(b) = d(a,b) összefüggés. Megjegyzés. A (BVA) kijelentést, amelynek alkalmazását G. D. Birkhoff amerikai matematikus javasolta, a Birkhoff féle vonalzó axiómának szokás mondani. A (BVA) axiómában szereplő feltételt a továbbiakban, mint vonalzó feltételt, fogjuk említeni. A ξ bijektív leképezést a g egyenes egyik koordinátázásának mondjuk. 2

Mint ismeretes, egy leképezést akkor mondunk bijekciónak, ha az kölcsönösen egyértelmű és szürjektív. A fentiek szerint egy tetszőleges g egyenes pontjai és az R valós számtest elemei között egy olyan bijektív megfeleltetés létesíthető, amely eleget tesz az úgynevezett vonalzó feltételnek. Megjegyzés. A (BVA) axiómából következik, hogy a tér bármely egyeneséhez és bármely síkjához végtelen sok pont illeszkedik. Megjegyzés. Vegyük a (BVA) axiómával megadott d függvényt és egy c pozitív valós számot. Tekintsük most azt a ˆd : X X R leképezést, ahol tetszőleges A, B pontokra fennáll ˆd(A,B) = c d(a,b). Könnyű belátni, hogy ekkor a ˆd függvényre is teljesül az előző axiómában szereplő vonalzó feltétel. Ez a tény arra utal, hogy amennyiben a d függvény helyett annak egy pozitív számszorosát alkalmaznánk, azzal is fel lehetne építeni egy geometriai elméletet. A továbbiakban a (BVA) axiómával megadott d : X X R függvényt a téren vett távolságfüggvénynek mondjuk. A (BVA) axiómában szereplő vonalzó feltételből adódik, hogy bármely A, B X pontokra fennállnak a d(a,b) 0 és d(a,b) = d(b,a) összefüggések. Az axiómából következik az is, hogy a d(a,b) = 0 egyenlőség pontosan akkor teljesül, ha A = B. 1.1. Definíció. A tér valamely A, B pontjainak távolságán a d(a, B) nemnegatív számot értjük. Két pont elválasztása egy harmadik ponttal 1.2. Definíció. Legyenek adva az A, B és C pontok. Azt mondjuk, hogy a C pont az A és a B pontok között van, ha A, B és C egyazon egyenes különböző pontjai, továbbá fennáll a d(a, C) + d(c, B) = d(a, B) összefüggés. Ez esetben azt is mondjuk, hogy a C pont elválasztja egymástól az A, B pontokat. Megjegyzés. Amennyiben a C pont nincs az A és B pontok között, akkor azt mondjuk, hogy a C pont nem elválasztja el az A, B pontokat. Nyilvánvaló a (BVA) axióma következtében, hogy egy egyenes három pontja közül pontosan egy van a másik kettő között. A szakasz és a félegyenes értelmezése Emlékezzünk rá, hogy az A, B pontokon áthaladó egyenest az A, B szimbólummal jelöljük. 1.3. Definíció. Legyenek A és B különböző pontok. Az A és B végpontokkal meghatározott AB szakaszon azt az alakzatot értjük, amelyet az A, B pontok és az A, B egyenes azon pontjai alkotnak, amelyek A és B között vannak. Megjegyzés. A fenti definíció szerint az AB szakaszt a két végponton kívül az A, B egyenes azon pontjai alkotják, amelyek elválasztják az A, B pontokat. A definíciót kimondhattuk volna úgy is, hogy az A és B végpontokkal meghatározott szakaszon az AB = { P A,B P elválasztja az A, B pontokat } {A, B } formulával leírt alakzatot értjük. 3

Megjegyzés. Evidens, hogy bármely A, B X pontok esetén fennáll AB = BA. Az A, B pontokat az AB szakasz határpontjainak is mondjuk. Az AB szakasznak a határpontoktól különböző pontjait a szakasz belső pontjainak nevezzük. Megjegyzés. Amennyiben a két végpont megegyezik (azaz fennáll A = B), akkor a fenti definícióval nyert AA = {A} alakzatot pontszakasznak mondjuk. A pontszakasznak nincs belső pontja. 1.4. Definíció. Az AB szakasz hosszán a d(a, B) pozitív számot (azaz a végpontok távolságát) értjük. Megjegyzés. A továbbiakban az AB szakasz hosszát d(a, B) mellett AB vel is jelölni fogjuk. 1.5. Definíció. Legyenek adva az egymástól különböző A, B pontok. Az A kezdőpontú és a B pontot tartalmazó [A,B félegyenesen azt az alakzatot értjük, amelyet az A,B egyenes azon pontjai alkotnak, amelyeket az A pont nem választ el a B ponttól. Megjegyzés. A fenti definíció szerint az A kezdőpontú és a B t tartalmazó félegyenesen az [A,B = { P A,B A nem választja el a B, P pontokat } alakzatot értjük. Megjegyzés. A (BVA) axióma felhasználásával könnyen belátható, hogy igaz az alábbi két kijelentés. Amennyiben az A egy tetszőleges pontja a g egyenesnek, akkor pontosan két olyan A kezdőpontú félegyenes van, melyeket g tartalmaz. A két félegyenes uniója (vagy más szóval egyesítése) a g egyenes, metszetük pedig az A pont. Legyenek adva az A és B különböző pontok, továbbá legyen adott egy λ nemnegatív valós szám. Ez esetben az [A,B félegyenesnek egy és csakis egy olyan P pontja van, amelyre fennáll d(a, P) = λ. A Pasch féle rendezési axióma A továbbiakban a félsík és a félegyenes fogalmát szeretnénk matematikai szabatossággal leírni. Ehhez azonban szükségünk lesz egy rendezési axiómára, amely a háromszögvonalakkal kapcsolatos. 1.6. Definíció. Legyen adva három nem kollineáris pont A, B és C. Az AB, BC és CA szakaszok uniójaként nyert alakzatot az A, B, C csúcspontokkal meghatározott háromszögvonalnak (vagy rövidebben csak háromszögnek) nevezzük. Megjegyzés. Egyelőre csak a háromszögvonal fogalmát vezettük be, mint a három csúcspont által meghatározott három szakasz unióját. Az A, B, C csúcsokkal meghatározott háromszögvonalat a továbbiakban ABC jelöli. Az AB, BC, CA szakaszokat a háromszög oldalainak mondjuk. Az A, B, C pontokat egyaránt tartalmazó síkot a háromszög síkjának, az a = B, C, b = C, A és c = A, B egyeneseket pedig a háromszög oldalegyeneseinek nevezzük. Amennyiben egy egyenesnek és egy szakasznak egyetlen közös pontja van, akkor azt mondjuk, hogy az egyenes metszi a szakaszt. Az alábbi axiómát a Pasch féle rendezési axiómának szokás nevezni. 4

(PRA) Ha adott egy háromszögvonal és annak síkjában egy egyenes, amely nem megy át a háromszög egyik csúcspontján sem és metszi a háromszögvonal egyik oldalát, akkor az egyenes metszi a háromszögvonal még egy oldalát. Két pont elválasztása egyenessel és síkkal 1.7. Definíció. Legyenek adva az A, B pontok és egy e egyenes. Azt mondjuk, hogy az e egyenes elválasztja az A, B pontokat, ha az e egy belső pontjában metszi az AB szakaszt. 1.8. Definíció. Legyen adott egy e egyenes és egy arra nem illeszkedő A pont. Az e t és az A t tartalmazó síkot jelölje σ. Az e egyenessel határolt és az A pontot tartalmazó félsíkon az [e,a = {P σ e nem választja el az A, P pontokat } alakzatot értjük. Megjegyzés. A fenti definíció szerint az [e,a félsíkot a σ = e,a sík azon pontjai alkotják, amelyeket az e egyenes nem választ el az A ponttól. Nyilvánvaló, hogy az [e,a félsík az A pont mellett az e határegyenest is tartalmazza. Ha a félsíkból kivonjuk (más szóval elhagyjuk) annak határegyenesét, akkor az így nyert ponthalmazt nyílt félsíknak mondjuk. Megjegyzés. Tekintsünk egy σ síkot és abban egy e egyenest. A (PRA) axiómából következik, hogy pontosan két olyan félsík van, amelyeket a σ tartalmaz és amelyeknek e a határegyenese. Ezen két félsíknak az uniója a σ sík, metszetük pedig az e egyenes. Amennyiben egy síknak és egy szakasznak egyetlen közös pontja van, akkor azt mondjuk, hogy a sík metszi a szakaszt. 1.9. Definíció. Azt mondjuk, hogy a σ sík elválasztja az A, B (A, B X) pontokat, ha a σ sík egy belső pontjában metszi az AB szakaszt. 1.10. Definíció. Legyen adott egy σ sík és egy arra nem illeszkedő A pont. A σ síkkal határolt és az A pontot tartalmazó féltéren a alakzatot értjük. [σ,a = {P X σ nem választja el az A, P pontokat } Megjegyzés. Tekintsünk a térben egy σ síkot. A (PRA) axiómát felhasználva igazolni lehet, hogy pontosan két olyan féltér van, amelyeknek σ a határsíkja. Ezen félterek uniója az X tér, a metszetük pedig azonos a σ síkkal. A szögtartomány értelmezése A konvex szögtartomány értelmezése előtt célszerű megadnunk a konvex alakzat fogalmát. 1.11. Definíció. Egy A ponthalmazt konvexnek mondunk, ha teszőleges P, Q A pontok esetén a PQ szakasz benne van az A alakzatban (vagyis PQ A teljesül). Megjegyzés. A fenti definíció szerint egy alakzat akkor konvex, ha tartalmazza bármely két pontjának az összekötő szakaszát. 5

Az üres halmaz egy konvex alakzat, mivel teljesül rá a definícióban szereplő feltétel. A szakaszok, a félegyenesek, a félsíkok és a félterek egyaránt konvex alakzatok. Könnyen igazolni lehet az alábbi kijelentést, amely konvex ponthalmazok metszetére (más szóval közös részére) vonatkozik. 1.1. Állítás. Konvex alakzatoknak a metszete is egy konvex alakzat. 1.12. Definíció. Két közös kezdőpontú félegyenes unióját szögvonalnak mondjuk. Legyenek adva az O, A, B (O A, O B) pontok, és tekintsük az AOB = [O,A [O,B szögvonalat. Az [O,A és [O,B félegyeneseket ezen szögvonal szárainak, az O pontot pedig a szögvonal csúcspontjának nevezzük. Megjegyzés. Amennyiben az O, A, B pontok nem kollineárisak, akkor azt mondjuk, hogy az AOB szögvonal nem elfajuló. Ekkor az O, A, B pontokhoz egyaránt illeszkedő síkot a szögvonal síkjának nevezzük. Az AOB szögvonalat elfajulónak mondjuk, ha az O, A, B pontok kollineárisak. Az elfajuló szögvonalat egyenesszögnek nevezzük, ha az O pont az A, B pontok között van. Amennyiben fennáll [O,A = [O,B, akkor a szögvonalat szárszögnek (vagy nullszögnek) mondjuk. Vegyük észre, hogy az 1.1. Állítás szerint két félsík metszete minden esetben egy konvex alakzat. 1.13. Definíció. Legyen adva az O, A, B nem kollineáris pontokkal meghatározott AOB szögvonal. Tekintsük a szárakat tartalmazó a = O,A és b = O,B egyeneseket. Az [a,b és [b,a félsíkok metszetét a szögvonalhoz tartozó konvex szögtartománynak (vagy rövidebben szögnek) nevezzük. Az AOB szögvonalhoz tartozó konvex szögtartományt az AOB szimbólummal jelöljük. 1.14. Definíció. Legyen adva egy nem elfajuló AOB szögvonal. Legyenek A x és B x a száregyenesek olyan pontjai, melyeket az O csúcs elválaszt az A, B pontoktól. Az [a,b x és [b,a x félsíkok unióját az AOB szögvonalhoz tartozó konkáv szögtartománynak mondjuk. Megjegyzés. Nyilvánvaló, hogy a nem elfajuló szögvonalhoz tartozó két szögtartomány uniója megegyezik a szögvonal síkjával, metszetük pedig azonos a szögvonallal. A szögtartománynak a szárak által nem tartalmazott pontjait a szögtartomány belső pontjainak mondjuk. Megjegyzés. Amennyiben az AOB szögvonal egy egyenesszög, akkor bármely az A, B egyenessel határolt félsíkot tekinthetjük az AOB szögvonalhoz tartozó szögtartománynak. A háromszöglemez Korábban már értelmezük, hogy mit értünk háromszögvonalon. Az alábbiak során megadjuk a háromszöglemez fogalmát. 1.15. Definíció. Legyen adott három nem kollineáris pont A, B és C. Tekintsük az A, B, C csúcspontokkal meghatározott háromszögvonal a = B,C, b = C,A 6

és c = A,B oldalegyeneseit. Az [a,a, [b,b és [c,c félsíkok metszetét az A, B, C csúcsokkal meghatározott háromszöglemeznek (vagy rövidebben háromszögnek) mondjuk. Ezen háromszöglemezt ABC fogja jelölni. Az ABC háromszöglemez A, B, C csúcsokhoz tartozó szögein a CAB, ABC és BCA szögeket értjük. Megjegyzés. Az egyszerűség és a könnyebb megértés kedvéért az ABC háromszög CAB, ABC és BCA szögeit a továbbiakban az α, β és γ szimbólumokkal is fogjuk jelölni. Ezt követően az a, b és c latin kisbetűk nem az oldalegyeneseket, hanem a háromszög oldalainak hosszát fogják jelölni. Ezek szerint fennáll a = BC, b = CA és c = AB. 1. ábra. A háromszög geometriai adatai. Az egybevágósági transzformációk 1.16. Definíció. Térbeli egybevágósági transzformáción (vagy rövidebben egybevágóságon) egy olyan ϕ : X X bijektív leképezést értünk, amelynél tetszőleges A, B X pontokra fennáll a d(a, B) = d(ϕ(a), ϕ(b)) összefüggés és amely egyenest egyenesbe képez. Megjegyzés. Az egybevágósági transzformáció tehát egy olyan bijekció, amely megőrzi a pontok távolságát (más szóval távolságtartó) és egyenest egyenesbe képez. Egybevágóságra legegyszerűbb példa az ún. identikus leképezés, amely a tér összes pontját fixen hagyja. Ezt a továbbiakban id fogja jelölni. Megjegyzés. Legyen adva egy ϕ : X X egybevágóság. Mivel ϕ egy bijektív leképezés, vehetjük ϕ nek az inverz leképezését, amelyet ϕ 1 jelöl. Vegyük észre, hogy ϕ 1 is egy egybevágósági transzformáció. A térbeli zászló fogalma 1.17. Definíció. Tekintsünk egy félteret, annak határsíkjában egy félsíkot és a félsík határegyenesén egy félegyenest. Ekkor a félegyenes, a félsík és a féltér által képzett alakzat hármast egy térbeli zászlónak mondjuk. Megjegyzés. A fenti definíció szerint a térbeli zászló egy félegyenesből, egy félsíkból és egy féltérből álló hármas, ahol a félegyenest tartalmazó egyenes azonos a félsík határegyenesével, és a félsíkot tartalmazó sík megegyezik a féltér határsíkjával. 7

A félegyenest a zászló rúdjának, a félsíkot pedig a zászló lapjának szokás nevezni. Megjegyzés. Legyenek adva az A, B, C, D pontok, amelyek nem komplanárisak. Ez a pontnégyes az alábbiak szerint meghatároz egy térbeli zászlót, melyet Z(A, B, C, D) fog jelölni. Vegyük az e = A,B egyenest, továbbá a σ = A,B,C síkot. Tekintsük az [A,B félegyenes, az [e,c félsík és a [σ,d féltér által alkotott zászlót. Az A, B, C, D pontnégyeshez rendeljük hozzá ezt a Z(A,B,C,D) térbeli zászlót. Célszerű talán megjegyezni, hogy fennáll Z(A, B, C, D) = ([A, B, [e, C, [σ, D ). Megjegyzés. Könnyű belátni, hogy egy egybevágósági transzformáció félegyenest félegyenesbe, szakaszt szakaszba és síkot síkba képez. Ugyancsak evidens, hogy egy egybevágóság félsíkot félsíkba és félteret féltérbe visz. Ily módon azt nyerjük, hogy az egybevágósági transzformáció zászlót zászlóba képez. Az egybevágósági axióma A továbbiakban feltesszük, hogy teljesül az alábbi alapigazság is, melyet egybevágósági axiómának nevezünk. (EA) Ha adva van két térbeli zászló, akkor egyértelműen létezik egy olyan egybevágósági transzformáció, amely az első térbeli zászlót a második zászlóba viszi. Megjegyzés. A fenti (EA) axióma azt mondja ki, hogy ha adva vannak a Z 1, Z 2 térbeli zászlók, akkor pontosan egy olyan ϕ : X X egybevágóság létezik, amelyre igaz ϕ(z 1 ) = Z 2. Megjegyzés. Az axiómából már következik, hogy amennyiben egy egybevágóságnál van olyan zászló, amelynek a képe önmaga, akkor a tekintett egybevágóság megegyezik az id identikus leképezéssel. Megjegyzés. Legyenek adva a ϕ 1, ϕ 2 egybevágósági transzformációk. A szokásoknak megfelelően ϕ 2 ϕ 1 fogja jelölni azt a leképezést, amelyet a két egybevágóság egymás után történő végrehajtásával (vagyis azok szorzataként) nyerünk. Nyilvánvaló, hogy a ϕ 2 ϕ 1 szorzat leképezés is egy egybevágóság. A centrális tükrözés 1.18. Definíció. Legyen adva a térben egy O pont. A térnek az O pontra történő tükrözésén azt a τ : X X leképezést értjük, ahol fennáll τ(o) = O és egy O tól különböző P pont τ(p) képét az alábbi feltételek határozzák meg. (1) A P, O, τ(p) pontok kollineárisak és fennáll d(o, P) = d(o, τ(p)). (2) Az O pont a P és τ(p) pontok között van. Megjegyzés. Az eőző definícióban leírt τ leképezést szokás nevezni centrális tükrözésnek is. Ekkor az O pontot mondjuk a tükrözés centrumának. Megjegyzés. Egy adott AB szakasz azon F pontját, amelyre AF = FB teljesül, a szakasz felezőpontjának mondjuk. Az 1.18. Definícióban szereplő két feltétel egyenértékű azzal, hogy a pontra tükrözés O centruma felezőpontja a Pτ(P) szakasznak tetszőleges P X pont esetén. 8

Az alábbiak során azt fogjuk bizonyítani, hogy a centrális tükrözés egy egybevágóság. 1.2. Állítás. Legyenek adva a térben az O, B, C, D nem komplanáris pontok. Vegyük azon B x, C x és D x pontokat, amelyekre teljesül, hogy az O felezőpontja a BB x, CC x és DD x szakaszoknak. Ez esetben azon egybevágósági transzformáció, amely a Z(O,B,C,D) zászlót a Z(O,B x,c x,d x ) zászlóba viszi, megyegyezik az O pontra történő tükrözéssel. Tekintsük az e = O,B egyenest és az O, B, C pontokhoz illeszkedő σ síkot. Jelölje ϕ azt az egybevágóságot, amely a Z(O,B,C,D) zászlót a Z(O,B x,c x,d x ) zászlóba viszi. Ily módon ϕ re fennáll ϕ([o,b ) = [O,B x, ϕ([e,c ) = [e,c x és ϕ([σ,d ) = [σ,d x. Nem nehéz belátni, hogy mivel a ϕ egy bijektív leképezés, ϕ nek az O pont az egyedüli fixpontja. Az egybevágóság egyenestartó tulajdonságát felhasználva könnyű igazolni, hogy ϕ(e) = e és ϕ(σ) = σ teljesül. Ez alapján pedig azt kapjuk, hogy fennáll ϕ([o,b x ) = [O,B, ϕ([e,c x ) = [e,c és ϕ([σ,d x ) = [σ,d. Ebből az következik, hogy a ϕ kétszeri végrehajtásával kapott ϕ ϕ egybevágóság a Z(O, B, C, D) zászlót önmagába viszi. Ily módon ϕ ϕ megegyezik az id identikus leképezéssel. Vegyünk a térben egy az O tól különböző P pontot és annak a ϕ egybevágóság szerinti P = ϕ(p) képét. Mivel igaz ϕ ϕ = id, így fennáll ϕ(p ) = P. Ezek szerint ϕ felcseréli a PP szakasz végpontjait. Ebből viszont az következik, hogy a ϕ fixen hagyja a PP szakasz felezőpontját. Mivel ϕ nek az O pont az egyedüli fixpontja, az O pont felezi a PP szakaszt. Ily módon beláttuk, hogy a P = ϕ(p) pont azonos P nek az O ra vonatkozó tükörképével. Ez viszont azt eredményezi, hogy a ϕ egybevágóság megyegyezik az O pontra történő tükrözéssel. A fenti állítás szerint igaz az alábbi kijelentés. 1.1. Következmény. A pontra tükrözés egy egybevágósági transzformáció. Az ekvivalenciareláció Tekintsünk egy nemüres H halmazt és annak az önmagával vett H H = { (a,b) a, b H } Descartes szorzatát. A H halmazon vett reláción ezen H H szorzatnak egy R részhalmazát értjük. Tegyük fel, hogy adva van a H halmazon egy R reláció. Ez esetben azt mondjuk, hogy R szerint az a elem relációban van a b elemmel, amennyiben fennáll (a,b) R. Ezt a kapcsolatot a két elem között az a R b kifejezéssel jelöljük. 1.19. Definíció. Legyen adva egy R reláció egy H halmazon. Az R et ekvivalenciarelációnak mondjuk, ha teljesül az alábbi három feltétel: (1) Tetszőleges a H elem esetén igaz (a, a) R. (2) Ha valamely a, b H elemekkel fennáll (a, b) R, akkor (b, a) R. (3) Amennyiben valamely a, b, c H elemekre igaz (a,b) R és (b,c) R, akkor (a,c) R is teljesül. Megjegyzés. A fenti definícióban szereplő három feltétel szerint az R ekvivalenciareláció egy olyan kapcsolatot hoz létre a H elemei között, amely reflexív, szimmetrikus és tranzitív. Megjegyzés. Egy adott halmaz diszjunkt részhalmazokra való felbontását osztályozásnak szokták nevezni. 9

Legyen adva egy H halmazon egy R ekvivalenciareláció. Ekkor az a elem által reprezentált R szerinti ekvivalenciaosztályon a H halmaz R(a) = {b H (a,b) R } részhalmazát értjük. Könnyű belátni, hogy a H halmaz bármely eleme pontosan egy ekvivalencia osztályhoz tartozik. Ily módon az R meghatározza a H halmaznak egy felbontását diszjunkt részhalmazokra. Az alakzatok egybevágósága 1.20. Definíció. Legyenek adva a térbeli A, B alakzatok. Ezeket egymással egybevágóknak mondjuk, ha van olyan ϕ egybevágósági transzformáció, amelyre fennáll ϕ(a) = B. Megjegyzés. Amennyiben az A, B alakzatok egybevágóak, azaz van olyan egybevágóság, amely az A t a B be képezi, akkor ezt a kapcsolatot (más szóval relációt) az A B kifejezéssel fogjuk jelölni. Nem nehéz belátni, hogy az egybevágóság egy ekvivalenciarelációt ad a térbeli alakzatok halmazán. Megjegyzés. Nyilvánvaló az (EA) axióma alapján, hogy bármely két egyenes és bármely két sík egymással egybevágó alakzatok. Két szakasz pedig pontosan akkor egybevágó, ha a hosszaik egyenlőek. A szögtartományok összehasonlítása Számunkra igen fontosak a konvex szögek egybevágóságával kapcsolatos összefüggések. Jelölje most H az összes szögtartomány halmazát. Mivel az egybevágóság egy ekvivalenciarelációt ad a szögek halmazán, így egy osztályozást kapunk ezen a H halmazon. Amennyiben két szögtartomány egybevágó egymással, akkor az egyszerűség kedvéért azokat egymással egyenlőeknek is mondjuk. Valamely A 1 O 1 B 1 és A 2 O 2 B 2 konvex szögek egybevágóságát az A 1 O 1 B 1 A 2 O 2 B 2 kifejezés helyett inkább az A 1 O 1 B 1 = A 2 O 2 B 2 alakban jelöljük. Az (EA) egybevágósági axióma alapján igazolni lehet a következő kijelentést. Ha adva van két (egymástól különböző) konvex szög, amelyek csúcsa azonos és az egyik szög tartalmazza a másikat, akkor a két szög nem lehet egybevágó. Az alábbi állítás azt mondja ki, hogy egy konvex szöget egyértelműen lehet felmérni egy félsíkra, ha a félsík határegyenesén már adva van az egyik szögszár. 1.3. Állítás. Legyen adva egy AOB konvex szög, továbbá egy félsík és annak határán egy [Q, P félegyenes. Ekkor a félsíkban pontosan egy olyan szög van, amely egybevágó az AOB szöggel és amelynek egyik szára megegyezik a [Q,P félegyenessel. A fenti állítás alapján már lehetőség van két egymással nem egybevágó (vagy más szóval nem egyenlő) konvex szög összehasonlítására is. 1.21. Definíció. Legyen adva két szög A 1 O 1 B 1 és A 2 O 2 B 2, amelyek nem egybevágóak. Tekintsük az a 1 = O 1,A 1 egyenest, továbbá az [a 1,B 1 félsíkban azt az [O 1,C 1 félegyenest, amelyre igaz az, hogy az A 1 O 1 C 1 szög egybevágó az A 2 O 2 B 2 szöggel. Azt mondjuk, hogy az A 1 O 1 B 1 szög nagyobb az A 2 O 2 B 2 szögnél, ha az A 1 O 1 B 1 szögtartomány tartalmazza az A 1 O 1 C 1 szöget. 10

2. ábra. Szög felmérése adott szárhoz egy félsíkban. Ellenkező esetben, amikor az A 1 O 1 C 1 szögtartomány tartalmazza az A 1 O 1 B 1 szöget, azt mondjuk, hogy az A 1 O 1 B 1 szög kisebb az A 2 O 2 B 2 szögnél. A derékszög értelmezése 1.22. Definíció. Legyen adott egy AOB konvex szög. A szárakat tartalmazó egyeneseken vegyünk olyan A x és B x pontokat, amelyeknél az O csúcspont elválasztja az A pontot az A x ponttól és a B pontot a B x ponttól. Ez esetben az AOB x és BOA x szögeket az AOB mellékszögeinek mondjuk. Megjegyzés. Mivel a centrális tükrözés egy egybevágósági transzformáció, bármely konvex szög mellékszögei egybevágóak egymással. Felvetődik a kérdés, hogy van e olyan szög, amely egyenlő a mellékszögeivel. Erre ad választ az alábbi állítás. 1.4. Állítás. Legyen adott egy félsík és annak határán egy [O, A félegyenes. A félsíkban pontosan egy olyan konvex szög van, amelynek egyik szára megegyezik az [O,A félegyenessel és amely egybevágó a mellékszögeivel. Vegyük az e = O,A egyenest és azon egy olyan B pontot, amelyet az O pont elválaszt az A tól. Legyen C egy olyan pontja az adott félsíknak, amely nincs rajta az e n, és válasszunk a térben egy D pontot, amely nem illeszkedik a σ = e,c síkra. Tekintsük a Z(O,A,C,D) és Z(O,B,C,D) térbeli zászlókat. Az (EA) axióma szerint egyértelműen létezik egy olyan τ : X X egybevágóság, amely az első zászlót a másodikba viszi. Vegyük észre, hogy a τ τ egybevágóság, amelyet a τ kétszeri végrehajtásával nyerünk, a Z(O,A,C,D) zászlót önmagába képezi. Ily módon fennáll τ τ = id. Ennek következtében az E = τ(c) pontra igaz τ(e) = C. Mivel τ önmagába képezi a CE szakaszt, ezen szakasz F felezőpontja fixpontja τ nak, vagyis τ(f) = F. Az O,F egyenesnek tehát van két olyan pontja, amelyet τ fixen hagy. Ebből pedig adódik, hogy τ az O,F egyenes összes pontját fixen hagyja. Tekintsük az AOF, BOF konvex szögeket. A τ egybevágósági transzformáció az [O,A, [O,B félegyeneseket felcseréli és fixen hagyja az [O,F félegyenest. A τ egybevágóság eszerint az AOF szöget a BOF szögbe képezi. Ily módon azt kaptuk, hogy az AOF szög egybevágó a BOF mellékszöggel. 11

1.23. Definíció. Egy konvex szöget derékszögnek nevezünk, ha az egybevágó (vagy más szóval egyenlő) a mellékszögeivel. Megjegyzés. Könnyű belátni, hogy bármely két derékszög egybevágó egymással. A továbbiakban a derékszögnél kisebb konvex szöget hegyesszögnek, a derékszögnél nagyobb konvex szöget pedig tompaszögnek nevezzük. A háromszögek egybevágóságával kapcsolatos alapvető összefüggések Mint abban megállapodtunk, egy ABC háromszög esetében az a = BC, b = CA, c = AB jelölik az oldalak hosszait és α, β, γ a háromszög szögeit. Legyenek adva az A 1 B 1 C 1 és A 2 B 2 C 2 háromszögek. Ha van olyan ϕ egybevágóság, amelyre fennáll ϕ(a 1 ) = A 2, ϕ(b 1 ) = B 2 és ϕ(c 1 ) = C 2, akkor evidens, hogy ϕ az első háromszöget a másodikba viszi, tehát a két háromszög egybevágó. Ez esetben a háromszögek megfelelő oldalai és szögei páronként egyenlőek, tehát teljesül a 1 = a 2, b 1 = b 2, c 1 = c 2 és α 1 = α 1, β 1 = β 2, γ 1 = γ 2. A következő tétel arra mutat rá, hogy bizonyos esetekben a két háromszög egybevágóságához már három geometriai adat megegyezése is elegendő. 1.1. Tétel. Legyen adott két háromszög A 1 B 1 C 1 és A 2 B 2 C 2. Létezik olyan egybevágóság, amely az A 1 pontot A 2 be, a B 1 pontot B 2 be és a C 1 pontot C 2 be viszi, amennyiben az alábbi két feltételrendszer közül legalább az egyik teljesül: (1) A 1 B 1 = A 2 B 2, A 1 C 1 = A 2 C 2 és α 1 = α 2. (2) A 1 B 1 = A 2 B 2, α 1 = α 2 és β 1 = β 2. Az A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2 háromszögeket tartalmazó síkokat jelölje σ 1 és σ 2. Vegyünk olyan D 1, D 2 pontokat, amelyek nincsenek rajta a σ 1, σ 2 síkokon. Tekintsük azt a ϕ : X X egybevágóságot, amely a Z(A 1,B 1,C 1,D 1 ) térbeli zászlót a Z(A 2,B 2,C 2,D 2 ) zászlóba viszi. (1) Tegyük fel, hogy fennáll A 1 B 1 = A 2 B 2, A 1 C 1 = A 2 C 2 és α 1 = α 2. Mivel igaz ϕ([a 1,B 1 ) = [A 2,B 2, azonnal adódik, hogy ϕ(a 1 ) = A 2 és ϕ(b 1 ) = B 2 teljesül. A ϕ([ A 1,B 1,C 1 ) = [ A 2,B 2,C 2 és α 1 = α 2 egyenlőségekből pedig az 1.3. Állítás alapján következik, hogy igaz ϕ([a 1,C 1 ) = [A 2,C 2. Figyelembe véve, hogy ϕ megőrzi a pontok távolságát, ebből már adódik a ϕ(c 1 ) = C 2 összefüggés. (2) Tegyük fel most azt, hogy teljesül A 1 B 1 = A 2 B 2, α 1 = α 2 és β 1 = β 2. Ekkor a fenti ϕ egybevágóságnál igaz ϕ(a 1 ) = A 2 és ϕ(b 1 ) = B 2. Az 1.3. Állításból következik, hogy ϕ az [A 1,C 1, [B 1,C 1 félegyeneseket az [A 2,C 2, [B 2,C 2 félegyenesekbe képezi. Ily módon az [A 1,C 1, [B 1,C 1 félegyenesek C 1 metszéspontjának ϕ szerinti képe megegyezik a másik két félegyenes metszéspontjával, vagyis fennáll ϕ(c 1 ) = C 2. Állapodjunk meg a következőben. A későbbiek során az A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 kifejezés nemcsak azt jelenti, hogy a két háromszög egybevágó, hanem egyúttal azt is, hogy van olyan ϕ egybevágósági transzformáció, amellyel fennáll ϕ(a 1 ) = A 2, ϕ(b 1 ) = B 2 és ϕ(c 1 ) = C 2. Egy háromszöget egyenlő szárúnak mondunk, ha van két olyan oldala, amelyek egyenlő hosszúságúak. 12

1.5. Állítás. Egy ABC háromszögben fennáll a = b akkor és csak akkor, ha igaz α = β. Tekintsünk egy ABC háromszöget. Az 1.1. Tételt felhasználva nem nehéz belátni, hogy amennyiben a háromszögben fennáll CB = CA vagy α = β, akkor mindkét esetben van olyan ϕ egybevágóság, amely fixen hagyja a C pontot felcseréli az A, B csúcspontokat, vagyis a ϕ vel fennáll ϕ(a) = B és ϕ(b) = A. Ebből pedig már adódik, hogy amennyiben az a = b, α = β egyenlőségek közül az egyik teljesül, akkor teljesül a másik is. A szögtartomány mértéke 1.24. Definíció. Legyen adva egy AOB szögtartomány és annak egy C belső pontja. Az [O, C félegyenest az AOB szögfelezőjének mondjuk, ha az AOC és COB szögek egybevágóak (vagy más szóval egyenlőek). Ha az [O,C félegyenes felezi az AOB szöget, akkor a konvex AOC, COB szögeket egyaránt az AOB szög felének mondjuk. 1.6. Állítás. Tetszőleges konvex szögnek pontosan egy szögfelezője van. Tekintsünk egy konvex szöget, amelynek csúcsát jelölje O. A szög szárain vegyünk fel egy A és egy B pontot oly módon, hogy azok O tól egyazon távolságra legyenek. Az OA = OB egyenlőség miatt az 1.5. Állítás szerint fennáll OBA = OAB. Legyen F az AB szakasz felezőpontja, tehát a szakasz azon pontja, amelyre igaz AF = BF. Vegyük észre, hogy az AOF és BOF háromszögekre teljesül az 1.1. Tételben szereplő (1) feltétel rendszer. Ily módon azt kapjuk, hogy az AOF és AOF háromszögek egybevágóak, tehát az AOF és BOF szögek egyenlőek. Ebből következik, hogy az [O,F félegyenes felezi az AOB szöget. 3. ábra. A szögfelező konstrukciója. Hátramaradt még annak igazolása, hogy csak egy szögfelező van. Tegyük fel, hogy az [O, C félegyenes szögfelezője az AOB szögnek. Az [O, C félegyenes messe el az AB szakaszt az F pontban. Az egyértelműséghez csak azt kell belátnunk, hogy ez az F metszéspont felezi az AB szakaszt. 13

Mivel fennáll OA = OB, AOF = BOF és OAF = OBF, így az OAF és OBF háromszögekre teljesül az 1.1. Tétel (2) feltétel rendszere. Ebből következik, hogy van olyan ϕ egybevágóság, amely fixen hagyja az O, F pontokat és az A pontot a B be viszi. ϕ megőrzi a pontok távolságát, ezért fennáll FA = FB, vagyis F felezőpontja az AB szakasznak. A szögfelező egyértelmű létezése is felhasználásra kerül az alábbi alapvető tétel igazolásában. A hosszadalmas bizonyítást itt nem közöljük. 1.2. Tétel. Legyen H az összes szögtartomány halmaza. A H halmazon egyértelműen létezik egy olyan µ : H R függvény, amelyre teljesülnek az alábbi feltételek: (1) Tetszőleges S H ra igaz µ(s) 0. (2) Ha S 1 és S 2 egymással egybevágó szögek, akkor fennáll µ(s 1 ) = µ(s 2 ). (3) Amennyiben az S szöget egy a csúcspontjából kiinduló, az S által tartalmazott félegyenessel felbontjuk az S 1 és S 2 szögtartományokra, akkor fennáll µ(s) = µ(s 1 ) + µ(s 2 ). (4) Ha az S szögtartomány egy derékszög, akkor µ(s) = 90. 1.25. Definíció. Tetszőleges S szög esetén a µ(s) számot az S szög mértékének mondjuk. Megjegyzés. Tekintsünk két olyan szöget, amelyek nem egybevágóak. Az 1.2. Tételben szereplő feltételekből adódik, hogy ekkor a nagyobb szög mértéke nagyobb a másik szög mértékénél. A szögek mérésére szolgáló µ függvény normálására a (4) feltétel szolgál. Mivel a derékszögek mértékéül a 90 számot választottuk, azt mondjuk, hogy a szögeket most fokban mérjük. Megjegyzés. Mivel két szög pontosan akkor egybevágó, ha a mértékük egyenlő, a későbbiek során a szögön nemcsak egy konkrét szögtartományt értünk, hanem annak mértékét is. Állapodjunk meg még abban, hogy a továbbiakban az AOB szimbólum nemcsak a konvex szöget, hanem annak a mértékét is jelölni fogja. A háromszögben az oldalak és a szögek összehasonlítása 1.26. Definíció. Egy háromszögnél a csúcsokhoz tartozó szögek mellékszögeit a háromszög külső szögeinek mondjuk. 1.7. Állítás. A háromszög bármely külső szöge nagyobb a háromszög nem mellette fekvő szögeinél. Vegyünk egy ABC háromszöget. Megmutatjuk, hogy az A csúcsnál lévő α szög kisebb a C csúcsnál lévő külső szögeknél. Legyen D egy olyan pont a B,C egyenesen, amelyre igaz az, hogy a C pont a B, D pontok között van. Ekkor az ACD egy külső szög a C csúcsban. Legyen F az AC szakasz felezőpontja. Tekintsük azt a τ centrális tükrözést, amelynek centruma az F pont. Ez a tükrözés felcseréli az A, C pontokat és a B pontot a B = τ(b) pontba viszi. Könnyű belátni, hogy a B pont benne van a ACD szög belsejében. Mivel a τ egy egybevágóság, a CAB szög egyenlő az ACB szöggel. Az ACD külső szög azonban tartalmazza az ACB szöget. Ily módon azt kapjuk, hogy az ACD szög nagyobb a ACB szögnél, tehát nagyobb az α szögnél is. 14

4. ábra. Illusztráció az 1.7. Állítás bizonyításához. Az előbbi állításból azonnal adódik az alábbi eredmény. 1.2. Következmény. Bármely háromszögben legalább két hegyesszög van. A következő állítás azt mondja ki, hogy amennyiben a tekintett háromszög nem egyenlő szárú, akkor a háromszögben a hosszabb oldallal szemközti szög a nagyobb. 1.8. Állítás. Egy ABC háromszögben fennáll a < b akkor és csak akkor, ha igaz α < β. Tegyük fel, hogy az ABC háromszögben teljesül a < b, vagyis BC < AC. A CA oldalon vegyük azt a D vel jelölt pontot, amelyre fennáll CD = CB. Mivel a DBC háromszög egyenlő szárú, az 1.5. Állítás szerint igaz DBC = CDB. A CDB egy külső szöge az ABD háromszögnek, így az A csúcsnál lévő CAB szög kisebb a CDB szögnél, tehát kisebb a DBC szögnél is. Mivel a DBC szöget tartalmazza az ABC szög, azt kaptuk, hogy az α = CAB szög kisebb a β = ABC szögnél. 5. ábra. Illusztráció az 1.8. Állítás bizonyításához. Induljunk most ki abból, hogy az ABC háromszögben az α szög kisebb a β szögnél. Ekkor az 1.5. Állításból adódik, hogy az a, b oldalak nem lehetnek egyenlőek. Ha feltesszük, hogy az a oldalhossz nagyobb a b oldalhossznál, akkor a fentiek szerint fennáll az α > β egyenlőtlenség, ami ellentmond az eredeti feltevésünknek. Ily módon azt kapjuk, hogy ez esetben a < b teljesül. A háromszög egyenlőtlenség igazolása Az alábbi tételben szereplő összefüggést szokás háromszög egyenlőtlenségnek nevezni. 1.3. Tétel. Bármely ABC háromszögben az oldalakra fennáll az a+b > c összefüggés. 15

6. ábra. Illusztráció az 1.3. Tétel bizonyításához. Az ABC háromszög A,C oldalegyenesén vegyük azt a D pontot, amely C től a távolságra van és amelyet a C pont elválaszt A tól. Eszerint igaz AD = a + b. A BDC háromszögben fennáll BC = DC. Ebből következik, hogy a CBD, CDB szögek egyenlőek. Tekintsük most az ABD háromszöget. Evidens, hogy ezen háromszögben a B csúcsnál lévő ABD szög nagyobb a D csúcsnál lévő ADB szögnél. Az előző állítás szerint emiatt az AD oldalhossz nagyobb AB nél. Ily módon azt kaptuk, hogy fennáll az a+b > c egyenlőtlenség. Megjegyzés. A fenti 1.3. Tétel azt mondja ki, hogy egy háromszögben két oldal hosszának az összege nagyobb a harmadik oldal hosszánál. Ennek következtében, ha A, B és C nem kollineáris pontok, akkor igaz az AB+BC > AC összefüggés. Megjegyzés. Vegyük észre, hogy a fentiek szerint a d : X X R távolságfüggvényre vonatkozóan tetszőleges A, B, C pontok esetén fennáll a d(a, B) + d(b, C) d(a, C) egyenlőtlenség. Megjegyzés. Az 1.3. Tételt felhasználva már könnyű belátni, hogy ha egy háromszögben vesszük két oldal hosszának a különbségét, akkor az így nyert szám abszolút értéke kisebb a harmadik oldal hosszánál, tehát teljesül a b < c. A háromszög egyenlőtlenség ismeretében bizonyítani lehet az alábbi kijelentést is. 1.4. Tétel. A tér pontjainak X halmazán legyen adott egy olyan ϕ : X X leképezés, amely távolságtartó, azaz tetszőleges A, B X pontokra fennáll d(a, B) = d(ϕ(a), ϕ(b)). Ekkor ϕ egy egybevágósági transzformáció. Bizonyítás vázlata. A távolságtartásból adódik, hogy a ϕ leképezés kölcsönösen egyértelmű (vagy más szóval injektív). Az 1.3. Tételt alkalmazva igazolható, hogy a ϕ leképezés egyenest egyenesbe képez. Ezek alapján be lehet látni azt is, hogy ϕ egy bijektív leképezés. Ily módon ϕ eleget tesz az 1.16. Definícióban szereplő feltételeknek. Egymásra merőleges egyenesek 1.27. Definíció. Legyenek adva a g és h metsző egyenesek. Az általuk meghatározott síkot a g, h egyenesek felosztják négy olyan konvex szögtartományra, melyek szárai a 16

g, h egyenesekre esnek és közös csúcspontjuk a metszéspont. A két egyenes hajlásszögének mondjuk az így nyert szögek közül azokat (illetve azok mértékét), amelyek derékszögnél nem nagyobbak. 1.28. Definíció. Két metsző egyenesről azt mondjuk, hogy merőlegesek egymásra, ha a hajlásszögük derékszög. Az alábbiak során megmutatjuk, hogy ha egy síkban adva van egy egyenes és egy pont, akkor a síkban pontosan egy olyan egyenes van, amely átmegy az adott ponton és merőleges az adott egyenesre. 1.5. Tétel. Legyen adott egy g egyenes és egy arra nem illeszkedő P pont. Egyetlen olyan egyenes van, amely áthalad a P ponton és derékszögben metszi g t. A merőleges egyenes létezésének igazolása. Legyen σ az a sík, amely tartalmazza g t és a P pontot. Vegyünk a g egyenesen egy A pontot. Tegyük fel, hogy az A,P egyenes nem merőleges g re. Ekkor legyen B egy olyan pontja g nek, amelynél BAP egy hegyesszög. A g által határolt és a P t nem tartalmazó félsíkban, amely benne van σ ban, vegyük azt a szöget, amely egyenlő a BAP szöggel és amelynek egyik szára az [A, B félegyenes. Ezen BAC szögnek az [A, C szárán jelöljük ki azt az R pontot, amelyre fennáll AP = AR. Tekintsük az m = P,R egyenest és annak F metszéspontját g vel. Az AFP és AF R háromszögekben páronként egyenlőek az A csúcsot tartalmazó oldalak és az A csúcsnál lévő szögek. Az 1.1. Tétel következtében az AFP, AFR háromszögek egybevágóak, ezért az AFP, AFR szögek is egyenlőek. Mivel ezek egymás mellékszögei, AFP egy derékszög, vagyis az m = P,R egyenes merőleges g re. 7. ábra. Illusztráció az 1.5. Tétel bizonyításához. A merőleges egyenes egyértelműségének igazolása. Legyen adva egy a P n átmenő m egyenes, amely derékszögben metszi el g t. Jelölje F a g, m egyenesek metszéspontját. Vegyünk egy az m től különböző e egyenest, amely áthalad P n és elmetszi g t egy M pontban. Ekkor az FMP háromszögben az F csúcsnál lévő szög egy derékszög. Egy korábbi eredményünk, az 1.2. Következmény pedig kimondja, hogy bármely háromszögben legalább két hegyesszög van. Ily módon azt kapjuk, 17

hogy az FMP szög kisebb a derékszögnél, tehát az e egyenes nem lehet merőleges g re. 1.29. Definíció. Egy AB szakasz (A B) felezőmerőlegeseinek mondjuk azon egyeneseket, amelyek átmennek az AB szakasz felezőpontján és merőlegesek az A, B egyenesre. 1.6. Tétel. Egy σ síkban legyen adva két pont A és B. Legyen f az AB szakasz σ beli felezőmerőleges egyenese. Ekkor igazak az alábbi kijelentések. (1) Az f felezőmerőleges megegyezik a σ sík azon pontjainak halmazával, amelyek A tól és B től egyenlő távolságra vannak. (2) Ha egy σ beli P pont nincs rajta az f egyenesen és benne van az [f,a félsíkban, akkor fennáll AP < BP. Jelölje F az AB szakasz felezőpontját. Vegyünk az f felezőmerőlegesen egy az F től különböző C pontot. Tekintsük az F CA és F CB derékszögű háromszögeket. Ezeknél az FC oldal közös, továbbá fennáll FA = FB és AFC = BFC. Az 1.1. Tétel szerint van olyan egybevágóság, amely az F, C pontokat fixen hagyja és az A pontot B be viszi. Ily módon fennáll AC = BC. 8. ábra. A szakaszfelező merőleges. A σ síkban vegyünk most egy olyan P pontot, amely nincs rajta az f egyenesen és benne van az [f,a félsíkban. Mivel B és P az f által határolt más más σ beli félsíkban van, az f felezőmerőleges metszi a BP szakaszt egy M pontban. A fentiek alapján igaz AM = BM, tehát fennáll ABM = BAM. Mivel a BAM szög benne van a BAP szögben, azt kapjuk, hogy a BAP szög nagyobb az ABP szögnél. Tekintsük az ABP háromszöget. Mivel ebben az A csúcsnál lévő szög nagyobb a B csúcsnál lévő szögnél, az 1.8. Állítás szerint BP > AP teljesül. Az előbbi eredmény azt is igazolja, hogy ha egy σ beli pont nincs rajta az f felezőmerőlegesen, akkor az nem lehet egyenlő távolságra az A, B pontoktól. Háromszögekkel kapcsolatos további eredmények Az alábbi eredményt olló tételnek is szokás nevezni. Olyan háromszögekre vonatkozik, amelyek nem egybevágóak, de két két oldaluk páronként egyenlő. 18

1.7. Tétel. Legyen adva két háromszög A 1 B 1 C 1 és A 2 B 2 C 2, amelyek oldalaira igaz b 1 = b 2 és c 1 = c 2. Amennyiben a háromszögek A 1 és A 2 csúcsokban vett szögeire fennáll α 1 < α 2, akkor teljesül az a 1 < a 2 összefüggés. Tegyük fel, hogy a szögekre fennáll az α 1 < α 2 egyenlőtlenség. 9. ábra. Illusztráció az 1.7. Tétel bizonyításához. Legyenek σ 1 és σ 2 az A 1 B 1 C 1, A 2 B 2 C 2 háromszögeket tartalmazó síkok. Vegyünk olyan D 1, D 2 pontokat, amelyek nincsenek rajta a σ 1, σ 2 síkokon. Legyen ϕ : X X az az egybevágóság, amely a Z(A 1,B 1,C 1,D 1 ) térbeli zászlót a Z(A 2,B 2,C 2,D 2 ) zászlóba viszi. Tekintsük az A 1 = ϕ(a 1 ), B 1 = ϕ(b 1 ) és C 1 = ϕ(c 1 ) képpontokat. Evidens, hogy ekkor A 1 = A 2 és B 1 = B 2 teljesül, továbbá a C 1 pont benne van az e = A 2,B 2 egyenes által határolt [e,c 2 félsíkban. Mivel az α 1 = B 2 A 2 C 1 szög kisebb az α 2 szögnél, a C 1 pont benne van a B 2 A 2 C 2 szög belsejében. Eszerint a B 2 A 2 C 2 szög tartalmazza a C 1A 2 C 2 konvex szöget is. Vegyük a C 1C 2 szakasz F felezőpontját és f felezőmerőleges egyenesét. Az A 2 C 1 = A 2 C 2 egyenlőség következtében f áthalad az A 2 ponton és tartalmazza a C 1A 2 C 2 szög [A 2,F szögfelezőjét. Ily módon az f nek és a B 2 A 2 C 1 konvex szögnek A 2 az egyetlen közös pontja, tehát f nem metszi a B 2 C 1 szakaszt. Ez pedig azt jelenti, hogy B 2 benne van az [f,c 1 félsíkban. Az 1.6. Tételt alkalmazva azt kapjuk, hogy emiatt fennáll B 2 C 1 < B 2 C 2, vagyis teljesül a 1 < a 2. A következő tétel azt mondja ki, hogy amennyiben két háromszögben az oldalak páronként egyenlő hosszúak, akkor a két háromszög egybevágó. 1.8. Tétel. Legyen adva két háromszög A 1 B 1 C 1 és A 2 B 2 C 2. Ha a háromszögek oldalaira fennáll a 1 = a 2, b 1 = b 2 és c 1 = c 2, akkor van olyan egybevágóság, amely az A 1 pontot A 2 be, a B 1 pontot B 2 be és a C 1 pontot C 2 be képezi. Tegyük fel, hogy a háromszögek oldalaira fennáll a 1 = a 2, b 1 = b 2 és c 1 = c 2. Tekintsük az α 1 = C 1 A 1 B 1, α 2 = C 2 A 2 B 2 szögeket. Vegyük észre, hogy az előző 1.7. Tétel következtében az α 1, α 2 szögek nem lehetnek különbözőek, tehát fennáll α 1 = α 2. Az 1.1. Tételt alkalmazva már adódik, hogy van olyan ϕ egybevágóság, amelyre teljesül ϕ(a 1 ) = A 2, ϕ(b 1 ) = B 2 és ϕ(c 1 ) = C 2. 19

A párhuzamossági probléma Azt fogjuk tárgyalni, hogy miként lehet két olyan egyenest találni, amelyek egyazon síkban vannak és nincs közös pontjuk. 1.9. Állítás. Legyen adott egy g egyenes és egy arra nem illeszkedő F pont. Tekintsük az F pontra történő tükrözést, amelyet jelöljünk τ val. Ekkor a τ(g) képegyenes benne van a g,f síkban és nincs közös pontja g vel. A τ centrális tükrözés a g,f síkot önmagába képezi, tehát a τ(g) = h képegyenes benne van ebben a síkban. Vegyünk egy A pontot, amely illeszkedik g re. Ezt a τ tükrözés vigye A t a P = τ(a) pontba. Vegyük észre, hogy a P képpont nem lehet rajta a g egyenesen, mivel az AP szakasz F felezőpontja nincs rajta g n. Ebből következik, hogy a g, h egyenesek különbözőek. Mint ismeretes a τ tükrözésre igaz τ τ = id, amiből következik, hogy teljesül τ(h) = g. 10. ábra. Az egyenes centrális tükörképe. Tételezzük fel, hogy a g, h egyeneseknek van egy M mel jelölt közös pontja. Evidens, hogy fennáll M F. Mivel τ egymásba képezi a g, h egyeneseket, az N = τ(m) képpont is közös pontja g nek és h nak. A τ centrális tükrözésnek F az egyedüli fixpontja, tehát M N. Eszerint a g, h egyeneseknek van két közös pontja, amiből az következik az (IA2) illeszkedési axióma alapján, hogy g = h. Ez viszont ellentmond azon korábbi megállapításunknak, hogy a g, h egyenesek különbözőek. Ily módon azt kapjuk, hogy a g, h = τ(g) egyeneseknek nem lehet közös pontja. 1.9. Tétel. Legyen adott egy g egyenes és egy arra nem illeszkedő P pont. Az általuk meghatározott síkban van egy olyan egyenes, amely áthalad a P ponton és nem metszi g t. Vegyünk a g egyenesen egy A pontot és az AP szakasz F felezőpontját. Tükrözzük a teret az F pontra. Nyilvánvaló, hogy ez a τ val jelölt centrális tükrözés az A pontot a P be viszi. Az előbbi 1.9. Állítás szerint a P ponton átmenő τ(g) képegyenes benne van a g,p síkban és nem metszi g t. A geometria klasszikus problémája. Jegyzetünkben a geometriai elmélethez eddig kilenc axiómát használtunk fel, nevezetesen az (IA1) (IA6) illeszkedési axiómákat és a (BVA), (PRA), (EA) axiómákat. A fejezetben szereplő összes állítást és tételt ezekből az axiómákból lehet levezetni. Felvetődik a kérdés, hogy ezen kilenc axiómából kiindulva vajon be lehet e bizonyítani az alábbi kijelentést, amely összhangban áll a szemléletünkkel. 20