Kvantumtérelmélet két dimenzióban

Kvantumtérelmélet két dimenzióban Takács Gábor MTA-ELTE Elméleti Fizikai Kutatócsoport Ortvay kollokvium ELTE Fizikai Intézet, 2011. november 17.

Tartalom 1. Nemperturbatív kvantumtérelmélet 2. Integrálható modellek két dimenzióban: egzakt S mátrixok és form faktorok 3. Mire jó még ez? Statisztikus térelmélet 4. Kísérleti rendszerek 5. Form faktorok véges térfogatban és véges hőmérsékletű korrelátorok 6. Eredmények és kihívások

Quo vadis, QFT? Kezdetek: az elektromágneses mező kvantumelmélete Feynman, Schwinger és Tomonaga (Nobel-díj,1948) Végtelen sok szabadsági fok renormálás: a jóslatok függetlenek a nagyenergiás (kis távolságú) fizika részleteitől; ezek csak a tömegeken és csatolási állandókon keresztül lépnek be. Véges sok ilyen paraméter: m e és α rengeteg igen precízen kimért fizikai jóslat: Quantum electrodynamics = QED = Quod erat demonstrandum

Mérés α 1 (g 2) e 137.035999070(98) atom recoil (Rb, Cs) 137.03599878(91) neutron Compton λ 137.0360101(54) H hiperfinom felhasadás 137.0360(3) müonium hiperfinom felhasadás 137.035994(18) Lamb eltolódás 137.0368(7) pozitrónium 2 3 S 1 1 3 S 1 felhasadás 137.034(16) parapozitrónium 1 1 S 0 bomlása 137.00(6) ortopozitrónium 1 3 S 1 bomlása 136.971(6) (+h.o.!) kvantum Hall effektus (standard R) 137.0359979(32) AC Josephson effektus (standard f ) 137.0359770(77) e + e e + e e + e 136.5(2.7) e + e µ + µ e + e 139.9(1.2) (g/2 1) µ = 116592089(54)(33) 10 11 exp 116591834(2)(41)(26) 10 11 theor 3.4σ eltérés (?)

Nemperturbatív jelenségek QED Landau pólus: perturbatív effektív csatolás felrobban Λ 10 277 GeV m e e C/α Folklór: a Landau pólus nemperturbatíve is ott van minden nem aszimptotikusan szabad elméletben! Lüscher-Weisz trivialitás: a csatolási állandó adott értékénél a levágás nem növelhető egy limitnél feljebb (Φ 4, SU(2) YM + Higgs). Erős kölcsönhatás: perturbációszámítás nem elégséges! Yukawa: g πnn 14 Landau pólus sokkal komolyabb gond. QCD: aszimptotikus szabadság + alacsony energián bezárás spektrum nemperturbatív (hadronok, bezárás).

Az út két dimenzióba Szeretnénk nemperturbatíve megérteni a kvantumtérelméleteket! Szeretnénk belelátni: Rácstérelmélet: fekete doboz

Integrálható modellek és a bootstrap 50/60-as évek: analitikus S mátrix Alapelvek: unitaritás, keresztezési szimmetria, kauzalitás Remény: erősen kölcsönható rendszerek leírása a QFT megkerülésével Nem jött be megváltást a QCD hozott. De: melléktermékek! Veneziano amplitúdó húrelmélet (örökös TOE-jelölt) két téridő dimenzióban: + integrálhatóság: egzakt S mátrixok Példa: sinh-gordon modell 2 S 1 1 2 p = m sinhθ E = m coshθ L = 1 2 µφ µ Φ m2 0 b 2 coshbφ S(θ 1 θ 2 ) = sinh(θ 1 θ 2 ) i sinπξ sinh(θ 1 θ 2 )+i sinπξ ξ = b2 8π + b 2

Faktorizált szórás Integrálható modell szóráselmélete (Zamolodchikov & Zamolodchikov, 1979): Kimenő részecskék száma n = bejövő részecskék száma m Kimenő impulzusok halmaza = bejövő impulzusok halmaza { p 1,...,p n } = {p1,...,p m } n-részecske szórás amplitúdója = 2-részecske amplitúdók szorzata szórási amplitúdó független az impakt paraméterektől Yang-Baxter egyenlet S 23 S 13 S 12 = S 12 S 13 S 23 = 1 2 3 1 2 3

Aszimptotikus állapotok és form faktorok Unitaritás az aszimptotikus sokrészecske állapotok teljes ortonormált rendszert alkotnak: θ 1,...,θ n in(t ) : θ 1 > > θ n out(t + ) : θ 1 < < θ n Szórás = részecskék felcserélése: in: out: v c = tanhθ θ 1,...,θ k,θ k+1,...,θ n = S k,k+1 (θ k θ k+1 ) θ 1,...,θ k+1,θ k,...,θ n Operátorok mátrixelemei: form faktorok θ 1,...,θ m O θ 1,...,θ n Keresztezési szimmetria mindegyik kifejezhető az elemi form faktorokkal: F O (θ 1,...,θ n ) = 0 O θ 1,...,θ n

Form faktor bootstrap Berg+Karowski, 1978; Smirnov 80 L: F O (θ 1 +Λ,...,θ n +Λ) = e sλ F O (θ 1,...,θ n ) S: F O (...,θ k,θ k+1,...) = S k,k+1 (θ k θ k+1 )F O (...,θ k+1,θ k,...) C: F O (θ 1 + 2πi,θ 2,...,θ n ) = F O (θ 2,...,θ n,θ 1 ) K: Res θ 1 =θ 2 +iπ FO (θ 1,θ 2,θ 3...,θ n ) n = ic 12 (1 S 1k (θ θ k ))F O (θ 3,...,θ n ) k=3 B: Res ǫ=0 FO (θ c iū 2 1c,θ c + iū 1 2c,...,θ n ) = if c 12F O (θ c,θ 2,...,θ n ) 1 2 1 K 2 1 2 u2 1c u1 2 c B c

Statisztikus térelmélet Kondenzált anyag modell T T c : ξ Kritikus pont környékén: ξ 1 kontinuum QFT m = 1 ξa Pl. 2d Ising modell skálázó Ising térelmélet τ T T c L = ψ/ ψ m ψψ + hσ = L +τǫ+hσ h külső mágneses tér Integrálható eset: h = 0 (szabad fermion) vagy τ = 0 (E 8, Zamolodchikov)

Wilson-féle renormálási csoport Kondenzált anyagi rendszer Z = {σ} ˆ = Nagyenergiás módusok kiintegrálása ˆ e Wb({σ}) = e βh({σ}) Dσe βh({σ}) Λ/b<k<Λ dσ(k) e W({σ}) W = a g a O a ({σ}) Irreleváns csatolás: g a (b) 0 ha b. Skálázó határesetben érdekes operátorok: Marginális: g a nem függ b-től a fixpont nem izolált, hanem egy sokaság része. Releváns: g a növekszik meghatározza az IR fizikát.

Renormálási csoport folyam a QFT-ben g 3 UV leírás: H = H UV + i λ iˆ dxo i O i releváns tömeges folyam g 1 crossover UV fixpont IR fixpont g 2 IR leírás: {m a }, S, F O vagy H = H IR + ˆ λ i dxo i i O i irreleváns Hogyan kössük össze a két fixpont közelében érvényes leírást? Vagyis hogyan kapjuk meg a mikroszkopikus dinamikából a makroszkopikus viselkedést (illetve vice versa)?

UV/IR megfeleltetés Lagrange-i leírás: mikroszkopikus szabadsági fokok UV S-mátrix + FF: aszimptotikus részecskék IR Megfeleltetés az UV és az IR között: 1. Melyik Lagrange-függvénynek felel meg egy adott S mátrix? 2. Mi a megfeleltetés a Lagrange-függvény és az S mátrix paraméterei között? 3. Adott form faktor megoldás melyik lokális operátort írja le? Több eszköz is van, de a leghatékonyabb: véges méret effektusok

Véges méret effektusok A modellt véges L térfogatba zárjuk: ml 1 : IR leírás ml 1 : UV leírás UV: fixpont + releváns op. IR: S-mátrix, form faktorok vagy fixpont + irrel. op. α periodikus nyílt határfeltétel β

Szerszámosláda ml 0 o CPT Lüscher TCSA TBA, NLIE integrálható rácstérelmélet 1. CPT: perturbációszámítás UV körül (Zamolodchikov, 80) H = H UV + λ iˆ dxo i 2. TCSA: variációszámítás UV körül (Yurov+Zamolodchikov, 1991) 3. Lüscher: nagy L-re véges méret-effektusok S mátrix segítségével 4. TBA (Zamolodchikov 1989), NLIE (Destri+de Vega 1992-97): Lüscher egzaktul 5. Integrálható rácstérelmélet: skálázó limesz egzakt megvalósítása

Példa: skálázó Lee-Yang modell Ising modell imaginárius mágneses térben: szingularitás ha h = i h c Szingularitás körüli skálázó térelmélet: ˆ = H + iλ dxφ(x) H SLY H : c = 22/5 CFT Φ : x = 2/5 operátor Spektrum: egy m tömegű részecske, λ = 0.09704845636 m 12/5 S(θ) = sinhθ + i 3/2 sinhθ i 3/2 E 0 (L) = πc 6L + 2π L = π c 6L + 2π L n=1 C n ( λl 12/5) n C n (ml) 12n/5 n=1 CPT TBA c = 22 5 λ = C n C m12/5 függetlenül n-től!

Véges térfogatbeli spektrum 6 E(L)/m 5 4 2,1, 3 3 1 2, 1 2 3 2, 3 2 5 2, 5 2 7 2, 7 2 9 2, 9 2 1,0, 1 2,0, 2 2 1 one particle vacuum 10 20 30 40 ml Véges térfogatú korrekciók kifejezhetők S-mátrixszal folytonos vonalak. Pontok: TCSA eredmények

Milyen rendszereket modellezhetünk? Heisenberg spinlánc (Haldane) H = J ( S x i Si+1 x + Sy i S y i+1 + Sz i i+1) Sz i O(3) σ-modell ˆ ( 1 A = d 2 x 2g µ n µ n+ θ ) 8π ǫ µν n ( µ n ν n) Ising spinlánc θ = 2πS mod 2π H = J i σ z i σ z i+1 + H i σ x i zérus tömegű szabad Majorana fermion + perturbációk ˆ A = d 2 x ( ψ/ ψ +τǫ+hσ ) ǫ = ψψ σ : spin operátor

Spin láncok a valóságban Réz-benzoát (Cu(C 6 D 5 COO) 2 3D 2 O) H = ( J ) S i S i+1 gµ B H Si z +µ B h( 1) i Si z i H 2 7T h J = 1.57 mev Leírható sine-gordon elmélettel (Essler, 1998) ˆ ( ) 1 A = d 2 x 2 µφ µ Φ+λcosβΦ Fajhő számolható: termodinamika L = 1/T + PBC NLIE: egzakt alapállapoti energia véges térfogatban szabadenergia véges T-n Kobalt-niobát (CoNb 2 O 6 ): Coldea et al., 2010 kvantum fázisátalakulás 40mK-en, H c = 5.5 T skálázó Ising modell mágneses térben H H c mellett m 2 /m 1 = 1.618... E 8 (Zamolodchikov)

Egydimenziós vezetők Bechgaard sók ((TMTTF) 2 X, (TMTSF) 2 X) TMTTF: tetramethyl-tetrathia-fulvalene TMTSF: tetramethyl-tetraselena-fulvalene 1D elektrongáz: nem Fermi-folyadék hanem: Luttinger folyadék! Szoliton gerjesztések Skálázó térelmélet: sine-gordon ˆ ( ) 1 A = d 2 x 2 µφ µ Φ+λcosβΦ Tömegrés: Umklapp folyamatok + korrekciók: multifrekvenciás sine-gordon (TMTSF) 2 PF 6

Véges hőmérsékletű korrelátorok O 1...O n T = Tr e RH O 1...O n Tr e RH R = 1 T Mire jó? n = 1: rend paraméterek (mágnesezettség) n = 2: válaszfüggvények (szuszceptibilitás, vezetőképesség)

F O 2N (θ 1,...θ N ) conn = θ 1,...θ N O(0,0) θ 1,...θ N connected Pozsgay-Takács (2007): véges térfogat regularizációval O ( e 3mR) rendig Pozsgay (2010): bizonyítás tetszőleges rendig Egy-pont függvények O(t,x) T = N=0 e REn n O(0,0) n n Sejtés: LeClair-Mussardo formula (1999) 1 N (ˆ dθk O(t,x) T,µ = N! 2π k=1 n e REn 1 1+e ǫ(θ k) ) F O 2N (θ 1,...θ N ) conn ˆ dθ TBA: ǫ(θ) = mr coshθ µ 2π ϕ(θ θ )log(1+e ǫ(θ ) ) ϕ(θ) = i log S(θ) θ

Két-pont függvény R R t t x O 1 (t,x)o 2 (0,0) T = 1 e REn n O 1 (0,0) m e (R t)em e ix(pm Pn) m O 2 (0,0) n Z n,m (t: Euklidészi idő). n : N részecske, m : M részecske Tömeges QFT: E n N m, E m M m kettős sorfejtés e mr és e m(r t) hatványai szerint

Leclair-Mussardo javaslat Leclair+Mussardo (1999): O 1 (x,t)o 2 (0,0) T = 1 N [ˆ ] dθj N! 2π f σ j (θ j )e σ j(tǫ j +ixk j ) N=0 σ i =±1 j=1 F O 1 N (θ 1 iπ σ 1,...,θ N iπ σ N ) F O 2 N (θ 1 iπ σ 1,...,θ N iπ σ N ) ahol σ j = (1 σ j )/2 {0,1}, f σj (θ j ) = 1/(1+e σ jǫ(θ j ) ), ǫ j = ǫ(θ j )/R és k j = k(θ j ) ˆ k(θ) = m sinhθ+ dθ δ(θ θ )ρ 1 (θ ) ˆ 2πρ 1 (θ)(1+e ǫ(θ) ) = m coshθ+ dθ ϕ(θ θ )ρ 1 (θ ) F O N (θ 1,...,θ N ) = 0 O(0,0) θ 1,...,θ N Saleur (1999): kételyek... és a dolog egy évtizedig így maradt.

Form faktorok keresztezése Form faktorok: F O mn(θ 1,...,θ m θ 1,...,θ n ) = θ 1,...,θ m O(0,0) θ 1,...,θ n Keresztezés: Fmn(θ O 1,...,θ m θ 1,...,θ n) = Fm 1n+1(θ O 1,...,θ m 1 θ m + iπ,θ 1,...,θ n)+ n k 1 2πδ(θ m θ k ) S(θ l θ k )Fm 1n 1(θ O 1,...,θ m 1 θ 1,...,θ k 1,θ k+1...,θ n) k=1 l=1 Elemi form factorokkal minden kifejezhető: F O n (θ 1,...,θ n ) = 0 O(0,0) θ 1,...,θ n de: nemösszefüggő részek szingulárisak! K: Res θ 1 =θ 2 +iπ FO (θ 1,θ 2,θ 3...,θ n ) n = ic 12 (1 S 1k (θ θ k ))F O (θ 3,...,θ n ) k=3 = if c 12F O (θ c,θ 2,...,θ n )

A probléma: nemösszefüggő tagok O 1 (t, x)o 2 (0, 0) T = 1 e REn n O 1 (0, 0) m e (R t)em e ix(pm Pn) m O 2 (0, 0) n Z n,m Nemösszefüggő tagok: δ és δ 2! Recept ismert: doboz kvantálás de itt fontosak a kölcsönhatási korrekciók: a vezető tagok (amik a kölcsönhatástól függetlenek) pont kiesnek a Z által. Megoldás: írjuk fel véges térfogatban O 1 (t, x)o 2 (0, 0) T,L = Z(R, L) = n 1 Z(R, L) e REn(L) e (R t)em(l) e ix(pm(l) Pn(L)) n,m n O 1 (0, 0) m L m O 2 (0, 0) n L e REn(L) és L csak a végén (Pozsgay-Takács 2007).

Spektrum véges térfogatban Spektrum véges térfogatban: Bethe-Yang egyenletek 1 2... k... n Q k ( θ 1,..., θ n ) = mlsinh θ k + l k δ( θ k θ l ) = 2πI k,k = 1,...,n E = {I 1,...,I n } L n m cosh θ k + O(e µl ) k=1 Állapotsűrűség: Jacobi determináns kölcsönhatás-függő! ρ(θ 1,...,θ n ) = detj (n), J (n) kl = Q k(θ 1,...,θ n ) θ l,k,l = 1,...,n

Form faktorok véges térfogatban Mátrixelem véges térfogatban (Pozsgay-Takács 07) Nemösszefüggő tagok: {I 1,...,I m } O(0, 0) {I 1,...,I n } L = F O ( θ m + iπ,..., θ 1 + iπ, θ 1,..., θ n ) ρ( θ 1,..., θ n )ρ( θ 1,..., θ m) {I} O {I} L = {I 1, I 2 } O {I 1, I 2 } L = és így tovább, ahol 1 ρ 1 ( θ) + O(e µl ) ( ) F2 s ( θ)+ρ 1 ( θ) 0 O 0 + O(e µl ) [ 1 ρ 2 ( θ1, θ ) 2 F s 4 ( θ 1, θ 2 ) + ) +ρ 1 ( θ 1 F2 s ( θ 2 )+ρ 1 ( θ 2 )F 2 s ( θ 1 ) ] +ρ 2 ( θ1, θ 2 ) 0 O 0 + O(e µl ) F s 2n(θ 1,θ 2,...,θ n ) = lim ǫ 0 F 2n (θ 1 + iπ +ǫ,...,θ n + iπ +ǫ,θ n,...,θ 1 )

Eredmények bulk esetben 1. A véges-l FF-okat már alkalmazták is kísérleti eredmények magyarázatára: inelasztikus neutron szórás spinláncon (Essler+Konik) 2. Szisztematikus sorfejtés a termikus kétpontfüggvényre (Pozsgay+Takács) 3. Form faktor megoldások numerikus ellenőrzése TCSA-val (Takács et al.) 4. Rezonanciák véges térfogatban (Pozsgay+Takács) 5. Vezető exponenciális korrekciók konstrukciója a FF-okhoz (Pozsgay, Takács)

Form faktor perturbációszámítás Delfino, Mussardo, Simonetti ˆ H nonintegrable = H integrable +λ dxψ(t, x) Első rendben: δe vac = λ 0 Ψ 0 λ=0 δmab 2 = 2λF Ψ (iπ, 0) a b + hasonló eredmények S-mátrixra, bomlási élettartamra. Magasabb rendekben nem sikerült megkonstruálni: szingularitások nemösszefüggő tagokból. Megoldás: Takács (2009)

Eredmények peremes modellekben 1. Peremes operátorok form faktorai véges térfogatban (Kormos+Takács); A peremes form faktor bootstrap (Bajnok+Palla+Takács) ellenőrzése t O x x= oo 2. Operátorok mátrixeleme nyílt határfeltételek mellett (Kormos+Pozsgay) O x=0 x=0 x=l 3. Affleck-Ludwig-féle peremes entrópia általános konstrukciója termodinamikai Bethe Ansatzból (Pozsgay)

Kihívások és további projektek 1. Véges térfogatú form faktorok nemdiagonális elméletekben (Fehér György, Pálmai Tamás) 2. Peremes form faktor formalizmus továbbfejlesztése (Lencsés Máté) 3. Véges hőmérsékletű korrelátor kifejtés magasabb rendekben; felösszegzés (Szécsényi István) 4. Affleck-Ludwig peremes entrópiafüggvény gerjesztett állapotokra (Gerard Watts, KCL) 5. Peremes operátorok termikus két-pont függvénye; peremes entrópia spektrális reprezentációja 6. Alkalmazások kondenzált anyagi modellekben (1D vezetők, spinláncok)

Oktatási tevékenység Relativisztikus kvantumelmélet speci (BSc) Relativisztikus kvantumelektrodinamika I-II (MSc, részecskefizika specializáció) További specik: Renormálás haladóknak I-II; Funkcionálintegrálok a kvantumtérelméletben; Fejezetek a kvantumvilágból 6 MSc, 1 BSc és 7 PhD témavezetés Végzett doktoranduszok: Kormos Márton (KCL, SISSA, jelenleg Rice Univ.) Pozsgay Balázs (Amsterdam) Wágner Ferenc (közös témavezetés: Bajnok-Palla-Takács) Jelenlegi doktoranduszok: Szécsényi István (ELTE), Fehér György és Lencsés Máté (BME) További együttműködő: Pálmai Tamás (BME) További információ: http://takacs.web.elte.hu