Geometria II. Vázlat Kovács Zoltán előadásaihoz. 2014. január 26.

Geometria II Vázlat Kovács Zoltán előadásaihoz 2014. január 26.

2

Tartalomjegyzék 1. Geometria R 2 -ben 7 1.1. R 2 euklideszi struktúrája..................... 8 1.2. Tükrözés hipersíkra........................ 14 1.3. Tengelyes tükrözés és elforgatás a síkban............ 20 1.4. A sík ortogonális csoportja.................... 25 1.5. Izometriák............................. 30 1.6. Affin leképezések a síkban.................... 33 1.7. Speciális affin transzformációk.................. 39 1.8. O(3) szerkezete.......................... 43 1.9. Összefoglalás, kitekintés..................... 48 2. A projektív síkgeometria alapjai 53 2.1. Az affin illeszkedési sík...................... 54 2.2. A projektív illeszkedési sík.................... 63 2.3. Záródási tulajdonságok....................... 68 2.4. Projektív transzformációk.................... 73 2.5. A kettősviszony.......................... 81 3. Másodrendű görbék a projektív síkon 85 3.1. Másodrendű görbék projektív osztályozása........... 86 3.2. Másodrendű görbék végtelen távoli pontjai........... 91 3.2.1. A Klein-féle részcsoport................. 93 3.3. Kölcsönös helyzetek........................ 96 3.3.1. Nem elfajuló másodrendű görbe és egyenes kölcsönös helyzete.......................... 96 3.3.2. Nem elfajuló valós másodrendű görbék kölcsönös helyzete 98 3

4 TARTALOMJEGYZÉK 4. Appendix 101 4.1. Szimmetrikus mátrixok normálformája kongruenciára..... 101

TARTALOMJEGYZÉK 5 Ez a jegyzet távolról sem tekinthető véglegesnek. Több bizonyítás leírásával még adós vagyok, csakúgy, mint a szemléltető ábrákkal, s az anyag is bővülni fog a továbbiakban. Minden észrevételét (sajtóhiba, nem világos gondolatmenet) kérem küldje el az olvasó a kovacsz@nyf.hu címre. (Ezúton is hálásan köszönöm Remete Lászlónak értékes észrevételeit. 1 ) A jel azt mutatja, hogy a tétel bizonyítása az olvasónak nem okozhat nehézséget, azt önállóan végezze el. 1 2014 január.

6 TARTALOMJEGYZÉK

1. fejezet Geometria R 2 -ben 7

8 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Ebben a fejezetben az euklideszi sík analitikus geometriáját tárgyaljuk, külön figyelemmel a geometriai transzformációkra. Az anyag megértéséhez át kell ismételnünk a Geometria I tantárgyból már tanult megfelelő axiómákat, fogalmakat, tételeket. Szükségünk van továbbá a mátrixalgebra biztos ismeretére. 1.1. R 2 euklideszi struktúrája Ebben a szakaszban elmondottak gond nélkül megfogalmazhatók R n -ben is, az olvasó mindig egészítse ki az itt leírtakat a magasabb dimenziós megfogalmazással is. R 2 elemeit általában latin kis- és nagybetűkkel jelöljük, tehát x R 2, vagy P R 2, míg ezek komponenseit indexelve, tehát pl. x = (x 1, x 2 ). R 2 elemeit pontnak és vektornak is lehet nevezni, szövegkörnyezettől függően. Ha pontra gondolunk, akkor használunk nagybetűket, míg ha vektorra, akkor kisbetűket. (0, 0) R 2 neve lehet origó (ekkor pontra gondolunk és az O jelölést használjuk), vagy zérusvektor (ekkor vektorra gondolunk és 0-val jelöljük) 1. Definíció. Az x = (x 1, x 2 ) R 2 és y = (y 1, y 2 ) R 2, rendezett számpárok összege x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); míg ha α R, akkor α és x szorzata α x = (α x 1, α x 2 ). Az összeadás tehát egy R 2 R 2 R 2 binér művelet. A skalárral való szorzás egy R R 2 R 2 leképezés. (Ennek jelét gyakran el is hagyjuk.) ( 1) x nyilván az x additív inverze, ezért jogos helyette x-et írni. 1. Tétel. R 2 a fenti összeadás műveletre Abel csoport, továbbá (R 2, +) vektortér R fölött, azaz x, y R 2, α R: 1 A vektorokat tipográfiai szempontból nem emelem ki, azaz nem szedem félkövéren, nem húzom alá. Az egyetlen kivétel a zérusvektor, amelyet félkövéren szedek, a félreértések elkerülése végett.

1.1. R 2 EUKLIDESZI STRUKTÚRÁJA 9 1. α(x + y) = αx + αy 2. (α + β)x = αx + βx 3. (αβ)x = α(βx) 4. 1 x = x. Definíció. Az x, y R 2 vektorok skaláris szorzatán (vagy belső szorzatán) az x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 R számot értjük. A skaláris szorzás tehát egy leképezés. R 2 R 2 R 2. Tétel. R 2 euklideszi vektortér a fenti skaláris szorzattal, azaz x, y, z R 2, α R: 1. x, y + z = x, y + x, z 2. x, αy = α x, y 3. x, y = y, x 4. x, x 0; x, x = 0 x = 0. Következmény. 1.* x + y, z = x, z + y, z 2.* αx, y = α x, y 4.* Ha x R 2 -re x, y = 0, akkor y = 0. Definíció. x R 2 -re x = x, x, az x vektor hossza vagy normája. Tehát a norma egy : R 2 R leképezés, amelyet normafüggvénynek is nevezünk. Komponensekkel kiírva, x = x 2 1 + x 2 2.

10 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN 3. Tétel (Cauchy-Schwarz egyenlőtlenség). x, y R 2 : x, y 2 x 2 y 2. Egyenlőség akkor és csakis akkor teljesül, ha x, y arányosak, azaz α R: x = αy vagy y = αx. Bizonyítás. y = 0-ra az állítás triviálisan teljesül, a továbbiakban feltesszük, hogy y 0. Legyen λ R tetszőleges, s tetszőlegesen rögzített x-re és y 0-ra tekintsük az alábbi kifejezést: f(λ) = x λy, x λy = x, x 2λ x, y + λ 2 y, y. λ R : f(λ) 0, mert vektor önmagával való skaláris szorzata mindig nemnegatív, tehát a másodfokú polinom diszkriminánsa nem pozitív: x, y 2 x, x y, y 0. Egyenlőség akkor és csakis akkor állhat fenn, ha x λy = 0, amiből x és y lineáris függősége következik. Megfordítva, ha x és y lineárisan függők, akkor vagy x = λy vagy y = λx valamely alkalmas skalárra. Bármelyiket behelyettesítve az egyenlőtlenség egyik ill. másik oldalába, egyenlő kifejezéseket kapunk. 4. Tétel. x, y R 2, α R: 1. x 0, 2. x = 0 x = 0, 3. αx = α x, 4. x + y x + y, továbbá egyenlőség akkor és csakis akkor teljesül, ha x, y arányosak, nemnegatív faktorral. A 4. tulajdonságot Minkowski egyenlőtlenségnek nevezzük. Bizonyítás. Az alábbi levezetésben a harmadik sornál a Cauchy-Schwarz egyenlőtlenséget alkalmazva x + y 2 = x + y, x + y = = x, x + 2 x, y + y, y x, x + 2 x, y + y, y x, x + 2 x y + y, y = = x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2,

1.1. R 2 EUKLIDESZI STRUKTÚRÁJA 11 ami a Minkowski egyenlőtlenséget jelenti. Egyenlőség akkor és csakis akkor teljesül, ha x, y = x, y = x y. y = 0-ra mindkét egyenlőség teljesül. Legyen tehát y 0. Az első egyenlőség akkor és csakis akkor teljesül, ha x, y 0. A második egyenlőség a Cauchy- Schwarz egyenlőtlenség miatt akkor és csakis akkor teljesül, ha x, y arányosak, azaz x = ty. ty, y = t y, y 0 t 0. Definíció. Ha P, Q R 2, akkor d(p, Q) = P Q a P és Q pontok távolsága. A távolság tehát egy d: R 2 R 2 R leképezés, amelyet távolságfüggvénynek is nevezünk. Komponensekkel kiírva: 5. Tétel. P, Q, R R 2 : 1. d(p, Q) 0, 2. d(p, Q) = 0 P = Q, 3. d(p, Q) = d(q, P ), 4. d(p, Q) + d(q, R) d(p, R), azaz (R 2, d) egy metrikus tér. d(p, Q) = (P 1 Q 1 ) 2 + (P 2 Q 2 ) 2. A 4. tulajdonságot háromszög-egyenlőtlenségnek nevezzük. Bizonyítás. 4. A Minkowski egyenlőtlenséget alkalmazva: d(p, Q) + d(q, R) = P Q + Q R (P Q) + (Q R) = P R = = d(p, R). Megjegyzés. A fejezet eddigi anyaga könnyen átdolgozható úgy, hogy a pontok és vektorok R n -ből valók.

12 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Merőlegesség Definíció. Ha az u, v vektorokra u, v = 0, akkor u-t és v-t egymásra merőleges vagy ortogonális vektoroknak mondjuk. Ha u, v egymásra merőleges egységvektorok, akkor (u, v) egy ortonormált (rendezett) pár, vagy másként, R 2 egy ortonormált bázisa. Ha u = (u 1, u 2 ), akkor legyen u = ( u 2, u 1 ). Ekkor u és u egymásra merőleges vektorok, amelyeknek a hosszuk megegyezik, továbbá u = u. Könnyű látni, hogy ha u, v ortogonális (nem zéró) vektorok, akkor u és v arányosak. 2 Ha (u, v) ortonormált pár R 2 -ben, akkor egy tetszőleges vektor koordinátáit könnyű kiszámítani, az alábbi tétel szerint: 6. Tétel (Vektor Fourier-előállítása). Ha (u, v) ortonormált pár, akkor x R 2 : x = x, u u + x, v v. Bizonyítás. Legyen x = αu + βv. Szorozzuk az előbbi relációt skalárisan az u, majd a v vektorral: x, u = α u, u } {{ } 1 x, v = α v, u } {{ } 0 +β u, v } {{ } 0 +β v, v. } {{ } 1 7. Tétel (Pitagorasz tétele). Legyenek P, Q, R különböző pontok. P Q és Q R akkor és csakis akkor merőlegesek egymásra, ha P Q 2 + Q R 2 = P R 2. Bizonyítás. (P Q) + (Q R) = P R, tehát P R 2 = (P Q) + (Q R), (P Q) + (Q R) = ami az állítást jelenti. = P Q 2 + Q R 2 + 2 P Q, Q R, 2 Ez a bekezdés csak két dimenzióban érvényes.

1.1. R 2 EUKLIDESZI STRUKTÚRÁJA 13 Kulcsszavak 1. 2. 3. 4. 5. Jegyzetek

14 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN 1.2. Tükrözés hipersíkra Hipersík alatt R n egy n 1 dimenziós lineáris sokaságát értjük. A valós számok halmazán tehát egy pontról, a síkon egy egyenesről, a térben egy síkról van szó. Ezen alakzatokra vonatkozó tükrözések analitikus geometriája a dimenziószámtól függetlenül egységesen kezelhető. A hipersíkok megadhatók egy rájuk merőleges (nem zéró) vektorral, a hipersík normálvektorával, valamint egy pontjukkal. A w normálvektorú, P pontra illeszkedő S hipersík egyenlete X P, w = 0, (1.1) azaz egy X R n pont akkor és csakis akkor illeszkedik S-re, ha kielégíti (1.1)-et, másrészt minden ilyen egyenlet egy hipersík egyenlete. Definíció. Legyen S a P pontra illeszkedő, w normálvektorú hipersík! A ρ S : R n R n, X ρ S (X) = X 2 1 X P, w w (1.2) w 2 leképezést az S hipersíkra vonatkozó tükrözésnek nevezzük (ld. 1.1. ábra). 8. Tétel (A hipersíkra vonatkozó tükrözés tulajdonságai). 1. Minden hipersíkra vonatkozó tükrözés távolságtartó, azaz P, Q R n : 2. ρ 2 S = id. 3. ρ S (P ) = P P S. d(ρ S (P ), ρ S (Q)) = d(p, Q). Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltételezhetjük, hogy w = 1, továbbá legyen a, a jel. = a 2. 1. ρ S (X) ρ S (Y ) 2 = (ρ S (X) ρ S (Y )) 2 = = [X 2 X P, w w (Y 2 Y P, w w)] 2 = = [(X Y ) 2( X P, w + Y P, w )w] 2 = = [(X Y ) 2 X Y, w w] 2 = = (X Y ) 2 4 X Y, w 2 + 4 X Y, w 2 = = (X Y ) 2 = X Y 2.

1.2. TÜKRÖZÉS HIPERSÍKRA 15 1.1. ábra. Hipersíkra vonatkozó tükrözés 2. ρ S (ρ S (X)) = ρ S (X 2 X P, w w) = 3. = (X 2 X P, w w) 2 X P 2 X P, w w, w w = = X 2 X P, w w 2 X P, w w + 4 X P, w w 2 w = = X 4 X P, w w + 4 X P, w w = X. ρ S (X) = X X 2 X P, w w = X Az (1.2) definíciót átalakítva kapjuk: X P, w = 0 X S. ρ S (X) = X 2 1 X P, w w = w 2 X 2 1 X, w w + 2 1 P, w w. w 2 w 2 } {{ } } {{ } lineáris rész eltoló vektor

16 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Az eredmény szerint a tükrözés egy lineáris leképezés és egy R n R n, X X 2 1 X, w w (1.3) w 2 R n R n, X X + 2 1 P, w w w 2 eltolás kompozíciója (szorzata). Az (1.3) lineáris leképezés maga is egy tükrözés, az X, w = 0 egyenletű hipersíkra vonatkozó lineáris tükrözés. (A hipersík ebben az esetben altér lesz.) Definíció. Legyen S az X, w = 0 egyenletű, az origóra illeszkedő, w normálvektorú hipersík. A ρ w : R n R n X, w, X ρ w (X) = X 2 w w 2 leképezést a w 0 vektorhoz tartozó lineáris tükrözésnek nevezzük. 9. Tétel. (A megelőző definíció jelöléseivel.) 1. ρ w (w) = w, 2. ha X S, akkor ρ w (X) = X. Bizonyítás. A definícióba történő egyszerű behelyettesítésből adódik. Mint lineáris leképezés, ρ w felírható egy mátrixszal történő balszorzásként. Határozzuk meg ezt a mátrixot! Figyeljük meg a definíció második tagjában lévő X, w w kifejezést. A következő átalakításoknál a skalárral való szorzást nem jelölöm, a mindig a mátrixok szorzását jelöli. Vegyük figyelembe továbbá azt is, hogy a vektorokat oszlopmátrixként írjuk fel. X, w w = (w t X)w = w (w t X) = (w w t ) X, ahol w w t R n n. Így azt kapjuk, hogy ( ρ w (X) = I 2 1 ) w w 2 wt X, ahol I az n n típusú egységmátrix. (A továbbiakban a mátroxszorzást már nem mindig jelöli a pont.)

1.2. TÜKRÖZÉS HIPERSÍKRA 17 Definíció. A w R n, (w 0) vektorhoz tartozó Householder-mátrix alatt a H w = I 2 1 w 2 w wt mátrixot értjük. 10. Tétel. Minden Householder-mátrix ortogonális mátrix, azaz inverze megegyezik a transzponáltjával; továbbá minden Householder-mátrix determinánsa 1. Bizonyítás. Először belátjuk, hogy Hw t = H w. Mivel a transzponálás lineáris művelet, ( I 2 1 ) t w w 2 wt = I 2 1 w 2 (wwt ) t = = I 2 1 w 2 (wtt w t ) = I 2 1 w 2 wwt = H w. Másodjára belátjuk, hogy minden Householder-mátrix inverze önmaga. ( I 2 1 ) 2 w w 2 wt = I 4 1 w 2 wwt + 4 w w { }} 2 { (w t w) w t = I. w 4 Így beláttuk, hogy H w ortogonális mátrix. A ρ w lineáris leképezés determinánsa alatt tetszőleges bázisra vonatkozó mátrixának determinánsát értjük. (Lineáris algebrából megtanultuk, hogy ez az érték a bázis választásától független.) ρ w mátrixa egy olyan bázisban, mely w-ből és S tetszőleges bázisából áll, a 9. tétel szerint diagonális mátrix: diag( 1, 1,..., 1), melynek determinánsa nyilván 1. H w nem más, mint ρ w mátrixa R n természetes bázisában, azaz determinánsa ennek a mátrixnak is 1. Az (1.2) definíciót átalakítva ρ S (X) = X 2 1 X P, w w = w 2 = X P 2 1 X P, w w + P = w 2 = H w (X P ) + P.

18 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN A kapott eredmény azt jelenti, hogy az X pontot először eltoljuk P -vel, tükrözzük, majd a tükrözött pontot ismét eltoljuk, de ezúttal P -vel. Ez a TTT (tol-tükröz-tol) elv. Az v R n vektorral való eltolást τ v -vel jelölve: hiszen τ ( P ) = τ 1 P. ρ S = τ P H w τ 1 P,

1.2. TÜKRÖZÉS HIPERSÍKRA 19 Kulcsszavak 1. 2. 3. 4. 5. Jegyzetek

20 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN 1.3. Tengelyes tükrözés és elforgatás a síkban Tengelyes tükrözések a síkban Megadjuk a tengelyes tükrözés explicit képletét koordináták segítségével. Ha az egyenes egy irányvektora (cos δ, sin δ), akkor azt mondjuk, hogy az egyenes irányszöge δ. 11. Tétel. Az origóra illeszkedő δ irányszögű egyenes az (x 1, x 2 ) ponthoz rendelje hozzá az (x 1, x 2) pontot. Ekkor teljesül, hogy x 1 = x 1 cos 2δ + x 2 sin 2δ x 2 = x 1 sin 2δ x 2 cos 2δ. (1.4) Bizonyítás. A tengely irányvektora a (cos δ, sin δ) egységvektor. Az egyenes (egyik) normál-egységvektora w = ( sin δ, cos δ), ρ w (X) = X 2 X, w w. azaz X, w = x 1 sin δ + x 2 cos δ, x 1 = x 1 + 2( x 1 sin δ + x 2 cos δ) sin δ = (1 2 sin 2 δ)x 1 + (2 cos δ sin δ)x 2 x 2 = x 2 2( x 1 sin δ + x 2 cos δ) cos δ = (2 sin δ cos δ)x 1 + (1 2 cos 2 δ)x 2. A kétszeres szögek szögfüggvényeire vonatkozó azonosságot alkalmazva: x 1 = x 1 cos 2δ + x 2 sin 2δ x 2 = x 1 sin 2δ x 2 cos 2δ. Következmény. Az (1.4) mátrix szorzással fölírva: ( ) ( ) ( ) x 1 cos 2δ sin 2δ x1 =, (1.5) sin 2δ cos 2δ x 2 azaz w = ( sin δ, cos δ) esetén ( ) cos 2δ sin 2δ H w = sin 2δ cos 2δ x 2

1.3. TENGELYES TÜKRÖZÉS ÉS ELFORGATÁS A SÍKBAN 21 Vezessük be az alábbi jelölést: ( ) cos 2δ sin 2δ ref δ =. sin 2δ cos 2δ ref δ tehát az origón átmenő és δ irányszögű egyenesre vonatkozó tükrözés Householder-mátrixa. Nem origóra illeszkedő l-el jelölt tengely esetén legyen a tengely egy pontja P, a tengely irányszöge δ, normál egységvektora w. Ekkor azaz X = X 2 X P, w w = (X P ) 2 X P, w w +P, } {{ } ref δ (X P ) ρ l (X) = ref δ (X P ) + P (TTT) A képlet tartalma egyszerűen megjegyezhető: a tengelyt először eltoljuk az origóba, vele toljuk az X pontot, tükrözünk, majd visszatoljuk a tengelyt az eredeti helyzetbe (tol tükröz tol). Elforgatások a síkban Először két origón átmenő tengelyre vonatkozó tükrözés szorzatát vizsgáljuk. 12. Tétel. ref θ ref φ = ( ) cos 2(θ φ) sin 2(θ φ). sin 2(θ φ) cos 2(θ φ) Ha bevezetjük a ( ) cos α sin α rot α = sin α cos α jelölést, akkor az előbbi tétel a következő alakban írható föl: ref θ ref φ = rot 2(θ φ). (1.6) Most tükrözzünk egymás után két olyan egyenesre, melyek egy C pontra illeszkednek! A tengelyek irányszöge legyen θ és φ! A TTT-szabály alapján: X = ref θ ((ref φ (X C)+C) C)+C = ref θ (ref φ (X C)) +C (1.7) } {{ } rot 2(θ φ) (X C)

22 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN 1.2. ábra. A TTT módszer: tol-tükröz-tol

1.3. TENGELYES TÜKRÖZÉS ÉS ELFORGATÁS A SÍKBAN 23 Definíció. Két tengelyes tükrözés szorzatát elforgatásnak nevezzük, ha a tengelyek metszők, vagy egybeesnek. Valódi elforgatásról akkor beszélünk, ha a tengelyek metszők, azaz egy közös pontjuk van. A közös pontot ilyenkor az elforgatás középpontjának nevezzük. Speciálisan, ha a tengelyek merőlegesek, akkor az elforgatást félfordulatnak vagy középpontos tükrözésnek is nevezzük. (1.7) alapján a valódi elforgatást jellemzi annak fixpontja (C) és a tengelyek szögének kétszerese (2(θ φ)), amely szöget az elforgatás szögének nevezünk. A C középpontú α szögű elforgatásra használjuk a σ (C,α) jelölést is. Speciálisan σ (O,α) : R 2 R 2, X σ (O,α) (X) = rot α X tehát egy origó körüli elforgatás, amely lineáris leképezés. Általában σ (C,α) (X) = rot α (X C) + C, (TFT) azaz tolunk forgatunk tolunk (de origótól különböző C-re a valódi elforgatás már nem lesz lineáris leképezés). 13. Tétel. Az origó körüli összes elforgatások kommutatív csoportot alkotnak. Bizonyítás. A struktúra zárt, mátrix szorzással egyszerűen ellenőrizhető, hogy rot θ rot φ = rot(θ + φ), (1.8) ahonnan a kommutativitás is leolvasható. Az asszociativitás a mátrix szorzás általános tulajdonsága. Egységelem: rot 0 = I 2. Továbbá (rot α) 1 = rot( α), ami (1.8)-ból szintén közvetlenül látszik. Az origón átmenő egyenesekre vonatkozó tükrözések nem alkotnak csoportot, mert a szorzásra nézve nem zárt a struktúra, ld. (1.6). A tükrözések és forgások szorzására a következő tulajdonságok teljesülnek: 14. Tétel. 1. ref θ rot φ = ref ( θ φ 2 ). 2. rot θ ref φ = ref ( φ + θ 2). 15. Tétel. Az origó körüli elforgatások és az origóra illeszkedő egyenesekre vonatkozó tükrözések csoportot alkotnak.

24 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Kulcsszavak 1. 2. 3. 4. 5. Jegyzetek

1.4. A SÍK ORTOGONÁLIS CSOPORTJA 25 1.4. A sík ortogonális csoportja A ref α tükrözési mátrixok és a rot α forgatási mátrixok könnyen láthatóan rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy az inverzük megegyezik a transzponáltjukkal. Az ilyen (valós elemű) mátrixokat általánosan ortogonális mátrixoknak nevezzük. Definíció. Az M GL(2) mátrixot ortogonális mátrixnak nevezzük, ha M 1 = M t. 16. Tétel. Az ortogonális mátrixok csoportot alkotnak a mátrixszorzás műveletére nézve. Ezt a csoportot O(2)-nel jelöljük és R 2 (a 2-dimenziós euklideszi tér) ortogonális csoportjának nevezzük. 17. Tétel. Ortogonális mátrix determinánsa ±1. ( ) a b Bizonyítás. Legyen M =, det M = ad bc =. Ekkor c d det M t = a c b d = ad bc =, det M 1 = d/ b/ c/ a/ = = 1 2. Így = 1/, azaz = ±1. 18. Tétel. A +1 determinánsú 2 2 típusú ortogonális mátrixok csoportot alkotnak. Ezt a csoportot SO(2)-nel jelöljük és R 2 (a 2-dimenziós tér) speciális ortogonális csoportjának nevezzük. Az előzőek alapján ref α, rot α O(2), illetve rot α SO(2). Az alábbiakban belátjuk, hogy más 2 2-típusú ortogonális mátrix nincs is, azaz valamely α R-re minden 2 2-típusú ortogonális mátrix ref α vagy rot α alakú, illetve SO(2) elemei csakis a forgatási mátrixok. 19. Tétel. O(2) minden A eleméhez van olyan α R, hogy ( ) cos α sin α A =, sin α ± cos α ahol a felső előjelek a +1 determinánsú, míg az alsó előjelek a 1 determinánsú ortogonális mátrixra vonatkoznak.

26 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Bizonyítás. Foglalkozzunk a +1 determinánsú esettel, a 1 determinánsú eset analóg. Legyen ( ) a b A =. c d Mivel A ortogonális, ezért inverze megegyezik a transzponáltjával: ( ) 1 ( ) a b a c =. ( ) c d b d Másrészt az inverz mátrixot a kofaktorok módszerével meghatározva: ( ) 1 ( ) a b d b =. ( ) c d c a ( )-ot és ( )-ot összehasonlítva: a = d, c = b, tehát a mátrix alakja: ( ) a b A =, b a ahol a 2 + b 2 =1 (a mátrix determinánsa 1), tehát létezik olyan α [0, 2π), hogy a = cos α, b = sin α, ami a bizonyítandó állítást jelenti. A következő tétellel az ortogonális mátrixok jellemzését adjuk meg. 20. Tétel. Legyen A R 2 2. A következő állítások ekvivalensek: 1. A O(2); 2. A megtartja a skaláris szorzatot, azaz 3. A megtartja a vektorok hosszát: 4. A megtartja a távolságot: x, y R 2 : Ax, Ay = x, y ; x R 2 : Ax = x ; x, y R 2 : d(ax, Ay) = d(x, y); 5. tetszőleges ortonormált pár képe ortonormált pár.

1.4. A SÍK ORTOGONÁLIS CSOPORTJA 27 Bizonyítás. 1 2 Először teljesüljön, hogy A t A = I n. Ekkor Ax, Ay = x, A t Ay = x, y. Megfordítva, ha A megtartja a skaláris szorzatot, azaz Ax, Ay = x, y akkor A t Ax, y = x, y A t Ax, y = I n x, y amiből következik, hogy x, y : (A t A I n )x, y = 0, vagyis A t A = I n. 2 3 2 = 3 nyilvánvaló, a norma definíciója miatt: Ax = Ax, Ax = x, x = x. Megfordítva, könnyen ellenőrizhető, hogy: x, y = 1 2 ( x + y 2 x 2 y 2), azaz a skaláris szorzat a normából kifejezhető. 3 4 Következik onnan, hogy a norma és távolság egymásból kölcsönösen kifejezhetők: d(x, y) = x y, x = d(x, 0). 2 = 5 A skaláris szorzat tartásból következik, hogy ortonormált vektorrendszer képe ortonormált vektorrendszer, hisz a hossz és a merőlegesség megmarad. 5 = 2 Legyen x = x 1 e 1 + x 2 e 2, y = y 1 e 1 + y 2 e 2, ahol (e 1, e 2 ) ortonormált pár. Ekkor Ax = x 1 Ae 1 + x 2 Ae 2 és Ay = y 1 Ae 1 + y 2 Ae 2 is teljesül. Mivel (Ae 1, Ae 2 ) is ortonormált pár: x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 Ax, Ay = x 1 y 1 + x 2 y 2, azaz A megtartja a skaláris szorzatot.

28 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Megjegyzés. Az ortogonális mátrixcsoport és a speciális ortogonális mátrixcsoport tetszőleges dimenzióban is hasonlóan értelmezhető, mint kétdimenzióban: O(n) = {A GL(n) A 1 = A t }, SO(n) = {A O(n) det A = 1}, Az ortogonális mátrixok előző tételben megadott jellemzése szó szerint átvihető tetszőleges (véges) dimenzióba. Azonban a 19. tételhez hasonló egyszerű felírást magasabb dimenzióban már nem tudunk adni. A síkbeli orientáció fogalmáról A síkbeli orientáció (irányítás) hétköznapi szóhasználatban az óramutató járásával összefüggésben megállapított forgási irány, mely ebben az értelemben fizikai fogalom. Matematikai értelemben R 2 -ben az (E 1 = (1, 0), E 2 = (0, 1)) kanonikus bázissal kitüntethetünk egy irányt, ezt nevezzük pozitív (az óramutató járásával ellentétes) iránynak. Definíció. Az (a, b) lineárisan független rendezett vektorpár irányításán sgn det(a, b)-t értjük. 21. Tétel. Minden A SO(2) speciális ortogonális transzformáció irányítástartó, azaz a, b R 2 : sgn det(aa, Ab) = sgn det(a, b). Bizonyítás. sgn det(aa, Ab) = sgn(det A det(a, b)) = sgn det(a, b).

1.4. A SÍK ORTOGONÁLIS CSOPORTJA 29 Kulcsszavak 1. 2. 3. 4. 5. Jegyzetek

30 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN 1.5. Izometriák Definíció. Egy F : R 2 R 2 bijektív leképezést egybevágósági transzformációnak vagy izometriának nevezünk, ha távolságtartó, azaz P, Q R 2 : d(f (P ), F (Q)) = d(p, Q). 22. Tétel. R 2 összes izometriái csoportot alkotnak a transzformáció szorzás műveletre nézve. Ezt a csoportot E(2)-vel jelöljük és a kétdimenziós euklideszi tér euklideszi csoportjának nevezzük. A 8. tétel szerint minden tengelyes tükrözés izometria, ebből következően minden elforgatás is izometria. Másik egyszerű példa izometriára az eltolás, vagy transzláció. Definíció. Legyen v R 2. A τ v : R 2 R 2, X τ v (X) = X + v leképezést v vektorú eltolásnak (transzlációnak) nevezzük. 23. Tétel. R 2 összes transzlációi kommutatív csoportot alkotnak a kompozíció szorzás műveletre nézve. 24. Tétel. Minden transzláció izometria. 25. Tétel (A síkizometriák főtétele). Egy F : R 2 R 2 bijektív leképezés akkor es csakis akkor izometria, ha A O(2) ortogonális mátrix és b R 2 vektor, hogy F (x) = Ax + b. Bizonyítás. Mivel minden ortogonális transzformáció és eltolás izometria, ezek kompozíciója is az. Legyen most F : R 2 R 2 egybevágóság. b-t és A-t a következőképpen konstruáljuk meg. Legyen b = F (0), ϕ: R 2 R 2, ϕ(x) = F (x) b. ϕ-ről belátjuk, hogy lineáris leképezés, így megegyezik egy A mátrixszal való bal oldali szorzással. Először belátjuk, hogy az előbbiekben megkonstruált ϕ megtartja a skaláris szorzatot. Emlékeztetünk arra, hogy ξ, η R 2 : ξ, η = ξ 2 + η 2 ξ η 2. 2

1.5. IZOMETRIÁK 31 Tehát ϕ(x), ϕ(y) = = ϕ(x) 2 + ϕ(y) 2 ϕ(x) ϕ(y) 2 2 = F (x) F (0) 2 + F (y) F (0) 2 F (x) F (0) F (y) + F (0) 2 2 = x 0 2 + y 0 2 x y 2 2 = = x 2 + y 2 x y 2 2 = x, y, felhasználva, hogy F izometria. Végezetül belátjuk, hogy ϕ lineáris. Az előző bizonyításrészből közvetlenül ( következik, hogy ha E = (e 1, e 2 ) ortonormált bázis, akkor E = ϕ(e1 ), ϕ(e 2 ) ) is ortonormált bázis. Vegyük ϕ(x) koordináta-előállítását E - re vonatkozóan: ϕ(x) = 2 ϕ(x), ϕ(e i ) ϕ(e i ) = i=1 2 x, e i ϕ(e i ). ϕ(x)-nek ez a kifejezése x-ben lineáris, tehát van olyan A R n n mátrix, hogy ϕ(x) = Ax. Mivel ϕ skaláris szorzat tartó, ezért i=1 Ax, Ay = ϕ(x), ϕ(y) = x, y, azaz a 20. Tétel szerint A ortogonális mátrix. A főtétel közvetlen következménye az alábbi tétel: Következmény. Minden izometria ortogonális transzformáció és eltolás szorzata. A sík izometriái geometriailag eltolások vagy elforgatások vagy csúsztatva tükrözések. Definíció. Egy síkizometriát mozgásnak vagy irányítástartó izometriának nevezünk, ha az ortogonális komponense speciális ortogonális transzformáció. 26. Tétel. A sík mozgásai csoportot alkotnak a transzformáció szorzás műveletre nézve. Ezt a csoportot E + (2)-vel jelöljük. A sík mozgásai geometriailag elforgatások vagy eltolások. Megjegyzés. A fejezet tételei változatlan formában érvényesek magasabb dimenzióban, a főtétel bizonyítása is szó szerint megismételhető. =

32 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Kulcsszavak 1. 2. 3. 4. 5. Jegyzetek

1.6. AFFIN LEKÉPEZÉSEK A SÍKBAN 33 1.6. Affin leképezések a síkban Definíció. Egy F : R 2 R 2, X F (X) = X bijektív leképezést kollineációnak nevezünk, ha teljesül rá a következő tulajdonság: P, Q, R akkor és csakis akkor három különböző kollineáris pont, ha P, Q, R is. Definíció. Legyen A GL(2), b R 2. Az F : R 2 R 2, x Ax + b leképezést affin transzformációnak nevezzük. Az A mátrix az F affin transzformáció lineáris része, míg a b vektor az eltolási része. Röviden az affin transzformáció jelölésére az (A, b) rendezett párt is használhatjuk. Következmény. Minden izometria affin transzformáció. Egy izometria lineáris része ortogonális mátrix. 27. Tétel. A sík egy leképezése akkor és csakis akkor affin leképezés, ha kollineáció. Bizonyítás. Minden affin transzformáció kollineáció. Mivel A(A 1 (x b)) + b = x, ezért az affin transzformáció szürjektív. Másrészt Ax + b = Ay + b = A 1 Ax = A 1 Ay = x = y, tehát az affin transzformáció injektív. Legyen R a P Q egyenes egy P -től és Q-tól különböző pontja. Ekkor!t R \ {0, 1} : R = tq + (1 t)p = AR = taq + (1 t)ap. a bal oldalhoz b-t, a jobb oldalhoz tb + (1 t)b-t hozzádava: R = t(aq + b) + (1 t)(ap + b) = tq + (1 t)p (t 0, 1), ami azt jelenti, hogy R a P Q egyenes P -től és Q -től különböző pontja. Megfordítva, legyen R a P Q egyenes P -től és Q -től különböző pontja. Ekkor!t R \ {0, 1}: R = tq + (1 t)p = AR + b = t(aq + b) + (1 t)(ap + b) = AR = A(tQ) + A((1 t)p ) = R = tq + (1 t)p, Azaz P, Q, R kollineárisak és különbözőek. Minden kollineáció affin transzformáció. Nem tárgyaljuk.

34 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Az l = P + [v] egyenes affin képe az l = P + [Av] egyenes, ami az alábbi relációból rögtön látszik: F (P + tv) = A(P + tv) + b = AP + b + tav = F (P ) + t(av). 28. Tétel. A sík affin transzformációi csoportot alkotnak a kompozíció műveletre nézve. Ezt a csoportot A(2)-vel jelöljük és affin csoportnak mondjuk. Bizonyítás. Legyenek F és F affin transzformációk a síkon: Ekkor F (x) = Ax + b, F (x) = A x + b. (F F )(x) = A (Ax + b) + b = (A A) x + A } {{ } } b {{ + b }, (1.9) GL(2) R 2 azaz két affin transzformáció szorzata is affin transzformáció. Az asszociativitás a kompozíció szorzás általános tulajdonsága. Egységelem: a transzformáció lineáris része I 2, az eltolás része a zérusvektor. Az F (x) = Ax + b affin transzformáció inverze az az affin transzformáció, melynek lineáris része A 1, eltolási része A 1 b, amint azt (1.9)-ba visszahelyettesítve azonnal látjuk. A sík affin transzformációi nem mátrix szorzásként hatnak az eltolási rész jelenléte miatt. Azonban, ha a sík affin transzformációinak 3 3-típusú mátrixokat feleltetünk meg, már az affin transzformációk kompozícióját mátrix szorzással számíthatjuk. 29. Tétel. (A lineáris reprezentáció elve.) Legyen µ: A(2) GL(3), a 11 a 12 b 1 (A, b) µ(a, b) = a 21 a 22 b 2 jel = 0 0 1 ( ) A b, 0 1 ahol A = (a ij ) GL(2), b = (b 1, b 2 ) R 2. µ művelettartó és injektív leképezés (azaz injektív homomorfizmus) A(2) és GL(3) között.

1.6. AFFIN LEKÉPEZÉSEK A SÍKBAN 35 Bizonyítás. µ nyilvánvalóan injektív, azaz különböző affin transzformációknak különböző mátrixok felelnek meg µ által. Könnyen ellenőrizhető, hogy µ művelettartó, azaz egy homomorfizmus: ( ) A µ((a, b ) (A, b)) = µ(a A, A b + b ) = A A b + b így ( A µ(a b, b) µ(a, b) = 0 1 ) ( A b 0 1 0 1 ) ( A = A A b + b 0 1 µ((a, b ) (A, b)) = µ(a, b) µ(a, b). Következmény. Az előző tétel alapján A(2) és µ(a(2)) izomorf csoportok, a továbbiakban nem teszünk köztük különbséget: {( ) } A b A(2) = A GL(2), b R 2 0 1 Következmény. Azt is láthatjuk, hogy ha x = Ax + b, akkor x 1 a 11 a 12 b 1 x 1 x 2 = a 21 a 22 b 2 x 2. 1 0 0 1 1 A továbbiakban fontos kiindulópont az alábbi reláció, amelyet már levezettünk. Legyen F a sík affin transzformációja, ekkor a P, Q pontokra t R : F ((tq + (1 t)p ) = tf (P ) + (1 t)f (Q). (1.10) Definíció. Legyen P, Q, R három különböző kollineáris pont, R = tq+(1 t)p. Az R pontnak a (P, Q) alappontokra vonatkozó osztóviszonyán a számot értjük. (P QR) = t 1 t R \ {0, 1} Következmény (Az osztóviszony kiszámítása). d(p, R) d(r, Q), P R Q (P QR) = d(p, R), (P R Q) d(r, Q) ),

36 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Bizonyítás. Ha R = tq + (1 t)p, akkor tr + (1 t)r = tq + (1 t)p = (1 t)(r P ) = t(q R), mindkét oldal normáját véve 1 t d(p, R) = t d(r, Q) = t 1 t = d(p, R) d(r, Q). Ha P R Q, akkor t (0, 1), így t és (1 t) pozitívak; míg ha (P R Q), akkor t és (1 t) ellentétes előjelűek, ami adja az előjelekre vonatkozó állítást is. Megjegyzés. Az osztóviszonyt szokás az itt definiált érték ellentettjével is definiálni. Példa. A szakasz felezőpontjának osztóviszonya a végpontokra, mint alappontokra nézve (ezek sorrendjétől függetlenül) 1. 30. Tétel. Minden affin transzformáció osztóviszonytartó. Bizonyítás. (1.10)-ból azonnal látszik. 31. Tétel (A fixpontok szerkezete). A sík egy affin transzformaációjának ha van fixpontja, akkor a fixpontok halmaza pont, egyenes vagy a teljes sík. Utóbbi esetben a transzformáció az identikus leképezés. Úgy is fogalmazhatunk, hogy az affin transzformáció fixpontjai halmaza üres halmaz vagy lineáris sokaság. Bizonyítás. Az F = (A, b) affin transzformáció X R 2 fixpontjára F (X) = X, azaz AX + b = X (A I)X = b teljesül. Azaz a fixpontok megoldásai az A I alapmátrixú (általában inhomogén) lineáris egyenletrendszernek. A lineáris egyenletrendszerek elméletéből tudjuk, ha van megoldás, akkor a megoldások halmaza lineáris sokaság. 32. Tétel (Az affin transzformációk fixponttétele). 1. Ha egy affin transzformáció egy egyenes két különböző pontját fixen hagyja, akkor az egyenes minden pontja fix.

1.6. AFFIN LEKÉPEZÉSEK A SÍKBAN 37 2. Ha egy affin transzformáció a sík három nem kollineáris pontját fixen hagyja, akkor a transzformáció identitás. Bizonyítás. Tételünk közvetlen következménye az előző tételnek. Ha van két különböző fixpont, akkor a fixpontok halmaza egyenes vagy a teljes sík, így a két pontra illeszkedő egyenes mindenképpen pontonként fix. Három nem kollineáris fixpont esetén a fixpontok halmazaként már csak a teljes sík jöhet szóba. 33. Tétel (Az affin transzformációk alaptétele). Legyen (P, Q, R) és (P, Q, R ) két nem kollineáris rendezett ponthármas (röviden háromszög) a síkon. Egyértelműen létezik olyan F : R 2 R 2 affin transzformáció, melyre F (P ) = P, F (Q) = Q, F (R) = R. Bizonyítás. Létezés. A tételt először egy speciális esetben látjuk be, nevezetesen legyen P = O = (0, 0), Q = E 1 = (1, 0), R = E 2 = (0, 1), a másik nem kollineáris ponthármast jelöljük most (X, Y, Z)-vel. Az affin transzformációt az A lineáris részével és b eltoló vektorával keressük. Jelölje A oszlopait A 1 és A 2! Ekkor b és A = (A 1, A 2 ) könnyen megadható: AE 1 + b = Y AO + b = X = b = X, = A 1 = Y b = Y X AE 2 + b = Z = A 2 = Z b = Z X. Mivel XY Z nem kollineáris ponthármas, az Y X és Z X vektorok nem egy irányúak (lineárisan függetlenek), azaz det A 0. Ezek után jelölje F 1 azt az affin transzformációt, mely (O, E 1, E 2 )-t (P, Q, R)-be viszi; F 2 pedig azt az affin transzformációt, mely (O, E 1, E 2 )-t (P, Q, R )-be viszi. A keresett transzformáció F 2 F1 1. Egyértelműség. Ha G egy másik affin transzformáció a feltételekkel, akkor a G 1 F affin transzformációnak P QR három nem kollineáris fixpontja, azaz G 1 F = id = F = G.

38 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Kulcsszavak 1. 2. 3. 4. 5. Jegyzetek

1.7. SPECIÁLIS AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK 39 1.7. Speciális affin transzformációk Definíció. Egy affin transzformációt affin nyújtásnak, röviden nyújtásnak nevezünk, ha igaz rá, hogy minden egyenes párhuzamos a képével. (A definícióban megengedjük, hogy egy egyenes képe esetleg önmaga.) Példa. Az eltolás vagy a félfordulat (π szögű elforgatás) nyilvánvalóan affin nyújtás. A következő példa szintén ismerős lesz az elemi geometriai tanulmányokból. Definíció. Legyen rögzítve a C R 2 pont és λ 0 skalár. A h (C,λ) : R 2 R 2, X h (C,λ) (X) = C + λ(x C) leképezést C centrumú, λ arányú középpontos nyújtásnak nevezzük. Szokás a középpontos nyújtás arányának az itt definiált előjeles arány abszolút értékét, azaz λ -t nevezni. A középpontos nyújtás definícióját átalakítva: h (C,λ) (X) = C + λ(x C) = λix + (C λc). Innen láthatjuk, hogy a transzformáció affin transzformáció, melynek lineáris része λi, azaz valóban minden egyenes párhuzamos lesz a képével. 34. Tétel. A sík minden nyújtásának lineáris része λi 2, ahol λ 0 valós szám. Bizonyítás. Egy nyújtás lineáris része olyan A GL(2) mátrix, hogy minden v R 2 -re v és Av arányosak. Speciális vektorokat behelyettesítve v helyére: ( ) ( ) ( ) a11 a 12 1 a11 = = a a 21 a 22 0 a 21 = 0 21 ( ) ( ) ( ) a11 a 12 0 a12 = = a a 21 a 22 1 a 12 = 0 22 ( ) ( ) ( ) a11 0 1 a11 = = a 0 a 22 1 a 11 = a 22. 22 Legyen a 11 és a 22 közös értéke λ, ekkor A = λi 2.

40 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Az olyan diagonális mátrixot, amelyben a diagonális elemei ugyanazok a skalárok (azaz a mátrix λi alakú), skalár mátrixnak is nevezik. Így tételünket úgy is fogalmazhatjuk, hogy egy nyújtás lineáris része mindig skalármátrix. 35. Tétel. Egy identitástól különböző nyújtásnak nem lehet két fixpontja. A fixpontmentes nyújtás mindig eltolás, az egy fixponttal rendelkező nyújtás pedig mindig középpontos nyújtás. Bizonyítás. Legyen F (X) = λx + b az affin leképezés, a fixpontra λx + b = X (λ 1)X = b. (1.11) λ = 1 esetén a transzformáció eltolás, ha ráadásul b 0, akkor valódi eltolás. Ekkor az (1.11) egyenletnek nincs megoldása. λ 1 esetén X = b/(1 λ) az egyértelmű fixpont. Definíció. Középpontos nyújtás és egybevágóság szorzatát hasonlóságnak nevezzük. A hasonlóság arányának a származtató középpontos nyújtás arányát nevezzük Mivel a középpontos nyújtás speciálisan lehet az identitás is, ezért az egybevágóságok nyilvánvalóan hasonlóságok is. A definícióból az is rögtön következik, hogy a hasonlóságok egyben affin transzformációk. 36. Tétel. A sík egy hasonlóságának lineáris része ( ) a ±b GL(2), ahol a 2 + b 2 > 0. b a A hasonlóságok csoportot alkotnak a transzformáció szorzás műveletére nézve. Bizonyítás. A hasonlóság legyen a λ arányú középpontos nyújtás és egy olyan egybevágóság szorzata, melynek lineáris része ( ) cos α ± sin α. sin α cos α A szorzat lineáris része (a transzformációk sorrendjétől függetlenül) ( ) λ cos α ±λ sin α. (1.12) λ sin α λ cos α

1.7. SPECIÁLIS AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK 41 Legyen λ cos α = a, λ sin α = b, ekkor a kívánt mátrix alakot kapjuk. Továbbá a 2 + b 2 = λ 2 > 0 is teljesül. Az (1.12) alakú mátrixok szorzata és inverze ugyanilyen alakú mátrixot ad, továbbá az egységmátrix nyilván ilyen alakú. Ebből következik, hogy a hasonlóságok csoportot alkotnak. A sík hasonlóságainak csoportját S(2) jelöli. Az előző tétel alapján {( ) } λa b S(2) = GL(3) A O(2), λ 0, b R 2 0 1 37. Tétel (Skálatétel). Egy λ arányú F : R 2 R 2 hasonlóságra teljesül, hogy P, Q R 2 : d(f (P ), F (Q)) = λ d(p, Q). Bizonyítás. Legyen F (X) = λax + b (A O(2), b R 2 ) λ arányú hasonlóság. d(f (P ), F (Q)) = λap + b λaq b = λa(p Q) = λ A(P Q) = λ P Q = λ d(p, Q), a * lépésnél kihasználva, hogy egy ortogonális transzformáció normatartó. Úgy is fogalmazhatunk, hogy egy hasonlóság minden szakasz hosszát ugyanannyiszorosára változtatja (ugyanúgy skálázza). 38. Tétel (Hasonlóságok fixponttétele). Ha egy hasonlóság nem izometria, akkor egyértelműen létezik fixpontja. Bizonyítás. X akkor és csakis akkor fixpontja a (λa, b) hasonlóságnak, ha Azt állítjuk, hogy az (1.13) egyenletből képzett (λa I)X = b. (1.13) (λa I)X = 0, (1.14) homogén lineáris egyenletrendszernek csak a zéró vektor megoldása, így az (1.13) egyenletnek egyértelmű megoldása van. Ha (λa I)X = 0, akkor λ AX = X. Az ortogonális transzformáció normatartó, így ( λ 1) X = 0. λ 1, mert a transzformáció nem izometria, így X = 0, azaz (1.14)-nek csak triviális megoldása van.

42 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Kulcsszavak 1. 2. 3. 4. 5. Jegyzetek

1.8. O(3) SZERKEZETE 43 1.8. O(3) szerkezete Az egydimenziós euklideszi vektorterek ortogonális transzformációi id és id. Az előzőekben beláttuk, hogy kétdimenziós euklideszi vektorterek ortogonális transzformációi az origó körüli elforgatások és az origón átmenő egyenesre vonatkozó tükrözések. Ebben a fejezetben a tér ortogonális transzformációit írjuk le. Definíció. Legyen F R n altér. Ekkor F = {x R n y F : x, y = 0} az F altér ortogonális komplementere. 39. Tétel. (A definíció jelöléseivel.) F altér, továbbá F = F és F F = R n. Bizonyítás. Elemi lineáris algebra. 40. Tétel. Legyen A O(n) ortogonális transzformáció, F R n az A transzformáció invariáns altere. Ekkor F szintén az A invariáns altere, továbbá A F (azaz A leszűkítése F -re) szintén ortogonális transzformáció. Bizonyítás. Először azt látjuk be, hogy minden y F -hez létezik olyan z F, hogy Az = y. Legyen (b 1,..., b k ) az F altér ortonormált bázisa. Ekkor (Ab 1,..., Ab k ) is ortonormált vektorrendszer, tehát F -nek szintén bázisa. Legyen y = k i=1 y iab i és z definíciója legyen a következő: z = k i=1 y ib i. Ekkor Az = y teljesül. A tétel állítására közvetlenül rátérve, legyen x F, y F és z F azzal a tulajdonsággal, hogy Az = y. Felhasználva, hogy az ortogonális transzformáció skaláris szorzat tartó: Ax, y = Ax, Az = x, z, azaz Ax F. A F ortogonalitása következik a skaláris szorzat megtartásából. 41. Tétel. R 3 minden ortogonális transzformációjának van egy- és kétdimenziós invariáns altere.

44 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Bizonyítás. Először belátjuk, hogy találunk olyan x R 3 nem zéró vektort, melyre Ax = λx valamely λ R-re. Ax = λx (A λ id)x = 0, azaz x az A λ id négyzetes alapmátrixú homogén lineáris egyenletrendszer nem triviális megoldása. Ennek szükséges és elégséges feltétele, hogy det(a λ id) = 0. Ez utóbbi formula λ-ra egy harmadfokú egyenlet, melynek biztosan van valós gyöke (egy vagy három). Azaz a szóban forgó harmadfokú egyenletet megoldva találunk olyan λ értéket, melyre az Ax = λx egyenletnek van zérusvektortól különböző megoldása. L(x) egydimenziós invariáns altere A-nak, ennek ortogonális komplementere pedig kétdimenziós invariáns altér. Definíció. A tér egy ortogonális transzformációjának kétdimenziós invariáns alterét a transzformáció forgássíkjának nevezzük, ha azon a transzformáció kétdimenziós forgásként hat, míg tükörsíknak, ha azon a transzformáció tengelyes kükrözésként hat. 42. Tétel. O(3) minden elemének van forgássíkja. Bizonyítás. Tegyük föl, hogy P R 3 az A ortogonális transzformáció kétdimenziós invariáns altere és P tükörsík. Ekkor A a P -ben tengelyes tükrözésként hat, jelöljük a tengelyt m-mel. Mivel P ortogonális komplementere egydimenziós, ezért A P = ± id. Legyen először A P = id. Ekkor az m és P által kifeszített Q síkon A Q = id, hiszen az m-et és P egyeneseket kifeszítő bázisvektorok önmagukba mennek át, azaz Q forgássík, identikus forgatással. A P = id. Ekkor A m = id, azaz m forgássík, a forgatás szöge π. (Ld. az 1.3 ábrát.) Geometriailag tehát leírtuk O(3) elemeit: Következmény. A tér minden ortogonális transzformációja vagy tengely körüli forgatás vagy tengely körüli elforgatás és a forgássíkra vonatkozó tükrözés szorzata. Algebrailag ugyanez az állítás a következőképpen fogalmazható meg: Következmény (A tér ortogonális mátrixainak normálforma tétele). O(3) minden eleme hasonló az alábbi mátrixok valamelyikéhez: cos φ sin φ 0 cos φ sin φ 0 sin φ cos φ 0, sin φ cos φ 0, φ R. 0 0 1 0 0 1

1.8. O(3) SZERKEZETE 45 1.3. ábra. A gyakorlatban szükségünk van általános tengelyű forgás mátrixára. Legyen a tengely irányvektora (a forgássík normálvektora) n és tegyük fel, hogy n = 1. Ekkor a tér tetszőleges p vektorára p = p, n n + n (p n) (1.15) ugyanis a vektoriális szorzatra vonatkozó kifejtési tétel szerint: n (p n) = n, n p n, p n = p n, p n. Az (1.15) egyenlet p felbontását adja n-nel párhuzamos és arra merőleges komponensre. A forgatás során a p tengellyel párhuzamos komponense megegyezik az elforgatott p vektor tengellyel párhuzamos komponensével, míg a forgássíkba eső komponens, azaz a forgatás α szögével elfordul. n p és n (p n) azonos hosszúságú egymásra merőleges vektorok, így: n (p n) = cos α n (p n) + sin α n p. A végeredményt a kifejtési tétel ismételt alkalmazásával kapjuk meg: p = n, p n + cos α n (p n) + sin α n p = = cos α n, n p cos α n, p n + sin α n p = = cos α p (cos α 1) n, p n + sin α (n p).

46 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Forgatva tükrözés esetén csak a tengellyel párhuzamos komponensben van eltérés: p = cos α p (cos α + 1) n, p n + sin α (n p). Így O(3) minden elemét a geometriai adatokból meg tudjuk adni: 43. Tétel. Legyen n R 3 egységvektor, α R. Az α szögű L(n) tengelyű forgatásra vagy forgatva tükrözésre: R 3 R 3, p p = cos α p (cos α 1) n, p n + sin α (n p). Alkalmazásként határozzuk meg a koordinátatengelyek körüli elforgatások mátrixát!

1.8. O(3) SZERKEZETE 47 Kulcsszavak 1. 2. 3. 4. 5. Jegyzetek

48 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN 1.9. Összefoglalás és kitekintés más dimenziókra Az alábbi nevezetes mátrix csoportokat ismertük meg: általános lineáris csoport: GL(n) = {A R n n det A 0} ortogonális csoport: O(n) = {A GL(n) A 1 = A t } speciális ortogonális csoport: SO(n) = {A O(n) det A = 1} Az alábbi nevezetes transzformáció csoportokat ismertük meg: affin csoport: A(n) = {(A, b) A GL(n), b R n }. A(n)-ben a szorzás műveletét az (A, b) (A, b ) = (AA, Ab + b) előírással értelmezzük. A csoport izomorf a következő mátrix csoporttal {( ) } A b GL(n + 1) A GL(n), b R n. 0 1 ( ) A b Az mátrixot az (A, b) affin transzformáció lineáris reprezentációjának 0 1 mondjuk. Az alábbi transzformáció csoportokkal izomorf mátrix csoportokat analóg módon képezzük. hasonlósági csoport: S(n) = {(λa, b) A O(n), b R n, λ 0} A(n) izometriacsoport: E(n) = {(A, b) A O(n), b R n } A(n) mozgáscsoport: E + (n) = {(A, b) A SO(n), b R n } A(n) Egy dimenzióban A számegyenes geometriai transzformációi. általános lineáris csoport: GL(1) = {a R a 0} ortogonális csoport: O(1) = {1, 1}. Geometriai értelemben az identitásról és az origóra vonatkozó tükrözésről van szó.

1.9. ÖSSZEFOGLALÁS, KITEKINTÉS 49 1.4. ábra. Az egyenes affin leképezése speciális ortogonális csoport: SO(1) = {1} affin csoport: A(1) = {(a, b) a 0, b R}. Az A(1) halmazon a szorzás a (a, b) (a, b ) = (aa, ab + b) definíció szerint van adva. Az (a, b) affin leképezés nem más, mint az R R, x ax + b leképezés, amelyet az 1.4. ábra szemléltet. hasonlósági csoport: S(1) = {(λ, b) λ 0, b R} izometriacsoport: E(1) = {(±1, b) b R} Az egyenes mozgása x ±x + b, azaz vagy eltolás, vagy origóra vonatkozó tükrözés és eltolás szorzata. mozgáscsoport: E + (1) = {(1, b) b R}. Az egyenes mozgása mindig eltolás: x x + b.

50 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Két dimenzióban Két dimenzióban az ortogonális csoport és a speciális ortogonális csoport elemeit expliciten is meg tudjuk adni: {( )} cos α sin α SO(2) =, geometriailag origó körüli forgatások sin α cos α {( )} cos α sin α O(2) =, geometriailag origó körüli forgatások és sin α ± cos α olyan tengelyes tükrözések, ahol a tengely az origóra illeszkedik A hasonlósági csoport lineáris része pedig: ( ) a b, a b ±a 2 + b 2 > 0

1.9. ÖSSZEFOGLALÁS, KITEKINTÉS 51 csoport jele lineáris rész geometriai leírás invariáns alaptétel affin A(2) A GL(2) egyenestartó osztóviszony ABC A B C arány ABC A B C hasonlóság S(2) λa, A O(2), λ 0 középpontos nyújtás és egybevágóság szorzata távolság ABC = A B C egybevágóság E(2) A O(2) tengelyes tükrözések szorzata AB A B távolság és orientáció mozgás E + (2) A SO(2) páros számú tengelyes tükrözés szorzata 1.1. táblázat. A(2) nevezetes részcsoportjai ABC A B C, ha megfelelő szögeik azonos mértékűek ABC = A B C, ha megfelelő oldalaik azonos mértékűek Megjegyzés. A sík egy egybevágósága legfeljebb három tengelyes tükrözés szorzata, egy síkmozgás két tengelyes tükrözés szorzata (beleértve, hogy a tengelyek lehetnek azonosak). A sík egybevágósága eltolás, elforgatás vagy csúsztatva tükrözés lehet.

52 1. FEJEZET. GEOMETRIA R 2 -BEN Három dimenzióban A síkon az egybevágósági transzformációk felépítésének alapeleme a tengelyes tükrözés volt. Analóg módon definiáljuk térben a síkra vonatkozó tükrözést. Definíció. Az X P, n = 0 normálegyenletű P pontra illeszkedő, n normál egységvektorú síkra vonatkozó tükrözés a transzformáció. ρ S : R 3 R 3, X X 2 X P, n n A tengely körüli elforgatást mint két metsző síkra vonatkozó tükrözés szorzatát definiáljuk. A térben az ortogonális mátrixok leírása algebrailag összetettebb, mint két dimenzióban. Ehhez előbb egy fogalmat kell bevezetnünk: Definíció. A B R n n mátrixot hasonlónak mondjuk az A R n n mátrixhoz, ha van olyan S GL(n) mátrix, hogy B = S 1 AS. Jelölésben: A B. A mátrixok hasonlósága könnyen ellenőrizhetően ekvivalenciareláció. Ezekre az ekvivalenciaosztályokra gondolhatunk úgy, mint geometriai osztályra. 44. Tétel. Minden 3 3 típusú ortogonális mátrix hasonló az cos α sin α 0 cos α sin α 0 sin α cos α 0, sin α cos α 0 0 0 1 0 0 1 mátrixok valamelyikéhez. Geometriai szempontból az első mátrix a z tengely körüli α szögű elforgatást jelenti, a második mátrix pedig egy szorzatként előálló transzformációt, a z tengely körüli α szögű elforgatás és az xy síkra vonatkozó tükrözés szorzatát. Ezek a mátrixok reprezentálják O(3) geometriai osztályait. Következmény. O(3) minden eleme vagy tengely körüli elforgatás, ahol a tengely az origóra illeszkedik, vagy tengely körüli elforgatás és síkra vonatkozó tükrözés szorzata, ahol a tengely merőleges a síkra és azt az origóban metszi.

2. fejezet A projektív síkgeometria alapjai 53

54 2. FEJEZET. A PROJEKTÍV SÍKGEOMETRIA ALAPJAI 2.1. Az affin illeszkedési sík Az elemi geometriai tanulmányokból tudjuk, hogy az euklideszi síkon az egyenesek és a pontok illeszkedésére valamint az egyenesek párhuzamosságára teljesül néhány nagyon egyszerű tulajdonság. Ezeket a tulajdonságokat felhasználva jutunk el az affin sík absztrakt fogalmához. Definíció. Legyen E és L két halmaz, a pontok és egyenesek halmaza, i E L pedig egy relácó, az illeszkedési reláció. Az (E, L, i) hármas egy affin illeszkedési sík, ha A1 bármely két különböző pontra pontosan egy egyenes illeszkedik A2 ha adott egy egyenes és egy rá nem illeszkedő pont, akkor az adott pontra pontosan egy olyan egyenes illeszkedik, melynek nincs közös pontja az adott egyenessel A3 minden egyenesre illeszkedik legalább két pont, van legalább két egyenes. Az A2 tulajdonságot affin párhuzamossági axiómának nevezzük. Ha P Q pontok, akkor a rájuk illeszkedő egyenest P Q jelöli. Ha az l, m egyeneseknek egy affin síkon nincs közös pontja vagy egybeesnek, akkor azokat párhuzamosoknak mondjuk, és azt írjuk, hogy l m. A Descartes-sík Az (A1)-(A3) tulajdonságok teljesülnek a koordinátasíkon. Ismételjük át a Descartes-féle koordinatasíkról tanultakat! A pont (x, y) R 2, azaz rendezett számpár. Az egyenes egydimenziós lineáris sokaság R 2 -ben. Egy egyenes egyenlete ax + by + c = 0, (a, b) (0, 0). Az egyenletből az (a, b, c) rendezett számhármas a lényeges: ha ezt ismerjük, akkor fel tudjuk írni az egyenletet, ha az egyenlet adva van, akkor ezt le tudjuk olvasni. Ugyanakkor a rendezett számhármasok és az egydimenziós lineáris sokaságok közötti hozzárendelés nem kölcsönösen egyértelmű, mert az egyenes egyenletét egy nemzéró skalárral végigszorozva, ugyanannak az

2.1. AZ AFFIN ILLESZKEDÉSI SÍK 55 egyenesnek az egyenletét kapjuk. Mondhatjuk az tehát, hogy az egyenest [a, b, c]-vel interpretáljuk, ahol [a, b, c] = {λ(a, b, c) λ 0, (a, b) (0, 0)}. Az illeszkedés interpretációja ezek után: egy (x, y) pont illeszkedik egy [a, b, c] egyenesre, ha ax + by + c = 0 teljesül. Vezessük be az alábbi jelölést. Ha v R 3, akkor [v] = {λv λ 0} és R 3 / = {[v] v R 3 }. Az affin sík Descartes-féle modellje tehát: alapfogalom interpretáció pont (x, y) R 2 egyenes [a, b, c] R 3 /, (a, b) (0, 0) illeszkedés ax + by + c = 0 Ferdetest feletti affin sík. A (valós) Descartes-féle koordinátasík analógiáját tetszőleges ferdetestre el lehet készíteni. Legyen F tetszőleges ferdetest. alapfogalom interpretáció pont (x, y) F 2 egyenes [a, b, c] F 3 /, (a, b) (0, 0) illeszkedés ax + by + c = 0 Gondosan ügyelve a szorzás nem kommutatív voltára, az axiómák teljesülése éppen úgy ellenőrizhető, mint a valós esetben. Z 2 -fölötti affin sík Az előző példa speciális eseteként tárgyaljuk az F = Z 2 esetet. A modulo 2 maradékosztály gyűrű test, ezt a testet jelöljük Z 2 -vel. (Természetesen most a szorzás kommutatív lesz, tehát testről, nem valódi ferdetestről van szó.) Ez a test két elemű, (az elemek 0 és 1), az összeadás és szorzás definíciója: 0 + 0 = 0 0 0 = 0 1 + 0 = 1 1 0 = 0 0 + 1 = 1 0 1 = 0 1 + 1 = 0 1 1 = 1.

56 2. FEJEZET. A PROJEKTÍV SÍKGEOMETRIA ALAPJAI A koordinátákból összesen négy pont és hat egyenes készíthető, ezek a következők. A pontok: Az egyenesek: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). [1, 1, 1], [1, 1, 0], [1, 0, 1], [1, 0, 0], [0, 1, 1], [0, 1, 0]. Megjegyezzük, hogy a testben egyetlen zérustól különböző skalár van, az egységelem, így az [a, b, c] (a, b, c {0, 1}) halmaz most egyetlen számhármast tartalmaz. Az illeszkedési reláció (melyet a 2.1. ábra szemléltet) az alábbi táblázat szerint teljesül. (Ahol a pont illeszkedik az egyenesre, ott az illeszkedés egyenlete a táblázatban szerepel.) (0, 0) (0, 1) (1, 0) (1, 1) [1, 1, 1] 0 + 1 + 1 = 0 1 + 0 + 1 = 0 [1, 1, 0] 0 + 0 + 0 = 0 1 + 1 + 0 = 0 [1, 0, 1] 1 + 0 + 1 = 0 1 + 0 + 1 = 0 [1, 0, 0] 0 + 0 + 0 = 0 0 + 0 + 0 = 0 [0, 1, 1] 0 + 1 + 1 = 0 0 + 1 + 1 = 0 [0, 1, 0] 0 + 0 + 0 = 0 0 + 0 + 0 = 0 APP teljesülése az összes lehetséges eset számbavételével könnyen ellenőrizhető. Írjuk le a Z 3 fölötti affin síkot is! A Descartes-sík (újraolvasva): iránytényezős egyenesekkel A Descartes-modellben az egyeneseket az ax + by + c = 0 ((a, b) (0, 0)) egyenletük alapján kezeltük. Az y tengellyel nem párhuzamos ( ferde ) egyeneseknek van ún. iránytényzős egyenlete is: y = mx + b. A függőleges egyenesek egyenlete pedig x = c. A Descartes-modell ezeket az egyenes előállításokat használva a következőképpen módosul: