Mirıl lesz szó? ELTE Problémamegoldó szeminárium; 29. november 23. Jó tartalék tartalékhiány mértéke Miért nem mőködhetnek a tartalék Miért torzíthatnak a tételes függıkártartalék Korrigált tartalékmutatók Továbbkorrigálás 29. november 23. Zubor Zoltán 1 29. november 23. Zubor Zoltán 2 Mirıl lesz szó? Jó tartalék tartalékhiány mértéke Miért nem mőködhetnek a tartalék Miért torzíthatnak a tételes függıkártartalék Korrigált tartalékmutatók Továbbkorrigálás Tartalékok Kár/szolgáltatás jellegő: függıkár-tartalék (tételes; IBNR) matematikai tartalék unit linked tartalék eredménytıl függı díj-visszatérítési tartalék Elhatárolás jellegő: meg nem szolgált díjak tartaléka törlési tartalék eredménytıl független díj-visszatérítési tartalék Egyéb káringadozási tartalék nagy károk tartaléka egyéb tartalék 29. november 23. Zubor Zoltán 3 28. november 23. Zubor Zoltán 4 Standard felügyeleti adatszolgáltatás Csak a nem élet ág szempontjából használható adatok: Negyedévente (negyedéves adatszolgáltatás - fontossági sorrendben) 5/26. PM rendelet: káradatok (kifizetés, tételes és IBNR tartalék Ft és db) ágazatonként és bekövetkezés idıpontja alapján (tárgyév, elızı év, 2-5 éve, 6+ éve) állományadatok ágazatonként (db, állománydíj, díjbevétel) tartalékok tartalékfajtánként bruttó/nettóélet/nem élet ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ nem élet termékcsoportonkénti adatok néhány kgfb adat (díjkövetelés, személyi sérüléses károk Ft, db) matematikai tartalék élet/nem élet, bruttó/nettó, fajtánként + kgfb 28. szeptember 22. Zubor Zoltán 5 Standard felügyeleti adatszolgáltatás Évente: Ld. negyedévente (éves adatszolgáltatás), plusz: aktuáriusi jelentés 7/21. PM rendelet: tartalékok ágazatonként és tartalékfajtánként bruttó/nettó a fontosabb tartalékok lebonyolítási eredményei; költségrészei ágazatonként kárhányad ágazatonként bruttó/nettó, /1/2 éves kgfb adatszolgáltatás (tehát csak kgfb-re) 54/21. PM rendelet: járadék, tételes, IBNR tartalékok és lebonyolítás állományadatok díjosztályonként és BM osztályonként (nyitó/záró) káradatok díjosztályonként bekövetkezés/bejelentés bontásban (károk száma, kifizetés, tételes tartalék) járadékkifizetések díjbevétel díjosztályonként IBNR tartalék kárévenként 28. november 23. Zubor Zoltán 6
Mekkora a jó tartalék? Mirıl lesz szó? Tartalék = meghatározott kötelezettségek értéke = jövıbeni CF- ekjelenértéke Tartalék egy valószínőségi változó. Egy számot kell mondani. Várható érték? Percentilis? (Jelenleg prudens várható érték, SIIben várható érték + kock. pótlék. Van-e tartalékhiány, és mekkora? (Nem vagyunk istenek.) Jó-e egy tartalék? A jövı megmondja. Megmondja? Az elégnek bizonyult tartalék megfelelı volt? (Egy-két konkrét példa.) Jó tartalék tartalékhiány mértéke Miért nem mőködhetnek a tartalék Miért torzíthatnak a tételes függıkártartalék Korrigált tartalékmutatók Továbbkorrigálás 29. november 23. Zubor Zoltán 7 29. november 23. Zubor Zoltán 8 Tartalékmutatók Összes tartalék/díj Összes tartalék/állomány-daraszám 29. november 23. Zubor Zoltán 9 29. november 23. Zubor Zoltán 1 Tartalékmutatók Összes tartalék/díj Mi lehet az ok? Az, hogy itt mindenféle tartalék egybe van ömlesztve. 29. november 23. Zubor Zoltán 11 29. november 23. Zubor Zoltán 12
28. szeptember 22. Zubor Zoltán 13 28. szeptember 22. Zubor Zoltán 14 Tartalékmutatók Csak a tételes függıkár-tartalékra: 28. szeptember 22. Zubor Zoltán 15 29. november 23. Zubor Zoltán 16 Tartalékmutatók Mi lehet az ok? Az, hogy az egyes ágazatoknak teljesen eltérı a tartalékigénye. 29. november 23. Zubor Zoltán 17 29. november 23. Zubor Zoltán 18
29. május 23. Zubor Zoltán 19 29. május 23. Zubor Zoltán 2 28. szeptember 22. Zubor Zoltán 21 28. szeptember 22. Zubor Zoltán 22 Ágazatonkénti tartalékmutatók Tőz és elemi károk (tartalék szempontjából a 3. legnagyobb ágazat) 29. november 23. Zubor Zoltán 23 29. november 23. Zubor Zoltán 24
Ugyanezek a cascora (tartalék szempontjából a 2. legnagyobb ágazat) : 29. november 23. Zubor Zoltán 25 29. november 23. Zubor Zoltán 26 És ugyanezek gfb-re (tartalék szempontjából a legnagyobb ágazat) : 29. november 23. Zubor Zoltán 27 29. november 23. Zubor Zoltán 28 Tartalékmutatók Átlagos kárkifizetés, illetve átlagos tételes függıkár-tartalék 29. november 23. Zubor Zoltán 29 4 3 5 3 2 5 2 1 5 1 5 baleset átlagos kárkifizetés ágazatonként (eft/db) betegség casco szállítmány tőz és elemi károk egyéb vagyoni károk általános felelısség gfb 29. május 23. Zubor Zoltán 3 hitel kezesség kül. péü. veszt. jogvédelem segítségnyújtás temetés összesen
4 3 5 3 2 5 2 1 5 1 5 átlagos tételes függıkártartalék ágazatonként (eft/db) 749 baleset betegség casco szállítmány tőz és elemi károk egyéb vagyoni károk hitel általános felelısség gfb 29. május 23. Zubor Zoltán 31 kezesség kül. péü. veszt. jogvédelem segítségnyújtás temetés összesen 29. november 23. Zubor Zoltán 32 Mirıl lesz szó? Jó tartalék tartalékhiány mértéke Miért nem mőködhetnek a tartalék Miért torzíthatnak a tételes függıkártartalék Korrigált tartalékmutatók Továbbkorrigálás 29. november 23. Zubor Zoltán 33 29. november 23. Zubor Zoltán 34 Miért torzíthatnak a tételes függıkár-tartalék Intuitíve: Nemcsak tárgyévi károkra van tartalék induló/fejlıdı biztosítók mutatója kicsi, régi/hanyatló biztosítóké nagy. A kis károkat hamarabb rendezik, a nagy (személyi sérüléses) károk beragadnak a nem rég bekövetkezett függı károkkal rendelkezık átlagos kártartaléka alacsonyabb. Pontosabban (számszerősítve, és most már az IBNR-rıl is szólva): 29. november 23. Zubor Zoltán 35 29. november 23. Zubor Zoltán 36
29. november 23. Zubor Zoltán 37 28. november 23. Zubor Zoltán 38 Ideális tartalékarány t(i; j) = az i-edik évi bruttó (költségrész nélküli) tételes függıkár-tartalékon belül hány %-ot tesz ki az (i-j)-edik évben (azaz j év csúszással) bekövetkezett károkra képzett tartalékrész. t(i; j) független i-tıl; egy t j ideális tartalékarány körül ingadozik. t j meghatározása?! (a lineáris trendek egy évvel való meghosszabbításával nem lényegi.) 28. november 23. Zubor Zoltán 39 29. november 23. Zubor Zoltán 4 Ideális átlagarány 28. november 23. Zubor Zoltán 41 a(i; j) = az i-edik évi bruttó (költségrész nélküli) tételes függıkár-tartalékon belül az (i-j)-edik évben bekövetkezett károkra képzett (egy függıkárra jutó) átlagos tartalék hányszorosa a teljes i-edik évi átlagos függıkár-tartaléknak. a(i; j) független i-tıl; egy a j ideális átlagarány körül ingadozik. a j meghatározása?! (a lineáris trendek egy évvel való meghosszabbításával nem lényegi.) 28. november 23. Zubor Zoltán 42
Ideális IBNR arány b(i; j) = az i-edik évi bruttó (költségrész nélküli) IBNR tartalékon belül hány %-ot tesz ki az (i-j)-edik évben (azaz j év csúszással) bekövetkezett károkra képzett tartalékrész. b(i; j) független i-tıl; egy b j ideális tartalékarány körül ingadozik. b j meghatározása?! (a lineáris trendek egy évvel való meghosszabbításával nem lényegi.) 29. november 23. Zubor Zoltán 43 28. november 23. Zubor Zoltán 44 Mirıl lesz szó? Korrigált tartalékmutatók Jó tartalék tartalékhiány mértéke Miért nem mőködhetnek a tartalék Miért torzíthatnak a tételes függıkártartalék Korrigált tartalékmutatók Továbbkorrigálás A korrigálás alapgondolata (1): Nem lehet csak a tárgyévi díjhoz, állományhoz viszonyítani. Az elmúlt évek adatait (díj, állomány) olyan súllyal kell venni, mint amekkora ideálisan az adott év (elcsúszás) súlya a tartalékban. Alkalmazás: tételes/díj, tételes/állomány, IBNR/díj, IBNR/állomány 29. november 23. Zubor Zoltán 45 29. november 23. Zubor Zoltán 46 Korrigált tartalékmutatók A korrigálás alapgondolata (2): Az átlagos tételes tartaléknál nem lehet egyforma súllyal venni a régi és az új károkat. A régi és az új károk darabszámát olyan súllyal kell venni, mint amilyen az ideális átlaguk (viszonya a teljes átlaghoz). Alkalmazás: átlagos tételes függıkártartalék. Feltételezések és kritikájuk A piaci állomány-darabszám beállt nagyjából igaz, és nem igazán befolyásol. A piaci bruttó díj beállt ez sokkal kevésbé igaz, de nem igazán befolyásol. A károk függetlenek és azonos eloszlásúak ez nagyon nem igaz - szélsıségesen eltérı portfólióknál; leginkább kárgyakoriság miatt. A mutatók trendje a piaci átlagok trendjének felel meg csak az elfogadási szinteknél van jelentısége. A mutatók közelítıleg normális eloszlásúak; várható érték ~ piaci mutató; szórás ~ a piaci trenddel korrigált mutatók (3 év) empirikus szórása. 29. november 23. Zubor Zoltán 47 29. november 23. Zubor Zoltán 48
Korrigált tételes függıkár-tartalék / díj KTD = j= FT j D, ahol FT a biztosító tételes függıkár- tartaléka; t j - kaz ideális tartalékarányok; Dj a biztosító tárgyévet j évvel megelızı év bruttó díjelıírása. Elıfeltételezések: 5 t j r j = ideális esetben egy szerzıdés/állomány bruttó díjának ekkora részének kell tételes függıkártartalékban lennijév múlva; r j biztosítótól és tárgyévtıl független r j ~ FT j / D j A teljes piac bruttó díja beállt (ez nem igaz, de nem baj). 28. november 23. Zubor Zoltán 49 Korrigált tételes függıkár-tartalék / díj - levezetés FT = FT j, ahol FT j ~ r j *D j. j=,1,... Σ Σ r i : r k ~ FT i FTk, ahol D i ~ D k, s így r i : r k ~ FT j : FT j, Σ : Σ D D i k azaz r i : r k ~ t i : t k tehát r j ~ R*t j, ahol R állandó. Így FT = R tj Dj = R t j Dj, amibıl R = t j=,1,... j=,1,... FT j Dj j=,1,... Azaz ideális esetben állandónak kell lenni (az elıfeltételezéseket elfogadva), azaz az egyes biztosítók korrigált tételes függıkár- tartalék / bruttó díj mutatóinak egy ideális Rérték körül kell(ene) ingadozniuk. 28. november 23. Zubor Zoltán 5 Korrigált IBNR tartalék / díj IT KID = 5 b j Dj j= 28. november 23. Zubor Zoltán 51 28. november 23. Zubor Zoltán 52 Korrigál egy függıkárra jutó átlagos tételes függıkár-tartalék KTE = FT a biztosító tárgyévi bruttó tételes függıkártartaléka; a j - kaz ideális tartalékarányok;, ahol Fd j a biztosítónál a tárgyévet j évvel megelızıen bekövetkezett károkra képzett függıkárok darabszáma. Elıfeltételezések: FT { aj Fdj :j =,1,2 5, 6 } r j = Ideális esetben egy R átlagkár r j -szeresének megfelelı tételes függıkár-tartalékot kell képezni ajévvel korábban bekövetkezett károkra. r j és R biztosítótól 28. november és 23. tárgyévtıl függetlenzubor Zoltán 53 28. november 23. Zubor Zoltán 54
Korrigált tételes függıkár-tartalék / állomány-daraszám FT KTA = 5 t j= j Aj, ahol FT a biztosító tárgyévi bruttó tételes függıkártartaléka; tj- kaz ideális tartalékarányok; Aj a biztosító tárgyévet j évvel megelızı év átlagos állomány- darabszáma Elıfeltételezések: r j = Ideális esetben egy szerzıdésre j év múlva ennyi tételes függıkár- tartalékot kell képezni. r j biztosítótól és tárgyévtıl független r j ~ FT j / A j 29. november 23. Zubor Zoltán 55 28. november 23. Zubor Zoltán 56 Korrigált IBNR tartalék / állomány-daraszám Mirıl lesz szó? KIA = 5 j= IT b j A j Jó tartalék tartalékhiány mértéke Miért nem mőködhetnek a tartalék Miért torzíthatnak a tételes függıkártartalék Korrigált tartalékmutatók Továbbkorrigálás 28. november 23. Zubor Zoltán 57 29. november 23. Zubor Zoltán 58 Továbbkorrigálás 45 4 Tárgyévi kárgyakoriságok (%) A továbbkorrigálás alapgondolata (1): A károk nem azonos eloszlásúak. Az egyes jármőosztályoknak lényegesen eltér a kárszükséglete ( díja). Ez leginkább a kárgyakoriságokban látszik. (A kárnagyságokban sokkal kisebb az eltérés ez még nincs lefutva.) A nagy kárgyakoriságú állománnyal rendelkezık állomány-darabszámhoz viszonyító mutatói nagyok lesznek. 35 3 25 2 15 1 5 Összesen Személygk Busz Tehergk Vontató Utánfutó Smkp 25 26 27 29. november 23. Zubor Zoltán 59 29. május 23. Zubor Zoltán 6
Továbbkorrigálás A továbbkorrigálás alapgondolata (2): Egyes díjosztályok ideális kárgyakorisága ~ a piac tárgyévi kárgyakorisága. A biztosító állomány-összetétele alapján ideális kárgyakoriság (az ideális kárgyakoriságok állomány-összetétellel súlyozott átlaga). Továbbkorrigált mutató = korrigált mutató * piaci kárgyakoriság / a biztosító ideális kárgyakorisága 29. november 23. Zubor Zoltán 61 28. november 23. Zubor Zoltán 62 Továbbkorrigált tételes függıkár-tartalék / állomány-darabszám mutató KKTA = KTA * k p / k bi, ahol KTA a biztosító korrigált tételes függıkár- tartalék / állomány- darabszám mutatója, k p az adott év összpiaci kgfb kárgyakorisága, k bi a biztosító adott évi ideális kárgyakorisága: az adott évi jármőosztályonkénti piaci kárgyakoriságok állomány- darabszámmal súlyozott összege. A mutatót lehet a saját tárgyévi kárgyakorisággal is továbbkorrigálni. 28. november 23. Zubor Zoltán 63 28. november 23. Zubor Zoltán 64 Továbbkorrigált IBNR tartalék / állománydarabszám mutató KKIA = KIA * k p / k bi, ahol KIA a biztosító korrigált IBNR tartalék / állománydarabszám mutatója, k p, k bi mint elıbb Továbblépés - tartalékmutatók Ideális kárnagyságok figyelembevétele. Jelentısen változó állomány-összetétel esetén az eredeti korrekció alkalmazása. Korrekció megbontása pléhkár/személyi sérüléses kárra. Tartalék költségrésze (kgfb-nél 6%). Kárkifutás (faroktényezı késıbb). Lebonyolítási eredmények. 28. november 23. Zubor Zoltán 65 29. november 23. Zubor Zoltán 66
Kérdés/probléma: Lényegében bármi, ami a tartalékmutatók megbízhatóságáról mond valamit. kicsit jobban specifikálva: A várható értéktıl (vagy piaci átlagtól) való adott eltérés milyen valószínőséggel jelent tartalékhiányt (azaz, hogy a kifizetések meg fogják haladni a tartalék értékét). Ez mindegyik mutató esetén külön kérdés, vsz. különféle válaszokkal, megközelítéssel, modellel. Lehetséges egyszerősítı föltevések, pl.: -a szerzıdésállomány teljesen homogén (független, azonos eloszlású), vagy -egy eltérítési szempont alapján néhány típusból áll -a károk elıfordulása, illetve nagysága egy adott (pl. Poisson, illetve Pareto, lognormális vagy akár normális) eloszláshoz tartoznak, esetleg rögzített paraméterrel -mindezt (elsı megközelítésben) a rendelkezésre álló adatok alapján kellene megállapítani, de bármilyen extra adatigény alapján is lehet (csak specifikálni kell az adattartalmat) 28. szeptember 22. Zubor Zoltán 67