Karimás csőillesztés z [ / ] és [ / ] munkákban találkoztam az alábbi feladattal levezetést nem végezték el, csak eredményeket közöltek, a külföldi szakirodalomra, na meg a számítás hosszadalmasságára hivatkozva Nyilvánvaló, hogy egy szakkönyvben nem pazarolhat - ják a helyet Vagy nem? Természetesen igyekszünk kielégíteni kíváncsiságunkat, ezért elvégezzük a hiányzó számításokat Főleg akkor, ha nagyon hasonló feladatot kapunk a munkahelyünkön Sok évvel ezelőtt el is végeztem ezt a számítást, de a papírok elkallódtak; így most újra nekifogok Ennek az az érdekessége, hogy nem lehetek benne biztos, hogy ( újra ) kijön a könyvekben talált eredmény; ugyanis ehhez ( újra ) ki kell találni azt is, hogy a szerző milyen feltevéseket tett számításai során De nem lesz baj, a dolgok jól alakulnak Most tekintsük az ábrát [ ]! Itt egy tiszta hajlításra igénybevett csőkötést láthatunk jelölések: ~ M: a kötést terhelő hajlítónyomaték nagysága; ~ r: a csavarkör sugara; ~ b: a karima szélessége; ~ i: az i - edik csavar jele; ~ φ i : az i - edik csavar szögkoordinátája; ~ φ : a semleges tengely helyzetét megadó szögkoordináta ábra kötés működését úgy képzeljük el, hogy az M hajlítónyomaték hatására ~ a kötés keresztmetszete elfordul, de sík marad; ~ a húzott övben az magkeresztmetszeti területű csavarokban ébredő feszültségeket mintegy elkenjük az r sugárnak megfelelő körív mentén, a [ φ, + φ ] intervallumon; ~ a nyomott övben a karimák a teljes b szélességükben egymásra támaszkodnak, ámde az ábrán befeketített csavarkeresztmetszetek kikapcsolódnak az erőjátékból [ ]
feladat kitűzése / megoldásának vázlata σ - feszültség eloszlása függvényének felírása vetületi egyensúlyi egyenlet felírása 3 φ szög meghatározó egyenletének levezetése 4 nyomatéki egyensúlyi egyenlet felírása 5 feszültség - eloszlási sík paraméterének meghatározása 6 σ - sík végső egyenlet - alakjának levezetése 7 legnagyobb húzó - és nyomófeszültség képleteinek felírása 8 Mintapélda megoldása számításhoz készítettük a ábrát σ - feszültség eloszlása függvényének felírása ábra Eszerint is: ytg ; ( ) rövidebben: B y, ( ) B tg ábra alapján: y rcos y ; ( 3 ) ugyaninnen:
y rcos r cos ; ( 4 ) most ( 3 ) és ( 4 ) - gyel: y rcos cos ( 5 ) Ezután ( ) és ( 5 ) - tel: B r cos cos ( 6 ) 3 vetületi egyensúlyi egyenlet felírása tiszta hajlítás egyik jellegzetessége, hogy a keresztmetszet mentén megoszló belső erőrendszer eredő erője: zéruserő Képlettel: H N ( 7 ) Részletezve: H d, ( 8 ) N d ( 9 ) Ezután ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) - cel: d d ( ) Most ki kell számítani a σ - erőrendszer H húzó és N nyomó részeredőinek nagyságát: H - t és N - et Ehhez előbb fel kell állítani a megfelelő felületelemek kifejezéseit További jelölés: ~ k: az összes csavar száma Minthogy a szerkezet egyik részében diszkrét, a másikban pedig folytonosan megoszló erőrendszer működik, a számítás azáltal egyszerűsíthető, hogy a diszkrét csavarerőkből álló erőrendszert is folytonosan megoszlónak vesszük: az erőket az r sugarú körív mentén mintegy elkenjük Képlettel: d k, d innen a húzott felületelem kifejezése: k d d nyomott felületnél a csavarfuratok okozta gyengítést is figyelembe véve: ( )
4 k k tehát: k d b r d d d d br d d b r d, ( ) Most ( 6 ), ( 8 ), ( ) - gyel: k H d B r cos cos d k B r cos cos d k Br cos d cos d k Br sin cos k Br sin sin cos k k Br sin cos Br sin cos, tehát: k H Br sin cos ( 3 ) Majd ( 6 ), ( 9 ), ( ) - vel: k N d B r cos cos b r d k B r b r cos cos d k Br b r cos d cos d
k 5 Brbr sin cos k Br br sin sin cos k Br br sin sincos k Brbr sin cos k B r b r sin cos, tehát: k N Br br sin cos ( 4 ) 3 φ szög meghatározó egyenletének levezetése Ezután ( 7 ), ( 3 ), ( 4 ) - gyel: k k Br sin cos Br br sin cos ( 5 ) Egyszerűsítve és rendezve: k k sin cos br sin cos ; k br sin cos ; sin cos k k tg br ; tg k tg br, tg k
6 tehát a semleges tengely helyzetét megadó φ szög meghatározására szolgáló egyenlet az alábbi: tg tg b r k ( 6 ) Egy adott kötésnél ( 6 ) jobb oldala ismert, így φ például grafikus úton könnyen meg - határozható ld a mintapéldát is! 4 nyomatéki egyensúlyi egyenlet felírása bal oldali karimára ható külső és belső erők forgatónyomatéki egyensúlya: M M ( 7 ) k b Részletezve az és a ábra jelöléseivel: M M ; ( 8 ) k M y d y d y d b ( 9 ) Most ( 7 ), ( 8 ), ( 9 ) - cel: M y d y d M M ( ) 5 feszültség - eloszlási sík paraméterének meghatározása ( ) egyenlet jobb oldala tagjainak számítását alább részletezzük ( ) - vel is: ( ) M y d B y d B y d BJ, ( ) M y d B y d B y d BJ Most ( ), ( ), ( ) - vel: M BJ BJ B J J, ( 3 ) innen: M M B, J J J J J J ( 4 ) Majd ( ) és ( 4 ) - gyel:
7 M y y ( 5 ) J z elemi szilárdságtanból ismerős képletre jutottunk [ 5 ] Most el kell végeznünk a J - t megadó számítást Ezt alább részletezzük ( 5 ), ( ), ( ) szerint: k J y d r cos cos d k k r cos cos d r I() ; ( 6 ) folytatva: I() cos cos d cos sin cos cos cos cos cos d cos dcos cos d cos d sin 4 sin sin cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos 3 cos sin cos sin, tehát:
3 I() cos sin 8 ( 7 ) Most ( 6 ) és ( 7 ) - tel: k 3 J r cos sin Ezután ( 5 ), ( ), ( ) szerint: k J y d r cos cos b r d k k r br cos cos d r br I() ; ( 8 ) ( 9 ) folytatva: I() cos cos d cos cos cos cos d cos d cos cos d cos d sin 4 cos sin c os sin sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos
9 sin cos sin cos cos sin 3 cos sin, tehát: I() 3 cos sin ( 3 ) Most ( 9 ) és ( 3 ) - cal: k 3 J r br cos sin ( 3 ) Ezután ( 4 / ), ( 8 ) és ( 3 ) - gyel: k 3 J r cos sin k 3 r br cos sin ; ( 3 ) tovább alakítva: J k 3 cos sin r k 3 br cos sin k 3 cos sin k b r 3 k cos sin ; még tovább alakítva:
J k r b r 3 cos sin k 3 cos sin Megint rendezve: J 3 cos sin r k br 3 cos sin ; k ( 33 ) most ( 6 ) és ( 33 ) - mal: J 3 cos sin r k tg 3 cos sin ; tg J tg cos r k tg tg 3 sin ; tg tg tg J r k tg tg tg cos 3 sin ; tg J tg 3 cos sin r k tg tg 3 tg cos sin ; tg
egyszerűsítve és átrendezve: J 3 tg tg cos sin r k cos sin 3 tg cos sin 3 tg sin cos sin 3 tg sin tg sin tg sin, tehát: J tg tg sin r k Visszarendezve: r k tg sin J 4 tg feszültségeloszlás paramétere ( 4 ) és ( 34 ) szerint: M 4M B ; J r k tg sin tg bevezetve az tg sin f tg rövidítő jelölést, ( 35 ) és ( 36 ) - tal: 4M B r k f ( 34 ) ( 35 ) ( 36 ) ( 37 ) Most ( 6 ) és ( 3 ) - tel: 6 σ - sík végső egyenlet - alakjának levezetése 4M cos cos rk f ( 38 )
7 legnagyobb húzó - és nyomófeszültség képleteinek felírása ( 38 ) képletről közvetlenül leolvasható, hogy akkor adja legnagyobb értékét, ha a számlálóban a zárójeles tényező értéke a legnagyobb Ez akkor következik be, ha φ = ; ekkor: 4M cos max r k f ( 39 ) Hasonlóképpen: ( 38 ) akkor adja a legkisebb értéket, ha φ = π; ekkor: 4M cos 4M cos min rk f rk f ( 4 ) Más képlet - alakokat is felírhatunk, a következők szerint: ( 39 ) - ből 4M max, rk f cos ( 4 ) majd ( 4 ) és ( 4 ) - gyel: cos min max cos ( 4 ) zonos átalakításokkal: cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos cos sin cos, sin tg tehát: cos cos ( 43 ) tg
Most ( 4 ) és ( 43 ) - mal: min max tg 3 ( 44 ) Másképpen: max min tg ( 45 ) Most felhasználva, hogy cos coscos sin sin cos, ebből: cos cos cos cos majd ( 4 ) és ( 46 ) - tal:, ( 46 ) cos min max cos ( 47 ) húzott csavarokban a feszültség nagysága φ = φ i - vel ( 38 ) - ból: i 4M cos cos i rk f ( 48 ) felírt képletek közül ( 6 ), ( 39 ), ( 47 ) és ( 48 ) egy kicsit más alakban található meg [ ] - ben Megjegyezzük, hogy ~ körgyűrű keresztmetszetű vasbeton oszlop hajlításakor is előállnak hasonló képletek; [ 3 ] - ban külpontos nyomás esetére találunk levezetett eredményeket; ~ nem világos, hogy [ ] - ben miért nem végezték el a 8 / = 4 egyszerűsítést a képletekben
4 8 Mintapélda megoldása számadatokat [ ] számpéldájából vesszük, kicsit módosítva dott: M = knm = 6 Nm = 8 Ncm; k = 5 db; M csavar = 5 mm =,5 cm, [ 4 ] - ből véve; r = 5 mm = 5 cm; b = 8 mm = 8 cm Keresett: σ max, σ min Megoldás: Először kiszámoljuk ( 6 ) jobb oldalának számértékét: b r 8 cm5 cm 45,94459 k 5, 5 cm Most ( 6 ) és ( a ) - val: tg 45,94459 tg ( a ) ( b ) ( b ) egyenlet megoldása a Graph programmal az alábbi 3 ábra ( b ) egyenlet gyöke: (rad),5749497 Ezzel: 8 8 (rad),5749497 47, 4847778 ( c ) Most a ( c ) képlettel: cos,84348668, ( d ) majd ( 36 ) - tal: tg,5749497sin,5749497 f rad 5, 6674 ( e ) tg,5749497,5749497 Ezután ( 39 ) - cel is: 8 4 Ncm,84348668 N max 85,955, 5 cm5, 5 cm 5, 6674 cm vagyis a legnagyobb húzófeszültség nagysága: kn max,85 8,5 MPa ( f ) cm Ez eltér az [ ] - ben megadott eredménytől
5 y 45 4 35 ( b ) egyenlet grafikus megoldása 3 5 5 f(x)=(tan(x)-x)/(tan(x)-x+pi) f(x)=4594459 r(t)=5749497/cos(t) 5-5 -4-3 - - 3 4 5 6 7 8 9 3 4 x = 5749497 x ( rad ) 3 ábra legnagyobb nyomófeszültség előjeles nagysága ( 43 ) - mal:,84348668 min 8,5 MPa,8 MPa,84348668 ( g ) Ez az eredmény is eltér az [ ] - ben megadottól Úgy tűnik, két komolyabb hibát is találtunk ott: ~ a hajlítónyomatéki számadat M = knm, amivel túl nagy lenne a maximális feszültség, acél anyagnál is, mert [ / ] szerint 37 - es acélra a folyáshatár: 4 MPa; ~ a cosφ =,55 érték is rossz, mert ott φ = 46,5º és cos46,5º,8339 Ez elég nagy gond, mert ez a könyv egy több kiadást megért egyetemi tankönyv és szak - könyv Sajnos, a mondott hibákat a kiadásban sem javították ki Persze, lehet, hogy így tesztelik az olvasók éberségét Ezzel a kitűzött feladatot megoldottuk
6 Megjegyzések: M Félreértésre adhat okot a ábrán bejelölt α szög z elemi szilárdságtan szerint [ 5 ] : y E E, (! ) ahol: ~ E: az anyag rugalmassági modulusa; ~ ρ: a hajlított elem görbületi sugara De ( ) szerint: B y ; (!! ) most (! ) és (!! ) - vel: E B B tényező mértékegysége pl: N / cm 3, ami nem tiszta szám, ahogyan az a tgα szögfüggvény - értékeknél lenni szokott (!!! ) M Idevéve még a ( 4 ) szerinti M B ( 4 ) J kapcsolatot is, (!!! ) és ( 4 ) - gyel: M E, J innen pedig az: M EJ (!!!! ) szintén ismerős képlet adódik [ 5 ] σ - feszültség képletének levezetésekor megbe - széltük, hogy a diszkrét csavarkiosztást egy folytonossal helyettesítjük Olyan a helyzet, mintha a karima - részeket nem csavarozással, hanem pl összefüggő, kör / körgyűrű alakú ragasztással erősítették volna össze Eszerint az y koordináta is végtelen sok értéket vehet fel értelmezési tartományában, és nem csak egyes, véges számú pontokban Így aztán már van / lehet értelme a folytonos testekre és a karimás kötésre kapott képletek egymásnak való megfeleléséről beszélni z itteni erősen hasonlít több más feladat megoldása során látott helyzetre; ilyen volt például a négylábú merev asztal esete is M3 diszkrét folytonos, ill a folytonos diszkrét helyettesítés a szerkezetek mechanikájában nem ritka dolog z első esetre példa: a soktámaszú hajlított vasúti sín számítása a Winkler - féle modell alapján, folytonos rugalmas ágyazású gerendatartó - ként
második esetre példa: a hajlított lemez számítása a Marcus - féle tartórács - modell alapján Ezekre a helyettesítő modellekre általában a matematikai, illetve a számítás - technikai nehézségek csökkentése miatt esett a választás M4 csavarokban fellépő húzóerő nagysága az ismert módon adódik: i i 7 H, ( ) ahol σ i ( 48 ) szerint számítható Irodalom: [ / ] Farkas József: Fémszerkezetek Tankönyvkiadó, Budapest, 974 [ / ] Farkas József: Fémszerkezetek, átdolgozott és bővített kiadás Tankönyvkiadó, Budapest, 983 [ 3 ] Rudolf Saliger: Der Eisenbeton seine Berechnung und Gestaltung 4 uflage, lfred Kröner Verlag in Stuttgart, 9 [ 4 ] Csellár Ödön ~ Szépe Ferenc: Táblázatok acélszerkezetek méretezéséhez 5 kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 978 [ 5 ] Muttnyánszky Ádám: Szilárdságtan Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 98 Sződliget, június 8 Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár