Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 4. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 017. ősz
Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz. Maradékos osztás A számelméletben a fő eszközünk a maradékos osztás lesz: Tétel Tetszőleges a egész számhoz és b 0 egész számhoz egyértelműen léteznek q, r egészek, hogy a = bq + r és 0 r < b. Bizonyítás A tételt csak nemnegatív számok esetében bizonyítjuk. 1 Létezés: a szerinti indukcióval. a = 0 esetén q = r = 0 jó választás. Tegyük fel, hogy a-nál kisebb számok már feĺırhatók ilyen alakban. Ha a < b, akkor a = b 0 + a (q = 0, r = a). Ha a b, akkor legyen az indukciós feltevés értelmében a b = bq + r. Ekkor a = b(q + 1) + r (q = q + 1, r = r ). Egyértelműség: legyen a = bq + r = bq + r. Ekkor b(q q ) = r r. Ez csak akkor lehet, ha q = q és r = r.
Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 3. Maradékos osztás Definíció Legyenek a,b egész számok (b 0). Legyen a = b q + r (0 r < b ). Ekkor a mod b = r. Megjegyzés: q = a/b, ha b > 0, és q = a/b, ha b < 0. Példa 13 mod 10 = 3, 13 mod 100 = 3, 13 mod 1000 = 13; 13 mod 10 = 3,... 13 mod 10 = 7, 13 mod 100 = 77, 13 mod 1000 = 877; 13 mod 10 = 7,...
Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 4. Maradékos osztás Példa 1 Ha most 9 óra van, hány óra lesz 13 óra múlva? Osszuk el maradékosan 13-at 4-gyel: 13 = 4 5 + 3. Tehát 9 + 3 = 1: déli 1 óra lesz! Ha most 9 óra van, hány óra lesz 116 óra múlva? Osszuk el maradékosan 116-ot 4-gyel: 116 = 4 4 + 0. Tehát 9 + 0 = 9. Újabb redukció: 9 = 4 1 + 5: hajnali 5 óra lesz! 3 Tegyük fel, hogy ma 014. november 11-e (kedd) van. Milyen napra fog esni jövőre november 11-e? Milyen napra esett három éve november 15-e? hétfő 0 kedd 1 szerda csütörtök 3 péntek 4 szombat 5 vasárnap 6 Osszuk el maradékosan 365-öt 7-tel: 365 = 7 5 + 1. kedd + 1 nap 1+1= szerda Osszuk el maradékosan -(365+365+366)-ot (01. szökőév) 7-tel: 1096 = 7 ( 157) + 3. szombat + 3 nap 5 + 3 = 8 redukció = 1 kedd
Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 5. Számrendszerek 10-es számrendszerben a 13: 13 = 100 + 0 + 3 = 1 10 + 10 1 + 3 10 0. -es számrendszerben a 13: () = 1 6 + 1 5 + 1 4 + 1 3 + 0 + 1 1 + 1 0 () = 1 64 + 1 3 + 1 16 + 1 8 + 0 4 + 1 + 1 1 Tétel Legyen q > 1 rögzített egész. Ekkor bármely n pozitív egész k egyértelműen feĺırható n = a i q i alakban, ahol 0 a i < q egészek, a k 0. i=0 Ez a feĺırás n q számrendszerben történő feĺırása. q a számrendszer alapja. a 0,..., a k az n jegyei. k = log q n.
Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 6. Számrendszerek n feĺırása a q alapú számrendszerben: n = Bizonyítás A tételt indukcióval bizonyítjuk. k a i q i. i=0 1 n = 1 esetén a tétel igaz: 1 = 1 q 0 (k = 0, a 0 = 1). Tfh. minden n-nél kisebb számot fel tudunk írni egyértelműen q alapú számrendszerben. A maradékos osztás tétele alapján létezik egyértelműen 0 a 0 < q egész, hogy q n a 0. Indukció alapján írjuk fel q alapú számrendszerben n a 0 q alapján a feĺırás egyértelmű. Ekkor n = = k a i q i 1, indukció i=1 k a i q i. i=0
Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 7. Számrendszerek Az előbbi bizonyítás módszert is ad a feĺırásra: Példa Írjuk fel az n = 13 10-es számrendszerben feĺırt számot -es számrendszerben. i n n mod n a i jegyek 0 13 1 13 1 1 61 1 61 1 30 0 30 0 3 15 1 15 1 4 7 1 7 1 5 3 1 3 1 6 1 1 1 1
Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 8. Legnagyobb közös osztó Definíció Az a és b számoknak a d szám kitüntetett közös osztója (legnagyobb közös osztója), ha : d a, d b, és (c a c b) c d. Figyelem! Itt a,,legnagyobb nem a szokásos rendezésre utal: Figyelem! 1-nek és 9-nek legnagyobb közös osztója lesz a 3 is. A legnagyobb közös osztó csak asszociáltság erejéig egyértelmű. Definíció Legyen (a, b) = lnko(a, b) a nemnegatív kitüntetett közös osztó! (a, b) = 1 esetén azt mondjuk, hogy a és b relatív prímek. Definíció Az a és b számoknak az m szám kitüntetett közös többszöröse (legkisebb közös töbszöröse), ha: a m, b m, és (a c b c) m c. Legyen [a, b] = lkkt(a, b) a nemnegatív kitüntetett közös többszörös!
Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 9. Legnagyobb közös osztó kiszámolása, euklideszi algoritmus Tétel Bármely két egész számnak létezik legnagyobb közös osztója, és ez meghatározható az euklideszi algoritmussal. Bizonyítás Ha valamelyik szám 0, akkor a legnagyobb közös osztó a másik szám. Tfh a, b nem-nulla számok. Végezzük el a következő osztásokat: a = bq 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1q + r, 0 < r < r 1, r 1 = r q 3 + r 3, 0 < r 3 < r,. r n = r n 1q n + r n, r n 1 = r nq n+1. 0 < r n < r n 1, Ekkor az lnko az utolsó nem-nulla maradék: (a, b) = r n. Itt a = r 1, b = r 0.
Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 10. Euklideszi algoritmus helyessége Bizonyítás (folyt.) a = bq 1 + r 1, 0 < r 1 < b, b = r 1q + r, 0 < r < r 1, r 1 = r q 3 + r 3, 0 < r 3 < r,. r n = r n 1q n + r n, r n 1 = r nq n+1. 0 < r n < r n 1, Az algoritmus véges sok lépésben véget ér: b > r 1 > r >.... Az r n maradék közös osztó: r n r n 1 r n r n 1 q n + r n = r n... r n b r n a. Az r n maradék a legnagyobb közös osztó: legyen c a, c b c a bq 1 = r 1 c b r 1 q = r... c r n r n 1 q n = r n.
Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 11. Legnagyobb közös osztó kiszámolása, euklideszi algoritmus Példa Számítsuk ki (17, 6) értékét! i r i q i r i = r i 1 q i + r i -1 17 0 6 1 48 17 = 6 + 48 14 1 6 = 48 1 + 14 3 6 3 48 = 14 3 + 6 4 14 = 6 + 5 0 3 6 = 3 + 0 A legnagyobb közös osztó: (17, 6) =
Elemi számelmélet Diszkrét matematika 1. estis képzés 017. ősz 1. Legnagyobb közös osztó kiszámolása rekurzióval Tétel Legyen a, b egész szám. Ha b = 0, akkor (a, b) = a. Ha b 0, akkor (a, b) = ( b, a mod b ). Bizonyítás Ha b = 0, akkor a tétel nyilvánvaló. Mivel (a, b) = ( a, b ), feltehető, hogy a, b 0. Ha b 0, osszuk el maradékosan a-t b-vel: a = b q + (a mod b). Ez az euklideszi algoritmus első sora... Példa Számítsuk ki (17, 6) értékét! (a, b) a mod b (17, 6) 48 (6, 48) 14 (48, 14) 6 (14, 6) (6, ) 0 A legnagyobb közös osztó: (17, 6) =.