Kvázi-stacionárius áramok és

1 A LORENTZ ERŐ Kvázi-stacionárius áramok és mágneses mezejük 1 A Lorentz erő Elektromos és mágneses mező egyidejű jelenlétében v sebességgel mozgó q elektromos töltésű pontszerű részecskére ható erő ( F = q E 1 + c v B ) Lorentz erő

1 A LORENTZ ERŐ v sebességgel mozgó ρ sűrűségű térbeli töltéseloszlásra ható erő F= ρ { E 1 + c v B } {ρ d 3 r = E 1 + c J konv B } d 3 r ahol J konv =ρ v jelöli a konvektív áramsűrűséget. A mágneses mező nem tesz különbséget konvektív és konduktív áramok között tetszőleges térbeli töltés- és árameloszlásra ható erő {ρ F= E 1 + c J B } d 3 r míg a forgatónyomaték N = r { ρ E + 1 c J B } d 3 r

2 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN 2 Mozgás homogén mágneses térben Tekintsünk egy B indukcióvektorú homogén mágneses mezőben v sebességgel mozgó, q töltésű és m tömegű pontszerű testet. Newton második axiómája szerint m d v dt = q c v B v merőleges a v B vektoriális szorzatra 1 2 d ( m v 2) dt = m v d v dt = q v ( v B c ) = 0 vagyis 1 2 m v2 (a test kinetikus energiája) időben állandó: a mágneses mező nem végez mechanikai munkát a töltéseken!

2 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN Lorentz erő merőleges a mágneses indukcióvektorra, ezért d( B v) dt = B q mc ( v B) = 0 vagyis a B v skalárszorzat (a sebesség longitudinális komponense) nem változik az idő során: ha kezdetben v merőleges B-re, akkor merőleges marad arra az egész mozgás folyamán. Descartes koordinátákat választva, melyek z-tengelye párhuzamos B-vel (azaz B=B e z ), a mozgásegyenlet megoldása v(t) = v cos(ωt+δ) e x + v sin(ωt+δ) e y + v z e z ahol ω = qb mc és v = v 2 v 2 z a transzverzális sebesség.

2 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN A mozgás egy longitudinális ( B-vel párhuzamos irányú), v z állandó sebességű egyenletes haladó mozgás és egy T = 2π ω = 2π mc q B periódusidejű transzverzális forgómozgás szuperpozíciója. A trajektória egy R = mc q B v sugarú és v z T emelkedésű csavarvonal (hélix), melynek tengelye párhuzamos a mágneses mező irányával.

2 MOZGÁS HOMOGÉN MÁGNESES TÉRBEN A T periódusidő arányos mind B-vel, mind a q m fajlagos töltéssel, de független a v sebességtől ( tömegspektroszkópia, ciklotron). Amennyiben a mágneses mező mindenhol azonos irányú, de nagysága lassan növekszik, akkor a csavarmenetek sugara és a köztük lévő távolság az indukció értékével fordítva arányosan csökken. A Föld mágneses mezeje a külső forrásból (napszél, kozmikus sugárzás) származó nagy energiájú töltött részecskéket a fentihez hasonló mechanizmus segítségével csapdázza a sugárzási övekbe (van Allen övek).

3 A HALL EFFEKTUS 3 A Hall effektus Hall (1879): mágneses mezőre merőleges töltésáramlás transzverzális elektromos mezőt generál. Mozgó töltéshordozókra ható Lorentz erő által eltérített töltések felgyülemlenek a vezető ellentétes oldalain V H Hall feszültség. Hall feszültség arányos az I áramerősséggel és a mágneses indukcióval V H = R H BI d ahol d a vezető transzverzális mérete és R H a Hall együttható.

3 A HALL EFFEKTUS Hall együttható előjele = töltéshordozók előjele fémekben elektronvezetés, míg p-típusú félvezetőkben lyukak a domináns töltéshordozók. Alkalmazások: 1. mágneses mező nagyon pontos mérése (Hall szondák); 2. helyzet- és mozgásirány-érzékelés; 3. járműipar: gyújtáskapcsolás, üzemanyag befecskendezés, ABS, stb. Kvantum Hall effektus: erős mágneses mezőbe helyezett alacsony hőmérsékletű, kétdimenziós elektronrendszerekben a Hall együttható diszkrét értékeket vesz fel ( kvantált Landau szintek).

4 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE 4 Stacionárius áramok mágneses mezeje Oersted (1820): áramvezető drót közelébe helyezett mágnestű az áram irányára merőlegesen áll be mozgó elektromos töltések a mágneses mező forrásai.

4 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE Biot-Savart törvény (1820): egy L görbe mentén elhelyezkedő drótvezetőben folyó I erősségű stacionárius áram által generált mágneses mező indukcióvektora vákuumban B( r) = I c L ( R r) d R r R 3 Integrál csak a drótvezető geometriájától függ! Szuperpozíció-elv tetszőleges stacionárius árameloszlásra B( r) = 1 c J( R) ( r R) r R d 3 R = rot A 3

4 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE ahol A( r) = 1 c J( R) r R d3 R a mágneses mező vektorpotenciálja. Innen, a div rot A=0 azonosság felhasználásával div B = 0 és ezért, a Gauss-tétel következményeként B d s = 0 mágneses Gauss törvény tetszőleges V térfogatra. V Nincsenek mágneses monopólusok (izolált mágneses töltések)!

4 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE Másrészt bármely S felület esetén B d r = 4π c S Az S felületet egy pontra zsugorítva S J( r) d s rot B = 4π c J adódik Stokes tételének felhasználásával. A fenti összefüggés csak vákuumban és nem-mágneses anyagokban érvényes; mágneses közegekben az áramsűrűségben megjelenik egy, a molekuláris áramokból származó (illetve kvantumos eredetű) J m járulék, így az összefüggés helyes alakja rot B = 4π c J + 4π c J m

4 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE Mivel a molekuláris J m járulék divergenciamentes, div J m = 0, ezért felírható J m =c rot M alakban. Innen adódik, hogy a H= B 4π M jelöléssel rot H = 4π c J Az S felületre integrálva, és felhasználva a Stokes-tételt H d r = 4π c I Ampère törvény S ahol I = S J( r) d s jelöli az egységnyi idő alatt S-en áthaladó töltést. Vákuumban nincsenek molekuláris áramok, így ott J m = M= 0 és H= B M a közeg mágnesezettség-vektora és H a mágneses térerősség.

5 A PERMEABILITÁS 5 A permeabilitás H mágneses térerősség jelentése: adott árameloszlás által keltett mágneses mező indukcióvektora közeg hiányában (vákuumban). Permanens mágnes: áramok keltette külső mező hiányában ( H = 0) is nemzérus indukció spontán mágnesezettség ( M 0). Spontán mágnesezettség csak speciális (ferro- és ferrimágneses) anyagokban fordul elő nem túl nagy térerősségeknél általában jól használható M = χ mh lineáris összefüggés, ahol χ m a közeg mágneses szuszceptibilitása (izotrop esetben skalár, anizotrop esetben tenzor).

5 A PERMEABILITÁS Innen, B = H+4π M következtében ahol B = µ H µ = 1+4πχ m a közeg permabilitása (izotrop esetben skalár, anizotrop esetben tenzor). Dielektromos polarizációval ellentétben (izotrop esetben) M nem szükségszerűen egyirányú H-val a χ m szuszceptibilitás lehet negatív is (diamágnesek), de energetikai okokból a µ permeabilitás soha: µ 0, és ezért χ m 1 4π. Paramágnes: kicsiny pozitív szuszceptibilitás.

5 A PERMEABILITÁS Table 1: Néhány anyag mágneses szuszceptibilitása. anyag χ m szuszceptibilitás nátrium 2.4 10 6 réz 1.0 10 5 diamágneses gyémánt 2.2 10 5 higany 3.2 10 5 víz 0.9 10 5 levegő 3.6 10 7 paramágneses oxigén 2.1 10 6 magnézium 1.2 10 5 alumínium 2.2 10 5 ferromágneses vas 5 10 3 1.5 10 6 Si-Fe kristályok 3.8 10 6 ferrimágneses magnezit (Fe 3 O 4 ) 10 2

6 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK 6 Illesztési feltételek Különböző közegek határán a mágneses térjellemzők általában ugrást szenvednek, melynek számszerű értéke meghatározható az Ampère- és a mágneses Gauss-törvény segítségével. Mivel a B indukcióvektor ugyanúgy forrásmentes, mint egy stacionárius töltésáramlás J áramsűrűsége, div B=div J=0, ezért az áramsűrűséghez hasonlóan a B normális komponense folytonosan változik két közeg határán: ha n jelöli a határfelület normális egységvektorát, akkor B 2 n = B 1 n Észrevétel. Alternatív meggondolással, mivel nincsenek izolált mágne-

6 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK ses töltések, így a felületi sűrűségük is szükségszerűen zérus: innen, az eltolási vektor normális komponensére vonatkozó illesztési feltétel indoklásához hasonló gondolatmenettel adódik a fenti eredmény. Tekintsünk most egy, a két közeg határát merőlegesen metsző, téglalap alakú kicsiny felület, melyet az a, b, c és d görbeszakaszok határolnak (a megfelelő irányításokkal), és jelölje γ a téglalap és a határfelület metszésvonalát.

6 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK Ha a téglalapot rázsugorítjuk a határfelületre, akkor b és d görbék hossza 0-hoz tart, így az ezek mentén vett integrálok is 0-hoz tartanak, míg a és c rásimul γ-ra, ezért (az irányítás figyelembe vételével) H( r) d r H 1 ( r) d r és a H( r) d r γ H 2 ( r) d r c γ Innen, az Ampère törvény szerint ( H2 H ) 1 d r = 4π c I γ γ

6 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK ahol I γ jelöli a téglalapon időegységenként keresztülfolyó töltést. Mivel a téglalap a határfelületre van zsugorítva, ezért csak határfelületen mentén folyó felületi áramok jönnek számításba. Ezek sűrűségét a J f felületi áramsűrűség-vektor jellemzi, mely az áramlás irányába mutat, és ezért mindig érintőirányú (tangenciális, azaz J f n = 0), és nagysága megadja a felületen fekvő, az áramlás irányára merőleges egységnyi hosszon időegység alatt átáramló töltés mennyiségét. Ebből adódik, hogy I γ = { Jf n } d r γ

6 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK Így végül γ ( H 2 H 1 4π ) c J f n d r = 0 bármely, a határfelületen futó γ görbére. Fenti összefüggés csak akkor teljesülhet minden görbére, ha az integrandus normális irányú, azaz tangenciális komponense zérus. De a felületi áramok sűrűsége eleve tangenciális, így J f n tangenciális komponense megegyezik J f -fel, ezért a mágneses térerősség tangenciális komponensének ugrása a felületi áramsűrűség 4π c -szerese!

7 A VEKTORPOTENCIÁL 7 A vektorpotenciál Indukcióvektor forrásmentessége (div B = 0) miatt létezik olyan A( r) vektormező (vektorpotenciál) amelyre B = rot A A vektorpotenciál nem egyértelmű: mivel bármely χ( r) skalármező gradiense örvénymentes, ezért A és A = A+grad χ ugyanazt a mágneses mezőt írja le (mértékinvariancia). Észrevétel. Mindig választható olyan vektorpotenciál, amelyre div A = 0

7 A VEKTORPOTENCIÁL B=µ H lineáris anyagi összefüggéssel leírható homogén, izotrop közegben az Ampère törvényből a vektorpotenciálra a A = grad div A rot rot A = rot(µ H) = 4πµ c J vektoriális Poisson egyenlet adódik, melynek egy partikuláris megoldása A( r) = µ c Innen a mágneses térerősség J( R) r R d3 R H( r) = 1 µ rot A = 1 c J( R) ( r R) r R 3 d 3 R a Biot-Savart törvénynek megfelelően.

8 LOKALIZÁLT ÁRAMELOSZLÁSOK 8 Lokalizált árameloszlások Tekintsünk egy V tartományba lokalizált árameloszlást, amelynek J( r) áramsűrűsége eltűnik V-n kívül. A V tartománytól távol, µ permeabilitású homogén, izotrop közegben a vektorpotenciál A( r) = µ c J( R) r R d3 R képletébe behelyettesítve a 1 r R = 1 r + r R r 3 + {3( r R) 2 r 2 R 2 } 2 r 5 +

8 LOKALIZÁLT ÁRAMELOSZLÁSOK Taylor-sorfejtést kapjuk, hogy A( r)= µ c r V J( R) d 3 R µ + c r 3 V ( r R) J( R) d 3 R +... Figyelembe véve, hogy az áramsűrűség eltűnik a térrész V határán, továbbá felhasználva a (tenzoriális) divergencia-tételt és a div J=0 kontinuitási egyenletet, adódik J( r) d3 r = 0 és V ( r R) J( R) d 3 R = { 1 2 { R J( R) } d 3 R } r V V

8 LOKALIZÁLT ÁRAMELOSZLÁSOK ezért ahol A( r) = µ m r r 3 +... m = 1 2c { R J( R) } d 3 R Innen a mágneses térerősség V H( r) = 1 µ rot A = 3( m r) r r 2 m r 5 Elektrosztatikus analógia alapján ez egy (mágneses) dipólmezőt ír le, és m az árameloszlás mágneses momentuma. A magasabb mágneses multipólus tagok általában elhanyagolhatók.

8 LOKALIZÁLT ÁRAMELOSZLÁSOK I erősségű áramot szállító drótvezető esetén m= I 2c r d r. Sík drótvezetőre ebből m = IA n, ahol A a vezető által bezárt felületdarab területe, és n annak normális egységvektora. Mágnesezett testek szintén jellemezhetők mágneses momentumukkal, mely a molekuláris áramokból származó mikroszkopikus mágneses momentumok eredője (nem add számot a teljes momentumról, csak annak egy részéről, mert fellépnek kvantumos eredetű járulékok is).

8 LOKALIZÁLT ÁRAMELOSZLÁSOK Ha a töltés- és árameloszlás nagyon kis térfogatba lokalizált ( pontszerű ), akkor egy elektromosan semleges testre ható forgatónyomaték N= 1 c r { } J B d3 r= 1 { ( r c B) J ( r J) B } d 3 r= m B( r) A mágneses mező addig forgatja a testet, míg momentuma a mezővel párhuzamos irányba nem áll be (hacsak valamely más erő nem kompenzálja a forgatónyomatékot). Mágneses dipólmező különbözik az elektromostól a dipólus helyén mutatott szinguláris viselkedésben: a kontakt tag mágneses esetben az elektromosénak a 2-szerese. A különbség oka, hogy a mágneses momentum áramhurkokból származik, és nem mágneses töltésekből.

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 9 Anyagok mágneses tulajdonságai Anyag mikroszkopikus összetevői (elektronok, protonok, stb.), alapvetően kvantumos eredetű (spin) belső mágneses momentummal is rendelkeznek a mozgásukból származó (molekuláris áramok) momentumon túlmenően. Molekulák mikroszkopikus mágneses momentumai általában kioltják egymást véletlenszerű irányuk miatt makroszkopikus térrészek teljes mágneses momentuma eltűnik, kivéve ha irányuk valamilyen okból rendezett.

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Mikroszkopikus momentumokat rendezheti 1. külső mágneses mező forgatónyomatéka; 2. mágneses momentumok közti kölcsönhatás. Mágnesezés jelensége hasonlít a dielektromos polarizációhoz, de nincsenek mágneses töltések.

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 9.1 Diamágnesség Külső mágneses mező befolyásolja az elektronok atomokon és molekulákon belüli mozgását változás a molekuláris árameloszlásban, így a mágneses momentumban is. Indukált momentumok arányosak a külső mezővel, de ellentétes irányba mutatnak (Lenz törvény), így csökkentik a külső mező hatását az indukált mágnesezettség (mágneses momentumsűrűség) M = χ m H alakú, ahol χ m <0 a mágneses szuszceptibilitás.

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Diamágneses hatás mindig jelen van, de általában elhanyagolható a többi mechanizmushoz képest ( χ m <10 4 ), kivéve ha a mikroszkopikus összetevők mágneses momentumai mind eltűnnek. Diamágnesek szuszceptibilitása (általában) független a hőmérséklettől. Szupravezetők tökéletes diamágnesek (Meissner effektus), vagyis a mágneses indukció kilökődik egy szupravezető test belsejéből (kivéve egy vékony felületi réteget) nem túl erős terek esetén.

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI II-es típusú szupravezetők: bizonyos kritikus mágneses térerősség felett a mágneses mező részben behatol a szupravezetőbe, mágneses fluxuscsövekbe (Abrikosov vonalak) lokalizálva. Mágneses levitáció: diamágneseket taszítja a mágneses mező, így állandó mágnes fölé helyezve lebegnek (működik élőlényekre is).

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 9.2 Paramágnesség Külső mágneses mező a párosítatlan spinekből adódó mikroszkopikus momentumokat addig forgatja, amíg a mező irányával párhuzamosan állnak be (orientációs mágnesezettség) M mágnesezettségi vektor (mágneses momentumsűrűség) arányos a H térerősséggel M = χ m H pozitív χ m >0 mágneses szuszceptibilitással. Csak nem túl erős mágneses mezőkre és nem túl alacsony hőmérsékletekre igaz (telítettség).

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Termikus fluktuációk igyekeznek rendezetlenné tenni a mágneses momentumok irányát mágneses szuszceptibilitás hőmérsékletfüggését a T C Curie hőmérséklet felett a χ m = C T T C Curie-Weiss törvény írja le. T C kritikus hőmérsékletnél másodrendű fázisátalakulás egy rendezett fázisba (ritka esetekben elmarad). Diamágnesekkel ellentétben a paramágneseket vonzza a mágneses mező (gyenge effektus).

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI 9.3 Ferromágnesség Erős kölcsönhatás mikroszkopikus momentumok között (kvantumos eredetű kicserélődési kölcsönhatás) alacsony hőmérsékleten makroszkopikus domének kialakulása rendezett momentumokkal. Egy doménen belül az összes momentum párhuzamos minden egyes

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI domén egy kicsiny permanens mágnes, de általában a különböző domének momentumai véletlenszerűen irányítottak (termikus fluktuációk következtében) sok doménből álló makroszkopikus testnek általában eltűnik a spontán mágnesezettsége. Domének határán a mikroszkopikus momentumok kölcsönhatnak mindkét doménbéli momentumokkal irányuk megváltozhat, vagyis egyik doménből átkerülhetnek a másikba domének tágulnak és összemennek: a doménfalak mozognak.

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Külső mágneses mező nem tudja (energetikai okokból) elfordítani az egyes domének momentumát, de segíti azon domének növekedését, melyek momentumai közel párhuzamosak a külső mezővel nettó makroszkopikus mágnesezettség kialakulása.

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Doménfalak mozgása disszipatív folyamat nemlineáris mágnesezettségi görbe Hiszterézis: mágnesezettség nem egyértelmű függvénye a térerősségnek, hanem függ a közeg előéletétől is (szuszceptibilitás = mágnesezettségi görbe meredeksége az origóban).

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Mágnesezettség telítődik (M sat maximális értéknél) amikor az összes momentum párhuzamos (csak egy domén marad). T C Curie hőmérsékleten másodrendű fázisátalakulás paramágneses fázisba, amikor a domének feloszlanak (termikus fluktuációk kompenzálják a mikroszkopikus momentumok közti kölcsönhatást). Ferrimágnesség: domének rendezett momentumokkal, de szomszédos momentumok ellenkező irányba mutatnak (pl. magnezit).

9 ANYAGOK MÁGNESES TULAJDONSÁGAI Spontán polarizáció, hiszterézis, stb., de a szuszceptibilitás sokkal kisebb, mint ferromágneseknél. Antiferromágnesség: olyan ferrimágnes, amelyben a szomszédos momentumok tökéletesen kioltják egymást. Nincs spontán mágnesezettség: úgy viselkedik mint egy paramágnes, kivéve a szuszceptibilitás hőmérsékletfüggését.

10 KVÁZI-STACIONÁRIUS JELENSÉGEK 10 Kvázi-stacionárius jelenségek Kvázi-stacionárius jelenségek: térjellemzők és források (töltés- és áramsűrűség) lassú időbeli változása megengedett (pl. elektromos távvezetékekben folyó váltakozó áramok). Kvázi-stacionaritási feltétel: D t J Példa (kondenzátor kisülése): hogyan változik az időben egy magára hagyott kondenzátor fegyverzetein található töltés mennyisége?

10 KVÁZI-STACIONÁRIUS JELENSÉGEK Jelölje C a kondenzátor kapacitását, R a fegyverzetek közötti részt kitöltő dielektrikum ellenállását, és legyen kezdetben ±Q 0 nagyságú töltés az egyes fegyverzeteken. A fegyverzetek közti potenciálkülönbség U(t) = Q(t) C ahol Q(t) a fegyverzeteken tárolt töltés mennyisége t idő múlva. Ennek hatására I(t) = U(t) R = Q(t) RC erősségű áram folyik a fegyverzetek között, így a töltés megváltozásának sebessége

10 KVÁZI-STACIONÁRIUS JELENSÉGEK dq dt = I(t) = Q(t) RC A differenciálegyenlet megoldása Q(t) = Q 0 exp ( t τ ) ahol τ = RC a kondenzátor időállandója. A töltés mennyisége exponenciálisan csökken az idővel! Az időállandó növelhető akár az R ellenállás, akár a C kapacitás növelésével.

11 A FLUXUS-SZABÁLY 11 A fluxus-szabály Faraday (1831): időben változó mágneses mező elektromos áramot indukál vezetőkben (elektromágneses indukció). Mikroszkopikus töltéshordozók mozgatásához szükséges elektromotoros erő forrása a mágneses mező Az elektromos mező többé nem konzervatív!

11 A FLUXUS-SZABÁLY Fluxus-szabály: egy zárt áramkörben indukált elektromotoros erő arányos az áramkör által kifeszített bármely (esetlegesen időben változó) Σ felület Φ Σ = Σ B d s mágneses fluxusának változási sebességével E ind = 1 c dφ Σ dt Lenz szabály: indukált áram által keltett mágneses mező csökkenti az indukáló fluxust (negatív előjel miatt).

11 A FLUXUS-SZABÁLY Stokes tételéből E ind = E d r = rot E d s Σ Σ Ha Σ nem változik az időben ( nyugalmi indukció ), akkor Σ rot E d s = 1 c d ( dt Σ ) B d s = 1 c Σ B t d s Végül, a zárt áramkört (és ezáltal a Σ felületet) összehúzva egy pontra adódik rot E = 1 c B t Faraday törvény

11 A FLUXUS-SZABÁLY Szerteágazó alkalmazások: 1. elektromos motorok és generátorok; 2. transzformátorok; 3. mikrofonok; 4. elektromos fűtés (indukciós kemencék); 5. mágneses fékrendszerek; 6. dinamó-elmélet (Föld mágneses mezejének eredete).

12 FOUCAULT ÁRAMOK 12 Foucault áramok Foucault áramok: időben változó mágneses mező vezető testekben örvényáramokat indukál, melyek egyrészt energiát disszipálnak (Joule hő), másfelől olyan mágneses mezőt keltenek, amely csökkenti a mágneses fluxus változási sebességét (Lenz törvény). Örvényáramok létrejötte az energiadisszipáció fő mechanizmusa transzformátorokban és elektromos motorokban, csökkentve azok hatékonyságát. Gyakorlati alkalmazások: elektromágneses fékezés, fémek azonosítása és szétválasztása (pl. pénzautomaták), indukciós fűtés, stb.

13 KVÁZI-STACIONÁRIUS ÁRAMOK 13 Kvázi-stacionárius áramok Kvázi-stacionárius esetben a térjellemzők által kielégített egyenletek: div D = 4πρ div B = 0 rot E = 1 c rot H = 4π c J B t kiegészítve a közeget jellemző anyagi összefüggésekkel.

13 KVÁZI-STACIONÁRIUS ÁRAMOK Kvázi-stacionárius áramokra továbbra is alakot ölt a kontinuitási egyenlet div J = 0 1. közegek határán J normális komponense folytonosan változik; 2. vezető cső belsejében bármely két keresztmetszeten ugyanannyi töltés áramlik át egy adott időpillanatban; 3. elektromos hálózat bármely csomópontjába befolyó áramok intenzitásának összege megegyezik a kifolyó áramok intenzitásainak összegével (csomóponti szabály).

13 KVÁZI-STACIONÁRIUS ÁRAMOK De Kirchhoff második törvénye módosul: vezetők alkotta hurokban az áramforrások elektromotoros erején felül figyelembe kell venni a változó mágneses mezők által indukált elektromotoros erőt is. ahol R k I k = k k E = 1 c E k + E dφ dt a hurokban indukált feszültség, és Φ a hurok mágneses fluxusa. Mágneses fluxus lehet (részben) külső eredetű, de fontos forrását alkotják a hálózatban áramló töltések is.

14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK 14 Indukciós együtthatók Elektromos hálózatban folyó időben változó áramok időben változó mágneses mezőt hoznak létre, amely a hálózatban előforduló zárt hurkokban feszültséget indukál. Mágneses mező térerőssége arányos az őt keltő áram erősségével, ezért a hurkok mágneses fluxusai az áramerősségek lineáris kifejezései. Ha Φ k, ill. I k jelöli a k-adik hurok fluxusát, ill. a benne folyó áramot, akkor Φ i = c k L ik I k

14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK ahol az L ik =L ki indukciós együtthatók függetlenek az áramerősségektől, csak a hálózat geometriájától és anyagi összetételétől függ. Diagonális elemek: önindukciós együtthatók. Az i-edik hurokban indukált elektromotoros erő (hozzáadódik a hurokban esetleg előforduló áramforrás elektromotoros erejéhez) E i = 1 c dφ i dt = k L ik di k dt Időben változó áramok esetén Kirchhoff második törvénye kiegészítendő megfelelő indukciós és kapacitív tagokkal.

14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK Példa: az RL kör Tekintsünk egy R ellenállású és L önindukciójú zárt vezető hurkot, amelyet egy E(t) elektromotoros erejű áramforrás táplál. A huroktörvény szerint az I(t) áramerősségre RI(t) = E(t) + E (t) ahol E (t) = 1 c dφ dt = LdI dt

14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK az áram által indukált elektromotoros erő L di dt + RI = E elsőrendű közönséges lineáris differenciálegyenlet az áramerősségre. Inhomogén egyenlet általános megoldása = homogén egyenlet általános megoldása + inhomogén egyenlet partikuláris megoldása. Homogén egyenlet megoldása ahol ( I(t) = I 0 exp Rt L ) τ = L R > 0 = I 0 e t/τ

14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK a hurok relaxációs ideje exponenciálisan csökkenő áramerősség (Lenz törvény következménye). Ha E(t)=E 0 időfüggetlen, akkor az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldása míg az általános megoldás I = E 0 R I(t) = (I 0 I ) e t/τ + I egy exponenciálisan lecsengő tranziens tag és egy, a kezdeti feltételektől független stacionárius tag szuperpozíciója.

14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK Általános esetben a I(t) = I(t) e t/τ szorzat kielégíti a di dt = 1 L egyenletet, melynek partikuláris megoldás E(t) et/τ I(t) = 1 L t E(t ) e t /τ dt így 0 I(t) = I 0 e t/τ 1 L t 0 E(t t ) e t /τ dt az inhomogén egyenlet általános megoldása.

14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK A tranziens tag csak a kezdeti feltételektől függ, és független a külső gerjesztéstől, míg a kezdeti feltételektől nyilván független hosszú távú aszimptotikus viselkedést a gerjesztés által teljes mértékben meghatározott második tag írja le. E(t)=E 0 cos(ωt) harmonikus gerjesztés esetén I(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) ω frekvenciájú harmonikus aszimptotikus viselkedés megfelelő A és B integrációs állandókkal. A differenciálegyenletbe behelyettesítve E 0 E(t) cos(ωt) = { R } R A cos(ωt)+b sin(ωt) + τ di dt = = I(t) + L { R Aω sin(ωt) + Bω cos(ωt) }

14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK ahonnan A + Bωτ = E 0 R B Aωτ = 0 A lineáris egyenletrendszer megoldása A = B = E 0 R(1 + ω 2 τ 2 ) = E 0 R R 2 + ω 2 L 2 = E 0 R2 + ω 2 L 2 E 0 ωτ R(1 + ω 2 τ 2 ) = E 0 ωl R 2 + ω 2 L 2 = E 0 R2 + ω 2 L 2 R R2 + ω 2 L 2 ωl R2 + ω 2 L 2

14 INDUKCIÓS EGYÜTTHATÓK Az aszimptotikus áramerősség Itt a hurok impedanciája, és a fáziskésés. I(t) = E 0 Z cos (ωt δ) = 1 ( Z E t δ ) ω Z = R 2 + ω 2 L 2 ( ) ωl δ = arctan(ωτ) = arctan R Hosszútávon a tranziens tag exponenciálisan lecseng, és csak a stacionárius tag marad meg.

15 AZ OSZCILLÁTOR (REZGŐKÖR) 15 Az oszcillátor (rezgőkör) Tekintsünk egy R ellenállású, C kapacitású és L önindukciójú zárt vezető hurkot, amelyet egy E(t) elektromotoros erejű áramforrás táplál. Kapacitás befolyása: töltés változási sebességével arányos kisülési áram huroktörvény módosított alakja RI(t) = E(t) L di dt Q(t) C ahol I(t) = dq dt

15 AZ OSZCILLÁTOR (REZGŐKÖR) Másodrendű differenciálegyenlet a Q(t) töltésre L d2 Q dt 2 + R dq dt + 1 Q(t) = E(t) C illetve az I(t) áramerősségre L d2 I dt 2 + R di dt + 1 C I(t) = E(t) ahol E(t) az elektromotoros erő időderiváltja. Homogén egyenlet általános megoldása ahol I(t) = I 0 e Γt sin(ωt+δ) Ω = ω 2 0 Γ2 míg I 0 és δ a kezdeti feltételek által meghatározott integrációs állandók.

15 AZ OSZCILLÁTOR (REZGŐKÖR) Γ= R 2L, illetve ω 0 = 1 LC a rezgőkör csillapítási együtthatója és rezonanciafrekvenciája. Harmonikus rezgések még külső gerjesztés hiányában is! Más-más aszimptotikus viselkedés aszerint, hogy ω 2 0 < Γ 2 (exponenciális lecsengés) vagy ω 2 0 > Γ 2 (csillapított harmonikus rezgés). Ha ω 2 0 > Γ 2, akkor E(t) = E 0 cos(ωt) harmonikus gerjesztés esetén az inhomogén egyenlet partikuláris megoldása I p (t) = E 0 Z cos(ωt ϕ)

15 AZ OSZCILLÁTOR (REZGŐKÖR) Harmonikus kényszerrezgések (aszimptotikusan, amikor a tranziensek már lecsengtek), ahol Z = R 2 + ( ωl 1 ) 2 ωc az impedancia és ( ω 2 ) LC 1 ϕ = arctan ωrc ( ω 2 ω 2 ) 0 = arctan 2Γω a fáziskésés. Impedancia az ω =ω 0 rezonancia-frekvencián minimális, amikor a fáziskésés eltűnik, és az oszcillátor Ohmikus ellenállásként viselkedik.

16 A TRANSZFORMÁTOR 16 A transzformátor Induktívan csatolt primér és szekunder körök szekunder körben folyó áramot meghatározza a primér kör elektromotoros ereje.

16 A TRANSZFORMÁTOR Ha I 1 és I 2 jelöli a primér és szekunder körökben folyó áramok erősségét, R 1 és R 2 az ellenállásukat, E(t) a primér kör elektromotoros erejét, és L ik az indukciós együtthatókat, akkor a Kirchhoff törvények alapján di 1 R 1 I 1 (t) = L 11 dt L di 2 12 dt + E(t) R 2 I 2 (t) = L 21 di 1 dt L 22 di 2 dt Innen di 1 R 2 I 2 (t)= L 21 dt L di 2 22 dt = L di 1 21 dt L 22 L 12 = L 22 L 12 (E(t) R 1 I 1 (t)) ( di 1 E(t) R 1 I 1 (t) L 11 dt ) di1 ( L 21 L 22 L 12 L 11 dt )

16 A TRANSZFORMÁTOR Geometriai megfontolások alapján L 12 L 11 = N 2 N 1 = L 22 L 21 ahol N 1 és N 2 a primér és szekunder körök menetszámát jelöli, míg az indukciós együtthatók szimmetriája következtében L 12 = L 21 Amennyiben a primér kör ellenállása kicsi, akkor az előzőek alapján R 2 I 2 (t) = L 22 L 12 E(t) = N 2 N 1 E(t)

16 A TRANSZFORMÁTOR Olyan, mintha a szekunder körben folyó áramot egy E 2 = N 2 N 1 E(t) elektromotoros erejű (előjel!) áramforrás tartaná fenn: feszültség-multiplikáció. Negatív előjel: primér és szekunder körök ellentétes fázisban. Transzformátorok gyakorlati haszna: köznapi alkalmazásokban (háztartási készülékek) alacsony feszültségekre van szükség, de az elektromos energia szállítása magas feszültségen sokkal hatékonyabb (kisebb vesztességgel jár).