Hosszú (relaxációs időnél hosszabb) időfejlődés után minden fizikai rendszer
|
|
- Renáta Boros
- 5 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 1 BEVEZETÉS Elektrosztatika 1. Bevezetés Hosszú (relaxációs időnél hosszabb) időfejlődés után minden fizikai rendszer általában statikus egyensúlyi állapotba kerül, ahol minden állapotváltozás megszűnik. Elektrosztatika: nyugvó elektromos töltések által létrehozott elektromos mezők vizsgálata. Nincsenek mozgó töltések és állapotváltozások az elektromos áramsűrűség, a mágneses mező és minden időderivált eltűnik.
2 2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŐ ÉS FORGATÓNYOMATÉK 2. Töltött testekre ható erő és forgatónyomaték Makroszkopikus testre ható erő és forgatónyomaték származtatásához osszuk fel az általa kitöltött V térrészt kicsiny V i darabokra. ρ( r) töltéssűrűség esetén az r i középpontú V i pontszerű térrész elektromos töltése q i = ρ( r i ) Vi, így a rá ható erő és (origóra vonatkoztatott) forgatónyomaték F i = q i E( ri ) = ρ( r i ) V i E( ri ) és N i = r i F i = ρ( r i ) Vi ( r i E( r ) i )
3 2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŐ ÉS FORGATÓNYOMATÉK A teljes erő és forgatónyomaték ezen tagok összege, amennyiben a felosztást minden határon túl finomítjuk F = lim i F i = ρ( r) E( r) d 3 r N = lim i N i = V V ρ( r) { r E( r) } d 3 r Megjegyzés: közel homogén töltéseloszlás esetén ρ( r) Q V, így jó közelítéssel F QE av, ahol Q = ρ( r) d 3 r a test összes töltése és az átlagos térerősség. V E av = 1 V V E( r) d 3 r
4 2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŐ ÉS FORGATÓNYOMATÉK Elektromos dipólus: két azonos nagyságú, de ellentétes előjelű ponttöltésből álló, elektromosan semleges rendszer (a ponttöltések közötti elektrosztatikus vonzást valamilyen más erőhatás kompenzálja). Pontszerű dipólus: a töltések közötti távolság elhanyagolható (a jellemző méretekhez, pl. megfigyelési távolsághoz képest). Sok molekula töltéseloszlása aszimmetrikus (poláris molekulák, pl. H 2 O, NH 3, HCl) makroszkopikus skálán pontszerű dipólusként viselkednek.
5 2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŐ ÉS FORGATÓNYOMATÉK A dipólusra ható erő és (középpontra vonatkoztatott) forgatónyomaték az egyes töltésekre ható erők és forgatónyomatékok összege: F = q E + q E = q { E+ E } N = d 2 q E + d 2 ( q) E = q d 2 { E+ + E } ahol d a negatív ponttöltést a pozitívval összekötő vektor, és
6 2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŐ ÉS FORGATÓNYOMATÉK E ± = E ( r ± d) 2 a térerősség az egyes töltések helyén ( r a középpont helyvektora). Tekintsük a fenti kifejezések d szerinti Taylor-sorát E ± = E ( r ± d) = E( r) d ± 2 2 grad E +... ahonnan d 0 határesetben (pontszerű dipólus) illetve F = (q d) E( r) +... N = (q d) E( r) +... a legalacsonyabb rendű nemeltűnő tagok.
7 2 TÖLTÖTT TESTEKRE HATÓ ERŐ ÉS FORGATÓNYOMATÉK Pontszerű dipólust teljes mértékben jellemzi p=q d momentuma és F = p grad E N = p E( r) Homogén elektromos mezőben nem hat erő a dipólusra! Forgatónyomaték mindig hat a dipólusra, kivéve, ha a dipólus momentuma párhuzamos a térerősséggel. Az elektromos mező addig forgatja a dipólusokat, amíg azok momentumai nem válnak párhuzamossá a térerősség irányával.
8 3 A COULOMB-TÖRVÉNY 3. A Coulomb-törvény Két pontszerű töltés között ható elektromos erő az őket összekötő egyenes mentén hat, és nagysága (mely arányos a töltések nagyságával) fordítva arányos a távolságuk négyzetével F Q 1Q 2 r 2
9 3 A COULOMB-TÖRVÉNY Észrevétel. Fordított négyzetes távolságfüggés esetleges F 1 r 2+ε sértésének jelenlegi kísérleti korlátja ε < Coulomb-törvény vákuumban, az R helyvektorú pontba helyezett q nagyságú ponttöltés elektromos térerőssége az r helyvektorú pontban E ( q, R) ( r) = q( r R) r R 3
10 3 A COULOMB-TÖRVÉNY Szuperpozíció elve: töltésrendszer által kifejtett erő a rendszert alkotó töltések által kifejtett erők (vektoriális) összegével egyenlő. (q 1, R 1 ),..., (q n, R n ) ponttöltések rendszerének elektrosztatikus mezejének térerőssége vákuumban n E( r) = E ( q i, R i) ( r) = i=1 n i=1 q i ( r R i ) r R 3 ρ( r) térfogati töltéssűrűségű folytonos töltéseloszlás esetén osszuk fel a teret V i infinitezimálisan kicsiny (pontszerű) térrészekre: ezek mindegyikének töltése q i = ρ( R i ) Vi, ahol Ri jelöli a V i térrész valamely pontjának helyvektorát. A felosztást minden határon túl finomítva kapjuk, hogy
11 3 A COULOMB-TÖRVÉNY E( r) = lim n i=1 E ( q i, R i) ( r) = lim n i=1 ρ( R i ) V i ( r R i ) r R 3 = ρ( R) ( r R) r R 3 d3 R Hasonlóan, egy η( r) sűrűségű, a Σ felületen lokalizált folytonos töltéseloszlás térerőssége E( r) = Σ η( R) ( r R) r R d s 3 Integrálok linearitása + szuperpozíció-elv + fordított négyzetes távolságfüggés következményeként
12 3 A COULOMB-TÖRVÉNY 1. Az elektrosztatikus mező konzervatív: egy q nagyságú ponttöltésnek a γ görbe mentén történő mozgatása során végzett W [γ] = γ q E( r) d r munka csak a görbe végpontjaitól függ γ E( r) d r = 0 bármely zárt görbére, amiből (Stokes-tétel felhasználásával, γ-t egy pontra zsugorítva) rot E=0: az elektrosztatikus mező örvénymentes! 2. Ha egy V térrészben található összes töltés Q, akkor V E( r) d s = 4πQ Gauss-törvény
13 4 ELEKTROSZTATIKUS POTENCIÁL 4. Az elektrosztatikus potenciál rot E = 0 következtében létezik olyan Φ( r) skalármező (elektrosztatikus potenciál), hogy E( r) = grad Φ( r) Fizikai interpretáció: Φ( r 2 ) Φ( r 1 ) = grad Φ( r) d r = E( r) d r γ γ bármely r 1 -et r 2 -vel összekötő γ görbére, ahol a jobb oldalon az egységnyi ponttöltés γ mentén történő mozgatásához szükséges munka áll.
14 4 ELEKTROSZTATIKUS POTENCIÁL Csak a potenciál-különbségeknek van fizikai értelme, a potenciál maga csak egy additív konstans erejéig meghatározott (mértékinvariancia): mivel grad A= 0, ezért Φ ( r) = Φ( r) + A ugyanazt az elektrosztatikus mezőt írja le mint Φ( r) potenciál szokásos normálása Φ( ) = 0 (ha lehetséges). Potenciálfogalom haszna: elektrosztatikus mező jellemzése egyetlen skalármezővel egy vektormező három (nem független!) komponense helyett (egyszerűsödés ára, hogy az egyenletek nem első, hanem másodrendűek).
15 4 ELEKTROSZTATIKUS POTENCIÁL ( grad 1 r R ) = R r r R 3 miatt az R helyvektorú pontba helyezett q nagyságú ponttöltés elektrosztatikus potenciálja Φ (q, R) ( r) = q r R Szuperpozíció elve: töltésrendszer potenciálja a rendszert alkotó töltések potenciáljainak összege ismert ρ( r) térfogati és η( r) felületi töltéssűrűségű folytonos töltéseloszlás potenciálja Φ( r) = ρ( R) r R d3 R + η( R) r R d s
16 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE 5. Pontszerű dipólus elektrosztatikus tere Tekintsük egy, az R ± helyvektorú pontokban elhelyezett ±q ponttöltések által alkotott elektromos dipólust. a= R + R jelölje a két töltést összekötő vektort, míg R=( R + + R )/2 a dipólus töltésközéppontjának helyvektorát; nyílván R ± = R ± 1 2 a
17 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE A potenciál az r pontban, elemi átalakítások után Φ( r) = q r R + q r R = q ( r R r R + ) r R + r R ( r R + r R + ) = q( r R r R + ) r R + r R = q r R + r R ( r R + r R + ) ( r R 2 r R + 2) ( r R + r R + ) Innen, felhasználva a tetszőleges vektorokra érvényes v 2 w 2 = ( v + w) ( v w) azonosságot Φ( r) = q(2 r R R + ) ( R + R ) r R + r R ( r R + r R + ) = 2q( r R) a r R + r R ( r R + r R + )
18 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE Pontszerű dipólus ( a r R ) esetén r R + r R r R ezért legalacsonyabb rendben ( p = q a a dipólmomentum-vektor) Innen az elektromos térerősség Φ( r) = p ( r R) r R 3 ahol E( r) = grad Φ( r) = 3( n p ) n p r R 3 n = r R r R a dipólustól a megfigyelési pont irányába mutató egységvektor.
19 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE Hengerszimmetrikus elektrosztatikus mező, melynek tengelye párhuzamos a p dipólmomentummal. A potenciál a távolság négyzetével, míg a térerősség a távolság köbével fordítva arányosan csökken bármely adott irány mentén: nagy r esetén
20 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE (a dipólustól messze) E( r) p r 3 Észrevétel. A potenciál szinguláris r= R esetén, vagyis a dipólus helyén, így a fenti eredmények csak a dipólustól elég nagy távolságra érvényesek. A dipólus közvetlen közelében érvényes viselkedés leírható egy szinguláris, ún. kontakt taggal, melynek következtében a térerősség módosított alakja E( r) = 3( n p ) n p r R 3 4π 3 δ( r R) p Itt δ( r) a Dirac-féle delta-függvényt jelöli.
21 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE Pontszerű dipólusok közötti erőhatás származtatásához tekintsünk két, p 1 és p 2 momentumú dipólust egymástól r távolságra. Válasszunk olyan Descartes-koordinátákat, melyek origójában található az első, z-tengellyel párhuzamos momentumú dipólus, azaz p 1 = p 1 e z, és amelyek xz-síkja tartalmazza a második, (x, y, z) pontban található dipólust, azaz p 2 = p 2 sin θ e x +p 2 cos θ e z (itt θ a két momentum irányai által bezárt szög, és r = x 2 + y 2 + z 2 a távolságuk). Az első dipólus által a másodikra kifejtett erő ( ) F = p 2 grad E = p 2 sin θ E x + cos θ E z
22 5 PONTSZERŰ DIPÓLUS ELEKTROSZTATIKUS TERE ahol E = 3( n p 1 ) n p1 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 /2 = p 1 ( 3xz ex + 3yz e y + (2z 2 x 2 y 2 ) e z ) r 5 az első dipólus elektrosztatikus mezeje a második dipólus helyén ( n az első dipólusból a második irányába mutató egységvektor). Mivel és 1 E p 1 x = 3z r2 5x 2 r 7 e x 15xyz e r 7 y + 3x r2 5z 2 e r 7 z 1 E p 1 z = 5z 2 3xr2 e r 7 x + 3y r2 5z 2 e r 7 y + 3z 3r2 5z 2 r 7 e z ezért az erő a távolság negyedik hatványával csökken, és arányos a két momentum nagyságának szorzatával): F p 1 p 2 r 4.
23 6 A MULTIPÓLUS-KIFEJTÉS 6. A multipólus-kifejtés Tekintsünk egy véges V térrészben lokalizált folytonos térbeli töltéseloszlást ρ( r) térfogati töltéssűrűséggel. A potenciál Φ( r) = V ρ( R) r R d3 R Távol V-től, amikor a vizsgálati r pont bármely V-beli ponttól mért távolsága sokkal nagyobb, mint a V-beli pontok kölcsönös távolságának maximuma, használható a 1 r R = 1 r + r R r 3 + {3( r R) 2 r 2 R 2 } 2 r 5 +
24 6 A MULTIPÓLUS-KIFEJTÉS sorfejtés, amelyet behelyettesítve a potenciál fenti kifejezésébe kapjuk a Φ( r) = q r p r + r 3 + r Q r 2 r 5 + multipólus-kifejtést, ahol q = ρ( R) d 3 R az össztöltés, és p = V ρ( R) R d 3 R V
25 6 A MULTIPÓLUS-KIFEJTÉS a dipólusmomentum-vektora a töltéseloszlásnak, míg Q = ρ( R)(3 R R R 2 ) d 3 R V a kvadrupólusmomentum-tenzor. Észrevétel. Az origót a-val eltolva a dipólusmomentum p-ről p + q a-ra változik, vagyis csak akkor van invariáns jelentése, ha a q töltés zérus; általában a multipólus-kifejtésnek csak a legalacsonyabb rendű nem eltűnő tagja rendelkezik abszolút jelentéssel. Magasabb rendű (oktopólus, stb.) tagok általában elhanyagolhatók.
26 7 A POISSON-EGYENLET 7. A Poisson-egyenlet 4πρ( r) = div E E( r) = grad Φ( r) 4πρ= div(grad Φ) más szóval Φ( r) = 4πρ( r) Poisson-egyenlet Másodrendű parciális differenciál-egyenlet a potenciálra. Poisson-egyenlet lineáris bármely két megoldás különbsége egy harmonikus függvény, azaz kielégíti a Φ = 0 Laplace-egyenletet.
27 7 A POISSON-EGYENLET Infinitezimális ponttöltések Φ( r) = ρ( R) r R d3 R szuperpozíciója a Poisson-egyenlet egy partikuláris megoldása. Megfelelő harmonikus függvények hozzáadásával lehet kielégíteni a határfeltételeket: valamilyen (nem feltétlenül összefüggő) felület mentén ismert a potenciál értéke (Dirichlet-féle); normális irányú deriváltja (Neumann-féle). Kevert (vegyes) határfeltétel: részben Dirichlet, részben Neumann.
28 7 A POISSON-EGYENLET Poisson-egyenletnek mindig létezik (normálás erejéig) egyértelmű megoldása a fenti határfeltételek bármelyike mellet. Neumann-féle határfeltételek jelentősége: felületi töltéseloszlások. Tekintsünk egy η( r) sűrűségű folytonos töltéseloszlást az S felület mentén, és jelölje n( r) a felület normális vektorát az r helyvektorú pontban. A felületi töltések miatt a térerősség nem folytonosan változik a felületen való áthaladás során (ugrást szenved), vagyis a felület egy adott pontjában vett határértéke függ attól, hogy a felület melyik oldaláról közelítjük meg a vizsgált pontot.
29 7 A POISSON-EGYENLET Tekintsünk egy V hengeres testet, amelyet az S felület ketté vág: ekkor a Gauss-törvény miatt E( r) d s = 4πQ V ahol Q jelöli a V belsejében található összes töltést.
30 7 A POISSON-EGYENLET A V hengeres testet összenyomva a felületre, a benne foglalt töltés Q η s = η n s ahol s jelöli a V és az S felület metszetének (infinitezimális) felületelemvektorát. Tekintve, hogy a palást felszíne nullához tart a zsugorítás során, ezért a palástra vett integrál is eltűnik, így csak az alap- és fedőlapra vonatkozó integrálok maradnak, melyek összegéből ( E( r) d s E+ ( r) E ) ( r) s V
31 7 A POISSON-EGYENLET ahol E ± ( r) jelöli a térerősség értékét a felület két oldalán. A két eredményt összehasonlítva kapjuk, hogy ( E+ E ) n = 4πη Hasonló megfontolásból, rot E= 0 következtében ( E+ E ) n = 0
32 7 A POISSON-EGYENLET A térerősség nem folytonos az S felület mentén: tangenciális (felülettel párhuzamos) komponense ugyan folytonosan változik, de normális (felületre merőleges) komponense a felületi töltéssűrűséggel arányos ugrást szenved. E + E = 4πη n Észrevétel. Felületi töltéseloszlás egy makroszkopikus idealizáció: valójában a töltés szét van kenve egy vékony, néhány atomnyi vastagságú rétegben, és a térerősség ezen belül gyorsan, de folytonosan változik, viszont makroszkopikus skálán ez az átmeneti zóna egy felületként kezelhető, és a térerősség gyors változása diszkontinuitásként írható le.
33 7 A POISSON-EGYENLET Φ n = n( r) grad Φ( r)= E n miatt a potenciál folytonos az S felület mentén, de normális irányú deriváltja a felületi töltéssűrűséggel arányos ugrást szenved ott Neumannféle határfeltétel a potenciálra, ha térerősség normális komponense (a potenciál normális irányú deriváltja) és a potenciál értéke ismert a felület egyik oldalán, és ismert a felületi töltéssűrűség. Dirichlet-féle határfeltételek jelentősége: vezető tartományok (elektródák) létezése.
34 8 VEZETŐK AZ ELEKTROSZTATIKÁBAN 8. Vezetők az elektrosztatikában Vezető közeg: makroszkopikus mennyiségű könnyen elmozdítható mikroszkopikus töltéshordozó jelenléte. Elektromos mező egy vezető tartomány belsejében elmozdítaná a töltéshordozókat (konduktív áram lépne fel) Elektrosztatikus mező eltűnik egy vezető belsejében! elektróda (összefüggő vezető tartomány) belsejében a potenciál konstans, az elektródák ekvipotenciális tartományok. Ok: elektróda felületén oly módon helyezkednek el a mikroszkopikus töltéshordozók (indukált felületi töltéssűrűség), hogy elektromos mezejük
35 8 VEZETŐK AZ ELEKTROSZTATIKÁBAN pontosan kioltsa (leárnyékolja) a külső elektrosztatikus mezőt az elektróda belsejében (de nem azon kívül!). Térerősség eltűnik egy elektróda belsejében, és tangenciális komponense folytonosan változik, ezért az elektródák külső felületén: 1. a potenciál konstans; 2. a térerősség normális irányú; 3. a felületi térerősség (a potenciál normális irányú Φ n deriváltja) arányos a felületi töltéssűrűséggel. Gyakran ismert a potenciál értéke és az össztöltés az egyes elektródákon, és meghatározandó a pontos felületi töltéseloszlás (Dirichlet-feladat).
36 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK 9. Egyszerű elektrosztatikus problémák 9.1. Síkkondenzátor +q és q töltésű, egymással párhuzamos, sík elektródák d távolságra egymástól (alkalmazás: elektrosztatikus töltés tárolása). Ha az elektródák F felszíne sokkal nagyobb mint d 2, akkor a rendszer
37 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK közelíthető két, egyenletes +η és η töltéssűrűségű, végtelen kiterjedésű párhuzamos sík lappal (itt η = q F ). Válasszunk Descartes-koordinátákat úgy, hogy a z-tengely legyen merőleges az elektródákra, és az origó a két elektróda közt félúton legyen a potenciál csak a z-koordinátától függhet, de független az x és y koordinátáktól: Φ( r) = Φ(z). A két elektróda közti d 2 z d 2 térrészben a d2 Φ dz 2 megoldása Φ(z) = Az+B, ezért = 0 Poisson-egyenlet E(x, y, z) = Φ z e z = A e z
38 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK Homogén elektrosztatikus mező az elektródák közt! Véges méretű kondenzátor esetén, a szélektől elég távol igen jó közelítéssel homogénnek tekinthető az elektródák közti elektromos mező. Az elektródák közti térrészen kívül nincs elektromos mező (elektródák töltései leárnyékolják egymást) potenciál normális irányú deriváltja az elektródák felületén arányos a felületi töltéssűrűséggel.
39 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK Φ z = A = 4πη Potenciál értéke az elektródák felületén: Φ ± = A ( ± d 2 ) + B, innen a potenciálkülönbség Φ + Φ = 4πηd = 4πqd F Kapacitás: potenciálkülönbség és töltés hányadosa (töltéstároló képesség mértéke) C = q = F Φ + Φ 4πd Arányos az elektródák felszínével, és fordítva arányos a távolságukkal.
40 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK 9.2. Gömbkondenzátor Két koncentrikus, R < R + sugarú gömbfelület, rajtuk egyenletesen elosztott ±q töltéssel. A felületi töltéssűrűségek η ± = ±q 4πR 2 ± Gömbszimmetria következtében a potenciál csak a középponttól mért távolságtól függhet, vagyis gömbkoordinátákkal kifejezve Φ(r, φ, ϑ) = Φ(r). Poisson-egyenlet az elektródák közti részben (R r R + ) Φ = d2 Φ dr r dφ dr = 0
41 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK amelynek megoldása Φ(r) =A + B r és E( r) =B r r 3 Határfeltétel az elektródák felszínén: amiből adódik, hogy B =q. 4πη ± = E(R ± ) n = ±B R 2 ± A kapacitás C = q Φ(R ) Φ(R + ) = R +R R + R
42 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK 9.3. Ponttöltés tere vezető féltér jelenlétében Vezető közeggel töltött ( földelt ) féltértől d távolságra q nagyságú ponttöltést helyezünk el. Mi a potenciál? Válasszunk olyan Descartes-koordinátákat, melyek z-tengelye merőleges a vezető féltér határára, és áthalad a ponttöltésen a ponttöltés helyvektora d e z.
43 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK Mivel a felső féltérben mindössze egyetlen ponttöltés található, ott a térfogati töltéssűrűség eltűnik, ezért a Poisson-egyenlet alakja a z > 0 féltérben Φ=0. A Gauss-törvény következtében 1 4π V grad Φ d s = 1 4π V q ha V tartalmazza a ponttöltést; E( r) d s = 0 egyébként. minden, teljes egészében a z > 0 féltérben elhelyezkedő V tartomány esetén (ha V átnyúlik a vezető féltérbe, akkor a kialakuló felületi töltéseloszlás miatt ez már nem feltétlenül igaz).
44 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK A vezető féltérben a potenciál eltűnik, azaz Φ(x, y, z)=0 ha z 0, ezért a vezető felületén Φ(x, y, 0)=0. Tekintsük két, a határfelületre szimmetrikusan elhelyezkedő, azonos nagyságú, de ellentétes előjelű ponttöltés ( tükörtöltés ) szuperpozícióját: Φ m ( r) = Φ (q,d e z) ( r) + Φ ( q, d e z) ( r) = = q r d e z q x 2 + y 2 + (z d) 2 q r + d e z q x 2 + y 2 + (z + d) 2
45 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK Φ m ( r) kielégíti a Poisson-egyenletet, mivel mindkét tagja kielégíti azt, és a Φ m (x, y, 0)=0 határfeltételt is, mivel r d e z = r + d e z ha z =0. Továbbá 1 4π V grad Φ m d s = q ha V tartalmazza a ponttöltést; 0 egyébként. mivel a tükörtöltés a z <0 féltérben helyezkedik el, ezért Φ m (x, y, z) írja le a potenciált a z >0 féltérben! A térerősség kifejezése (a z > 0 féltérben) E(x, y, z) = q( r d e z ) ( x2 + y 2 + (z d) 2) 3/2 q( r + d e z ) ( x2 + y 2 + (z + d) 2) 3/2
46 9 EGYSZERŰ ELEKTROSZTATIKUS PROBLÉMÁK Az indukált felületi töltéssűrűség a z = 0 síkban a térerősség normális komponenséből származtatható η(x, y) = 1 4π E z(x, y, 0) = qd 2π A teljes indukált töltés a határfelületen 1 (x 2 + y 2 + d 2 ) 3 /2 + + η(x, y) dxdy = q A q tükörtöltés szét van kenve a határfelületen.
47 10 FOLYTONOS DIPÓLELOSZLÁSOK 10. Folytonos dipóleloszlások Folytonos dipóleloszlások: térfogati vagy felületi ( kettősréteg ). Felületi dipóleloszlás jellemezhető egy skalár mennyiséggel, a ν( r) felületi momentumsűrűséggel: egy r körüli, s felületelem-vektorú infinitezimális felületdarab dipólmomentuma ν( r) s (mindig normális irányú).
48 10 FOLYTONOS DIPÓLELOSZLÁSOK Osszuk fel a kettősréteg Σ felületét kicsiny, R i körüli és s i felületelemvektorú darabokra: ezek mindegyikének járuléka a potenciálhoz Φ i ( r) = ν( R i ) s i ( r R i ) r R i 3 Ezen járulékokat felösszegezve, és a felosztást minden határon túl finomítva kapjuk, hogy a ν( r) felületi momentumsűrűségű kettősréteg potenciálja Φ( r) = lim i ν( R i )( r R i ) r R i 3 si = Σ ν( R) r R 3 ( r R) d s
49 10 FOLYTONOS DIPÓLELOSZLÁSOK A potenciál nem folytonos: a kettősrétegen áthaladva Φ + ( r) Φ ( r) = 4πν( r) ugrást szenved. Térbeli folytonos dipóleloszlás jellemzése a P( r) momentumsűrűség-vektorral lehetséges, mely az r pont körüli egységnyi térfogat dipólmomentumát adja meg. Ha a dipóleloszlás a V tartományban lokalizált, akkor a potenciál kifejezése Φ( r) = V P( R) ( r R) r R 3 d 3 R
50 10 FOLYTONOS DIPÓLELOSZLÁSOK Felhasználva a div ( ) P( r) r R = div P r R + P( r) ( r R) r R 3 vektoranalitikai összefüggést és a divergencia-tételt, adódik (itt n( r) jelöli a V határfelület normális egységvektorát az r pontban) Φ( r) = = V V { div ( P r R ρ p ( R) r R d3 R + ) V div P } r R d 3 R η p ( R) r R d s
51 10 FOLYTONOS DIPÓLELOSZLÁSOK ahol ρ p ( r) = div P és η p ( r) = P( r) n( r) A potenciál alakja ugyanaz, mint egy ρ p ( r) térfogati és egy η p ( r), a V határfelületre lokalizált felületi sűrűségű folytonos töltéseloszlás esetén (polarizációs töltések).
52 11 DIELEKTRIKUMOK AZ ELEKTROSZTATIKÁBAN 11. Dielektrikumok az elektrosztatikában Dielektrikum: olyan anyagi közeg, amelyben nincsenek könnyen elmozdítható mikroszkopikus töltéshordozók (szigetelő) statikus töltéskonfigurációk lehetősége. Kapcsolat eltolási és térerősség-vektor között: vákuum vezető dielektrikum D = E D= E= 0 D= D( E) anyagi összefüggés Nem-triviális anyagi összegfüggések eredete: polarizációs effektusok a molekuláris töltéseloszlásokban.
53 12 MOLEKULÁRIS TÖLTÉSELOSZLÁSOK 12. Molekuláris töltéseloszlások Makroszkopikus testek rendkívül nagy számú ( ) elektromosan semleges mikroszkopikus összetevőt atomok és molekulák tartalmaznak, (kivéve ha megfelelően nagy energiájú folyamat, pl. radioaktív sugárzás vagy hőmozgás következtében ionizálódnak). Bár az atomok és molekulák elektromosan semlegesek, de nem-triviális a töltéseloszlásuk: a pozitív töltés a kis térfogatú atommagokban koncentrálódik, míg a negatív töltés az elektronfelhőben szétkenve lelhető fel (kvantumeffektusok és magerők által stabilizált töltésszétválasztás).
54 12 MOLEKULÁRIS TÖLTÉSELOSZLÁSOK Gauss-törvény alakja a molekuláris töltéseloszlások figyelembevételével div E = 4π ( ρ + i ρ ) i ahol ρ( r) a molekuláris skálánál sokkal nagyobb távolságokon megfigyelhető szabad, míg ρ i ( r) az egyes molekulákon belüli töltéssűrűség.
55 12 MOLEKULÁRIS TÖLTÉSELOSZLÁSOK Észrevétel. ρ b ( r) = i ρ i ( r) jelöli az atomok/molekulák kötött töltéssűrűségét. Elektrosztatikus potenciál ρ( R) Φ( r) = r R ρi ( R) d3 R + i r R d3 R = Φvac ( r) + i Φ i ( r) Az első tag a vákuumbeli potenciál, a közeg jelenlétét a második tag tükrözi, amely az egyes atomok/molekulák járulékainak összege. Bármely makroszkopikus térfogathoz viszonyítva, az egyes atomok/molekulák pontszerűek és távoliak az egyes atomok/molekulák járulékai jó
56 12 MOLEKULÁRIS TÖLTÉSELOSZLÁSOK közelítéssel leírhatók a Φ i ( r) = q i r R i + p i ( r R i ) r R + ( r R i ) Q i ( r R i ) i 3 2 r R +... i 5 multipólus-sorfejtés felhasználásával, ahol R i jelöli az i-edik atom/molekula helyvektorát, q i = ρ i ( r) d 3 r az elektromos töltését, p i = ρ i ( r) r d 3 r a dipólmomentumát, és végül Q i = ρ i ( r)(3 r r r 2 ) d 3 r a kvadrupólusmomentum tenzorát. Atomok/molekulák elektromosan semlegesek első tag hiányzik, csak a magasabb-rendű tagok adnak járulékot.
57 12 MOLEKULÁRIS TÖLTÉSELOSZLÁSOK Nagy számú mikroszkopikus összetevő bármely makroszkopikus térfogatban molekuláris járulékok összege jól közelíthető folytonos dipólus-, kvadrupólus-, stb. eloszlásokra vett integrállal Φ i ( r) = i P( R) ( r R) r R 3 + d 3 R ( r R) Q( R) ( r R) 2 r R 5 d 3 R +... ahol P( R) = i p i (a polarizáció vektor) és Q( R) = i Q i jelöli a molekuláris dipól- és kvadrupólus-momentumok összegét egy R körüli egységnyi térfogatban.
58 12 MOLEKULÁRIS TÖLTÉSELOSZLÁSOK Szabad töltések elektrosztatikus mezeje befolyásolja az egyes molekulák belső töltéseloszlását (dielektromos polarizáció), ami makroszkopikus dipólmomentum sűrűségre vezet magasabb multipólus-járulékok elhanyagolhatók makroszkopikus skálán. Φ i ( r) = i P( R) ( r R) r R 3 d 3 R = V div P r R d 3 R + V P( r) r R d s innen a kötött töltések sűrűsége ρ b ( r) = i ρ i ( r) = div P
59 12 MOLEKULÁRIS TÖLTÉSELOSZLÁSOK div E = 4π ( ρ + i ρ i) következtében div( E+4π P) = 4πρ vagyis jelöléssel D = E + 4π P div D = 4πρ ha Q jelöli a V térrészben található összes töltést, akkor a Gauss-tétel felhasználásával D( r) d s = 4πQ V
60 13 DIELEKTROMOS POLARIZÁCIÓ 13. Dielektromos polarizáció Poláros molekulák (H 2 O, NH 3, HCl): nem-zérus dipólmomentum p i 0 (oka: strukturális aszimmetria). Apoláros molekulák (H 2, CH 4 ): p i = 0. Polarizációs vektor: P( r)= i p i (dipólmomentum-sűrűség).
61 13 DIELEKTROMOS POLARIZÁCIÓ Poláros molekulák momentumának iránya általában véletlenszerű a P( r) polarizációs vektor kivételes esetektől eltekintve (pl. elektrétek és ferroelektromos anyagok) eltűnik. Dielektromos polarizáció: külső elektromos mező módosítja mind a molekulákon belüli töltéseloszlást, mind momentumaik irányának statisztikus eloszlását, ezáltal makroszkopikus dipólmomentum-sűrűséget hozva létre. Észrevétel. Kvantum szinten vákuumpolarizációs effektusok (virtuális párkeltés), de ezek makroszkopikus méreteknél elhanyagolhatóak.
62 13 DIELEKTROMOS POLARIZÁCIÓ Három alapvető mechanizmus: 1. Deformációs (elektron-)polarizáció: külső elektromos mező deformálja a molekulák negatív töltésű elektronfelhőjét, megváltoztatva annak töltésközéppontját a pozitív töltésű atommagokhoz viszonyítva molekulák elektromos dipólmomentuma megváltozik. 1. ábra. Deformációs polarizáció
63 13 DIELEKTROMOS POLARIZÁCIÓ 2. Orientációs polarizáció: poláros molekulák belső dipólmomentumát a külső elektromos mező igyekszik befordítani a saját irányába (ennek ellenében hat a hőmozgás). 3. Ionpolarizáció: ionos kristályokban az ellentétes töltésű ionok relatív helyzete megváltozik a külső mező hatására, ezáltal megváltoztatva a dipólusmomentum-sűrűséget.
64 13 DIELEKTROMOS POLARIZÁCIÓ Poláros molekulák esetén a domináns mechanizmus az orientációs polarizáció: az elektron- és ionpolarizáció csak apoláros molekulák esetén releváns. Indukált momentum mindig párhuzamos a külső tér irányával (és azzal egy irányba mutat) izotrop anyagok esetén. Hőmérsékletfüggés: elektron- és ionpolarizáció gyakorlatilag független a hőmérséklettől, míg az orientációs polarizáció csökken növekvő hőmérséklettel, mert a termális fluktuációk rendezetlenné teszik a molekuláris dipólusok irányát. Piroelektromosság: hőmérséklet változás indukálta polarizáció. Piezoelektromosság: mechanikai feszültség indukálta polarizáció.
65 14 SPONTÁN POLARIZÁCIÓ 14. Spontán polarizáció Nemzérus polarizációs vektor (dipólmomentum-sűrűség) külső tér hiányában is. Elektrétek: olyan hosszú poláris molekulákból álló műanyagok és viaszok, melyek momentumai befagytak egy irányba, miután azokat egy külső mező egy magasabb hőmérsékleten rendezte (metastabil állapot).
66 14 SPONTÁN POLARIZÁCIÓ Ferro-elektromos anyagok: erős molekuláris dipólus-dipólus kölcsönhatások következtében makroszkopikus méretű domének alakulnak ki párhuzamos momentumokkal. Polarizációs vektor: adott térfogat átlagos dipólmomentuma lehetőség nemzérus polarizációra külső mező hiányában is. Növekvő hőmérséklettel (hőmozgás) spontán polarizáció eltűnik a ferroelektromos Curie-hőmérsékleten (másodrendű fázisátalakulás). Momentumok iránya függ a minta történetétől, és csak speciális preparálás esetén teljesen véletlenszerű.
67 14 SPONTÁN POLARIZÁCIÓ Az egyes molekuláris momentumok csak a domének határán változhatnak (ahol a többi momentum hatása nem annyira jelentős) doménfalak mozognak a külső mező hatására: irányban álló domének nőnek a többiek rovására, ezáltal a polarizáció is változik (szaturáció, ha csak egy domén marad, az összes momentum párhuzamos).
68 14 SPONTÁN POLARIZÁCIÓ Polarizációs görbe Hiszterézis: polarizáció nem csak az adott időpontbeli elektromos mezőtől függ, de annak korábbi értékeitől is (memória-effektus).
69 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN 15. Illesztési feltételek közegek határán Adott közeg belsejében a térjellemzők folytonosan változnak, de két különböző közeg határán egyesek ugrást szenvedhetnek: ha minden térjellemző folytonosan változna, akkor mindkét közegben ugyanazon anyagi összefüggések teljesülnének, és a két közeg nem lenne egymástól megkülönböztethető. Határfelületen töltések halmozódhatnak fel (illetve áramolhatnak annak mentén) felületi töltések és áramok kialakulása. Határfelület egy adott pontjában a térjellemzők értéke függ attól, hogy a felület melyik oldaláról (melyik közegben) közelítjük azt meg.
70 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN Válasszuk ki a határfelület egy F darabját, és jelölje V határfelületet merőlegesen metsző, mindkét közegbe h távolságra benyúló, F alapú hengeres testet. Jelölje továbbá F és F + a hengerfelület alap és fedőlapját, és P a palástját. Amennyiben Q jelöli a V belsejében található összes töltést, akkor 4πQ = D d s = D d s + D d s + D d s F V P F +
71 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN A hengert a felületre lapítva (h 0 határeset), a P palástra vett integrál, mivel az a felülettel arányos, nullához tart D d s 0 P míg D d s D d s F D d s F D + d s F + F
72 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN mert a d s felületelem a V külső normálisának irányába mutat. Innen 4πQ = ( D+ D ) d s F Ahogy a henger magassága nullához tart, a belsejében elhelyezkedő töltések a határfelületre koncentrálódnak Q= F η( r) d s = F η( r) n( r) d s ahol η( r) a felületi töltéssűrűség, míg n( r) a határfelület r pontbeli normális egységvektora.
73 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN Fentiek alapján a határfelület bármely F darabjára F ( D+ D 4πη n) d s=0 Az F felületet egy pontra összehúzva, mivel a d s felületelem párhuzamos az n normális egységvektorral n D + n D =4πη A D vektor normális komponense 4πη nagyságú ugrást szenved a határfelületen!
74 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN Vezető-dielektrikum határfelületen, mivel a vezető belsejéből az elektrosztatikus tér kiszorul ( E = P = 0), ezért D = 0, következésképpen a D normális komponensének dielektrikumbeli értéke (a határon) az indukált felületi töltéssűrűség 4π-szerese vezető testet kettéosztva elég kicsiny, n normálisú és F felszínű keresztmetszet mentén, az egyes részek Q ± = ±F n D töltésre tesznek szert D= E + 4π P az eltolási vektor
75 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN Legyen L egy, a két közeg határát merőlegesen metsző, téglalap alakú kicsiny felület, melynek határa L = a+b+c+d a megfelelő irányításokkal. Elektrosztatikus tér konzervatív 0 = E( r) d r = E( r) d r + E( r) d r + E( r) d r + E( r) d r L a b c d Ha L-t rázsugorítjuk a határfelületre, akkor b és d görbék hossza 0-hoz tart, míg a és c rásimul egymásra és a felületre
76 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN 1. a b és d menti integrálok 0-hoz tartanak; 2. E( r) d r E ( r) d r és a γ c E( r) d r jelöli az L és a határfelület metszésvonalát. γ E + ( r) d r, ahol γ Innen γ ( E+ E ) d r = 0 bármely, a határfelület belsejében futó γ görbeszakaszra. Jelölje t a γ görbe érintővektorát az r helyvektorú pontban: nyilván t merőleges a határfelület r-beli normális egységvektorára, azaz t n = 0.
77 15 ILLESZTÉSI FELTÉTELEK KÖZEGEK HATÁRÁN Infinitezimális l γ 0 hosszúságú görbeszakasz esetén ( 0 = E+ E ) ( d r = E+ ( r) E ) ( r) t l γ γ ahonnan E + ( r) t = E ( r) t bármely, a határfelületet érintő t vektorra a térerősség-vektor ugrása normális irányú ( E+ E ) n = 0 A térerősség-vektor érintőirányú (tangenciális) komponense folytonosan változik különböző közegek határán!
78 16 A PERMITTIVITÁS (DIELEKTROMOS ÁLLANDÓ) 16. A permittivitás (dielektromos állandó) Spontán polarizáció hiányában a P polarizációs vektor jól közelíthető E szerinti sorfejtésének néhány első tagjával P = κe +... κ a közeg elektromos szuszceptibilitása. D = E + 4πP = εe ahol ε = 1+4πκ a közeg permittivitása (dielektromos álandó). ε 1, mivel κ 0 közönséges anyagokra (vákuumban ε=1).
79 16 A PERMITTIVITÁS (DIELEKTROMOS ÁLLANDÓ) 1. táblázat. Néhány anyag permittivitása szobahőmérsékleten anyag permittivitás víz 80 etanol 24 metanol 33 polietilén 2.2 PVC 6.1 plexi-üveg 3.4 paraffin viasz 2.2 bárium-titanát >2100
80 16 A PERMITTIVITÁS (DIELEKTROMOS ÁLLANDÓ) Dielektromos állandó izotrop anyagokra skalár, míg anizotrop anyagokra (szimmetrikus) tenzor. Általános esetben P( r, t) = κ( r R, t τ) E( R, τ) d 3 R dτ Térbeli nem-lokalitás (véges terjedési sebesség következménye) elhanyagolható, időbeli nem-lokalitás (véges relaxációs idő következménye) frekvenciafüggő permittivitás (diszperzió). Nem-lineáris anyagok: permittivitás függ a térerősségtől ( P sorfejtésének magasabb rendű tagjainak figyelembe vétele) nem-lineáris optika.
81 17 ELEKTROSZTATIKUS ENERGIA 17. Elektrosztatikus energia q nagyságú ponttöltés potenciális energiája az r helyvektorú pontban qφ( r) (= végtelenből r-be való mozgatáshoz szükséges munka). (q 1, r 1 ),..., (q n, r n ) ponttöltésekből álló rendszer elektromos kölcsönhatásokból származó potenciális energiája (töltéseket egyenként adva hozzá a rendszerhez) U = q 2 Φ (q 1, r 1 ) ( r 2 ) + q 3 Φ (q 1, r 1 ),(q 2, r 2 ) ( r 3 ) +... = n q i q j r i r j = 1 2 i=1 1 j<i Észrevétel. i = j sajátenergiás tagok hiányoznak az összegből. i j q i q j r i r j
82 17 ELEKTROSZTATIKUS ENERGIA Egy ρ( r) térfogati sűrűségű folytonos töltéseloszlás esetén az analóg kifejezés a potenciális energiára U = 1 2 ρ( r) ρ( R) r R d 3 r d 3 R = 1 2 ρ( r) Φ( r) d 3 r ahol Φ( r) = ρ( R) r R d3 R a ρ( r) töltéssűrűség által keltett elektrosztatikus potenciál. Felhasználva a ( div ΦD ) = Φdiv D + grad Φ D = 4πρΦ E D
83 17 ELEKTROSZTATIKUS ENERGIA összefüggést kapjuk, hogy U = 1 2 ρ( r) Φ( r) d 3 r = 1 (Φ D) 8π d s + 1 8π E D = r 8π d3 E D d 3 r tekintve, hogy a felületi integrál eltűnik. Innen adódik, hogy w = E D 8π az elektrosztatikus mező térfogati energiasűrűsége (egységnyi térfogatban tárolt elektrosztatikus energia).
Vezetők elektrosztatikus térben
Vezetők elektrosztatikus térben Vezető: a töltések szabadon elmozdulhatnak Ha a vezető belsejében a térerősség nem lenne nulla akkor áram folyna. Ha a felületen a térerősségnek lenne tangenciális (párhuzamos)
RészletesebbenElektroszatika 0-0. Nyugvó töltések elektromos mezejének vizsgálata. nincs töltésáramlás, se konvektív, se konduktív ( j = 0)
0-0 Elektroszatika Nyugvó töltések elektromos mezejének vizsgálata. nincs töltésáramlás, se konvektív, se konduktív ( j = 0) térjellemz k nem változnak az id során (id deriváltak elt nnek) mágneses mez
Részletesebben1. ábra. 24B-19 feladat
. gyakorlat.. Feladat: (HN 4B-9) A +Q töltés egy hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld.. ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal. ábra. 4B-9 feladat irányában lévő,
RészletesebbenElektromos alapjelenségek
Elektrosztatika Elektromos alapjelenségek Dörzselektromos jelenség: egymással szorosan érintkező, vagy egymáshoz dörzsölt testek a szétválasztásuk után vonzó, vagy taszító kölcsönhatást mutatnak. Ilyenkor
RészletesebbenA +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra
. Gyakorlat 4B-9 A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld. 4-6 ábra.). Számítsuk ki az E elektromos térerősséget a vonal irányában lévő, annak.. ábra. 4-6 ábra végpontjától
RészletesebbenQ 1 D Q 2 (D x) 2 (1.1)
. Gyakorlat 4B-9 Két pontszerű töltés az x tengelyen a következőképpen helyezkedik el: egy 3 µc töltés az origóban, és egy + µc töltés az x =, 5 m koordinátájú pontban van. Keressük meg azt a helyet, ahol
Részletesebben-2σ. 1. A végtelen kiterjedésű +σ és 2σ felületi töltéssűrűségű síklapok terében az ábrának megfelelően egy dipól helyezkedik el.
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Energetikai mérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. május 15. Neptun kód:... g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus
RészletesebbenFizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések
Fizika 1 Elektrodinamika beugró/kis kérdések 1.) Írja fel a 4 Maxwell-egyenletet lokális (differenciális) alakban! rot = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ : elektromos térerősség : mágneses térerősség D : elektromos
Részletesebbena térerősség mindig az üreg falára merőleges, ezért a tér ott nem gömbszimmetrikus.
2. Gyakorlat 25A-0 Tekintsünk egy l0 cm sugarú üreges fémgömböt, amelyen +0 µc töltés van. Legyen a gömb középpontja a koordinátarendszer origójában. A gömb belsejében az x = 5 cm pontban legyen egy 3
RészletesebbenAz elektromágneses tér energiája
Az elektromágneses tér energiája Az elektromos tér energiasűrűsége korábbról: Hasonlóképpen, a mágneses tér energiája: A tér egy adott pontjában az elektromos és mágneses terek együttes energiasűrűsége
RészletesebbenElektromágneses hullámok
Bevezetés a modern fizika fejezeteibe 2. (a) Elektromágneses hullámok Utolsó módosítás: 2015. október 3. 1 A Maxwell-egyenletek (1) (2) (3) (4) E: elektromos térerősség D: elektromos eltolás H: mágneses
RészletesebbenAz Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény
Az Ampère-Maxwell-féle gerjesztési törvény Maxwell elméleti meggondolások alapján feltételezte, hogy a változó elektromos tér örvényes mágneses teret kelt (hasonlóan ahhoz ahogy a változó mágneses tér
Részletesebben1. Elektromos alapjelenségek
1. Elektromos alapjelenségek 1. Bizonyos testek dörzsölés hatására különleges állapotba kerülhetnek: más testekre vonzerőt fejthetnek ki, apróbb tárgyakat magukhoz vonzhatnak. Ezt az állapotot elektromos
RészletesebbenMegoldás: A feltöltött R sugarú fémgömb felületén a térerősség és a potenciál pontosan akkora, mintha a teljes töltése a középpontjában lenne:
3. gyakorlat 3.. Feladat: (HN 27A-2) Becsüljük meg azt a legnagyo potenciált, amelyre egy 0 cm átmérőjű fémgömöt fel lehet tölteni, anélkül, hogy a térerősség értéke meghaladná a környező száraz levegő
RészletesebbenElektrosztatikai alapismeretek
Elektrosztatikai alapismeretek THALÉSZ: a borostyánt (élektron) megdörzsölve az a könnyebb testeket magához vonzza. Az egymással szorosan érintkező anyagok elektromosan feltöltődnek, elektromos állapotba
RészletesebbenELEKTROSZTATIKA. Ma igazán feltöltődhettek!
ELEKTROSZTATIKA Ma igazán feltöltődhettek! Elektrosztatikai alapismeretek THALÉSZ: a borostyánt (élektron) megdörzsölve az a könnyebb testeket magához vonzza. Elektrosztatikai alapjelenségek Az egymással
RészletesebbenElektromágneses alapjelenségek
0-0 I. rész Elektromágneses alapjelenségek Thalész (i.e. 600 körül): gyapjúval dörzsölt borostyánk ('élektron') az apróbb tárgyakat magához vonzza, majd eltaszítja. Dörzsölés hatására a testek elektromos
RészletesebbenMindkét oldal divergenciáját véve, és kihasználva a másik E térre vonatkozó egyenletet, Laplace-egyenletet kapunk:
1 / 6 A TételWiki wikiből 1 Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram. [1] 2 Vezetők, szigetelők, dielektrikumok, elektormos polarizáció, magnetosztatika. 2.1 Vezetők [3] 2.2 Dielektrikumok
RészletesebbenGyakorlat 30B-14. a F L = e E + ( e)v B képlet, a gravitációs erőt a (2.1) G = m e g (2.2)
2. Gyakorlat 30B-14 Az Egyenlítőnél, a földfelszín közelében a mágneses fluxussűrűség iránya északi, nagysága kb. 50µ T,az elektromos térerősség iránya lefelé mutat, nagysága; kb. 100 N/C. Számítsuk ki,
RészletesebbenFizika A2 Alapkérdések
Fizika A2 Alapkérdések Az elektromágnesség elméletében a vektorok és skalárok (számok) megkülönböztetése nagyon fontos. A következ szövegben a vektorokat a kézírásban is jól használható nyíllal jelöljük
RészletesebbenFizika 1 Elektrodinamika belépő kérdések
Fizika 1 Elektrodinamika belépő kérdések 1) Maxwell-egyenletek lokális (differenciális) alakja rot H = j+ D rot = B div B=0 div D=ρ H D : mágneses térerősség : elektromos megosztás B : mágneses indukció
RészletesebbenMágnesség. 1. Stacionárius áramok mágneses mezeje. Oersted (1820): áramvezet drót közelében a mágnest az áram irányára
1 STACIONÁRIUS ÁRAMOK MÁGNESES MEZEJE Mágnesség 1. Stacionárius áramok mágneses mezeje Oersted (1820): áramvezet drót közelében a mágnest az áram irányára mer legesen áll be elektromos töltések áramlása
RészletesebbenKirchhoff 2. törvénye (huroktörvény) szerint az áramkörben levő elektromotoros erők. E i = U j (3.1)
3. Gyakorlat 29A-34 Egy C kapacitású kondenzátort R ellenálláson keresztül sütünk ki. Mennyi idő alatt csökken a kondenzátor töltése a kezdeti érték 1/e 2 ed részére? Kirchhoff 2. törvénye (huroktörvény)
RészletesebbenPótlap nem használható!
1. 2. 3. Mondat E1 E2 Össz Gépészmérnöki alapszak Mérnöki fizika 2. ZH NÉV:.. 2018. november 29. Neptun kód:... Pótlap nem használható! g=10 m/s 2 ; εε 0 = 8.85 10 12 F/m; μμ 0 = 4ππ 10 7 Vs/Am; cc = 3
RészletesebbenVillamos tér. Elektrosztatika. A térnek az a része, amelyben a. érvényesülnek.
III. VILLAMOS TÉR Villamos tér A térnek az a része, amelyben a villamos erőhatások érvényesülnek. Elektrosztatika A nyugvó és időben állandó villamos töltések által keltett villamos tér törvényeivel foglalkozik.
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 7 VII VEkTORANALÍZIS 1 ELmÉLETI ALAPOk Az u függvényt skalár-vektor függvénynek nevezzük, ha értelmezési tartománya a háromdimenziós tér vektorainak halmaza, a függvényértékek
Részletesebben3.1. ábra ábra
3. Gyakorlat 28C-41 A 28-15 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető 3.1. ábra. 28-15 ábra réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 23 paramétervonalak,
Részletesebbenazonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra ábra
4. Gyakorlat 31B-9 A 31-15 ábrán látható, téglalap alakú vezetőhurok és a hosszúságú, egyenes vezető azonos sikban fekszik. A vezetőhurok ellenállása 2 Ω. Számítsuk ki a hurok teljes 4.1. ábra. 31-15 ábra
RészletesebbenFizika A2 Alapkérdések
Fizika A2 Alapkérdések Összeállította: Dr. Pipek János, Dr. zunyogh László 20. február 5. Elektrosztatika Írja fel a légüres térben egymástól r távolságban elhelyezett Q és Q 2 pontszer pozitív töltések
RészletesebbenBeugró kérdések. Elektrodinamika 2. vizsgához. Számítsa ki a gradienst, divergenciát és a skalár Laplace operátort henger koordinátákban!
Beugró kérdések Elektrodinamika 2. vizsgához. Görbült koordináták Henger koordináták: r=(ρ cos φ, ρ sin φ, z) Számítsa ki a gradienst, divergenciát és a skalár Laplace operátort henger koordinátákban!
RészletesebbenMágneses erőtér. Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat. A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja
Mágneses erőtér Ahol az áramtól átjárt vezetőre (vagy mágnestűre) erő hat A villamos forgógépek mutatós műszerek működésének alapja Magnetosztatikai mező: nyugvó állandó mágnesek és egyenáramok időben
RészletesebbenElektrotechnika. Ballagi Áron
Elektrotechnika Ballagi Áron Mágneses tér Elektrotechnika x/2 Mágneses indukció kísérlet Állandó mágneses térben helyezzünk el egy l hosszúságú vezetőt, és bocsássunk a vezetőbe I áramot! Tapasztalat:
Részletesebben1. fejezet. Gyakorlat C-41
1. fejezet Gyakorlat 3 1.1. 28C-41 A 1.1 ábrán két, azonos anyagból gyártott ellenállás látható. A véglapokat vezető réteggel vonták be. Tételezzük fel, hogy az ellenállások belsejében az áramsűrűség bármely,
RészletesebbenElektro- és magnetosztatika, áramkörök
1. fejezet Elektro- és magnetosztatika, áramkörök Coulomb- és Gauss-törvény, szuperpozíció elve, stacionárius áram. Vezet k, szigetel k, dielektrikumok, kondenzátor, magnetosztatika. Stacionárius áram,
RészletesebbenElektrosztatikai jelenségek
Elektrosztatika Elektrosztatikai jelenségek Ebonit vagy üveg rudat megdörzsölve az az apró tárgyakat magához vonzza. Két selyemmel megdörzsölt üvegrúd között taszítás, üvegrúd és gyapjúval megdörzsölt
RészletesebbenFizika 2 - Gyakorló feladatok
2015. június 19. ε o =8.85 10-12 AsV -1 m -1 μ o =4π10-7 VsA -1 m -1 e=1,6 10-19 C m e =9,11 10-31 kg m p =1,67 10-27 kg h=6,63 10-34 Js 1. Egy R sugarú gömbben -ρ állandó töltéssűrűség van. a. Határozza
RészletesebbenSkalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után -
1 ALAPFOGALMAK Vektoranalízis 1. Alapfogalmak Skalár: egyetlen számadattal (+ mértékegység) jellemezhető mennyiség. Azonos dimenziójú skalár mennyiségek - mértékegység-konverzió után - összehasonlíthatóak
RészletesebbenA Maxwellegyenletek. Elektromágneses térjellemz k: E( r, t) és H( r, t) térer sségek, D( r, t) elektromos eltolás és B( r, t) mágneses indukció.
A Maxwellegyenletek Elektromágneses térjellemz k: E( r, t) és H( r, t) térer sségek, D( r, t) elektromos eltolás és B( r, t) mágneses indukció. Milyen általános, a konkrét szituációtól (pl. közeg anyagi
RészletesebbenA Hamilton-Jacobi-egyenlet
A Hamilton-Jacobi-egyenlet Ha sikerül olyan kanonikus transzformációt találnunk, amely a Hamilton-függvényt zérusra transzformálja akkor valamennyi új koordináta és impulzus állandó lesz: H 0 Q k = H P
Részletesebben{ } x x x y 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ. ( ) ( ) ( ) (a szorzás eredménye:vektor) 1.1. Vektorok közötti műveletek
1. MAEMAIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok közötti műveletek Azok a fizikai mennyiségek, melyeknek nagyságukon kívül irányuk is van, vektoroknak nevezzük. A vektort egyértelműen megadhatjuk a hosszával és
RészletesebbenGyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid
Szilárdságtani számítások Gyakorlati példák Dr. Gönczi Dávid I. Bevezető ismeretek I.1 Definíciók I.2 Tenzoralgebrai alapismeretek I.3 Bevezetés az indexes jelölésmódba I.4 A lineáris rugalmasságtan általános
RészletesebbenA mechanikai alaptörvények ismerete
A mechanikai alaptörvények ismerete Az oldalszám hivatkozások a Hudson-Nelson Útban a modern fizikához c. könyv megfelelő szakaszaira vonatkoznak. A Feladatgyűjtemény a Mérnöki fizika tárgy honlapjára
RészletesebbenKvázi-stacionárius áramok és
1 A LORENTZ ERŐ Kvázi-stacionárius áramok és mágneses mezejük 1 A Lorentz erő Elektromos és mágneses mező egyidejű jelenlétében v sebességgel mozgó q elektromos töltésű pontszerű részecskére ható erő (
RészletesebbenÖsszeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens
Az R 3 tér geometriája Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens 2008.09.08. 1 Vektorok Vektor: irányított szakasz Jel.: a, a, a, AB, Jellemzői: irány, hosszúság, (abszolút érték) jel.: a Speciális
RészletesebbenAlkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz
Alkalmazás a makrókanónikus sokaságra: A fotongáz A fotonok az elektromágneses sugárzás hordozó részecskéi. Spinkvantumszámuk S=, tehát kvantumstatisztikai szempontból bozonok. Fotonoknak habár a spinkvantumszámuk,
RészletesebbenKérdések Fizika112. Mozgás leírása gyorsuló koordinátarendszerben, folyadékok mechanikája, hullámok, termodinamika, elektrosztatika
Kérdések Fizika112 Mozgás leírása gyorsuló koordinátarendszerben, folyadékok mechanikája, hullámok, termodinamika, elektrosztatika 1. Adjuk meg egy tömegpontra ható centrifugális erő nagyságát és irányát!
RészletesebbenFizika II minimumkérdések. A zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek.
izika II minimumkérdések zárójelben lévő értékeket nem kötelező memorizálni, azok csak tájékoztató jellegűek. 1. Coulomb erőtörvény: = kq r 2 e r (k = 9 10 9 m2 C 2 ) 2. Coulomb állandó és vákuum permittivitás
RészletesebbenOrvosi Fizika 12. Bari Ferenc egyetemi tanár SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet
Orvosi Fizika. Elektromosságtan és mágnességtan az életfolyamatokban Bari Ferenc egyetemi tanár SZTE ÁOK-TTIK Orvosi Fizikai és Orvosi Informatikai Intézet Szeged, 0.november 8. Az életjelenségek elektromos
RészletesebbenGépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, december 05. Feladatok (maximum 3x6 pont=18 pont)
1. 2. 3. Mondat E1 E2 NÉV: Gépészmérnöki alapszak, Mérnöki fizika 2. ZH, 2017. december 05. Neptun kód: Aláírás: g=10 m/s 2 ; ε 0 = 8.85 10 12 F/m; μ 0 = 4π 10 7 Vs/Am; c = 3 10 8 m/s Előadó: Márkus /
RészletesebbenPere Balázs október 20.
Végeselem anaĺızis 1. előadás Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2014. október 20. Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)? Mi az a VégesElem Anaĺızis (VEA)?
RészletesebbenEHA kód:...2009-2010-1f. As,
MŰSZAKI FIZIKA I. RMINB135/22/v/4 1. ZH A csoport Név:... Mérnök Informatikus EHA kód:...29-21-1f ε 1 As = 9 4π 9 Vm µ = 4π1 7 Vs Am 1) Két ± Q = 3µC nagyságú töltés közti távolság d = 2 cm. Határozza
RészletesebbenElektrodinamika. Maxwell egyenletek: Kontinuitási egyenlet: div n v =0. div E =4 div B =0. rot E = rot B=
Elektrodinamika Maxwell egyenletek: div E =4 div B =0 rot E = rot B= 1 B c t 1 E c t 4 c j Kontinuitási egyenlet: n t div n v =0 Vektoranalízis rot rot u=grad divu u rot grad =0 div rotu=0 udv= ud F V
Részletesebben9. ábra. A 25B-7 feladathoz
. gyakolat.1. Feladat: (HN 5B-7) Egy d vastagságú lemezben egyenletes ρ téfogatmenti töltés van. A lemez a ±y és ±z iányokban gyakolatilag végtelen (9. ába); az x tengely zéuspontját úgy választottuk meg,
RészletesebbenElektrosztatikus számítások. Elektrosztatikus számítások. Elektrosztatikus számítások. Elektrosztatikus számítások Definíciók
Jelentősége szubsztrát kötődés szolvatáció ionizációs állapotok (pka) mechanizmus katalízis ioncsatornák szimulációk (szerkezet) all-atom dipolar fluid dipolar lattice continuum Definíciók töltéseloszlás
RészletesebbenIdőben állandó mágneses mező jellemzése
Időben állandó mágneses mező jellemzése Mágneses erőhatás Mágneses alapjelenségek A mágnesek egymásra és a vastárgyakra erőhatást fejtenek ki. vonzó és taszító erő Mágneses pólusok északi pólus: a mágnestű
RészletesebbenAlapjelenségek. 1. Elektromos töltések és kölcsönhatásaik. Thalész meggyelése: gyapjúval dörzsölt borostyánk magához vonz, illetve
1 ELEKTROMOS TÖLTÉSEK Alapjelenségek 1. Elektromos töltések és kölcsönhatásaik Thalész meggyelése: gyapjúval dörzsölt borostyánk magához vonz, illetve eltaszít apró, könny tárgyakat. Elektromos töltés:
RészletesebbenSzélsőérték feladatok megoldása
Szélsőérték feladatok megoldása A z = f (x,y) függvény lokális szélsőértékének meghatározása: A. Szükséges feltétel: f x (x,y) = 0 f y (x,y) = 0 egyenletrendszer megoldása, amire a továbbiakban az x =
RészletesebbenElektrosztatika. 1.2. Mekkora két egyenlő nagyságú töltés taszítja egymást 10 m távolságból 100 N nagyságú erővel? megoldás
Elektrosztatika 1.1. Mekkora távolságra van egymástól az a két pontszerű test, amelynek töltése 2. 10-6 C és 3. 10-8 C, és 60 N nagyságú erővel taszítják egymást? 1.2. Mekkora két egyenlő nagyságú töltés
RészletesebbenELEKTROMOSAN TÖLTÖTT RÉSZECSKÉKET TARTALMAZÓ HOMOGÉN ÉS HETEROGÉN RENDSZEREK A TERMODINAMIKÁBAN
ELEKTOKÉMI ELEKTOMOSN TÖLTÖTT ÉSZECSKÉKET TTLMZÓ HOMOGÉN ÉS HETEOGÉN ENDSZEEK TEMODINMIKÁN Homogén vs. inhomogén rendszer: ha a rendszert jellemz fizikai mennyiségek értéke független vagy függ a helytl.
RészletesebbenKinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek
Kinematika 2014. szeptember 28. 1. Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek 1.1. Vonatkoztatási rendszerek A test mozgásának leírása kezdetén ki kell választani azt a viszonyítási rendszert, amelyből
RészletesebbenMágneses mező jellemzése
pólusok dipólus mező mező jellemzése vonalak pólusok dipólus mező kölcsönhatás A mágnesek egymásra és a vastárgyakra erőhatást fejtenek ki. vonalak vonzó és taszító erő pólusok dipólus mező pólusok északi
Részletesebben1.1. Feladatok. x 0 pontban! b) f(x) = 2x + 5, x 0 = 2. d) f(x) = 1 3x+4 = 1. e) f(x) = x 1. f) x 2 4x + 4 sin(x 2), x 0 = 2. általános pontban!
. Egyváltozós függgvények deriválása.. Feladatok.. Feladat A definíció alapján határozzuk meg a következő függvények deriváltját az x pontban! a) f(x) = x +, x = 5 b) f(x) = x + 5, x = c) f(x) = x+, x
RészletesebbenAz egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:
Bevezető matematika kémikusoknak., 04. ősz. feladatlap. Ábrázoljuk számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát! (a) x 5 < 3 5 x < 3 x 5 < (d) 5 x
Részletesebbenhttp://www.nature.com 1) Magerő-sugár: a magközéppontból mért távolság, ameddig a magerők hatótávolsága terjed. Rutherford-szórásból határozható meg. R=1,4 x 10-13 A 1/3 cm Az atommag terének potenciálja
RészletesebbenAlapjelenségek. 1. Elektromos töltések és kölcsönhatásaik. Thalész meggyelése: gyapjúval dörzsölt borostyánk magához vonz, illetve
1 ELEKTROMOS TÖLTÉSEK Alapjelenségek 1. Elektromos töltések és kölcsönhatásaik Thalész meggyelése: gyapjúval dörzsölt borostyánk magához vonz, illetve eltaszít apró, könny tárgyakat. Elektromos töltés:
RészletesebbenElektromos áramerősség
Elektromos áramerősség Két különböző potenciálon lévő fémet vezetővel összekötve töltések áramlanak amíg a potenciál ki nem egyenlítődik. Az elektromos áram iránya a pozitív töltéshordozók áramlási iránya.
RészletesebbenFIZIKA II. Dr. Rácz Ervin. egyetemi docens
FIZIKA II. Dr. Rácz Ervin egyetemi docens Fontos tudnivalók e-mail: racz.ervin@kvk.uni-obuda.hu web: http://uni-obuda.hu/users/racz.ervin/index.htm Iroda: Bécsi út, C. épület, 124. szoba Fizika II. - ismertetés
RészletesebbenKifejtendő kérdések június 13. Gyakorló feladatok
Kifejtendő kérdések 2016. június 13. Gyakorló feladatok 1. Adott egy egyenletes térfogati töltéssel rendelkező, R sugarú gömb, melynek felületén a potenciál U 0. Az elektromos potenciál definíciója (1p)
RészletesebbenMágneses mező jellemzése
pólusok dipólus mező mező jellemzése vonalak pólusok dipólus mező vonalak Tartalom, erőhatások pólusok dipólus mező, szemléltetése meghatározása forgatónyomaték méréssel Elektromotor nagysága különböző
RészletesebbenMatematika A2 vizsga mgeoldása június 4.
Matematika A vizsga mgeoldása 03. június.. (a (3 pont Definiálja az f(x, y függvény határértékét az (x 0, y 0 helyen! Megoldás: Legyen D R, f : D R. Legyen az f(x, y függvény értelmezve az (x 0, y 0 pont
RészletesebbenFizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét
Fizika 1 Mechanika órai feladatok megoldása 7. hét Az F erő által végzett munka, ha a test adott pályán mozog az r 1 helyvektorú P 1 pontból az r helyvektorú P pontba, az alábbi vonalintegrállal számolható:
RészletesebbenMECHANIKA I. rész: Szilárd testek mechanikája
Egészségügyi mérnökképzés MECHNIK I. rész: Szilárd testek mechanikája készítette: Németh Róbert Igénybevételek térben I. z alapelv ugyanaz, mint síkban: a keresztmetszet egyik oldalán levő szerkezetrészre
RészletesebbenModern Fizika Labor. 2. Az elemi töltés meghatározása. Fizika BSc. A mérés dátuma: nov. 29. A mérés száma és címe: Értékelés:
Modern Fizika Labor Fizika BSc A mérés dátuma: 2011. nov. 29. A mérés száma és címe: 2. Az elemi töltés meghatározása Értékelés: A beadás dátuma: 2011. dec. 11. A mérést végezte: Szőke Kálmán Benjamin
RészletesebbenElektromágnesség 1.versenyfeladatsor Varga Bonbien, VABPACT.ELTE
. Feladat: Elektromágnesség.versenyfeladatsor Varga Bonbien, VABPACT.ELTE Akkor alakulhat ki egyenletes körmozgás, hogyha egy állandó nagyságú erő hat a q töltésre, és ez az erő biztosítja a körmozgáshoz
Részletesebbenλ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0
Vektorok a térben Egy (v 1,v 2,v 3 ) valós számokból álló hármast vektornak nevezzünk a térben (R 3 -ban). Használni fogjuk a v = (v 1,v 2,v 3 ) jelölést. A v 1,v 2,v 3 -at a v vektor komponenseinek nevezzük.
RészletesebbenMágneses monopólusok?
1 Mágneses monopólusok? (Atomcsill 2015 február) Palla László ELTE Elméleti Fizikai Tanszék 2 Maxwell egyenletek potenciálok, mértéktranszformáció legegyszerűbb e.m. mezők A klasszikus e g rendszer A monopólus
Részletesebben= Φ B(t = t) Φ B (t = 0) t
4. Gyakorlat 32B-3 Egy ellenállású, r sugarú köralakú huzalhurok a B homogén mágneses erőtér irányára merőleges felületen fekszik. A hurkot gyorsan, t idő alatt 180 o -kal átforditjuk. Számitsuk ki, hogy
RészletesebbenA mágneses tulajdonságú magnetit ásvány, a görög Magnészia városról kapta nevét.
MÁGNESES MEZŐ A mágneses tulajdonságú magnetit ásvány, a görög Magnészia városról kapta nevét. Megfigyelések (1, 2) Minden mágnesnek két pólusa van, északi és déli. A felfüggesztett mágnes - iránytű -
RészletesebbenANALÍZIS II. Példatár
ANALÍZIS II. Példatár Többszörös integrálok 3. április 8. . fejezet Feladatok 3 4.. Kett s integrálok Számítsa ki az alábbi integrálokat:...3. π 4 sinx.. (x + y) dx dy (x + y) dy dx.4. 5 3 y (5x y y 3
RészletesebbenKOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA II.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA II 6 VI TÉRGÖRbÉk 1 Alapvető ÖSSZEFÜGGÉSEk A térgörbe (1) alakú egyenletével írható le Ez a vektoregyenlet egyenértékű az (2) skaláris egyenletrendszerrel A térgörbe három nevezetes
RészletesebbenMeghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait.
Közönséges differenciálegyenletek Meghatározás: Olyan egyenlet, amely a független változók mellett tartalmaz egy vagy több függvényt és azok deriváltjait. Célunk a függvény meghatározása Egyetlen független
RészletesebbenFeladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához
Feladatsor A differenciálgeometria alapja c. kurzus gyakorlatához Dr. Nagy Gábor, Geometria Tanszék 2010. szeptember 16. Görbék paraméterezése 1. feladat. (A) Bizonyítsuk be a vektoriális szorzatra vonatkozó
RészletesebbenA Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy
8 Görbevonalú koordináták A Descartes derékszög½u koordinátarendszert az i; j; k ortonormált bázis feszíti ki. Egy tetsz½oleges pont helyvektora ebben a bázisban r =xi+yj+zk ahol x; y; z a pont ún. Descartes-féle
RészletesebbenKolloidkémia 1. előadás Első- és másodrendű kémiai kötések és szerepük a kolloid rendszerek kialakulásában. Szőri Milán: Kolloidkémia
Kolloidkémia 1. előadás Első- és másodrendű kémiai kötések és szerepük a kolloid rendszerek kialakulásában 1 Órarend 2 Kurzussal kapcsolatos emlékeztető Kurzus: Az előadás látogatása ajánlott Gyakorlat
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 2. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 30 Egy
RészletesebbenOptika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak
Optika és Relativitáselmélet II. BsC fizikus hallgatóknak 2. Fényhullámok tulajdonságai Cserti József, jegyzet, ELTE, 2007. Az elektromágneses spektrum Látható spektrum (erre állt be a szemünk) UV: ultraibolya
RészletesebbenHőerőgépek, hűtőgépek, hőszivattyúk. Feladat: 12. Körfolyamat esetén az összes belső energia változás nulla. Hőtan I. főtétele::
Hőerőgépek, hűtőgépek, hőszivattyúk Körfolyamat esetén az összes belső energia változás nulla. Hőtan I. főtétele:: Feladat: 12 A hőtan második főtétele Vannak olyan folyamatok amik nem megfordíthatók,
RészletesebbenElektronegativitás. Elektronegativitás
Általános és szervetlen kémia 3. hét Elektronaffinitás Az az energiaváltozás, ami akkor következik be, ha 1 mól gáz halmazállapotú atomból 1 mól egyszeresen negatív töltésű anion keletkezik. Mértékegysége:
RészletesebbenVégeselem analízis. 1. el adás
Végeselem analízis 1. el adás Pere Balázs Széchenyi István Egyetem, Alkalmazott Mechanika Tanszék 2016. szeptember 7. Mi az a VégesElem Analízis (VEA)? Parciális dierenciálegyenletek (egyenletrendszerek)
RészletesebbenELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Biológia tagozat. Fizika 10. osztály. II. rész: Elektrosztatika. Készítette: Balázs Ádám
ELTE Apáczai Csere János Gyakorló Gimnázium és Kollégium Biológia tagozat Fizika 10. osztály II. rész: Elektrosztatika Készítette: Balázs Ádám Budapest, 2019 2. Tartalomjegyzék Tartalomjegyzék II. rész:
RészletesebbenOrvosi Biofizika I. 12. vizsgatétel. IsmétlésI. -Fény
Orvosi iofizika I. Fénysugárzásanyaggalvalókölcsönhatásai. Fényszóródás, fényabszorpció. Az abszorpciós spektrometria alapelvei. (Segítséga 12. tételmegértéséhezésmegtanulásához, továbbá a Fényabszorpció
Részletesebbensin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!
Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Analízis II Határozatlan integrálszámítás g) t = tg x 2 helyettesítés esetén mivel egyenlő sin x = cos x =? g) t = tg x 2 helyettesítés esetén
Részletesebben2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság
2. (d) Hővezetési problémák II. főtétel - termoelektromosság Utolsó módosítás: 2015. március 10. Kezdeti érték nélküli problémák (1) 1 A fél-végtelen közeg a Az x=0 pontban a tartományban helyezkedik el.
RészletesebbenMágneses mező tesztek. d) Egy mágnesrúd északi pólusához egy másik mágnesrúd déli pólusát közelítjük.
Mágneses mező tesztek 1. Melyik esetben nem tapasztalunk vonzóerőt? a) A mágnesrúd északi pólusához vasdarabot közelítünk. b) A mágnesrúd közepéhez vasdarabot közelítünk. c) A mágnesrúd déli pólusához
RészletesebbenVektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit
Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit 1. A térbeli irányított szakaszokat vektoroknak hívjuk. Két vektort egyenlőnek tekintünk, ha párhuzamos eltolással fedésbe hozhatók.
RészletesebbenMatematika III előadás
Matematika III. - 3. előadás Vinczéné Varga Adrienn Debreceni Egyetem Műszaki Kar, Műszaki Alaptárgyi Tanszék Előadáskövető fóliák Vinczéné Varga Adrienn (DE-MK) Matematika III. 2016/2017/I 1 / 19 Skalármezők
Részletesebbenmérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati
ϕ t + j ϕ = 0 mérlegegyenlet. ϕ - valamely SKALÁR additív (extenzív) mennyiség térfogati sűrűsége j ϕ - a ϕ-hez tartozó áramsűrűség j ϕ = vϕ + j rev + j irr vϕ - advekció j rev - egyéb reverzibilis áram
RészletesebbenA kovalens kötés polaritása
Általános és szervetlen kémia 4. hét Kovalens kötés A kovalens kötés kialakulásakor szabad atomokból molekulák jönnek létre. A molekulák létrejötte mindig energia csökkenéssel jár. A kovalens kötés polaritása
Részletesebben9. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, amely átmegy az M 0(1, 2, 3) ponton és. egyenessel;
Síkok és egyenesek FELADATLAP Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletét, amely átmegy az M 0(,, ) ponton és a) az M(,, 0) ponton; b) párhuzamos a d(,, 5) vektorral; c) merőleges a x y + z 0 = 0 síkra;
Részletesebben