1 A bifiláris felfüggesztésű rúd mozgásáról A végein fonállal felfüggesztett egyenes rúd részleges erőtani vizsgálatát mutattuk be egy korábbi dolgozatunkban, melynek címe: Forgatónyomaték mérése - I. Most a probléma részleges mozgástani elemzését végezzük el. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is v.ö.: [ 1 ]! 1 / a ábra 1 / b ábra Az 1. ábrán azt ábrázoltuk, hogy a t = 0 kezdeti időpontban M 0 N 0 helyzetű gerenda egy t 1 > 0 másik időpillanatban az M 1 N 1 helyzetet foglalja el, miközben a z tengely körül α szöggel elfordult, eközben C középpontja felemelkedett, a felfüggesztő fonalak pedig a kezdeti függőleges helyzetükkel ϑ szöget zárnak be. A rúd M végpontjának koordinátáit keressük a mozgás folyamán, azaz az M pont pályáját kívánjuk meghatározni. Az 1 / a ábráról közvetlenül leolvasható, hogy ( 1 ) Az 1 / b ábráról pedig a összefüggésre jutunk. ( 2 ) Az α és ϑ szögek között az összefüggést az 1 / b ábra alapján kapjuk; eszerint:
2 részletezve: így ( 3 ), ( 4 ) és ( 5 ) - tel: Most ( 6 ) - ból: azonossággal: majd ( 7 ) és ( 8 ) szerint: ezután ( 2 ) és ( 9 ) - cel: ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 10 ) Összefoglalva eredményeinket, ( 1 ) és ( 10 ) szerint az M pont pályagörbéjének egyenle - tei: ( 11 ) Vegyük azt az esetet, hogy a z tengely körüli szögelfordulás arányos az idővel, vagyis ( 12 ) ahol ω a szögsebesség állandó nagysága, t a mozgás kezdetétől eltelt idő. Most ( 11 ) és ( 12 ) szerint a mozgás időfüggvénye: ( 13 / 1 ) ( 13 / 2 ). ( 13 / 3 ) Most vegyük az speciális esetet! Ekkor ( 13 ) és ( S ) szerint: ( S )
3 ( 14 / 1 ) ( 14 / 2 ) tehát: ( 14 / 2 ) A 2. ábrán a ( 14 ) egyenletrendszerrel adott pályagörbét ábrázoltuk, [ 2 ] segítségével, az a = 1 m, ω = 1 rad / s adatokkal. 2. ábra Ehhez figyelembe kellett venni, hogy a gerenda nem emelkedhet l = 2a - nál magasabbra; ezzel és ( 14 / 2 ) - vel az emelkedés teljes szögelfordulása és ideje: innen: ( 15 ) Most határozzuk meg a sebesség - viszonyokat! Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! Eszerint írhatjuk, hogy az M pontban a sebesség nagyságára és a pálya érintőjének hajlásszögére fennáll, hogy
4 ( 16 ) 3. ábra Tudjuk, hogy A v z sebesség - komponens értékét a ( 17 ) ( 18 ) összefüggés alapján határozhatjuk meg. Most ( 13 / 3 ) és ( 18 ) szerint: tehát: ( 19 ) Most ( 18 ) és ( 19 ) - cel: ( 20 ) Majd ( 16 / 1 ), ( 17 ) és ( 20 ) szerint:
5 tehát: ( 21 ) Az ( S ) szerinti speciális esetben, ( 21 ) - ből: tehát: ( 22 ) Ezután ( 16 / 2 ), ( 17 ) és ( 20 ) szerint: innen: ( 23 ) Most megint a mondott speciális esetben, ( S ) és ( 23 ) - mal: tehát: ( 24 )
6 A módosított ( 22 ) és a ( 24 ) függvények képe a 4. ábrán szemlélhető. 4. ábra A kék görbe a dimenzió - nélküli sebesség nagyságát, a piros görbe a pálya érintőjének a hajlását radiánban adja meg a fenti adatokkal, az idő függvényében. Megjegyzések: M1. Látható, hogy a gerenda végpontjainak pályagörbéi nem csavarvonalak. Ugyanis a közönséges csavarvonal paraméteres egyenletrendszere: ahol b = konst. A megfelelő koordináta - sebességek:
7 Ezekkel: Összevetve ezeket a fentebbi megfelelőikkel, látjuk, hogy azok nem állandó mennyiségek, így a rúdvégek pályagörbéi nem lehetnek ( közönséges ) csavarvonalak. M2. Nem csak a rúdvégek, hanem a rúdtengely bármely más pontjának mozgását is leírhatjuk, a fenti eredmények értelemszerű változtatásával. Ekkor egy P rúdtengely - pont pályájának paraméteres egyenlet - rendszere, ha e pont kezdeti x P (t = 0) = r koordinátájára fennáll, hogy : M3. Az ( S ) esetben ( 6 ) alapján könnyen belátható, hogy fennáll a ϑ* = α / 2 kapcsolat. M4. Ebben a dolgozatban nem foglalkoztunk a végein felfüggesztett gerenda ~ más felfüggesztési módjaival, ~ más mozgásformáival, ~ gyorsulásaival. Ezek vizsgálatát már az érdeklődő Olvasóra bízzuk. Források: [ 1 ] M. M. Gernet: Kursz tyeoretyicseszkoj mehanyiki izdanyije 3 - e, Vüszsaja Skola, Moszkva, 1973. [ 2 ] http://www.math.uri.edu/~bkaskosz/flashmo/parcur/
8 GEOMETRIAI KIEGÉSZÍTÉS Írta: Hajdu Endre Nem érdektelen a tárgyalt témát ábrázoló geometriai szempontból is szemügyre venni. Az 1. ábra CM szakaszának mozgását vizsgálva megállapíthatjuk, hogy az M pont egy A középpontú, l sugarú gömb felületén mozog, s mivel M a választott koordináta-rendszer z tengelyétől állandó távolságban marad, M felületi pontja egy z tengelyű, a sugarú hengernek is. Az M pont által leírt pályagörbe az említett két felület, vagyis a gömb és a henger áthatási görbéje. A g-vel jelölt pályagörbe pontjai a henger tengelyére merőleges segédsíkok által, a két felületből kimetszett körök közös pontjaiként adódnak. Ilyen módon nyerjük az 5. ábra általános helyzetű P pontját az S segédsíkkal. A P pontban megszerkesztjük a pályagörbe érintőjét is, mely merőleges a két felület P-beli normálisainak síkjára. A gömbnormális a két felületnek (a henger tengelyét tartalmazó) közös szimmetriasíkját, mely azonosnak vehető az ábra síkjával, A-ban metszi, a henger normálisa pedig N-ben. A normálisok síkjának nyomvonalára, vagyis az AN egyenesre a térben és a vetületben egyaránt merőleges a P-beli érintő, melynek oldalnézete hasonló meggondolással nyerhető. 5. ábra
9 A pályagörbe elölnézetének két szélső pontja nem igényel magyarázatot, a " henger tengelyének második képére eső Q pont szerkesztése az ábráról leolvasható, a nem ábrázolt érintő merőleges a gömbnormális képére. A képgörbe legalsó pontjához tarozó érintő szerkesztése hasonló a korábban alkalmazottéhoz. Megjegyzendő, hogy a g" görbe legalsó pontjához tartozó érintő nem azonos a pályagörbe legalsó pontjához tartozó érintő második képével, mely csak egyetlen pont. Ha l = 2a, ( az 5. ábra éppen ezt az esetet szemlélteti ), akkor a pályagörbe egymással egy pontban érintkező, r sugarú henger és 2r sugarú gömb áthatási görbéje. Ez az ábrázoló geometriai tankönyvekben gyakran tárgyalt Viviani - - görbe, melynek érdekes jellemzőivel itt nem foglalkozunk, de kitérünk a CM szakasz által leírt felületre. Ennek a vonalfelületnek az egyenlete a Gauss által bevezetett módon megadva, s a 6. ábra szerint 2 u 2 u, v = NT jelöléssel: x = v.cos u, y = v.sin u, z l l (2a.sin ). 2 6. ábra A vonalfelületek alkotóinak fontos jellemzője a paraméter, mely a szomszédos alkotók egymástól mért h távolságának és φ hajlásszögének hányadosa, h pontosabban a lim határérték, midőn h 0. Esetünkben az alkotó mozgása elemi csavarmozgások sorozata, melynek során a paraméter folytonosan változik. Mivel két alkotó egymástól mért távolsága dt
10 idő alatt v z.dt, az e közben végbemenő szögelfordulás ω.dt, az alkotó paramétere az ωt = jelöléssel p 2 a sin. 2 2 l (2a.sin( ) 2 Az 5. ábrának megfelelő esetben, tehát amikor l = 2a, rövid számítás szerint a a.sin fenti képlet erre az alakra egyszerűsödik: p. Tanulságos a paraméter 2.cos 2 kísérleti ellenőrzése egy konkrét esetben; legyen a = 3, 60. Ha az alkotót az 64 - nek megfelelő helyzetéből közelítjük a megadott helyzetéhez, akkor három helyzetében a h hányados értékeinek számításához szükséges h értékeket könnyen kiszámíthatjuk, mert az alkotók z koordinátái ebben az esetben ilyen egyszerű alakúak: z l(1 cos ). 2 A h hányadosok változását a következő táblázat mutatja: α h φ ( rad ) h / φ 64 0,1074 0,0698 1,538 62 0,032 0,0349 1,524 61 0,0264 0,0174 1,517 3sin 60 A paraméter pontos értéke: p 1,5. 2cos 30 A paraméter változását az szög függvényében a 7. ábra szemlélteti.
11 7. ábra Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sopron ~ Sződliget, 2015. 03. 26.