Négyzetgyökös egyenletek. Oldja meg a következő egyenleteteket a valós számok halmazán! a.) 6 b.) 6 c.) 5 6 /( ) ÉT : 6 6 7 Bo. : 7 6 6 A négyzetgyök értéke nem lehet negatív! R 5 0 Vonjuk össze, amit lehet! 5 / / 5 9 / 8 Bo. : 8 5 8 5 Jo. : 8 9. Oldja meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! 5 5 ÉT. : 0 Nincs ilyen racionális szám. ( Q). Oldja meg a következő egyenleteteket a racionális számok halmazán! 5 5 5 0 5 Úgy kell rendezni az egyenletet, hogy a négyzetgyök egyedül legyen az egyik oldalon. 5 / 5 A kapott megoldás beleesik az értelmezési tartományba. A négyzetre emelés nem ekvivalens átalakítás! A négyzetre emelt egyenlet magasabb fokú, mint az eredeti egyenlet, ezért több megoldása lehet, mint az eredetinek. A négyzetre emelt egyenlet megoldásai között ott vannak az eredeti egyenlet megoldásai is, de nem mindig csak azok. Ellenőrzéssel ki tudjuk válogatni az eredeti egyenlet megoldásait!
Bo. : 5 Jo.. Oldja meg a következő egyenleteteket a valós számok halmazán! a.) 5 b.) 5 7 5 0 Úgy kell rendezni az egyenletet, hogy a négyzetgyök egyedül legyen az egyik oldalon. 5 / / 5 A négyzetgyök értéke sohasem lesz negatív. Nincs ilyen valós szám ( Q). Ha négyzetre emeled mindkét oldalt, akkor hamis gyököt kapsz. Ha nem végzel ellenőrzést, és nem veszed észre, akkor elrontottad. Ha észreveszed, és négyzetre emelsz, akkor csak sokat dolgozol potyára. / Ez beleesik az értelmezési tartományba, ellenőrizzük le! Bo :. 5 5 = Hamis gyök! b.) 5 7 5 0 7 5 / 9 5 0 7 0 5 5 5 7 7 8 ; Mindkét gyök beleesik az értelmezési tartományba, ezért ellenőrizzük le
őket! = = Bo. : 5 9 Jo. : 7 Bo. : 5 6 Jo. Jo. : 7 = Hamis gyök = Hamis gyök Persze, ha ügyesek lettünk volna, akkor észrevehettük volna, hogy nincs megoldása az egyenletnek: Amikor átrendeztük ( 7 5 ) látható volt, hogy ha az ma. öt lehet, akkor a baloldal negatív. Márpedig a négyzetgyök értéke nem lehet negatív. Az értékkészlet vizsgálata hasznos lehet! 5. Mennyi a következő egyenlet valós gyökeinek szorzata? 8 ; 8 / 8 6 0 7 ; K. : 8 0 8 5,8,8 Mindkét megoldás beleesik az egyenlet értelmezési tartományába, ezért ellenőrizzük le őket! Ell: BO. 8 6 JO. BO. 8 6 JO. Az egyenlet valós gyökeinek szorzata -. 6. Oldja meg a következő egyenletet a természetes számok halmazán!
6 6 / 6 8 6 8 K: 6 0 6 6 0 0 7. Oldja meg a következő egyenletet a pozitív számok halmazán! 5 5 / 5 0 0 5 0 5 0 0 5 0 5 A pozitív megoldás a. 8. Határozza meg a következő egyenlet megoldáshalmazát! 5
5 / / 5 5 5 0 5 0 és 0 5 9 6 5 ; 8 8 Hamis gyök 8 5 9. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 0 / A négyzetgyökfüggvény ÉK-e a nem negatív számok halmaza, ezért 0 0 0 6 ; A főegyüttható pozitív, ezért az egyenlőtlenség mindenhol teljesül. 0 ; 8 R (Nincs ilyen valós szám.) 0. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 6 8 8 0
6 8 8 0 Ha így emelnénk mindkét oldalt négyzetre, akkor a bal oldalt kéttagú összegként kellene négyzetre emelni. Sokkal csúnyább egyenletet kapnánk, de legalább a négyzetgyök is bent maradna. 6 8 8 0 / 6 8 8 6 8 8 0 6 8 8 6 8 8 0 0 6 8 8 és 0 8 6 9 ; 8 8 6 6 vagy Négyzetre emelés előtt rendezzük át! 6 8 8 0 / 6 8 8 / 6 8 8 6 5 6 0 5 5 ; 8 5 8,5 Hamis gyök
6 8 8 0 8 6 8 0 0 6,5 8,5 8,5 0 9 8,5 0 9 6,5 0 0 0. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! / 0 7 / 7 6 9 6 8 0 0. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán!
/ / ÉT: 0 0 0 A négyzetgyök értéke nem lehet negatív, ha négyzetre emeljük hamis gyököt kapunk.. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 9 8 9 8 / 8 9 8 / a b a ab b 9 0 és 8 0 9 8 9 8 8 8 8 / : 8 / 6 8 9 8. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 7 7 7 0 és 0 7 Nincs közös rész! R
5. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! Könnyebb számolni, ha a négyzetre emelés előtt átrendezzük. / 0 és 0 5 Bo. 5 5 Jo. 6. Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán!
/ / / 0 és 0 6 / : / 9 0 ; 96 8 8 8 8 Mindkét gyök éppen beleesik az értelmezési tartományba. 0 0 = Hamis gyök. Egész megoldás nincs. 7. Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 6
6 6 0 és 6 0 6 6 6 5 6 6 6 R 8. Oldja meg a következő egyenletet az egész számok halmazán! 5 0 Van-e megoldás a [5;9] intervallumban? 5 0 5 5 0 5 0 és 0 0 és 0 5 0 5 0 5 5 0 5 5 5 5 0 5 90 9 0 5 70 5 0 5 96 80 9 5
Ell.: 9 9 5 0 5 5 5 5 0 5 5 5 0 5 A 9 hamis gyök. Az 5 beleesik a megadott intervallumba. 9. Oldja meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán! 0 0 0 0 0 0 0 Ha az nem kisebb, mint, akkor a baloldal értéke pozitív. Tehát nincs megoldás. Néha az értékkészlet vizsgálata is hasznos! 0. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 0 és 0 0 0 0 0 Mindig figyelni kell az ÉKt is!. Oldja meg a következő egyenletet a pozitív számok halmazán! 6 6 6 Az ÉT megállapítása túl nehéz. Maradunk az ellenőrzésnél. 6 0
6 / 6 8 6 0 8 0,5 8 Ell.: Bo. :,5 6,5,5 6,5,5 Jo. :,5,5 Meg kell vizsgálni, hogy mi van ha = 0. Bo. : 0 6 0 Jo. : 0. Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán, és ábrázolja a számegyenesen a megoldáshalmazt! 5 5 5 8 8 0 8 6 8 8 ; 6 6 Hamis gyök és és 5 5. Oldja meg a következő egyenletet a racionális számok halmazán!
0 és 0 vagy 8 0 9 5 9 8 80 9 ; 8 8 5 5 ; ; Hamis gyök. 5 5 5 5 Hamis gyök. 5 5 5 A négyzetgyök értéke nem lehet negatív. Hamis gyök.