1 Egy érdekes statikai - geometriai feladat Előző dolgozatunkban melynek címe: Egy érdekes geometriai feladat egy olyan feladatot oldottunk meg, ami az itteni előtanulmányának is tekinthető. Az ottani megoldási módot itt is alkalmazzuk. A feladat felvezetéséhez tekintsük az 1. ábrát! 1. ábra Itt azt szemlélhetjük, hogy egymástól a távolságra helyezkedik el az A és D fix csukló. Az A csuklóhoz egy AB = h hosszúságú egyenes rúd csatlakozik, a D csukló körül pedig egy R sugarú kötéldob foroghat. Az AB rúd a kezdeti helyzetében vízszintes, a B = B 0 végéhez csatlakozik a dobról letekert B 0 C 0 hosszúságú kötéldarab, melynek hajlása φ 0. A rúd és a kötél csatlakozási csuklópontjára egy G súlyt akasztottunk, melynek egyen - súlyozására a dobra egy M forgatónyomatékot fejtünk ki. Az 1. ábra egy a kezdetitől eltérő helyzetben is ábrázolja a vázolt szerkezetet. Ide a kezdeti helyzetből lassan, a gyorsuláso - kat gyakorlatilag elhanyagolható módon jutottunk el. A feladat: meghatározandó ~ a különböző φ szöghelyzetekhez tartozó ϕ ( φ ) függvény; ~ a különböző φ szöghelyzetekhez tartozó M ( φ ) függvény; ~ φ max és ϕ max értéke. A feladat statikai és geometriai részeket tartalmaz, melyek egymással szorosan össze - függnek. Először a geometriai, utána pedig a statikai vizsgálatot végezzük el.
2 Geometriai vizsgálat Az 1. ábra alapján rögtön felírhatjuk az a, h, R és φ 0 mennyiségek közti kapcsolatot: ( 1 ) A következő teendő az l = BC kötélhossz meghatározása. Az 1. ábra szerint: ( 2 ) a ( 2 ) összefüggés azt fogalmazza meg, hogy a dobról letekeredett kötélhossz pillanatnyi értéke a kezdeti megadott érték és a dob szögelfordulásának megfelelő hossznövekmény összege. Minthogy a kötél minden pillanatban feszes, így joggal vehetjük a helyzetét a dob kör keresztmetszete érintője mentén elhelyezkedőnek. Ennek megfelelően: ( 3 ) most ( 2 ) és ( 3 ) szerint: tehát: ( 4 ) Most tekintsük a 2. ábrát! 2. ábra
3 Az ACD háromszögből szinusztétellel: ( 5 ) Ugyaninnen koszinusztétellel: innen:. ( 6 ) Most az ABC háromszögből koszinusztétellel: innen: innen: ( 7 ) majd ( 5 ) inverzét véve: ( 8 ) ezután ( 7 ) és ( 8 ) - cal: ( 9 ) Az ( 1 ), ( 4 ), ( 6 ), ( 9 ) összefüggésekkel számítással meghatározható a különböző φ szöghelyzetekhez tartozó ϕ ( φ ) függvény. Következő teendőnk φ max és ϕ max értékének meghatározása. Ehhez tekintsük a 3. és a 4. ábrát! Ezekről leolvasható, hogy valóban létezik a két maximális szögérték. A 3. ábra szerint:φ = φ max, ha a B*C* egyenes mindkét körnek érintője. Ekkor az ADQ derékszögű háromszögből: ( 10 ) majd ( 1 ) és ( 10 ) - zel: ( 11 ) Ekkor:
4 ( 12 ) 3. ábra Most tekintsük a 4. ábrát! 4. ábra
5 Itt azt a helyzetet tüntettük fel, amikor már nem kell forgatónyomatékot kifejtenünk a kötéldobra, mert az AB rúd az AB** helyzetben a G súly és az A csuklóban ébredő reakcióerő hatására egyensúlyban van. Látjuk, hogy ekkor:. ( 13 ) Kérdés, hogy mekkora az ehhez tartozó φ** szög. A 4. ábra szerint: ( 14 ) átalakításokkal: ( 15 ) a ( 15 ) másodfokú egyenletet a megoldó - képlettel megoldva: egyszerűsítve: ( 16 ) Most ( 16 ) - ban a két előjel közül az egyiket ki kell választanunk. Ezt úgy tesszük, hogy ( 16 ) - ban elvégezzük a h = R helyettesítést, azaz a képletet alkalmazzuk erre az esetre. Ekkor: ( 17 )
6 ha ( 17 ) - ben a ( ) előjelet választjuk, akkor ( 18 ) ami esetünkben nem igaz, mert φ** > 0 ; így ( 16 ) - ban a ( + ) előjel választandó. Ekkor: ( 19 ) innen: ( 20 ) ahol az a méret ( 1 ) szerint adott. Statikai vizsgálat A virtuális munka tételét alkalmazzuk 5. ábra. 5. ábra
7 Eszerint ld. még az 1. ábrát is! : Az 5. ábra szerint: ( 22 ) - t differenciálva szerint: ( 21 ) ( 22 ) ( 23 ) a függőleges / súlyirányú virtuális elmozdulás: ( 24 ) most ( 23 ) és ( 24) - gyel: ( 25) majd ( 21 ) és ( 25 ) - tel: ( 26 ) Az 5. ábra mellékábrája szerint: ámde: így ( 27 ) és ( 28 ) - cal: ( 27 ) ( 28 ) ( 29 ) Most ( 26 ) és ( 29 ) - cel: tehát: ( 30 )
8 Ezzel feladatunkat megoldottuk, hiszen ( 9 ) - cel már ismert a ( 30 ) - hoz szükséges kifejezés. Megjegyzések: M1. Javasoljuk, hogy az érdeklődő Olvasó ( 30 ) - at vezesse le a 3 erő egyensúlya, illetve a szerkezet részekre bontása alapján is! M2. A ( 30 ) képlet szerint is M = 0, ha ϕ = 90. M3. Most vizsgáljuk meg közelebbről ϕ** értékének alakulását a h = R, ϕ** > 0 esetben! Ekkor pl. ( 19 ) - ből: ( a ) Most átalakításokkal ( a ) - ból: ( b ) majd emlékeztetőül: ( c ) ezután ( b ) és ( c ) összehasonlításából: ( d ) Végül ( 1 ) és ( d ) - vel: ( e ) M4. Fentiek szerint a feladat kiírása a következő. Adott: h, R ; φ 0. Keresett: ϕ ( φ ), M ( φ ); φ max, ϕ max.
9 M5. Az egész számítás során feltételeztük, hogy az AB rúd és a kötél súlya is elhanyagol - ható. Ez a valóságban nem teljesül, így a 4. ábra szerinti képet sem láthatjuk, hiszen a kö - tél súlya hatására a B** pontban ébredő kötélerő vízszintes H összetevője az AB rudat jobbra kimozdítja a függőlegeshez képest; továbbá a BC kötéldarab sem egyenes. Még azt is feltételeztük, hogy az AB rúd végtelenül merev hajlító - és normáligénybevétellel szem - ben, a kötél pedig ideálisan hajlékony, ámde húzásra végtelenül merev. A tényleges me - revségek számításba vétele jelentősen bonyolítaná az amúgy sem nagyon egyszerű hely - zetet. Végül megemlítjük, hogy a feladat dinamikainak tekintendő, ha nem teljesül azon feltevésünk, miszerint a gyorsulások elhanyagolhatóak a szerkezet működése közben. Sződliget, 2017. 11. 07. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár