Szabó Péter Imre SZTE Kísérleti Fizika Tanszék 208 Az alábbiakban feltételezzük, hogy az Olvasó kézügyesség szinten ismeri a törteket. Hatványozás Megjegyzés: csak a mértékegység átváltáshoz szükséges alapokat nézzük. A hatványozás nem más, mint egy egyszer sített jelölés: Deníció: Legyen x pozitív szám, n pedig pozitív egész szám. Sok-sok darab x-et összeszorzunk, és az eredményt szeretnénk röviden leírni: x } x x {{... x} = x n n db Ebben az n számot kitev nek, x-et pedig hatványalapnak Példák: nevezzük. 3 3 3 3 = 3 4 00000 = 0 0 0 0 0 = 0 5 0.000.000.000.000.000.000 = 0 9 (a továbbiakban a pont csak a tagolást segíti, az egyesnél kisebb helyiértékek el tt a magyar szabályok szerint tizedesvesszžt fogunk használni) 60.000.000.000 = 6 0.000.000.000 = 6 0 0 2 2 2 5 5 5 5 = 2 3 5 4, avagy x } x {{... x} y y... y z }{{}} z {{... z} = x m y n z p m db n db p db 2 5 = 32
( ) 3 = 0 0 x = x 0 0 = 000 = 0,00 Az alább alkalmazott gondolatmenet és a magabiztosan bizonyításoknak nevezett ujjgyakorlatok végig azt az elvet követik, hogy a fenti formalizmust és egy egyszer szabályt szeretnénk megtartani, kib víteni. Célunk nem más, mint a mértékegységek átváltásához szükséges formalizmust ismertetni, néhány példával gyakorolni. Végig az egyszer ségre törekszünk, néhány matematikai kérdést, buktatót nagylelk en elhallgatunk. Remélhet leg els éves gyógyszerész hallgatóim közül többen is fel fognak fedezni ilyesmit. A válaszok megtalálhatóak a megfelel középiskolai matematika tankönyvben. További gyakorlásra pedig ajánlom a középiskolai feladatgy jteményeket. Nagyon sokat segíthet, ha gondolkodás nélkül tudjuk, hogy mi, melyik a kitev. A továbbiakban m veleteket fogunk végezni hatványalakokkal, például 2 5 2 4 vagy x α /x β. Látni fogjuk, hogy a hatványalakokkal végzett m velet lefordítható egy, a kitev vel végzett m - veletre (az el bbi két példában a hatványalakkal végzett m velet a szorzás és az osztás volt, ezeknél szükséges az is, hogy a hatványalap ugyanaz legyen, azaz mindegyikben a 2-t vagy x-et emeljük valamely hatványra). S t, egy szamárvezet t is meg tudunk majd állapítani, amit el re is bocsájtunk. Állítsunk fel egy er sorrendet a m veletek között. Leggyengébb az összeadás és a kivonás. Ezeknél er sebb a szorzás és az osztás. Ha egy gyereket megkérdeznénk, azt mondaná: az összeadás és a szorzás növel, a kivonás és az osztás csökkent (mgj: ez nem igaz, mert lehet például egynél kisebb számmal is szorozni, és ez csökkenthet, de hallgassunk az egyszer világképünkre). A szorzás-osztásnál pedig er sebb lesz a hatványozás, amire érzésb l mondhatjuk hogy növel: például 0 második hatványa már 00, vagy gondoljunk csak a problémák hatványozottan jelennek meg kifejezésre, melynek jelentése hogy sokkal-sokkal több gonddal kell szembenéznünk. Látni fogjuk, hogy a hatványozás csökkent párja a gyökvonás. És az ígért szabály a következ módon fogalmazható meg: ha egy hatvánnyal (például x α -val) m veletet végzek (például szorzom, ami növel), az eredmény könnyen megkapható, ha a kitev k között egy eggyel gyengébb, szintén növel m veletet végzek. Példával: ha x α -t szorzom x β -val, azaz x α x β -t számolom ki, a szorzást az er sorrendben gyengébb m veletre, az összeadásra kell kicserélnem, de a kitev k között kell elvégeznem. Tehát az eredmény x α+β. Remélhet leg ez a szabály az érzésb l történ megfogalmazásának és egyszer ségének köszönhet en sokáig emlékezetes marad. (Megjegyzés: körülbelül az el bbi példa az alapja a logarlécnek, mely a számológépek tömeges elterjedése el tt segítette a szorzást, osztást.) Egy folyton kiegészül táblázatban fogjuk követni, hogy mely m veleteket tudjuk már elvégezni. Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 2
Állítás: x m x n = x m+n Érthet, hiszen x m x n = x } x {{... x} m db x x... x }{{} n db = x } x {{... x} = x m+n m+n db Példák: 0 2 0 4 = 0 6 =.000.000 (egymillió) (x m y n ) (x p y q ) = (x } x {{... x} y y... y) (x }{{}} x {{... x} y y... y) = }{{} m db n db p db q db = x } x {{... x} y y... y = x }{{} y n+q m+p db n+q db (x m y n ) (x p z q ) = x m+p y n z q ( ) 3 ( ) 2 ( ) 5 = = 0 0 0 7 2 7 = 7 2 7 = 7 3 00000 = 0,0000 FONTOS (és értelemszer en látszik is), hogy csak azonos hatványalap esetén tudjuk elvégezni a m veletet, azaz például x m y n esetén nem. Összefoglalva: Képlet M velet megnevezése Kitev kkel végzend m velet, eredmény x m x n hatványalak szorzása kitev k összeadása, x m+n 3 4 3 5 3 4 3 5 = 3 4+5 = 3 9 = 9683?? kitev k kivonása, x m n?? kitev szorzása, x m n?? kitev osztása, x m/n Állítás: Érthet, hiszen x m x n = xm n x m x = (x x... x) n }{{} m db / (x x... x) }{{} n db = } x x {{... x} = x m n m n db Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 3
Példák: 0 5 /0 2 = 0 3 = 000 xm y n x p y q = xm p y n q xm y n z k x p y q = x m p y n q z k 7 2 /7 = 7 2 /7 = 7 = 7 Mi van, ha az el bbinél, azaz x m /x n kérdésnél n nagyobb mint m? Akkor m n negatív, tehát a kitev negatív! Ezt kell értelmeznünk. És szeretnénk, ha az eddigi szabály, mely szerint a kitev ket ki kell vonni, továbbra is érvényes lenne. Így új szabályt sem kellene bevezetnünk, és a felszabaduló energiánkat fordíthatnánk a labor mérésre való felkészülésre. De ehhez el ször nézzünk egy másik kérdést: Állítás: x 0 = Bizonyítás: Szorozzuk mindkét oldalt x-szel, és használjuk ki hogy x = x. x 0 =? x 0 x = x 0 x = x 0+ = x = x Tehát ha x 0 -t szoroztuk x-szel, az eredmény x. Mely számot x-szel szorozva kapjuk eredményre hogy x? Természetesen az. Tehát x 0 =. Állítás: Legyen m pozitív szám, tehát m negatív. Ekkor: x m = x m Bizonyítás: Az új szabályt vessük alá próbának. Alakítsuk át az -et, majd alkalmazzuk az új szabályt, és ha végül visszakapjuk az -et, akkor stimmt. = xm x m = xm x m = most írjuk be a vadonat új szabályunkat = xm x m = x m m = x 0 = A szabály kiállta a próbát. Összegezve, a kitev t eddig (mint számot, és az el jelét gyelembe véve) összeadtuk/kivontuk. Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 4
Példák: 0 3 = 0 3 = 000 = 0,00 0 3 0 5 = 0 2 = 0 2 = 00 = 0,0 2 4 3 2 = 2 4 3 = 24 2 3 = 6 2 9 (0,) 3 = (0,) = 3 0,00 = 000 * ( 3 = 0) = 0 3 = 000 0 3 xm y n z k x p y q t r = x m p y n q z k t r 6 3 6 0 = 6 3 Összefoglalva: Képlet M velet megnevezése Kitev kkel végzend m velet, eredmény x m x n hatványalak szorzása kitev k összeadása, x m+n 3 4 3 5 3 4 3 5 = 3 4+5 = 3 9 = 9683 x m /x n hatványalak osztása kitev k kivonása, x m n 3 5 /3 2 3 5 /3 2 = 35 3 2 = 35 2 = 3 3 = 27 3 2 3 2 = 3 2 = 9?? kitev szorzása, x m n?? kitev osztása, x m/n Most lépjünk eggyel magasabb szintre a m veletekben. A kitev ket már összeadtuk, kivontuk, most pedig szorozni fogjuk. Ha egy hatványt további hatványra emelünk (nem az eddigiek, amikor két hatványt szoroztunk össze): Állítás: (x m ) α = x m α, például (2 3 ) 4 = 2 3 4 = 2 2 Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 5
Bizonyítás: (tegyük fel α pozitív) (x m ) α = x m x m... x m }{{} α db = x } x {{... x} = x m α m α db = (x x... x) (x x... x)... (x x... x) }{{}}{{}}{{} m db m db m db } {{ } α db zárójeles egység Ha alfa negatív, ugyanez a szabály, bizonyítását az Olvasóra bízzuk gyakorlásképpen. Példák: (0 2 ) 3 = 0 2 3 = 0 6 =.000.000 0 = 3 (0 3 ) = 0 ( 3) ( ) = 0 3 = 000, ezt hasonlítsuk össze a korábban *-gal jelölt példával (4. oldal) (0 2 ) 3 = 0 ( 2) 3 = 0 6 = /.000.000 (0 2 ) 3 = 0 2 ( 3) = 0 6 = /.000.000 (0 2 ) 3 = 0 ( 2) ( 3) = 0 6 =.000.000 (8 4 ) 3 = ((2 3 ) 4 ) 3 = (2 2 ) 3 = 2 36 = /2 36 (0,) 3 = (0 ) 3 = 0 ( ) ( 3) = 0 3 = 000, ezt hasonlítsuk össze a korábban *-gal jelölt példával (4. oldal) Tehát a kitev ket összeszorozzuk (az el jelre gyelve). Összegezve: Képlet M velet megnevezése Kitev kkel végzend m velet, eredmény x m x n hatványalak szorzása kitev k összeadása, x m+n 3 4 3 5 3 4 3 5 = 3 4+5 = 3 9 = 9683 x m /x n hatványalak osztása kitev k kivonása, x m n 3 5 /3 2 3 5 /3 2 = 35 3 2 = 35 2 = 3 3 = 27 3 2 3 2 = 3 2 = 9 (x m ) n hatványalak hatványozása kitev k összeszorzása, x m n (2 3 ) 4 2 3 4 = 2 2 = 4096 (2 3 ) 4 2 3 ( 4) = 2 2 = /4096 0,000244?? kitev osztása, x m/n Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 6
Még egy m velet vár alkalmazásra: a kitev osztása. Mint Doktor Bubó: kérem a következ t. Eddig a kitev csak egész szám lehetett (de lehetett pozitív, nulla vagy negatív). Következ : tört kitev. Legyen n egész szám, tehát n egy szokásos tört. Állítás: x n = n x Bizonyítás: Emeljük az egészet az n-edik hatványra: (x n ) n = x n n = x n n = x = x Tehát x n az a szám, amit ha n-edik hatványra emelünk, megkapjuk x-et. Tudjuk, hogy ez a szám deníció szerint n x. Példák: 25 0,5 = 25 2 2 = 25 = 25 = 5 40 0,25 = 40 8 = 8 40,586 36 0,25 = (6 2 ) 8 = 6 2 8 = 6 4 = 4 6,565 00.000.000 0,25 = (0 8 ) 4 = 0 8 4 = 0 2 = 00 0, 0,5 = 0, 2 = 0, 2 = (0, ) 2 = 0 2 = 0 3,62 5 7 6 = 6 5 7 = 6 7825 6,538 Képlet M velet megnevezése Kitev kkel végzend m velet, eredmény x m x n hatványalak szorzása kitev k összeadása, x m+n 3 4 3 5 3 4 3 5 = 3 4+5 = 3 9 = 9683 x m /x n hatványalak osztása kitev k kivonása, x m n 3 5 /3 2 3 5 /3 2 = 35 3 2 = 35 2 = 3 3 = 27 3 2 3 2 = 3 2 = 9 (x m ) n hatványalak hatványozása (egész kitev vel) kitev k összeszorzása, x m n (2 3 ) 4 2 3 4 = 2 2 = 4096 (x m ) n = (x) m n hatványozás tört kitev vel, kitev osztása, x m/n = n x m (x m ) n = (x) m n ami megfelel a gyökvonásnak kitev osztása, x m/n = n x m 6 2 6 2 = 2 6 = 6 = 4 3 0,4 3 0,4 = 3 2 5 = 3 ( 2 5 ) = (3 2 ) 5 = 5 9 Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 7
Jól látszik a bevezet ben írt szabály. Állítsunk fel egy er sorrendet a m veletek között. Leggyengébb az összeadás és a kivonás. Ezeknél er sebb a szorzás és az osztás. Ezeknél pedig még er sebb a hatványozás és a gyökvonás. Érzésb l mondjuk hogy ezen párok közül az els növel, a második csökkent (ismét felhívjuk a gyelmet ennek a mondásnak a gyengeségére). A szabály a következ módon fogalmazható meg: ha egy hatvánnyal (például x α -val) m veletet végzek (például szorzom, ami növel), az eredmény könnyen megkapható, ha a kitev k között egy eggyel gyengébb, szintén növel m veletet végzek. Példával: ha x α -t szorzom x β -val, azaz x α x β -t számolom ki, a szorzást az er sorrendben gyengébb m veletre, az összeadásra kell kicserélnem, de az összeadást a kitev k között kell elvégeznem. Tehát az eredmény x α+β. Vagy pedig ha x α -t hatványozom a β-adik hatványra, azaz (x α ) β -t számolom ki, az eredmény x α β. De FONTOS, HOGY A HATVÁNYALAPNAK MINDIG UGYANANNAK KELL LENNIE! Deníció: Normálalaknak nevezzük egy szám következ alakját: (egy és tíz közötti szám) szorozva (0 valamely hatványa), például 52 normálalakja 5,2 0 00 normálalakja,00 0 3 az Avogadro-szám körülbelül 6,022 0 23 0,00004755 normálalakja 4,755 0 5 Hasznos lehet egy tetsz legesen nagy vagy kicsi szám könny kiolvasására, nagyságrendjének szemléltetésére. Például számoljuk ki hogy egy TB-os merevlemez hány bájtos, írjuk le ezt sima számként és normálalakban is. A legegyszer bben felfogható az TB, de ha kb-ban adnánk meg, már a normálalak lenne a legszemléletesebb. A zikában van olyan mértékegység, melyb l egységnyi az rengeteg. Ilyen például a Farád, a kapacitás mértékegysége. Tipikus értékek például a pikofarád is és a mikrofarád is. Érdekesség, hogy a millifarádot inkább 000 mikrofarádnak szokás mondani. Tehát ha valaminek a kapacitása 0,0000000027F, akkor azt írjuk inkább 2,7 0 9 F-nak, de még inkább 2,7nF-nak. Jól látható, hogy melyik írásmódban könny megkülönböztetni ezt a 0,000000027F-tól (azaz 2,7 0 8 F-tól, azaz 27nF-tól). Ez utóbbit jelölést fogjuk a következ fejezetben megismerni. Most hogy már tudjuk, hogy a hatvány nem is olyan hitvány, a következ kben alkalmazni is fogjuk a mértékegységeknél. Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 8
A mértékegységekkel sokan egyáltalán nem foglalkoznak - és ezt nagyon hibásan teszik. Például ha egy almát kérünk a zöldségesnél, nem mindegy hogy egy darab almát, egy kiló almát, egy mázsa almát vagy egy mol almát (6 0 23 darabot) kapunk. Vagy például egy egyenletben az egyik oldalon a mértékegység méter, a másikon pedig kilogramm, akkor azt kapjuk hogy valami olyan hosszú mint amilyen nehéz. Ezt legfeljebb a zika laborra lehet mondani, másra nem. Prexumok Nagyságrendi (azaz például tízszeres vagy ezerszeres) különbséget jelölnek. 0 valamely hatványát röviden, egy bet vel jelöljük. A jobb oldali táblázatban nem szerepelnek a centi, deci és deka el tagok. Jól látható, hogy ekkor minden egyes lépés három nagyságrendet, azaz ezret, 0 3 -t jelöl. Név Jelölés Érték femto f 0 5 piko p 0 2 nano n 0 9 mikro µ 0 6 milli m 0 3 centi c 0 2 deci d 0 deka dk 0 (!) kilo k 0 3 mega M 0 6 giga G 0 9 terra T 0 2 Név Jelölés Érték femto f 0 5 piko p 0 2 nano n 0 9 mikro µ 0 6 milli m 0 3 kilo k 0 3 mega M 0 6 giga G 0 9 terra T 0 2 Ezeket tehetjük mértékegységek elé (és a mértékegységet úgymond szorozzák). Például mg azt jelenti, hogy 0 3 g, azaz 0,00g. Akár az is mondhatnánk, hogy mtonna = = 0 3 tonna = 0 3 0 3 kg = kg. Ez alól kivételt képez az informatika, ahol egyéb okokból kb = 024B. De jól ismert az a vicc, hogy két informatikus beszélget: - Kérlek, adj kölcsön ezer forintot! - Tudod mit, legyen inkább 024, hogy kerek legyen. Ezeket a prexumokat jól használhatjuk számolásra. Például Ohm törvényét véve, mely annyira közismert, hogy csak a képletet nézzük: R = U/I. Ebben R alapmértékegysége (Ω), U alapmértékegysége (V), I alapmértékegysége pedig (A), tehát Ω = V A. Például kv ma = 0 3 V 0 3 A = 06 V A = 06 Ω = MΩ, Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 9
vagy 22 mv ma = 22 0 3 V 0 3 A = 22 V A = 22Ω. Az utóbbiban egyszer sítettünk 0 3 -nal. Egy lépés megspórolható, mert már a millivel, azaz m-vel is egyszer síthettünk volna (tényleg, mert a milli azt jelenti hogy szorozva 0 3 - nal, és törtben a szorzó tényez kkel lehet egyszer síteni). Azzal viszont vigyáznunk kell, hogy ha SI alapegységekben számolunk, abban az alapegység a méter, a kilogramm (és nem a gramm), a másodperc és az amper. A következ példában legyen a mértékegység hossz szorozva tömeggel: 28km mg = 2,8 0 3 m 0 3 g = 2,8m g, ez utóbbiban célszer a méter és a gramm közé szorzásjelet tenni, hogy ne lehessen milligrammnak nézni. Egy gyógyszer koncentrációja 2,5 g dm 3. Ez azt jelenti, hogy köbdeciméterenként 2,5 gramm kell bele. Számoljuk ki, hány grammot kell tenni egy 75 milliliteres edénybe. Ehhez már rég tudjuk, hogy dm 3 majdnem pontosan egyenl literrel. Most vegyük ezeket egyenl nek. Tehát a koncentráció 2,5 g dm 3 = 2,5g l Most váltsuk át a litert milliliterré. Tudjuk hogy l = 0 3 ml = 000ml. Tehát 2,5 g l = 2,5 g 0 3 ml =,25 0 0 3 g ml =,25 0 2 g ml = 0,025 g ml Tehát milliliterenként 0,025g kell bele. Ugyanis a per milliliter úgy fordítható le, hogy milliliterenként. Gondoljunk csak egy autó fogyasztására: ha az 6 liter, akkor 00 kilométerenként 6 liter benzin kell hozzá. És ha milliliterenként 0,025g kell bele, akkor 75 00km milliliterbe 75 0,025g = 0,9375g kell. Most számítsuk ki kicsit máshogy. Folytassuk onnan hogy a koncentráció 0,025 g ml. Nekünk az kell hogy 75 milliliterbe mennyi kell, az autó fogyasztásának példájára azt keressük hogy hány gramm per 75 milliliter. Tehát ha a törtet b vítem 75-tel: 0,025 g ml 75g = 0,025 75ml = 0,9375 g 75ml, tehát 75 milliliterenként 0,9375g kell bele (reményeinknek megfelel en ez megegyezik az el z módszerrel kapott eredménnyel. Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 0
Végül írjuk át ezt normálalakba: 0,9375g = 9,375 0 g. Számoljuk ki, hogy 0,02mm 2 hány km 2. Tudjuk, hogy mm = 0 3 m = 0 3 (0 3 km) = = 0 6 km. Emeljük négyzetre: (mm) 2 = (mm) (mm) = 2 mm 2 = mm 2, másrészt = = (0 6 km) 2 = 0 2 km 2. Tehát ha mm 2 = 0 2 km 2, akkor 0,02mm 2 =,2 0 2 mm2 = =,2 0 2 0 2 km 2 =,2 0 4 km 2. Az Olvasó gyakorlatképpen ellen rizze le, hogy 0,02mm 2 tényleg,2 0 0 km 2 -e. Egy amerikai autó fogyasztása 0,06 gallon mérföldenként. Váltsuk át ezt számunkra könnyen értelmezhet vé. amerikai gallon 3,79l, mérföld 609m =,609km. Tehát így is írhatom 0,06 gallon 3,79l = 0,06 mérföld,609km = 0,4 l km l l = 4, =,4 0 00km 00km = 0,4 00l 00km = Javasoljuk, hogy az Olvasó az el bbi példa mintájára számítsa ki úgy is, hogy ha kilométerenként 0,4l, akkor 00 kilométerenként hány liter. Most nézzünk egy sok tagút. km mg 0,0834 perc 2 5µl =? Mm g perc óra l Egyrészt km = 0 3 m és Mm = 0 6 m. Tehát km = 0 3 Mm. Ezt könnyen ellen rizhetjük: osszuk el egymással a kett t, az eredmény km Mm = 03 m 0 6 m = 0 3, ezt átrendezve km = 0 3 Mm = 0 3 Mm. Másrészt mg = 0 3 g. Javasoljuk, hogy gyakorlásképpen az Olvasó most is és a továbbiakban is végezze el az el bbi ellen rzést. Továbbá perc 2 = perc perc = perc 60 óra = 6 0 perc óra. Végül 5µl =,5 0 0 6 l =,5 0 5 l. Összerakva mindet: km mg 0,0834 perc 2 5µl = 0,0834 0 3 Mm 0 3 g 6 0 perc óra,5 0 5 l = = 8,34 0 2 0 3 0 3 6 0 0 5 Mm g /,5 perc óra l = 33,36 Mm g perc óra l = = 3,336 0 Mm g perc óra l Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208
(Megjegyzés: hogy létezik-e bármi, aminek ez a mértékegysége, nem könny kérdés.) Javasoljuk, hogy az Olvasó úgy is végezze el az átváltást, hogy a végs mértékegységben a számlálóban 8g, a nevez ben 3óra szerepel (útmutatás: b vítsük a törtet 8-cal és 3-mal). Tehát a feladat: km mg 0,0834 perc 2 5µl =? Mm 8g perc 3óra l Felhívjuk a gyelmet, hogy ezek a prexumok nagyságrendeket jelölnek, és sok esetben a lépés három nagyságrend, azaz ezres szorzó! Ezek a nagyságrendek roppant módon lényegesek. Például az, hogy egy gyógyszer ne legyen véletlenül tízszer töményebb vagy hígabb, legalább olyan fontos, mint hogy valaki pofont kap, 0 pofont kap vagy 000 pofont kap. Végül feltennénk egy nyelvészeti kérdést: a szlengben a hat kiló a hatszázat jelöli, pedig a kilo az ezerszeres. Hogy ez miért így alakult ki, várjuk a megfejtéseket. Az eddigi legjobb szerint egy hentes terjeszthette el, akinél az egy kiló az száz dekát jelent. Az SI rendszer Az SI rendszerben alapesetben a hosszt méterben (nem pedig centiméterben vagy angol mérföldben), a tömeget kilogrammban (gyelem, nem grammban), az id t másodpercben, az áramer sséget Amperben, az anyagmennyiséget molban, a h mérsékletet Kelvinben mérjük. Ezek az alapegységek. Legtöbbjük a hétköznapokban is használatos, és könnyen felfogható mennyiséget jelöl (ellentétben például a megaméterrel, vagy például a hétköznapi távolságokhoz képest sokkal távolságokkal dolgozó csillagászatban alkalmazott parsec hosszegységgel szemben). Vannak származtatott egységek is. Például az er t Newtonban szoktuk mérni. Tudjuk, hogy er = tömeg gyorsulás. A tömeg alap mértékegysége kg, a gyorsulásé m/s 2. Tehát az er alap mértékegysége kg m lenne, ezt nevezzük Newtonnak. Tehát N = kg m ( s 2 s 2 természetesen 23,45N = 23,45 kg m ). Néhány közismert származtatott egység: s 2 er N (Newton) feszültség V (Volt) munka J (Joule) ellenállás Ω (Ohm) teljesítmény W (Watt) kapacitás F (Farád) Ezek elé is lehet prexumokat tenni, például mv, kw, de ezek az alap származtatott Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 2
mennyiségek. Fizika iránt érdekl d Olvasónak javasoljuk, hogy fejezze ki mindegyiket SI alapegységekben. Sokszor igaz a következ szabály: ha egy képletben mindent SI alapegységben adunk meg, akkor a végeredményt vagy egyszer SI alapmennyiségben, vagy pedig egyszer származtatott egységben kapjuk meg. Erre egy példa: tudjuk, hogy az elektromos áram teljesítménye = feszültség áramer sség. Legyen az áramer sség 3mA, a feszültség 0,2V. Ezeket átváltjuk alap (vagy származtatott) egységekbe:,3 0 2 A és 2 0 V. Így a teljesítményt alap származtatott egységben fogjuk megkapni, tehát Wattban. Tehát a teljesítmény: P = = U I = 2 0 V,3 0 2 A = 2,6 0 3 V A = 2,6 0 3 W. Persze ezzel óvatosan kell bánni: könny összekeverni, hogy a sebesség alkalmazandó egysége km/h vagy m/s (az utóbbi). Vagy például a kg/mol egység használata esetén az el tte álló szám feltehet en több nagyságrenddel kisebb -nél. Gyakorló példák Az eredményt normálalakban és, amennyiben értelmesen leírható, tizedestört alakban is adja meg. Használjon tizedesvesszžt, a pontot csak tagolásra alkalmazza! El ször váltsa át a szokásos prexumokkal rendelkez SI alapegységekbe vagy származtatott egységekbe (tehát csak m, kg, s, A, mol, V, Ω, J, W szerepeljen benne, km vagy mg ne de a o C-t most kivételesen hagyjuk meg), majd az egyéb prexumokat tartalmazó egységekbe is.. Egy kocka oldaléle 432mm. Hány cm, km, µm az oldaléle? Adja meg SI alapegységben is. Adja meg a felszínét, térfogatát mindegyik egységben (számolja ki külön-külön mindegyikben, majd eredményét ellen rizze az eredmények egyenl ségével). 2. 2,345 kg dm 3 =? SI-ben =? kg m 3 =? g dm 3 3. 54320µm 4 =? SI-ben =? nm 4 4. 2,34 kg Mmol =? SI-ben =? g mol J 5. 0,0083 g oc =? SI-ben =? kj kg oc 6. 3,5kV 5,7A mm =? SI-ben =? Ω mm (alkalmazzuk: V = Ω A) 7. 3,4 km2 s 3 =? SI-ben =? µm 2 perc 3 (alkalmazzuk: Joule = Watt másod- kj 8. 0,0002 s dm =? SI-ben =? W 3 nm 3 perc) Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 3
m /2 9. 3 mg perc =? SI-ben =? km /2 3 kg s 2 óra kg 2 s 3 0. 0,004 mm 4 µmol =? SI-ben =? mg 2 s perc óra /6 µm 4 Mmol /6 Megoldások:. SI: m, m 2, m 3. Figyeljük meg a lépésközöket! Oldalél: 4,32m = 4,32 0 2 cm = 432,cm = 4,32 0 3 mm = 432mm = 4,32 0 6 µm = = 4.32.000µm = 4,32 0 3 km = 0,004.32km. Felszín:,2 0 2 m 2 = 2m 2 =,2 0 6 cm 2 =.20.000cm 2 =,2 0 8 mm 2 = =,2 0 4 µm 2 =,2 0 4 km 2 = 0,000.2km 2. Térfogat: 8,07 0 m 3 = 80,7m 3 = 8,07 0 7 cm 3 = 80.070.000cm 3 = 8,07 0 0 mm 3 = = 8,07 0 9 µm 3 = 8,07 0 8 km 3. 2. 2,345 kg kg kg g =,2345 04 = 2345 =,2345 04 dm3 m3 m3 dm = 2345 g 3 dm, 3 SI:,2345 0 4 kg kg = 2345 m3 m 3 3. 54320µm 4 = 5,432 0 7 nm 4 = 0,000.000.543.2nm 4, SI: 5,432 0 29 m 4 4. 2,34 kg =,234 g 0 2 Mmol mol = 0,02.34 g mol, 5 kg kg SI:,234 0 = 0,000.02.34 mol mol J kj kj 5. 0,0083 g oc = 8,3 0 3 kg oc = 0,0083 kg oc, SI: 8,3 J kg oc 6. 3,5kV 5,7A mm = 6,4 02 Ω mm = 64 Ω mm, 7. 3,4 km2 23 µm2 = 7,34 0 s 3 perc, 3 m2 SI: 3,4 06 s 3 SI: 6,4 05 Ω m = 6.400 05 Ω m = 3.400.000m2 s 3 kj 8. 0,0002 s dm = 2 kj 3 0 4 s dm = 2 W 3 0 25 nm, SI: 2 W 3 02 m = 200 W 3 m 3 m /2 9. 3 mg perc =,58 km /2 3 03 kg s 2 óra = 580 km /2 m/2, SI:,39 kg s 2 0 óra kg s = 3 = 3,9 m/2 kg s 3 kg 2 s 3 0. 0,004 mm 4 µmol = mg2 s perc óra /6,85 0 6 = 0,000.00.85 mg2 s perc óra, µm 4 Mmol /6 µm 4 Mmol /6 SI: 4 0 0 kg 2 s 3 m 4 mol /6 Szabó Péter Imre, SZTE Kísérleti Fizika, 208 4