Mágnesesség, elektrodinamika

Átírás

1 Mágnesesség, elektrdinamika Mágneses alapjelenségek: Egyes vasércek, például magnetit (Fe 3 O 4 ) képesek apró vasdarabkat magukhz vnzani. mágneses test és a vasdarab között mindig vnzó a kölcsönhatás. z ilyen mágneseket permanens vagy állandó mágneseknek nevezzük. Tapasztalat szerint az acél felmágnesezhető egy mágneses érc segítségével. Egy acél mágnestű két végét pólusnak nevezzük, a vasreszelék csak ide tapad. Ezt a jelenséget egy mágnesrúd segítségével könnyen bemutathatjuk. Vasreszelék rúdmágnes körül Tapasztalat szerint egy felfüggesztett mágnestű a földrajzi É-D irányba áll be, tehát a Földnek is van mágneses mezője. zt a pólust, amely a stabil egyensúlyi helyzetben É- felé néz, É-i pólusnak nevezzük, a másikat, pedig D-i pólusnak. Két mágnestű egynemű pólusait közelítve taszítóerő, a különnemű pólusk között, pedig vnzóerő lép fel. lágyvas felmágnesezhető, aznban a mágnes eltávlításakr mágneses tulajdnságát elveszti. jelenséget mágneses plarizációnak nevezzük. D É D É állandó mágnes lágyvas D É eltávlítva vasreszelék lágyvas felmágnesezése tapasztalat szerint semmilyen módn nem érhető el, hgy egy testben a kétfajta mágnesség közül az egyik túlsúlyba kerüljön. Még az elemi részeknek, például az elektrnnak is ugyanannyi az É-i, mint a D-i mágnessége. Mágneses töltés, mágneses mnpólus tehát nem létezik. legegyszerűbb mágneses alakzat a mágneses dipólus. z elektrms influenciának, vagy megsztásnak nincs mágneses megfelelője. tapasztalat szerint a mzgó töltés, például árammal átjárt vezető közelébe helyezett mágnestű elfrdul. mzgó töltés tehát nemcsak elektrms, hanem mágneses mezőt is kelt, és ebben a mágneses dipólusra frgatónymaték hat. hatás kölcsönös, mivel áramjárta vezetőre mágneses mezőben erő hat, ezt mpere-erőnek nevezzük. mágneses indukció-vektr bevezetése: mágneses mezőt jellemző vektrt, a B mágneses indukcióvektrt az mpère-erő segítségével definiáljuk. z áramelemet a mágneses mező egy

2 tetszőleges pntjába helyezzük, és mérjük a rá ható erőt. z áramelemre jellemző adatk az áramerősség I, és az ívelemvektr Δr, ennek hssza Δs. mérési tapasztalatk szerint az áramelemre mágneses mezőben vele párhuzams erő nem hat, az erő mindig merőleges az áramelemre ΔF Δr. vizsgált P pntn át felvehető egy lyan kitüntetett e egyenes, amelynek irányába állítva az áramelemet Δr e rá erő nem hat, Δ F =. Ha az áramelem α szöget zár be az e egyenessel, akkr az erő merőleges a Δr és e síkjára és nagysága aránys az I árammal, valamint Δr = Δssin α ΔF -val. hányads az I Δs sin α áramelem adataitól már nem függ, kizárólag a mágneses mezőt jellemzi a P pntban, ezt nevezzük a mágneses indukció nagyságának a kérdéses pntban. ΔF B = IΔssinα mágneses indukció iránya pedig párhuzams az e kitüntetett egyenessel, és értelme lyan, hgy ΔF, r és ΔFΔr B. mágneses Δ B ebben a srrendben jbbsdrású rendszert alkssn { } N Nm Vs Vs indukció mértékegysége: [ B] = = = = = tesla = T m m m m Ezt felhasználva az mpère-erő képlete: ΔF = IΔr B Egy vékny vnalas vezetőre ható erőt a vezetőszakaszra való integrálással kaphatjuk meg: F = I ( dr B ) B F l I Δr mpère-erő iránya Tekintsünk egy l hsszúságú keresztmetszetű vnalas vezetőszakaszt, és az legyen merőleges a hmgén mágneses mezőre, (lásd az ábra). Ekkr az erő iránya az ábrán látható, a nagysága pedig: F = BIl Ha a vezeték α szöget zár be a mágneses indukcióval B -vel, akkr: F = BIlsinα Lrentz-erő: Tegyük fel az egyszerűség kedvéért, hgy a vezetőben flyó I áram azt jelenti, hgy N db q töltésű elektrn ugyanazn v sebességgel halad az hsszúságú vezetőben, (azaz ugyanazn Δt idő alatt teszi meg az távlságt) ekkr I=Nq/Δt és v= /Δt. Ezeket az mpereerő képletébe beírva az N db elektrnra ható erő: F = BI = BNq / Δ t = BNqv Vagyis az egy elektrnra ható erő F = qvb Általánsan egy B mágneses térben v sebességgel mzgó, q töltésű részecskére ható erő, az ún. mágneses Lrentz-erő: F=q v B

3 Ez az erő merőleges a sebességre és a mágneses indukcióra, { vbf,, } ilyen srrendben jbbsdrású rendszert alkt. Ha elektrms tér is van jelen, a q töltésre a F=q(E + v B) elektrmágneses Lrentz-erő hat. z áram a töltéshrdzók rendezett mzgása. z áramvezetőre azért hat erő a mágneses mezőben, mert a mzgó töltéshrdzókra hat erő, és mivel ezek a vezetőhöz vannak kötve, az erő átadódik a vezető testének. (mágneses) Lrentz-erő minden pillanatban merőleges a sebességre, ezért a sebesség nagysága nem váltzik, csak az iránya (vagyis a mágneses Lrentz-erő teljesítménye nulla). Például, ha v merőleges B -re, a töltött részecske körpályára kényszerül, ha v nem merőleges B -re, akkr a töltés csavarvnal mentén mzg. Lrentz-erőnek fnts szerepe van akkr, amikr töltött részecskéket akarnak eltéríteni, illetve gyrsítani. cikltrn egy lyan részecskegyrsító, amiben a Culmb erőt használják a sebesség nagyságának növelésére és a Lrentz erőt a részecske körpályán tartására. a mágneses duánsk mező iránya céltárgy infrrás cikltrn részecskegyrsító vázlata töltött részecskék gyrsítása a két duáns között történik, amelyekre váltakzó feszültséget kapcslnak. Ennek frekvenciáját úgy számítják ki, hgy mindig gyrsítsa a részecskét, azaz amikr a részecske a duánsk között van, akkr az a duáns, amely felé éppen repül, vnzóerőt fejt ki rá. z alkalmaztt hmgén mágneses mező pedig körpályára kényszeríti a részecskét, vagyis a centripetális erőt a Lrentz-erő adja: v QvB= m r a körpálya sugara: mv r =, QB tehát ahgy gyrsul a részecske, úgy kerül a középpnttól távlabb. körmzgás periódusideje: rπ π m T = = v QB Vagyis a periódusidő (és ezzel a körfrekvencia) a sebességtől és a pálya sugarától független állandó. Ez azért fnts, mert így állandó frekvenciájú feszültséget lehet a duánskra kapcslni a gyrsításhz. Ezt a berendezést főleg rvsi diagnsztikában használt iztóptermelésre 3 használják, például 53 I jód iztópt állítanak elő, valamint anyagvizsgálatra, illetve magfizikai alapkutatásra. Frgatónymaték hmgén mágneses mezőben nyugvó sík áramhurkra: Mágneses mezőben egy kicsiny sík áramhurkra frgatónymaték hat. Vegyünk egy egyszerű esetet, egy téglalap alakú áramhurkt, a téglalap ldalai a és b, a terület =ab, a mágneses indukció hmgén és a b ldallal párhuzams. Ekkr a két a hsszúságú ldalra egyenként BIa erő hat, amelyek ellentétes irányúak. frgástengelyt az egyszerűség kedvéért a középpntban véve, a 3

4 két erő ugyanarra frgat, mindkettő erőkarja b/. z eredő frgatónymaték BIa b / = BIab = BI. Belátható, hgy ez a nymaték az áramhurk alakjától független és az általáns összefüggés: M frg = I B = n a felületvektr melynek irányítását jbb kéz szabály szerint adhatjuk meg. kicsiny sík áramhurkban flyó áram iránya és a felületi nrmális iránya a jbbcsavar szabály szerint kapcslódik össze. I n felületi nrmális iránya Megállapdás szerint az itt bemutattt jelölés a felületből kifelé mutató vektrt jelent, a felületbe befelé mutató vektrt pedig a következő módn jelöljük:. z elektrms dipólusra ható frgatónymatékt már krábban láthattuk: M frg = p E Ennek analógiájára az áramhurknak mágneses dipólnymatékt vagy dipólmmentumt tulajdnítunk: M frg = I B= m B ahl m= I az áramhurk mágneses dipólmmentuma, melynek mértékegysége: [ m] = m permanens mágneses dipólusra (mágnestűre) ható frgatónymaték hasnlóan: M frg = m B, ahl m l z m mágneses dipólnymaték abszlút értéke attól függ, milyen erősen van felmágnesezve a mágnestű. dipólusra ható frgatónymaték akkr szűnik meg, ha m B. kis áramjárta hurk tehát iránytűként használható. köráram, mint I iránytű n D É Permanens mágneses dipólus, és köráram hasnlósága Megjegyezzük, hgy inhmgén mágneses mezőben az áramhurkra vagy általában a mágneses mmentumra ható eredő erő általában nem nulla, hanem az inhmgenitás mértékétől (a térerősség gradiensétől) és a hurk elhelyezkedésétől függ. (nalógia: inhmgén elektrms erőtérben az elektrms dipólusra erő, hmgénben csak frgatónymaték hat.) Mágneses indukciófluxus és Gauss-törvény: mágneses mező szemléltetésére a mágneses indukcióvnalakat használjuk. Ezek lyan irányíttt görbék, amelyeknek érintő egységvektra egyirányú az érintési pntbeli mágneses indukcióvektrral. Megállapdás szerint a mágneses indukcióvnalakat lyan sűrűn vesszük fel, hgy a rájuk merőlegesen állíttt egységnyi felületen éppen annyi indukcióvnal haladjn át, mint amennyi tt az indukció mérőszáma. mágneses indukciófluxus Φ irányíttt felületre vnatkzik, és megadja a felületet átdöfő mágneses indukcióvnalak előjeles számát. Hmgén mágneses mező esetén az felület indukciófluxusa: Φ = B = Bcsα 4

5 α B B α n felület mágneses mezőre merőleges vetülete Ha a mágneses mező inhmgén, akkr egy elemi kicsiny felület fluxusa ΔΦ = B Δ, egy tetszőleges felület indukciófluxusa pedig integrálással nyerhető: Φ = Bd Mivel mágneses töltések (mnpólusk) nem léteznek, így tetszőleges zárt felületre számíttt mágneses indukciófluxus mindig zérus. mágneses Gauss-törvény tehát: Bd = mágneses indukcióvnalaknak nincs kezdetük és nincsen végük. ( törvény differenciális/lkális alakja: di vb =.) mágneses indukcióra vnatkzó határfeltétel: B n B. z elektrms indukcióvektr nrmális krdinátája a határfelületen azért n = szenvedett ugrást, mert tt elektrms töltések vltak. Mágneses töltések nincsenek, ezért a mágneses indukció nrmális krdinátája a két felület határán flytns. mágneses plarizáció, a mágnesezettség vektra: nuklenk (prtn, neutrn) mágneses dipólnymatéka skkal kisebb, mint az elektrnké, ezért egy atm vagy mlekula mágneses dipólnymatéka lényegében megegyezik az elektrnk dipólnymatékának összegével. z elektrnk mágneses dipólnymatéka két részből áll: a) mzgásból származó mágneses nymaték, mivel a mzgó elektrn kicsiny köráramnak tekinthető b) saját mágneses nymaték (a spinből adódik) z anyag mágnesezettségének jellemzésére vezessünk be egy új vektrt. Legyen Δm térfgatban lévő mágneses dipólnymatékk vektri összege. Δm P ΔV a Δ V z anyag mágnesezettségének bevezetése Definíció szerint a mágnesezettség vektra a P pntban megadja az egységnyi térfgatra jutó mágneses nymatékt. Δm M = lim ΔV ΔV m mágnesezettség mértékegysége: [ M ] = 3 m = m. Célszerű bevezetni a mágneses térerősséget mint a B és a M vektrk lineáris kmbinációját, mivel rá egyszerű alakú alaptörvény állapítható meg. H mágneses térerősség definíció szerint: 5

6 Itt a 7 4 m B H = M μ Vs μ = π univerzális állandó a vákuum permeabilitása. mágneses térerősség mértékegysége: [ ] [ ] H = M =. Ezzel a permeabilitás mértékegysége: m Vs [ B ] Vs [ μ ] = = m =. M mágnesezettség, valamint a mágnesező tér B indukciója [ H] m m közötti kapcslatt anyagegyenletnek nevezzük. Első közelítésben B és M között aránysságt feltételezünk, ilyenkr beszélünk lineáris anyagegyenletről. Ha B ~ M akkr H ~ M. legtöbb iztróp közegben a H és az M vektrk nemcsak egyirányúak, hanem a tapasztalat szerint egymással egyenesen aránysak is: M = χ H χ a mágneses szuszceptibilitás. Ezzel B = μ H + M = μ H + χh = μ + χ H = μ μ H, ( ) ( ) ( ) r ahl μr = + χ a relatív permeabilitás, μ = μ μ' pedig az abszlút permeabilitás. B = μ + χ H, B= μμh vagy B = μ H z anyagegyenlet így: ( ) mágneses energia, mágneses energiasűrűség: hmgén mágneses mező energiája egy V térfgatú térrészben: Wm = B HV mágneses mező energiasűrűsége megadja az egységnyi térfgatban található mágneses energiát: Wm wm = = B H V w mértékegysége az elektrms esethez hasnlóan J/m 3. Ha a tér egy tetszőleges pntjában a mágneses térerősség H és a mágneses indukcióvektr B, akkr a pnt körül felvett kicsiny Δ V térfgatban Δ W = B H Δ V mágneses energia található. Ha a mező nem hmgén, egy tetszőleges véges V térfgatban természetesen integrálással nyerhetjük a mágneses energiát: W = wmdv = B HdV V r V z anyagk mágneses tulajdnságai Mai ismereteink szerint az anyagk mágneses tulajdnságaik alapján hárm fő típusba srlhatóak: dia-, para-, ferrmágneses típusba, de ezen felül léteznek antiferrmágneses anyagk és ferritek is, emellett a szupravezetőket is külön kategóriába srlják. 6

7 Diamágnesség: bizmut, réz, ezüst, arany, higany, ólm, víz lyan anyagk, amelyek külső mágneses mező nélkül nem mutatnak mágneses tulajdnságkat. Mágneses mezőbe helyezve a kis bizmut-darabt, taszító hatást észlelhetünk. bizmut plarizálódtt és a mágnesező tér indukciója ellentétes irányú a mágnesezettség vektrával. Ezeknél az anyagknál tehát χ <, abszlút értéke általában nem több mint -4, de ennél néhány nagyságrenddel kisebb is lehet. relatív permeabilitás ennek megfelelően csak egy kicsit kisebb egynél: μr = + χ, Mivel χ negatív, a közegbeli B indukció lecsökken a vákuumbeli B = μ H indukcióhz képest. Ez a csökkenés nagyn kicsiny mértékű. z ilyen anyagk atmjai külső mágneses mező nélkül nem rendelkeznek mágneses dipólnymatékkal. z elektrnk pálya- és saját- mágneses mmentumaik lerntják egymást. Külső mező hatására ez a helyzet felbrul, ilyenkr az egyik elektrn felgyrsul, a másik lelassul, és ezáltal az atmnak eredő mágneses dipólnymatéka keletkezik. jelenség a hőmérséklettől független. D É D É É D D É Rúdmágnes és diamágneses, ill. paramágneses anyag kölcsönhatása Paramágnesség: Paramágneses anyagk az alumínium, króm, platina, vlfrám, hélium, xigén, levegő. Külső mező híján ezek az anyagk sem mutatnak mágneses tulajdnságt. felfüggesztett alumínium glyót az állandó mágnes vnzza. Ebben az esetben az anyag atmjainak külső mágneses mező nélkül is van eredő mágneses dipólnymatékuk, de külső mező híján ezek rendezetlenül állnak. mágneses mező az atmi dipóluskat a maga irányába frgatja, mégpedig annál inkább minél erősebb az alkalmaztt mágneses mező, és minél alacsnyabb a hőmérséklet. Ezt a jelenséget rendeződési plarizációnak nevezzük. Ilyenkr 3 6 B M, a szuszceptibilitás pzitív: χ, vagyis a vákuumbeli indukcióhz képest ilyenkr (kismértékben) növekszik az indukció. Ferrmágnesség: vas, kbalt, nikkel és ezek ötvözetei erősen mágnesezhető anyagk, a mágneses mezőből kiemelve többé-kevésbé megőrzik a mágnesességüket. ferrmágneses anyagk mind szilárd anyagk és mágneses szempntból többnyire aniztrpk, a B, H, és M vektrk nem esnek egy egyenesbe, ettől a tvábbiakban az egyszerűség kedvéért eltekintünk. ferrmágneses anyagt külső mágneses mezőbe helyezve, az M mágnesezettség a H térerősség növelésével eleinte igen gyrsan nő, de csak egy biznys határig, utána telítődés következik be. z ilyen anyagk esetén tehát a lineáris anyagegyenlet nem használható. B és H közötti összefüggés nemcsak nem lineáris, de nem is egyértékű. Kísérletileg meghatárzható a mágnesezési vagy hiszterézis görbe. 7

8 remanens B mágnesség szűzgörbe (első mágnesezési görbe) H Ferrmágneses anyag hiszterézis görbéje z rigóból indulunk, ahl a mágneses tér és a mágnesezettség is nulla, vagyis H=, M=, B= μ H + M =. Ha H növekszik, vele a B is növekszik, először gyrsan, majd a telítéshez ( ) közeledve egyre lassabban. Egy biznys H-nál már az összes elemi mágneses dipólus egy irányban áll, így M tvább nem növelhető. Ezt telítési mágnesezettségnek nevezzük. Ha mst a H-t csökkenteni kezdjük, B is csökken, de nem ugyanazn a görbén halad visszafelé, vagyis a H+ΔH H csökkentés kisebb csökkenést eredményez B-ben, mint a H H+ΔH növelés. Hgy mennyivel kisebbet, az többek között az anyagi minőségtől függ. mikr H már nullára csökkent, az M és így a B még mindig nem nulla, M értékét remanens mágnesezettségnek vagy remanenciának nevezik. z lyan anyagkat, amelyeknek számttevő a remanens, azaz visszamaradó mágnessége, permanens mágneseknek nevezzük, ilyen például az acél. hhz, hgy M nullára csökkenjen, ellenkező irányú H-t kell alkalmazni, ezt kercitív erőnek nevezzük. Tvább növelve az ellenkező irányú H-t, újra telítés következik be, stb. z összetartzó B és H értékek hányadsából kiszámítható μ vagy χ már nem állandó (azaz nem csak a minta összetételétől függ), hanem függ a H-tól és a minta előéletétől. vasnál μ r és így χ tipikusan több száz, de egyes speciális ötvözeteknél μ r akár egymillió fölött is lehet. Ha a ferrmágneses anyag hőmérsékletét növeljük, akkr egy biznys T C hőmérséklet, az úgynevezett Curie-hőmérséklet fölött a ferrmágneses anyagk paramágneses anyagkká válnak. vas Curie-hőmérséklete 769 C, a klbalté 75 C, a nikkelé 36 C. Ha az anyagt hűtjük, a Curie-hőmérsékleten egy másdrendű paramágneses-ferrmágneses fázisátalakulás játszódik le. Nincs latens hő és térfgatugrás, a szuszceptibilitás visznt divergál (a gyakrlatban ez akár nagyságrendbeli váltzást is jelenhet) mikr a H váltzása következtében M váltzik, energia disszipálódik. Egy ciklusn végigmenve az összes irreverzibilisen hővé alakult energia mennyisége egyenlő a hurk területével. Elektrmsan vezető ferrmágnesekben a hő keletkezésének legfőbb ka az, hgy a váltzó mágneses tér váltzó elektrms teret indukál (lásd később az indukció fejezetnél), ezért örvényáramk (és így Jule-hő) keletkeznek. Ha lassabban váltzik a mágneses tér, tehát lassabban megyünk végig ugyanazn a hurkn, akkr kisebb térerősség, kevesebb áram indukálódik, azaz a hurk területének csökkennie kell. Tehát a hurk alakja nem csak a knkrét mintától, hanem a H váltzási gyrsaságától is függ. ferrmágneses anyagknak azt a tartmányát, amelynek mágnesezettsége egyirányú, dménnek (dmain) nevezzük. dmének cm 3 térfgatú tartmányk ~ 5 számú atmmal. Egy-egy dmén telítésig mágnesezett, de külső tér híján a dmének mágnesezettsége rendezetlen, a szmszéds dmének gyakran ellentétesen mágnesezettek, így a makrszkpikus minta össz-mágnesezettsége lényegében zérus. Ha elkezdjük növelni a külső mágneses teret, akkr azn dmének térfgata kezd nőni, amelyek mágnesezettségének iránya kis szöget zár be a külső mágnesező tér irányával. Ezt a jelenséget nevezzük faleltlódásnak. Nagy mágnesező tér esetén egy másik effektus is fellép, egy-egy dmén mágnesezettsége ugrásszerűen befrdulhat a külső mező irányába. dmének mágnesezettségének ugrásszerű váltzásait Barkhausenugrásknak nevezzük. Mivel ekkr elektrms feszültség is indukálódik, ezt ki lehet vezetni egy 8

9 hangszóróra, így az ugrásk sistergő, sercegő zajként hallhatóak, ezt Barkhausen-zajnak nevezzük. z újabb kutatásk szerint ilyenkr valójában egy dmén hirtelen árfrdulása lavinaszerű átfrduláskat indít meg a környező dménekben és valójában ezek összesített hatásából származó zajt halljuk. telítettséget akkr éri el az anyag, ha már minden elemi mmentum a tér irányában áll, az egész anyagdarab egyetlen dménnek tekinthető. Mágneses tér gerjesztése z mpère-féle gerjesztési törvény: Krábban említettük, hgy mzgó töltések mágneses mezőt hznak létre. mérési tapasztalatk alapján felállíttt mpère-féle gerjesztési törvény vékny vnalas áramk esetén azt mndja ki, hgy a mágneses térerősség zárt görbére vett integrálja egyenlő a görbe által határlt tetszőleges felületen áthaladó áramk algebrai összegével: Hds = I j g I < Δ I > j Δs zárt görbe által körülfgtt áramk előjelezése z áramerősségek algebrai összegénél az előjelezésre azt a szabályt használjuk, hgy az az áram, amelyik a felületet a felület nrmálisának irányában döfi pzitív, amelyik azzal ellentétesen döfi, az pedig negatív. Megállapdás szerint, a peremgörbe körüljárási irányát és a felületi nrmális irányát a jbbcsavar szabály kapcslja össze. z mpère-féle gerjesztési törvény írja le az áram és az általa gerjesztett mágneses mező közötti összefüggést. mágneses mező tehát még stacinárius esetben sem knzervatív. Tapasztalati tény, hgy a gerjesztési törvény akkr is érvényben marad, ha térben mágnesezhető anyagk vannak jelen. Határfeltételek (peremfeltételek): Két közeg határfelületén: Ht = H t, azaz a két közeg határán a mágneses térerősség tangenciális krdinátája flytns és Bn = Bn, azaz a két közeg határán a mágneses indukció nrmális krdinátája flytns. Hsszú egyenes vezető mágneses tere: Szimmetria-kkból következik, hgy a térerősség értéke csak a vezetőtől mért távlságtól függ. z erővnalak körülfgják az áramt, tehát a vezetőre merőleges síkkban fekvő kncentrikus körök, középpntjukban a vezetővel. Ekkr, ha egy ilyen körvnal mentén integrálunk, a H nagysága állandó, iránya párhuzams az ívelemmel, így H kihzható az integráljel elé: Hds = H ds = H rπ = I, azaz H=I/rπ. g g Szlenid mágneses tere: tekintsünk egy, az átmérőjéhez képest hsszú, sűrűn csévélt hengeres tekercs mágneses terét. mező hmgénnek tekinthető a tekercs belsejében. tekercs hsszát jelölje l, a menetszám legyen N, és legyen, a keresztmetszet. Ekkr az egységnyi hsszra jutó menetek száma N l. tekercsben flyó áramerősség I. Egy alkalmasan megválaszttt zárt 9

10 görbére írjuk fel a gerjesztési törvényt. zárt görbe legyen az BCD téglalap, x az B ldal hssza. l N x B D C szlenid tekercs és mágneses mezeje zárt görbére történő összegzést felbnthatjuk négy nyílt görbére történő összegzésre: B C D Hds = Hds + Hds + Hds + Hds g B C D téglalap esetében a DC szakaszn a tér közelítőleg nulla, az D és a BC szakaszn pedig a tér N iránya merőleges a görbére, így az összeg csak az B ldalra nem tűnik el. Ebből: Hx = xi, l azaz H = NI NI, így a mágneses indukció: B = μ l l z elektrmágneses indukció zt már tudjuk, hgy ha egy mágneses mezőben lévő vezetőben áram flyik, akkr a vezetőre erő hat (mpère-erő) és az mzgásba lendül. Kérdés, hgy ha mágneses mezőben vezetőt mzgatunk, akkr indukálódik-e áram, ill. általában hgyan tudunk mágneses útn áramt előállítani. Mzgási indukció: Ha egy vezetőt mágneses mezőben mzgatunk, akkr a vele együttmzgó töltéshrdzókra a Lrentz-erő hat. Ezt az erőt krábban idegen erőnek neveztük: F = qv B. D É mzgatva G kilendül az árammérő Mzgási indukció jelensége F z idegen térerősség: E = v B q =. mzgó vezető vnal mentén elektrmtrs erő indukálódik (keletkezik), vagyis ekkr a vezető áramfrrásként működik. mzgási indukciót leíró Neumann-törvény általáns alakja: B = B E Eds = v B ds B i ( ) Ha a vezetőből készített vnal zárt, akkr az indukált elektrmtrs erő hatására indukált áram jön létre. Tekintsük egyenes vezetőt, és v, B, Δ s legyenek egymásra merőlegesek.

11 B F Δs E v F Mi G R z indukált elektrmtrs erő a zárt áramkörben indukált áramt eredményez fenti, áramfrrásként viselkedő mzgó fémrudat lineáris generátrnak is nevezik. Figyelembe véve a nagyn speciális gemetriát, az elektrmtrs erő: B = = B E E Eds = v B ds = vb B i ( ) körben flyó áram erőssége pedig az ellenállásk ismeretében meghatárzható. Ha az egész kör ellenállása R, akkr I=ε/R. znban az indukált áram miatt erre a rúdra is hat az mpèreerő, a mzgás irányával ellentétesen (ez a Lenz-törvény megnyilvánulása), így azt egy F h (húzó)erővel kell kmpenzálnunk. Ennek az erőnek a teljesítménye fedezi a fgyasztón mért teljesítményt. generátrk mechanikai teljesítmény árán szlgáltatnak elektrms teljesítményt. fenti elrendezésnél a mzgó rúd knstans hssza vlt, legyen a zárt hurk másik (az ábrán vízszintes) ldalának hssza h. Ekkr a hurk területe = h, a példában ez annál gyrsabban csökken, minél gyrsabban mzg a rúd jbbra. rúd sebessége v=-dh/dt, de mivel knstans, d/dt=d(h )/dt= - v. z indukciófluxus váltzási gyrsasága: d Φ d(b) d = = B = B v = ε. Általánsan, ha egy irányíttt nem feltétlenül merev zárt dt dt dt vezetőhurk mágneses mezőben mzg, akkr a benne indukált elektrmtrs erőt Faraday törvénye adja: ΔΦ E = Δt Tehát a zárt vezetőhurkban indukált elektrmtrs erő egyenlő a zárt hurk által körülfgtt mágneses fluxus váltzási gyrsaságának ellentettjével (Fluxus-szabály). fluxus-szabály segítségével az indukált elektrmtrs erő gyakran könnyebben számítható, mint a Neumanntörvénnyel. z is könnyen látható, hgy ha hmgén mágneses mezőben egy vezető keret haladó mzgást végez, akkr nem indukálódik benne feszültség. Váltakzó áramú generátr: Tekintsünk egy téglalap alakú vezető keretet. Keresztmetszete legyen, és frgjn állandó ω szögsebességgel hmgén mágneses mezőben. mágneses mező indukciója legyen B. kezdeti pillanatban legyen n B. Először írjuk fel a mágneses indukciófluxus időbeli váltzását: É α B n D

12 Váltakzó áramú generátr Φ = Bd = B csα F mivel α = ωt, így az időben váltzó mágneses fluxus Φ = Bcsωt. lkalmazzuk a Faradaytörvényt az indukált elektrmtrs erő kiszámítására: dφ E = = B ω sinωt. dt Használjuk az E jelölést az elektrmtrs erő csúcsértékére E = B ω, ezzel E = E sinωt Ha egymenetű keret helyett N menetű tekercset alkalmazunk, akkr az erővnalak mindegyik meneten átmennek, vagyis a fluxus (és annak váltzási gyrsasága) N-szeresére nő. Tehát a váltakzó áramú generátr elektrmtrs ereje: E = NBωsinωt Nyugalmi indukció: Tehát egy zárt vezetőkörben áram indukálódik, ha a mágneses indukciófluxus, azaz a B felületre vett integrálja váltzik. Ez az integrál nem csak úgy váltzhat, hgy a görbe alakja vagy helyzete, azaz az integrálási tartmány váltzik, hanem úgy is, hgy az integrandus, azaz a B vektr nagysága vagy iránya váltzik az időben (esetleg az integrálási tartmánnyal együtt). Ha az integrálási tartmány nem váltzik, azaz nincs mzgás, B pedig váltzik, nyugalmi indukcióról beszélünk. vasmag G primer kör szekunder kör nyugalmi indukció jelensége, kölcsönös indukció Tekintsük a fenti elrendezést. Mindaddig, amíg a váltztatható ellenállással váltztatjuk az áramerősséget a primer körben, váltzni fg az általa gerjesztett mágneses tér indukciója. Ezeket az indukcióvnalakat a szekunder kör körülfgja, és váltzik a szekunder fluxus. tapasztalat szerint, amíg a fluxust váltztatjuk, a szekunder körben áram flyik. z áram létrejöttének ka itt nem lehet a Lrentz-erő, hiszen a szekunder vezető nem mzg. jelenség magyarázata az, hgy az időben váltzó mágneses mező elektrms teret indukál, és ez az indukált elektrms mező mzdítja el a szekunder vezeték szabad elektrnjait. Ez a nyugalmi indukció jelensége. fenti kísérletben leírt knkrét jelenséget kölcsönös indukciónak nevezzük, ilyenkr a primer kör áramának váltzása indukál feszültséget a szekunder körben. Tekintsük mst a következő elrendezést: G L E nyugalmi indukció jelensége, önindukció

13 tapasztalat szerint, ha a tekercset az áramfrrásról lekapcsljuk és egyben rövidre zárjuk, akkr az árammérő egy ideig még csökkenő áramerősséget jelez. jelenség magyarázata az, hgy az áramfrrást lekapcslva váltzik a mágneses mező fluxusa, ez elektrms mezőt indukál, és ez tartja fenn az áramt egy ideig. jelenséget önindukciónak nevezzük, ilyenkr az indukált feszültséget a vezetőkör saját áramának váltzása kzza. Összegezve, a Faraday-féle indukciótörvény tömör alakja: ΔΦ ε = Δ t, ahl Φ = Bd a mágneses indukciófluxus. Részletesebben kiírva: F g d Eds = dt F Bd Rögzített zárt vnal mentén az indukált elektrms feszültség egyenlő a zárt vnal által körülfgtt mágneses fluxus váltzási gyrsaságának ellentettjével. z indukált elektrms mező nem örvénymentes, ezért nem is knzervatív. Elektrms mezőt tehát nem csak töltések kelthetnek, hanem időben váltzó mágneses mező is. töltések keltette mező frráss, s ha a töltések nyugszanak, vagy áramlásuk stacinárius, akkr örvénymentes. z időben váltzó mágneses mező keltette indukált elektrms mező frrásmentes és örvényes. Szlenid tekercs önindukciós együtthatója: mint azt krábban levezettük, egy hsszú vékny tekercsben a mágneses térerősség és a mágneses indukció: NI NI H =, B = μ l l Írjuk fel az egyetlen menet által körülfgtt fluxust (menetfluxus): N Φm = Bd = B = μ I l tekercsfluxus egyenlő a menetfluxusk összegével, így N Φ = NΦm = μ I l tekercsfluxus aránys az őt gerjesztő árammal: Φ = LI. z arányssági tényező definíció szerint L, az önindukciós együttható, ami szlenidra: μ N L = l Vs z önindukciós együttható mértékegysége: [ L] = = henry= H Ha egy tekercsben váltakzó áram flyik, akkr Φ = LI() t dφ di U = = L dt dt Tehát a tekercsben indukálódtt feszültség aránys az áram váltzási gyrsaságával és az önindukciós együtthatóval. Utóbbiban benne van a menetszám négyzete (ezért van sk menete a tekercseknek) és a permeabilitás (ezért szktak vasmagt tenni a tekercsekbe). Skmenetű tekercs esetén mivel L aránys N -tel a tekercs önindukciós együtthatója lyan nagy, hgy az egyben az egész vezető kör induktivitásának tekinthető. 3

14 tekercsben lévő mágneses mező energiája az /BH energiasűrűség és az NI NI N szrzata, azaz Em = μ = μ I = LI. térfgat Kölcsönös indukció együtthatója szrs csatlás esetén: Tekintsünk két nyugalmban lévő tekercset egymás közelében. primer tekercs menetszáma legyen, a szekunder tekercsé pedig N. Ha a primer tekercsben flyó áram I, akkr az indukció: N N N kölcsönös indukció szrs csatlás esetén NI () t B = μ l a menetfluxusa pedig: N Φ = μ I() t l szrs csatlás azt jelenti, hgy a primer tekercs menetfluxusa egyben a szekunder tekercs menetfluxusa is, így a szekunder tekercs teljes fluxusa: NN Φ () = NΦ = μ I t l kifejezésből kilvasható, hgy a szekunder tekercs fluxusa aránys a primer árammal, az arányssági tényező M, a kölcsönös indukció együtthatója: Φ = MI, ahl NN M = L = μ l szekunder tekercs kapcsain az indukált feszültség: dφ di U = = M dt dt hurktörvény általánsítása váltóáramra egyetlen hurk esetén: Tekintsük egy lyan hurkt, amely egy ellenállást, egy kndenzátrt, egy tekercset, és egy áramfrrást tartalmaz. Legyen R a teljes kör ellenállása, C a kndenzátr kapacitása, L a tekercs (és egyben az egész hurk) önindukciós együtthatója, illetve E az alkalmaztt elektrmtrs erő. g C g Q g R L C E Hurktörvény általánsítása Íjuk fel a nyugalmi indukció Faraday-törvényét a hurkra: 4

15 g d Eds = ( Bd) Mivel a tekercs önindukciós együtthatója egyben a kör indukciós együtthatója is: di Eds = L dt g g zárt görbét az ábrán látható módn bntsuk fel két részre, g haladjn a vezetőben, g pedig a kndenzátr lemezei közötti szigetelőben. g görbén a térerősség integrálja nem más, mint a kndenzátrn eső feszültség, Q/C. Így ha a térerősségre vnatkzó összegzést a g, g, szakaszkra külön kiszámljuk, akkr az alábbi egyenletet nyerhetjük: Q di IR E + = C L d t Kirchhff-hurkegyenlet általánsítása srs RLC körre: di Q L + IR+ = dt C E Tekercs rákapcslása állandó feszültségre: Legyen a tekercs L induktivitása állandó, a kör hms ellenállása R, az áramfrrás állandó elektrmtrs ereje ε. kapcslót a t= időpillanatban zárjuk. Kérdés, hgyan váltzik az I áramerősség. Ha hirtelen (Δt= idő alatt) nulláról I> értékre nőne, akkr di/dt és ezzel az indukált feszültség végtelen nagy lenne, ami lehetetlen. Következésképp I()=. differenciálegyenlet: IR E = L di dt Egy szétválasztható típusú, integrálva: I dt di = dt ε RI L z integrálást elvégezve: ε RI ln = t R ε L R-rel átszrzva, e-adra emelve kifejezhető az áramerősség: R R ε t t L L I(t) = e = I e R Felhasználtuk, hgy t= -re I = ε/r-nek adódik. Vezessük be a τ =L/R mennyiséget, amelyet időállandónak vagy a kör relaxációs idejének is neveznek. Ezzel az áramerősség: t/ τ ( ) I(t) = I e z áramerőség tehát expnenciálisan tart a maximális I értékhez. Ha a tekercset hirtelen lekapcsljuk az állandó feszültségről, ennek a frdítttja játszódik le, az áram expnenciális t/ függvény szerint tart a nulláhz: I(t) = Ie τ. Erről úgy győződhetünk meg, ha a fenti levezetést I(t=)=I és ε= értékekre megismételjük. Kndenzátr kisütése: Egy Q töltésre, azaz U =Q /C feszültségre feltöltött kndenzátrt R ellenállásn keresztül kisütünk. hurktörvény: Q dq IR + =, ahl I = C dt Idő szerint deriválva és átrendezve kapjuk a differenciálegyenletet az áramerősségre: di = I dt RC t 5

16 ahl I a kisütés kezdetekr beinduló áramerősséget jelenti. Ez az egyenlet is szétválasztható: I t di = dt I RC. megldás: I ln = t. azaz I RC I t RC t/ τ = =, I(t) Ie Ie ahl τ=rc az RC kör időállandója, I = U /R. Ez azt az időt adja meg, amely alatt e-adrészére csökken az áramerősség. Kndenzátr szinuszs váltakzó feszültségen: Egyenáramt a kndenzátr nem vezeti, de váltakzó feszültség hatására periódikusan feltöltődik és kisül. Így a váltakzó áram flytnsan flyik a körben anélkül, hgy a lemezek közötti szigetelő rétegben töltések áramlanának. z általáns Kirchhff-hurkegyenletből kapjuk, hgy a kndenzátr U=Q/C feszültsége az áramfrrás ε elektrmtrs erejével egyenlő. Mivel ε(t)= ε sinωt, dq d I(t) = ( CUsin t) CU cs t dt = dt ω = ω ω. Tehát az áramerősség az időnek kszinuszs függvénye, az áramerősség és a feszültség között π/ fáziskülönbség van, vagyis az áramerősség 9 -kal siet a feszültséghez képest. Ez azért lehetséges, mert nem a kndenzátr lemezei között lévő feszültségkülönbség az ka a töltések áramlásának, hanem ennek a feszültségnek a megváltzása. feszültség csúcsértéke U, az áramerősségé CU ω, a kettő hányadsaként értelmezhetjük a kndenzátr váltóáramú ellenállását, más néven kapacitív ellenállását vagy kapacitanciáját: XC =, ωc Ez, mint látható, függ a frekvenciától és egyenáramra végtelenné válik. Ideális tekercs szinuszs váltakzó feszültségen: Ha minden hms ellenállást elhanyaglunk, a megldandó egyenlet: E = L di, ahl ε(t)= ε sinωt. Idő szerint integrálva kapjuk, hgy dt ε cs ω t / ω = ε LI, azaz I(t) = csωt, vagyis az induktivitásn az áram 9 -t késik a Lω feszültséghez képest. feszültség és az áramerősség csúcsértékének hányadsa a tekercs váltóáramú ellenállása, más néven induktív ellenállása vagy induktanciája: XL = Lω Egyenáramra ez nulla, a frekvencia növelésével növekszik. Váltóáramú RLC-körök Olyan áramköröket vizsgálunk, amelyekben az hms ellenállás mellett tekercs és kndenzátr is van, az áramfrrás elektrmtrs ereje pedig szinuszsan/kszinuszsan váltzik R L C ε Srs RLC kör 6

17 Tekintsük az ábrán látható srs RLC kört, és alkalmazzuk rá az általánsíttt hurk törvényt: di Q L + IR+ = dt C E Tegyük fel, hgy a váltakzó áramú generátrt elektrmtrs ereje E = E csω t függvény szerint váltzik. E a gerjesztő elektrmtrs erő amplitúdója ω pedig a körfrekvenciája. Kirchhff-féle hurktörvény frmálisan teljesen analóg az előző félévben tanult gerjesztett rezgés mzgásegyenletével. z analóg mennyiségek: x Q a váltzó m L tehetetlenség κ R csillapítás, a rezgés energiája hővé alakul D a rugó, ill. a kndenzátr tárlja az energiát, ami a megnyúlásból, ill. a töltésfelhalmzódásból adódik ( Dx C Q, ill. C, ezek peridikusan átalakulnak az /mv mzgási és az /LI mágneses energiává) F E kényszer, energiabetáplálás D m ω = sajátfrekvencia, LC ω =ω esetén reznancia következik be. z RLC köröket vizsgálva minket jbban érdekel az áramerősség, mint a kndenzátrn lévő töltés, ezért lederiváljuk idő szerint a fenti egyenletet, hgy csak az áramerősség maradjn benne váltzóként: di di I L + R + = E ωsin ωt dt dt C Matematikailag a megldandó egyenlet inhmgén másdrendű differenciálegyenlet az áramerősségre. Ennek általáns megldása két tagból áll: az inhmgén egyenlet egy partikuláris megldásából és a megfelelő hmgén egyenlet általáns megldásából. hmgén egyenlet általáns megldása csillapíttt rezgőmzgásnak felel meg. Mivel nincs áramfrrás, nincs, ami pótlja az ellenállásn keletkező Jule-hőt, ezért csillapdik az áram. Matematikailag ez egy e -αt szrzóként jelenik meg, amely időben expnenciális lecsengést kz, így az állandósult állaptban csupán a partikuláris megldásnak megfelelő tag marad meg, a tvábbiakban csak ezzel fglalkzunk. Tudjuk, hgy ha az inhmgenitást jelentő függvényω körfrekvenciájú peridikus függvény, akkr a partikuláris megldást is ω körfrekvenciájú peridikus függvény alakjában kereshetjük. Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hgy a partikuláris (időben állandósult) megldás a következő: I = I cs ωt- ϕ ( ) z áramerősség időfüggésében szereplő I a létrejövő áram csúcsértéke, míg ϕ a kezdőfázis. z áramerősség csúcsértékét a srs váltakzó áramú körökre vnatkzó Ohm törvény alapján határzhatjuk meg: E I = R + Lω ωc vagy: I = E Z ahl Z a srs kör impedanciája (magyarul a váltakzó áramú ellenállása). 7

18 : Z = R + Lω ω C krábban bevezetett jelölésekkel felrajzljuk az impedancia vektrábrát. X L X C X L X C ϕ R Z Impedancia vektrábra Ebből lelvasható a kezdőfázis: Lω XL XC tgϕ = = ω C R R vagy R csϕ = Z Ha ϕ > akkr I késik E -hz képest, ha ϕ < akkr I siet E -hz képest. Hasnlóan a mechanikai rezgéshez, itt is egyik frmából a másikba alakul az energia és vissza periódikusan. míg az áramerősség nagy, addig a tekercs mágneses mezője erős és ennek energiája nagy, azután az áramerősség csökken, a töltés felhalmzódik a kndenzátrn, de akkr meg a kndenzátrban lévő elektrms térerősség és így az elektrms tér energiája lesz nagy. z egyes kapcslási elemek pólusain mérhető feszültségek: Grafikusan a feszültségeket úgy kaphatjuk meg, hgy az impedancia vektrábrán minden ellenállás-jellegű mennyiséget beszrzunk az áramerősséggel. z hms ellenállásn lévő feszültség az áramerősséggel mindig fázisban van. Ha UR = IR az ellenállásn a feszültség csúcsértéke, akkr U ( t R ) = U Rcs( ωt ϕ ) kndenzátr feszültsége π/-vel késik az áramhz képest, azaz C() cs ωt π U t = UC ϕ, ahl UC = IXC, a kndenzátrn mérhető feszültség csúcsértéke. z ideális tekercs feszültsége π/-vel siet az áramerősséghez képest: L() cs ωt π U t = UL ϕ +, ahl U I X az induktivitásn mérhető feszültség csúcsértéke. L = L Frgó vektrábra: srs RLC kör fázisvisznyainak szemléltetésére gyakran használják a frgó vektrs ábrázlást. Ilyenkr a vektr hssza aránys az illető fizikai mennyiség csúcsértékével, és állandó szögsebességgel frg a síkban az óramutató járásával ellentétes irányban. vízszintes tengelyre vett vetület harmnikus rezgést végez, ez adja a fizikai mennyiség pillanatnyi értékét. függőleges tengelynek nincs fizikai jelentése, azért vezettük be, mert vektrkat könnyebb összeadni, mint trignmetrikus függvényeket. z első vektr, Lásd az egyenletes körmzgás és a harmnikus rezgés kapcslatát az előző félévi jegyzetben. 8

19 amit egy ilyen ábrázlásnál felveszünk, az áramerősség vektra. Mivel az hms ellenállásn lévő feszültség az áramerősséggel mindig fázisban van, így az azt leíró vektr az áramerősséggel párhuzams. z ideális tekercs feszültsége π -vel siet az áramerősséghez képest, így az ezt ábrázló vektr, a vektrk frgásának irányában megelőzi az áramerősség vektrát. kndenzátr feszültsége π -vel késik az áramhz képest, így a vektra az áramerősség vektráhz képest 9 -kal lemarad. vektrk összege pedig kiadja a generátr elektrmtrs erejét. Megjelenik az ábrán a φ fáziskülönbség is. U L + ω = áll. E I U C U R Frgó vektrábra Reznancia srs RLC-körben: Vizsgáljuk meg, hgy egy adtt RLC-körben milyen ω frekvenciára lesz maximális az áramerősség. z E I = R + Lω ωc Összefüggésből lelvasható, hgy ez akkr következik be, ha a nevező minimális. Mivel a gyökjel alatt álló első tag (R ) rögzített, a másdik nemnegatív, akkr lesz minimális a két tag összege, ha a zárójelben álló tag nulla, azaz ha Lω=, vagyis a reznanciafrekvencia C ω ω r = LC Ekkr a kndenzátrn és a tekercsen eső feszültség ugyanakkra, de ellentétes fázisú, így összegük minden pillanatban nulla. Ha R nagyn kicsi, akkr az áramerősség nagyn nagy. Ebből az következik, hgy a tekercsen és a kndenzátrn eső UL = IX L és UC = IXC feszültség is nagyn nagy, skkal (akár sk ezerszer) nagybb, mint az áramfrrás elektrmtrs ereje! Ezért ezt a reznanciát feszültségreznanciának is nevezik. Váltakzó áram jellemzése effektív értékekkel: váltakzó áram effektív értéke a hőhatás szempntjából egyenértékű stacinárius áram erősségét jelenti. kár a vizsgált váltakzó áram flyik át egy fgyasztón (jbb ldali ábra), akár egy I eff erősségű stacinárius áram (bal ldali ábra), egy periódus alatt az elektrms munkavégzés megegyezik. R R I eff I = I sin ωt Egyszerű áramkörök az effektív áramerősség bevezetéséhez 9

20 W I RT = () eff T W = I t Rdt I szinusznégyzet-függvényt kiintegrálva belátható, hgy az effektív érték: I eff =. Hasnlóan a generátr effektív feszültsége: E eff = E. Ez utóbbi két frmula felhasználásával a váltóáramú Ohm törvény egy gyakrabban használt alakba írható: E I eff = eff Z Teljesítmény srs váltakzó áramú körben: srs áramkör esetén az áramfrrás pillanatnyi teljesítménye: Pt = E tit () = E csωtics ωt ϕ () () ( ) Két ismert trignmetrikus aznsságt ( cs( α β) csαcs β sinαsin cs( α β) = csαcs β + sinαsin β) összeadva: ( ) ( ) + = β és cs α + β + cs α β = csαcs β Legyen α = ωt és β = ωt ϕ, ekkr: cs ( ωt ϕ) + cs ϕ = cs ωt cs ( ωt ) ϕ, így a pillanatnyi teljesítmény: () = E I Pt cs ( ) ωt ϕ + cs ϕ Ha ennek a függvénynek képezzük az időátlagát, akkr mivel a kszinuszs függvény időátlaga zérus, csak a jbbldali tag marad, mivel az knstans. z átlagteljesítmény a csúcsértékekkel, vagy az effektív értékekkel kifejezve: EI E I eff R P= csϕ = csϕ = Eeff Ieff csϕ = E = I eff R Z Mivel a keletkezett hőt ez adja meg, az átlagteljesítményt hatáss teljesítménynek is nevezik. Megjegyezzük, hgy a P = Eeff Ieff mennyiséget látszólags teljesítménynek, P m = E eff I eff sinϕ -t pedig meddő teljesítménynek nevezik. Utóbbi az áramfrrás és a fgyasztó között peridikusan ide-da áramló energiát adja meg. Kmplex megldás: Fentebb láttuk, hgy a feszültséget és az áramerősséget frgó vektrkként, az impedanciát álló vektrként tekinthetjük egy kétdimenziós síkn. Utóbbiban az egyes tagkat (az hms ellenállást, a tekercs induktanciáját, a kndenzátr kapacitanciáját) srs kapcslásnál vektrként adjuk össze. Párhuzams esetben a reciprkkat kellene összeadni, csakhgy vektrkkal nem tudunk sztani, mivel nincs megfelelő szrzásunk. Kiderült, hgy ha a vektrkat egyben kmplex számknak is tekintjük, akkr megfelelő szrzást kapunk és tudunk majd eredő impedanciát számlni tetszőleges kapcslásnál. Természetesen visszamehetnénk a vektrkról a trignmetrikus függvényekre, aznban ez skkal nehézkesebb számláskat eredményezne. z alábbiakban bemutatjuk a hurktörvény kmplex megldását és levezetjük azkat az összefüggéseket, amelyek a váltóáramú körök megldásáhz szükségesek (ez részben az előző ldalakn elmndttak ismétlése lesz). Sem a skaláris, sem a vektriális szrzásnál nem igaz, hgy ab = ac -ből következik b = c, tehát az /a -val való szrzás ellentmndásra vezet.

21 i( ωt feszültséget Ue + ϕ ) i t alakban adjuk meg, az áramt I = Ie ω alakúnak tekintjük. z áramt tehát fázisállandó nélkülinek tekintjük. Ezt egyébként jgunkban áll megtenni, mivel csupán azt jelenti, hgy az adtt jelenség leírásáhz időmérésünk mikr indul, azaz a stpperóránk indítógmbját mikr nymjuk le. z összefüggéseinkben a hullámvnallal elláttt szimbólumk kmplex mennyiségeket jelölnek. zt a megállapdást tartjuk szem előtt, hgy a kmplex feszültségnek és az áramerősségnek csak a valós része értelmezhető és mérhető fizikailag. Ez a kmplex írásmód - a látszat ellenére - jelentősen egyszerűsíti a számlást. következő frmulákat fgjuk használni: i( t ) i i t i t Ut ω + ϕ ϕ ω ( ) = Ue = U(cs( ωt+ ϕ) + isin( ωt+ ϕ)) = Ue e = Ue ω i t i t i t I ω ω ω () t = I e di/ dt= iωi e d I / dt = ω I e i t z e ω tag miatt frg az áramerősség és a feszültség ω szögsebességgel a kmplex síkn az óramutató járásával ellenkező irányban aki a kmplex alakból nem látja, vizsgálja meg a trignmetrikus alakt. feszültség és az áram megfelelő deriváltjait az di + di + I = de L R dt dt C dt inhmgén egyenletbe helyettesítve kapjuk a következőt: iωt iωt I iωt iϕ iωt Lω Ie + iωrie + e = iωue e C Osztva mindkét ldalt iω -val, majd a nevezőből i/ i szrzással eltűntetve az imaginárius egységet kapjuk az alábbi egyenletet: iωt iωt I iωt iϕ iωt ilω Ie + RIe i e = Ue e (**) ωc Beírva a kmplex alakkat: i ilω I() t + RI() t i I() t U() t ωc = z első frmula balldalán aznsíthatjuk az egyes áramköri elemeken jelentkező feszültségeket, s jbbldaln ezek összegét: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i UR = RI UL = ilω I UC = Î (*) ωc E frmulák egyúttal az Ohm törvény kmplex alakjának megnyilvánulásai. Ezek mindegyike Uˆ = ZI ˆˆalakú, ahl Z jelöli hagymánysan a kmplex impedanciát: ˆ ˆ ˆ i ZR = R ZL = iω L ZC = = ωc iωc Ha a fenti egyenletet átrendezzük: il ( ω ) + RIt () = Ut (), ωc felismerhetjük az eredő kmplex ellenállást is, amely a srba kapcslt elemek kmplex impedanciáinak összege. ˆ Ze = R+ i( Lω ) ωc Ennek az abszlút értékét a Pithagrasz tétellel számlhatjuk: Z = R + ( Lω ) ωc Látható, hgy a srs RLC kör kmplex impedanciája az egyes tagk kmplex impedanciájának összege. Ugyanígy levezethető, hgy ha több hms ellenállás, tekercs, illetve kndenzátr van srsan kapcslva, azk impedanciái is összeadódnak:

22 ˆ Ze = Rn+ i( ω Lm ) n m ω k Ck Megjegyezzük, hgy visszakaptuk azt az egyenáramknál levezetett szabályt, hgy srba kapcslt kndenzátrk eredő kapacitásának reciprka a kapacitásk reciprkainak összege. i t Ha a (**) egyenletben az e ω -vel egyszerűsítünk, akkr azt látjuk, hgy az eddig elmndttak pl. az Ohm törvény * alakjai nemcsak a pillanatnyi értékekre, hanem az amplitúdókra és így az effektív értékekre is váltzatlan frmában érvényesek. következőkben Ohm törvényének alkalmazását tisztázzuk kmplex váltakzó áramú ellenálláskra. Mind minden kmplex mennyiség, így a kmplex ellenállásk is megadhatók a következő alakban: ˆ ˆ i Z = Ze ϑ. Ha az áramt választjuk fázisállandó nélkülinek, (azaz i t I e ω alakú) akkr az "U = RI" Ohm törvény a következőkhöz vezet: ˆ i ϑ i( ω t+ ϑ ) i( ω t+ ϑ ) i( ω t+ ) = ϑ = = U Z e I e Z I e U e Két dlgt látunk, egyrészt a feszültség-amplitúdót is Ohm törvénnyel kaptuk U = ZI érdekesebb aznban az, hgy az elektrms feszültség fázisa ϑ értékével nagybb az áram fázisánál. z áram és a feszültség tehát nincs (azns) fázisban, s e fáziskülönbség a kmplex váltakzó áramú ellenállás fázisszögétől származik. fentieket alkalmazzuk pl. egy L önindukciós együtthatójú tekercsre: 3 ˆ iπ / ˆ ˆˆ i( ωt+ π /) ZL = ilω= Lωe U = ZI = LωIe feszültség-amplitúdó tehát U = Lω I. Kilvashatjuk tvábbá azt is, hgy az önindukciós tekercsen a feszültség fázisa 9 -al vagyis π /-vel siet az áram fázisáhz képest. Ha másik mennyiséget választjuk referenciául, akkr ugyanezt a fizikai tényt úgy is megfgalmazhatjuk, hgy egy önindukciós tekercsen az áram 9 -kal késik a feszültséghez képest. Kimutatható, hgy ha állandó paraméterekkel bíró lineáris hálózaba azns körfrekvenciájú szinuszs (kszinuszs) elektrmtrs feszültségek vannak beiktatva, akkr a stacinárius állaptbeli áramerősségeket és feszültségeket a kmplex csmópnti és a i i I = i IZ = E i i k k kmplex hurktörvényekből határzhatjuk meg. z egyenáramknál az Ohm-törvényből és a két Kirchhff törvényből vezettük le azt, hgy hgyan kell eredő ellenállást számlni srs és párhuzams kapcslásnál, ill. hgyan kell ezek segítségével tetszőleges hálózatt megldani. Itt a fenti hárm törvény kmplex áramerősségekre, feszültségekre és impedanciákra ugyanlyan frmában igaz, mint egyenáramk esetében a megfelelő valós mennyiségekre, tehát ugyanúgy levezethetők a megfelelő szabályk. Eszerint, (mint azt már láttuk,) a srsan kapcslt knduktív (hms) ellenállásk eredőjét megadó impedanciákra a Re R i i = összefüggés megfelelőjeként a srba kötött Z e = Z kmplex összefüggés érvényes. Hasnlóan, párhuzamsan kapcslt impedanciák eredője az Z = Z e k i k i 3 Felhasználjuk, hgy e iπ / π π = cs + isin = i

23 összefüggés szerint számítható. z impedancia reciprkát szkás admittanciának is nevezni. szabály tehát úgy fglalható össze, hgy srs kapcslásnál a kmplex impedanciák, párhuzamsnál a kmplex admittanciák összegződnek. Transzfrmátr: közös vasmagn van két tekercs. Tegyük fel, hgy az N menetszámú primer tekercs egy áramfrrásra van csatlva, amelynek feszültsége: U() t = U,sinωt. primer kör hms ellenállását elhanyagljuk, ekkr az áramerősség: U, N I = ( csωt), ahl L = μ. primer tekercsen belül a mágneses tér Lω l I I U, / l U, H= N, ebből az indukció B= μn = μn ( csωt) = ( csω t) l N l Nω μ ω l z indukcióvnalak a vasmagn belül haladnak, ezért a két tekercs egy menetre jutó fluxusa U, megegyezik: B= B, azaz B = csωt. szekunder tekercsben az indukálódtt Nω dφ NU, csωt feszültség: U = ahl Φ = NB =. Ez persze csak akkr igaz, ha a dt N ω szekunder körben nem flyik áram, vagyis nem zárt az áramkör. deriválást elvégezve N N U() t = U,sin ωt= U () t, tehát a szekunder feszültség fázisa ellentétes a primerhez N N képest, a feszültségek nagyságának aránya pedig a menetszámk arányával egyenlő U N = U N Ez azt jelenti, hgy tetszőlegesen nagy (vagy kicsi) váltakzó feszültséget elő tudunk állítani transzfrmálással. Transzfrmátrkat ma is sk helyen használnak, a jó transzfrmátrk hatásfka meghaladja a 9%-t. Ha a szekunder kört zárjuk, abban is áram flyik, így a fluxus mindkét tekercs esetében megváltzik. Ezt az esetet bnylultsága miatt nem tárgyaljuk. zt aznban megjegyezzük, hgy mivel a primer áramkör által leadtt teljesítmény jelenik meg a szekunder kör fgyasztóján: P= P, ebből UI = UI vagyis ha a feszültséget feltranszfrmáljuk, az megfelel az áram letranszfrmálásának: I N = I N z erőművekben előállíttt feszültséget feltranszfrmálják a távvezetéken történő szállításhz, hgy a vezetéken elszivárgó teljesítmény I R kicsi legyen. vez z mpère-maxwell-féle gerjesztési törvény: Faraday indukció törvénye szerint az időben váltzó mágneses mező elektrms mezőt kelt. Maxwell elméleti megfntlásk alapján feltételezte, hgy az elektrms mező időbeli váltzása pedig örvényes mágneses mezőt kelt. z egyenlet felírása srán az mpère-féle gerjesztési törvény kiegészítette egy tvábbi taggal, amelyet eltlási áramnak nevezett. Így született meg az mpère-maxwell törvény: d H ds = I + i Dd g i dt F Felhasználva az elektrms indukciófluxust, az mpère-maxwell törvény rövidebben: dψ H ds = I +. dt g 3

24 mágneses térerősség zárt görbére vett integrálja egyenlő a vnalra feszített felületet átdöfő áramk erősségének, és a felületen átmenő elektrms fluxus váltzási gyrsaságának az összegével. Mágneses mezőt tehát nemcsak mágneses dipólusk, vagy áramk gerjeszthetnek, időben váltzó elektrms mező is képes mágneses mezőt kelteni. jelenség szimmetrikus megfelelője a Faraday-féle indukciónak. z eltlási áram, nem áram a szó eredeti értelmében, mert nem mindig kapcslódik hzzá töltések mzgása. znban éppúgy gerjeszt mágneses 7 mezőt, mint a vezetési áram. Jó vezetőben ( γ / Ωm ), technikai váltóáram esetén a vezetési áramsűrűség sk nagyságrenddel felülmúlja az eltlási áramsűrűséget. Nem hanyaglható el az eltlási áram szigetelőben, ahl nem flyhat vezetési áram, illetve ha a frekvencia az ptikai tartmányba esik. Maxwell-egyenletrendszer: XIX. sz. egyik legnagybb hatású egyenletrendszere, főleg azért, mert ebből az egyenletrendszerből vezették le az elektrmágneses hullámk létezését.. mpère-maxwell féle gerjesztési törvény: = + d D H ds In Dd és rth = j+ g n dt t F. Faraday-féle indukció-törvény: d B E ds = Bd és rte = dt t g F 3. Elektrms Gauss-törvény: Dd = Q és divd = ρ 4. Mágneses Gauss-törvény: F F Bd = és divb = Maxwell-egyenletrendszer megldásáhz szükségesek az anyagegyenletek is, amelyek megadják, hgy mi a kapcslat egyfelől az elektrms térerősség és az elektrms indukció, másfelől a mágneses térerősség és a mágneses indukció között. lineáris anyagegyenletek: D=εε re és B= μμh r, valamint az Ohm-törvény: j = γ E, ahl a térerősségbe beleértjük az idegen térerősséget is. Míg aznban a Maxwell-egyenletek egzakt természettörvények, az anyagegyenletek csak biznys anyagkra igazak, és közelítő jellegűek. Nem adnak számt pl. a ferrmágnesesség, ill. a permanens mágnesesek létezésről. 4