Középiskolai kísérletek fraktálokkal

Átírás

1 BSc. szakdolgozat Középiskolai kísérletek fraktálokkal Kovács Olivér Fizika BSc.- kémia minor tanári szakirány III. évfolyam Témavezető Dr. Horváth Ákos egyetemi docens Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Atomfizikai Tanszék 2014

2 Kivonat A szakdolgozatommal a fraktálok középiskolában történő tanításának lehetőségeit mutatom be demonstrációs kísérleteken keresztül. Dolgozatom alapvetően három fő részre tagolható. Az első részben áttekintést adok a fraktálokról, ismertetem a fraktáldimenzió,- és az önhasonlóság fogalmát. Bemutatok néhány matematikai, biológiai fraktált, illetve ismertetek néhány fraktálra vezető fizikai folyamatot. A második részben a fraktálok tanításakor használható demonstrációs kísérleteket mutatok be. A Mandelbrot-halmaz számítógépes vizsgálata után ismertetek két kísérletet, melyeket a fraktálok demonstrálására szeretnék használni: összegyűrt papírgalacsin törtdimenziójának meghatározása, illetve tojáshéj robbanásakor keletkező törési maradványok tulajdonságaiban megnyilvánuló fraktál bemutatása. A harmadik részben bemutatok néhány lehetőséget arra, hogy a fraktálok tanítása középiskolások számára hogyan végezhető el az ELTE Matematikai Múzeum demonstrációs eszközeinek segítségével

3 Tartalomjegyzék 1. Bevezetés A fraktálfogalom áttekintése A fraktálfogalom kialakulása Matematikai fraktálok Fraktáldimenziók meghatározása Fraktálokra vezető fizikai folyamatok A biológia fraktáljai Demonstrációs kísérletek a fraktálok bemutatására Az önhasonlóság bemutatása Mandelbrot-halmaz számítógépes szimulációja segítségével A Mandelbrot-halmaz matematikai alapjai A kis-, és a nagy felbontással ábrázolt halmazok tulajdonságai közötti különbségek bemutatása Az önhasonlóság vizsgálata Összegzés Papírgalacsinok fraktál-dimenziójának meghatározása A demonstrációs kísérlet bemutatása Papírgalacsin-dimenziók A kísérlet órai feldolgozása, feladatlap Tojáshéj robbanásakor kialakuló repedések fraktálszerkezetének bemutatása A kísérlethez használt eszközök, anyagok A kísérlet előkészítése, biztonságos kivitelezése A saját robbantásaim kísérleti eredményei A kísérlet órai feldolgozása, munkafüzet A Matematikai Múzeum demonstrációs eszközeinek bemutatása A fraktálok tanítása a középiskolában Összefoglalás...33 Irodalomjegyzék...34 Mellékletek...35

4 Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Dr. Horváth Ákosnak, az ELTE TTK Atomfizikai Tanszék egyetemi docensének. Hálásan köszönöm Dr. Vass Gábor Tanár Úrnak, (ELTE Szervetlen Kémiai Tanszék), aki a laboratóriumban és a kísérleteknél nyújtott nagyon sok segítséget. Köszönettel tartozom Dr. Tél Tamásnak, aki hasznos tanácsokkal látott el a dolgozat megírásának elején. A matematika szakterületről Holló- Szabó Ferencnek köszönöm ezúttal is a Fraktálok az iskolában II. című előadását, illetve Kabai Sándornak is köszönöm a Matematikai Múzeum bemutatását. Köszönöm továbbá családomnak, barátaimnak, és mindazoknak, akik a dolgozat elolvasásával világítottak rá az esetleges hibákra.

5 Az iskola dolga, hogy megtaníttassa velünk, hogyan kell tanulni, hogy felkeltse a tudás iránti étvágyunkat, hogy megtanítson bennünket a jól végzett munka örömére és az alkotás izgalmára, hogy megtanítson szeretni, amit csinálunk, és hogy segítsen megtalálni azt, amit szeretünk csinálni. (Szent-Györgyi Albert) 1. Bevezetés Nálam a tanítás családi indíttatású, hiszen egész kisgyermek koromban azt láttam, hogy Anyukám készül az óráira, segédanyagot készít, dekorációt tervez, szabadidős programokat szervez. Természetesen, amit lehetett, én is segítettem neki. Sokszor magával is vitt, így belenőttem az iskolába. Az általános iskolában még csak szerettem a fizikát, kémiát, de sajnos nem sok kísérletet láttunk, nem voltak anyagok hozzá. Aztán a középiskolában minden megváltozott! Nagyon jó tanáraim voltak, érdekes órákat tartottak, és ott már a gyakorlati része is érdekessé vált. Versenyekre jártunk, csapatban dolgoztunk. Jó eredményeket értünk el, sikerélményeink voltak. A mai napig visszajárok régi tanáromhoz, Somogyi Mihályhoz, és segítek neki ha kell, hogy a mostani tanítványival is hasonló eredményeket érhessen el. Sok lelkesedést merítettem a fizika szeretetéhez Dr. Gambár Katalin Tanárnőtől. Szeretném, ha egyszer én is valami hasonló módon nevelhetném, taníthatnám a rám bízott gimnazistákat. A Középiskolai kísérletek fraktálokkal című dolgozatomban össze szeretném foglalni a fraktálokról elemi szinten általam összegyűjtött ismereteket, aminek célja kicsit közelebb hozni ezt a fogalmat a hétköznapi emberekhez, valamint későbbi pedagógiai munkám során a diákokkal is megismertetni, esetleg meg is szerettetni ezeket a sokszor furcsának és elvontnak vélt dolgokat. Általánosságban azt tapasztalom, hogy ha valakinek felvetem ezt a témát, semmit nem tud róla, pedig hasznos és főleg szép dolgok kerülhetnek elő, ha kicsit jobban a mélyére nézünk a fraktálok témakörének. Célom elsősorban a középiskolában, így a különböző órák tananyagaiban történő felhasználási lehetőségek, illetve kísérletek bemutatása. A természetben rengeteg fraktál létezik, számos tudományágban találkozhatunk velük: például a biológiában, kémiában, fizikában, földtudományban. A matematikában sok geometriai objektum mutat fraktáltulajdonságot, míg a fizikában a növekedés, egyes mozgások, a törés, a villámlás, a hópelyhek kapcsán kerülhet elő ez a fogalom. A biológiában, az emberi szervezetben például az agy, az érrendszer kinézete, a tüdő és az idegsejt-hálózatok illusztrálják nekünk a fraktálokat, míg a kémiában az elektrokémia segítségével előállítható fémfákat lehet tanulmányozni, hiszen a fák koronájának alakjai is fraktálgeometriával írhatóak le. Fizika-kémia tanári szakirányos hallgatóként megpróbáltam összegyűjteni olyan kísérleteket, amelyek a fraktálokhoz kötődnek, és bármelyik középiskolás tanuló számára is szépek, érdekesek, s nem utolsó sorban hasznosak lehetnek. Célom, hogy ezekkel a dolgokkal színesítsem a tananyagot, felkeltsem az érdeklődést. Elvégeztem például egy olyan kísérletet, melyet szinte befektetés nélkül meg lehet valósítani az iskolában, mégis hasznos, és érdekes, szinte semmi nem kell hozzá, csak papír. Ez nem más, mint papírgalacsinok fraktáldimenziójának meghatározása. Sok gyerek érdeklődését felkeltheti egy ilyen kérdés: mekkora egy összegyűrt papír dimenziója? A témavezetőm készített továbbá egy programot, mellyel az egyik legismertebb fraktált, a Mandelbrot-halmazt lehet tanulmányozni. 1

6 Véleményem szerint ezek a dolgok a vizuális típusú tanulóknak jobban tetszenek, valamint ennek a témakörnek nincsen magolós része. A látvány kerül előtérbe, az esztétikai élmények is segítik a nehezebb matematikai fogalmak befogadását. A fraktálok középiskolai tananyagba helyezése során első sorban a matematika órák jönnek szóba. A tört-dimenziók a különböző geometriai formákat összekötik az analízis egyes területeivel (exponenciális függvény), valamint szemléletes szép példákat adnak a végtelen fogalmának egy felhasználására. Emellett el lehet mondani a természettudományok különféle területein előforduló fraktálok sokféleségét is. Leendő tanári pályám legelején szívesen tanítanám a fraktálokat pl. egy szakkör keretén belül: aki érdeklődőbb, így fakultatív módon tanulhat új, nem kötelező dolgokat törtdimenziókról, komplex számokról, nem hagyományos alakzatokról. Az általam elvégzett kísérletek egyszerűen értelmezhetőek, könnyen kivitelezhetőek, és a diákok így játszva ismerkedhetnek meg a fraktálok világával. Talán valamit még használhatnak is majd az így megszerzett többlettudásból későbbi, akár egyetemi tanulmányaik során. Sokat merítettem a Fraktálok az iskolában II. című matematikai speciális előadásból, mely a Matematikai Múzeummal szoros együttműködésben zajlott Holló- Szabó Ferenc oktatónak köszönhetően. Ezen a kurzuson is megpróbáltuk egy kicsit diákszemszögből áttekinteni a fraktálok témakörét. Dolgozatomban a fraktálokról szóló általánosabb bevezető, és néhány példa ismertetése után bemutatom majd azt a néhány kísérletet, melyet kidolgoztam és elvégeztem, valamint a középiskolai feldolgozásukra javaslatot tettem. Ezután leírom a Matematikai Múzeumi látogatáson szerzett élményeimet, tapasztalataimat, esetleges elképzeléseimet a múzeumi eszközök tanításáról, végül pedig egy bővebb, átfogóbb módszertani résszel zárom a dolgozatomat. 2

7 2. A fraktálfogalom áttekintése A fraktálok olyan objektumok, melyeknek, ha egyes részeit kinagyítjuk, akkor a nagyítás után kapott alakzatok hasonlóak, mint az eredeti alakzat, s ezért rendkívül bonyolultnak, összetettnek látszanak. Tulajdonképpen ezek olyan formák, amelyek valamilyen szempontból eltérnek a hagyományosan szabályos geometriai formáktól. Jellemző ezekre az alakzatokra az önhasonlóság: általában egy fraktál akkor önhasonló, ha a kinagyított része hasonló az eredeti alakzathoz A fraktálfogalom kialakulása Benoit B. Mandelbrot lengyel származású francia-amerikai matematikus volt az egyik legjelentősebb személy, aki fraktálgeometriával, és annak természeti alakzatokban és folyamatokban történő megjelenésével foglalkozott [1]. A róla elnevezett halmaz a mai napig a legtöbbet emlegetett fraktálok közé tartozik. A Mandelbrot-halmaz az első ábrán látható. E halmaznak a dolgozatomban egy egész fejezetet szenteltem. 1. ábra Mandelbrot-halmaz képe. 1 A fraktálok megismerésére az első jelentős lépés az volt, hogy Anglia partvonalait kezdték el tanulmányozni, és rájöttek, hogy ezt az öblökkel teli partvonalat is fraktálgeometriával lehet leírni matematikailag. Felosztották a partvonal görbéjét kis δ hosszakra, és megszámolták hány ilyennel lehet lefedni a partvonalat. Egyre kisebb mérési egységet, δ t, alkalmaztak. Ha tíz kilométeres egységekben mértek, akkor a tíz kilométernél kisebb görbületeket nem vették figyelembe, holott a görbe hosszát ezek is növelik. Ha kilométeres egységben mértek, akkor a méteres kis részeket hagyták figyelmen kívül, hiszen túl nagy skálán, túl nagy méterrúd alkalmazásával mérték meg a partvonalat. Ez így megy tovább egészen kis mérési egységekig, ez az önhasonlóság ezekig a kis szintekig folytatódik. Minél kisebb skálán végezzük a hosszúság mérését, annál nagyobb végeredményt kapunk (hossz = N δ δ). Ennek a növekedésnek az atomi méretek biztosan felső határt szabnak, hiszen a kis atomi méreteknél kisebb δ-kra nem lehet felosztani a partvonalat [2]. 2 1 Forrás: (letöltés ideje: december 17.) 3

8 Ez a két példa világosság teszi, hogy egy fraktál általában nagyon sok lépésen keresztül alakul ki, illetve állítható elő, a kapott alakzat pedig rendelkezik az önhasonlóság tulajdonságával, hiszen, ha például Anglia partvonalait nézzük, látszik, hogy ha jobban ránagyítunk, akkor a kép hasonló lesz, mint az eredeti partvonal képe. A Mandelbrothalmaznál is meg lehet figyelni, hogy egy adott részére ránagyítva, a kapott képen nagyon sok kisebb, ugyanolyan halmaz jelenik meg Matematikai fraktálok A fenti példák már illusztrálták, hogy a fraktálokat általában sok lépésben lehet előállítani. A következőkben néhány ilyen fraktált mutatok be. Egy egyenes szakaszon értelmezett fraktál, az úgynevezett Cantor-halmaz, melyet Georg Cantor ( ), orosz származású, ám Németországban élt matematikus után neveztek el. Ezt a halmazt a következőképpen készíthetjük el: Vegyünk egy egységnyi hosszúságú szakaszt, vegyük ki ezen szakasz középső harmadát. A második lépésben a megmaradó két 1/3 hosszú résznek is vegyük ki a középső harmadait, és így tovább a végtelenségig. A műveletet végtelen sokszor megismételve kapjuk a Cantor-halmazt. A 2. ábrán illusztrálom a folyamat első öt lépését egymás alá rajzolva. 2. ábra Cantor-halmaz első öt lépésének bemutatása. 2 Szemléletes példa lehet a diákok számára akármilyen természettudományos órán a következő fraktál, az ún. Koch-féle hópelyhet határoló görbe, a Koch-görbe. Ez egy geometriai alakzat, melyet Helge von Koch matematikus írt le az 1900-as évek elején. Képzeljük el a következőket: Vegyünk egy szakaszt. Osszuk három részre, a középső egyharmadára állítsunk egy 1/3 oldalú egyenlő oldalú háromszöget, és a két külső oldalát tartsuk csak meg. Ismételjük meg ezt nagyon sokszor. Az első három lépést mutatja az alábbi, 3. ábra. Végtelen lépés után kapjuk határesetben a Koch-görbét. 3 2 Forrás: (letöltés ideje: december 10.) 4

9 3. ábra A Koch-görbe első három lépésének illusztrálása. 3 Egy másik ismert matematikai fraktál a Sierpinszki-szőnyeg. Ezt a halmazt a következőképpen kaphatjuk meg: Vegyünk egy egységnyi oldalú négyzetet, és osszuk fel 3 3 db kis négyzetre. Ezek után vegyük ki a középső kis négyzetet, a többit pedig tartsuk meg. A második lépésben az előző kis négyzeteket is osszuk fel kilenc kis négyzetre az előző lépéshez hasonlóan. Ezekből is vegyük ki a középen lévő kisebb négyzetet. Az imént leírt műveletet nagyon sokszor elvégezve kapjuk az ún. Sierpinszki-szőnyeget. Mindig a kisebb négyzetekből kiindulva egyre sűrűbben kivágott formát kapunk, melyet a végtelenségig lehet folytatni. Ezt illusztrálja az első négy lépéssel a 4. ábra. 4. ábra Sierpinszki-szőnyeg készítésének első négy lépése. 4 Ha a Sierpinszki-szűrő esetén leírt kiinduló négyzetről áttérünk egy háromszög alakzatra, és hasonlóan végrehajtjuk az alakzat közepének eltávolítását, akkor a folyamat szintén önhasonló objektumra vezet. Most tehát egy egységnyi oldalú háromszöget vegyünk, s ebből vágjunk ki egy olyan kisebb háromszöget, melyet az eredeti háromszög oldalfelező pontjainak összekötésével kapunk. A négy kis háromszögből kivesszük a középsőt, a megmaradt három kisebb háromszögben is keressük meg az oldalfelező pontokat, s kössük őket össze. Így ezekből is lett egy-egy kisebb háromszögünk, ezzel is el lehet végezni a fenti műveletet. Egyre több ilyen kis háromszögben összekötve az oldalfelező pontokat, az ún. Sierpinszki-háromszöghöz jutunk. Ennek első négy lépését az 5. ábra mutatja Forrás: (letöltés ideje: november 13.) 4 Forrás: (letöltés ideje: november 13.) 5

10 5. ábra Sierpinszki-háromszög konstrukciójának első négy lépése Fraktáldimenziók meghatározása A hétköznapi geometriai objektumok térbeli dimenziója az egy, kettő, vagy három értékeket veheti fel: vannak egydimenziós alakzatok (pl.: egy vonal), kétdimenziós alakzatok: melyeknek van területük, (pl.: egy kiszínezett négyzet), és háromdimenziósak, melyeknek pedig térfogatuk van: tömör vagy üreges testek (pl.: egy kocka). A fraktálok tört dimenziós alakzatok. Ezeket a különleges alakzatokat kvantitatívan is jellemezhetjük egy skalárral, az ún. Fraktál-dimenzióval, ami egy tört szám. A szó latin jelentése is erre utal, a fractus szóból ered, jelentése törés, tört rész. Ezt a tört dimenziót meg lehet határozni például az úgynevezett dobozszámlálási módszerrel. Ehhez fedjük be a fraktál alakzatunkat egy ε élhosszúságú, és adott d dimenziójú kockákkal! A d dimenzió az a hagyományos térdimenzió, amiben az alakzatunkat definiáltuk, ezt nevezik beágyazási dimenziónak. A lefedéshez szükséges ilyen kockák minimális száma legyen N(ε). A fraktáldimenziót ekkor a következőképpen definiálhatjuk: ), (1) ha minden ε esetén érvényes a fenti képlet egy adott D szám felhasználásával. Ez azt is jelenti, hogy ε << 1 esetén, azaz ha ε a 0-hoz tart, akkor is igaz az összefüggés. Az összefüggésben szereplő D paraméter a fraktál tört-dimenziója. Amennyiben D<d, azaz D kisebb az adott alakzat d beágyazási dimenziójánál, akkor hívjuk az alakzatot fraktálnak. A tört-dimenzió meghatározása a következőképpen történik. Ha lnn-et ábrázoljuk ln(1/ε) függvényében, akkor egy D meredekségű egyenest fogunk kapni, az (1) egyenletnek megfelelően. Matematika fraktálok esetén végtelen lépésben jutunk el az adott fraktálig. Ebben az ideális esetben a fenti egyenes bármilyen nagy 1/ ε esetén lineáris marad. Általánosságban egy általános fraktál dimenzióját meg lehet határozni dobozszámlálási módszerrel. Ha az (1) egyenlet fennáll, akkor egy tetszőleges alakzatot úgy készítünk el, hogy minden lépésben k d részre, azaz lineárisan k részre osztjuk, és ezt a d beágyazási dimenzió szerint alkalmazzuk, majd kivágunk belőle néhány így kapott részt, úgy hogy meghagyunk N ilyen részt. Ekkor a D dimenzió az alábbi módon számolható: Az előbbi definícióval természetesen egy hagyományos geometriai objektum dimenzióját is meg lehet adni: így tehát egy gömbre 3, egy vonalra 1 lesz a dimenzió, ha minden kis részt megtartunk az adott halmazban. Ezzel a módszerrel a fent említett matematikai fraktáloknak is meg lehet határozni a dimenzióját, így a tört dimenzió számolási módjának ismeretében a következő eredményekhez jutunk: (2) 5 Forrás: (letöltés ideje: december 10.) 6

11 A Koch-görbénél a megtartott önhasonló részek száma egy lépés elvégzése után 4, valamint az oldalt minden lépésben harmadrészére csökkentettük, így D= =1,26 A Cantor-halmaz esetén mindig két kisebb vonalat tartunk meg a három részre osztott szakaszok közül, így: D= =0,63 A Sierpinszki-háromszög dimenzióját is kiszámolhatjuk: a megmaradó háromszögek száma három, a nagy háromszög oldala pedig mindig a belőle létrejövőének a fele lesz (a felezőpontok miatt), innen: D= =1,59 Ezen általánosabb matematikai példákon szerettem volna szemléltetni a fraktálok előállításának egy módját, illetve egy adott fraktál tört dimenziójának meghatározását. A továbbiakban néhány, a természetben előforduló fraktált sorolok fel, illetve mutatok be Fraktálokra vezető fizikai folyamatok A természetben is sokszor előállnak olyan alakzatok, amelyek önhasonlóak valamilyen értelemben. Egyik fontos különbség az eddigi matematikai konstrukciókhoz képest, hogy a méretskála nem változtatható tetszőlegesen kicsire vagy nagyra. A fizikai fraktálok esetén elmondható, hogy ha túlságosan kicsire csökkentjük a méretskálát, és lemegyünk az atomi, molekuláris szintre (kis ε), akkor nem áll fenn az (1) tulajdonság, itt már nem tapasztalunk önhasonlóságot, ezen a szinten már a kvantummechanika érvényesül. Általánosan elfogadott feltétel, hogy legalább két nagyságrenden keresztül kell teljesülnie az lnn ln(1/ ) görbe lineáris tulajdonságának. Így az ε-nak csak egy behatárolt értékkészletére áll fent a linearitás. Amennyiben ez a két nagyságrend nincs meg, akkor az adott objektumot nem tekintjük fraktálnak. Ahol ez a lineáris viselkedés teljesül, ott a rendszer fraktál jellegűnek tekinthető. Itt lesz önhasonló, azaz kis részletei nagyítás után ugyanolyanok lesznek, mint nagyobb rajzolatai. Fraktálra vezető fizikai folyamat lehet például a törés, vagy egy repedés kialakulása is. Egy törési kép darabjai, vagy repedéshálózat-szakaszai önhasonlóak lehetnek, ami azt jelenti, hogy ha az egész felületet megnézzük melyen a repedéshálózat kialakult, majd egy kisebb részét kinagyítjuk, akkor a kapott képen szintén kisebb egymásból kiinduló repedések lesznek, meghatározott arányok betartásával, hasonlóan az eredeti repedési felülethez. Ezek alapján az irodalomban bemutatott cikkek kimutatták, hogy bizonyos esetekben egy törés vagy repedés folyamán a törési felület képe fraktálnak tekinthető. A kísérletek azt mutatják, hogy egy anyag törése az adott anyag minőségétől, belső rendezetlenségétől és a terhelés módjától, illetve nagyságától függ [4]. A terhelés mértékétől függően többféle törésről beszélhetünk. Ha a terhelés nagyobb, mint az adott heterogén anyag szakítószilárdsága (ez az anyagra jellemző érték), akkor a törés viszonylag gyorsan lezajlik. Ha a terhelés kisebb a szakítószilárdságnál, akkor a törés véges idő alatt következik be. Ezt nevezzük szubkritikus törésnek. Ha a szubkritikus terhelés nagysága állandó, akkor kúszásról, ha nagysága változó, akkor pedig kifáradásról beszélhetünk. Tapasztalati úton megállapítható, hogy az anyag gyorsabban tönkremegy, ha változó terhelésnek van kitéve. A változó terhelés sebességének szempontjából szintén két szintén esetről beszélhetünk: kvázisztatikus terheléskor annyira lassú a terhelés változásának mértéke, hogy a maximális értékét közel egyensúlyi állapotokon keresztül éri el, így ilyen terheléskor a testen egy domináns repedés keletkezik, két darabra törik szét. A másik eset a fragmentáció jelensége, amikor rövid időn belül nagy energiaközlés történik az anyagon [4]. Ennek következtében több, gyorsan növekvő repedés jön létre, s így 7

12 az adott test sok, kisebb darabra esik szét. Ebben az esetben várható a fraktál mintázatok megjelenése. A fragmentációs törések után kialakuló repedéshálózat optikai vizsgálatával foglalkozott egy kísérletben M. Davydova és D. Davydov [3]. Azt tanulmányozták, hogy egy éles, piramis alakú fém tű hegyének segítségével nagy nyomással megrepesztett üveglap repedéshálózatáról hogyan lehetne eldönteni, hogy fraktál-e. A repedések között kialakult területetek nagyságát mérték meg digitalizált felvétel alapján, és ezen területek kumulatív eloszlásfüggvényét ábrázolták logaritmikus skálán. Az F(A) kumulatív eloszlásfüggvény azt adja meg, hogy hány darab fragmens (terület) van, melynek nagysága az adott A értéknél kisebb, vagy egyenlő vele. A függőleges tengelyen az eloszlásfüggvény logaritmusa szerepel, a vízszintesen a területek logaritmusa. Ez egy egyenes lett, amiből az következik, hogy a gyakoriságfüggvény hatványfüggvény. Az egyenes hatványfüggvény hatványkitevőjéből méréseik alapján a D tört-dimenzió: 1,59<D<1,83 [3]. Ebben a kísérletben tehát a törtdimenzió számolást nem a fent bemutatott dobozszámlálási-módszerrel végezték, hanem eloszlásfüggvény segítségével számolták. A fraktálokra vezető fizikai folyamatok közé soroljuk még a villámok-, illetve különböző kisülések pillanatképeit. Egy tanulmányban J. Sanudo és munkatársai villámokat modelleztek, és sikerült fraktáldimenziót meghatározniuk. A modellben egy kockában követtek három dimenzióban egy dielektrikum-összeomlást, mely a kocka alján és tetején lévő potenciálok különbsége miatt (legfelül 0, legalul 1 volt a potenciál) a vele szomszédos pontokon terjedt. A dielektrikum összeomlás egy olyan jelenség, mely akkor alakul ki, ha egy nem vezető dielektrikum, ami dipólusokból áll, reagál külső elektromos térre. Az anyag nagy elektromos térerősség hatására vezetővé válik, így az elektronok képesek haladni benne, azaz áram tud folyni. Ez akkor következik be, amikor a térerősség (potenciál-különbség) nagyobb, mint egy küszöbérték, és a molekula elektronjaira már elég nagy erő hat ahhoz, hogy leváljanak, és vezetni tudjanak. Az elektromos tér hatására a kocka tetején a nulla potenciálból egy kis pontban elindul egy ilyen dielektrikum összeomlás, mely a vele szomszédos pontokon a potenciálkülönbségek miatt fürtszerűen terjedni fog. Minden egyes szomszédos pont, mely a fürthöz kapcsolódik, a fürt részeként már 0 potenciállal fog rendelkezni. A Laplace-egyenlettel adott peremfeltételek mellett megadható a potenciál eloszlása a kockában. Az, hogy az így terjedő, növekvő fürt-szerű objektum merre terjed, azaz melyik szomszédos pontja fog csatlakozni hozzá, egy valószínűségi egyenlettel adható meg. Ez az egyenlet tartalmazza a potenciálját az adott pontnak, hatványkitevőként pedig egy η-val jelölt paraméter szerepel benne, mely az adott pontban lévő elektromos mező, és a dielektrikum abban a pontban történő lehetséges összeomlása közötti valószínűséget tartalmazza. Az így növekvő fürtről, villámalakról készült képek alapján megállapították, hogy a villámalakhoz már hány pont csatlakozott. Két szomszédos pont távolsága egységnyi, ezen távolságok négyzeteinek összegéből gyököt vonva, kaptak egy-egy számot. Ez a szám egy karakterisztikus távolság. Ezeknek a karakterisztikus távolságoknak a logaritmusait a fürthöz kapcsolódó pontok számának logaritmusainak függvényében ábrázolták [5]. Ekkor különböző η paraméterek esetén különböző egyeneseket kaptak. Az egyenesek meredekségeiből törtdimenziókat határoztak meg. Egy másik ilyen kísérletben Tsonis felvételei alapján a törtdimenzió D=1,34-nek adódott. Ez éppen az előző kísérletibeli η=6-nak felel meg. A villámok esetén is tapasztalható önhasonlóság: egy egész villám képe hasonló ahhoz a képhez, amit akkor látunk, ha csak a villám egy kisebb ágát figyeljük. Abból is több kisebb mellékágak alakulnak ki azonos arányokban (önhasonlóan), akárcsak az egész nagy villám esetén. A kisebből pedig megint csak ágaznak el újabb villámalakok, és így tovább. A 6. ábra egy villám alakját mutatja. 8

13 6. ábra Egy természetben előforduló önhasonló alakzat, a villám. 6 A fraktálok a csillagászatban is megfigyelhetőek. Az Bika csillagképben lévő csillagközi molekuláris köd tömegeloszlása is fraktálként írható le. A csillagképről készített infravörös szintvonalas elnyelődési felvételt T. Zimmermann és J. Stutzki. Az elnyelődési képen sötétebb színű foltok vannak, ezek jelzik, hogy ott sok tömeg található, nagyobb az elnyelődés. A harmadik (mélységi) dimenziót a pixel Doopler-spektrumából határozták meg a vöröseltolódás alapján, a Gauss-görbe középpontjához tartozó hullámhosszból a Hubbletörvény alapján számolt sebességérték felhasználásával. Lefedték az elnyelődési képet kis dobozokkal, majd többféle pixelméretnél megszámolták, hogy egy kisebb sötétebb foltot hány doboz fed le. Ezen dobozok számát logaritmikus skálán ábrázolták a dobozok oldalhosszúság-értékeinek reciprokainak függvényében. A logaritmikus ábrázolás során egy egyenest kaptak, melynek meredeksége adta a D tört-dimenzióját a csillagközi köd tömegeloszlásának. Kísérletük során D=2,81-et kaptak eredményül. [6]. Azt vették észre, hogy a dimenzió értéke összhangban van egy speciálisan képzett Cantor-por nevet viselő fraktál dimenziójával, melynek szintén D=2,81 az értéke. Ez a következőképpen határozható meg. Vegyünk egy egységnyi oldalú kockát, majd osszuk fel nyolc fele akkora oldalélű kisebb kockára, azaz minden oldalát felezzük meg. A kockában eredetileg egységi térfogatú anyag volt. Ezt az anyagot most osszuk szét úgy, hogy a létrejövő nyolc kockából csak hét kisebb kockába teszünk bele belőle véletlenszámmal jellemzett nagyságú anyagot, és egyet üresen hagyunk. A kisebb kockákat is osszuk fel egyenként nyolc még kisebbre. Ezekbe is osszuk szét az anyagot úgy, hogy hétbe teszünk, egybe nem. Ez így folytatható a végtelenségig. Ennek a fraktálnak a tört dimenziója: D=ln7/ln2=2,81 -mivel mindig hét kockát tartunk meg, az oldalakat pedig felezzük a következő nyolc kocka kialakításakor [6]. Megvizsgáltál továbbá az egyes pixelek tömegeinek gyakoriság eloszlását. Ezt ábrázolva logaritmikus skálán (a függőleges tengelyen tehát a tömegek eloszlásának logaritmusa, a vízszintesen pedig a tömegük logaritmusa található), egy hatványfüggvényt kaptak. A függvény hatványkitevőjéből a tört-dimenzióra D=1,73 adódott. További érdekes, fraktál kialakulására alkalmas fizikai folyamat, hogy ha egy kondenzátor lemezei közé gázt vezetünk, majd elég nagy feszültséget kapcsolunk rá, akkor a lemezek között elektronlavina indul meg, azaz az elektronok száma az elektromos tér hatására a negatív fegyverzettől a pozitív felé haladva lavinaszerűen növekszik. Az egyre több elektronütközésből álló rendszer képe, azaz trajektóriája a kondenzátor lemezei között szintén fraktálnak tekinthető [7]. Egy szimulációban Donkó Z. és Pócsik I. elektronlavinát szimuláltak. Meghatározták az elektronok trajektóriáját a lemezek között, majd a két lemez közötti teret felosztották kis r oldalhosszúságú dobozokra. Azoknak a dobozoknak a számát, amelyeket a trajektória érint, logaritmikus skálán ábrázolták ezen dobozok r oldalhosszainak függvényében. Egy egyenest kaptak, melynek meredeksége a fraktáldimenzió, modellkísérletük szerint ez D=1,37 lett [7]. 6 Forrás: (letöltés ideje: december 17.) 9

14 2.5. A biológia fraktáljai Az emberi testben az érhálózatok kinézete is fraktálszerkezetet mutat. Egy adott eret kiválasztva, majd arra ránagyítva, azt látjuk, hogy abból is jönnek ki kisebb erek ugyanúgy, mint ahogyan az az ér is kijön egy másikból. A 7. ábra az agy érhálózatát mutatja. Mivel a vérkeringés szállítja a sejtjeink működéséhez nélkülözhetetlen oxigént és a tápanyagokat, valamint felelős a salakanyagok elszállításáért, ezért a vérereknek minden élő sejt közelébe el kell jutnia. Ennek módja, hogy a szív bal kamrájából kiinduló ún. fő verőér egyre kisebb erekre ágazik, ily módon hálózva be az egész testet. Egy számítógépes kísérletben az emberi érrendszer kinézetét három dimenzióban modellezte Dévényi Patrícia az ún. L-system 4 nevű szoftverrel. A program a szülőerek és a belőlük kialakuló leányerek sugarainak, hosszainak, valamint elágazási szögeinek vizsgálatával modellezte az emberi érrendszer kinézetét, amely egy igen összetett fraktálszerkezetet mutat [8]. Ez a program egymás után sokszor ismétlődő lépésekkel képes modellezni az érrendszer fraktálszerű, szerteágazó felépítését. A program működése a paraméteres Lindenmayer- rendszerekre (L-systems) épül. Illusztrálható a modellel, hogy egy szülőér két leányérré ágazik el, melyek újabb két kisebb érré tudnak elágazni, és így tovább. Ritka az az eset, amikor kettőnél több érré ágazik el egy adott ér. Paraméterként szerepel az ún. bifurkációs index, mely két leányér átmérőjének vagy sugarának az arányát adja meg. További paraméterként kell megadni a szülőér és a leányér által bezárt szögeket, illetve hosszaik arányát is. A program ezen hossz-arányok és szög-arányok alapján rajzolja ki a fraktálszerkezetű érrendszert az ún. Lindenmayer-nyelvtan segítségével, amely a rajzolás pontos menetének algoritmusát tartalmazza. 7. ábra Az agy érhálózatának képe, ami szintén fraktálszerű alakzat. 7 A természetben a falevelek erezetei, illetve maguk a fák is fraktáltulajdonságot mutatnak az önhasonlóságukból kifolyólag [9]. Nézzünk meg egy falevelet, majd egy kis részletére nagyítsunk rá egyre jobban! Azt látjuk, hogy a kinagyított ábrán lévő erezet hasonló az eredeti levélen lévő erezethez, az elágazási szögük is körülbelül megegyezik. Ezt mutatja a 8. ábra. 8. ábra A levelek önhasonlóságát szemléltető ábra. 8 8 Forrás: (letöltés ideje: december 4.) 7 Forrás: (letöltés ideje: december 4.) 10

15 Ebből, a 8. ábrán lévő illusztrációból is látszik, hogy mennyire előjön az önhasonlóság, a kinagyított rész mintázata hasonló az eredeti levél mintázatához. Ugyanígy van ez a fák ágai esetében is: Ha csak egy faágat nézünk, akkor is feltűnik, hogy azt leszakítva, az abból kinövő ágak elrendezése pont olyan, mint az egész fa ágaiból adódó szerkezet [9]. 11

16 3. Demonstrációs kísérletek a fraktálok bemutatására 3.1. Az önhasonlóság bemutatása Mandelbrot-halmaz számítógépes szimulációja segítségével Ebben a fejezetben a Mandelbrot-halmazzal fogok foglalkozni. Erre a célra egy, a témavezetőm által írt halmaznézegető programot (NP) használtam. Ez a program kirajzolja a halmazt, lehet benne nagyítani, lemenni egészen kis egységekig, illetve le lehet olvasni a kurzor koordinátáit is. A program alapvetően 200-as iterációval rajzolja ki a komplex számsíkon a halmazt a következő fejezetben leírt matematikai definíció felhasználásával. Az iteráció a Mandelbrot-halmaz rajzoló programban az ismétlődő tevékenységek számát adja meg. Természetesen az iteráció értéke növelhető a programban, ám nagyobb iteráció esetén több ideig tart kirajzolni a halmazt A Mandelbrot-halmaz matematikai alapjai A Mandelbrot-halmaz nem más, mint a komplex számsík azon C pontjainak a helye, melyekre a Z 0 =0, Z n+1 =(Z n ) 2 +C -sorozat korlátos. Az egyenletben C a komplex számsík adott pontjának megfelelő komplex szám (azaz a+ib, ahol i a komplex egységelem, a és b pedig koordináták). Mivel komplex számsíkról beszélünk, ezért a függőleges tengelyt képzetes (Im) tengelynek, a vízszintes tengelyt pedig valós tengelynek (Re), nevezzük. A programban a koordináták x és y jelölést kaptak. A halmaz két fő részből áll: egy törzsből, mely a jobb oldali része, és egy fejből, mely pedig a halmaz bal oldalán található, az origótól kisebb, mint x=0,7552 távolságra. A Mandelbrot-halmaz, ami teljes egészében az 1. ábrán látható, egyik fő tulajdonsága, hogy önhasonló. Jelen esetben ez azt jelenti, hogy a nagy halmaz központi fekete része körül rengeteg kisebb, ugyanolyan halmazfej helyezkedik el. Ezekre ránagyítva, körülöttük újabb kis halmazfejek találhatóak. Ez így folytatódik egészen kis nagyságrendekig. Az alábbiakban négy ilyen önhasonló részt mutatok be a rajzoló-program segítségével. Ezek egymástól az x, y és a Δx (szélesség) koordinátákban különböznek. Ezek a koordináták a programból történtek leolvasásra a nagyítást követően. A képeket rendre az A, B, C és D betűkkel jelöltem, melyek egymásból következnek. A képeken a piros négyzetek jelzik, hogy annak az adott területnek a nagyított változata lesz a következő kép. A zöld körök a halmazok fejeit mutatják, melyeknek az önhasonlóságát vizsgáltam. Amelyik fej be van karikázva az ábrán, ahhoz lesz hasonló a következő, 9. ábrán lévő halmazfej. A C kép kirajzolásakor az iteráció 1000, a D kép kirajzolásakor 2000 volt a jobb érzékelhetőség kedvéért. x y Δx -0,6102-0, ,2658 A -0,5460-0, ,1329 B -0, , , C -0, , , D 1. táblázat Egymásból következő önhasonló halmazfejek koordinátái a Mandelbrot-halmaz nézegető programban. 12

17 A B C D 9. ábra Különböző méretű, egymáshoz önhasonló halmazrészek a Mandelbrot-halmazban. A piros négyszögek azt a területet jelzik, melyet nagyítva a következő ábrán látunk. Zöld kör jelöli az egyre kisebb egymáshoz hasonló kis fej alakú objektumokat. A kisebb halmazok egy, az ábrákon is látható, fehér villámmintázat mentén helyezkednek el, legtöbbször e villámalakok elágazásaiban vannak. Ezen fehér villámok jellemzője, hogy mentükön összefüggő a fekete halmaz, tehát itt a fennt említett definíciós számsorozat korlátos A kis-, és a nagy felbontással ábrázolt halmazok tulajdonságai közötti különbségek bemutatása Az alábbi ábrán bal oldalt látható a kis felbontású, 200-as iterációval kirajzolt halmaz, jobb oldalt pedig a nagy felbontással, és 800-as iterációval kirajzolt halmaz. A felbontás azt mutatja meg, hogy egy inchen (2.54 cm) hány darab képpontot jelenít meg a program. Látszik a 10. ábrán, hogy a halmaz körüli kisebb halmazokat nagy felbontással mennyire szebben kirajzolja. 13

18 10. ábra x=-0,1336, y=-0,9825, x=0, paraméterekkel jellemzett területen látható része a teljes Mandelbrot-halmaznak két fajta kirajzolás mellett, bal panel: kis felbontás, maximális iteráció=200, futási idő=24,4mp; jobb panel: nagy felbontás, maximális iteráció=2000, futási idő=262 mp Az önhasonlóság vizsgálata Megfigyelhető, hogy a halmaz nyaka mentén vannak kisebb halmazfejek, melyek a nyaktól távolodva egyre nagyobbak, és teljesen hasonlóak egymáshoz. Ezt mutatja be a 11. ábra. 11. ábra x=-1,557299, y=0, , x=1, terület egy része, ahol egyre növekvő sugarú halmazfejek láthatóak a nyaktól távolodva. A kurzorral a kis fejek bal szélére és jobb szélére kattintva leolvasható a kis fejek átmérője. A kisebb halmazfejek sugarait r-el jelöltem. A 2. táblázatban az így kapott origók koordinátáit és a sugarakat mutatom be, valamint a kis fejek középpontjainak szögét a komplex sík origójához képest. x y Átmérő Szög ( o ) r ,509 0,564 0, ,0 40,8-0,627 0,427 0, ,3 20,4-0,673 0,339 0, ,7 13,5-0,698 0,280 0, ,8 9,0-0,713 0,239 0, ,5 6,4 2. táblázat A halmaz nyakánál lévő kis fejek méreteit bemutató táblázat. Az alábbi, 12. ábrán a nyak körüli halmazfejek sugarainak ezerszeresei láthatóak az origótól mért szögek függvényében. Az sugarak ezerszeres ábrázolása az ábrázolás átláthatósága miatt volt szükséges. 14

19 Origótól mért szöge y = 6,9735x 0,5215 R 2 = 0, ,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 Sugarak ezerszerese 12. ábra A kis halmazfejek irányának origóhoz képest mért szögei a halmazfejek sugarainak függvényében hatványfüggvényt mutat. Az 1. ábrán látható teljes Mandelbrot-halmazon, és a rajzoló program által kirajzolt halmazon is előforduló kisebb teljesen hasonló alakzatokban is észrevehető, hogy a halmaz feje és a teste között van egy majdnem összeérő szoros kinézetű rész. Kérdés, hogy ez csak a képek kirajzolásának pontatlansága miatt nem ér össze, vagy valóban a két végpont közötti fesztávolság egyre pontosabb kirajzoláskor egy véges, nem nulla értékhez tart. Ezt illusztrálja nagy felbontás mellett az alábbi három ábra az x=-0, , y=0,75, és x=0, koordinátákkal leírt területen. Az iterációk rendre: 200, 1600 és ábra Egyre csökkenő fesztávolságok a maximális iteráció növelése esetén egy adott koordinátákkal jellemzett területen. A maximális iteráció 200, 1600, 2000 rendre a bal paneltől jobb felé haladva. Azt, hogy a fesztávolság nagysága a maximális iteráció növekedésével kis mértékben ugyan, de csökken, szintén a koordináták leolvasásával mutatom be. Az x koordináták különbségét mutatja az alábbi táblázat az iterációk függvényében. Ezeket úgy kaphatjuk meg, hogy az érintkezési vonal (fesztávolság) egyik végének x koordinátájából kivonjuk a másik végének x koordinátáját. A fesztávolság a koordináták különbsége lesz tehát. Ezeket az különbségeket, és az iterációk értékét mutatja a 3. táblázat. 15

20 Iteráció Fesztávolság 200 0, , , , , , , , , , táblázat Az összeszűkülő nyak fesztávolságának adatai a maximális iterációk függvényében. Az alábbi, 14. ábrán a fesztávolságok maximális iteráció-függése látható grafikusan is bemutatva. 0,025 0,02 y = 0,2965x -0,5095 R 2 = 0,6465 0,015 0,01 y = 0,0183e -0,0006x R 2 = 0,6577 0, ábra A fesztávolságok a maximális iteráció függvényében csökkenő tendenciát mutatnak. Ezt hatványfüggvénnyel és exponenciális függvénnyel is illusztráltam Összegzés A diákok is tudják majd használni ezt a programot: saját felfedezéseket tehetnek a halmazt illetően, különböző összefüggésekre bukkanhatnak a segítségével, vizsgálni tudják az önhasonlóságot. A fenti három kérdésfelvetés egy-egy példa arra, hogy az önhasonlóságot hogyan lehet számszerűen megvizsgálni, de ezektől eltérő feladatokat is elvégezhetnek. Akár a fent leírt kísérleteket is elvégezhetik, de elég, ha véletlenszerűen ránagyítanak egy adott részre, és vizsgálgatják, találhatnak valami különlegeset abban az adott tartományban, akárcsak egy kisebb halmazt, amit az eredeti nagyítás nélküli módban nem látni, vagy egy villámalakot, aminek furcsa alakja lévén elgondolkodik az ember, hogy vajon mért pont abban az irányban vannak rajta a kisebb, és rajtuk a még kisebb halmazok! Mi történne, ha az iteráció végtelen lenne? Hasonló kérdéseken lehet elgondolkodtatni egy-egy diákot, aki a halmazról készült saját készítésű képei segítségével így játékosan ismerheti meg ezt a halmazt, s vele együtt a komplex számsíkot. 16

21 3.2. Papírgalacsinok fraktál-dimenziójának meghatározása A demonstrációs kísérlet bemutatása Ebben a fejezetben be szeretném látni, hogy különböző tömegű, adott anyagi minőségű papírokat kis gömbökké, galacsinokká gyúrva, ezen gömbök sugarait és a papírok tömegeit megmérve, az adatok természetes alapú logaritmusai között egyenes arányosság áll fent. Ez, ha tényleg fennáll, teljesen analóg a bevezető részben bemutatott tulajdonsággal, amivel a fizikában előforduló fraktálok is rendelkeznek. Az egyenes meredekségéből az analógia alapján a kis galacsinok tört-dimenziója megadható [10]. Egy kis galacsin beágyazási dimenziója 3. A fraktálra vezető fizikai folyamat jelen esetben a galacsin meggyúrásának folyamata, ekkor egy adott minőségű papírból készült papírgalacsinsorozatnak lesz tört-dimenziója. Általában véve tudjuk, hogy egy térbeli alakzat térfogata arányos annak valamilyen lineáris méretének (l) egy adott hatványával (például a gömb térfogata a sugár harmadik hatványával). Mivel tudjuk azt is, hogy a tömeg pedig -adott sűrűségű anyag esetén- a térfogattal arányos, ezért adódik, hogy a térfogat mellett a tömeg is ugyanúgy arányos ezen lineáris méret azonos hatványával. Jelöljük a lineáris kiterjedést l-el, valamint jelölje M a tömeget. Ekkor a korábbi fejezetekben leírtak, és a feltevésünk alapján, miszerint a papírgalacsin gyúrása egy fraktálra vezető folyamat: M~l D. Az egyre nagyobb galacsinok egyre jobban kitöltik a teret a galacsin mélyén, ezért a galacsingyúrás geometriailag egészen más, mint egy meggyúrt hógolyó (ahol a teret minden sugarú golyóban ugyanúgy, és teljesen kitölti az anyag), a D nem feltétlen lesz hárommal egyenlő. A galacsinok dimenziójának vizsgálatához vegyük az M~l D összefüggés minkét oldalának természetes alapú logaritmusát. Ekkor a következő egyenlethez jutunk: lnm=dlnl. A D dimenzió tehát ezen logaritmuslogaritmus ábra meredekségéből számolható ebben az esetben is Papírgalacsin-dimenziók A lineáris méret ebben a kísérletben legyen a kis papírgömbök sugara. Az általam használt különböző tömegű papírdarabok analitikai mérleggel (Precisa 205A SuperBal-Series, egyedi szám: 00120) mért tömegeit és a tolómérővel mért sugarakat tartalmazzák a táblázatok. Az átmérőket háromszor mértem meg a pontosabb mérés érdekében, ezek átlagának fele a sugár értéke. Ötféle színű papírt használtam a kísérlet során a jó megkülönböztethetőség céljából. Azért, hogy belássam, hogy a galacsin összegyúrása nem függ a kísérletet végző személytől, illetve az ő gyúrási módjától, az öt féle papírból három félét más-más hallgatók gyúrtak össze. A nagy A4-es papírt félbe vágjuk, majd a felet is félbe, a kis negyedet ismét félbe és így tovább, egészen ameddig tudjuk. A tömegek logaritmusait a sugarak logaritmusainak függvényében a Grapher nevű programmal ábrázolva mindegyik papírfélére kapunk egy-egy egyenest, melynek meredeksége megadja a tört-dimenziót. Az egyenestől való kis eltérések oka egyrészről mérési hibának tudhatóak be: a tolómérő használata lehetett pontatlan. Másrészről a gyúrás statisztikus ingadozásának is nagy szerepe van benne. Az alábbi, 15. ábrán a kísérletben összegyűrt papírgalacsinok láthatóak szín, és növekvő méret szerint. 17

22 15. ábra A kísérletben használt összegyűrt galacsinok sorba rendezve. Az öt mérés közül csak a sárga színű papír esetében mutatom be az adatokat tartalmazó táblázatot, és az azokból illesztett egyenest, a többi négy mérés részletei a mellékletben találhatóak. A sárga színű papír esetén mért adatok: 1. átmérő 2. átmérő 3. átmérő Átmérők átlaga Tömeg (g) Tömeg logaritmusa Sugár 2,5205 0,9245 2,65 2,62 2,65 2,64 1,32 0,28 1,2324 0,2090 1,55 1,53 1,55 1,54 0,77-0,26 0,6425-0,4424 1,98 2,05 2,00 2,01 1,01 0,00 0,3222-1,1326 0,71 0,70 0,66 0,69 0,35-1,06 0,1677-1,7856 0,72 0,66 0,66 0,68 0,34-1,08 0,0831-2,4877 0,40 0,42 0,40 0,41 0,20-1,59 0,0393-3,2365 0,31 0,30 0,30 0,30 0,15-1,89 0,0207-3,8776 0,28 0,26 0,31 0,28 0,14-1,95 0,0104-4,5659 0,26 0,20 0,21 0,22 0,11-2,19 0,0068-4,9908 0,10 0,10 0,11 0,10 0,05-2,96 4.táblázat A sárga papírból készült galacsinok adatai. Sugár logaritmusa Tömeg logaritmusa Y = * X Sugár logaritmusa A dimenziók értékeit a különböző papírok esetén az alábbi, 5. táblázat tartalmazza. 18

23 sárga narancssárga lila kék zöld D 1.9± ± ± ± ± táblázat A különböző színű papírokból készült galacsinok tört-dimenziók értékei. A színek nem jelentenek különbséget a papír anyagában, de más ember gyúrta őket A kísérlet órai feldolgozása, feladatlap A papírgömbök dimenziójának meghatározására egy középiskolai órán is lehetőség van, hiszen nem jár sok anyagbefektetéssel. A kísérlethez felhasznált eszközök: papírdarabok, tolómérő és mérleg. Az alábbiakban egy tíz pontból álló vázlatot mutatok be, melyet felhasználva a diákok is el tudják végezni a kísérletet. 1. Vegyünk egy tetszőleges papírdarabot, majd vágjuk szét különböző nagyságú részekre! Először félbe, majd negyedbe, nyolcadba, tizenhatodba, akár még harminckettedbe is. 2. Gyúrjuk össze ezeket olyan erővel, amilyennel csak tudjuk! 3. Mérjük meg a kapott gömbök átmérőjét legalább három különböző helyzetben a tolómérővel, majd a kapott adatokat átlagoljuk! Ezen átlagnak vegyük a felét, ez lesz a sugár. 4. Mérjük meg a papírok tömegét egy analitikai mérleg segítségével! 5. Vegyük minden galacsin esetén a sugarak és a tömegek természetes alapú logaritmusait! 6. A 3-as, 4-es, és 5-ös pontban kapott adatokat (tömegek, tömegek logaritmusa, átmérők, átmérők átlaga, sugarak, sugarak logaritmusa) írjuk be egy üres táblázatba! A sorok száma természetesen az azonos papírból készült galacsinok számával arányosan növelhető. Tömeg (g) Tömeg logaritmusa 1. átmérő 2. átmérő 3. átmérő Átmérők átlaga Sugár Sugár logaritmusa 6. táblázat A kitöltendő táblázat diákoknak a galacsinos méréshez. 7. Ábrázoljuk a kapott adatokat tetszőleges programmal, vagy kézzel milliméterpapíron! 8. Becsüljük meg a sugár mérésének és a tömeg meghatározásának hibáit! 9. Mit tudhatunk meg a kapott egyenes meredekségéből? Mit jelent a kapott szám? 10. Becsüljük meg, mekkora lenne a dimenzió, ha egy alufólia darabkát gyűrnénk össze? Miért? 19

24 3.3. Tojáshéj robbanásakor kialakuló repedések fraktálszerkezetének bemutatása A kísérlethez használt eszközök, anyagok 1. Preparált tojás: édesanyám segítségével kifújtam belőle a belsejét most csak a tojás héjára van szükség. Egy ilyen tojást mutat a 16. ábra. Vízzel alaposan kiöblítettem, mikrohullámú sütőben kiszárítottam, ezáltal könnyebben törik majd szét. 16. ábra A kísérletre kész kifújt tojás, a jobbról jövő vezeték a gyújtószerkezet része. 2. Durranógáz: oxigén és hidrogén 2:1 arányú gázkeveréke, mely szikra hatására robban. A két gáz megfelelő arányú keverékét lufik segítségével juttatjuk a tojásba, ezt a lufis megoldást mutatja a 17. ábra, melyet Vass Gábor Tanár Úr ötlete alapján valósítottam meg. Az egyik felső sárga lufi oxigént, a másik hidrogént, a különálló alsó fehér pedig szintén hidrogént tartalmaz. Ez az elrendezés biztosítja a megfelelő arányokban történő kiáramlását a gázkeveréknek. 17. ábra A durranógáz bekeverésére és szállítására szolgáló eszköz. 20

25 3. Gyújtószerkezet: gáztűzhelyeknél használt piezoelektromos szikráztató. A szikráztató vége meg van hosszabbítva egy vezetékkel, így biztonságosan be lehet vezetni a tojásba, melyet a 18. ábra szemléltet. Az eszköz fém végéhez, ahol szikrázna, egy vezeték egyik drótját rögzítjük (jelen esetben cellux ragasztóval), a másik drótot pedig a műanyaghoz rögzítjük hozzá. Ezek után a két drót egymás mellett fut a szigetelő burkolatban. A vezeték másik végén újra szétválasztjuk őket úgy, hogy csak kis távolság legyen közöttük, de ne érjenek össze. Ezen a kis távolságon, a két drót között fog megjelenni a szikra a gomb megnyomásakor. 18. ábra A piezoelektromos szikráztató meghosszabbított vezetékkel. 4. Gyurma: Ezzel rögzítjük a tojásban a szikráztató végét, illetve ezzel tömjük be a másik szabadon maradt lyukat is a gáz beáramoltatása után. 5. Védőzsák: ebben végezzük a kísérletet, akkora legyen, hogy a tojás beleférjen, és kényelmesen le is lehessen zárni, én erre a célra egy átlátszó sütőzsákot használtam. 6. Négy tizedes jegy gramm pontosságú mérleg, a konyhai mérleg nem elegendően pontos a kisebb repeszdarabok tömegének pontos meghatározására A kísérlet előkészítése, biztonságos kivitelezése A kísérlet elvégzéshez egy preparált tojást kell előkészítenünk, azaz egy olyan tojást, melynek a két végén két fúrt lyuk van, és ezeken keresztül a sárgája és fehérje kifújható. Így csak a tojás héja marad meg a kísérlethez. Az egyik lyukat gyurmával betömködjük, majd a másikon keresztül durranógázt vezetünk a tojás belsejébe. A durranógázt a laboratóriumban könnyedén előállíthatjuk, hiszen nem más, mint oxigén és hidrogén 2:1 arányú gázkeveréke, mely szikra hatására robban, s víz keletkezik belőle nagy energia felszabadulással. Ez a nagy energia felszabadulás okozza majd a robbanást a tojás belsejében. Jelen esetben mindkét gázt palackból nyertük ki, majd luftballonok segítségével egy injekciós tűn át a megfelelő arányban engedtük be a tojásba. Ezt követően a másik lyukat is betömjük gyurmával, s ezen a gyurmán keresztül bevezetjük a szikráztató vezetékét. Az egészet egy átlátszó zsákba tesszük, azért hogy a robbanás után a darabok ne szóródjanak szét, hanem egy zárt helyen maradjanak, a könnyebb megtalálhatóság és megszámolhatóság érdekében. Ezen felül érdemes az egészet szabadtéren csinálni. A kísérlet előkészítése után a szikráztatóval felrobbantjuk a tojást, melynek következtében a repeszek (héj darabok) a zsákban szabadon szétszóródnak. Megszámoljuk a kis tojáshéjdarabkákat, majd a tömegüket lemérjük egyesével egy mérlegen (erre a célra is a es fejezetben említett négy tizedes jegy gramm pontosságú analitikai 21

26 mérleget használtam). Ezeket az adatokat egy táblázatba foglaljuk, majd vesszük a logaritmusaikat. Az adatokra végül majd kumulatív eloszlás függvényt kell illesztenünk, ennek kell hatványfüggvénynek lennie a 2.4. pontban leírtak szerint. A kumulatív eloszlás függvény azt adja meg, hogy a mért tömeg adatok hány százaléka kisebb, vagy éppen egyenlő egy adott tömeg értékkel. Az eloszláshoz fel kell vennünk a táblázatba a tojáshéj darabok sorszámát növekvő sorrendben, illetve ezen sorszámok összes darabszámmal leosztott értékét. A kumulatív eloszlásfüggvény nem lesz mást, mint ez a hányados a tömegek függvényében ábrázolva. A kumulatív eloszlásfüggvényre hatványfüggvényt illesztve, megkapható a tört-dimenziója a robbanáskor kialakult repedéshálózatnak [11], hiszen ez nem más, mint az illesztett függvény hatványából egyet kivont számnak a mínusz egyszerese. Az eloszlás logaritmusát a tömegek logaritmusának függvényében ábrázolva, egy egyenest kapunk, mely jól mutatja majd a már említett két nagyságrenden keresztüli linearitást A saját robbantásaim kísérleti eredményei Három mérést végeztem el, ezek közül egyet itt bemutatok, a többi mérés adatait és az illesztéseket a mellékletben lehet megtalálni. Az általam mért és számolt adatokat mutatja a következő táblázat. Tojáshéj darabok sorszáma A sorszám és az összes darabszám hányadosa Az előző oszlop értékeinek logaritmusa A repeszek tömege (g) A tömegek logaritmusa 1 0,031-1,518 0,0002-3, ,061-1,217 0,0003-3, ,091-1,0414 0,0013-2, ,121-0,9164 0,0027-2, ,151-0,8195 0,0085-2,07 6 0,181-0,7403 0,0121-1, ,212-0,6734 0,0237-1, ,242-0,6154 0,026-1, ,273-0,5642 0,0266-1, ,303-0,5185 0,0303-1, ,33-0,477 0,0306-1, ,363-0,4393 0,0378-1, ,393-0, ,0400-1, ,424-0, ,0491-1, ,454-0,3424 0,0702-1, ,484-0,3143 0,0731-1, ,515-0,288 0,0767-1, ,545-0,2632 0,0778-1, ,575-0,2397 0,0865-1, ,606-0,2174 0,0889-1, ,636-0,1962 0,1396-0,

27 22 0,67-0,176 0,1558-0, ,696-0,1567 0,1901-0, ,727-0,1383 0,1914-0, ,757-0,1205 0,2096-0, ,787-0,1035 0,2431-0, ,818-0,0871 0,2552-0, ,848-0,0713 0,2639-0, ,878-0,0561 0,2791-0, ,909-0,0413 0,4213-0, ,939-0,0271 0,4575-0, ,969-0,0134 0,4608-0, ,1276 0, táblázat Az első tojáshéj felrobbantásakor keletkezett repeszek általam mért és számolt adatai. A kumulatív eloszlásra illesztett hatványfüggvényt, melyet az Excel nevű programmal ábrázoltam, az alábbi, 19. ábra mutatja. 19. ábra A tojáshéj darabok tömegeinek kumulatív eloszlásfüggvénye. A tömegek E(m) kumulatív-eloszlásfüggvényét konstans m 1- -val közelítjük, egy leegyszerűsített formában. A pontosabb leírás Kun Ferenc munkájában található [11]. Innen az gyakoriságfüggvény kitevője esetemben =-(0,42-1)=0,58-nak adódik az első mérésre. 23

28 Kumulatív eloszlásfüggvény logaritmusa 0,5 y = 0,745x + 0,4381 y = 0,4664x + 0, y = 0,4202x + 0,1403-0,5 3. Robbantás 1. Robbantás Robbantás -1,5-2 -4,5-3,5-2,5-1,5-0,5 0,5 log(m/1g) 20. ábra Az összes robbantás eredményei egy grafikonon ábrázolva Kumulatív eloszlás logaritmusa Y = * X Tömegek logaritmusa 21. ábra A 19. ábra adatai log-log skálán, amely mutatja a három nagyságrenden keresztüli linearitást. Ez a fenti 21. ábra jól mutatja a linearitást, illetve a mérési eredmények körülbelüli illeszkedését az egyeneshez. A dimenzió tört mivoltából és a hatványfüggvényből adódóan kijelenthető, hogy valóban fraktál keletkezett a tojáshéj robbanásakor. 24

29 A kísérlet órai feldolgozása, munkafüzet Kellő elővigyázatossággal, a biztonságos kísérletezés szabályait betartva elvégezhető a diákokkal is ez a kísérlet. Összeállhatnak többen is a gyerekek, kis csoportokban dolgozhatnak, van, aki számolja a darabokat, van, aki méri a tömegüket, harmadik társuk pedig számológéppel számolhatja is egyből a logaritmusokat. Később mindannyian illeszthetnek maguk kézzel egyenest milliméterpapíron, s így kiderülhet, kinek mennyi jön ki, melyik tanuló mennyire pontosan ábrázolta a kapott illetve számolt adatokat. A robbantást természetesen szigorúan tanári, vagy felnőtt felügyelet mellett kéne kivitelezni az udvaron, vagy más szabad téren. Az alábbiakban egy rövid feladatlapot, 10 pontból álló segítő vázlatot mutatnék be, melynek segítségével a gyerekek is könnyebben boldogulhatnak a tört dimenzió meghatározásával. 1. A durranógáz beszerzése, előkésítése: ehhez a tanár segítségét kellene kérniük a tanulóknak. 2. A tojás előkészítése, kifújása, átöblítése, majd megszárítása 3. A gáz tojáshéjba történő bevezetése injekciós tű segítségével 4. A két lyukat tömjék be gyurmával, majd az egyiken vezessék be a szikráztató eszközt, végül az egészet helyezzék egy zsákba 5. A robbantás pillanata 6. A robbantás után számoljuk össze a repeszeket, mérjük meg a tömegüket egyesével 7. Jegyezzük fel az adatokat: Erre a célra egy előre legyártott üres táblázat adhat segítséget nekik a számoláshoz. Tojáshéj darabok sorszáma A sorszám és az összes darabszám hányadosa Az előző oszlop értékeinek logaritmusa A repeszek tömege 8. táblázat A kitöltendő táblázat a tojáshéj-robbantásos kísérlet órai feldolgozásához. A tömegeket növekvő sorrendben kell beírni egy Excel táblázatba, majd a program segítségével ki kell tölteni a többi oszlopot is, ehhez persze tanári segítség kérhető. (g) A tömegek logaritmusa 8. A hányados (valószínűséget) a tömegek függvényében ábrázolva megkapjuk a kumulatív eloszlás függvényt, melyre egy hatványfüggvényt kell majd illeszteni a program segítségével. 25

30 9. A hatványfüggvény kitevőjéből kaphatjuk meg a keresett dimenziót. 10. Foglaljuk össze a mérést, mit történt, mit vártunk, és mi jött ki a végén! A számítógépes ábrázoláshoz tanári segítség kérhető/adható, ez akár számítástechnika órán is egy feladat lehet, mivel ha mégsem menne, akkor ott még tudják ez által gyakorolni. 26

31 4. A Matematikai Múzeum demonstrációs eszközeinek bemutatása Az ELTE Természettudományi Karának Matematikai Múzeumának (ami része a TTK Természetrajzi Múzeumának, igazgató: Dr. Weiszburg Tamás) jelenleg a Lágymányosi Campus északi épületének első emeletén, a galérián van kialakítva egy helység. A Múzeumban számos matematikai szemléltető tárgy található, amit Holló-Szabó Ferenc és Kabai Sándor készítettek vagy gyűjtöttek. Személyesen is ellátogattam a Múzeumba megismerkedtem az ott fellelhető, matematikát szemléltető eszközökkel, beszélgettem a múzeum képviselőivel. Fő céljuk a matematika tanításának színesítése, érdekessé és könnyebben megjegyezhetővé tétele, illetve a matematika egyes témakörei fontosságának hangsúlyozása. Rengeteg eszköz található a teremben, jó részüket lelkes hallgatók készítették különféle gyakorlatok, speciális előadások alkalmából a Múzeum vezetőinek irányításával. A Múzeumban első sorban térbeli modellek, logikai játékok, színes magyarázó ábrák találhatóak. Ezen eszközök használata során a tanításkor a vizuális információt lehet előtérbe helyezni. Ezek közül a színes ábrák, illetve képek, modellek közül természetesen a fraktálok témaköre sem maradt ki. Nagyon sok a fraktál, vagy fraktálra hasonlító, azzá alakítható szemléltető eszköz is, ezért szakdolgozatom természetes módon kapcsolódik a Múzeum anyagához. Ezen kívül CD-k, videó kazetták, könyvek lelhetőek fel, melyek a fraktálokról szólnak. A fraktálok tanítása során felhasználható demonstrációs eszközök a következők: 1. Sierpinszki-háromszög. Az egyik szemléltető érdekes tárgy egy térbeli poliéder, melynek oldalai Sierpinszkiháromszöget tartalmaznak mindenféle színben. Ezt egy általam készített fényképen mutatja a 22. ábra. A poliéderen jól szemléltethető az egyre kisebb háromszögek konstrukciója. 22. ábra Sierpinszki-háromszögekből 23. ábra Menger-szivacs inverze habszivacsból felépülő térelem 2. Menger-szivacs (néha Sierpinszki-szivacsként is emlegetik). Ez egy olyan háromdimenziós fraktálra vezető konstrukció, amelyet úgy kapunk, hogy egy kockát az élei harmadolásával 27 kisebb kockára osztunk, és elhagyjuk közülük azt a hetet, amelyik nem tartalmazza az eredeti kocka egyetlen élét sem, majd ezt az eljárást sokszor megismételjük a megmaradt kockákra. Nevét Karl Menger osztrák matematikusról kapta. 27

32 A Múzeumban elkészítették a Menger-szivacsra vezető konstrukció második lépésének eredményét, annak is az inverzét. Ennek a fényképe a 23. ábrán látható. Ezeknek a térbeli elemeknek a megértéséhez semmilyen különösebb előtudás nem szükséges véleményem szerint, a térelemek neveit kell tudni maximum, hány éle, lapja van egy adott térbeli alakzatnak, stb. Főleg a vizualizáció a fontos, a színek, a formák. Némi képzelőerő persze elengedhetetlen. 3. Múzeumi képek. A galérián lévő falon hatalmas fehér alapon narancssárga Cantor-halmazok vezetik be az érdeklődő hallgatókat a fraktálok világába, illetve nagyon sokféle színben van Mandelbrothalmaz is kirakva ezekre a falakra. Még egy érdekes kép van, mely jó szemléltető eszköze lehet a szép színes fraktálgeometriai objektumoknak. Ezen rengeteg egymásra, illetve egymás mellé (valamilyen szabály szerint) rakott ikozaéder található, melyek egymás oldaliból illetve csúcsaiból nőnek ki. Nagyon sok ilyen ikozaédert összerakva alakul ki a 24. ábra képe. 24. ábra Egy ikozaéderekből kiinduló fraktál 25. ábra Egy ötszögekből kiinduló fraktál Vegyünk most egy nagy ötszöget, melynek minden csúcsába tegyünk egy-egy kisebb ötszöget, és a középen kialakuló ötszöget is tekintsük hatodik ötszögként. Ezt sokszor megismételve minden irányban a 25. ábrán látható kép alakul ki, ez szintén megtalálható a múzeumban. A diákokkal tehát sokféle objektumot el lehet kezdeni modellezni, s egy szabályt követve, egy adott műveletet sokszor végig lehet hajtani. Ezekhez a feladatokhoz semmilyen különösebb matematikai tudás nem szükséges, elegendő a dolgok szépségét megragadnia a tanulóknak. A Matematikai Múzeumba pedig egy kötetlen iskolai program keretében, vagy akár egy szakkör részeként is el lehet vinni az érdeklődőbb diákokat. 28

33 5. A fraktálok tanítása a középiskolában A dolgozat elején a bevezetőben már leírtam néhány gondolatot a fraktálok tanításának lehetőségeiről. Ez a fejezet ezeknek a gondolatoknak, lehetőségeknek a kifejtéséről szól. A Mandelbrot-halmaz rajzoló program bemutatása: Matematika óra, 12. évfolyan, komplex-számok témakör Egy-egy számítógépes kísérlet Mandelbrot-halmazzal is érdekes feladat a tanulók számára. Ezt a programot bármikor bármelyik érdeklődő diáknak ki tudnom majd adni, illetve el tudom küldeni. Nagyon egyszerű kezelni, így tényleg energia befektetés nélkül egyből a halmaz nézegetése tanítható. Kereshetnek érdekes dolgokat, megfigyelni, mi történik, ha nagyítunk/kicsinyítünk, vagy csak kicsit arrébb megyünk a rendszerünkben. A szakkörön feldolgozható feladatlapokat a korábbi fejezetekben már bemutattam. Papírgalacsin gyúrás kísérlete: Fizika szakkör, 12. évfolyam, anyagszerkezet, porózus anyagok témakör. A papírgömbök hajtogatása különböző színű papírokból szakkörön elvégezhető, vagy otthonra is feladható házi feladatnak, gyakorolni tudják vele a tolómérő használatát, a hétköznapi eszközökkel való gyakorlati tapasztalat megszerzését. Ezen felül az átlagszámolás, a logaritmus gyakorlása is a javukra válhat, és a matematika órán elsajátított anyag fizika órán történő felhasználása segíti az egységes természettudományos gondolkodás kialakulását. Tojáshéj-robbantás kísérlete: Kémia óra, 12. évfolyam, durranógáz témakör, vagy Fizika óra, 12. évfolyam, anyagszerkezet, porózus anyagok témakör. A durranógáz tananyag a középiskolában, így akár ott is be lehet mutatni a tojáshéjrobbantós kísérletet, hiszen így demonstrálható a hidrogén és oxigén megfelelő arányú keverékének esetleges pusztító ereje. A dolgozatban nem bemutatott önhasonló alakzatok: Kémia óra, 12. évfolyam, viszkozitás témakör. Kémia órán lehet elvégezni azt a bemutatót, amelyben két üveglap közé mézet csurgatunk, majd a lapokat nagy erővel egymásra tesszük, de a felső lapon egy kis lyukon keresztül vizet csepegtetünk be a mézbe. Ekkor a víz önhasonló alakzatokat felvéve fog terjedni a mézben, fraktálgeometriai objektumot hozva ezzel létre. A kísérlet neve: viszkózus ujjasodás [12, 13]. Ezzel a bemutatóval a viszkózus folyadékok témakörét is be lehet vezetni, melynek tipikus hétköznapi példája a méz. 29

34 Egyéb a dolgozatban bemutatott fraktálok tanítása: Matematika szakkör. Említettem már a matematika órán a geometria részeknél történő bemutatást. Talán itt lenne a legcélszerűbb megismerkedni a témával, hiszen a fraktálok geometriai alakzatok, csak nem a hagyományos Euklideszi-ek, mint amiket a diákok tanulnak ezeken az órákon. Emiatt szerintem egyfajta kiegészítésként lehet tálalni. Az alábbiakban három példát mutatok be, melyekkel ellenőrizhető a fraktálokról kapott tudás helyes értelmezése. Az első feladat a dimenziók számolására kérdez rá, a második a területszámolásról szól, a harmadik pedig a végtelen lépés fogalmának megértését ellenőrzi. 1. Mekkora a tört-dimenziója annak a fraktálnak, melynek első két lépése (iterációja) az alábbi ábrán látható? a) ln3/ln5 b) ln3/ln6 c) ln5/ln3 d) ln6/ln3 2. Vegyük a Sierpinszki-szőnyeg előállításának első lépését az alábbi ábra szerint! Mekkora lesz az objektum területe, ha oldaléle a=2 cm? a) 2 cm 2 b) 4 cm 2 c) 32/9 cm 2 d) 0 cm 2 3. Mekkora a területe végtelen sok lépés után (ideális esetben) előállított Sierpinszkiszőnyegnek, ha a oldaléle 2 cm? a) 2 cm 2 b) 4 cm 2 c) 32/9 cm 2 d) 0 cm 2 30

35 Az alábbi kép jól mutatja az elképzeléseimet, a fraktálok tanításával kapcsolatban. A képen az látható, ahogyan a gyerekek ismerkednek a Sierpinszki-háromszöggel, egy színes, kivágós játék keretein belül. 1. kép: Egy szakköri játéklehetőség fraktállal. 9 Szintén matematika órán feladható házi feladatnak, hogy a diákok saját maguk készítsenek el egy fraktált megadott N és egy ε értékek alapján és ezt rajz, vagy modell segítségével mutassák is be. Ehhez a feladathoz a fent említett példák és ábrák a rendelkezésre állnak, a feladat csupán annyi, hogy azokat szem előtt tartva valamilyen objektumon valamilyen műveletet végezzenek el a megadott értékek figyelembevételével. Ugyanez a feladatat feladható úgy is, hogy a tört-dimenziót adjuk meg, ez egy fokkal nehezebb, ehhez már vissza is kell számolni N és ε értékét. Rajz szakkör, 12. évfolyam: Fraktálszerű mintázatok a művészetekben is előszeretettel fordulnak elő. Az alábbi képen egy Sierpinszki-háromszög látható, mely Laurent Emőke textilművész alkotása. Czirók Adrienn fényképezte le, és adott engedélyt a dolgozatomban való bemutatására, melyet ezúton is köszönök neki. 2. kép: Egy dupla Sierpinszki-háromszög műalkotás formájában Forrás: (letöltés ideje: december 20.) 10 Laurent Emőke textilművész alkotása 31