A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban.
|
|
|
- Léna Fazekas
- 7 évvel ezelőtt
- Látták:
Átírás
1 Történeti bevezetés Néhány történelmi mérföldkő. A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 204. február 8. A két birodalom. Kapcsolat Mezopotámiával a 4. évezred vége felé: az első írás, a hieroglifikus, kialakulása. Az első egyesítés I.e. 300 körül, Narmer (Menész) fáraó, a vezető szerep Felső-Egyiptomé. A Narmer-kőtábla (jellegzetes ábrázolás). Óbirodalom kora: piramisépítések, és más építészeti, szobrászati emlékek (Abu Simbel, írnok), irodalmi alkotások (Imhotep intelmei) I.e tól az első átmeneti kor: a birodalom kettéválik. kb. I.e ben II. Mentuhotep ismét egyesíti a két királyságot. a Középbirodalom kora. Fajjumi víztározó, Szinuhe története, matematikai papirusztekercsek (Rhind, Golenisev, stb.). Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 2 / 35 Történeti bevezetés Néhány történelmi mérföldkő. A két birodalom. I.e. 750 körül, külső (hikszosz) támadás, megbukik az egységes birodalom a második átmeneti kor. 600-tól ismét egységes birodalom: az Újbirodalom. I.e. 280: Manetho listája a 3 dinasztiáról. Az egyiptomi írások. A hieroglifikus írás képírás, hasonló a másutt, pl. Mezopotámiában használthoz, eredete nem világos, első változata vélhetően még az Óbirodalom előtti időből származik körül egyszerűsödött, kurzívabbá vált Ez a hieratikus írás vált általánosan használttá. Az Újbirodalom vége felé, kb. a I.e. VII. században további egyszerűsítés, kurziválás: a démotikus írás. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 3 / 35 Történeti bevezetés Néhány történelmi mérföldkő. Az egyiptomi írások megfejtése. 799, a Rozetta kő megtalálása. A I.e. II. század elejéről származik, egyiptomi (hieroglifikus és démotikus) írással, valamint görög nyelven szerepel ugyanaz a szöveg: Memphis főpapja istenként, istenek fiaként köszönti V. Ptolemaioszt. 820-tól Champolion és T. Young előbb a görög ismeretében megfejtette a két egyiptomi írást, majd interpolációval megkapták a hieratikus írás megfejtését is. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 4 / 35
2 Hieroglifikus számok Hieratikus és démotikus számok Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 5 / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 6 / 35 Számírásuk. 0-es alapú és nem helyiértékes, a 0 hatványainak különböző jele volt. Törteket is használtak, DE... Szorzás kettőzésekkel (hieroglifikusan): 2 2. : összeadás. Additív jellegű, ebben a rendszerben egyszerű összeadni. Kezdetben minden műveletet a kettőzésre és az összeadásra vezettek vissza, később tízszereztek és feleztek is. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 7 / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 8 / 35
3 Szorzás kettőzésekkel (mai jelölésekkel). Ismételt összeadásként végezték: kettőzések után. A 2 3 kiszámítása (mai számírással): Szorzás tízszerezéssel és felezéssel (hieroglifikusan): Az első oszlopban a -mal jelzett sorokban = 2 áll, így a második oszlop alapján 2 3 = = 56. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 9 / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 0 / 35 Szorzás mindkét úton (hieroglifikusan): 5 0 Szorzás tízszerezéssel és felezéssel (mai jelölésekkel) A 7 3 kiszámítása tízszerezéssel és felezésel: a számolás alapján a 7 3 szorzat, lévén 7 = , nem más, mint , azaz 22. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 2 / 35
4 Törtek Osztás. Az előbbi szorzás alapján az osztás is elvégezhető akkor, ha a hányados egész, mivel additív aritmetikájukban az a : b ugyanis azt jelentette, hogy számolj b-vel addig, amíg a-t kapsz. Osztás. Bonyolultabb azonban a helyzet akkor, ha a hányados nem egész. Meg kell vizsgálni: hogyan számoltak törtekkel, egyáltalán milyen törtekkel tudtak számolni. Törtek. A korabeli egyiptomiak számára általában nem léteztek az m n csak az n alakúak. alakú törtek, Törtek: jelölések. Saját jele csak az n alakú törteknek, valamint a 2 3-nak volt. Ezeket n és 3 fogja jelölni. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 3 / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 4 / 35 Törtek Számolás törtekkel. Három formula a Londoni bőrtekercsből. Törtek = = = 3 Számolás törtekkel. Ezekből könnyen kaphatók a Rhind-papiruszon gyakran alkalmazott = = 3 = Számolás törtekkel. egyenlőségek = = + 6 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 5 / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 6 / 35
5 Törtek Az elemi törtek kéteszerezése. Az egészek kétszerezése (tízszerezése, felezése) egyszerű, de a törteké? Világos, hogy a többszöri kétszerezés igen hosszú számalakokhoz vezet. Fontos fölfedezésük: az n kétszerezése ugyanazon számhoz vezet, mintha a 2-t n-felé osztanánk. A 2: n számolások eredményét az 5 n 0 értékekre tartalmazza a Rhind papirusz elején található összeálĺıtás. Természetesen csak a páros n-ekre. Ezen összeálĺıtásra -ként is hivatkoznak olykor. 2 : 5 = : 53 = : 7 = : 55 = : = : 59 = : 3 = : 6 = : 7 = : 65 = : 9 = : 67 = : 23 = : 7 = : 25 = : 73 = : 29 = : 77 = : 3 = : 79 = : 35 = : 83 = : 37 = : 85 = : 4 = : 89 = : 43 = : 92 = : 47 = : 95 = : 49 = : 97 = : 5 = : 0 = Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 7 / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 8 / 35 Hogyan számolhatták ki a szereplő hányadosokat? Nem egységes elveket alkalmaztak, de minden esetben úgy jártak el, hogy a 2-t előálĺıtották, egy egynél nagyobb szám és egy, kettő vagy három (elemi) tört összegeként. Az első tag mai terminológiával olyan tört volt, amelynek számlálója az aktuális n osztó. Az első tag megtalálásában nem voltak következetesek. Például, ha n = 3k, akkor mindig a 2 = fölbontást használták, ami megfelelne a 2 3k = 2k + 6k azonosság alkalmazásának, DE ez XX. századi és nem korabeli gondolat!.példa: 2: 7 = A papiruszon ez olvasható (mai jelölésekkel): az 2 3 az 5 Vegyük észre: = 7 2. A számolás az 68. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 9 / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35
6 .példa: 2: 7 = A maradék (a hiány) 3 + 4, hiszen ( 4 + ( 6) ) = 2, azaz ennyi kell még a 2-höz. Ezt még elő kell álĺıtani 7-edekben..példa: 2: 7 = Ennek kiszámítása Megjegyzés. Vegyük észre, hogy közben fölhasználta az egyenlőséget = Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 2 / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35 2.példa: 2: 3 = A kezdő sor: az 20, 4 az, 24 5 az 55. A számolás az előbbihez hasonló A papiruszon az írnok az első sort is megjelölte, ami másolási hiba. A 2 fölbontása most ( 2 = 2 + ) Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35 Elemzés Az előző két esetben a 2 fölbontása első tagja = = 3 20, azaz olyan tört, amelynek számlálója épp a kettőzendő tört nevezője. Utána előbb ezt kiegészítette 2-re, majd a kiegészítést előálĺıtotta megfelelő törtekként. Hogyan jött rá az írnok??? Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35
7 3.példa: 2: 35 = A számolás eltér az eddigiektől. Az első sor A számolás + 6 az az Mi a vörös számok kisegítő számoknak fogjuk nevezni szerepe? A 7 és az 5 jelezheti az 6 -ban és ban a hatodok számát, amit a kezdő hatos is alátámaszt. A fölbontás: 2 = ( + 6) + ( ). Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35 A Rhind 23. feladata. Mi egészíti ki a öt -re? Az eredmény. A megoldás. 0 összesen : a maradék 4. Számolj 5-tel, míg 4-et kapsz A jelzett sorok jobb oldalán 3 + = 4 található, így az, amit hozzá kell adni. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35 Elemzés. A feladat lényegéban egy kivonás. (3 + 5) 2 A vörös kisegítő számok mutatják, hogy 5-ökben kellszámolni: az 3 és 0 számlálói 5-ödökben. 3 Maga a szám 4 5, így még 5 hiányzik, ezt álĺıtja elő a számolása Egy nehezebb feladat. A Rhind 23. problémája: Egészítsük ki az A Rhind 23. problémája. Egészítsük ki 3-ra. A papirusz szövege. Az eredmény öt Tehát et kell hozzáadni, hogy 3-at kapjunk. számot 3-ra. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35
8 A Rhind 23. problémája. A Rhind 23. problémája. Folytatás. Az összeg Elemzés. A további részletek hiányoznak a papiruszról, de megadható egy lehetséges rekonstrukció. Hangsúlyozzuk, hogy ez csak egy lehetséges eljárás, semmi biztosat nem tudunk az eredeti gondolatmenetről. Rekonstrukció. A vörös kisegítő számok alapján az írnok 45-ökben számolt, ez a közös nevező. 2 A vörösen szereplő számlálók összege negyvenötöd, ezt kell kiegészíteni 3-ra, azaz re. 3 A hiányzó mennyiség 6 8 negyvenötöd, azaz negyvenötöd. 4 Ezt kell meghatározni, Egy (rövidített) számolás Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35 Egy lineáris egyenlet Egy lineáris egyenlet A Rhind 33. feladata. Egy mennyiséghez hozzáadva kétharmadát, felét és hetedét 37-et kapunk. A számolás (2 7 = ) (3 = 2 + 6) A számolás 2. A kiegészítés a vörös kisegítő számokon alapul. A közös nevező azonban nem 28, hanem 42. Miért? Láttuk: a számlálóknak nem kell egészeknek lenniük, DE összegük már mindig egész. Ez 28-cal még nem, de 42-vel már teljesül. A már nagyon közel van a 37-hez. Ami hiányzik, az kiegészítője -re. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február 8. 3 / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35
9 Egy lineáris egyenlet A vörös számok eredete. A szöveg alapján: A folytatás: az összeg 40, a maradék 2. 40, a kisegítő számok összege, de az egység 42 kisegítő egységet tartalmaz, tehát 2 még hiányzik. E 2-t úgy kapjuk, hogy az osztót, et, kisegítő egységekben fejezzük ki. Egy lineáris egyenlet A számolás az összeg 97 Azaz az osztó 97 kisegítő egységet tartalmaz, 97-ed része egyenlő 42-del. Már csak egy kétszerezés kell, ami a papiruszon a következő: A kétszerezés a Rhind bevezető táblázatából való. Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35 Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35 Egy lineáris egyenlet A végeredmény. 37: ( ) = Klukovits Lajos (TTIK Bolyai Intézet) - Számelmélet 204. február / 35
A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban.
Történeti bevezetés Néhány történelmi mérföldkő. A Középbirodalom korának aritmetikája Egyiptomban. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 206. február. A két birodalom. Kapcsolat Mezopotámiával a 4. évezred
Természeti viszonyok. Az Egyiptomi Középbirodalom matematikája. Az egyiptomi civilizáció kezdete. Kedvező földrajzi és éghajlati viszonyok.
Természeti viszonyok. Az Egyiptomi Középbirodalom matematikája. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2017. február 16. Kedvező földrajzi és éghajlati viszonyok. Szinte minden oldalról természetes, nehezen
Természeti viszonyok. Az Egyiptomi Középbirodalom matematikája. Az egyiptomi civilizáció kezdete. Kedvező földrajzi és éghajlati viszonyok.
Természeti viszonyok. Az Egyiptomi Középbirodalom matematikája. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2015. szeptember 8. Kedvező földrajzi és éghajlati viszonyok. Szinte minden oldalról természetes, nehezen
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.
Számelmélet I. DEFINÍCIÓ: (Osztó, többszörös) Ha egy a szám felírható egy b szám és egy másik egész szám szorzataként, akkor a b számot az a osztójának, az a számot a b többszörösének nevezzük. Megjegyzés:
Hatványozás. A hatványozás azonosságai
Hatványozás Definíció: a 0 = 1, ahol a R, azaz bármely szám nulladik hatványa mindig 1. a 1 = a, ahol a R, azaz bármely szám első hatványa önmaga a n = a a a, ahol a R, n N + n darab 3 4 = 3 3 3 3 = 84
Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...
Egész számok természetes számok ( ) pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... 0 negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;... egész számok ( ) 1. Írd a következõ számokat a halmazábra megfelelõ helyére! 3; 7; +6 ; (
;3 ; 0; 1 7; ;7 5; 3. pozitív: ; pozitív is, negatív is: ;
. A racion lis sz mok A tanult sz mok halmaza A) Ábrázold számegyenesen az alábbi számokat! 8 + + 0 + 7 0 7 7 0 0. 0 Válogasd szét a számokat aszerint, hogy pozitív: pozitív is, negatív is: negatív: sem
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA
A SZÁMFOGALOM KIALAKÍTÁSA TERMÉSZETES SZÁMOK ÉRTELMEZÉSE 1-5. OSZTÁLY Számok értelmezése 0-tól 10-ig: Véges halmazok számosságaként Mérőszámként Sorszámként Jelzőszámként A számok fogalmának kiterjesztése
TANMENETJAVASLAT. Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA. tankönyv ötödikeseknek. címû tankönyvéhez
TANMENETJAVASLAT Dr. Korányi Erzsébet MATEMATIKA tankönyv ötödikeseknek címû tankönyvéhez A heti 3 óra, évi 111 óra B heti 4 óra, évi 148 óra Javaslat témazáró dolgozatra: Dr. Korányi Erzsébet: Matematika
Törtek. Rendelhetőek nagyon jó szemléltethető eszközök könyvesboltokban és internetek is, pl:
Törtek A törteknek kétféle értelmezése van: - Egy egészet valamennyi részre (nevező) osztunk, és abból kiválasztunk valahány darabot (számláló) - Valamennyi egészet (számláló), valahány részre osztunk
OSZTHATÓSÁG. Osztók és többszörösök : a 3 többszörösei : a 4 többszörösei Ahol mindkét jel megtalálható a 12 többszöröseit találjuk.
Osztók és többszörösök 1783. A megadott számok elsõ tíz többszöröse: 3: 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 4: 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 5: 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6: 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 1784. :
7. Számelmélet. 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel?
7. Számelmélet I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Lehet-e négyzetszám az a pozitív egész szám, amelynek tízes számrendszerbeli alakjában 510 darab 1-es és valahány 0 szerepel? ELTE 2006. október 27. (matematika
Az ember tere - építészeti alapismeretek
Az ember tere - építészeti alapismeretek 01 Egyiptom: a kezdetektől a Két Ország egyesítéséig Egyiptom mai kiterjedése, az ország az egyesítés korában 02 03 Korai dinasztiák időszaka, 1-2. din. (Archaikus
Középkori matematika
Fizikatörténet Középkori matematika Horváth András SZE, Fizika és Kémia Tsz. v 1.0 Bevezetés Láttuk korábban: A természettudomány forradalmát a középkor társadalmi, technikai és tudományos eredményei készítik
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint
Amit a törtekről tudni kell Minimum követelményszint Fontos megjegyzés: A szabályoknak nem a pontos matematikai meghatározását adtuk. Helyettük a gyakorlatban használható, egyszerű megfogalmazásokat írtunk.
A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 016. április 7. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.
KOVÁCS BÉLA MATEmATIkA I 6 VI KOmPLEX SZÁmOk 1 A komplex SZÁmOk HALmAZA A komplex számok olyan halmazt alkotnak amelyekben elvégezhető az összeadás és a szorzás azaz két komplex szám összege és szorzata
1 Már a I.e. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai. 3 Az első városok (falvak) kultikus helyeken 7000-től:
Mezopotámia a II. évezred előtt. Az Óbabyloni Birodalom aritmetikája és számelmélete. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 204. február 25. Már a I.e. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai
Diophantosz, I.sz. 250 körül. Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája. Legismertebb műve
Diophantosz, I.sz. 250 körül Az alexandriai Diophantosz Aritmetikája Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2014. március 11. Életéről egy rejtvény(sír)vers Vén Diophantoszt rejti e kő. Bár ő maga szunnyad,
A folyammenti kultúrák. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha. Pithagoraszi számhármasok, a Fermat problémakör. a 2 + b 2 = c 2.
Pithagoraszi számhármasok, Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 014. április 1. Definíciók. (a, b, c) N 3 Pithagoraszi számhármas, ha a + b = c. Az x + y = z egyenletet szokás Pithagoraszi egyenletnek nevezni.
2005_01/1 Leírtunk egymás mellé hét racionális számot úgy, hogy a két szélső kivételével mindegyik eggyel nagyobb a két szomszédja szorzatánál.
Számolásos feladatok, műveletek 2004_1/1 Töltsd ki az alábbi bűvös négyzet hiányzó mezőit úgy, hogy a négyzetben szereplő minden szám különböző legyen, és minden sorban, oszlopban és a két átlóban is ugyanannyi
1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?
1. fogalom Add meg az összeadásban szereplő számok 73 + 19 = 92 összeadandók (tagok) összeg Összeadandók (tagok): amiket összeadunk. Összeg: az összeadás eredménye. Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak?
Az ember tere - építészeti alapismeretek
Az ember tere - építészeti alapismeretek 01 Egyiptom: a kezdetektől a Két Ország egyesítéséig BME GTK 2016. szeptember 13. 4/1 - Vasáros Zsolt DLA egyetemi docens www.ipar.bme.hu Egyiptom mai kiterjedése,
Racionális számok: Azok a számok, amelyek felírhatók két egész szám hányadosaként ( p q
Szóbeli tételek matematikából 1. tétel 1/a Számhalmazok definíciója, jele (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok) Természetes számok: A pozitív egész számok és a 0. Jele: N
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 1. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!
Megoldások. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! 8 8 ( ) ( ) ( ) Használjuk a gyökvonás azonosságait. 0 8 8 8 8 8 8 ( ) ( ) ( ) 0 8 . Határozd meg a következő kifejezések értelmezési tartományát!
Amit a törtekről tudni kell 5. osztály végéig Minimum követelményszint
Amit a törtekről tudni kell. osztály végéig Minimum követelményszint Fontos megjegyzés: A szabályoknak nem a pontos matematikai meghatározását adtuk. Helyettük a gyakorlatban használható, egyszerű megfogalmazásokat
Egyenletek, egyenlőtlenségek X.
Egyenletek, egyenlőtlenségek X. DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, 1 - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak
Műveletek egész számokkal
Mit tudunk az egész számokról? 1. Döntsd el, hogy igazak-e a következő állítások az A halmaz elemeire! a) Az A halmaz elemei között 3 pozitív szám van. b) A legkisebb szám abszolút értéke a legnagyobb.
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
Számokkal kapcsolatos feladatok.
Számokkal kapcsolatos feladatok. 1. Egy tört számlálója -tel kisebb, mint a nevezője. Ha a tört számlálójához 17-et, a nevezőjéhez -t adunk, akkor a tört reciprokát kapjuk. Melyik ez a tört? A szám: 17
Számológép nélkül! százasokra:,,zsinór ; ezresekre:,,lótuszvirág ; tízezresekre:,,ujj ; százezresekre:
Számológép nélkül! Manapság az iskolában a matematika órán szinte mindenhez megengedett a számológép használata. Persze mindezen a mai világban már meg se lepődünk, hiszen a mindennapi tevékenységeink
Előadó: Horváth Judit
Előadó: Horváth Judit Előkészítés Tapasztalatszerzés: tevékenység eszközhasználat játék Az összeadás, kivonás típusai Változtatás Hasonlítás Egyesítés A típusok variánsai Fordított, indirekt szövegű feladatok
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x + 1x + 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x + 1x + 16 = 0.
Elemi matematika szakkör
Elemi matematika szakkör Kolozsvár, 2015. október 5. 1.1. Feladat. Egy pozitív egész számot K tulajdonságúnak nevezünk, ha számjegyei nullától különböznek és nincs két azonos számjegye. Határozd meg az
Előadó: Horváth Judit
Előadó: Horváth Judit Az új NAT fejlesztésterületeihez kapcsolódó eredménycélok Alapműveletek - Helyesen értelmezi a 10 000-es számkörben az összeadást, a kivonást, a szorzást, a bennfoglaló és az egyenlő
Kongruenciák. Waldhauser Tamás
Algebra és számelmélet 3 előadás Kongruenciák Waldhauser Tamás 2014 őszi félév Tartalom 1. Diofantoszi egyenletek 2. Kongruenciareláció, maradékosztályok 3. Lineáris kongruenciák és multiplikatív inverzek
Oszthatósági problémák
Oszthatósági problémák Érdekes kérdés, hogy egy adott számot el lehet-e osztani egy másik számmal (maradék nélkül). Ezek eldöntésére a matematika tanulmányok során néhány speciális esetre látunk is példát,
Ókori Egyiptom. Oktatási segédanyag 9. osztályos diákoknak
Ókori Egyiptom Oktatási segédanyag 9. osztályos diákoknak Témakörök 1. Földrajzi viszonyok 2. Gazdaság 3. Társadalom Súgó 3.1. Fáraó 3.2. Katonai és Hivatalnoki réteg 3.3. Közrendű szabadok és Rabszolgák
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek
Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek A másodfokú egyenlet grafikus megoldása Példa1. Ábrázold az f(x) = x 1x 16 függvényt, majd olvasd le az ábráról az alábbi egyenlet megoldását: x 1x 16 =. 1. lépés:
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes
1. előadás: Halmazelmélet, számfogalom, teljes indukció Szabó Szilárd Halmazok Halmaz: alapfogalom, bizonyos elemek (matematikai objektumok) összessége. Egy halmaz akkor adott, ha minden objektumról eldönthető,
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII. Magasabbfokú egyenletek: A 3, vagy annál nagyobb fokú egyenleteket magasabb fokú egyenleteknek nevezzük. Megjegyzés: Egy n - ed fokú egyenletnek legfeljebb n darab valós
3. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek
. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Mennyi a 2x 2 8x 5 = 0 egyenlet gyökeinek a szorzata? (A) 10 (B) 2 (C) 2,5 (D) 4 (E) ezek egyike sem Megoldás I.: BME 2011.
1 pont Bármely formában elfogadható pl.:, avagy. 24 4
2012. február 2. 8. évfolyam TMat2 feladatlap Javítókulcs / 1 Javítókulcs MATEMATIKA FELADATOK 8. évfolyamosok számára, tehetséggondozó változat TMat2 A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott
Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.
Klasszikus algebra előadás Waldhauser Tamás 2014. április 28. 5. Számelmélet integritástartományokban Oszthatóság Mostantól R mindig tetszőleges integritástartományt jelöl. 5.1. Definíció. Azt mondjuk,
0644. MODUL SZÁMELMÉLET. Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA
0644. MODUL SZÁMELMÉLET Közös osztók, közös többszörösök KÉSZÍTETTE: PINTÉR KLÁRA 0644. Számelmélet Közös osztók, közös többszörösök Tanári útmutató MODULLEÍRÁS A modul célja Időkeret Ajánlott korosztály
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2016/2017-es tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 016/017-es tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. A k valós paraméter értékétől függően
Tanmenetjavaslat. Téma Óraszám Tananyag Fogalmak Összefüggések Eszközök Kitekintés. Helyi érték, alaki érték. Számegyenes.
Heti 4 óra esetén, 37 tanítási hétre összesen 148 óra áll rendelkezésre. A tanmenet 132 óra beosztását tartalmazza. Heti 5 óra esetén összesen 37-tel több órában dolgozhatunk. Ez összesen 185 óra. Itt
Matematika, 1 2. évfolyam
Matematika, 1 2. évfolyam Készítette: Fülöp Mária Budapest, 2014. április 29. 1. évfolyam Az előkészítő időszakot megnyújtottuk (4-6 hét). A feladatok a tanulók tevékenységére épülnek. Az összeadás és
Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0
Irodalom ezek egyrészt el- A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: hangzanak az előadáson, másrészt megtalálják a jegyzetben: Szabó László: Bevezetés a lineáris algebrába, Polygon
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások
Megoldások 1. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: Z) a) (x 1) (x + 1) 7x + 1 = x (4 + x) + 2 b) 1 2 [5 (x 1) (1 + 2x) 2 4x] = (7 x) x c) 2 (x + 5) (x 2) 2 + (x + 1) 2 = 6 (2x + 1) d) 6 (x 8)
6. OSZTÁLY. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése Feladatok a 6. osztály anyagából. Halmazok Ismétlés (halmaz megadása, részhalmaz)
6. OSZTÁLY Óraszám 1. 1. Az évi munka szervezése, az érdeklõdés felkeltése a 6. osztály anyagából Tk. 13/elsõ mintapélda 42/69 70. 96/elsõ mintapélda 202/16. 218/69. 2 3. 2 3. Halmazok Ismétlés (halmaz
Minden egész szám osztója önmagának, azaz a a minden egész a-ra.
1. Számelmélet Definíció: Az a egész szám osztója a egész számnak, ha létezik olyan c egész szám, melyre = ac. Ezt a következőképpen jelöljük: a Tulajdonságok: Minden egész szám osztója önmagának, azaz
MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára. Mat1 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
8. évfolyam Mat1 Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára Mat1 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A javítókulcsban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók. A pontszámok
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek
1. Halmazok, számhalmazok, alapműveletek I. Nulladik ZH-ban láttuk: 1. Határozza meg az (A B)\C halmaz elemszámát, ha A tartalmazza az összes 19-nél kisebb természetes számot, továbbá B a prímszámok halmaza
Halmazelmélet. 1. előadás. Farkas István. DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék. Halmazelmélet p. 1/1
Halmazelmélet 1. előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Halmazelmélet p. 1/1 A halmaz fogalma, jelölések A halmaz fogalmát a matematikában nem definiáljuk, tulajdonságaival
1. Írd fel hatványalakban a következõ szorzatokat!
Számok és mûveletek Hatváyozás aaaa a a darab téyezõ a a 0 0 a,ha a 0. Írd fel hatváyalakba a következõ szorzatokat! a) b),,,, c) (0,6) (0,6) d) () () () e) f) g) b b b b b b b b h) (y) (y) (y) (y) (y)
First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Matematika I
Matematika I (Analízis) Készítette: Horváth Gábor Kötelező irodalom: Ács László, Gáspár Csaba: Analízis 1 Oktatási segédanyagok és a tantárgyi követelményrendszer megtalálható a http://rs1.szif.hu/ horvathg/horvathg.html
Intenzív matek 2. Feladatok a 100-as számkörben
x x Intenzív matek. Feladatok a 00-as számkörben Útmutató a füzethez Ez a füzet nagyon sokféle feladatot tartalmaz, amelyek segítségével a tanulók a 00-as számkörön belül gyakorolhatják és fejleszthetik
Matematika. 1. évfolyam. I. félév
Matematika 1. évfolyam - Biztos számfogalom a 10-es számkörben - Egyjegyű szám fogalmának ismerete - Páros, páratlan fogalma - Sorszám helyes használata szóban - Növekvő, csökkenő számsorozatok felismerése
Diszkrét matematika 1.
Diszkrét matematika 1. Nagy Gábor nagy@compalg.inf.elte.hu nagygabr@gmail.com ELTE IK Komputeralgebra Tanszék 014. ősz 014-15 őszi félév Gyakorlat: 1. ZH tervezett időpontja: október 1.,. ZH tervezett
3. Az országos mérés-értékelés eredményei, évenként feltüntetve
3. Az országos mérés-értékelés eredményei, évenként feltüntetve 4. évfolyam-okév 2005/2006. tanév: Ebben a tanévben első alkalommal mértek a 4. évfolyamon különböző készségeket és ezek gyakorlottságát.
b) Melyikben szerepel az ezres helyiértéken a 6-os alaki értékű szám? c) Melyik helyiértéken áll az egyes számokban a 6-os alaki értékű szám?
A term szetes sz mok 1. Helyi rt kes r s, sz mk rb v t s 1 Monddkihangosanakövetkezőszámokat! a = 1 426 517; b = 142 617; c = 1 426 715; d = 1 042 657; e = 1 402 657; f = 241 617. a) Állítsd a számokat
1 Már a I.e.. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen ökológiai. 3 Az első városok (falvak) kultikus helyeken 7000-től:
Néhány történelmi mérföldkő Mezopotámia a II. évezred előtt. Hammurapi korának algebrája. Klukovits Lajos SZTE TTIK Bolyai Intézet 013. február 13. 1 Már a I.e.. VIII. évezred elején is lakott volt a kellemetlen
Függvény fogalma, jelölések 15
DOLGO[Z]ZATOK 9.. 1. Függvény fogalma, jelölések 1 1. Az alábbi hozzárendelések közül melyek függvények? a) A magyarországi megyékhez hozzárendeljük a székhelyüket. b) Az egész számokhoz hozzárendeljük
SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN
SZÁMÍTÁSOK A TÁBLÁZATBAN Az Excelben az egyszerű adatok bevitelén kívül számításokat is végezhetünk. Ezeket a cellákba beírt képletek segítségével oldjuk meg. A képlet: olyan egyenlet, amely a munkalapon
1 NEM, mert az csupa elavult, ma már egyszerűen mosolyra fakasztó. 2 Talán IGEN, bár az csak színes, érdekes epizódokat, történeteket
Bevezetés. Érdemes-e tudománytörténettel foglalkozni? Fejezetek a matematika kultúrtörténetéből. Bevezető Gondolatok. Klukovits Lajos TTIK Bolyai Intézet 2015. szeptember 2. Négy lehetséges válasz. 1 NEM,
Bingó Számok, számhalmazok, műveletek 4. feladatcsomag
Számok, számhalmazok, műveletek 1.4 ingó Számok, számhalmazok, műveletek 4. feladatcsomag Életkor: Fogalmak, eljárások: 10 év fejszámolás alapműveletek törtrész számítása százalékszámítás szám ellentettje
Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására
Szöveges feladatok a mátrixaritmetika alkalmazására Bevezetés: Tekintsük az alábbi -es mátrixot: A. Szorozzuk meg ezt jobbról egy alkalmas méretű (azaz -es) oszlopvektorral, amely az R tér kanonikus bázisának
1. A polinom fogalma. Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1. = x egyenletet.
1. A polinom fogalma Számolás formális kifejezésekkel. Feladat Oldjuk meg az x2 + x + 1 x + 1 = x egyenletet. Megoldás x + 1-gyel átszorozva x 2 + x + 1 = x 2 + x. Innen 1 = 0. Ez ellentmondás, így az
Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit!
1. 2. 3. 4. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a kivonásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg a szorzásban szereplő számok elnevezéseit! Add meg az osztásban szereplő számok
2. Fejezet : Számrendszerek
2. Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An Information Technology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003 Wilson Wong, Bentley College
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika
Osztályozóvizsga-tematika 8. évfolyam Matematika 1. félév 1. Gondolkozz és számolj! A természetes szám fogalma, műveleti tulajdonságok Helyiértékek rendszere a tízes számrendszerben: alakiérték, tényleges
Szorzás, osztás 1000-ig. A műveletek tulajdonságai 1. Hány pötty van Erika rajzán? Írj róla összeadást és szorzást is!
Szorzás, osztás 1000-ig. A műveletek tulajdonságai 1. Hány pötty van Erika rajzán? Írj róla összeadást és szorzást is! Ha a zöld vonalak mentén lévő pöttyöket adod össze, akkor 5+5+5=, vagy 3 =. Ha a piros
Számelméleti alapfogalmak
1 Számelméleti alapfogalmak 1 Definíció Az a IN szám osztója a b IN számnak ha létezik c IN melyre a c = b Jelölése: a b 2 Példa a 0 bármely a számra teljesül, mivel c = 0 univerzálisan megfelel: a 0 =
Diszkrét matematika 1. estis képzés
Diszkrét matematika 1. estis képzés 2019. tavasz 1. Diszkrét matematika 1. estis képzés 5. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján
HHF0CX. k darab halmaz sorbarendezésének a lehetősége k! Így adódik az alábbi képlet:
Gábor Miklós HHF0CX 5.7-16. Vegyük úgy, hogy a feleségek akkor vannak a helyükön, ha a saját férjeikkel táncolnak. Ekkor már látszik, hogy azon esetek száma, amikor senki sem táncol a saját férjével, megegyezik
Mátrixok, mátrixműveletek
Mátrixok, mátrixműveletek 1 előadás Farkas István DE ATC Gazdaságelemzési és Statisztikai Tanszék Mátrixok, mátrixműveletek p 1/1 Mátrixok definíciója Definíció Helyezzünk el n m elemet egy olyan téglalap
Az ember tere - építészeti alapismeretek
Az ember tere - építészeti alapismeretek 01 Egyiptom: a kezdetektől a Két Ország egyesítéséig BME GTK 2013.szeptember 17. 4/1 - Vasáros Zsolt DLA egyetemi docens www.ipar.bme.hu Egyiptom mai kiterjedése,
Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez
Segédlet az Informatika alapjai I. című tárgy számrendszerek fejezetéhez Sándor Tamás, sandor.tamas@kvk.bmf.hu Takács Gergely, takacs.gergo@kvk.bmf.hu Lektorálta: dr. Schuster György PhD, hal@k2.jozsef.kando.hu
4. évfolyam OKÉV mérés A felmérés során vizsgált készségek, képességek
4. évfolyam OKÉV mérés 2011. A felmérés során vizsgált készségek, képességek A felmérés az anyanyelvi, a matematikai és a gondolkodási kulcskompetencia alapkomponensei közül az alábbiakra terjedt ki: olvasáskészség,
The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach 3. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons 2003
. Fejezet : Számrendszerek The Architecture of Computer Hardware and Systems Software: An InformationTechnology Approach. kiadás, Irv Englander John Wiley and Sons Wilson Wong, Bentley College Linda Senne,
I. Egyenlet fogalma, algebrai megoldása
11 modul: EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA 6 I Egyenlet fogalma, algebrai megoldása Módszertani megjegyzés: Az egyenletek alaphalmazát, értelmezési tartományát később vezetjük be, a törtes egyenletekkel
MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára. Mat2 JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ
8. évfolyam Mat Javítási-értékelési útmutató MATEMATIKA a 8. évfolyamosok számára Mat JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ A javítási-értékelési útmutatóban feltüntetett válaszokra a megadott pontszámok adhatók.
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2014/2015-ös tanév első (iskolai) forduló Haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 01/01-ös tanév első iskolai) forduló Haladók II. kategória Megoldások és javítási útmutató 1. Adott az alábbi két egyenletrendszer:
Gyors fejszámolási tippek, trükkök és ötletek (II. rész)
Gyors fejszámolási tippek, trükkök és ötletek (II. rész) Tuzson Zoltán, Székelyudvarhely Az előző részben bemutatott trükkök után, most következzenek sajátos alakú kétjegyű számok szorzása, és hatványozása:
2. Algebrai átalakítások
I. Nulladik ZH-ban láttuk: 2. Algebrai átalakítások 1. Mi az alábbi kifejezés legegyszerűbb alakja a változó lehetséges értékei esetén? (A) x + 1 x 1 (x 1)(x 2 + 3x + 2) (1 x 2 )(x + 2) (B) 1 (C) 2 (D)
Typotex Kiadó. Bevezetés
Bevezetés A bennünket körülvevő világ leírásához ősidők óta számokat is alkalmazunk. Tekintsük át a számfogalom kiépülésének logikai-történeti folyamatát, amely minden valószínűség szerint a legkorábban
Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2017. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 9. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra
Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18
Komplex számok Wettl Ferenc előadása alapján 2015.09.23. Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok 2015.09.23. 1 / 18 Tartalom 1 Számok A számfogalom bővülése 2 Algebrai alak Trigonometrikus alak Egységgyökök
Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2008/2009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II. kategória
Bolyai János Matematikai Társulat Oktatási és Kulturális Minisztérium Támogatáskezelő Igazgatósága támogatásával Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 00/009-es tanév első (iskolai) forduló haladók II.
Negatív alapú számrendszerek
2015. március 4. Negatív számok Legyen b > 1 egy adott egész szám. Ekkor bármely N 0 egész szám egyértelműen felírható N = m a k b k k=1 alakban, ahol 0 a k < b egész szám. Negatív számok Legyen b > 1
50. modul 1. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia
50. modul 1. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 2. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 3. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia 50. modul 4. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia és csoport
MATEMATIKA TANMENET SZAKKÖZÉPISKOLA 9.A, 9.D. OSZTÁLY HETI 4 ÓRA 37 HÉT ÖSSZ: 148 ÓRA
MINŐSÉGIRÁNYÍTÁSI ELJÁRÁS MELLÉKLET Tanmenetborító ME-III.1./1 2 Azonosító: Változatszám : Érvényesség kezdete: Oldal/összes: 1/6 Fájlnév: ME- III.1.1.Tanmenetborító SZK-DC-2013 2013. 09. 01. MATEMATIKA
Matematikai kompetencia fejlesztése. Összeállította: Székelyhidiné Ecsedi Ibolya
Matematikai kompetencia fejlesztése Összeállította: Székelyhidiné Ecsedi Ibolya Matematikai kompetencia Készségek Gondolkodási képességek Kommunikációs képességek Tudásszerző képességek Tanulási képességek
VII.A. Oszthatóság, maradékos osztás Megoldások
VIIA Oszthatóság, maradékos osztás Megoldások 11 Igen, mert a 4x = 8 egyenlet megoldható a természetes számok halmazában: x = 2 12 Nem, mert a 4x = 10 egyenlet nem oldható meg a természetes számok halmazában
Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa
Németh László Matematikaverseny 007. április 16. A 9-10. osztályosok feladatainak javítókulcsa Feladatok csak 9. osztályosoknak 1. feladat a) Vegyük észre, hogy 7 + 5 felírható 1 + 3 + 6 + alakban, így
Mechatronika Modul 1: Alapismeretek
Mechatronika Modul : Alapismeretek Oktatói segédlet (Elképzelés) Készítették: Matthias Römer Chemnitz-i Műszaki Egyetem, Szerszámgépek és Gyártási Folyamatok Intézete, Németország Cser Adrienn Corvinus
Hasonlítsd össze! Melyik nagyobb, mennyivel? Tedd ki a jelet!
49. modul 1. melléklet 2. évfolyam tanítói fólia és tanuló Hasonlítsd össze! Melyik nagyobb, mennyivel? Tedd ki a jelet! 26 + 33 25 + 33 12 + 35 12 + 31 62 + 15 63 + 14 43 26 53 26 35 13 35 15 62 18 72